Teorema de Taylor. Desarrollo de una función en serie de potencias.

(1)

65 de 190

PublicacionesDidacticas.com | Nº 50 Septiembre 2014

Teorema de Taylor. Desarrollo de una función en

serie de potencias

Título: Teorema de Taylor. Desarrollo de una función en serie de potencias. Target: Profesores de Matemáticas.

Alumnos de primeros cursos de Grados relacionados con Ciencias (Física, Química, Ingenierías...). Asignatura: Matemáticas. Autor: Emiliana Oliván Calzada, Licenciada en Matemáticas, Profesora de Matemáticas en Educación Secundaria.

1. INTRODUCCIÓN

Vamos a tratar de aproximar funciones elementales como ex,logx,senx,cosx,... y en general todas las funciones que cumplan unas determinadas condiciones por funciones polinómicas en las proximidades de un punto.

2. POLINOMIO DE TAYLOR DE GRADO N.

Sea f

 

x una función derivable en xa hasta el orden n inclusive. Vamos a encontrar un polinomio de grado no superior a n, P_n

 

x , cuyo valor en xa coincida con el valor de f

 

x en xa, y los valores de sus derivadas hasta orden n-ésimo también coincidan en xa.

Escribimos el polinomio en forma de potencias de



xa



:

 

















n

n x a a x a a x a a x a a x a

P  ₀  ₁   ₂   2  ₃  3   

Si tenemos en cuenta las condiciones que debe cumplir el polinomio descritas anteriormente:

 

_a _f

 

_a _P

 

_a _f

 

_a _P

 

_a _f

 

_a _P

_{ }

_a _f

_{ }

_a

P_n  _n   _n    nn  n , podemos calcular los coeficientes del

polinomio:

 



_{ }

 



_{ }

a f n a a f a a f a a f a a a P a a P a a P a a P n n n n n n ! 1 ! 2 1 2 1 0 2 1 0               

Así, el polinomio pn

 

x , queda:

 

  



   

n

   

n n x a n a f a x a f a x a f a f x P              ! ! 2 2 

Definición: Llamamos polinomio de Taylor de grado n de la función f

 

x para xa al polinomio:

 

n 

  

k k k a n a n n x a k a f x f P x P x P   



 0 , , !

(2)

66 de 190 PublicacionesDidacticas.com | Nº 50 Septiembre 2014

 

cuatro en cuatro de repiten se derivdas las que Notar f x sen x f f x x f f x sen x f f x x f f x sen x f iv iv                           0 0 1 0 cos 0 0 1 0 cos 0 0 Así,

 

   

! 1 2 1 ! 1 2 1 ! 7 ! 5 ! 3 1 2 0 1 2 7 5 3 1 2         _   _    



k x n x x x x x x P k n k k n n n 

Ejemplo: Sea la función f

 

x logx. En este caso no podemos calcular el polinomio de Taylor en el punto x0, porque es un punto que no pertenece al dominio, por ello calculamos el polinomio de Taylor en el punto x1

 



_{     }

! 1 1 1 , , 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 log 1   f   f   ₂  f   ₃  f   1 i f  i i Entonces, el

polinomio de Taylor en este caso es:

  

 



 





n x x x x x P n n n 1 1 3 1 2 1 1 1 3 2 1 ,            _ 

Nota: Si tomamos la función f

 

x log



x1



podemos calcular el polinomio de Taylor en el punto 0  x . Propiedad:

 





0 lim 1 , 1 _    _x _a x P x f _a a x Demostración:P

 

x f

 

a f

  

a x a



def a      , 1

 

_{ }

_

_{ }

_{  }

_

_

_{   }

_{  }

_

   

_{ }

a f a x a f x f a x a x a f a x a f x f a x a x a f a f x f a x x P x f _a                        ₁_, Tomando límites:

 

_{   }

_{ }

_{   }

_{ }

       

 

0. :

 

0 lim lim lim , 1 lim , 1                   _ _               a x x P x f Así a f a f a f a x a f x f a f a x a f x f a x x P x f a a x a f x f a f a f de def a x a x a a x a x

Nota: Este resultado se puede generalizar a P_n,_a

 

x .

Entonces:

 





0 lim ,     n a n a x _x _a x P x f .

(3)

67 de 190

Definición: Dos funciones f

 

x y g

 

x se dice que son iguales hasta el orden n en xa si

   





0 lim    _a n x _x _a x g x f .

Proposición: Sean P

 

x yQ

 

x dos polinomios en



xa



de grado menor o igual que n y supongamos que P

 

x yQ

 

x son iguales hasta el orden n en xa. Entonces P

 

x Q

 

x .

