Breve introducción a Matrices

5 - Matriz inversa

En el apartado anterior vimos el producto de matrices y si en particular nos dedicamos a las matrices cuadradas de ordenn es decir el anillo unitario (Mnxn,+, .), sabemos que en él existe un elemento

neutro que representábamos como In . A partir de lo anterior podemos preguntarnos si dada una

matrizA∈Mnxnexiste otra matrizB∈Mnxn de forma que se verifique:

A.B=B.A=I_n

Si tal matrizBexiste, diremos que es la matriz inversa1deAy la representaremos comoA−1. Veamos mediante un ejemplo cómo calcular la matriz inversa de una dada a partir de la definición: SeaA=

1 2 2 8

, si existiera su matriz inversa, debería tener el siguiente aspectoB=

a b c d

cona,b,c,d∈_Ry de acuerdo a la definición debería cumplirse

1 2 2 8 . a b c d = a b c d . 1 2 2 8 = 1 0 0 1

lo que es equivalente a resolver el siguiente sistema

       a +2c = 1 2a +8c = 0 b +2d = 0 2b +8d = 1

que acepta como conjunto soluciónS=(2,−₂1,−1₂,1₄) .

De lo anterior deducimos que la matrizB=

2 −1₂ −1₂ 1₄

es la matriz inversa de la matrizA. Como vemos, para investigar aplicando la definición si una matriz cuadrada admite inversa nos conduce a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales, cosa que será más o menos tediosa pero para lo cual tenemos métodos.

Veamos ahora cómo calcular la matriz inversa de una matrizA(en el caso de que exista), mediante el método de Gauss-Jordan. Este método nos permite encontrar la matriz inversa efectuando transfor-maciones elementales2, esquemáticamente consiste en partir de una matriz formada por Ay de una matriz identidad3, que llamaremos matriz ampliada y que representaremos por(A|I):

(A|I) =      a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a₂₁ a₂₂ · · · a_2n .. . ... ... ... a_n1 a_n2 · · · a_nn 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 .. . ... ... ... 0 0 · · · 1     

1Si una matriz cuadrada admite inversa diremos que esno singular 2Las mismas que vimos en la escalerización de sistemas

luego aplicamos las transformaciones elementales adecuadas hasta llegar a una matriz(B|I), del tipo:      1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 .. . ... ... ... 0 0 · · · 1 b₁₁ b₁₂ · · · b_1n b21 b22 · · · b2n .. . ... ... ... bn1 bn2 · · · bnn     

la matrizBresultante4, será la matrizA−1.

Veamos un ejemplo de aplicación del método de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa de una matrizA. Consideremos comoAla misma matriz utilizada en el ejemplo anterior, con lo que la matriz ampliada(A|I)será:

(A|I) = 1 2 2 8 1 0 0 1

hagamos que el elemento que ocupa la posicióna₂₁ sea 0, para lo cual cambiaremos la segunda fila por ella menos la primera multiplicada por dos:

1 2 2 8 1 0 0 1 F2→F2−2F1 −→ 1 2 0 4 1 0 −2 1

ahora haremos que el coeficientea₂₂sea uno, para lo cual dividiremos la segunda fila por 4:

1 2 0 4 1 0 −2 1 F2→14F2 −→ 1 2 0 1 1 0 −1 2 1 4

finalmente solo queda hacer que el coeficientea₁₂ sea cero, para lograrlo cambiaremos la primer fila por ella menos la segunda por dos:

con lo que tenemos que la matriz inversa deAes la matrizB= 2 −1₂ −1₂ 1₄ Teorema 5.1

SeanAyBmatrices no sigulares de igual orden, entonces:

i) A−1−1=A

ii)A.Bes no singular y se cumple que(A.B)−1=B−1.A−1.

Demostración

La partei)surge inmediatamente de la definición de matriz inversa, veamos la demostración deii). Supongamos queX =B−1.A−1se trata de probar que(A.B).X=I, pero como tenemos que:

(A.B). B−1.A−1=A. B.B−1.A−1=A.I.A−1=A.A−1=I

queda probado queX es la matriz inversa deA.B.

6 - Rango de una matriz

Como se supone que ya hemos trabajado con sistemas de ecuaciones lineales y trabajamos también con el método de Gauss-Jordan, sabemos entonces escalerizar un sistema, a partir de ahí, definiremos matriz escalonada y será justamente para este tipo de matrices que definiremos en primera instancia el concepto derangopara luego ampliarlo a una matriz cualquiera.

Def. 6.1

Una matriz escalonada es una matriz tal que:

i)si una fila es nula, las siguientes lo son,

ii)si el primer término no nulo de la filaiestá en la columna jentonces el primer término no nulo (si existe) de la filai+1 está en la columna j+1 o en una posterior.

Def. 6.2

El rango de una matriz escalonada A es el número de filas no nulas de A. Usaremos la notación rang(A).

Def. 6.3

El rango de una matriz A es el rango de una matriz escalonada obtenida de la primera mediante transformaciones elementales.

Ejercicios 1)

Cuando sea posible, halla la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes:

a) 1 2 1 3 b) 1 2 2 4 c)   4 −8 5 4 −7 4 3 −4 2   d)   2 2 3 4 5 6 7 8 9   c)     1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 4     2)

Hemos visto que no toda matriz cuadrada admite inversa, pero en caso de admitir ¿será única?.

3)

Comprueba si para la matriz siguiente se cumple que(At)−1= (A−1)t :

2 0 1 2

4)

Encuentra la matrizX que verifica:

A.X+B=C siendo: A= 1 −2 0 1 B= 2 −1 1 1 C= 3 2 0 5 5)

Considera las matrices siguientes:

A= 1 −2 0 1 B= 2 −1 1 1 C= 3 −12 0 5

7)

Halla la matrizX tal queX =A.X+Bdonde

A=   0 −1 0 0 0 −1 0 0 0   yB=   1 2 2 1 3 3   8)

Justifica que si una matriz cuadrada tiene una columna (fila) formada por ceros entonces es singular.

9)

Calcula el rango de las matrices siguientes:

A=   −1 5 0 0 3 2 0 0 2   B=   1 −1 4 3 2 −2 8 6 1 1 −4 −3   C=     1 −1 2 3 2 −2 4 6 −1 1 −2 −3 5 3 0 −2     10)

Calcular el rango de la matrizAen función del parámetroα ∈_R

A=     3 1 1 1 1 α −4 4 −4 6 4 0    