Libro 1 Anual Uni Geometría

TRIÁNGULOS : TEOREMAS FUNDAMENTALES

Y CLASIFICACIÓN

Sean A, B y C tres puntos cualesquiera no alineados, entonces la reunión de los segmentos , y se llama triángulo ABC, y se indica con ÄABC. Los puntos A, B y C se llaman vértices, y los segmentos

, y se llaman lados. Todo triángulo ABC determina tres ángulos: ËBAC, ËABC y ËACB. a éstos los llamamos los ángulos del ÄABC. Si está claro a qué triángulo nos referimos, frecuentemente podemos designarlos por ËA, ËB y ËC.

Notación:

Triángulo ABC: ÄABC ÄABC =

Elementos:

Vértices: A, B y C Lados: , y Ángulos: ËA; ËB y ËC

Ángulos externos: ËKAB, ËTBC y ËNCA

TEOREMAS FUNDAMENTALES:

01. En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos es igual a 180.

á + â + è = 180

02. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos.

x = á + â

03. Para todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos externos, uno en cada vértice, es igual a 360.

x + y + z = 360

04. En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

a > b ] á >â

05. En todo triángulo se cumple que un lado es mayor que la diferencia pero menor que la suma de los otros dos.

Sea a > b > c

b - c < a < b + c

PROPIEDADES ADICIONALES

a)

b) m + n = p + q c) a + b + c + d + e = 180 d) a < x + y < m + n

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS A) Según la medida de sus ángulos : 1. ÄRectángulo: Es aquel que tiene un ángulo

recto, los lados que lo forman se llaman catetos y el que se le opone se llama hipotenusa.

y : Catetos : Hipotenusa á + â = 90 a2 = b2 + c2

2. ÄOblicuángulo: Es aquel que no tiene

ángulo recto. Puede ser:

-ÄAcutángulo: Es aquel que tiene sus tres

ángulos agudos.

á < 90; â < 90 y è < 90 a2 < b2 + c2

-ÄObtusángulo : Es aquel que tiene un

ángulo obtuso.

á > 90; â < 90 y è < 90 a2 > b2 + c2

B) Según la congruencia de sus lados 1. ÄEscaleno: Es aquel que tiene sus

lados diferentes, también sus ángulos son diferentes.

2. Äisósceles: Es aquel que tiene dos

lados congruentes, también tiene dos ángulos congruentes.

á = 90 -

3. ÄEquilátero: Es aquel que tiene

sus tres lados congruentes, también tiene sus tres ángulos congruentes.

Recomendación:

Trazar para formar el triángulo equilátero MNL.

LÍNEAS NOTABLES DE LOS TRIÁNGULOS 01. MEDIANA

Mediana de un triángulo es el segmento de recta cuyos extremos son un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto

En la figura si “M” es el punto medio de , entonces es mediana relativa al lado

02. ALTURA

Altura de un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde cualquiera de sus vértices a la recta que contiene al lado opuesto.

En la figura : , entonces es la altura relativa al lado

03. BISECTRIZ

Es el rayo que biseca a un ángulo interno o externo del triángulo

04. MEDIATRIZ

En un plano dado, la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su punto medio

Si “M” es el punto medio de y z , entonces es mediatriz de

En la figura adjunta la mediatriz de interseca a en el punto “P”

es mediatriz de

OBSERVACIÓN:

CEVIANA de un triángulo es el segmento de recta

cuyos extremos son un vértice del triángulo y un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación

En el triángulo ABC mostrado : : Ceviana interior

: Ceviana exterior

Si son cevianas concurrentes

Y

RECOMENDACIÓN

En el triángulo ABC, si mËBAC = 2mËBCA, se traza una ceviana de modo que se formen dos triángulo isósceles. Esto es posible de dos formas diferentes

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Del gráfico mostrado, calcular “x + y + z”

A) 180 B) 270 C) 360 D) 450 E) 540

02. Calcular “á”

A) 45 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

03. En los lados de un triángulo isósceles ABC, AB = BC, se ubican los puntos P y Q respectivamente. Si PQ = QC y mËACP = 16, calcular la mËBPQ

A) 16 B) 24 C) 32 D) 48 E) 64

04. Dos lados de un triángulo escaleno miden 8 y 10. ¿Cuántos valores pares puede tomar la medida del tercer lado?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

05. Calcular “x”, si BC = AC

A) 30 B) 45 C) 37 D) 53 E) 60

06. Si: BC > AB, calcular el máximo valor entero de la mËBEC

A) 91 B) 92 C) 93 D) 94 E) 95

07. Se tiene el triángulo escaleno ABC : AB = 5; BC = 12 y mË ABC < 90. Si “AC” toma su mayor valor entero, calcular el perímetro del triángulo ABC

A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29

08. Dos ángulos exteriores de un triángulo acutángulo miden “9x” y “6x”. Determinar la suma de los valores enteros que puede asumir “x”

A) 70 B) 135 C) 77 D) 33 E) 49

09. En un triángulo ABC : AC = 2(AB) y mËA = 2(mËC). Calcular la mËBAC

A) 30 B) 45 C) 60 D) 53 E) 37

10. Del gráfico, calcular “x”

A) 90 B) 100 C) 120 D) 150 E) 105

11. En la figura AB = OD = DC, luego podemos afirmar que : A) 10 < á < 70 B) 15 < á < 60 C) 20 < á < 80 D) 5 < á < 75 E) 5 < á < 65 12. En la figura AB = AC = CD. Calcular “x” A) 12 B) 15 C) 22,5 D) 30 E) 36

13. En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en A; mËA = 2(mËC) y AB = 4. Calcular el máximo valor entero de AC

A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 5 14. Calcular “x”, si BP = AC A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 15. En la figura adjunta : AB = DC = CE

¿Cuántos valores enteros puede tomar “x”?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 16. En la figura AP = PC; BQ = MC, el triángulo MBC es equilátero. Calcular “x” A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

17. Del gráfico, calcular “á” si p+ q = 216

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

18. En un triángulo ABC, recto en “B”, se traza la altura . La bisectriz interior del ËA intersecta a en “M” y a en “P”. La bisectriz interior del ËC intersecta a en “N” y a en “Q”. Calcular MN si : BP - BQ = 6

A) 6 B) 3 C) 4 D) 1,5 E) 2

19. En la figura AB = BC y AE = ED, calcular “x”

A) 135 B) 60 C) 125 D) 90 E) 120 20. En la figura BC = CD. Calcular “x” A) 10 B) 20 C) 15 D) 30 E) 22,5

TAREA

toma el punto “D” tal que AB = DC y en la prolongación de se toma el punto “E” tal que BC = BE. Si la mËDAE = 35, calcular la mËC

A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 30

02. Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón “r”(“r” es un número entero positivo). Calcular el mínimo valor entero que puede asumir el perímetro de la región que limita el triángulo

A) 7r B) 9r + 1 C) 12r - 1 D) 6r + 1 E) 6r - 1

03. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en “A” tal que mËA = 2mËC y AB = 6. Calcular el mayor valor entero de “AC” A) 4 B) 5 C) 6

D) 8 E) 11

04. Dado un triángulo equilátero ABC y “P” un punto interior, tal que : PA = 2 y PC = 7. Calcular el mayor valor entero de “PB” A) 6 B) 7 C) 8

05. En la región exterior a un triángulo ABC y relativo al lado se toma el punto D, de modo que ; AB = BC = AD. Calcular : mËBAC, sabiendo que :

A) 20 B) 25 C) 35 D) 45 E) 36

06. En un triángulo ABC, mËBAC = 2(mËACB), se traza la bisectriz interior BD. Calcular “DC”, sabiendo que AD = 4 y “AC” toma su mínimo valor entero.

A) 6 B) 8 C) 3 D) 7 E) 5

07. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana , de modo que : AB + AD = BC, mËABD = 3á y mËACB = 2á. Calcular “á” A) 11 B) 15 C) 30

D) 10 E) 20

08. Interiormente a un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se toma el punto “P” tal que mËPAC = mËBCP y AB = PC = BC. Calcular la mËPCB

A) 15 B) 22,5 C) 18 D) 30 E) 26,5

09. Dado un triángulo ABC en el exterior se ubica el punto “P” tal que el perímetro de la región triangular BPC es igual a 12 u. Calcular el máximo valor entero de “AC”, si AB y BC con enteros. (mËBAC > mËBCA) A) 11 u B) 10 u C) 9 u

D) 8 u E) 6 u

10. Se tiene un triángulo ABC, se trazan la altura y la bisectriz interior

intersectándose en “O”. Si : AO = 4, OC = 12 y CD = 15, calcular el máximo valor entero de , si toma su mínimo valor entero, además “D” es un punto exterior y relativo al lado

A) 20 B) 21 C) 23 D) 25 E) 27

TRIÁNGULOS : PUNTOS NOTABLES

01. BARICENTRO

Todo triángulo tiene tres medianas las cuales concurren en un punto denominado

“Baricentro”

En la figura “G” es el baricentro del triángulo ABC, se cumple :

AG = 2GM BG = 2GN CG = 2GL

02. ORTOCENTRO

Es el punto donde concurren las tres alturas del triángulo o sus prolongaciones.

