0101_repasovectores.pdf

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R

0101) Repaso de Vectores

1) Repaso de Operaciones Vectoriales

• Usar la suma vectorial, usando la regla del triángulo y la del paralelogramo. • Calcular la magnitud y dirección de la suma usando teorema del seno y del coseno • Usar el producto de un vector por un escalar. Dividir un vector por un escalar

diferente de cero

• Usar la resta de vectores mediante la regla del triángulo y la del paralelogramo

Notación Vectorial El vector cero o nulo (0

r

) es aquel vector cuya magnitud es cero (0 =0

r

). Por convención, tiene cualquier dirección

y sentido

Se considera que dos vectores son iguales cuando tienen igual magnitud, igual dirección e igual sentido. La igualdad es independiente del punto de aplicación (ver figura 1)

Multiplicación de un vector por un escalar

Sea un vector ar y un escalar λ. Se define la multiplicación de un vector por un escalar como la operación

a

b r

r ⋅ =λ

En la figura 2, se muestra el efecto de esta operación para diferentes valores de λ. Al respecto, caben las siguientes observaciones:

• b = λa =λ ⋅a r

• En todos los casos, los vectores ar y b

r tienen la misma dirección, por lo que se dice que son

paralelos. En el caso particular de que λ < 0, tienen sentidos opuestos, en cuyo caso

se denominan

antiparalelos.

1

−

<

λ

1

−

=

λ

0

1

<

<

−

λ

0

=

λ

1

0

<

λ

<

1

=

λ

1

>

λ

a

r

0

r

b

r

b

r

b

r

b

r

b

r

b

r

Sentidos Magnitud

Opuesto

Opuesto

Opuesto

Cualquiera

Iguales

Iguales

Iguales

a

b

r

r

>

a

b

r

r

>

a

b

r

r

<

a

b

r

r

<

a

b

r

r

=

a

b

r

r

=

0

b

r

r

=

(*)

(**)

Figura 2) Multiplicación de vector por escalar. Figura 1) Vectores iguales

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R

• En el caso indicado con (*), se cumple que a b 0 b ar r r r r

− =

⇒

=

+ , y se dice que b

r es el inverso aditivo de ar.

• En el caso indicado con (**), se cumple que b ar r

= . Suma de vectores.

La suma de vectores se puede hacer mediante dos métodos: la regla del triángulo (ilustrada en la figura 3) y la regla del paralelógramo (ilustrada en la figura 4)

(a)

(b)

(c)

Regla del Triángulo

Figura 3) Suma de vectores usando la regla del triángulo (a) Dibuje el vector ar

(b) Dibuje el vector b r

a partir del punto final del vector ar (c) Dibuje el vector a b

r s

+ , que es aquel cuyo punto inicial es el punto inicial de ar y cuyo punto final es el punto final de b

(a)

Regla del Paralelógramo

(b)

(c)

(d)

(e)

Figura 4) Suma de vectores usando la regla del paralelógramo (a) Dibuje el vector ar

(b) Dibuje el vector b r

a partir del punto inicial del vector ar, al que denominaremos O. (c) Trace la línea paralela al vector ar que pase por el punto final del vector b

r . (d) Trace la línea paralela al vector b

r

que pase por el punto final del vector ar. La intersección entre las rectas paralelas es el punto P.

(e) Dibuje el vector a b r s

+ , que es aquel cuyo punto inicial es O y cuyo punto final es P.

La suma de vectores cumple con las propiedades de:

• Conmutatividad: a+b=b+a (figura 5a)

• Asociatividad:

(

a+b

)

+c=a+

(

b+c

)

(figura 5b)

• Distributividad con respecto a la multiplicación por escalar:

(

a b

)

λa λb

λ + = + (figura 5c)

Resta de vectores.

La resta de vectores se define a partir de la suma. La resta entre los vectores ar y b

r

equivale a la suma de ar y el inverso aditivo de b

r

, o sea:

( )

b a b

a− = + −

En las figuras 6a y 6b se ilustra la resta de vectores a través de las reglas del triángulo y el paralelógramo, respectivamente.

En las figura 7a, 7b y 7c se resumen las ideas de suma y resta de vectores.

