Opción A
Ejercicio A.1- Discutir el siguiente sistema en función del parámetro
α
=
−
+
α
=
−
=
+
−
α
1
z
y
x
0
y
2
x
1
z
2
y
x
Resolver el sistema para
α
=
1
( )
(
)
=
⇒
=
−
+
=
⇒
=
⋅
+
−
⇒
=
−
=
⇒
−
=
⋅
−
−
⇒
=
−
−
=
⇒
−
=
−
⇒
−
−
−
−
−
−
≡
−
−
−
−
−
≡
−
−
−
=
α
⇒
−
−
−
≡
≡
−
−
−
−
≡
−
−
−
−
≡
−
−
−
−
−
≡
−
−
−
−
−
−
=
α
⇒
=
=
⇒
≠
⇒
−
−
ℜ
∈
α
∀
−
=
α
⇒
−
=
α
⇒
=
+
α
⇒
=
⇒
+
α
=
−
α
+
+
α
=
−
α
−
−
α
=
7
2
,
7
3
,
7
6
z
,
y
,
x
Solución
7
6
7
4
7
3
1
x
1
7
2
2
7
3
x
7
3
7
4
1
y
1
7
2
2
y
7
2
7
2
z
2
z
7
2
1
1
7
0
0
2
1
0
2
1
1
0
1
1
3
2
0
2
1
0
2
1
1
1
0
1
1
1
1
0
2
1
2
1
1
1
Si
le
Incompatib
Sistema
2
2
6
0
0
0
3
2
0
12
6
1
0
2
6
3
2
0
3
2
0
12
6
1
0
6
6
18
12
0
12
8
0
12
6
1
6
0
6
6
6
1
0
2
1
12
6
1
1
0
1
1
1
6
1
0
2
1
2
1
6
1
6
1
Si
ado
min
Deter
Compatible
Sistema
incognitas
de
Número
3
A
rang
0
A
6
1
6
1
6
1
6
0
1
6
0
A
Si
1
6
1
4
2
2
1
1
0
2
1
2
1
A
Ejercicio A.2.-Se consideran los puntos del espacio A(4 , 1 , 1) y B(2 , u , 3).Los puntos A y B son simétricos respecto a un plano.
Calcular de forma razonada la ecuación de dicho plano en función de u. ¿Existe algún valor de u para el cual el punto (0 , 0 , 0) pertenezca al plano?
El vector AB es perpendicular al plano
π
, por lo tanto es el vector director de él. Además un punto del plano es el punto P punto medio de los puntos dados. El vector AB y el vector PG, siendo G el punto generador o genérico del plano, son perpendiculares y su producto escalar es nulo y la ecuación pedida del plano(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
u
4
1
u
2
2
1
u
0
2
1
u
2
0
2
1
u
2
0
2
0
1
u
0
2
0
,
0
,
0
O
plano
del
punto
sea
que
Para
0
2
1
u
2
z
2
y
1
u
x
2
0
4
z
2
2
1
u
y
1
u
6
x
2
0
2
z
,
2
1
u
y
,
3
x
2
,
1
u
,
2
0
PG
v
PG
v
2
z
,
2
1
u
y
,
3
x
2
,
2
1
u
,
3
z
,
y
,
x
PG
2
,
1
u
,
2
1
,
1
,
4
3
,
u
,
2
v
AB
2
,
2
1
u
,
3
2
1
3
,
2
1
u
,
2
4
2
z
,
y
,
x
P
que
Sabiendo
−
=
⇒
−
=
+
⇒
=
+
−
⇒
=
+
−
−
⇒
=
+
−
−
⋅
−
⋅
−
+
⋅
⇒
=
+
−
−
−
−
+
≡
π
⇒
=
−
+
+
+
−
−
+
−
⇒
=
+
−
−
−
⋅
−
−
⇒
=
⋅
⇒
⊥
⇒
−
−
+
−
=
+
−
=
−
−
=
−
=
=
+
=
+
+
+
=
π π πEjercicio A.3.-Un comerciante vende café a 2 euros y 75 céntimos el kilo. El comerciante tiene dos tipos de gastos, el transporte de la mercancía y un impuesto de hacienda. Por cada kilo que vende el transporte le supone un gasto de 25 céntimos de euro. Para calcular los euros que debe de pagarse a hacienda por el impuesto hay que dividir el cuadrado de la cantidad de kilos que se vende entre 1200.
Con estos datos calcular el número de kilos que debe de vender el comerciante para que el beneficio sea máximo y calcular dicho beneficio máximo
Siendo k el número de kilos vendido
euros
1875
1875
375
4125
1200
1500
1500
25
'
0
1500
75
'
2
B
.
kg
1500
k
Máximo
0
600
1
1200
2
dk
B
d
'
'
B
1500
k
3000
k
2
0
k
2
3000
0
1200
k
2
5
'
2
0
'
B
Mínimo
o
Máximo
1200
k
2
5
'
2
dk
dB
'
B
1200
k
k
5
'
2
B
1200
k
k
25
'
0
k
75
'
2
B
2 2 2 2 2=
−
−
=
−
⋅
−
⋅
=
=
⇒
⇒
<
−
=
−
=
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
=
⇒
−
=
=
⇒
−
⋅
=
⇒
−
⋅
−
⋅
=
Ejercicio A.4.- La recta tangente en el punto (4 , 0) a la función f(x) = x(x – 4), la gráfica de la función f y el eje OY limitan un recinto del plano del primer cuadrante.