El ortocentro está ubicado en el interior en un triángulo acutángulo, en el exterior en un triángulo obtusángulo y en el vértice del ángulo recto en un triángulo rectángulo.

El ortocentro de un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto.

03. INCENTRO

Es el punto donde concurren las bisectrices de los ángulos del triángulo.

I : Incentro del triángulo ABC

04. EXCENTRO

El excentro de un triángulo es el punto donde concurren la bisectriz de un ángulo interno y las bisectrices de los ángulos externos en los otros dos vértices

En todo triángulo se puede determinar tres excentros, uno relativo a cada lado.

05. CIRCUNCENTRO

En todo triángulo las mediatrices referentes a cada uno de sus lados concurren en un punto denominado “Circuncentro”.

El circuncentro está ubicado en el interior en un triángulo acutángulo, en el exterior en un triángulo obtusángulo y en el punto medio de la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

El circuncentro de un triángulo rectángulo coincide con el punto medio de la hipotenusa.

O : Circuncentro

PROPIEDADES

01. Ángulo formado por dos bisectrices interiores

x = 90 +

02. Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior

x =

03. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores

x = 90 -

04. Ángulo formado por una altura y la bisectriz interior trazadas desde el mismo vértice

x = 05. En la figura, se cumple : x = 06. En la figura, se cumple : x = 07. En la figura, se cumple: x = 180 - è

PROBLEMAS PROPUESTOS

A) 50 B) 60 C) 80 D) 100 E) 120 02. Calcular “x”, si CM = CN : A) 35 B) 40 C) 50 D) 55 E) 70 03. En la figura, AB = BC, PQ = QR = PS. Calcular “x” : A) 45 B) 60 C) 30 D) 40 E) 75 04. En la figura, calcular á, si AB = AD = DC A) 10 B) 20 C) 30 D) 25 E) 15 05. Calcular “x”, si AB = 3, BC = CD = 4 y AD = 7 A) 100 B) 110 C) 120 D) 135 E) 140

06. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB + BC = 30 y AC = 20; en se ubica un punto “P”. Calcular el menor valor entero de “BP” A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 4

07. En la figura mËBAC = mËACB + 20. Calcular “x” :

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70

08. Calcular la medida del ángulo que determinan las rectas p y q

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70

09. En un triángulo ABC, AB = 3 ; BC = 3 y mËABC > 90, calcular el mínimo valor entero de AC

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 3

11. En la figura. ¿Qué punto notable es “K” del ÄABC, si los triángulo AKD y BKE son equiláteros? A) Incentro B) Circuncentro C) Baricentro D) Ortocentro E) Excentro

12. Del gráfico mostrado, calcular “è”

A) 15 B) 16 C) 20 D) 18 E) 22 13. En la figura BC = CD. Calcular “x” : A) 10 B) 20 C) 15 D) 30 E) 22,5 14. En la figura, calcular “x” A) 40 B) 25 C) 50 D) 30 E) 80

15. Dado un triángulo ABC, recto en B. Sea “I” el incentro y “E” el excentro relativo a , tal que AC = IE. Calcular la mËA

A) 30 B) 45 C) 37 D) 60 E) 53

16. En la figura “I” es incentro del triángulo ABC

Calcular “x”

A) 20 B)60 C) 45 D) 30 E) 40

17. Del gráfico adjunto, calcular “x”

A) 30 B) 45 C) 60 D) 37 E) 53

18. En un triángulo ABC, se trazan las

bisectrices interiores (P en ; Q en ); por “P” se traza una paralela a ; intersecando a la prolongación de en

“T” y a en “V”. Calcular BV, si TV = 4 y AP + PV = 24 A) 14 B) 13 C) 10 D) 8 E) 6 19. Calcular “è” A) 140 B) 110 C) 125 D) 120 E) 70 20. En la figura, calcular : á + â + è A) 135 B) 120 C) 150 D) 180 E) 220

TAREA

A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120

02. Calcular “x”

A) 40 B) 25 C) 50 D) 30 E) 80

03. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, mËC = 26. Se traza la altura y la bisectriz del ËHBC(“E” 0 ), sobre la prolongación de se toma el punto “D” tal que : mËBDH = 29. Calcular “DE”, si AB -AH = 12

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16

04. Dado un triángulo ABC, en el cual, AB = 11 y BC = 16. Por el incentro de dicho triángulo se traza la paralela a que interseca a en P y a en Q. Calcular el perímetro del triángulo PBQ

A) 18 B) 21 C) 25 D) 27 E) 33

05. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) mËBAC = 70, se ubica el punto interior “P” de modo que mËBAP = 40 y mËPCB = 20. Calcular mËPBC

A) 15 B) 18 C) 10 D) 20 E) 25

06. Se tiene un triángulo ABC, AB = BC, sobre se toma un punto “D” tal que AB = DC y en la prolongación de se toma el punto “E” tal que BC = BE. Si la mËDAE = 40, calcular la mËC

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

A) 60 B) 120 C) 90 D) 135 E) 100

08. Sean ceviana de un triángulo isósceles ABC (AB = BC). Calcular la mËAEF, si mËEAC = 60, mËFCA = 50, mËECF = 30 y mËEAB = 20 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 15 09. Calcular “è” A) 36 B) 37 C) 20 D) 35 E) 25

10. Del gráfico adjunto, calcular “x” si : mËDOR = 2(mËRON)

A) 30 B) 36 C) 45 D) 25 E) 40

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

CONGRUENCIA DE SEGMENTOS

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Así, por ejemplo:

Si AB = CD, entonces es congruente con y se denota:

CONGRUENCIA DE ÁNGULOS

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Así, por ejemplo:

Si mËAOB = mËMNL, entonces el ËAOB es congruente con el ËMNL y se denota:

ËAOB

–

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Definición : Dos triángulos ABC y DEF son

congruentes si sus lados y ángulos son respectivamente congruentes.

Para indicar que el “triángulo ABC es congruente al triángulo DEF”; se escribe :

ÄABC

–

Esta sola expresión nos dice a la vez seis cosas, a saber: , o AB = DE , o BC = EF , o AC = DF ËA

–

–

–

En cada una de las seis líneas anteriores, la

congruencia de la izquierda significa lo mismo que la igualdad de la derecha. Podemos por tanto, utilizar una u otra notación según nos convenga.

En dos triángulos congruentes, a lados congruentes se le oponen ángulos congruentes y recíprocamente, a ángulos congruentes se le oponen lados

congruentes.

CASOS O CRITERIOS DE CONGRUENCIA

Para reconocer si dos triángulos son congruentes, no necesariamente los seis pares de elementos

correspondientes deben de ser congruentes, sino simplemente tres pares de ellos, entre los que por lo menos debe figurar un par de lados correspondientes, esto implica la congruencia de los restantes.

De acuerdo con la naturaleza de los elementos congruentes, resultan los siguientes casos de congruencia de triángulos :

PRIMER CASO : Dos triángulos son congruentes si

tienen un lado y los ángulos adyacentes respectivamente congruentes (postulado ALA)

SEGUNDO CASO : Dos triángulos son congruentes

si tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente congruentes (postulado LAL)

TERCER CASO : Dos triángulos son congruentes si

tienen sus tres lados respectivamente congruentes (postulado LLL)

CUARTO CASO : Dos triángulos son congruentes si

tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de dichos lados respectivamente congruentes.

En la figura sólo si b > a, se podrá afirmar que los triángulos son congruentes.

OBSERVACIÓN:

Si dos triángulos rectángulos tienen congruentes un cateto y la hipotenusa entonces serán congruentes (4to caso)

LA DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PUNTO

La distancia entre una recta y un punto fuera de ella es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta. La distancia entre una recta y un punto de la misma se define como cero.

Así en la figura P es un punto exterior a la recta L y , luego PQ es la distancia entre la recta L y el punto “P”

La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que los une.

CONSECUENCIAS DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo

Si es la bisectriz del ángulo AOB, P 0 ,

Y

Y

TEOREMA DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento

Si es mediatriz de y P 0

Y

RECOMENDACIÓN :

Cada vez que en un problema se observe una perpendicular a la bisectriz de un ángulo, se debe completar un triángulo isósceles.