Resta de Vectores

(a)

(b)

Figura 6) Resta de vectores. (a) Según la regla del triángulo; (b) Según la regla del paralelógramo.

a

r

b r b

r

a

r

a

r

cr b

r b c

r r

+

b a

r r

+ c b

a r

r r

+ +

a

r

b r

b a

r r

+

a

r

b r

b a

r r

+

ar ⋅

λ

b

r

⋅

λ

(

a b

)

r r

+ ⋅ λ (a)

(b)

(c)

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Vectores perpendiculares

En la figura 8 se ilustra la relación entre el ángulo de dos vectores ar y b

r y las magnitudes de su suma a b

r r

+ y su resta b

-a

r r

:

• Si θ > 90º, entonces se cumple que b

a b a

r r r r

− >

+ (ver figura 8a)

• Si θ < 90º, entonces se cumple que b

a b a

r r r r

− <

+ (ver figura 8b)

• Si θ = 90º, que corresponde al caso de vectores perpendiculares (a b

r r

⊥ ), entonces se cumple que b

a b a

r r r r

− =

+ (ver figura 8c)

Resta de Vectores

(a)

(b)

(c)

Figura 7) (a) a b r s

+ ; (b) a b r s

− . Inicio en el punto final de b r

, y final en el punto final de ar; (c) b-as

r

Inicio en el punto final de ar, y final en el punto final de b

r .

θ

a

r

b

r

b

-r

b

a

r

r

+

b

a

r

r

−

θ

θ

(a)

(b) (c)

Figura 8) Relación entre el ángulo de los sumandos y la magnitud de la suma y resta de vectores. (a) θ > 90º; (b) θ < 90º;(c) θ = 90º.

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Análisis de la magnitud de a b r r

+

En la figura 9a se muestra la suma a b r r

+ según la regla del triángulo. Aplicando el teorema del coseno, se puede obtener el módulo de la suma

b a

r r

+ en función del ángulo θ, ar y b r .

( )

θ cos b a 2 b a b

a+ 2 = 2 + 2− ⋅ ⋅ ⋅

r r r r r r

A continuación vamos a analizar este resultado para tres casos particulares.

• θ = 180º (Figura 9b)

En este caso, cos(θ) = -1, por lo que la ecuación para la magnitud de la suma se ve reducida a:

(

)

2

2 2 2

b a b a 2 b a b a

r r r r r

r r r

+ = ⋅ ⋅ + + = +

Sacando raíz cuadrada, se obtiene que b

a b a

r r r r

+ =

+ . Este caso corresponde a la

máxima magnitud posible de la suma de dos vectores, y es coherente con la figura 20b.

• θ = 90º (Figura 9c)

En este caso, cos(θ) = 0, por lo que la ecuación para la magnitud de la suma se ve reducida a:

2 2 2

b a b a

r r r r

+ = +

Sacando raíz cuadrada, se obtiene que a b a2 b2 r r r r

+ =

+ . Este caso corresponde a dos

vectores perpendiculares, y es coherente con la figura 20c.

• θ = 0º (Figura 9d)

En este caso, cos(θ) = 1, por lo que la ecuación para la magnitud de la suma se ve reducida a:

(

)

2

2 2 2

b a b a 2 b a b a

r r r r r r r r

− = ⋅ ⋅ − + = +

Figura 9) Análisis de la magnitud de a b r r

+ . (a) Caso general (b) θ = 180º; (c) θ = 90º;(d) θ = 0º.

(b)

(c) (a)

Sacando raíz cuadrada, se obtiene que a b a b r r r r

− =

+ . Este caso corresponde a la mínima

magnitud posible de la suma de dos vectores, y es coherente con la figura 20d. Cabe hacer notar que la resta de módulos va en valor absoluto, pues existe la posibilidad de que b

r

> ar y, por

definición, el módulo de un vector no puede ser negativo.

En general, se puede afirmar que a b a b a b r r r r r r

+ ≤ + ≤

− .

2) Repaso de componentes vectoriales • Definir y calcular vectores unitarios

• Descomponer un vector en componentes vectoriales, y en componentes escalares, usando vectores unitarios"

• Definir el sistema de coordenadas cartesianas en dos y tres dimensiones. • Escribir vectores en forma cartesiana y polar.

