FIFF01 S2 Situación Unidad 2 Versión Alumno

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Material elaborado por: Material elaborado por: Leandro Sepúlveda Sandoval Leandro Sepúlveda Sandoval Rodrigo Villalobos Araya Rodrigo Villalobos Araya Validado por: Rafael Paredes

Validado por: Rafael Paredes CarrascoCarrasco

Situación de

Evaluación N°2

Asignatura:

Asignatura: Fundamentos Fundamentos de de Finanzas Finanzas FIFF01FIFF01 Programa de Estudio:

Programa de Estudio:

Administración de Empresas Administración de Empresas

Ingeniería en Administración de Empresas Ingeniería en Administración de Empresas

(2)

(3)

Actividad Actividad

Estimado (a) alumno (a): Estimado (a) alumno (a):

En la unidad de aprendizaje

En la unidad de aprendizaje Fundamentos de matemática financiera,Fundamentos de matemática financiera, corresponde aplicar lacorresponde aplicar la matemática financie

matemática financiera a situaciones de ra a situaciones de administración y negocios a través del cálculo administración y negocios a través del cálculo del valor futuro,del valor futuro, valor actual, tiempo de duración, tasa de interés en operaciones financieras y descuento simple valor actual, tiempo de duración, tasa de interés en operaciones financieras y descuento simple mediante fórmulas y/o métodos.

mediante fórmulas y/o métodos.

Deberán desarrollar de manera grupal, actividades de

Deberán desarrollar de manera grupal, actividades de Solución de Ejercicios y problemas,Solución de Ejercicios y problemas, en dónde en dónde deberán resolver 3 guías de acuerdo a la planificación de clases de su

deberán resolver 3 guías de acuerdo a la planificación de clases de su sección:sección:



 Guía 1:Guía 1: Cálculo de valor futuro, valor actual, tiempo de duración y tasa de interés en Cálculo de valor futuro, valor actual, tiempo de duración y tasa de interés en

operaciones financieras y descuento simple. operaciones financieras y descuento simple.



 Guía 2:Guía 2: Cálculo de valor futuro, valor actual, tiempo de duración y tasa de interés en Cálculo de valor futuro, valor actual, tiempo de duración y tasa de interés en

operaciones financieras de

operaciones financieras de capitalización compuesta.capitalización compuesta.



 Guía 3:Guía 3: Cálculo Cálculo de anualidades, amortización y depreciación.de anualidades, amortización y depreciación.

Instrucciones de resolución para cada guía: Instrucciones de resolución para cada guía:

1. INSTRUCCIONES GENERALES:

1. INSTRUCCIONES GENERALES: Se presentarán ejercicios y problemas de acuerdo a los criterios deSe presentarán ejercicios y problemas de acuerdo a los criterios de evaluación contenidos en cada guía.

evaluación contenidos en cada guía.

Deberá utilizar lápiz pasta en sus respuestas. Deberá utilizar lápiz pasta en sus respuestas.

2. INSTRUCCIONES DE PUNTAJE.

2. INSTRUCCIONES DE PUNTAJE. Cada guía evaluada, consta de un puntaje establecido en cada uno Cada guía evaluada, consta de un puntaje establecido en cada uno de sus ejercicios y problemas. La Nota 4.0 se obtiene logrando un 60% del

de sus ejercicios y problemas. La Nota 4.0 se obtiene logrando un 60% del puntaje total.puntaje total.

Se considerará la precisión en los resultados de cada pregunta, el desarrollo de sus resultados y la Se considerará la precisión en los resultados de cada pregunta, el desarrollo de sus resultados y la justificación con argumentos teóricos cuando corresponda.

justificación con argumentos teóricos cuando corresponda.

Será considerado como aspecto a evaluar la presentación de la resolución de la guía, considerando la Será considerado como aspecto a evaluar la presentación de la resolución de la guía, considerando la rigurosidad en el formato, estructura, gramática y uso del

rigurosidad en el formato, estructura, gramática y uso del lenguaje técnico y formal en la presentaciónlenguaje técnico y formal en la presentación de la guía

de la guía y el cumplimiento de las tareas asignaday el cumplimiento de las tareas asignadas durante la resolución de la guía, de acuerdo as durante la resolución de la guía, de acuerdo a todos los

todos los estándares, normas y plazos.estándares, normas y plazos.

3. INSTRUCCIONES DE RECURSOS

3. INSTRUCCIONES DE RECURSOS PERMITIDOS.PERMITIDOS. Se permite el uso de calculadora y formularios. No Se permite el uso de calculadora y formularios. No se permite utilizar celular, libros de texto

se permite utilizar celular, libros de texto ni apuntes.ni apuntes.

4. INSTRUCCIONES DE DURACIÓN.

4. INSTRUCCIONES DE DURACIÓN. El tiempo máxim El tiempo máximo para resolver cada uo para resolver cada una de las guías na de las guías evaluadaevaluada es de 75 minutos.

(4)

Instrucciones al alumno:



 Revisar la introducción a los aprendizajes esperados y ejercicios resueltos.Revisar la introducción a los aprendizajes esperados y ejercicios resueltos. 

 Leer la escala de apreciación y la pauta de coevaluación.Leer la escala de apreciación y la pauta de coevaluación. 

 Leer la hoja con Leer la hoja con las actividades a realizar.las actividades a realizar. 

 Consultar con anticipación al docente, todas las Consultar con anticipación al docente, todas las dudas antes del inicio de dudas antes del inicio de la actividadla actividad

de evaluación. de evaluación.

(5)

Escala de Apreciación para evaluar Guía 1

Aspectos observados 4 3 2 1

Criterio de Evaluación:Calcula valor futuro, valor actual, tiempo de duración, tasa de interés en operaciones financieras y descuento simple mediante fórmulas y/o métodos.

Muy bien Bien Regular Insuficiente

Realizan los cálculos y respaldan los procedimientos con argumentos y mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos, alcanzando la respuesta correcta Realizan los cálculos y no respaldan los procedimientos de manera completa, alcanzando la respuesta correcta Realizan los cálculos y/o respaldan los procedimientos pero con errores.

No realiza los procedimientos ni los cálculos o presenta errores en los cálculos y la aplicación de fórmulas y/o métodos

Pregunta 1 a Realiza procedimiento del cálculo de la tasa de interés mensual, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula la tasa de interés mensual.

Pregunta 1 b Presenta su decisión con argumentos y cálculos técnicos.

Pregunta 2 a Realiza procedimiento del cálculo del valor futuro (Monto), mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el valor futuro (Monto).

Pregunta 2 b

Realiza procedimiento del cálculo de dinero que se habría dejado de ganar, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos.

Calcula el la cantidad de dinero que se habría dejado de ganar.

Pregunta 3 a Realiza procedimiento del cálculo del tiempo en días, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el tiempo en días.

Pregunta 3 b Realiza procedimiento del cálculo de la tasa de interés mensual, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula la tasa de interés mensual.

Pregunta 4 b Realiza procedimiento del cálculo del interés acumulado, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el interés acumulado.

Pregunta 5 a Realiza procedimiento del cálculo del descuento comercial, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el descuento comercial

Pregunta 5 b Realiza procedimiento del cálculo del valor líquido, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el valor líquido

COMPETENCIAS GENÉRICAS

Presentación de la resolución de guía.

Elabora la guía que incluye los resultados, con rigurosidad en el formato, estructura, gramática y uso del lenguaje técnico y formal en la presentación de la guía de ejercicios resuelta.

Competencia genérica.

Cumple con todas las tareas asignadas durante la resolución de la guía, de acuerdo a todos los estándares, normas y plazos, evidenciando planificación de sus actividades, acatando de manera rigurosa las normas y dentro de los plazos asignados.

PUNTAJE

MÁXIMO 84 PUNTOS OBTENIDOPUNTAJE

(6)

5

Criterio de Evaluación:Calcula valor futuro, valor actual, tiempo de duración y tasa de interés en operaciones financieras de capitalización compuesta.

Pregunta 1 Realiza procedimiento del cálculo del valor futuro (Monto), mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el valor futuro (Monto).

Pregunta 2

Realiza procedimiento del cálculo de transformación de tasas de interés mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos.

Calcula la tasa de interés.

Presenta su decisión con argumentos y cálculos técnicos.

Pregunta 3 a Realiza procedimiento del cálculo de la tasa de interés efectiva, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula la tasa de interés efectiva

Pregunta 3 b Realiza procedimiento del cálculo de la tasa de interés efectiva, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula la tasa de interés efectiva

Pregunta 4b Realiza procedimiento del cálculo de intereses para cada período, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el valor de los intereses para cada período.