En la figura se prolonga para formar el triángulo isósceles PQR, luego :

PQ = PR y QH = HR

TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS

Si por el punto medio de uno de los lados de un triángulo, se traza una paralela a cualquiera de los otros dos lados, entonces dicha paralela intersecará al tercer lado en su punto medio.

Si “M” es punto medio de y

Y

NOTA : A se le denomina la base media

OBSERVACIÓN :

TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa mide igual que la mitad de dicha hipotenusa

Si es mediana :

Y

NOTA : Observe que los triángulos AMB y BMC son

isósceles.

1. Ángulo formado por la altura y la mediana relativas a la hipotenusa, en un triángulo rectángulo

x = á - â

2. Propiedad en el triángulo rectángulo de 15 y 75

PROBLEMAS PROPUESTOS

A) 10 B) 15 C) 18

D) 20 E) 12

02. En la figura: calcular “á”

A) 10 B) 15 C) 18

D) 20 E) 25

03. En un triángulo ABC; mËA=20; mËC=10. Calcular la medida de la distancia del vértice “C” a la bisectriz interior del ángulo A. (AB=2)

A) 2 B) 3 C) 3 D) 1 E) 2 04. En la figura : AD = 1; BD = 4. Calcular : CD A) 2 B) 4 C) 3 D) 1 E) 5 05. De la figura, calcular AB si : AC - PQ = 8 A) 4 B) 6 C) 10 D) 8 E) 12

06. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) la mediatriz de y la bisectriz del ángulo interior A se intersecan en un punto de . Calcular mËB

A) 18 B) 22,5 C) 30

D) 36 E) 45

07. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B la mediatriz de interseca a en D tal que DC = 2(BD). Calcular la mËC

A) 25 B) 26,5 C) 30

08. En un triangulo escaleno ABC, se traza la mediana , luego en el triángulo BMC se traza la mediana , tal que BN = 9. Sea F y un punto de , tal que . Calcular MF.

A) 6 B) 4 C) 8

D) 10 E) 9

09. En un triángulo ABC se traza la mediana tal que mËMBC = x, mË ABM = 2x. Si BC = 2BM, calcular el valor de “x”

A) 18 B) 22,5 C) 25

D) 30 E) 36

10. Dado el triángulo isósceles ABC(AB =BC). Sea P un punto que pertenece a tal que mËPBC = 90 y PC = 2(AP). Calcular la mËC

A) 30 B) 26,5 C) 45

D) 10 E) 7

11. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se construye exteriormente el triángulo rectángulo isósceles DAC recto en A luego se traza

. Calcular DE si BC = 15 y EC = 4 A) 19 B) 26 C) 20 D) 24 E) 18 12. Calcular mËBCD, si AC = 2BD A) 30 B) 45 C) 60 D) 37 E) 53

13. En la figura AD = 2DB. Calcular mËFDE

A) 30 B) 45 C) 15 D) 60 E) 75 14. En el triángulo ABC; AP = PQ, MC = RM y AB = QC. Calcular “x” A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 15. En el gráfico, calcular BD, si CD = 12 A) 4 B) 6 C) 6 D) 8 E) 12

16. En un triángulo ABC recto en “B” la bisectriz exterior del ËA y la prolongación de la altura se intersectan en “F” tal que : AB + AH = 4; HF = 3. Calcular BH

A) 2 B) 2,5 C) 1,5

D) 0,5 E) 1

17. Si “O” es circuncentro del ÄABC, calcular “á”

A) 20 B) 30 C) 40

D) 50 E) 25

A) 10 B) 12 C) 15

D) 8 E) 18

19. En un triángulo ABC: mËB = 2mËA; se traza perpendicular a la bisectriz interior del ËB. Si BH = 3, calcular AC

A) 6 B) 3 C) 4

D) 5 E) 4,5

20. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB = 4; BC = 8 y AC = 10, desde el vértice C se trazan

perpendiculares a la bisectriz interior de A y exterior de B. Calcular la medida del segmento que une los pies de estas perpendiculares

A) 3 B) 2 C) 1

D) 1,5 E) 0,5

TAREA

mËBAC = 2mËDBC

A) 20 B) 25 C) 30

D) 37 E) 45

02. En un triángulo ABC (mËB = 90) se sabe mËC = 24. Sobre se ubica el punto “P”, tal que AB = PC, la mediatriz de y de se intersectan en “E”. Calcular mËACE.

A) 24 B) 36 C) 34

D) 33 E) 23

03. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la bisectriz exterior trazada del vértice A intersectan a la perpendicular a la hipotenusa trazada por el vértice “B” en el punto “E”. Si dicho punto dista 3 de y 4 de , calcular BE

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

04. En un triángulo ABC, AB = 2 y BC = 9. Calcular el mayor valor entero de la mediana

A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 7 05. En la figura BD = 6 . Calcular EF A) 6 B) 4 C) 3 D) 6 E) 4 06. Si : BM = MC; AB = 2DM, calcular “è” A) 10 B) 12 C) 15

D) 18 E) 20 07. Calcular x”, si AC = BD y BC = CD A) 45 B) 22,5 C) 60 D) 37 E) 53 08. Calcular “á”, si : 2AB = DC A) 20 B) 15 C) 22,5 D) 18 E) 17,5 09. Calcular “x”, si : AP = 4; PB = 3 y PC = 5 A) 135 B) 120 C) 105 D) 150 E) 165

10. Un triángulo ABC recto en B; I es el incentro “O” es el circuncentro; mËAIO = 90. Calcular mËBAC

A) 37 B) 60 C) 30

D) 45 E) 53

PROPIEDADES ADICIONALES DE CONGRUENCIA

1. PARA TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES

AH = PM - PN

2. PROPIEDAD EN EL TRIANGULO EQUILÁTERO 1er. Caso

Si : AB = BC = AC

“P” es un punto interior al triángulo ABC

0 BH = PM + PN + PQ Ejemplo : c Si : AB = BC = AC; PQ = 1; PR = 3; PS = 2 0 h = 1 + 2 + 3 ˆ h = 6 2do. Caso Si : AB = BC = AC

“P” es un punto exterior al triángulo ABC

0 BH = PQ + PS - PR Ejemplo : c Si : AB = BC = AC; PQ = 2; PR = 3; PS = 4 2 h = 3 + 4 - 2 ˆ h = 5

3. SEGMENTO QUE UNE LOS PIES DE LAS PERPENDICULARES TRAZADAS DE UN VÉRTICE A LAS BISECTRICES EXTERIORES

2

Ejemplo :

2 PQ = ˆ PQ = 21 4. PROPIEDAD EN EL CUADRILÁTERO NO CONVEXO 1er. Caso Si : AB = BC = CD y mË BCD = 2(mËBAD) 2 x = 120 - 2è Ejemplo : c Si : AB = BC = CD y mËBCD = 2mËBAD = 20 2 x = 120 - 20 ˆ x = 100 2do. Caso Si : BC = CD = AD y mËBCD = 2(mËBAC) 2 x = 120 - è Ejemplo :_{c Si : BC = CD = AD y} mËBCD = 2mËBAD = 20

Y x = 120 - 10

ˆ x = 110

PROBLEMAS PROPUESTOS

de , si : AM = CN = 6 y á + è = 30

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

02. En un triángulo ÄABC, la bisectriz exterior del ËB y la mediatriz de se intersecan en “O” por el cual se traza (H en ). Calcular AB, si BH = 3 y BC = 8

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 4,5

03. En el gráfico adjunto: AC = BD. Calcular “á”

A) 12 B) 10 C) 15

D) 18 E) 9

04. En un triángulo ABC se traza la ceviana

interior tal que AP = BC y mËABC = mËBAP + 2(mËPAC). Si BP = 3 y PC = 5, calcular AB A) 6 B) 10 C) 16 D) 8 E) 12 05. De la figura : AB = BC. Si : PQ = 8 y QC = 3, calcular AP A) 11 B) 7 C) 4 D) 5 E) 6

06. De la figura, calcular el máximo valor entero de PN, si HQ = 2 y MN = 12

A) 14 B) 10 C) 16

D) 18 E) 19

07. De la figura, calcular DC, si BE = EC, AB = 6; AC = 8

A) 2 B) 3 C) 4 D) 1/2 E) 1

08. En la figura: AB = BC y AC = AD. Calcular “è”

A) 15 B) 22,5 C) 30 D) 45 E) 18,5

09. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica en los puntos “E” y “F”, tal que la mËBAE = mËEAF = mËFAC. Se traza

, tal que EC = 2PC. Calcular la mËBCA

A) 18 B) 24 C) 30

D) 36 E) 45

10. En un triángulo ABC, se traza la altura y la mediana . Calcular la mËBPC, si BH = CM y = {P} A) 140 B) 160 C) 80 D) 100 E) 120 11. En la figura, AP = QC; QM = 1; CH = 6 y AB = BC. Calcular PB A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2,5 12. Si : ; BC = 16; DE = EC, calcular AE A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 5

13. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, en se ubica el punto T y en el punto medio M. Si TC = 2(AB) + BT. Calcular mËMTC A) 30 B) 53/2 C) 60

D) 53 E) 15

14. Interiormente a un triángulo equilátero ABC se ubica el punto P tal que mËAPC = 90, luego se trazan exteriormente al triángulo APC los triángulos equiláteros APQ y PCE. Calcular la mËQBE A) 120 B) 100 C) 140 D) 150 E) 90 15. En la figura : AB = BC; AH = HC y HM = ML. Calcular “x” A) 90 B) 60 C) 75 D) 53 E) 120

16. Del gráfico, si AE = 7 y DC = 2, calcular AB

A) 9 B) 10 C) 11

D) 12 E) 13

17. En la figura : AC = BD. Para los valores dados, calcular “x”

A) 10 B) 15 C) 20

D) 25 E) 30

18. En un triángulo ABC, sea “P” un punto interior tal que: mËPAC = 20, mËPBC = 10 y mËPCB = 40. Calcular la mËPCA, si BP = AP + AC

A) 25 B) 30 C) 36

D) 15 E) 18,5

19. Se tiene un triángulo ABC, se ubica los puntos : M, D y N en respectivamente, tal que ; ; mËMDC = mËNDB = x ; AB = 2(DM + DN). Calcular el valor de “x” A) 30 B) 45/2 C) 37/2 D) 15 E) 14

20. En un triángulo ABC se traza la perpendicular la bisectriz interior . Si : AP = 12, calcular “PQ” si además : AC = 2(AB)

A) 3 B) 2 C) 4

D) 2 E) 5

TAREA

traza la ceviana interior tal que AB = MC; en se ubica el punto N, siendo mËNMC = 90; en la prolongación de se ubica el punto H tal que: mËBHC = 90; BH = 6 y mËBAC = mËAMB. Calcular HC

A) 4 B) 3 C) 5

D) 6 E) 2

02. Se tiene un triángulo ABC tal que mËA = 40 y mËC = 30, se traza la ceviana tal que : AB = CD. Calcular la mËABD A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 03. De la figura, calcular “x”, si HM = 3; AH = 8 A) 37 B) 35 C) 60 D) 30 E) 53

04. En un triángulo ABC, las alturas se

intersecan en un punto Q interior al triángulo. Si la mËABC = 45, calcular la razón entre AC y BQ

A) 1 B) 2 C) 0,5

D) 1,5 E) 2,5

05. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), la altura mide 8; por el punto P de se levanta una perpendicular que intersecta a en Q y a la prolongación de en R. Si PQ = 5, calcular PR

A) 11 B) 12 C) 13

D) 14 E) 15

05. Del gráfico, calcular el valor de “x”, si AB = QC y 5AH = 4PQ

A) 120 B) 137 C) 127 D) 135 E) 150

07. En la figura adjunta el triángulo ABC es equilátero y AM = MC = 2. Calcular “MP”

A) 2 B) 2 C) 2

D) 4 E) 6

08. En la figura CD = 3BH. Calcular el valor de “á”

A) 15 B) 22,5 C) 26,5

D) 37 E) 30

09. En el triángulo acutángulo ABC las mediatrices de intersecan a en los puntos M y N, tal que la mËABC = 2mËMBN. Calcular la mËMBN

A) 30 B) 45 C) 36

D) 60 E) 40

10. En el lado de un triángulo ABC se ubica el punto P y en el punto Q tal que AB = BP = PQ = QC. Calcular mËABP, si BQ = 5 y AC = 4

A) 30 B) 45 C) 53

D) 21 E) 37

POLÍGONOS

puntos distintos de un plano (coplanares) con n $ 3. Supongamos que los “n” segmentos ; ; ...

; tienen las siguientes propiedades: 1. Ningún par de segmentos se intersecan, salvo en

sus extremos.

2. Ningún par de segmentos con un extremo común

son colineales.

Entonces la unión de los “n” segmentos se denomina “polígono”, los puntos P₁; P₂; .... ; P_n son los vértices del polígono y los segmentos ; ....

; son los lados y los ángulos del polígono son el Ë P_nP₁P₂; ËP₁P₂P₃; y así sucesivamente. Para abreviar a menudo denotaremos, los ángulos Ë

P₁; Ë P₂; .... etc.

ÁNGULOS DETERMINADOS EN UN POLÍGONO

* Medida de los ángulos interiores : á₁; á₂; á₃; á₄; ....

* Medida de los ángulos exteriores : è1; è2; è3; è4;

....

t Se denomina diagonal al segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.

t Se denomina diagonal media al segmento de recta que une los puntos medios de dos lados. Ejemplo:

t : Diagonal

tSi : M y N son puntos medios de y

Y

POLÍGONO CONVEXO

Se denomina polígono convexo si la recta que contiene un lado determina el polígono en un semiplano.

POLÍGONO NO CONVEXO

Se denomina polígono no convexo si la recta que contiene un lado puede determinar al polígono en dos semiplanos.

OBSERVACIÓN.:Según el número de lados, un

polígono se le nombra: Triángulo 3 lados Cuadrilátero 4 lados Pentágono 5 lados Hexágono 6 lados Heptágono 7 lados Octógono 8 lados Nonágono 9 lados Decágono 10 lados Dodecágono 12 lados Pentadecágono 15 lados Icoságono 20 lados

Los demás polígonos se le nombra según el número de lados.

PROPIEDADES GENERALES PARA TODO POLÍGONO CONVEXO DE “n” LADOS.

01. Número de diagonales trazadas desde un solo vértice

Y

02. Número de triángulos determinados al trazar diagonales desde un solo vértice

Y

Y

Y

05. Número de diagonales trazadas desde los primeros “k”vértices consecutivos.

Y

06. Número de diagonales medias que se traza a partir del primer punto medio del lado de un polígono.

Y

Y

08. Número de diagonales medias que se traza desde los primeros “l” puntos medios consecutivos de los lados de un polígono.

Y

09. Suma de las medidas de los ángulos externos. (Considerando uno por vértice)

Y

CLASIFICACIÓN

a. Polígono Equilátero:

Es aquel polígono cuyos lados son congruentes. Ejemplo:

Y

b. Polígono Equiángulo:

Es aquel polígono convexo cuyos ángulos internos son congruentes, en consecuencia sus ángulos externos también son congruentes. Ejemplo: Hexágono equiángulo Propiedades:

Y

Y

Es aquel polígono equilátero y equiángulo a la vez.

Hexágono regular

Propiedades:

Y

Y

PROBLEMAS PROPUESTOS

polígono regular es 700. Calcular la suma de las medidas de sus ángulos internos

A) 700 B) 1 700 C) 1 820 D) 1 260 E) 1 900

02. En un polígono convexo ABCDEF equiángulo AB = 7; CD = 6; DE = 8. Calcular BF

A) 7 B) 14 C) 7

D) 7 /2 E) 5

03. Si el número de lados de un polígono disminuye en 2, el número de diagonales disminuye en 15. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

A) 10 B) 12 C) 14

D) 8 E) 11

04. Los ángulos interiores de dos polígonos convexos regulares se diferencian en 20 y los ángulos exteriores suman 100. ¿Qué polígonos son? A) Exágono y monágono

B) Pentágono y octágono C) Octágono y decágono D) Nonágono y decágono E) Exágono y octágono

05. En un polígono equilátero se sabe que desde 5 vértices consecutivos se pueden trazar 29 diagonales. Calcular el perímetro si uno de sus lados mide 3

A) 34 B) 30 C) 27

D) 40 E) 10

06. En un polígono convexo equilátero; el número total de diagonales equivale a la tercera parte de la diferencia entre el número que expresa su perímetro y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos internos. Hallar el perímetro del polígono, sabiendo que la longitud de su lado es una cantidad entera

A) 48 B) 64 C) 144

D) 84 E) 72

07. En un polígono de “n” lados desde (n - 4) lados consecutivos se trazan (2n + 1) diagonales medias. Calcular “n”

A) 3 B) 5 C) 7

D) 9 E) 12

08. Calcular la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo cuyo número de diagonales excede en 8 al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos

A) 1 440 B) 1 800 C) 1 080 D) 3 600 E) 1 700

09. Si el número de lados de un polígono aumenta; la suma de las medidas de sus ángulos internos aumenta en 360 y su número total de diagonales aumenta en 11. Calcular su número total de diagonales medias

A) 54 B) 15 C) 66

D) 78 E) 35

10. El número de triángulos en que se descompone un polígono convexo al trazar las diagonales de un solo vértice y el número de diagonales que se pueden trazar del quinto vértice consecutivo están en la relación de 7 a 5. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono

A) 2 340 B) 2 700 C) 2 880 D) 3 600 E) 2 520

11. En un polígono se trazan las diagonales medias desde 15 lados consecutivos y se observa que estas aumentan en 285 cuando aumenta el número de lados del polígono. ¿Cuántos lados se han aumentado?