• Expresar y calcular componentes de vectores en dos y tres dimensiones, en casos simples

Un mismo vector se puede expresar como la suma de numerosos conjuntos de dos, tres o más vectores, como se aprecia en la figura 10. A los vectores que sumados dan el vector original los llamaremos componentes vectoriales del vector.

En particular, podemos descomponer un mismo vector en infinitas sumas de dos componentes vectoriales.

Sistemas de Coordenadas

Al problema de determinar dos vectores ur y vrcuya suma es igual al vector ar, se le pueden agregar dos condiciones adicional para lograr que la solución sea única.

• Vectores ur y vrcoplanares al vector ar.

• Vectores ur y vrde direcciones fijas y predeterminadas

En la figura 11 se observa que los vectores ur y vr, que tienen respectivamente direcciones dadas por las rectas LL’ y MM’, son los únicos vectores cuyas suma es igual a ar. Las rectas LL’ y MM’ definen un sistema de coordenadas.

Figura 10) Componentes vectoriales de un vector

ur

vr

v u ar=r+r

L

L'

M'

M

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R Vector unitario o unimodular

Dado un vector ur no nulo llamamos “vector unitario o unimodular” en la dirección de ur al vector:

u u

u r

r

= ˆ

Un vector unitario se usa para identificar o caracterizar una determinada dirección. Por definición, todo vector unitario tiene magnitud 1.

1 u u 1 u u

u = r = r ⋅ r =

r ˆ

Observaciones:

• p||u⇒p=puuˆ r r r

, con pu escalar no nulo

• p = puuˆ = pu ⋅uˆ = pu

r

En la figura 12 se muestra la definición de vector unitario, y su uso para expresar vectores con tres componentes:

• El signo (+ ó -), que indica el sentido

del vector.

• La magnitud del vector

• El vector unitario, que indica la

dirección del vector.

En la figura 13, se muestra el sistema de coordenadas de la figura 11, al cual se le han agregado los vectores unitarios uˆ y vˆ_{, que} representan las direcciones LL’ y MM’, respectivamente. Si u =ua

r

y v =va

r

, se puede establecer que:

u u u=+ a⋅ˆ

r

v v vr=+ _a⋅ˆ

Así, el vector arse puede escribir como ar=ur+vv=u_a⋅uˆ+v_a⋅vˆ En este caso, ua y va son denominadas las componentes escalares del vector ar.

p

r

p

ˆ

q

r

s

r

p

q

q

r

₌

₊

r

_⋅

ˆ

p

s

s

r

=

−

r

⋅

ˆ

Sentido Magnitud

Dirección

Figura 12) Vector unitario y su uso en nomenclatura de vectores.

ur

vr

v u ar=r+r

L

L'

M'

M

uˆ

vˆ

Figura 13) Sistema de coordenadas de la figura 18 considerando vectores unitarios

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R

En principio, cualquier sistema de coordenadas puede servir para expresar vectores. Sin embargo, los sistemas de coordenadas más utilizados son aquellos donde los vectores unitarios son perpendiculares entre sí, que son denominados ortogonales. Estos son: el cartesiano o rectangular, el cilíndrico y el esférico. La gran ventaja de estos sistemas de coordenadas es que permite relacionar componentes escalares, magnitudes y ángulos a través de relaciones trigonométricas simples, usando cosenos, senos y tangentes, lo cual facilita enormemente el trabajo con los vectores.

Para efectos de este curso, nos limitaremos al sistema de coordenadas cartesiano en 2 y 3 dimensiones.

Sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones

En la figura 14 se observa el vector vrdibujado en un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional. En ella, hay dos ejes coordenados, x e y, caracterizados por dos vectores unitarios:

• El vector xˆ_{, i}ˆ _{ó i}r_{, que representa la} dirección +x.

• El vector yˆ, jˆ ó j r

, que representa la dirección +y

A partir de los datos de la figura, se puede escribir el vector vrcomo:

j v i v j v i v y v x v

v x y x y x y

r r r

+ = + = +

= ˆ ˆ ˆ ˆ

Donde vx y vy son las componentes escalares de del vector. También se puede escribir como par ordenado, en la forma v=

(

vx;vy

)

r

. Otra forma de escribirlo es la polar, en donde los parámetros

son su módulo vr y su ángulo θ con respecto al eje +x. Se suele expresar en la forma vr∠θ o

bien la forma vr⋅ejθ.

