Introducción
El rol de pensar es y ha sido una exigencia en el ser humano, pues, es una capacidad que nos dio la naturaleza para algunos, o el creador para otros, que nos permite interpretar el mundo que nos rodea
e interactuar y darle significados al mismo. Pero
más que interpretar, nos ha servido para solucionar miles de desafíos y problemas que todos hemos de enfrentar en la vida.
La humanidad ha ido avanzando en ciencia y tecnología, base fundamental del mundo actual, pero
entendemos que esto no es suficiente, sino que es
necesario el arte de pensar, para poder comprender y
actuar de la mejor manera ante los problemas. Un problema es una situación que presenta tres elementos fundamentales: un algo, un alguien y una contradicción entre ellos:
Un algo respecto de lo cual versa una situación imaginaria o real, que es observada o interpretada por alguien que experimenta una situación de
contradicción frente a ese algo que lo provoca a movilizarse para eliminar aquella contradicción.
Por su parte el investigador Perales Palacios (1993)
nos dice que ″Un problema es cualquier situación
La resolución de problemas matemáticos: George Polya
vigente hasta hoy
Por: Nelsón Cordova - Docente USM Campus Guayaquil
Manuscrito recibido el 25 de abril del 2016 - Aceptado tras revisión, 5 de 0ctubre del 2016
Resumen
El resolver problemas es una tarea de mucho interés en el ámbito educativo y aún más en el área de las matemáticas, no sólo porque fue declarado en el concilio de maestros de Matemática, la National Council of Teacher of Mathematics en EEUU (NCTM) (Santos trigo, 1997), sino porque es una de las competencias a desarrollar declaradas por el ministerio de Educación de Ecuador (Educación, 2013). Este artículo muestra muy sintéticamente como, aplicando una secuencia metodológica simple, es posible resolver problemas muy complejos de matemática y presenta como ejemplo, dos problemas de la última Olimpiada internacional Universitaria de Matemática 2015; además de aplicar el método de Polya, se presenta un elemento innovador que es una perspectiva para poder enfrentar los problemas considerando que es posible determinar “impulsores” determinados por el solucionador y que pueden pertenecer a la estructura del mismo problema, con los cuales se logra llegar a la solución.
Palabras clave:
Resolución de problemas, Elemento distintivo, Elaboración de un plan, Impulsor.
prevista o espontánea que produce por un lado, un cierto grado de incertidumbre y, por el otro una
conducta tendente a la búsqueda de solución″.
(Perales palacios, 1993).
¿Pero con qué elementos cuenta el profesor de hoy en día para desarrollar en los estudiantes el rol de pensar?
Dentro de este contexto miramos al profesor como un actor protagónico en desarrollar “pensamiento” dentro de una sociedad que cada día está pensando menos debido a los avances tecnológicos y la globalización.
Principalmente el docente debe estar claro en que hay cinco aspectos fundamentales que un buen maestro debe manejar para enseñar a pensar a sus alumnos:
Conocer como aprenden sus estudiantes Manejar el tema que el versa
Conocer estrategias didácticas
Enmarcarse dentro de un enfoque epistemológico base
Ser creativo y abierto de mente.
Uno de los más prestigiosos investigadores en resolución de problemas, cuyos aportes son invocados hasta el día de hoy es George Polya, que a través del libro “How to solve it”, introduce cuatro pasos prácticos para resolver problemas, a saber:
a. Comprender el problema: ¿cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos y las condiciones?;
b. Concebir un plan: ¿conoce un problema relacionado con éste?, ¿conoce algún teorema que le pueda ser útil?, ¿podría enunciar el problema de otra forma?, ¿ha empleado todos los datos?;
c. Ejecución del plan: comprobar cada uno de los pasos, ¿puede usted ver que el paso es correcto?;
d. Visión retrospectiva: verificar el resultado y
repensar los procesos realizados con el afán de
verificar procedimientos, reforzar conceptos y
estrategias utilizadas. (Polya, 1965).
Por otro lado Dewey (1910), propuso cinco etapas: Identificación del problema,
Definición del problema,
Producción de hipótesis sobre posibles soluciones,
Desarrollo de estas hipótesis y deducción de sus propiedades,
Comprobación de las hipótesis. (Kempa, 1986)
Esta secuenciación muestra que los puntos 1 y 2 pueden (como propone Polya) concentrarse en uno sólo, pero si el problema lo amerita, es decir puede ser un problema muy complejo, debemos
definir claramente el problema. Además, el punto 3
es claramente una estrategia asociacionista, ya que esta producción de hipótesis, obliga al estudiante a buscar en sus archivos mentales diversas formas que él debiera conocer y que pudiera utilizar para dar solución a un problema. Si bien es cierto, este procedimiento sirve en muchos casos, a aquel estudiante que tiene poco entrenamiento en utilizar estrategias de resolución, podría jugarle en contra a la hora de resolver problemas.