A) 17 B) 18 C) 19

D) 15 E) 20

12. Interiormente a un pentágono regular ABCDE, se construye un triángulo equilátero APB. Calcular la mËDPE

A) 42 B) 54 C) 66

D) 72 E) 84

13. En un polígono regular, si su número de

diagonales aumenta en “b” este resultado es igual al número de diagonales medias disminuido en “a”. ¿Cuánto mide el ángulo central de dicho polígono?

A) B) C)

D) E)

14. Si el ángulo interior y el ángulo exterior de un polígono regular miden â y kâ, ¿cuáles son los valores enteros que puede tomar “k”para que el polígono exista?

A) 800/7 B) 800/3 C) 900/5 D) 800/9 E) 900/7

15. Se tiene dos polígonos regulares. Si la suma total de las medidas de sus ángulos interiores es 2 340°, la diferencia del número de diagonales de ambos polígonos es 31, calcular la medida del ángulo interior del polígono de menor número de lados

A) 800/7 B) 800/3 C) 900/5 D) 800/9 E) 900/7

16. ¿En qué polígono regular se verifica que el cociente entre la medida del ángulo interior y la medida del ángulo central es igual al máximo número de diagonales del polígono de 7 lados menos?

A) Pentágono B) Exágono C) Octógono D) Nonágono E) Dodecágono

17. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde tres vértices consecutivos en un polígono convexo, donde su máximo número de diagonales medias excede en 8 al número de diagonales

A) 15 B) 14 C) 13

D) 21 E) 10

18. En qué polígono convexo se cumple que el cuadrado de su número de vértices es igual a la suma entre su número de diagonales, número de diagonales medias y seis veces el máximo número de ángulos interiores agudos que puede tener

A) Exágono B) Pentágono C) Nonágono D) Decágono E) Octágono

19. Dado el pentágono regular ABCDE, se toma el punto exterior “S” relativo , tal que : BS = AD. Calcular la mËESD

A) 9 B) 15 C) 18

D) 30 E) 36

20. Se tiene un pentágono regular ABCDE. Se toma un punto interior “P” tal que PD = DE y mËPAB = 42. Calcular la mËPDE

A) 42 B) 45 C) 60

D) 48 E) 54

TAREA

01. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde tres vértices consecutivos en un polígono convexo, donde su máximo número de diagonales medias excede en 8 al máximo número de diagonales

A) 15 B) 14 C) 13

D) 21 E) 10

02. En un pentágono convexo ABCDE, irregular, interseca a en “P y N” . Si : BP = PE = CN; mËBNC = 2mËDBC =

2mËPEC, calcular mËPCE

A) 36 B) 72 C) 18

D) 30 E) 60

03. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 3 960?

A) 12 B) 20 C) 22

D) 30 E) 32

04. Al aumentar en 3 el número de lados de un polígono, el número de diagonales se duplica. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos

A) 1 240 B) 1 250 C) 1 260 D) 1 280 E) 1 270

05. Si el número de lados de un polígono convexo aumenta en 3, entonces su número de diagonales aumenta en 33. Calcular el número de lados del polígono inicial

A) 9 B) 13 C) 11

06. De dos polígonos regulares uno de ellos tiene tres lados menos que el otro; y el ángulo central de uno de ellos mide 27 menos que la medida del ángulo central del otro. Calcular la suma de las medidas de los ángulos interiores de dichos polígono

A) 1 610 B) 1 620 C) 1 650 D) 1 630 E) 1 640

07. Se tiene dos polígonos regulares cuyos números de diagonales se diferencian en 27 y cuyos ángulos centrales están en la relación de 3/4. Calcular la diferencia de las medidas de sus ángulos centrales

A) 10 B) 20 C) 30

D) 40 E) 50

08. La suma de las medidas de los ángulos internos de dos polígonos se diferencian en 360 y las medidas de sus ángulos centrales se diferencian en 6. Calcular la suma de su número de lados

A) 12 B) 22 C) 32

D) 40 E) 52

09. En un polígono regular al disminuir en 10° cada ángulo interior, resulta otro polígono regular cuyo número de lados es los 2/3 del número de lados del polígono inicial. Calcular el número de lados del polígono inicial

A) 12 B) 16 C) 18

D) 20 E) 22

10. El menor ángulo de un polígono convexo mide 120 los otros forman con el una progresión aritmética de razón 5. Calcular el número de diagonales

A) 9 B) 27 C) 32

CUADRILÁTEROS

DEFINICIÓN : Es el polígono que tiene cuatro lados

Y

Y

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS SEGÚN EL PARALELISMO DE SUS LADOS

1. PARALELOGRAMO

Es el cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. En todo paralelogramo se cumple que los lados opuestos son congruentes, los ángulos opuestos son congruentes y las diagonales se bisecan CARACTERÍSTICAS * ; AB = CD = a y ; BC = AD = b * mËA = mËC y mËB = mËD * AO = OC y BO = OD * á + â = 180 CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS A. ROMBOIDE : Es el paralelogramo que no es

equilátero ni equiángulo Ejemplo :

a

B. RECTÁNGULO: Denominado también

“cuadrilongo”, es el paralelogramo equiángulo

* Las diagonales son congruentes

D. CUADRADO : Es el paralelogramo que es

equiángulo y equilátero a la vez.

*Sus diagonales son congruentes y se bisecan perpendicularmente

2. TRAPECIO

Es aquel cuadrilátero que tiene sólo dos lados paralelos CARACTERÍSTICAS: * Bases : ( ) * Lados no paralelos : * Altura : (BH = h) * Mediana : ( // ) CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS

A. TRAPECIO ESCALENO : Es el trapecio cuyos

lados no paralelos son diferentes

B. TRAPECIO ISÓSCELES: Es el trapecio cuyos

lados no paralelos son congruentes

C. TRAPECIO RECTÁNGULO : Es aquel trapecio

que tiene uno de sus lados no paralelos perpendicular a sus bases

* En la figura y * CD > AB

TEOREMA 1

En todo trapecio, la mediana es paralela a sus bases y su medida es igual a la semisuma de las medidas de sus bases .

* En la figura :

es mediana del trapecio

Y

Y

TEOREMA 2

En todo trapecio el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es paralelo a sus bases y su medida es igual a la semidiferencia de las medidas de sus bases.

* En la figura : * P y Q son puntos medios de

Y

Y

3. TRAPEZOIDE

Es el cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos ni características especiales

y

Se denomina “trapezoide simétrico” si una de sus diagonales biseca perpendicularmente a la otra

* y BM = MD * : Diagonal de simetría

*El trapezoide simétrico se denomina también cuadrilátero bisósceles

TEOREMA

En todo cuadrilátero al unir en forma consecutiva, los puntos medios de sus lados se detemina un

Si : M, N, L y S son puntos medios

Y

OBSERVACIÓN :

El perímetro del paralelogramo es igual a la suma de las medidas de las diagonales del cuadrilátero ABCD.

2P_(MNLS) = AC+BD

PROBLEMAS PROPUESTOS

verdadero o (F) falso:

( ) Si un cuadrilátero tiene sólo 2 lados paralelos entonces es un trapecio ( ) Un cuadrilátero de diagonales

perpendiculares y congruentes es un cuadrado

( ) Un trapecio rectángulo es un trapecio escaleno

A) VFV B) FFV C) VFF

D) FVF E) FFF

02. Se tiene un cuadrilátero convexo ABCD. Si mËBCD-mËBAD=20, calcular el mayor valor del ángulo que forman las bisectrices interiores de los ËB y ËD

A) 160 B) 135 C) 150

D) 170 E) 100

03. Se tiene un trapezoide ABCD, tal que :

AB=CD=12; mËABD=75, mËBDC=15. Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de las diagonales.

A) 6 B) 8 C) 4

D) 4,5 E) 9

04. En un trapecio ABCD ( ) en y en

se ubican los puntos M y N

respectivamente tal que CN=ND y mËNBC = mËNMD. Si la distancia de B a es 10, calcular la distancia del punto medio de

A) 6 B) 8 C) 3

D) 4 E) 5

05. Del gráfico: . Calcular PQ

A) 1 B) 1,5 C) 0,5

D) 2 E) 1,75 06. En un trapecio ABCD ( ):

mËBAD=2(mËADC) la mediatriz de

Calcular PB, si PC=13

A) 12 B) 5 C) 15

D) 14 E) 13

07. Una diagonal de un trapecio isósceles mide igual que la suma de las medidas de las bases. Calcular la medida del menor ángulo que forman las diagonales

A) 30 B) 60 C) 45

D) 90 E) 75

08. Desde los vértices de un romboide se trazan perpendiculares hacia una recta exterior cuya suma de longitudes es 80. Calcular la distancia del punto de intersección de las diagonales del paralelogramo a dicha recta exterior.

