Unidad 1: Introducción y conceptos básicos

Unidad 1: Introducción y conceptos

básicos

•

Introducción al paquete y al lenguaje (Matlab/GnuOctave).

Conceptos esenciales. Línea de comandos.

•

Operaciones elementales.

•

Variables.

•

Funciones elementales.

•

Vectores. Operaciones con vectores. Vectorización.

•

Representación gráfica de funciones.

•

Scripts.

Aplicaciones en física:

•

Descripción y representación del movimiento de una partícula.

Trayectorias: r(t), v(t), a(t).

•

Derivación numérica elemental. Velocidad y aceleración.

•

Integración numérica elemental.

Introducción

NOTA: Para la realización del curso se requieren conocimientos básicos de Windows, OS o linux.

MATLAB/GnuOctave/Scilab

http://www.mathworks.es/products/matlab/

MATLAB® _{es un lenguaje de alto nivel y un entorno interactivo para el cálculo}

numérico, la visualización y la programación. Mediante MATLAB, es posible analizar datos, desarrollar algoritmos y crear modelos o aplicaciones. El lenguaje, las herramientas y las funciones matemáticas incorporadas permiten explorar diversos enfoques y llegar a una solución antes que con hojas de cálculo o lenguajes de programación tradicionales, como pueden ser C/C++ o Java™_.

http://www.mathworks.es/videos/matlab-overview-61923.html?type=shadow&language=es Matlab: o entorno interactivo, o editor, o lenguaje de programación, o compilador, o ejecución de programas, o debuger, o …

Operaciones elementales MATLAB como una calculadora

>>

help

>>

doc

Operaciones elementales:

+

-

*

/

^

Ejercicio 1.1: Realiza una serie de cálculos elementales, por ejemplo:

>> 4+2 >> 2*pi

>> 10+43/2 >> 6*1.0004e20/9^9

>> (10+43)/2 >> 103^2.4+4*3.7-1.2/4^1.2 >> 3.1416^3.1416 >> -2^0.5

Unidad 1: Introducción y conceptos

básicos

•

Introducción al paquete y al lenguaje (Matlab/GnuOctave).

Conceptos esenciales. Línea de comandos.

•

Operaciones elementales.

•

Variables.

•

Funciones elementales.

•

Vectores. Operaciones con vectores. Vectorización.

•

Representación gráfica de funciones.

•

Scripts.

Aplicaciones en física:

•

Descripción y representación del movimiento de una partícula.

Trayectorias: r(t), v(t), a(t).

•

Derivación numérica elemental. Velocidad y aceleración.

•

Integración numérica elemental.

Variables MATLAB como una calculadora

Ejercicio 1.2: Repetir ejercicio 1.1 usando variables.

Matlab puede almacenar números en varibles y operar con ellas:

>> a = 4

>> b = 7

>> c = a + b

>> milesima = a – b + 3.001

>> a = 0.032

>> c = a + b

a

b

c

4

7

11

a

0.032

Nombre de las variables:

Cualquier combinación de letras (excepto ñ) y números empezando por una letra.

También se puede usar el guion bajo " _ ". Sin espacios.

Hasta 63 caracteres.

Consejo: Usar nombres con significado.

Variables predefinidas:

ans

pi = 3.141592654... = π eps = 2.22044...e-16 = 2-54

i unidad imaginaria √-1 (también j) inf

Variables MATLAB como una calculadora

Variables predefinidas:

Cambiar el valor de una variable predefinida y recuperar su valor: >> i

>> i=2 >> clear i >> i

clear se puede usar con cualquier variable (ver la ayuda).

Mirar también que hacen who, whos y clc. En la ventana Workspace se pueden ver también las variables que están definidas por el usuario en ese momento.

Visualización de valores,

format

:

Mirar en la ayuda el comando format.

Probar sumar, por ejemplo, 1000000000 + 1 y ver el resultado con format short y format long. Mirar que hace ; al final de un expresión.