Pregunta 5 a

Realiza procedimiento del cálculo de transformación de tasas para cada alternativa, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos.

Calcula la tasa de interés mensual para cada alternativa. Pregunta 5 b Presenta su decisión con argumentos y cálculos técnicos.

Elabora la guía que incluye los resultados, con rigurosidad en el formato, estructura, gramática y uso del lenguaje técnico y formal en la presentación de la guía de ejercicios resuelta.

Cumple con todas las t areas asignadas durante la resolución de la guía, de acuerdo a todos los estándares, normas y plazos, evidenciando planificación de sus act ividades, acatando de manera rigurosa las normas y dentro de los plazos asignados.

PUNTAJE

MÁXIMO 72 PUNTOS OBTENIDOPUNTAJE

(7)

6

Criterio de Evaluación:Calcula anualidades, amortización y depreciación para el planteamiento y resolución de problemas financieros.

Pregunta 1 a Calcula el valor de la cuota y procedimiento del cálculo.

Confecciona la tabla de amortización y procedimiento de aplicación.

Pregunta 1 b Calcula el valor de la amortización de capital y procedimiento del cálculo. Confecciona la tabla de amortización y procedimiento de aplicación.

Pregunta 1 c Presenta decisión con argumentos técnicos y mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos

Pregunta 2

Realiza procedimiento del cálculo del valor futuro (a través de anualidades), mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos.

Calcula el valor futuro.

Pregunta 3

Realiza procedimiento del cálculo del dividendo mensual (a través de anualidades), mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos.

Calcula el dividendo mensual.

Pregunta 4

Realiza procedimiento del cálculo del valor futuro (a través de anualidades), mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos.

Calcula el valor futuro.

Pregunta 5 Calcula el valor de la depreciación lineal y procedimiento del cálculo. Confecciona la tabla de depreciación y procedimiento de aplicación.

Elabora la guía que incluye los resultados, con rigurosidad en el formato, estructura, gramática y uso del lenguaje técnico y formal en la presentación de la guía de ejercicios r esuelta.

Cumple con todas las tareas asignadas durante la resolución de la guía, de acuerdo a todos los estándares, normas y plazos, evidenciando planificación de sus actividades, acatando de manera rigurosa las normas y dentro de los plazos asignados.

PUNTAJE MÁXIMO 60 PUNTOS _OBTENIDOPUNTAJE

(8)

INSTRUMENTO DE COEVALUACIÓN

Evalúa cada afirmación utilizando la siguiente escala de valoración:

0

1

2

3

4

Nunca Solo en

ocasiones

Frecuentemente Casi siempre Siempre

Integrantes

In te g r a n te 1 In te g r a n te 2 In te g r a n te 3 In te g r a n te 4 In te g r a n te 5

1.

2.

3.

4.

5.

Aporta con ideas útiles para el logro de los objetivos del grupo

Participa de manera activa durante todo el proceso

Propone mejoras al trabajo realizado resguardando la calidad del producto final

Cumple a tiempo con las tareas que son establecidas en el equipo

Asiste puntualmente a todas las reuniones programadas Respeta los acuerdos y las normas establecidas por el grupo

(9)

TABLA DE EQUIVALENCIA DE NOTAS Escala de Apreciación para evaluar Guía 1

Puntaje Nota Puntaje Nota

0 1 43 3,6 1 1,1 44 3,6 2 1,1 45 3,7 3 1,2 46 3,7 4 1,2 47 3,8 5 1,3 48 3,9 6 1,4 49 3,9 7 1,4 50 4 8 1,5 51 4,1 9 1,5 52 4,1 10 1,6 53 4,2 11 1,7 54 4,3 12 1,7 55 4,4 13 1,8 56 4,5 14 1,8 57 4,6 15 1,9 58 4,7 16 2 59 4,8 17 2 60 4,9 18 2,1 61 4,9 19 2,1 62 5 20 2,2 63 5,1 21 2,3 64 5,2 22 2,3 65 5,3 23 2,4 66 5,4 24 2,4 67 5,5 25 2,5 68 5,6 26 2,5 69 5,7 27 2,6 70 5,8 28 2,7 71 5,8 29 2,7 72 5,9 30 2,8 73 6 31 2,8 74 6,1 32 2,9 75 6,2 33 3 76 6,3 34 3 77 6,4 35 3,1 78 6,5 36 3,1 79 6,6 37 3,2 80 6,6 38 3,3 81 6,7 39 3,3 82 6,8 40 3,4 83 6,9 41 3,4 84 7 42 3,5

Puntaje Nota Puntaje Nota

0 1 37 3,6 1 1,1 38 3,6 2 1,1 39 3,7 3 1,2 40 3,8 4 1,3 41 3,8 5 1,3 42 3,9 6 1,4 43 4,0 7 1,5 44 4,1 8 1,6 45 4,2 9 1,6 46 4,3 10 1,7 47 4,4 11 1,8 48 4,5 12 1,8 49 4,6 13 1,9 50 4,7 14 2 51 4,8 15 2 52 4,9 16 2,1 53 5 17 2,2 54 5,1 18 2,3 55 5,2 19 2,3 56 5,3 20 2,4 57 5,4 21 2,5 58 5,5 22 2,5 59 5,6 23 2,6 60 5,8 24 2,7 61 5,9 25 2,7 62 6 26 2,8 63 6,1 27 2,9 64 6,2 28 2,9 65 6,3 29 3 66 6,4 30 3,1 67 6,5 31 3,2 68 6,6 32 3,2 69 6,7 33 3,3 70 6,8 34 3,4 71 6,9 35 3,4 72 7 36 3,5

(10)

Puntaje Nota Puntaje Nota Puntaje Nota

0 1 20 2,7 40 4,5 1 1,1 21 2,8 41 4,6 2 1,2 22 2,8 42 4,8 3 1,3 23 2,9 43 4,9 4 1,3 24 3,0 44 5 5 1,4 25 3,1 45 5,1 6 1,5 26 3,2 46 5,3 7 1,6 27 3,3 47 5,4 8 1,7 28 3,3 48 5,5 9 1,8 29 3,4 49 5,6 10 1,8 30 3,5 50 5,8 11 1,9 31 3,6 51 5,9 12 2,0 32 3,7 52 6 13 2,1 33 3,8 53 6,1 14 2,2 34 3,8 54 6,3 15 2,3 35 3,9 55 6,4 16 2,3 36 4,0 56 6,5 17 2,4 37 4,1 57 6,6 18 2,5 38 4,3 58 6,8 19 2,6 39 4,4 59 6,9 60 7

(11)

Registro de Evaluaciones

Alumno

Notas Obtenidas Promedio

Guías (15% de la nota final) Promedio Coevaluación (5% de la nota final) Guía 1 Guía 2 Guía 3 Coevaluación 1 Coevaluación 2 Coevaluación 3

(12)

Guía 1: Interés Simple

1. EL VALOR DEL DINERO.

1.1. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.

El valor del dinero cambia con el tiempo; un peso recibido en fecha futura, no tiene el mismo valor que el mismo peso recibido hoy; todo dinero recibido HOY tiene la posibilidad de invertirse en alguna actividad que genere intereses, por uno o más períodos.

Varios factores afectan al valor del dinero y hace que éste pierda valor en el tiempo; alguno de ellos son:

-

La Inflación

, que es un incremento

generalizado de los precios, y por tanto, hace perder poder adquisitivo al dinero.

-

El Riesgo

, en que se incurre al prestar o invertir dinero, puesto que no existe certeza absoluta de recuperar nuestra inversión.

-

La Oportunidad

que tendría el dueño del dinero en invertir en otra actividad económica, que le genere un beneficio, lo proteja del riesgo y también de la inflación.

Estos factores, que afectan al valor del dinero, se expresan o

materializan en la

Tasa de Interés

. Así por ejemplo, si prestamos una

cantidad de $ 100.000 por un mes y cobramos un interés mensual del 3%, estamos considerando que la inflación del período será menor al tipo de interés, las oportunidades que se dejarán de lado por prestar el dinero, tienen un beneficio menor o igual al 3% y el riesgo es el mismo o menor que la mejor alternativa desechada, por elegir esta.

Ejemplo:

El escritorio que deseo comprar vale hoy $ 150.000, pero como ahora tengo otras prioridades, postergo la compra un año, sabiendo que la inflación será del 4% para todo el período. Cuando compre el escritorio deberé pagar $ 156.000 que corresponden al valor original de $ 150.000 más el 4% del valor, producto de la inflación ($ 6.000).