A) 10 B) 40 C) 35

D) 20 E) 60

09. Del gráfico adjunto : CM=MD, ABCM: Trapezoide simétrico, ABPM : Romboide. Si AB=4 , calcular PD

A) 4 B) 4 C) 8

D) 6 E) 9

10. En un trapecio isósceles ABCD, en se ubica el punto E, tal que ABCE es un rombo. Si BD=AD y ={F}, calcular la mËBFA

A) 30 B) 24 C) 36

D) 54 E) 60

11. De la figura adjunta: AP = 17; DQ=12. Calcular BD, si ABCD es un cuadrado

A) 17 B) 12 C) 13

D) 13 E) 11

12. Se tiene un rectángulo ABCD, sobre la prolongación de se toma el punto “P” tal que BP = 16 m. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de y

.

A) 2 m B) 4 m C) 8 m

D) 12 m E) 16 m

13. En un trapecio ABCD ( ), si: mËC = 2mËA y CD = 14, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales de dicho trapecio.

A) 7 B) 3,5 C) 6,5

D) 6 E) 10,5

14. De la figura adjunta : ABCD y PQLD : Cuadrados. Calcular “x”

A) 45 B) 75 C) 120

D) 90 E) 60

15. En un cuadrilátero ABCD: mËABC=90, AB=BC; AD=AC y las diagonales se intersectan en el punto “M” (BM=MD). Calcular mËBAD

A) 75 B) 60 C) 15

D) 30 E) 45

16. Del gráfico adjunto: ABCD : Cuadrado, LAUP: Trapecio isósceles. Calcular “x”

A) 98 B) 75 C) 60

D) 82 E) 85

17. Del gráfico adjunto : ABCD es un trapecio, BN=6; MN = 2. Calcular “x”, si CM = MD

A) 53 B) 37 C) 45 D) 53/2 E) 37/2

18. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) en y en la región exterior relativo a , se ubican los puntos M y Q respectivamente de modo que BMCQ es un rombo. Calcular AQ, si AB=8 y mËBAQ=2(mËBCQ) A) 12 B) 16 C) 10 D) 32 E) 15 19. Si ABCD es un cuadrado, EF = AB y AG = GD, calcular “x” A) 30 B) 15 C) 45 D) 37 E) 53

20. Se tiene un trapecio rectángulo ABDE recto en D y E, en la prolongación de se ubica el punto “C”, tal que AB = BD, CD = 8 , mËCDB = 82 y mËBCD = 45. Calcular AE

A) 12 B) 16 C) 18

D) 8 E) 20

TAREA

A) 6 B) 8 C) 12

D) 7 E) 10

02. Las diagonales de un trapecio miden 8 y 10. El valor máximo entero de la mediana es:

A) 8 B) 9 C) 5

D) 7 E) 6

03. Del gráfico adjunto calcular “x”, ABCD : Romboide

A) 37/2 B) 53/2 C) 15 D) 45 E) 30

04. En un rombo ABCD, las diagonales y miden 16 y 12 respectivamente. Calcular la altura relativa a

A) 6,2 B) 8,3 C) 9,6

D) 6,9 E) 3

A) 20 B) 35 C) 22,5

D) 30 E) 36

06. En un trapezoide ABCD, biseca en “Q” a , las mediatrices de las diagonales se intersecan en un punto “P” que pertenece a

. Calcular la mËBPC, si mËPQD = 40.

A) 80 B) 40 C) 50

D) 60 E) 45

07. En un rectángulo ABCD se ubican los puntos medios P y Q de y respectivamente (R es punto medio de ). Calcular la mËQPR, si mËRAB = 48.

A) 36 B) 42 C) 48

D) 32 E) 45

08. En un trapecio ABCD ( ); es la base menor tal que: ; BC=6. Calcular DM, siendo “M” punto medio de

A) 4 B) 2 C) 3

D) 4,5 E) 1,5

09. En un triángulo escaleno ABC (AB<BC), se traza la altura , sean “M”, “N” y “Q” los puntos medios de , respectivamente. Entonces MNQH es un :

A) Trapecio isósceles B) Cuadrado C) Trapecio escaleno D) Romboide E) Trapecio rectángulo

10. Si ABCD y GFED son cuadrados y AG=10, calcular la distancia entre los puntos medios de

A) 5 B) 5 C) 4

CIRCUNFERENCIA

plano que equidistan de otro punto dado en el plano. El punto dado se llama centro y la distancia es el radio.

El interior de una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano cuyas distancias al centro son menores que el radio. El exterior de una

circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano cuyas distancias al centro son mayores que el radio. Todo punto que pertenece a la circunferencia se llamará aferente.

En la figura “P₁” es un punto interior a la

circunferencia (OP₁<r), “P” es un punto que pertenece a la circunferencia (aferente) y “P₂” es un punto exterior a la circunferencia (OP2>r). Se llama círculo a

la reunión de la circunferencia con su interior.

Toda circunferencia queda determinada como mínimo por 3 puntos no colineales.

El centro de una circunferencia queda determinado por la intersección de las mediatrices de dos de sus cuerdas.

En la figura las mediatrices de y se intersecan en el punto “O”, que es el centro de la circunferencia.

La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es un número constante llamado “pi” (ð)

ð = 3,1416

La longitud de una circunferencia cuyo radio mide “R” es 2ðR

LÍNEAS RELACIONADAS CON LA CIRCUNFERENCIA 01. Cuerda: 02. Diámetro: 03. Arco: 04. Flecha o sagita: 05. Recta secante: 06. Recta tangente: 07. Recta exterior:

Posiciones relativas entre dos circunferencias coplanarias

01. Circunferencias exteriores:

: tangente común interior

03. Circunferencias secantes:

: Secante común ( z )

NOTA: Las circunferencias mostradas a continuación

se denominan ortogonales, se observa que los radios y son perpendiculares.

04. Circunferencias tangentes interiores:

MN = R - r : Tangente común 05. Circunferencias interiores MN < R - r 06. Circunferencias concéntricas: v PROPIEDADES GENERALES

1. Todo gráfico es perpendicular a una recta tangente en su punto de tangencia

2. Los segmentos de tangente trazados desde un punto exterior a una circunferencia son congruentes

NOTA: Si “O” es el centro, entonces es bisectriz del ángulo APB

3. Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca a ésta y al arco que subtiende

4. En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, las cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes.

5. En toda circunferencia se cumple que los arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.

OBSERVACIONES :

01. Tangentes a una circunferencia que forman ángulo recto

02. Si “P”, “Q” y “T” son puntos de tangencia:

03. y : tangentes comunes exteriores, “O”, “Q” y “P” son colineales

04. y : tangentes comunes interiores, “O” “P” y “Q” son colineales

MN = KL

PROBLEMAS PROPUESTOS

(F):

( ) Por un punto coplanar a una circunferencia se pueden trazar dos rectas tangentes

( ) Todas las cuerdas de igual longitud de una misma circunferencia son tangentes a otra concéntrica y cuyo radio es la distancia de las cuerdas al centro común

( ) La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los centros de las infinitas circunferencias que pasan por sus extremos ( ) Una recta y una circunferencia pueden tener

más de dos puntos comunes

A) VVVF B) FVVF C) FFFV D) VFVF E) VVVV

02. De la figura adjunta M, N y P: Puntos de tangencia; A, B y C: Centros. Calcular el perímetro del triángulo ABC

A) 10 B) 5 C) 20

D) 7,5 E) 12,5

03. Los diámetros de dos circunferencias situadas en el mismo plano están en la relación de 5 a 3, y la distancia entre sus centros es como 1, tales circunferencias son: A) Exteriores B) Secantes C) Tangentes exteriores D) Interiores E) Tangentes interiores

04. Si el perímetro del triángulo ABF es 8, calcular el perímetro del triángulo ACF. D; E y F son puntos de tangencia

A) 4 B) 6 C) 8

D) 5 E) 9

05. De la figura adjunta AE-CE=26. Calcular BD

A) 12 B) 13 C) 6

D) 6,5 E) 26

06. De la figura adjunta AB=8 y BC=10. Calcular PQ, si M, N, L: Puntos de tangencia

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 7,5

07. De la figura adjunta P, Q, L, son puntos de tangencia. Calcular PS, si AM=5; ML=3

A) 10 B) 16 C) 12

D) 8 E) 8

08. En la figura O, P, Q y S son centros. Calcular la relación entre los perímetros de los triángulos OQS y PQO.

A) 1 B) 2 C) 3/2

D) 4/3 E) 3

09. En el cuadrante AOB calcular “r”, si OH = 6 m, EF= 1 m

A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 3,5 m E) 2,5 m

10. Calcular el máximo valor del radio de la circunferencia pequeña en función de “r”

A) r/ B) r/ C) r/4

D) r/5 E) r/6

11. De la figura adjunta calcular : “R” P; Q, L, T: Puntos de tangencia; LP=1

A) 3 B) 1,5 C) 2

D) 3,5 E) 4

12. De la figura adjunta si O: Centro AB = 5; CD = 8, calcular á

A) 74 B) 36 C) 60

D) 37 E) 53

13. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo, si los radios de las circunferencias ex-inscritas relativas a los catetos miden 6 y 8?