Trazar un esquema gráfico de dicho de dicho recinto y calcular su área mediante cálculo integral
(
)
( ) (
)
( )
(
)
(
)
( ) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
( )
(
)
( ) (
)
( )
( )
( ) (
)
( )
( )
f
( ) ( )
x
g
x
4
x
0
0
x
g
8
2
4
4
2
4
2
g
4
x
0
0
x
f
4
2
2
4
2
2
2
f
0
,
4
En
4
2
0
8
x
0
64
64
16
1
4
8
0
16
x
8
x
16
x
4
x
4
x
4
x
4
4
x
x
funciones
entre
corte
de
Puntos
4
x
0
4
x
0
4
x
4
0
y
4
x
0
4
x
0
x
0
4
x
x
0
y
OX
con
funciones
las
de
corte
de
Puntos
4
x
4
x
g
4
x
4
y
4
x
4
0
y
Ecuación
4
4
4
2
4
'
f
m
4
x
2
x
4
x
x
'
f
0
,
4
en
gente
tan
recta
la
de
Ecuación
2 2 2>
⇒
<
<
⇒
<
⇒
−
=
−
⋅
=
−
=
<
<
⇒
<
⇒
−
=
−
⋅
=
−
=
⇒
=
±
=
⇒
=
−
=
⋅
⋅
−
−
=
∆
⇒
=
+
−
⇒
−
=
−
⇒
−
=
−
⇒
⇒
=
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
=
=
⇒
=
−
=
⇒
=
−
⇒
=
⇒
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
−
⇒
⇒
=
−
⋅
=
=
⇒
−
=
+
−
=
⇒
-20 -15 -10 -5 0 5 -1 0 1 2 3 4 5 6(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[ ]
[ ]
[ ]
(
3 3) (
2 2)
(
)
2 4 0 4 0 2 4 0 3 4 0 2 4 0 2 4 0 4 0 2 4 0 4 0 4 0 4 0u
3
64
64
64
3
64
0
4
16
0
4
4
0
4
3
1
A
x
16
x
2
1
8
x
3
1
dx
16
x
8
x
dx
16
x
4
x
4
x
A
dx
16
x
4
dx
x
4
x
dx
4
x
x
dx
4
x
4
dx
4
x
x
dx
4
x
4
A
=
+
−
=
−
⋅
+
−
⋅
−
−
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
=
+
−
=
+
−
−
=
−
−
−
=
−
+
−
−
=
−
−
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Y
X
Ejercicio A.5.- Un cubo sólido de madera de lado 20 cm. se pinta de rojo. Luego, con una sierra, se hacen cortes paralelos a las caras, de centímetro en centímetro, hasta obtener
203 = 8000 cubitosde lado 1 cm. ¿Cuántos de estos cubitos tendrán, al menos, una cara pintada de rojo? Con una sola cara pintada 182 . 6 caras = 324 . 6 = 1944
Pintado en dos caras 18 . 12 aristas = 216 Pintado en tres caras 1 . 8 vértices = 8 Total = 2168 cubitos
Opción B
Ejercicio B.1- Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones
=
+
+
=
+
α
+
=
α
+
+
1
z
y
x
1
z
y
x
1
z
y
x
en función del parámetroα
Resolver en los caso de indeterminación
( )
{ }
( )
(
−
λ
−
η
λ
η
)
⇒
−
−
=
⇒
=
+
+
⇒
≡
=
α
⇒
=
=
⇒
≠
⇒
−
ℜ
∈
α
∀
=
±
=
⇒
=
⋅
⋅
−
−
=
∆
⇒
=
+
α
−
α
⇒
=
−
α
+
α
−
⇒
=
⇒
−
α
+
α
−
=
−
−
α
−
α
+
+
α
=
α
α
=
,
,
1
Solución
z
y
1
x
1
z
y
x
ado
min
er
det
In
Compatible
Sistema
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Si
ado
min
Deter
Compatible
Sistema
incognitas
de
Número
3
A
rang
0
A
1
1
2
0
2
x
0
1
1
4
2
0
1
2
0
1
2
0
A
Si
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A
2 2 2 2 2Ejercicio B.2.-Calcular la distancia del punto P = (3 , 2 , -1) a la recta que pasa por los puntos A = (0 , 1 , 2) y B = (1 , 0 , 2)
Describe de forma razonada los pasos seguidos para dicho cálculo.
