Guía para el profesor

Taller

de Geometría

π

Ω

∆

∑

∞

AC

BC

DH

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a el pr

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≅

GPRCTG001TG32-A17V1

Un asunto de buen criterio

El taller complementario de Geometría fue diseñado bajo la lógica de permitir al estudiante recordar el concepto sobre la base de una experiencia que relacione esos contenidos. Es decir, los alumnos tendrán momentos para experimentar acerca de los temas que se desarrollarán y luego, aplicarán estos conceptos en preguntas tipo PSU.

Es de suma importancia que usted utilice correctamente el material y posea un buen manejo de grupo. Se espera que usted actúe como un agente encargado de guiar el aprendizaje a través de la aplicación de conceptos, provocando en sus estudiantes el deseo de aprender haciendo. Cada Taller para el alumno se divide en 3 secciones:

• Primera sección: Experimentando

40 minutos

El objetivo de esta sección es que los alumnos construyan el contenido a partir de una experiencia, la cual se modela a través de diversas actividades. Para ello, es necesario que usted genere un grato ambiente de enseñanza, explicando y compartiendo las actividades experimentales con entusiasmo, ya que estas son fundamentales dentro de la metodología.

Luego, genere un diálogo reflexivo de manera que conduzca a sus alumnos al análisis,

de manera tal, que a través de estas preguntas se pueda enseñar y responder a las inquietudes de sus alumnos.

2

• Segunda sección: Practicando

30 minutos

En esta sección el alumno debe desarrollar de manera individual una situación experimental y cuatro ejercicios, en los cuales aplicarán los contenidos revisados en la primera sección. Estos ejercicios deben ser resueltos en 20 minutos, para luego revisarlos en conjunto con el profesor. La retroalimentación debe centrarse en las respuestas erróneas y omitidas (10 minutos).

• Tercera sección: Sintetizando

10 minutos

Finalmente, se entregará una síntesis de contenidos que se asemeja a un formulario, donde se espera que luego de las actividades realizadas en el taller, estas cobren mayor sentido, ya que serán entendidas y no solo memorizadas por los alumnos.

Esta Guía para el

profesor, le recomienda

cómo aplicar el Taller

del alumno, según las

3 Cpech 3

Taller

Un asunto de buen criterio

Lea esta actividad. El objetivo es que sus alumnos distingan las características que deben considerar para establecer que dos triángulos son semejantes. Por esta razón se descompone el triángulo ACB en dos triángulos.

Se recomienda abordar las actividades de la guía de la siguiente forma:

1. Reflexiona con tu profesor las siguientes preguntas y luego responde:

• ¿Cómo son los ángulos interiores de los triángulos ADE y ACB?

En esta pregunta se espera que los alumnos puedan expresar, formal o informalmente, aquellos argumentos que les permiten encontrar la relación que existe entre los ángulos de los triángulos ADE y ACB. Guíe la discusión de su curso para que cada uno de sus alumnos escriba en sus guías las conclusiones que se obtengan.

Algunas de estas conclusiones son:

- Para ambos triángulos, los ángulos en C y en D son rectos.

- El ángulo en A es congruente, ya que lo comparten ambos triángulos. - Dado que DE y CB son paralelas, los ángulos interiores son congruentes. - Se concluye que los ángulos en E y B son congruentes, ya que si los otros

dos ángulos ya son iguales estos también serán congruentes.

• ¿Qué relación existe entre los lados de los triángulos ADE y ACB?

Realice distintas preguntas a su curso para que se genere una discusión igual que la anterior, pero esta vez, con respecto a los lados. Guíe el análisis para que se concluya que como los triángulos comparten el ángulo en A, entonces los lados AD y AC; DE y CB; AE y AB, tienen las mismas posiciones relativas dentro de los triángulos. Introduzca el tema de semejanza entre estos dos triángulos, argumentando que al tener sus ángulos respectivamente congruentes sus lados necesariamente serán proporcionales.

• ¿Si te aseguran que a estos triángulos, teóricamente, se les denomina

semejantes, ¿cómo lo explicarías con tus palabras?

Recoger las respuestas de los alumnos en una lluvia de ideas, de modo que se rescaten los conceptos más relevantes. Se espera concluir

respecto a la similitud en las figuras y la relación entre la medida de los

lados y de los ángulos.

Actividad 1

Objetivos generales

• Comprender y aplicar los criterios de congruencia de triángulos como un procedimiento lógico. • Comprender y aplicar los criterios de semejanza en

triángulos.

4

2. Determina si la información entregada es suficiente para determinar que los triángulos son semejantes.

En esta pregunta, se pretende que sus alumnos obtengan los criterios de semejanza observando las seis situaciones que se muestran. Como la información es distinta en cada una de las preguntas, la idea es que decidan si es posible o no determinar que los triángulos son semejantes con los datos entregados. Dé un par minutos para que se realicen estas actividades. Las conclusiones por pregunta son:

• Esta información no es suficiente, ya que los dos ángulos faltantes se pueden

distribuir en distintas proporciones. Por otro lado, no se tiene información de los lados de los triángulos.

• Esta información es suficiente, ya que como la suma de los ángulos interiores

de un triángulo es 180º, basta con saber que dos de ellos son congruentes para que el tercero también lo sea.

• Esta información no es suficiente, ya que al igual que en la figura 1, no

se puede asegurar que los ángulos faltantes se distribuyan de la misma manera, es decir, no necesariamente son congruentes. Con respecto a los lados, estos están en la razón 1 : 2, pero no se puede asegurar que esta razón sea la misma para el resto de los lados de los triángulos.