“Dewey en 1910 describió etapas del pensamiento en la resolución de problemas que son un preludio o al menos un antecedente, de las que propuso Polya posteriormente en 1945 en su How to solved it, un compendio para el profesor de cómo puede ayudar a sus alumnos en forma efectiva en la resolución de problemas” (Martínez, 2008).
En definitiva, cualquiera de estas propuestas que
se aplique, ella debe dar resultados positivos en la resolución de problemas, tanto para la enseñanza, como para la investigación.
El objetivo principal de este artículo es mostrar que Polya está vigente y mostrar que dentro de su metodología, es posible introducir un elemento nuevo de búsqueda (impulsor) de soluciones que hace posible
obtener una dirección hacia la solución definitiva.
A continuación aplicaremos las etapas que propone G. Polya para la resolución de problemas, siguiendo la metodología que el investigador propone y, haciendo énfasis en la etapa elaboración de un plan, presentando un análisis de la estructura del problema en búsqueda de un impulsor que nos puede llamar la atención de alguna manera o que se encuentra en algún aspecto distintivo que lo hace exclusivo y único, que lo lleva a proveer la solución al problema.
de Polya
Uno de los 7 problemas presentados en el examen de la XVIII Olimpiada iberoamericana de Matemática Universitaria. La Habana Cuba 2015. (Devsaram, 2016)
Problema 1
Demuestre que:
Solución:
Paso 1: Comprender el problema:
La idea es demostrar que la expresión numérica de la izquierda es igual a , en principio se piensa que usando identidades es posible demostrarlo. Los ángulos no son los usados rutinariamente y no es posible usar una calculadora en este examen (pero si la usa, de hecho, el resultado sale inmediato).
Paso 2: Concebir de un Plan:
a) Búsqueda de un elemento impulsor: dada la estructura del problema hay algo que nos llama bastante la atención que provoca que la expresión de la izquierda se torne complicada y es el número 7 que divide a los múltiplos de 2π. Por lo que nuestro impulsor cualitativo será el número 7.
b) Por lo que podemos representar en el círculo unitario dividido en 7 partes.
Paso 3: Ejecutar el plan:
Podemos reformular el problema de la siguiente manera aplicando la fórmula:
Ahora la idea es como relacionar esta suma con los productos originales y claramente esto se obtiene usando el cuadrado de trinomio:
esto provocará que:
Lo que se va pareciendo a una ecuación de segundo grado donde sólo faltaría determinar los cuadrados en términos de a. Entonces despejando a2, tenemos:
Ahora consideremos y también que es decir
Procediendo análogamente tenemos:
Recordemos de (3) que el miembro izquierdo es igual a a2 - 2a, entonces la igualdad anterior es igual a:
De donde se obtienen los valores entonces concluimos que
así tenemos que , lo que es equivalente a lo que se quería demostrar:
Paso 4: Visión retrospectiva: vemos que la clave para la construcción de la estrategia estuvo en el impulsor cualitativo ( el número 7 ) que en su interpretación semántica indicó que el ángulo completo 2π se dividió en 7 partes iguales, generando 7 ángulos, donde los cosenos de algunos de ellos coinciden, hecho que se
reflejó al construir una figura representativa y con ello se pudo trabajar sólo con los ángulos cuya suma es
igual a 2π y determinar un elemento invariante que denominamos a. Además una estrategia muy interesante utilizada es la de utilizar cambios de variable, lo que permitió reducir el problema y visualizar las relaciones importantes para llegar a la solución.
Otro de los siete7 problemas presentados en el examen de la XVIII Olimpiada iberoamericana de Matemática Universitaria. La Habana Cuba 2015, es el siguiente (Devsaram, 2016).
Problema 2
Sean a a y b números reales tales que a < b y ab > 0. Sea ∫: [a,b]→[a,b] una función continua. Muestre que existe un número real x talque x∫(x) = ab . (XVIII Olimpiada iberoamericana de Matemática Universitaria 2015).
Solución:
Paso 1: Comprender el problema:
1.- Tenemos dos números reales distintos tales que su producto es positivo 2.- Tenemos una función continua cuyo dominio y recorrido es el intervalo [a,b]. 3.-Nos pide mostrar que existe un número x, que cumpla con la ecuación x∫(x) = ab . 4.- Para demostrar existencia la idea es aplicar algún teorema.