Caracteres:

Las variables también pueden tener un valor alfanumérico: >> texto=‘hola’

Funciones elementales MATLAB como una calculadora

Matlab incluye una gran cantidad de funciones predefinidas, entre ellas todas las funciones matemáticas elementales sin() cos() tan() exp() log() sqrt() ...

Ejercicio 1.3: calcular log2(108), exp(log(9)), sin(asin(0.7)), tan(pi/3)-sin(pi/3)/cos(pi/3), …

Ejercicios MATLAB como una calculadora Ejercicio 1.4: Hacer los siguientes cálculos:

1) Define en una variable un ángulo cualquiera en grados, entre 0 y 90, ej. xg = 33 2) Cambia a radianes, xr

3) Calcula el seno, coseno y tangente de ese ángulo xr, ej. sx,cx,tx

4) Para los valores obtenidos, calcular las funciones inversas: asin(sx), acos(cx) y atan(tx) 5) Finalmente cambia el resultado de esas operaciones a grados.

Repetir este cálculo para varios ángulos iniciales: xg= 56, 24, 78, etc.

Probar con otros ángulos fuera del primer cuadrante (ej. 120, -234, 245…).

Ejercicio 1.5: Comprobar para varios ángulos si las siguientes identidades son correctas: 1) tan(x/2) = sqrt [ (1-cos(x) ) / ( 1 + cos(x) ) ]

2) tan(2x) = 2 tan(x) / ( 1 – tan2_{(x) )}

3) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

Ejercicios MATLAB como una calculadora Ejercicio 1.6: Estimar numéricamente el límite

lim (x→0) [ sin( π x) / x ]

Para ello observar el comportamiento del cociente [ sin( π x) / x ] para valores de x acercándose a cero.

Ejercicio 1.7: Usar help o doc para ver para que sirven los comandos diary y save, y para aprender a usarlos.

Unidad 1: Introducción y conceptos

básicos

•

Introducción al paquete y al lenguaje (Matlab/GnuOctave).

Conceptos esenciales. Línea de comandos.

•

Operaciones elementales.

•

Variables.

•

Funciones elementales.

•

Vectores. Operaciones con vectores. Vectorización.

•

Representación gráfica de funciones.

•

Scripts.

Aplicaciones en física:

•

Descripción y representación del movimiento de una partícula.

Trayectorias: r(t), v(t), a(t).

•

Derivación numérica elemental. Velocidad y aceleración.

•

Integración numérica elemental.

Vectores Conceptos básicos

Se pueden almacenar un conjunto de número en una sola variable indexada, es decir en un vector:

>> a = [ 0.25 0.33 0.5 0.66 ] >> a(2)

>> a(3) >> a(2:3)

Otras formas de definir vectores: >> a = [0.25,0.33,0.5,0.66] >> b = [1 2 3 4 5 6] >> b = [1:6] >> b = [1:1:6] >> c = [1:2:6] >> v = [1:-0.1:0] >> vv = 0:1/3:3

a

0.25

1

0.33

2

0.50

3

0.66

4

También se pueden definir las componentes: >> b = [1:1:6]

>> b(3) = 0.5

O extraerlas del vector: >> b(5) = []

O usar vectores para crear otros: >> a=[-2,-1,0],b=[1,2]

>> ab=[a b]

Crear vectores cuyo conjunto de valores está espaciado uniformemente: >> vector = [valor_inicial:espaciado:valor_final] >> vector = linspace(valor_inicial,valor_final,numero_elementos) >> xgrid = linspace(-2,2,10) >> help logspace vector(1)=valor_inicial vector(N)=valor_final N=numero_elementos Índices enteros y positivos

Vectores Operaciones con vectores

Vector “columna” y transponer vectores: >> a = [0.25;0.33;0.5;0.66]

>> b=[1:6] >> b’

Transponer vectores complejos: >> acomp=[1+i, -4, 2-3.5*i]

>> acomp’ Se pueden realizar operaciones con vectores:

>> k=[0.1:0.3:1.9] >> 3*k >> k-sqrt(3) >> length(k) >> norm(k) >> sort(k) >> v = [1, 2, 3], x = [5, 6, 7]; >> u = v+x >> u = v*x’ >> u = dot(v,x) >> u = cross(v,x)

y también elemento a elemento: >> v*x >> v.*x >> v^2 >> v.^2 >> v/x >> v./x >> acomp=[1+i, -4, 2-3.5*i] >> acomp.’