Esto lo podemos expresar de la siguiente manera: (150.000 + (150.000 * 0,04)) = 156.000

Valor Interés Valor a

El Valor del Dinero en el Tiempo es uno de los conceptos fundamentales en Matemáticas Financieras, porque establece una equivalenciaentrevaloresque sepercibiránenelfuturo,con valoresaldíadehoy.Siempre será preferible contar con un peso hoy, que un peso en el futuro, porque el peso hoy,

tieneposibilidadesdegenerar intereses, mientras que el mismopesoenelfuturo,está sujetoaincertidumbre.

(13)

1.2. TASA DE INTERES.

La Tasa de interés representa el costo del dinero que se obtiene en préstamo o el beneficio para quien presta el dinero y se expresa como un porcentaje del capital; la tasa de interés es válida por un período de tiempo (días, semanas, meses, años). Normalmente, la unidad de tiempo utilizada para expresar las tasas de interés es un año. Se simboliza con

la letra “i”.

Ejemplo:

Las tasas de interés aplicables a las operaciones comerciales y financieras, cambian frecuentemente y se fijan, en la mayoría de los casos, con base a una tasa de referencia, que en nuestro medio es la

TPM (tasa de política monetaria).

1.3. TIPOS DE TASA DE INTERES.

1.3.1. Tasa Nominal:

Es la tasa de interés convenida en operaciones comerciales y registrada en los contratos, que tiene la característica de capitalizarse más de una vez en el año.

Ejemplo:

$ 50.000 solicitado en préstamo al 20% anual, capitalizable trimestralmente, generará un monto de $ 60.775 al término de un año. Trimestralmente ocurrirá lo siguiente:

- Primer trimestre: (50.000 * (1 + 0,05)) =

52.500.-- Segundo trimestre: (52.500 * (1 + 0,05)) =

55.125.-- Tercer trimestre: (55.125 * (1 + 0,05)) =

57.881.-- Cuarto trimestre: (57.881 * (1 + 0,05)) =

60.775.-La tasa nominal se capitaliza 4 veces en el año (una por cada trimestre) y se aplica al capital que se modifica en cada trimestre; el factor (1 +

0,05) es el “factor de capitalización”

que se obtiene de (0,20 / 4 = 0,05) y en términos resumidos puede escribirse como:

(1 + 0,05)

4

31%

anual

Significa que por cada $ 100 prestados, el

deudor pagará $ 31 al año, hasta que el deudor devuelva el capital pedido en préstamo.

3,5%

mensual

Significa que el deudor pagará $ 3,5 cada mes, por cada $ 100 pedidos en préstamo, hasta que pague la totalidad del capital solicitado.

T.P.M=TasadePolítica Monetaria.

Eslatasadeinterésfijada por elBanco central para

las operaciones

interbancarias. Puede decirse,querepresentael costoque unBancodebe asumir, por pedir dinero prestado a otro banco, a un día plazo, expresado entérminosanuales. La TPM está relacionada conlainflación;esporeso que el Banco Central revisamensualmenteesta tasaydecidemantenerla, subirla o bajarla, dependiendo de la evolución que ha experimentado la inflación.

(14)

1.3.2. Tasa Efectiva:

S

e define como “la tasa de interés capitalizable

una vez al año que equivale a una tasa nominal “i” capitalizable “m”

veces al año.”

1

La Tasa Efectiva representa la tasa de rendimiento del capital invertido a un año, debido a la capitalización de los intereses. La expresión que establece la equivalencia entre una tasa nominal y efectiva es la siguiente:

= 

_{(expresión 1.3.2)}





Donde:

i (e) = tasa efectiva.

m = n° de capitalizaciones de la tasa nominal.

Ejemplo:

Se invierten $ 50.000 por un año, a un interés del 20% anual, capitalizable trimestralmente. Dado que existen 4 períodos de capitalización en el año (uno por cada trimestre) la tasa efectiva que es equivalente a la tasa nominal, será:

i (e) = (1 + 0,20 / 4)4

–

₁

i (e) = 1,21551

–

1

i (e) = 0,21551 % anual

Por tanto, la inversión de los $ 50.000 por un año, a un 20% nominal, capitalizable trimestralmente, generará realmente un interés del 21,551% anual.

1.3.3. Tasa Anticipada:

Si los intereses que genera una inversión, se reciben o se pagan al inicio del período de la operación, entonces se dice

que la tasa de interés es “

anticipada”.

Dada una Tasa vencida es posible convertirla en Anticipada usando la expresión siguiente:

= 

_{∗}

(expresión 1.3.3.)

Donde:

i(a)

= Interés Anticipado.

i(v

) = Interés Vencido.

(15)

Ejemplo:

Solicitamos un préstamo de $ 100.000 a un interés del 4,5% mensual anticipado. Significa que nos cobrarán $ 4.500 por intereses, que se rebajarán inmediatamente de los $ 100.000 y recibiremos, por tanto, $ 95.500.- A fin de mes, devolveremos los $ 100.000 solicitados.

1.3.4. Tasa Vencida:

Si los intereses que genera una inversión, se reciben o se pagan al término del período de la operación, entonces se

dice que la tasa de interés es “vencida”.

Ejemplo:

Solicitamos un préstamo de $ 100.000 a un interés del 4,5% mensual vencido. Significa que pagaremos $ 4.500 de intereses al final del mes, más los $ 100.000 solicitados; en total, pagaremos $ 104.500 a fines de mes.

1.3.5. Tasa Interés Real:

Se relaciona estrechamente con la tasa de interés nominal y la inflación del período. Si existe una tasa de inflación que afecte a una tasa nominal para un período específico, entonces la Tasa Real será la que proviene de la Tasa Nominal ajustada por la inflación del período. La Tasa Real es el rendimiento que se obtiene de una inversión, una vez descontada la inflación.

La expresión utilizada para obtener una Tasa Real, a partir de una Nominal es:

= 



₍

_



_



_

_{)}



(expresión 1.3.5.) Donde: t(r) = Tasa Real. t(n) = Tasa Nominal.

t(i) = Tasa de Inflación del período (generalmente el valor del IPC)

Ejemplo:

La oferta de un Banco para depósitos a 30 días es del 4,5% nominal; si el IPC para el mismo período es de 3% ¿cuál es la tasa real que oferta el Banco?

Es importante observar que Tasa de Inflación y Tasa Nominal estén expresadas en el mismo período de tiempo, para poder usar la expresión anterior; en este caso, sí se cumple. Si no lo fuera, la tasa nominal debe convertirse al período en el cual se expresa la tasa de inflación.

“La Inflación es un fenómeno económico

que secaracterizaporel incremento continuo y generalizado de los precios de los bienes y servicios producidos por la economía de un país. Lainflaciónocasionaque el poder de compra o adquisitivo del dinero, disminuya.”

(Héctor Manuel Vidaurri, Matemáticas

Financieras, 4ª edición, página282).

(16)

t(r) = ((1 + 0,045) / (1 + 0,03))

–

1 t(r) = (1,045 / 1,03)

–

1

t(r) = 0,0146

t(r) = 1,46% real mensual

1.4. VARIABLES INVOLUCRADAS EN EL INTERES SIMPLE.

Las variables que intervienen en el cálculo del interés simple son:

-

Un Capital Inicial,

designado con la letra “C” y que corresponde a la suma de dinero que se recibe en préstamo, o se invierte en alguna actividad que produzca beneficio. Podemos decir que es la parte más importante de una operación comercial y que por tal motivo, recibe el nombre de Principal.

- Un Período de Tiempo, designado con la letra “n” y que

corresponde a la diferencia entre la fecha de entrega del capital y su devolución. En operaciones comerciales, se consideran meses de 30 días y año base de 360 días; a esta modalidad se le denomina

“período comercial”. Otra modalidad, considera trabajar con un año

base de 365 días y meses según corresponda al calendario; a esta

modalidad se le denomina “período exacto”.

-

Una Tasa de Interés, designada

con la letra “i” y que representa el retorno sobre la inversión o el costo del capital obtenido en préstamo. Se expresa en %. La tasa de interés puede ser: Anticipada, Vencida, Nominal, Real, Equivalente, según se ha detallado anteriormente.

-

Un Capital F

inal o Monto, designadocon la letra “M” que corresponde a la suma del Capital Inicial más los Intereses que se

generen en el período de tiempo especificado en “n”. Representa la

suma recibida por el inversionista al final del período o bien, a la cantidad de dinero que debe pagar quien recibiera cierta cantidad en préstamo.