5.- Notamos que a y b son ambos distintos de cero.
Paso 2. Concebir un plan:
Búsqueda de un elemento impulsor: nuestro plan será fijarse en la expresión x∫(x) pues nos parece una
expresión especial y que dado el producto provoca que se dé la situación requerida y definir una nueva
función F(x) = x∫(x) y ver si cumple las condiciones del valor intermedio dado el valor ab .
Paso 3: Ejecutar el plan:
1.- Primer caso: si xє[a,b] y a > 0 entonces a < x < b , y a < ∫(x) < b , entonces a2 < x∫(x) < b2 , por lo que
concluimos que F:[a,b]→[a2,b2] es también continua, pues es producto de funciones continuas.
2.-Como 0 < a < b , entonces es válido que: a2 < ab ^ ab < b2 , es decir abє RecF
3.- Segundo caso: si xє[a,b] y a < b < 0 entonces a < x < b, y a < ∫(x) < b , entonces a2 > x∫(x) > b2, por lo
que concluimos que F:[a,b]→[b2,a2] es también continua.
4.- Como a < b < 0 , entonces es válido que: a2 > ab ^ ab > b2, es decir abє RecF
5.- Como en cada casoabє RecF, aplicando el teorema del valor intermedio a la función continua F(x)=x∫(x), entonces existe un valor x0є[a,b] talque F(x0 ) = x0 ∫ (x0 ) = ab .
Paso 4: Visión retrospectiva: el definir F(x) = x∫ (x) y determinar al producto como elemento distintivo
del problema nos facilitó el trabajo para definir una nueva función y se pudo mostrar lo solicitado en el
problema. En estos casos en que hay que demostrar existencia, siempre es necesario recurrir a propiedades o teoremas matemáticos conocidos. También es importante analizar las estructuras que presentan los
3.- Reflexiones Finales
En primer lugar, se torna muy importante tener una directriz para resolver problemas, en este caso, se debe seguir un procedimiento básico que divida el proceso en partes que permita ocuparse detalladamente de cada uno en forma efectiva, para así lograr llegar a la solución. En segundo lugar vemos la importancia del segundo paso de este procedimiento Concebir un plan, el cual para hacerlo efectivo, no sólo es importante conocer estrategias de resolución y muy bien el tema del problema, sino también buscar un elemento distintivo que aparezca “ante nuestros ojos” y que nos llame la atención porque destaca del resto y por lo tanto, ese elemento nos ayudará a determinar el camino a la solución. Este elemento clave es un impulsor o inductor de soluciones que aparece en los problemas y que mientras más experiencia resolviendo problemas tiene el solucionador más fácil es detectarlos. En estos problemas de
olimpiadas mostrados en este artículo, los cuales no son fáciles de resolver por el común de las personas se descubrieron estos impulsores, en el problema uno fue simplemente un número (el número7), en el segundo fue un producto especial x∫(x) que nos
permitió definir una función a la cual se le aplicaron
propiedades matemáticas.
Buscar este tipo de impulsores en un problema, se constituye en una estrategia heurística para la resolución de problemas, a la que será importante
darle forma y así poder definir más exactamente
de qué tipo de elemento estamos hablando y cómo podemos utilizar este tipo de recurso en la resolución de problemas matemáticos. Estos elementos no sólo se podrían utilizar en problemas matemáticos sino en cualquier tipo de problemas en cualquier ámbito, lo único que habría que hacer es transferir y adaptar los elementos respectivos del problema.
Bibliografía
1.-Devsaram. (25 de Abril de 2016). OIMU. Obtenido de Olimpiada iberoamericana de Matemática Universitaria: http://oimu.eventos.cimat.mx/
2.-Educación, m. d. (2013). Lineamientos curriculares matemátyica superior. Quito: Ecuador. 3.-Kempa, R. (1986). Resolucion de problemas de química y estructura cognoscitiva. Enseñanza de las ciencias, 99-110.
4.-Martínez, E. C. (2008). Resolución de problemas:
ideas, tendencias e influencias en España. In
Investigación en educación matemática XII (p. 6). Sociedad Española de Investigación en Educación
Matemática, SEIEM. In Investigación en educación matemática XII (p. 6). Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM., 6.
5.-Perales palacios, F. (1993). La resolución de Problemas : una revisiónestructurada. Enseñanza de las ciencias, 170-178.
6.-Polya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas2. Mexico: Trillas.