Corolario: Sea f

 

x una función derivable n veces en xa y sea P

 

x un polinomio en



xa



de grado menor o igual que n tal que f

 

x yP

 

x son iguales hasta el orden n en xa. Entonces

 

x P

 

x P  n,a

3. TEOREMA DE TAYLOR

Hemos trabajado con x variable y fijo. Ahora tomaremos x fijo y n variable. Hay que tener en cuenta que xa

Definición: Llamamos resto del polinomio de Taylor P_n,_a

 

x , de la función f

 

x , y lo denotamos

 

x

Rn,a , a la función que verifica: f

 

x Pn,a

 

x Rn,a

 

x .

Nota: Buscaremos un método para poder calcular fácilmente el resto. Lo vamos a hacer de dos formas, la primera es la constructiva y la segunda es mediante el llamado Teorema de Taylor.

FORMA CONSTRUCTIVA

 



   

x t dt n t f x R x n a n a n 



    ! 1 , Demostración: Si n0, tenemos que f

 

x P₀_,_a

 

x R₀_,_a

 

x . Como P0,a

 

x  f

 

a  f

 

x  P0,a

 

x R0,a

 

x Entonces f

   

x f a R

 

x x f

 

t dt R _a

 

x a TFC a 0, , 0      



. Si n1, tenemos que f

 

x P₁_,_a

 

x R₁_,_a

 

x Como p1,a

 

x  f

 

a  f

  

a  xa



Entonces:

 

  



 

x f

   

x f a f

  

a x a



_{ } f

  

t x t



dt R x R a x a f a f x f x a a a                   



 , 1 , 1 n

(4)

 

  





_{ }



_{  }

  

 



x x

   

f x x a

      

f a f x f a f

   

x f a f

  

a x a



R

 

x dt t f t f t x t f v dt t f dv dt du t x u dt t x t f a TFC x a x a Partes x a , 1                                                 



Análogamente, reiterando el proceso obtenemos:

 

x



x t



f

 

t dt R x a a    

_

2 2 , 2

Y reiterando de nuevo el proceso, se tiene que si fn 1

 

x es continua en el intervalo

 

a,x , entonces:

 



   



    ! 1 , TEOREMA DE TAYLOR

Teorema: Sea f

 

x derivable hasta orden



n1



en el intervalo

 

a,x y R_n,_a

 

x definida como:

 

  





   

x a R

 

x n a f a x a f a f x f n _n_a n , !            Entonces: 1)

 



     

x t x a n x f x R n n a n       ! 1

, para algún t

 

a,x es el llamado resto de Cauchy.

2)

 



_{ }



 



1 1 , ! 1       n n a n x a n x f x

R para algún t

 

a,x es el llamado resto de Lagrange.

3) Si fn 1

 

x es integrable en

 

a,x entonces:

 



   



    ! 1 , es el llamado resto integral.

Demostración: Sea x un número fijo. Entonces t

 

a,x :

 

  





     

x t S t n t f t x t f t f x f n n           !  .

1) Derivamos la expresión anterior como función de t, como se trata de la derivada de la función de una variable respecto de otra variable diferente, se tiene que es cero

 



     _ 0 dt x df .

(5)







   

_

   



_{ }



  



   



 



 



1 1 1 1 ! 1 ! 1 ! ! ! , , , 1                                k k k k k k k k producto del derivada k k t x k t f t x k t f t x k k t f t x k t f dt t x k t f d n k  Derivando respecto de t en

 

  





     

x t S t n t f t x t f t f x f n n           ! 

Si tenemos en cuenta que se cancelan casi todos los sumandos, queda:

 



   

_           n n t x n t f t S ! 1

Aplicando el Teorema del Valor Medio de la función S

 

t en

 

a,x , t

 

a,x tal que

 

   

a x a S x S t S     . Así,

   



   

_             n n t x n t f a x a S x S ! 1

Como S

 

t R_n,_t

 

x por definición se tiene que:

 

  





   

0 ! ,                  n n x n x x n x f x x x f x f x f x R t S  .