• Esta información es suficiente, ya que al tener dos lados en proporción (en este caso 1 : 3, considerando el orden de la figura), el tercer lado de ambos

triángulos también será proporcional, ya que el ángulo que está entre los lados dados es congruente.

• Esta información no es suficiente, ya que no se tiene información sobre los

ángulos, lo que produce que no necesariamente todos los lados estén en la misma proporción.

• Esta información es suficiente, ya que si los tres lados están en igual

proporción implica que sus ángulos interiores son congruentes. Es decir, se

puede deducir que un triángulo es la “amplificación” del otro.

Una vez que sus alumnos terminen la actividad, dibuje en la pizarra las figuras en

las cuales los triángulos son semejantes y de acuerdo al criterio de semejanza, escríbala respetando el orden.

3. De acuerdo a la información entregada en la figura, completa:

AB es homólogo al lado DF, BC es homólogo al lado EF y AC es homólogo al lado DE.

La constante de proporcionalidad de los lados homólogos es 13 , considerando

∆ ABC ~∆ DFE.

5 Cpech 5 mínima para poder determinar que dos triángulos son semejantes es la

siguiente:

Asegúrese que sus alumnos, escriban lo siguiente:

Al menos dos ángulos interiores respectivamente congruentes (AA) Dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo que estos forman,

congruente (LAL)

Tres lados respectivamente proporcionales (LLL)

5. ¿Solo se puede estudiar semejanza en triángulos? Observa las siguientes figuras y concluye cuáles son las condiciones para establecer esta relación.

Discuta con sus alumnos si es posible la semejanza en otras figuras. Refuerce

las condiciones que deben darse: - Lados homólogos proporcionales. - Ángulos respectivos congruentes.

Lea la actividad. El objetivo de esta actividad es que usted relacione el concepto de congruencia con el análisis anterior (semejanza). En conjunto con sus alumnos, discutan las preguntas 1, 2 y 3. Finalmente, completen los criterios de congruencia y recuérdeles que en este caso los lados homólogos deben tener las mismas medidas y no ser proporcionales como en los criterios de semejanza.

Los criterios de congruencia son los siguientes:

ALA

LAL

LLL

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos es congruente.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.

Actividad 1

6

Lea la primera actividad correspondiente a una(s) situación(es) experimental(es) y luego los cuatro ejercicios. Asigne aproximadamente 20 minutos para ejercitar, preocupándose de aquellos estudiantes que

presenten dificultades. Recuerde realizar retroalimentación centrada en los ejercicios con mayor dificultad.

Lea las preguntas de selección múltiple y asigne 10 minutos para responderlas. Si es necesario, discuta la forma de abordar cada pregunta.

En cada pregunta se especifica su nivel de dificultad: fácil (F), media (M)

y difícil (D).

Pregunta 1. La alternativa correcta es C.

¿Qué ángulos de la figura son congruentes entre sí?, ¿qué relación hay

entre el triángulo MPR y el triángulo MQN?

Se observa que ∠NMQ≅∠PMR y ∠QNM ≅∠MRP. Luego, por el criterio AA, el triángulo MNQ es semejante con el triángulo MRP.

¿Cómo se plantea dicha relación según los segmentos involucrados?

En triángulos semejantes, los lados homólogos son proporcionales. Luego,

QN RP = MN RM = MQ MP

Pregunta 2. La alternativa correcta es D.

¿Cuáles son los criterios de semejanza de los triángulos?

AA: dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

LAL: dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo entre ellos es congruente.

LLL: dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados respectivamente proporcionales.

LLA: dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de ellos es congruente.

¿Cuál de los criterios se puede aplicar en cada caso?

Alternativa A: criterio LLA

Alternativa B: criterio AA

Alternativa C: criterio LLL

7 Cpech 7 ¿Qué es importante de verificar en los criterios de semejanza?

La congruencia de los ángulos, la posición de los lados con respecto a los ángulos y la proporcionalidad entre los lados. Por ejemplo, en la alternativa D el triángulo no es semejante con el del enunciado, ya que los lados no son respectivamente proporcionales.

Pregunta 3. La alternativa correcta es E.

Con las condiciones dadas, ¿qué ángulos de la figura son congruentes

entre sí?, ¿qué relación hay entre el triángulo PRU y el triángulo QRT?

∠

≅

∠

≅

∠

≅

∠

Dado que PQ = 1 y QR = 2, ¿qué relación hay entre el área del triángulo

PRU y el área del triángulo QRT?

La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza entre los triángulos. Como QR = 2 y PR = 3, entonces

Área

∆

Área

∆

4 9

Pregunta 4. La alternativa correcta es A. ¿Cuánto mide el área del cuadrado?

El área es igual a 6 · 6 = 36 cm2_.

¿Cuánto es el área de cada triángulo rectángulo isósceles?

La cuarta parte del área del cuadrado, o sea, 9.

¿Qué operación se puede aplicar para calcular el área sombreada?

Se puede dividir por dos el área del cuadrado, o bien, restar dos veces el área de un triángulo del área del cuadrado.

8

Pida a sus alumnos que realicen una lectura comprensiva de la síntesis, subrayando todo aquello que les parezca importante a juicio de cada uno, de acuerdo a sus fortalezas y debilidades.

Luego, ponga énfasis en aquellas habilidades y/o estrategias que no deben olvidar al momento de enfrentar una pregunta.

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