A) 10 B) 12 C) 13

D) 14 E) 15

14. Una circunferencia es tangente a tres lados de un romboide, cuyas alturas miden 8 y 10. Calcular la longitud de la cuerda determinado en la circunferencia por el cuarto lado

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 9

15. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo, si el inradio mide 1 y su ex-radio relativo a la

hipotenusa mide 6 ?

A) 3 B) 5 C) 6

16. En la figura: y son diámetros. Si DE = 4 y EF= 1, calcular AD

A) 10 B) 5 C) 8

D) 7 E) 9

17. De la figura adjunta calcular “x”, si M, N y P son puntos de tangencia.

A) 18 B) 36 C) 30

D) 27 E) 37

18. De la figura adjunta calcular “x”, si P, Q y T son puntos de tangencia.

A) 60 B) 53 C) 37

D) 45 E) 75

19. Los radios de dos circunferencias secantes miden 6 y 8. Los tangentes de ambas circunferencias en uno de los puntos de contacto son

perpendiculares entre sí. Calcular la distancia entre los centros.

A) 5 B) 20 C) 2

D) 10 E) 14

20. En un cuadrante AOB, está inscrita una circunferencia cuyo radio mide 4. Calcular la medida del radio del cuadrante.

A) 4 B) 2 + 2 C) 1 D) 4 + 4 E) 8( - 1)

TAREA

50. Calcular mËODO₁ (O y O₁ son centros)

A) 50 B) 65 C) 70

D) 40 E) 55

02. En el gráfico : “O” y “O₁” son centros; “A” y “B” son puntos de tangencia. Calcular “x”

A) 100 B) 120 C) 90 D) 75 E) 105

A) a+c=d+b B) a-c=d-b C) a+b=c+d D) a-b=c-d E) a+d=2(b+c)

04. En la figura calcular “x”, si P; Q; R; S son puntos de tangencia

A) 2y+z B) C) y+z

D) y - z E) 2y - z

05. Se tiene una circunferencia de radio 6, inscrita en un cuadrante AOB (“O” es centro). es

tangente en “P” a la circunferencia, la recta tangente en “P” corta en “Q” a la prolongación de

. Calcular BQ

A) 4 B) 5 C) 3

D) 2 E) 6

06. Calcular “x” siendo ABCD un cuadrado (O es centro)

A) 20 B) 18 C) 15

D) 22 E) 22,5

07. En el gráfico “O”: Centro ; BE=3; EH=2. Calcular AE

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 7,5

08. Si : á + â = 200°, calcular “x”, P, Q, R y S son puntos de tangencia. (A y B son centros)

A) 40 B) 30 C) 45

D) 20 E) 25

09. De la figura adjunta : BM+CD=10; AP = QD; calcular AB+NC

A) 20 B) 15 C) 8

D) 10 E) 5

10. El inradio de un triángulo rectángulo ABC recto en B mide 1 y el exradio relativo a mide 7. Calcular la medida del ángulo que forman con

“I” : Incentro : “Ea” : Excentro

A) 53 B) 37 C) 60

D) 45 E) 75

ÁNGULOS RELACIONADOS EN LA CIRCUNFERENCIA

ÁNGULO CENTRAL: ËAOB

Un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia. La medida en grados de un arco menor es igual a la medida del ángulo central correspondiente.

En la figura: m = m ËAOB = á.

á = è

Sea C una circunferecia y sean A y B los extremos de un diámetro. Una semicircunferencia es la reunión de A, B y los puntos de C que están en un semiplano dado de arista . Los puntos A y B son los puntos extremos de la semicircunferencia.

La medida en grados de una semicircunferencia es 180 .

= 180

ÁNGULO INSCRITO: ËABC

á =

ÁNGULO SEMINSCRITO: ËATB

á =

“T” es punto de tangencia

ÁNGULO INTERIOR: ËAPB

á =

ÁNGULO EXTERIOR: ËAPB

Primer caso:

á =

á =

Tercer caso:

á + è = 180

PROPIEDADES ADICIONALES

01. Un ángulo cualquiera inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

02. Todos los ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes.

á = â = ... = è

03. Si “T” es punto de tangencia:

á = è

04. Para dos circunferencias tangentes interiores.

05. Para dos circunferencias tangentes exteriores.

06. Si “T” es punto de tangencia.

07. Si “P” y “T” son puntos de tangencia.

á = â

08. Si “P” y “T” son puntos de tangencia.

PROBLEMAS PROPUESTOS

A) 45 B) 50 C) 55

D) 60 E) 65

02. Del gráfico mostrado calcular “á”

A) 100 B) 105 C) 120 D) 135 E) 150

03. Si P y Q son puntos de tangencia, calcular “x”

A) 45 B) 60 C) 75

D) 63 E) 67,5

04. Del gráfico calcular “x”, siendo A y B puntos de tangencia y =120

A) 80 B) 60 C) 40

D) 30 E) 50

05. Del gráfico calcular “R”, si DE = 8

A) 2 B) 2,5 C) 6

D) 4 E) 5

06. En la figura mostrada: =a y =b. Calcular “x”

A) (a+b)/2 B) (a+b)/3 C) (a+b)/4

D) E)

07. En el gráfico se tiene que : P, Q y S son puntos de tangencia y . Calcular la

A) 55 B) 65 C) 75

D) 85 E) 70

A) 55 B) 60 C) 70 D) 75 E) 40

09. Si M y N son puntos de tangencia y m =160, calcular “x”

A) 80 B) 100 C) 120

D) 130 E) 110

10. En el gráfico: “B” es punto de tangencia. Calcular “x”, si : m =40, AO = OB A) 20 B) 10 C) 5 D) 15 E) 25 11. Si T es punto de tangencia, , =30, calcular “x” A) 75 B) 60 C) 45 D) 70 E) 80

12. En la figura: “P” es punto de tangencia, ED=DP y =100. Calcular “x” A) 20 B) 40 C) 50 D) 55 E) 65 13. En la figura AB = 5; BC = 4; BE = 3. Calcular CD A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

14. De la figura calcular el valor de “x”, si A, B, C y D son puntos de tangencia.

A) 50 B) 40 C) 45

D) 30 E) 60

15. En la figura T y S son puntos de tangencia. Calcular “x”, si m = 80 y m = 40.

A) 20 B) 30 C) 35

D) 40 E) 50

16. Si ABCD es un cuadrado, calcular la m .

A) 45 B) 30 C) 53

D) 37 E) 60

17. De la figura calcular el valor de “x”.

A) 80 B) 160 C) 100

D) 120 E) 140

18. Calcular “x”, si P y Q son puntos de tangencia

A) 40 B) 50 C) 100 D) 80 E) 90 19. Si : Diámetro, m =90; AP=3; PQ=5, calcular QB A) 3 B) 4 C) 5 D) 3 E) 4

20. En un cuadrado ABCD la circunferencia inscrita es tangente en M, L, F y Q a , ,

y respectivamente. Se traza ( N 0 ) ,

1 = {P}, – . Calcular la medida del ángulo determinado por y .

A) 53 B) 60 C) 75

TAREA

A) 100 B) 120 C) 140 D) 150 E) 160

02. En la figura el triángulo ABC es equilátero, P y A son puntos de tangencia. Calcular la m .

A) 30 B) 60 C) 45

D) 75 E) 40

03. En el gráfico los puntos P, Q, R y L son puntos de tangencia. Calcular el valor de “x”.

A) 45 B) 53 C) 60

D) 37 E) 75

04. Si m = 40, hallar m

A) 20 B) 80 C) 10

D) 40 E) 50

05. En una circunferencia se trazan las cuerdas perpendiculares ; BC = 8. Calcular la distancia del centro a

A) 8 B) 4 C) 5

D) 6 E) 2

06. De la figura calcular el valor de “x”.

A) 30 B) 60 C) 15

D) 45 E) 53

07. En una circunferencia de centro “O”, se trazan el diámetro y la cuerda que se intersecan en P y 3m = m . Calcular PC, si AP = 2 y AB = 10.