- Todas estas variables se representan en la expresión general del

Interés Simple:

(17)

2. INTERES SIMPLE.

2.1. DEFINICION:

“El Interés es simple cuando se paga al final de un intervalo de tiempo

previamente definido, sin que el capital original varíe. Lo anterior significa que el interés no forma parte del capital originalmente prestado o invertido en ningún momento, esto es, los intereses no

ganan intereses.”

2

“El interés se expresará en forma simple cuando la base del cálculo no

incluye intereses, es decir, el interés está referido siempre a un capital inicial, por lo que no producirá el efecto de calcular intereses sobre i

ntereses.”

3

Ambas definiciones coinciden en lo siguiente:

- Un capital original que no se modifica.

- Intereses calculados sobre ese capital.

- Intereses generados que no ganan nuevos intereses.

¿En qué operaciones financieras se usa el Interés Simple?

Se usa principalmente en operaciones a corto plazo, como créditos e inversiones a menos de un año.

En síntesis, si usted presta dinero o recibe en préstamo alguna cantidad, por un plazo de un año o menos, pagará o recibirá una cantidad mayor a la original; la diferencia entre ambas, constituyen los intereses generados en el período, los que serán calculados en base al capital inicial.

El interés a pagar o el que se cobrará por una deuda, depende de la cantidad de dinero pedida en préstamo o invertida y el plazo o tiempo en que se usará tal cantidad.

2_{Héctor Manuel Vidaurri, Matemáticas Financieras, página 143, 4ª. Edición.}

(18)

2.2. EXPRESIONES MÁS USADAS EN INTERES SIMPLE.

2.2.1. Monto o Valor Futuro:

Corresponde a la suma del capital, más el

interés ganado en el período de tiempo y se simboliza con la letra “M”.

M = C + I

(ecuación 2.2.1)

2.2.2. Intereses o Rendimientos Ganados

: Corresponde a la diferencia entre el Monto obtenido al final del período y el Capital Inicial invertido

“C”.

I = M

–

C

(ecuación 2.2.2)

2.2.3. Intereses Ganados por período de Tiempo:

Corresponde al

producto entre el Capital Inicial “C”, el período de tiempo “n” en que se

invertirá o utilizará dicho capital y la tasa de interés “i” que se aplicará

para el período.

I = C * n * i

(ecuación 2.2.3)

2.2.4. Monto o Valor Futuro (expresión más general):

Corresponde al valor que rendirá una inversión al final de un período de tiempo dado, a una tasa de interés acordada; es decir, el Valor Futuro de una inversión está en función del tiempo y la tasa de interés que se aplicará. Se expresa como:

 =  ∗    ∗ 

_{ó ..}

2.2.5. Capital o Valor Presente:

Dado un valor que se recibirá en el futuro, se establece una equivalencia a un valor al día de hoy, que corresponderá al Capital Inicial o Valor con que se iniciará una operación comercial que tendrá sus resultados en el futuro. El Valor Futuro se descuenta a su tasa de interés, por el período de tiempo involucrado en la operación. Se expresa como:

= 

_{∗}

(19)

3.- EJERCICIOS RESUELTOS.

3.1)

Usted cuenta con $ 350.000 que desea ahorrar, para comprar una moto que hoy tiene un

precio de $ 500.000. El Banco Continental le oferta un interés del 12% anual y el Banco Americano le oferta un interés del 7,5% semestral.

a) ¿Qué alternativa le conviene más?

Para poder realizar la comparación, deben igualarse las tasas de interés a un mismo período, que, por ejemplo, puede ser meses; (puede elegirse cualquier otro período).

Banco Continental: (0,12 / 12) = 0,010 mensual Banco Americano: (0,075 / 6) = 0,0125 mensual

Elegimos a tasa ofertada por el Banco Americano porque en un mismo período de tiempo, oferta un interés mayor que el ofrecido por el Banco Continental.

b) ¿Por cuánto tiempo deberá mantener el depósito en el Banco de la mejor alternativa?

El plazo en que el capital debe estar depositado a esa tasa se obtiene de la

ecuación 2.2.4

en

donde el Monto o Valor Futuro es el valor de la moto ($ 500.000), el Capital los $ 300.000 y la tasa de interés, la ofertada por el Banco Americano:

M = C * (1 + (i * n))

500.000 = 350.000 * (1 + (0,0125 * n)) 1,4286 = 1 + (0,0125 * n)

0,4286 = 0,0125 * n

34,29 = n (34 meses y aproximadamente 9 días más)

3.2)

Roberto obtiene un préstamo del Banco Concordia, por $ 1.000.000 a un año y medio de

plazo, con un interés del 2,35% mensual; el acuerdo con el Banco, es que Roberto pague mensualmente los intereses y al término del plazo, pague el Capital (Principal).

a) ¿Cuánto debe pagar cada mes, por concepto de intereses?

Usando la

ecuación 2.2.1

calculamos el interés mensual que debe pagar Roberto:

M = (C * i)

M = (1.000.000 * 0,0235) M = 23.500 por mes

(23.500 * 18 meses) = $ 423.000

b) ¿Cuánto pagará al término del plazo?

Luego, Roberto debe pagar el principal más los intereses: (1.000.000 + 423.000) = $1.423.000

(20)

3.3

) Usted tiene la alternativa de adquirir en una Casa Comercial, un artículo que pagando al contado, tiene un valor de $ 80.000 y al crédito, un valor de $ 95.800, el que puede pagarse en 3

meses más,

¿Qué tasa de interés le aplica la casa comercial?

La incógnita es la tasa de interés mensual, aplicada al artículo al crédito. Usando la

ecuación

2.2.4

reemplazamos las variables conocidas:

95.800 = 80.000 * (1 + (i * 3)) 1,1975 = 1 + 3(i)

0,1975 = 3 (i)

0,06583 = i es decir: 6,583% mensual

3.4)

Los compromisos con el Sr González, su Proveedores habitual, para los próximos 3 meses

son de $ 270.000, $ 300.000 y $ 370.000 respectivamente. El tipo de interés acordado fue del 5,5% mensual. Debido a que cuenta con cierto efectivo disponible, decide liquidar el 50% de su deuda hoy día.

¿Qué cantidad de dinero debe entregar hoy al Sr González?

Debido a que los pagos se encuentran en fechas futuras, debemos traer cada una al momento presente, usando la tasa de interés, como tasa de descuento, sumar cada valor y luego, calcular el 50% de este total. El diagrama siguiente explica esta situación:

Usando la expresión siguiente, descontamos cada valor por su tasa de interés y el tiempo:

C = M / (1 + (i * n)) ecuación 2.2.5

Primer mes: C = 270.000 / (1 + (0,055 * 1)) C = 270.000 / 1,055 C = 255.924 Segundo mes: C = 300.000 / (1 + (0,055 * 2)) C = 300.000 / 1,11 C = 270.270 Valor Presente 270.000 300.000 370.000

(21)

Tercer mes: C = 370.000 / (1 + (0,055 * 3)) C = 370.000 / 1,165 C = 317.597 Valor Presente: (255.924 + 270.270 + 317.597) Valor Presente: $ 843.791

El 50% de este valor es: (843.791 * 0,5) = 421.896

Por lo tanto, deberá entregar al Sr. González la cantidad de $ 421.896 que, al día de hoy, representa el 50% del total de la deuda que mantiene con él.

3.5)

Juan José compró un teléfono celular entregando un pie del 10% del precio contado; por el

resto del valor, firmó un pagaré por $ 145.000 a vencer en 2 meses más. La tasa de interés aplicada fue del 18,55% anual.

En este ejercicio se observa que la tasa de interés y el plazo se encuentran expresados en distintos tiempos, por lo que será necesario expresarlas en uno solo, siendo el más conveniente, meses. Luego, deberá traerse a valor presente el valor futuro del pago, que representa el 90% del precio de contado del celular.

a) ¿Cuál es el valor al contado del teléfono celular?

Conversión de la Tasa de Interés:

(0,1855 / 12) = 0,0155 es decir: 1,55% mensual.

Valor al contado del artículo usando la

ecuación 2.2.5

:

C = 145.000 / (1 + (0,0155 * 2)) C = 145.000 / 1,031

C = $ 140.640 que representa el 90% del valor total, HOY. Valor al Contado= (140.640 / 90) * 100

Valor al Contado= $ 156.267

b) ¿Cuánto dinero entregó como pie, Juan José?