Calcularemos un plano
π
que contiene al punto P y que es perpendicular a la recta AB, para elloutilizaremos como vector director del plano el de la recta que es perpendicular al vector formado por P y el punto genérico G, siendo su producto escalar igual a ceroy la ecuación del plano buscado. Después hallaremos el punto Q de intersección de la recta AB con el plano hallado y la distancia de P a Q es la distancia pedida
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
P
,
) (
d
P
,
Q
)
(
3
2
) (
2
3
) (
1
2
)
1
( ) ( )
1
3
1
1
9
11
u
d
2
,
3
,
2
Q
2
z
3
2
1
y
2
x
Q
2
4
2
0
4
2
0
5
1
2
z
1
y
x
AB
0
5
y
x
0
2
y
3
x
0
1
z
,
2
y
,
3
x
0
,
1
,
1
0
PG
v
PG
v
1
z
,
2
y
,
3
x
1
,
2
,
3
z
,
y
,
x
PG
0
,
1
,
1
0
,
1
,
1
2
,
1
,
0
2
,
0
,
1
v
AB
2 2 2 2 2 2=
+
+
=
−
+
−
+
=
−
−
+
−
+
−
=
=
π
⇒
=
=
+
=
=
⇒
=
λ
⇒
=
λ
⇒
=
−
λ
⇒
=
−
λ
+
+
λ
⇒
=
λ
+
=
λ
=
≡
=
−
+
≡
π
⇒
=
−
+
−
⇒
=
+
−
−
⋅
⇒
=
⋅
⇒
⊥
⇒
+
−
−
=
−
−
=
≡
−
−
=
−
=
=
π π π( )
( )
( )
gente
tan
recta
la
de
Ecuación
x
4
7
y
x
4
7
y
4
0
7
y
4
x
4
4
10
x
4
4
3
y
4
2
5
x
2
4
3
y
4
2
5
x
1
4
3
y
4
3
4
28
25
7
4
25
8
15
4
25
8
2
30
4
25
2
5
f
8
2
5
6
2
5
2
5
f
2
5
x
6
x
2
1
6
x
2
m
x
'
f
1
m
6
x
2
x
'
f
x
y
triz
sec
bi
la
de
Ecuación
2⇒
−
=
⇒
−
=
⇒
=
−
+
⇒
+
−
=
+
+
−
=
+
⇒
−
⋅
−
=
+
⇒
−
=
−
=
−
=
+
−
=
+
−
=
⇒
+
⋅
−
=
⇒
=
⇒
=
⇒
−
=
−
⇒
=
⇒
−
=
−
=
⇒
−
=
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -1 0 1 2 3 4 5 6Ejercicio B.4.- Explicar brevemente en que consiste el método de integración por partes, y aplicarlo para el cálculo de la integral indefinida que sigue:
∫
(
2
x
+
3
)
sen
(
5
x
+
7
)
dx
El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema: Se descompone el integrando en dos partes, u y dv, y utilizamos la fórmula
:
∫
u
dv
=
u
⋅
v
−
∫
v
du
Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable. En caso de reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones en cada paso.
Y
Continuación del Ejercicio B.4
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
sen
(
5
x
7
)
K
25
2
7
x
5
cos
5
3
x
2
t
sen
25
2
7
x
5
cos
5
3
x
2
I
dt
t
cos
25
2
7
x
5
cos
5
3
x
2
5
dt
t
cos
5
2
7
x
5
cos
5
3
x
2
I
dx
7
x
5
cos
5
2
7
x
5
cos
5
3
x
2
dx
7
x
5
sen
3
x
2
I
5
dt
dx
dt
dx
5
t
7
x
5
7
x
5
cos
5
1
t
cos
5
1
t
sen
5
1
5
dt
t
sen
dx
7
x
5
sen
7
x
5
cos
5
1
dx
7
x
5
sen
v
dv
dx
7
x
5
sen
du
dx
2
u
3
x
2
dx
2
7
x
5
cos
5
1
7
x
5
cos
5
1
3
x
2
dx
7
x
5
sen
3
x
2
I
+
+
⋅
+
+
⋅
+
−
=
⋅
+
+
⋅
+
−
=
+
+
⋅
+
−
=
+
+
⋅
+
−
=
+
+
+
⋅
+
−
=
+
+
=
=
⇒
=
⇒
=
+
+
⋅
−
=
⋅
−
=
=
=
+
+
⋅
−
=
+
=
⇒
=
+
=
⇒
=
+
⋅
+
⋅
−
−
+
⋅
−
⋅
+
=
+
+
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Ejercicio B.5.- De entre los 100 primeros números naturales, se consideran aquellos que no son múltiplos de 3. Calcular de forma razonada la suma de dichos números
Hallaremos la suma de los 100 primeros números que es una seria aritmética, que comienza en 1 y termina en 100 con 100 números de diferencia de diferencia 1
Hallaremos la suma de los 100 primeros números que son múltiplos que es una serie aritmética, que comienza en 3 y termina en 99 diferencia 3, tendremos que hallar cuantos son los miembros de la serie Después restaremos ambos resultados