A) 3 B) 4 C) 5

D) 2,5 E) 6

08. Si “O” es centro de la semicircunferencia; M y N son puntos de tangencia, calcular á

A) 100° B) 120° C) 135° D) 105° E) 160°

09. De la figura calcular el valor de “x”, si la mËACB= 113, ; ; y son rectas tangentes (A, B y D son puntos de tangencia)

A) 20 B) 21 C) 22

10. Calcular è, si A, B, C, D y E son puntos de tangencia.

A) 15 B) 20 C) 22,5

D) 30 E) 36

CUADRILÁTERO INSCRITO

TEOREMAS DE PONCELET - PITOT Y STEINER

CUADRILÁTERO INSCRITO

Es aquel cuyos vértices pertenecen a una misma circunferencia, también se le llama cuadrilátero cíclico.

En este cuadrilátero las mediatrices de sus cuatro lados concurren en el centro de la circunferencia.

PROPIEDADES

1) Los ángulos opuestos son suplementarios

2) Las diagonales forman ángulos congruentes con los lados opuestos

3) Un ángulo interior es congruente con el opuesto exterior

CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE

Es el que se puede inscribir en una circunferencia, para que esto suceda dicho cuadrilátero deberá cumplir cualquiera de las propiedades que se cumplen en el cuadrilátero inscrito.

PROPIEDAD

Para dos circunferencias secantes

CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN EL TRIÁNGULO

Es aquella circunferencia tangente a los tres lados del triángulo.

En la figura : el triángulo está circunscrito a la circunferencia.

p : Semiperímetro BP = BR = p_ABC - AC AP = AQ = p_ABC - BC CR = CQ = pABC - AB

“O”: Incentro del ÄABC : Inradio del ÄABC

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA AL TRIÁNGULO

Es aquella circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

“O” : Circuncentro del ÄABC : Circunradio del ÄABC

Del gráfico, el triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de centro “O”

CIRCUNFERENCIA EX-INSCRITA A UN TRIÁNGULO

Es aquella circunferencia tangente a uno de los lados del triángulo, al cual es relativa, y tangente a las prolongaciones de los otros dos. En este caso el centro de la circunferencia es el excentro del triángulo y su radio es uno de los exradios del triángulo.

POLÍGONO CIRCUNSCRITO

Un polígono está circunscrito a una circunferencia, si cada lado del polígono es tangente a la

circunferencia. En este caso se dice que la circunferencia está inscrita en el polígono, y a su correspondiente radio se le denomina inradio.

En la figura se muestran un pentágono y un triángulo circunscritos, “R” y “r” son los inradios

correspondientes.

TEOREMA DE PONCELET

En todo triángulo rectángulo la suma de las medidas de los catetos es igual a la medida de la hipotenusa más el doble del inradio.

“r”: inradio del triángulo ABC

TEOREMA DE PITOT

En todo cuadrilátero circunscrito se cumple que la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados.

Se llama cuadrilátero circunscriptible al cuadrilátero que se puede circunscribir a una circunferencia, para que esto suceda los lados de dicho cuadrilátero deben cumplir con el Teorema de Pitot.

CUADRILÁTERO EX-INSCRITO

Un cuadrilátero se dice que está ex-inscrito a una circunferencia, si las prolongaciones de sus cuatro lados son tangentes a dicha circunferencia. En todo cuadrilátero ex-inscrito se cumple que la diferencia de las medidas de dos lados opuestos es igual a la diferencia de las medidas de los otros dos lados (Teorema de Steiner)

PROBLEMAS PROPUESTOS

BC=12. Calcular la medida del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

02. Se tiene un trapecio rectángulo circunscrito a una circunferencia. Los lados no paralelos miden 3 y 5. Calcular la medida de la base mayor.

A) 9 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

03. En la figura BC = 3, CD = 2 y AD = 5. Calcular el inradio del triángulo ABC

A) 0,5 B) 1 C) 1,5

D) 2 E) 2/3

04. De la figura adjunta: CN=MN. Calcular BC, si a+2b=8

A) 16 B) 4 C) 8

D) 10 E) 6

05. En la figura: r=1; R=3. Calcular BE

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

06. Del gráfico calcular “x”

A) 60 B) 70 C) 80 D) 85 E) 95 07. Calcular “x”, si á + â = 250 A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 08. En la figura: AC = AD y CM = MD. Calcular “w” A) 5 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20 09. Calcular “x”, si es diámetro y m = 80 y PM = MQ A) 20 B) 40 C) 30 D) 50 E) 60

10. Calcular “x”, si I es incentro del triángulo ABC.

A) 15 B) 18,5 C) 26,5

D) 8 E) 10,5

11. En el gráfico las circunferencias están inscritas en los triángulos ABC y BLC. Si BQ = 8 y PL = 2, calcular la medida del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC

A) 5 B) 6 C) 3

D) 10 E) 4

12. En un trapezoide ABCD circunscriptible; AB=7; BC=1; mËCAD=30; mËADC=90. Calcular la medida del inradio del triángulo ACD

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

13. Calcular el radio de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero ABCD, si mËABC=90, mËBAD=53, BC=6, CD=5 y AD=11.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

14. Se tiene un cuadrilátero el cual es circunscriptible y ex-inscriptible a la vez. Entonces el cuadrilátero es :

A) Trapezoide simétrico B) Cuadrado C) Rombo D) Romboide E) Trapecio isósceles 15. En la figura m = 110. Calcular “x” A) 70 B) 35 C) 55 D) 60 E) 65

16. Según el gráfico, calcular el valor de “x”

A) 10 B) 15 C) 25

D) 50 E) 75

17. Si la m = 40, calcular á

A) 40 B) 50 C) 20

D) 25 E) 35

18. En la figura son diámetros y “D” es punto de tangencia . Calcular è

A) 10 B) 20 C) 15

D) 25 E) 35

19. En el gráfico: EF=12. Calcular la medida del inradio del triángulo ABC

A) 6 B) 8 C) 9

D) 7,5 E) 10

20. De la figura calcular el valor de “x”.

A) 20 B) 40 C) 30

TAREA

tangencia, BM= PQ y BS = 9, calcular la medida del inradio del triángulo ABC

A) 9 B) 4,5 C) 6

D) 8 E) 3

02. Se tiene un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia de centro “O”, tal que la mËB=90; AD=OC=13 y AB+CD=30. Si “M” es el punto de tangencia con , calcular la medida del inradio del triángulo OMC

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 2,5

03. Un trapecio escaleno de perímetro 40, está circunscrito a una circunferencia. Si la distancia entre los puntos medios de sus diagonales es 3, calcular la longitud de la base mayor.

A) 10 B) 11 C) 13

D) 12 E) 14

04. En la figura mostrada calcular “x”, si : m =m y mËOCD = 80 A) 20 B) 60 C) 30 D) 80 E) 40 05. En la figura calcular è A) 18 B) 15 C) 10 D) 24 E) 36

06. En un octógono circunscrito a una circunferencia, sus lados consecutivos miden 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Calcular la longitud del último lado

A) 3 B) 4 C) 8

D) 6 E) 5

07. En un ÄABC, recto en B, la circunferencia inscrita es tangente a en “P”, se traza la altura . Calcular , si los inradios de los triángulos AHB y BHC son 2 y 5 respectivamente

A) 1,5 B) 2,5 C) 3

D) E)

08. Dado un triángulo equilátero ABD exteriormente se construye el triángulo BCD. Si mËACB = 30, mËDAC = 18, calcular la mËBDC A) 84 B) 96 C) 48 D) 76 E) 54 09. En la figura: MF = 4, MN = 6 y NL = 10. Calcular FL. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

10. En la figura: T es punto de tangencia. Calcular “x”, si m = è

A) è B) C) 45 -

PUNTOS NOTABLES - RECTA DE EULER

ORTOCENTRO (H)

Es el punto donde concurren las tres alturas de un triángulo o sus prolongaciones.

El ortocentro está ubicado en el interior en un triángulo acutángulo, en el exterior en un triángulo obtusángulo y en el vértice del ángulo recto en un triángulo rectángulo.

H : Ortocentro

H : Ortocentro

H : Ortocentro

BARICENTRO (G)

Es el punto donde concurren las tres medianas de un triángulo. G : Baricentro Se cumple: AG = 2GM BG = 2GN CG= 2GL INCENTRO (I)

Es el punto donde concurren las tres bisectrices interiores.

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita y equidista de los lados del triángulo

EXCENTRO (E)

Es el punto donde concurren las bisectrices de dos ángulos exteriores de un triángulo y la bisectriz del tercer ángulo interior.

El excentro es el centro de la circunferencia ex -inscrita y equidista de los lados. Todo triángulo tiene tres excentros.