Valor entregado de Pie (10% del valor total):

(22)

15.627.-3.6)

Las Cuentas por Cobrar de su negocio ascienden a $ 3.600.000 y tienen fecha de vencimiento en 90 días más; dada su necesidad de efectivo, decide liquidarlos hoy, con una institución financiera, que le oferta un 2,85% mensual vencido. La operación tiene gastos

notariales de $ 3.000.

¿Cuánto dinero recibe hoy día, si decide realizar la operación?

Esta es una operación comercial conocida como “Descuento

Comercial” que utiliza una tasa de descuent

o Anticipada como la descrita en página 3 de este apunte. Por lo tanto:

El primer paso,

es convertir una tasa Vencida Mensual, por un período de 3 meses (90 días) en Tasa Anticipada, usando la

Expresión 1.3.3.

i(a) = i(v) / (1 + (i(v) * n))

i(a) = 0,0285 / (1 + (0,0285 * 3)) i(a) = 0,0285 / 1,0855

i(a) = 0,02626 Tasa mensual anticipada 2,626%

El segundo paso,

es descontar el valor de los documentos que vencen a 90 días, usando la Tasa Anticipada; esto es, obtener el Descuento Comercial (DC):

DC = Valor del documento * Tasa Anticipada * Período Tiempo

DC = 3.600.00 * 0,02626 * 3

DC = 283.608 Representa lo que cobrará la Institución

Comercial por recibir documentos a vencer en 3 meses más.

El tercer paso,

es realizar la liquidación para determinar cuánto dinero recibirá quien entrega los documentos:

Valor de los documentos a descontar 3.600.000

Menos: Descuento Comercial (283.608)

Menos: Gastos Notariales (3.000)

Igual: Líquido a Recibir

3.313.392

“ElDescuentoComerciales unaoperaciónfinanciera mediantelacualuna empresaliquidasuinversión enDocumentosporCobrar antesdelafechade vencimiento,cancelandouna ciertasumadedinero, llamada“Descuento”como gastofinancierodela operación. Elgastofinancierosecalcula enbasealvalornominaldel documento,latasade interésanticipadayun períododetiempoqueva entrelafechade negociación…..ylafechade vencimiento.” (JaimeMarchantGarcía, “MatemáticasFinancieras” página50,EditorialJurídica ConosurLtda.)

(23)

GUÍA 2: INTERES COMPUESTO

1. INTERES COMPUESTO.

1.1. DEFINICION.

“Se puede definir al Interés Compuesto como la operación

financiera en la que el capital aumenta al final de cada período por adición de los intereses vencidos.

El período convenido para convertir el interés en capital, se llama

período de capitalización o período de conversión

.”

4

“El interés se expresará en forma compuesta, cuando la base del

cálculo, período tras período, es el capital final inmediatamente anterior, de tal manera que se producirá el efecto de calcular

interés sobre interés.”

5

1.2. CAPITALIZACION.

Es el proceso en el cual los intereses generados al final del período se adicionan al capital inicial, de tal forma que, para el período siguiente, el proceso se inicia con un capital mayor.

Por ejemplo, un período de

capitalización trimestral

significa que

al término de cada trimestre los intereses generados se adicionarán al capital inicial, para repetir el proceso en el trimestre siguiente;

en est

e caso, se dice que “el período de capitalización es trimestral”.

Existen varios períodos de capitalización, que pueden ser:

Cuando los intereses se capitalizan cada: La Frecuencia de capitalización es: Año 1 Semestre 2 Cuatrimestre 3 Trimestre 4 Bimestre 6 Mes 12 Quincena 24 Semana 52 Día 360

El período de capitalización es indispensable para efectuar el cálculo del interés compuesto; tanto la tasa de interés como el período de capitalización deben estar expresados en la misma

unidad de

tiempo: por ejemplo: “Capitalización trimestral y período

en trimestres.”

4José Manuel Vidaurri, “Matemáticas Financiera” Ediciones CENGAGE.

(24)

Ejemplo

: Se tiene una tasa de interés del 24% anual, capitalizable bimestralmente; al realizar los cálculos, la tasa de interés se convertirá en una tasa bimensual:

(0,24 / 6) = 0,04 ó 4% cada 2 meses.

Ejemplo:

Se cuenta con $ 750.000 que se depositan al 18% anual, capitalizable mensualmente, por un plazo de 4 meses; el monto que se obtendrá al término del plazo será (detalle mes por mes):

Tasa de Interés mensual: (0,18 / 12) = 0,015 ó 1,5%

Mes Capital al inicio del mes Tasa de interés Intereses ganados en el mes Capital al final del mes

1 750.000 0,015 11.250 761.250

2 761.250 0,015 11.419 772.669

3 772.669 0,015 11.590 784.259

4 784.259 0,015 11.764 796.023

1.3. EXPRESIONES MÁS USADAS EN INTERES COMPUESTO.

1.3.1. Capital Final o Monto:

Permite obtener un valor al final en un período de tiempo especificado, dada una tasa de interés y su correspondiente capitalización:

M = C * (1 + i)

n

Ecuación 1.3.1.

Donde:

M = Monto al final del período. C = Capital inicial.

i = Tasa de interés compuesto n = Plazo o período considerado.

(25)

Ejemplo:

Con el propósito de aprovechar la disponibilidad de efectivo por 180 días, se depositan $ 350.000 en el Banco de Crédito a una tasa del 1,6% mensual, capitalizable mensualmente. ¿Qué cantidad de dinero se retirará al término del plazo?

Respuesta:

La tasa de interés y el período de capitalización están expresados en la misma unidad de tiempo, por tanto no es necesario convertir la tasa. Un período de 180 días equivale a (180 / 30) = 6 meses. Luego, aplicando la ecuación 1.3.1 obtenemos:

M = 350.000 * (1 + 0,016) 6

M = 350.000 * (1,099923) M = 384.973

1.3.2.- Capital Inicial:

Dado un Capital Final o Monto, es posible obtener el Capital Inicial, si tasa de interés y plazo son conocidos. La expresión que usamos para esto es:

Ejemplo:

El próximo vencimiento de $ 450.000 tendrá lugar en 60 días más. La tasa de interés aplicada en su oportunidad fue de un 15% anual, capitalizable mensualmente; Usted desea saber cuál es el valor de la deuda al día de hoy.

Respuesta:

Tasa mensual: (0,15 / 12) = 0,0125

Período: (60 / 30) = 2 meses

Usando la ecuación 1.3.2 obtenemos:

C = 450.000 / (1 + 0,0125) 2

C = 450.000 / 1,02516

C = 438.957 Valor de la deuda al día de hoy.

= 

_{}



Ecuación 1.3.2

FactoresdeCapitalizacióny Descuento:

Factor de Capitalización: Permite proyectar un valor presenteaunvalorfuturodada unatasadeinterés“i”durante un período “n” de tiempo. Su expresiónes:

(1+i)

Factor de Descuento: Permite obtener el valor hoy, de un valorfuturoomonto,dadauna tasa deinterés “i” durante un período de tiempo “n”. Su expresiónes:

(26)

1.3.3. Cuota Fija en Crédito Comercial:

Dado el valor presente de un artículo (precio de contado), es común que se acceda a pagar a plazo, en cuotas iguales, hasta extinguir el total del crédito. Esta modalidad incluye una tasa de interés y un plazo. Se asocia un valor presente, con un valor futuro, vía tasa de interés. Su expresión más general es:

Valor Contado = Cuota * (1 / (1 + i) + 1 / (1 + i)2_{+ 1 / (1 + i)}3

_+…)

Expresión que representa una proyección geométrica, que puede escribirse como:

 =∗[

_{Ecuación 1.3.3}

_{ ]}

−

Ejemplo:

El precio al contado de un computador portátil es de $ 350.000, pero la casa comercial entrega un crédito de 6 meses, con un interés del 3,5% mensual compuesto; el cliente accede al crédito y desea saber cuál es el valor de la cuota que pagará cada mes.

Respuesta:

Plazo y tasa de interés están expresadas en la misma unidad de tiempo, luego, no es necesario realizar conversiones. Aplicando la ecuación 1.3.3 tenemos:

350.000 = Cuota * (1

–

(1 + 0,035)-6_{/ 0,035)}

350.000 = Cuota * (1

–

0,813501) / 0,035)

350.000 = Cuota * (5,32855) 65.684 = Cuota

Pagará 6 cuotas iguales a $ 65.684, por tanto, pagará (65.684 * 6) = $ 394.104.

(27)

2. EJERCICIOS RESUELTOS.

2.1. Valor Futuro.

2.1.1. Luis Andrés debe decidir si depositar $ 1.000.000 en el Banco Santander que le oferta un 21% anual capitalizable semestralmente, o en el Banco CorpBanca que le oferta un interés del 18% anual, capitalizable trimestralmente. En ambos casos, el período del depósito sería de 1 año.