Las funciones admiten vectores como argumentos:

>> k=[0.1:0.3:1.9] >> sin(k)

>> log(k)

Definir vectores a partir de partes de otros vectores:

>> v = [1, 2, 3],u = [5, 6, 7] >> u1 = [3*u-v, 2*v]

Ejercicios Vectores Ejercicio 1.8: Crear un vector a de 10 elementos que contenga los primeros números impares y uno b de la misma dimensión que contenga los primeros pares.

Ejercicio 1.10: Genera un vector con el año de celebración de los juegos olímpicos empezando en Londres 2012 y finalizando en Londres 1948.

Con una sola línea de comando muestra las fechas de uno de cada tres juego empezando por 1948.

Ejercicio 1.9: Repite el ejercicio 1.4 y 1.5 usando vectores.

Ejercicio 1.11: Escribe en Matlab una expresión para calcular el ángulo entre dos vectores v1 y v2. Aplica esa expresión para el caso de los vectores v1 = (1, 2, 3) ; v2 = (3, 2, 1).

Ejercicio 1.12: Usar help de Matlab para conocer que hacen las siguientes funciones:

Unidad 1: Introducción y conceptos

básicos

•

Introducción al paquete y al lenguaje (Matlab/GnuOctave).

Conceptos esenciales. Línea de comandos.

•

Operaciones elementales.

•

Variables.

•

Funciones elementales.

•

Vectores. Operaciones con vectores. Vectorización.

•

Representación gráfica de funciones.

•

Scripts.

Aplicaciones en física:

•

Descripción y representación del movimiento de una partícula.

Trayectorias: r(t), v(t), a(t).

•

Derivación numérica elemental. Velocidad y aceleración.

•

Integración numérica elemental.

Representación gráfica plot

Representar sen(x) entre 0 y 2π: >> x = [0:2*pi/100:2*pi];

>> x = linspace(0,2*pi,100); >> y=sin(x);

>> plot(x,y);

x e y son dos vectores del mismo tamaño. >> plot(x,cos(x));

Colores, tipos de líneas, símbolos: >> y=x.^2;

>> plot(x,y,'r'); >> plot(x,y,'--g'); >> plot(x,y,'*');

Varias gráficas en la misma figura: >> plot(x,cos(x),x,sin(x)); >> plot(x,cos(x),'r',x,sin(x),'k'); hold >> plot(x,cos(x),'k') >> hold on >> plot(x,cos(x).^2,'r') >> close all >> plot(x,cos(x),'k') >> hold on >> plot(x,cos(x).^2,'r') >> hold off >> plot(x,sin(x),'b')

Representación gráfica plot

Título, leyenda, ejes:

>> plot(x,cos(x),'r',x,sin(x),'k')

>> title('Ejemplo representación gráfica'); >> xlabel('x(radianes)')

>> ylabel('y')

>> pos = 0; % pos=-1,0,...,4, ej. 0

>> legend('y = sen(x)', 'y = cos(x)', pos) >> text(5,0.6,'texto en la grafica')

% Comentario (En Scilab ;)

Límites de los ejes:

axis([xmin, xmax, ymin, ymax])

axis equal, axis square, axis tight

Grid:

figure(i): Genera una ventana e identifica la figura como i.