El módulo del vector es 2 y 2

x v

v

vr = + . Además, éste se puede relacionar con el ángulo θ y las componentes escalares a través de relaciones trigonométricas

( )

θ cos v v_x = r⋅

( )

θ sen v

vy = ⋅

r

x

y

v

r

x

v

y

v

θ

x

ˆ

y

ˆ

Finalmente, se pueden relacionar el ángulo y las componentes a través de

( )

x y

v v tanθ =

El sistema cartesiano en particular facilita enormemente la operatoria con vectores, puesto que la lleva desde el ámbito de la geometría (donde muchas veces resulta engorrosa) al del álgebra, en el cual se facilita mucho el trabajo.

Sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones

En la figura 15 se observa el vector vrdibujado en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional. En ella, a los ejes coordenados, x e y se agrega el eje coordenado z, caracterizado por el vector unitario zˆ_{, k}ˆ _{ó k}

r , que representa la dirección +z.

En la figura, vx, vy y vz son las componentes escalares del vector, el cual se pude expresar en la forma

k v j v i v

k v j v i v z v y v x v v

z y x

z y x z y x

r r r r

+ + =

+ + = + +

= ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

La magnitud de vr está dada por:

2 z 2 y 2

x v v

v

vr = + +

También se puede escribir como trío ordenado, en la forma v=

(

vx;vy;vz

)

r

.

Se define vr_xy como el vector proyección de vr sobre el plano XY.

y v x v vxy = xˆ+ yˆ

r

La magnitud de vxy

r

etá dada por:

2 y 2 x

xy v v

vr = +

x

y

z

v

_x

v

_y

v

_z

θ

φ φ

xy

v

r

v

r

x

ˆ

yˆ

z

ˆ

Figura 15) Sistema de coordenadas cartesiano en tres dimensiones

φ

_v

θ

z

xy

v

r

v

r

xy

v

r

v

_x

v

_y

(a)

(b)

Figura 16) Relaciones entre módulos, ángulos y componentes escalares. (a) ángulo φ; (b) ángulo θ

A partir de la figura 15, se pueden extraer los triángulos de las figuras 16a y 16b, con los cuales vamos a establecer las siguientes relaciones entre los vectores vr y vxy

r

, sus respectivos módulos

vr y vxy

r

, las componentes escalares, vx, vy y vz, y los ángulos θ y φ

De la figura 16a:

( )

φ v v cos

( )

φ v

v

cos _{= r}z _{⇒ z=} r _⋅

( )

φ v v sen

( )

φ v

v

sen = rxy ⇒ r_xy = r⋅

r

( )

z 2 y 2 x

z xy

v v v

v v

tan = = +

r

φ

De la figura 16b:

( )

θ v v cos

( )

θ v cos

( )

θ sen

( )

φ v

v

cos _{x xy}

xy

x _{⇒ = ⋅ = ⋅ ⋅}

= r r r

( )

θ v v sen

( )

θ v sen

( )

θ sen

( )

φ v

v

sen y xy

xy y

⋅ ⋅ = ⋅ =

⇒

= r r r

( )

x y

v v

tanθ =

Vector Posición

Para indicar la posición de un punto es necesario elegir previamente un sistema de referencia, cuyo origen se indica con un punto O.

La posición de un punto P está dada por el vector (ver figura 17)

(

x y

)

y xx r y r ;r

r OP

R= = ˆ+ ˆ =

r

Este vector es el vector posición del punto P. El módulo de este vector determina la distancia mínima entre O y

P.

x

y

R

r

x

r

y

r

θ

x

ˆ

y

ˆ

o

P

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R

3) Productos vectoriales

• Definir el producto punto o escalar entre dos vectores. • Definir el producto cruz o vectorial entre dos vectores.

• Comprender, calcular y aplicar el producto punto y producto cruz.

Tal como sucede con la suma y la resta, el producto entre vectores es diferente que el producto entre escalares. De hecho, existen dos tipos de productos vectoriales:

• Producto punto o escalar, producto de dos vectores cuyo resultado es un escalar. • Producto cruz o vectorial, producto de dos vectores cuyo resultado es otro vector.

Muchas cantidades físicas se expresan matemáticamente a través de vectores. Y algunas de ellas se pueden definir a partir de productos vectoriales.