Usando la

ecuación 1.3.1

obtenemos el valor futuro dado un valor presente; las ofertas varían

en el número de veces de la capitalización de los intereses; mientras más veces se capitalicen los intereses en el período de un año, el valor final será mayor; por tanto:

Oferta Banco Santander: La tasa de interés se capitaliza dos veces en el año y el período del depósito son dos semestres.

M = 1.000.000 (1 + 0,21/ 2)2

M = 1.000.000 (1,221025) M = 1.221.025

Oferta Banco CorpBanca: La menor tasa de interés se capitaliza 4 veces en el año y el período del depósito son 4 trimestres.

M = 1.000.000 (1 + 0,18 / 4)4

M = 1.000.000 (1,192519) M = 1.192.519

Por tanto, la oferta del Banco Santander es preferible porque genera un monto mayor.

2.1.2. Con el propósito de financiar estudios superiores, Juan Alberto depositó $ 2.350.000 por 4 años, en el Banco Penta, que le ofertó una tasa del 16% anual, capitalizable cuatrimestralmente. ¿Qué cantidad retirará al término del período?

Se desea obtener un valor futuro, usando una tasa de interés que se capitaliza 3 veces en el año, por un período de 4 años.

M = 2.350.000 (1 + 0,16 / 3)12

M = 2.350.000 (1,54053) M = 3.620.241

(28)

2.1.3. La Panadería de Benjamín Castro tiene un costo de energía de $ 45.000 mensuales y se estima que se incrementará un 0,25% cada mes, durante los próximos 12 meses. ¿Cuál será el costo de la energía de la panadería, al cabo de un año? ¿En qué porcentaje se habrá incrementado este costo?

Los incrementos del 0,25% cada mes implican incrementos sobre incrementos; si realizamos la operación mes por mes, tendríamos:

Mes 1:

M = 45.000 (1 + 0,0025) M = 45.113

Mes 2:

M = 46.113 (1 + 0,0025) M = 45.226

Mes 3:

M = 45.226 (1 + 0,0025) M = 45.339

….Y así sucesivamente, hasta 12 meses. En forma abreviada, podemos obtener e

l mismo resultado.

M = 45.000 (1 + 0,0025)12

M = 45.000 (1,030416) M = 46.369

Al término de un año. El porcentaje de incremento anual será:

Incremento Anual = ((Valor Final

–

Valor Inicial) / Valor Incial) * 100

Incremento Anual = ((46.369

–

45.000) / 45.000) * 100

Incremento Anual = 0,03042 Es decir, un 3,042% anual.

(29)

2.2. Valor Actual.

2.2.1. Sus próximos compromisos son de $ 260.000 a 90 días y $ 310.000 a 180 días. Ambos pagos incluyen un interés del 9,5% anual capitalizable mensualmente. Debido a que dispone de cierto efectivo, desea cancelar la deuda total, al día de hoy. ¿Cuál es el valor de la deuda al día de hoy?

Para responder a estas preguntas, es necesario conocer el valor presente de los montos que se encuentran a futuro. Dado que período y capitalización de los intereses están expresados en distintas unidades de tiempo, convertimos días en meses: así entonces 90 días equivalen a 3 meses y 180 días a 6 meses, considerando meses de 30 días.

Valor Presente de $ 260.000 en 90 días más, equivalen a: C = 260.000 / (1 + 0,095/12) 3

C = 260.000 / (1,02394) C = 253.921

Valor Presente de $ 310.000 en 120 días más, equivalen a: C = 310.000 / (1 + 0,095/12) 6

C = 310.000 / (1,04845) C = 295.675

Por tanto, la deuda al día de hoy corresponde a la suma de ambos valores al día de hoy: Deuda al día de hoy = (253.921 + 295.675) = 549.596

(30)

2.2.2. Josefa está vendiendo su automóvil Mercedes Benz en $ 8,0 millones. Carla le ofrece $ 7,5 millones ahora y Patricia le ofrece $ 1,0 millón al contado y dos pagos de $ 4,0 millones cada uno, a 6 y 10 meses plazo, respectivamente. Josefa puede invertir este dinero en el Banco BCI a una tasa del 1,3% mensual, con capitalización mensual. ¿Qué le recomendaría Usted a Josefa?

Para decidir, Josefa debe comparar ambas alternativas, en Valor Presente; la oferta de Patricia son valores que se obtendrán a 6 y 10 meses respectivamente, más el pago de contado. La oferta de Carla, es dinero HOY. Para traer a Valor Presente, Josefa debe usar la tasa de interés, que representa la oportunidad de inversión de su dinero.

Valor Presente del primer pago: C = 4.000.000 / (1 + 0,013) 6 C = 4.000.000 / (1,080579) C = 3.701.719

Valor Presente del segundo pago: C = 4.000.000 / (1 + 0,013) 10 C = 4.000.000 / (1,137875) C = 3.515.325

Por lo tanto, la oferta de Patricia al día de hoy es: Oferta Patricia =(1.000.000 + 3.701.719 + 3.515.325) Oferta Patricia = 8.217.044

Oferta de Carla = 7.500.000

Josefa debe aceptar la oferta de Patricia, que en el día de hoy, representa más dinero que el ofertado por Carla.

2.2.3. Por concepto de beneficios en una inversión realizada tiempo atrás, Ud recibirá $ 2.220.000 ahora, $ 3.100.000 dentro de 120 días más y $ 5.550.000 en 10 meses más. Si la tasa de rentabilidad aplicada a la inversión fue del 18% anual, capitalizable cada 2 meses, ¿Cuál es el valor hoy, de su inversión?

Para conocer el valor hoy, de ingresos futuros, realizamos la misma operación que en el ejercicio anterior; usamos la tasa de interés como tasa de descuento, previa transformación de los plazos expresados en días, para los distintos ingresos, en plazos expresados en bimestres.

Valor Hoy del segundo ingreso (120 días = 4 meses ó 2 bimestres)

C = 3.100.000 / (1 + 0,18/6)2

C = 3.100.000/ (1,0609) C = 2.922.047

Valor Hoy del tercer ingreso (10 meses = 5 bimestres)

C = 5.550.000 / (1 + 0,18/4)5

C = 5.550.000 / (1,246182) C = 4.453.603

(31)

2.3. Plazo de la Operación.

2.3.1. Usted dispone de un capital de $150.000 que desea triplicar, para lo cual, lo depositará en el Banco Continental a un interés del 20% anual, con capitalización cuatrimestral. ¿Cuánto tiempo deberá permanecer depositado su capital, para lograr su objetivo?

Triplicar un capital de $ 150.000 significa obtener al final de un período, un monto de (150.000*3)=450.000, a cierta tasa de interés, que en este caso, se capitaliza 3 veces al año. La

incógnita es el plazo “n” que para resolver, usamos logaritmos:

450.000 = 150.000 (1 + 0,20 / 3)n

3 = (1 + 0,20 / 3)n

Aplicando logaritmo a ambos lados: Log (3) = n log (1 + 0,20 / 3)

Resolviendo lado derecho: Log (3) = n log (1,0667) Resolviendo logaritmos: 1,0986 = n * (0,0645698) Despejando la incógnita: 17,014 = n

Algo más de 17 cuatrimestres que equivalen a algo más de 68 meses.

2.3.2. Usando los mismos datos del problema anterior, excepto que la capitalización es ahora, bimensual. ¿En cuánto tiempo logra el mismo objetivo?

Si la capitalización es bimensual, la tasa de interés se capitaliza 6 veces en el año; luego, usando el mismo procedimiento de la pregunta anterior, resolvemos:

450.000 = 150.000 (1 + 0,20 / 6) n 3 = (1 + 0,20 / 6)n Aplicando logaritmo: Log (3) = n log (1,03333) Resolviendo logaritmos: 1,0986 = n (0,032787) 33,51 = n

(32)

2.4. Tasa de Interés.

2.4.1. Juan Pablo dispone hoy de $ 115.000 y necesita obtener $ 250.000 para comprar el equipo de video juego que desea. Para tal efecto, se fijó un plazo de 12 meses en que mantendrá depositado su dinero. Juan Pablo busca una institución financiera que le ofrezca la tasa de interés adecuada para cumplir con su objetivo, considerando una capitalización mensual.