>> x = linspace(0,2*pi,100); >> figure(1)

>> plot(x,sin(x)) >> figure(2) >> plot(x,cos(x))

Representación gráfica plot

Varias figuras: subplot. >> x = linspace(0,2*pi,100); >> subplot(1,2,1), plot(x,sin(x)) >> subplot(1,2,2), plot(x,cos(x))

subplot(filas totales,columnas totales,id del subplot)

Representación de funciones, fplot: >> close all; clear all

>> fplot('x^2-3*x',[0,5],'r')

Guardar las gráficas:

>> print -dDEVICE NAMEFILE

Unidad 1: Introducción y conceptos

básicos

•

Introducción al paquete y al lenguaje (Matlab/GnuOctave).

Conceptos esenciales. Línea de comandos.

•

Operaciones elementales.

•

Variables.

•

Funciones elementales.

•

Vectores. Operaciones con vectores. Vectorización.

•

Representación gráfica de funciones.

•

Scripts.

Aplicaciones en física:

•

Descripción y representación del movimiento de una partícula.

Trayectorias: r(t), v(t), a(t).

•

Derivación numérica elemental. Velocidad y aceleración.

•

Integración numérica elemental.

Scripts ficheros .m

Matlab edita, lee y ejecuta una lista de comandos (programa) que se pueden almacenar en ficheros con extesión .m

Scripts ficheros .m

Input: introducir valores, que el programa pide. Ejemplos:

x = input('x= ')

y = input('introduce valor de y') Output: disp

doc disp

clear all

Conviene empezar todos los programas con la instrucción clear all y close all para

eliminar de la memoria los valores asignados en cálculos anteriores a todas las variables. Ellipsis

Para poder continuar escribiendo la misma instrucción en la siguiente línea del programa. Ejemplo:

sumita = 1 + 2 ... + 3 + 4 + 5

Ejercicios Gráficas

Ejercicio 1.13: Representar f(x) = x2 _{exp(-x) usando solid lines y símbolos}

Ejercicio 1.15: Tiro Parabólico. Escribe un programa para analizar gráficamente el

movimiento de un proyectil para diversos valores iniciales (input) de la velocidad, v0 (en m/s), y del ángulo, a (en grados), de lanzamiento.

(a) Para los valores iniciales v0=10 m/s y a=60, dibujar la trayectoria del proyectil (y en función de x, y(x)), y la velocidad vertical en función del tiempo, vy(t).

(b) Analizar la conservación de la energía. Pintar en una misma gráfica la energía cinética, la energía potencial y la energía total en función del tiempo, Ec(t), Ep(t) y ET(t) (tomar m = 5 kg).

Ejercicio 1.14: Representar en una misma figura en diferentes gráficas y=sen(x), y2=sen2_{(x), y3=sen}3_{(x) e y4=sen}4_(x).

Ejercicio 1.16: Retocar el programa del ejercicio anterior (Tiro parabólico) para dibujar en una misma gráfica la trayectoria para 5 ángulos iniciales diferentes, con valores

equi-espaciados entre 15 y 75 grados. Dibuja cada curva en un color diferente.

A partir de ahora todas las gráficas deben estar bien realizas y con un formato

adecuado, indicando los nombres de los ejes INCLUYENDO SIEMPRE LAS UNIDADES, con límites adecuados, etiquetas equiespaciadas y si es necesario leyenda, título,… y que se vea todo bien

Unidad 1: Introducción y conceptos

básicos

•

Introducción al paquete y al lenguaje (Matlab/GnuOctave).

Conceptos esenciales. Línea de comandos.

•

Operaciones elementales.

•

Variables.

•

Funciones elementales.

•

Vectores. Operaciones con vectores. Vectorización.

•

Representación gráfica de funciones.

•

Scripts.

Aplicaciones en física:

•

Descripción y representación del movimiento de una partícula.

Trayectorias: r(t), v(t), a(t).

•

Derivación numérica elemental. Velocidad y aceleración.

•

Integración numérica elemental.