Además tenemos que S

 

a Rn,a

 

x

Sustituyendo queda:

 



   

 



     

x t x a n t f x R t x n t f a x x R n _n a n n n a n __ _ _ _ _ _ _ _ _     ! ! 0 1 , 1 ,

2) Aplicando el Teorema del valor medio de Cauchy a S

 

t y a g

  

t  xt



n1 en

 

a,x se tiene que existen algún t

 

a,x tal que:

   



S x s a

  

gt 



g

   

x g a

  

St

  



  

 



 

   

 



   

n n a n t n n n t x n t f t S y x R a S x S x R t S t x n t g y x x x g Como . ! , 0 , 1 0 1 ) 1 , , 1                    

 









 















   



 



 



     

 



  

_

_



! 1 ! 1 ! 0 1 0 : 1 1 , 1 1 , 1 1 ,                                  n a x t f x R a x t x n t f x R t x n t x n t f a x t x n x R tenemos do Sustituyen n n a n n n n a n n n n n n a n

(6)

70 de 190

PublicacionesDidacticas.com | Nº 50 Septiembre 2014 3) Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo integral a S

 

t en

 

a,x ya que fn 1

 

x es

integrable en

 

a,x tenemos:

   

x S a S

 

t dt S x a



    Como

 



   

n n t x n t f t S     ! 1 tenemos que:

   



x t



dt n f a S x S x a n n



      ! 1

Como S

 

t R_n,_t

 

x se tiene que S

 

x R_n_,_x

 

x 0 y que S

 

a R_n,_a

 

x

 



   

 



   

x t dt n t f x R dt t x n t f x R x n a n a n n x a n a n           

_



_

 ! ! 0 1 , 1 ,

4. DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIE DE POTENCIAS

Definición: Llamamos serie de potencias a una serie de funciones de la forma k k k x a 



 0 donde



a0,a1,,an,



son constantes. A estas constantes las llamamos coeficientes de la serie.

Definición: Una serie se dice que converge si



    k k k x a 0

. En caso contrario se dice que diverge.

Nota: Si 0 0          



k k k k k k x a x a . Teorema de Abel:

1) Si una serie de potencias converge para un valor x₀ no nulo, entonces: x con x  x₀ la serie converge absolutamente, es decir



 

  k k k x a 0 .

2) Si la serie diverge para un cierto valor x₁, entonces diverge x con x  x₁ Demostración: 1) Como la serie:   _                          



  2 0 2 0 2 0 0 1 0 2 2 1 0 0 x x x a x x x a a x a x a a x a k k k converge para x0, se tiene que ₀ 0     k k k x

a , es decir, M 0 tal que a_k x₀k M k. Y la de sus valores absolutos:

                          



1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 2 2 0 0 1 0 que menor razón de geométrica Serie k k n n n n o x x M x x M x x M x x M M x x x a x x x a x x x a a    

(7)

71 de 190 PublicacionesDidacticas.com | Nº 50 Septiembre 2014 Así,



             0 0 0 0 0 1 0 k k k n n n a x x x x a x x x a a  converge absolutamente. 2) ₁ 0 x cierto un para diverge x a k k k



 

 . Entonces también diverge para cualquier x tal que x  x₁

porque si fuera convergente para ese valor de x , por 1) sería convergente en x₁, lo que es absurdo. Nota: Por el Teorema de Abel si una serie es convergente en x₀, entonces es convergente x tal que:



x0, x0



x  , y si una serie es divergente para x1 también diverge x tal que:





 

 



 , x₁ x₁,

x .

Corolario: El dominio de convergencia de una serie de potencias es un intervalo con centro el origen de coordenadas.

Definición: Llamamos radio de convergencia de una serie de potencias y lo denotamos por R, al valor que verifica que:

 x



R,R



la serie es convergente.  x



R,R



la serie es convergente.

Nota: Si xRóxR hay que estudiar la serie de forma particular para cada función.

Definición: Dada una función f

 

x C (es decir, infinitamente derivable y con derivadas continuas) en un entorno de xa, llamamos desarrollo de f

 

x en serie de Taylor a la expresión:

 

_

 

   

    0 ! k k k a x k a f x

f . Si a0, el desarrollo se llama de Mc-Laurin.

Observación:

 

  



  

_{  }

_

                    x a n R x a n P dt t x t f n a x a f a f x f x n a n , , 1 ! 1           





Proposición: Rna

 

x LaseriedeTaylor esconvergente paraesex

n 0

lim ,

Proposición: Sea f

 

x C



E

 

a,r



. Sea k una constante tal que f n

 

x kn n,xE

 

a,r . Entonces la serie de Taylor de f

 

x en xa converge hacia f

 

x xE

 

a,r

(8)

72 de 190

Bibliografía

Análisis Matemático I. J. A. Fernández Viña. Editorial Tecnos.

Lecciones de Cálculo Infinitesimal I. R. Molina Legaz, M. Franco. Editorial Universidas de Murcia Principios de Análisis Matemático. W. Rudin. Editorial MCGraw-Hill

Curso de Análisis Matemático I. E.L. Luna. Editorila Edunsa. Calculus. M. Spivak. Editorial Reverté.