Aplicando la ecuación 1.3.1 considerando que la incógnita es la tasa de interés y la capitalización es mensual (12 veces en el año) resolvemos:

250.000 = 115.000 (1 + i)12

2,17391 = (1 + i)12_/

12

_{√ Aplicando raíz 12, tenemos:}

12

_{√ 2,17391 = (1 +i)}

Resolviendo raíz 12: 1,06685 = 1 + i

0,06685 = i

Es decir, un interés 6,685% mensual.

2.4.2. Por un crédito de $ 680.000 concedido por 8 meses, Usted debe pagar $ 766.015. ¿Qué tasa de interés anual, capitalizable mensualmente, se aplicó al crédito?

Aplicando el mismo procedimiento del problema anterior, considerando ahora una tasa anual, con capitalización mensual, tenemos:

766.015 = 680.000 (1 + i /12)8 1,126493 = (1 + i /12)8 8

_√

_{1,126493 = (1 + i /12)} 1,015 = (1 + i /12) 0,015 = i / 12 0,180 = i

Esto es, una tasa anual del 18%capitalizable mensualmente.

2.4.3. En 15 meses más, Roberto debe disponer de $ 13.000.000 para financiar la ampliación de su hogar. Hoy cuenta con $ 11.500.000 y los depositará en una cuenta de ahorro en Banco Consorcio, cuyos intereses se capitalizan cada quincena. ¿Qué tasa de interés anual le ofrece el

Banco Consorcio?6

Se necesita determinar una tasa de interés anual, que se capitalice 24 veces en el año (cada quincena); para tal efecto, aplicamos el procedimiento ya descrito en los dos ejercicios anteriores, para un período de 30 quincenas (15 meses):

13.000.000 = 11.500.000 (1 + i /24)30 1,130435 = (1 + i / 24)30_Aplicamos30

√

30

√

_{1,130435 = (1 + i / 24)} 1,004095 = (1 + i / 24) 0,004095 = i / 24 0,0983 = i

(33)

2.5. Operaciones Comerciales.

2.5.1. Sebastián desea comprar al crédito un computador que tiene un precio de $ 450.000 al contado. Las condiciones de compra son crédito 30, 60 y 90 días, con un pago al contado del 10% del valor y una tasa de interés del 2,5% mensual con capitalización mensual. ¿Qué cantidad entrega Sebastián al momento de la compra? ¿Cuál es el valor de la cuota mensual y cuánto paga por el computador? Sebastián entrega el 10% como pago al contado, es decir:

(450.000 * 0,10) = $ 45.000

Saldo a pagar en tres meses: (450.000

–

45.000) = 405.000

A este saldo se le aplicará un interés mensual del 2,5%. Aplicando la

ecuación 1.3.3

obtenemos el valor de la cuota:

405.000 = Cuota ((1

–

(1 + 0,025)-3_{) / 0,025)}

405.000 = Cuota (0,071400589 / 0,025) 405.000 = Cuota (2,856024)

141.806 = Cuota Valor de cada cuota.

Sebastián pagará por el computador, el valor entregado al contado, mas tres cuota iguales de $ 141.806.

Valor a Pagar = 45.000 + (3 * 141.806) = $

470.418.-2.5.2. Carlos paga $ 185.600 cada 2 meses por un crédito que obtuvo hace 4 meses atrás, en el Banco de Crédito, por un plazo de 1,5 años, a una tasa del 24% anual, capitalizable bimensualmente. ¿Qué cantidad solicitó Carlos, en préstamo? ¿Qué cantidad le resta aún por pagar?

La tasa de interés es del 24% anual y se capitaliza 6 veces en el año (0,24 / 6 = 0,04 cada 2 meses). El plazo del crédito de 1,5 años equivale a 18 meses; es decir 9 bimestres (18 / 2) y la incógnita es el valor original del crédito, que genera un pago bimensual de $ 185.600.

Valor = 185.600 (1

–

(1 + 0,04)-9_{) / 0,04)}

Valor = 185.600 (0,2974133 / 0,04) Valor = 185.600 (7, 435332)

Valor = 1.379.998

Este valor generará un pago cada dos meses de $ 185.600 por un plazo de 9 bimestres, considerando un interés del 24% anual capitalizable c/2 meses.

Dado que ya lleva pagado 2 meses, le resta aún por pagar 7 bimestres y e l valor será: (7*185.600) = 1.299.200.

En total, por un crédito de $ 1.379.998 pagará $ 1.670.400, lo que equivale a pagar $ 290.402 en intereses.

Las operaciones comerciales más comunes que usan interés compuesto, son las operaciones de crédito, en que el cliente prefiere generalmente, pagar

una cuota fija, hasta el término del plazo del crédito.

Esta cuota incluye la

amortización del capital, más el pago gradual de los intereses aplicados sobre el saldo

(34)

2.5.3. La Empresa en que trabaja Juan Carlos, dispone de $ 15 millones en efectivo y él debe buscar la mejor forma de invertirlos por un año; la mejor oferta proviene del Banco Santander por un Bono que entrega 4 cupones anuales con tasa cupón del 12% anual. Si acepta la oferta, ¿cuál es el valor de cada cupón que recibirá la Empresa por la inversión que Juan Carlos realizará?

Se debe encontrar el valor del cupón que paga el bono, cada 3 meses (4 cupones anuales); el interés del 12% anual se capitaliza trimestralmente (0,12 / 4 = 0,03). El cupón es un valor que incluirá

interés y amortización del capital. Usando la

ecuación 1.3

obtenemos: 15.000.000 = Cupón * (((1

–

(1 + 0,03)-4_{) / 0,03)} 15.000.000 = Cupón * (0,11151295 / 0,03) 15.000.000 = Cupón (3,7170984) (15.000.000 / 3,7170984) = Cupón

4.035.406 = Cupón

Cada 3 meses JuanCarlos recibirá $4.035.406 por concepto de intereses y amortización del capital. Al término del año habrá recibido $16.141.624 que representarán una ganancia de $1.141.624 (7,61% sobre el capital invertido).

2.6. Períodos de Capitalización Fraccionarios.

En los ejercicios anteriores, la capitalización de los intereses se produjo siempre bajo el supuesto de un número entero de períodos (semestres, bimestres, trimestres, etc). Sin embargo, también puede utilizarse fracciones de períodos de capitalización, como por ejemplo: 3 años y 3 meses; un año y 10 meses; 4 bimestres y 3 meses, etc. Para resolver este problema, existen dos métodos:

a) Método Exacto o Teórico:

Utilizado en la mayoría de los problemas matemáticos o ejercicios de aplicación. Consiste en dividir el plazo total en el período de capitalización de los intereses, obteniendo en la mayoría de los casos, un plazo fraccional; por ejemplo: 22% anual capitalizable trimestralmente, y un plazo de un año y 4 meses.

El plazo total en meses es de (12 + 4) = 16 meses, luego: n = 16 / 3

n = 5,33 trimestres

Un BONO es un instrumento de deuda que emiten las Sociedades Anónimas Abiertas o las

empresas del Estado, como una forma de obtener

financiamiento a sus proyectos de inversión.

En este instrumento se

especifican las “condiciones” de

la deuda, para el emisor y el inversionista, esto es, plazo, tasa de interés, capitalización, valor nominal del instrumento y período en que se pagarán los

intereses y el capital.

“Se llaman Bonos a títulos de deuda que son emitidos por gobiernos nacionales, regionales

o locales, o por empresas nacionales o internacionales, por medio de las cuales el

emisor se compromete a devolver el capital del bono, junto con los intereses producidos porel mismo.”

( www.definicionabc.com tu diccionario fácil)

(35)

Aplicación:

¿Cuál es el monto a obtener, por un depósito de $ 160.500 al 22% anual, capitalizable trimestralmente, por un plazo de un año y 4 meses?

Aplicando la ecuación 1.1 y el plazo anteriormente calculado, tenemos:

M = 160.500 * (1 + 0,22 / 4)5,33

M = 160.500 * (1,330257) M = 213.506

b) Método Comercial:

Consiste en obtener el monto compuesto para los períodos enteros de capitalización y utilizar el interés simple para la fracción de períodos, usando como capital, el monto compuesto recién obtenido. Tomando el mismo ejemplo anterior, tenemos:

Monto compuesto para períodos enteros (un año):

M = 160.500 * (1 + 0,22 / 4)4

M = 160.500 * (1,2388247) M = 198.831

Monto simple para la fracción de período (4 meses): M = 198.831 * (1 + (0,22 /12) * 4)

M = 198.831 * (1,073333) M = 213.412

(36)

3. TASA DE INTERES.

3.1. Concepto:

La Tasa de Interés representa el costo del dinero obtenido en préstamo y se expresa como un porcentaje del capital, por unidad de tiempo. Representa también el beneficio que se obtendrá al entregar una cantidad de dinero, por un tiempo dtereminado.