Derivación numérica Definición Definición: si h es un número pequeño:

 



  

h

x

f

h

x

f

x

f









lim

 

 



  

h

x

f

h

x

f

x

f

D

x

f











Diferencia finita hacia delante (Forward difference)

 

 

  



h

h

x

f

x

f

x

f

D

x

f











 

 



 



h

h

x

f

h

x

f

x

f

D

x

f

*

2











Derivación numérica Definición

Diferencia finita hacia delante (Forward difference)

 

 

  



h

h

x

f

x

f

x

f

D

x

f











Diferencia finita hacia atrás (Backward difference)

 

 



 



h

h

x

f

h

x

f

x

f

D

x

f

*

2













Diferencia finita centrada (Central difference)

 

 



  

h

x

f

h

x

f

x

f

D

x

f











x

f(x)

h

f(x+h)

x+h

x-h

f(x-h)

Derivación numérica ¿Cómo lo programamos?

Diferencia finita hacia delante (Forward difference)

 

 



  

h

x

f

h

x

f

x

f

D

x

f











Ejercicio 1.17: Escribir un programa (script) que calcule la derivada numérica hacia delante de f(x) = cos(x) entre 0 y 2π. Representarla gráficamente y comparar con la solución analítica.

Tendremos que calcular un conjunto de datos equiespaciados x_i, y_i con y_i=cos(x_i) y de ellos la derivada numérica como otro conjunto de datos x_i, Dhy_i con Dhy_i=(y_i+1-y_i)/(x_i+1-x_i)

Algoritmo: • Definir el intervalo [a,b] y el número de puntos del mallado en x, N • Generar el vector x donde a ≤ x_i ≤ b, i =1:N

• Generar el vector y donde y_i = f(x_i), i =1:N

• Calcular el vector dx donde dx_i = x_i+1-x_i, i =1:N-1 • Calcular el vector dy donde dy_i = y_i+1-y_i, i =1:N-1 • Calcular el vector Dhy donde Dhy_i = dy_i/dx_i, i =1:N-1 • Representar el conjunto (x_i, Dhy_i), i =1:N-1

Derivación numérica ¿Cómo lo programamos?

Diferencia finita hacia delante (Forward difference)

 

 



  

h

x

f

h

x

f

x

f

D

x

f











Ejercicio 1.17: Escribir un programa (script) que calcule la derivada numérica hacia delante de f(x) = cos(x) entre 0 y 2π. Representarla gráficamente y comparar con la solución analítica.

Tendremos que calcular un conjunto de datos equiespaciados x_i, y_i con y_i=cos(x_i) y de ellos la derivada numérica como otro conjunto de datos x_i, Dhy_i con Dhy_i=(y_i+1-y_i)/(x_i+1-x_i)

Programa: % Intervalo a = 0; b= 2*pi; N=20; % Vectores x e y x=linspace(a,b,N); y=cos(x); % Diferencias finitas: il=1:N-1; dx=x(il+1)-x(il); dy=y(il+1)-y(il); Dhy=dy./dx; % Representación Gráfica plot(x(1:N-1),Dhy,'r') hold on Df=-sin(x); plot(x(1:N-1),Df(1:N-1),'bo') % Formato de la figura …

Derivación numérica Ejercicio 1.18: Completar el ejercicio anterior calculando y representado las diferencias hacia atrás y centradas.

Ejercicio 1.19: Calcular la derivada numérica de f(x) = cos(x) en x = π/6 para h = 0.1. Calcular el error cometido. Repetir el cálculo para h = 0.05, 0.025, 0.0125, 0.00625 y 0.003125. Analizar cómo se va reduciendo el error al disminuir h.

Hacer el mismo cálculo para los tres métodos explicados. ¿Qué método es mejor?

Ejercicio 1.20: Calcula y dibuja en el intervalo x=[0,5] la derivada de la función:

f(x) = exp(x) cos(x)/(1+ x4_{). Usar loglog y semilogy para representar la derivada en x=[0,50].}

Ejercicios

Ejercicio 1.21: Calcular numéricamente la velocidad y aceleración en función del tiempo partiendo de la posición x(t) e y(t) del ejercicio 1.15, tiro parabólico.

Unidad 1: Introducción y conceptos

básicos

•

Introducción al paquete y al lenguaje (Matlab/GnuOctave).

Conceptos esenciales. Línea de comandos.

•

Operaciones elementales.

•

Variables.

•

Funciones elementales.

•

Vectores. Operaciones con vectores. Vectorización.

•

Representación gráfica de funciones.

•

Scripts.

Aplicaciones en física:

•

Descripción y representación del movimiento de una partícula.

Trayectorias: r(t), v(t), a(t).

•

Derivación numérica elemental. Velocidad y aceleración.

•

Integración numérica elemental.

Integración numérica Definición Problema general:

 





 

f

x

dx

f

I

• A set of points {x_i,f_i=f(x_i)} (i=0,n) of f(x) is known.

The method that we are going to explain in this lesson can not be generalized for any f(x), for example f should not be grouped in “peaks”, it should be characterized by a single scale, etc. Furthermore, for the case of a known set of points, these should equidistant. In any other case, techniques for solving differential equations should be used.

Equidistant points formula: Trapezoidal, Simpson, Bode and higher order rules.

• Newton-Cotes formulas: We approach the function f(x) by a polynomial.

• Trapezoidal rule: Lineal Interpolation:

  







x

x

y

x

x

y

x

x

x

P











 

x

dx



x

x



f

 

x

f

 

x

h

f

f

h

f

 

c

f

12

2

1

2

1

2

1

2

1











_











_







Integración numérica Regla del trapezoide

• Newton-Cotes formulas

• Trapezoidal rule: Lineal Interpolation:

 









_



 



 

_





2

1

2

1

x

f

x

f

x

x

dx

x

f

• Extended Trapezoidal rule:

 



_{  }

c

f

a

b

h

f

f

f

f

h

dx

x

f

12

2

1

...

2

1













_

_

_

_





 

f

T

Integración numérica Regla del trapezoide

• Extended Trapezoidal rule:

 



_{  }

c

f

a

b

h

f

f

f

f

h

dx

x

f

12

2

1

...

2

1













_

_

_

_





 

f

T

Ejercicio 1.22: Escribir un programa (script) que calcule la integral numérica usando la regla del trapezoide de f(x) = sen(x) entre 0 y π/2. Usar varios números de intervalos: ir duplicando n desde n=1 a n=256. Calcular el error y analizar su comportamiento en función de n.

 

 

c

f

h

f

f

f

h

dx

x

f

12

3

1

3

4

3

1











_

_





Integración numérica Regla del Simpson

• Newton-Cotes formulas

• Simpson rule (polynomial of degree 2):

• Extended Simpson rule:

 



_















_





f

x

dx

h

f

f

f

f

f

₃

f

1

3

4

...

3

4

3

2

3

4

3

1

 

f

S





 

Ejercicio 1.23: Repetir el ejercicio anterior usando la regla de Simpson. ¿Qué método es más preciso?

Integración numérica Ejercicio 1.24: Calcula la integral, en el intervalo x=[0,5], de la función:

f(x) = exp(x) cos(x)/(1+ x4 ₎

Ejercicio 1.25: Calcular la siguiente integral:

𝐸 𝑘 = 1 − 𝑘2_sin2 _θ π

2 0

𝑑θ

para varios valores de k y a continuación representar la función E(k). Ejercicios

Ejercicio 1.26: Suponer que tenemos un partícula cuya velocidad en el intervalo de tiempo T = [0:10s], viene dada por:

𝑣_𝑥 𝑡 = 𝑣₀ + 𝑘𝑡 𝑣_𝑦 𝑡 = 𝐴cos ω𝑡

Una vez escogido un valor de los parámetros v₀, k, A y ω, dibujar una gráfica de su trayectoria en el plano (x,y).