3.2. Tasa Nominal:

La Tasa de Interés que se capitaliza “n” veces en

el año, se denomina Tasa de Interés Nominal y es la convenida en la mayoría de las operaciones financieras.

3.3. Tasa de Interés Efectiva:

“Es la tasa de interés capitalizable una

vez al año

, que equivale a una tasa nominal “i” capitalizable “m” veces

al año.” (Héctor Manuel Vidaurri, Matemáticas Financieras, 4ta

edición, página 247). Por ejemplo, si las condiciones comerciales de un crédito plantean una tasa de interés del 18% anual, capitalizable

cada 3 meses, entonces, la “tasa de interés efectiva” del crédito será

superior al 18% ya que:

(1 + 0,18 / 4) 4 - 1 = Tasa efectiva anual (1 193) - 1 = Tasa efectiva anual

19,3% = Tasa efectiva anual

En general, una Tasa Efectiva es el rendimiento que se obtiene al término de un año, debido a la capitalización de los intereses, y se expresa como:

 =





∗

-1

Ecuación 3.3 Donde: TN = Tasa Nominal

k = N° de capitalizaciones en el período “n”

(37)

Aplicación:

Si se invierte un capital al 14,5% anual, capitalizable trimestralmente, ¿Cuál es la tasa efectiva?

TE = (1 + 0,145 / 4)4

_–

₁

TE = (1,153077)

–

1

TE = 15,31% anual que representa la tasa de interés realmente ganada en el príodo de un año.

Cuando un inversionista se enfrenta a la alternativa de elegir entre dos tasas de interés nominales distintas, con distintas capitalizaciones, la forma de decidir más conveniente, es comparar tasas efectivas y elegir aquella que entregue un rendimiento mayor.

Ejemplo:

José Tomás debe decidir si invierte su dinero en el Banco de Chile, que le ofrece una tasa de interés del 20% anual con capitalización mensual, o en el Banco Santander, que le ofrece un 22% anual, con capitaliación cada 40 días.

Para cada tasa de interés nominal, encontramos la tasa efectiva

anual, usando la

ecuación 3.3:

Para el Banco de Chile:

TE = (1 + 0,20/ 12)12

_–

₁

TE = 1, 2194

–

1

TE = 0,2194 ó 22% Efectiva Anual Para el Banco Santander:

TE = (1 + 0,22/ 9) 9

_–

₁

TE = 1,2428

–

1

TE = 0,2428 ó 24,3 % Efectiva Anual

La oferta del Banco Santander es más atractiva, por que ofrece una rentabilidad mayor.

(38)

3.4. Tasa Interés Real:

Para cada tasa nominal existirá una Tasa Real, ajustada por el período de inflación. Si tenemos una tasa de interés, para un período determinado, esta tasa se denomina

“Nominal” por q

ue incluye una tasa de inflación para el mismo

período.

Por lo tanto, eliminando el efecto inflación, podmos obtener una tasa de Interés Real, para un período dado.

Si existe una Tasa de Inflación, para un período dado, podemos obtener una Tasa Real, a partir de una Tasa Nominal, usando la expresión siguiente:

=

_{}

Ecuación 3.4

Donde:

Tr

Tasa Real

Tn

Tasa Nominal

Ti

Tasa de inflación (dada por la variación del IPC)

Ejemplo.

El Banco Bice ofrece una tasa de captación de un 1,35% para 90 días; se sabe que el IPC para 30 días es de 0,3%. Se desea determinar la tasa real para 30 días, que ofrece el Banco.

En primer lugar, debemos ajustar la tasa de captación de 90 a 30 días, para igualarla a la tasa de inflación; luego, aplicamos la

ecuación 3.4

para obtener la tasa Real a 30 días.

Tasa Nominal a 30 días: ((0,0135 / 90) * 30) = 0,0045 Aplicando la ecuación 3.4:

Tr = ((1 + 0,0045) / (1 + 0,003))

–

1

Tr = (1,0045 / 1,003)

–

1

Tr = 0,0015

Luego, la tasa real a 30 días ofrecida por el Banco es de

0,15%.-Inflación y Medición de la

Inflación.-“La Inflación es un fenómeno

económico que se caracteriza por el incremento continuo y

generalizado de los precios de los bienes y servicios producidos por la economía de un país. La inflación ocasiona que el poder adquisitivo o poder de compra del

dinero, disminuya.”

(Héctor Manuel Vidaurri,

Matemáticas Financieras 4ta

Edición, página 282)

El INE mide la inflación mediante el Índice de Precios al

Consumidor (IPC) que es un indicador económico del crecimiento promedio de los precios, de un período a otro, de

una canasta de bienes

considerada como representativa del consumo familiar nacional.

(39)

Ejemplo.

La tasa de interés nominal para 90 días ofrecida por el Banco Penta es de 2,5%.

La información entregada por el INE del IPC de 3 meses es: Julio = 0,2%

Agosto = 0,3% Septiembre = 0,8%.

Determinar la tasa Real para 90 días.

En primer lugar, se debe encontrar la tasa de inflación para 90 días, usando la expresión siguiente:

IPC Acumulado 90 días = ((1 + 0,002) * (1 + 0,003) * (1 + 0,008))

–

1

IPC Acumulado 90 días = 0,013 ó 1,3% Aplicando ecuación 3.4 tenemos:

Tr = ((1 + 0,025) / (1 + 0,013))

–

1

Tr = (1,025 / 1,013)

–

1

Tr = 0,01185

Tr = 1,185% Tasa Real para 90 días.

Ejemplo.

Considerando la variación del IPC Agosto de 0,3%, el Banco de Chile le oferta un crédito en pesos a una tasa del 1,6% nominal mensual o un crédito en UF a una tasa del 14,3% compuesto anual.

¿Qué alternativa le es más conveniente?7

Para decidir, deben compararse ambas alternativas en tasas reales mensuales; por tanto, la alternativa en pesos, debe convertirse a tasa real. No es necesario convertir la alternativa ofertada en UF puesto que la tasa de interés que se acompaña, ya está en términos reales (esto es válido sólo para créditos o depósitos en esta moneda).

Tasa Real mensual en pesos:

Tr = ((1 + 0,016) / (1 + 0,003))

–

1

Tr = (1,016 / 1,003)

–

1

Tr = 1,30% real mensual.

Tasa real mensual en UF:

Tm = (1 + (0,143 / 12))

–

1

Tm = (1 + 0,01192)

–

1

Tm = 1,12% real mensual.

Luego, la alternativa ofrecida en UF es más conveniente.

(40)

GUÍA 3: Anualidades, Amortización y depreciación.

1. CONCEPTOS GENERALES SOBRE ANUALIDADES.

1.1. Definición.

“Una anualidad se define como una serie de pagos,

generalmente iguales, realizados en intervalos de tiempo iguales. El término anualidad parece implicar que los pagos se efectúan cada año, sin embargo esto no es necesariamente así, ya que los pagos pueden ser

mensuales, quincenales, etc.”

8

Ejemplos de una anualidad

: Pagos mensuales realizados al fondo de jubilación, en una AFP; cobro mensual del sueldo; pago mensual de un crédito hipotecario; pago mensual de un seguro de vida, etc.

1.2. Características de una Anualidad:

a)

Valores Periódicos,

denominados también

Flujos

. Pueden ser iguales o desiguales y pueden pagarse o recibirse al inicio o final de cada período. Si se pagan o reciben al

inicio, se denominan

Flujos Anticipados

; si se pagan o

reciben al final de cada período, se denomina

Flujos

Vencidos.

Algunos autores les denominan también “Renta”

a los flujos (Renta Anticipada; Renta Vencida).

b)

Intervalo

de

Tiempo,

constante entre un flujo y otro; esto es, la misma cantidad de tiempo entre el pago o recepción de un flujo y el siguiente. La suma de estos tiempos, es el plazo de la operación financiera.

c)

Evaluación del flujo;

cada flujo puede evaluarse en cualquier momento del tiempo, de tal forma que si se evalúa en el período cero, se dice que se está calculando el Valor Presente (VP) del Flujo; si se evalúa en el plazo final, se dice que se está calculando el Valor Futuro (VF). Si evaluamos un período intermedio, se dice que se está en presencia de un valor futuro, para los flujos iniciales y en presencia del valor actual para los flujos finales.

Esquema de un Flujo de Fonos (FF) vencido.

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