Producto Punto o Escalar

Sean los vectores A r

y B r

, de módulos A r

y B r

y

con punto de aplicación común que se muestran en la figura 18a. Además, θAB es el ángulo más pequeño entre ambos vectores, que está entre 0 y π [rad] (180º).

En la figura 18b, se define BA

r

como el vector

proyección de B r

sobre A r

. De la figura, BA BA Aˆ r r

= ,

donde Aˆ es el vector unitario en la dirección de A r

y

(

AB

)

A B cos

B = ⋅ θ

r r

.

En la figura 18c, se define AB

r

como el vector

proyección de A r

sobre B r

. De la figura, A_B A_B Bˆ r r

= ,

donde Bˆ es el vector unitario en la dirección de B r

y

(

AB

)

B A cos

A = ⋅ θ

r r

.

El producto punto o escalar de tales vectores se denota B

A r r

• , y se define como:

• La magnitud de A r

multiplicada por la magnitud de BA

r

• La magnitud de B r

multiplicada por la magnitud de AB

r

Así, A•B= A⋅ BA = B ⋅ AB = A⋅ B ⋅cos

(

θAB

)

r r r r r r r r

A

r

B

r

AB

θ

AB

θ

A

B

r

AB

θ

B

A

r

(a)

(b)

(c)

Figura 18) (a) Definición gráfica de producto punto (b) Componente de B

r

sobre A r

; (c) Componente de A r

sobre B r

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R Propiedades:

• El producto punto entre dos vectores da como resultado una cantidad escalar, que puede ser positiva o negativa. En general , A B A B A B

r r r r r r

⋅ ≤ • ≤ ⋅

− . El detalle de los valores

que toma el producto punto se aprecia en la siguiente tabla.

AB

θ A B

r r

•

AB

θ = 0º (A r

paralelo a B r

) A B A B

r r r r

⋅ = •

0 < θAB < 90º 0 A B A B

r r r r

⋅ < • <

AB

θ = 90º (A r

perpendicular a B

r )

0 B

A• =

r r

90º < θAB < 180º − A ⋅B <A•B<0

r r r r

AB

θ = 180º (A r

antiparalelo a B

r )

B A -B A

r r r r

⋅ = •

• A partir del producto punto se puede establecer la siguiente condición para la perpendicularidad u ortogonalidad de dos vectores: A⊥B⇔A•B=0

r r r r

. Esta condición es general mucho más simple de verificar que la de A B A B

r r r r

+ =

+ .

• Propiedades del producto punto

o A B B A r r r r

• =

• (conmutatividad)

o A

(

B C

)

A B A C r r r r r r r

• + • = +

• (distributividad)

o

(

A B

)

(

C D

)

A C A D B C B D r r r r r r r r r r r r

• + • + • + • = + • +

o A A A A A A

2 r r r

r r r

• =

⇒

= •

Aplicando las propiedades del producto punto a los vectores unitarios ortogonales iˆ ,jˆ ykˆ, se puede establecer que:

o iˆ•jˆ= jˆ•kˆ=kˆ•ˆi=0

o iˆ•iˆ=ˆj•ˆj=kˆ•kˆ=1

Descomponiendo los vectores A r

y B r

en sus componentes cartesianas A=Axiˆ+Ayjˆ+Azkˆ r

y

k B j B i B

B= xˆ+ yˆ+ zˆ

r

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

AB

)

k i

(

AB

)

k j

(

AB

)

k k k j B A j j B A i j B A k i B A j i B A i i B A k B k A j B k A i B k A k B j A j B j A i B j A k B i A j B i A i B i A k B j B i B k A j A i A B A z z y z x z z y y y x y z x y x x x z z y z x z z y y y x y z x y x x x z y x z y x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ • + • + • + • + • + • + • + • + • = • + • + • + • + • + • + • + • + • = + + • + + = • r r

Por las propiedades vistas para los productos puntos de los vectores unitarios ortogonales

z z y y x

x

B

A

B

A

B

A

B

A

•

=

+

+

r

r

Así, el producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de sus respectivas componentes.

Usando las dos definiciones de producto punto, se puede calcular el valor de θAB.

(

)

(

)

          ⋅ + + = ⇒ ⋅ + + = ⋅ • = ⇒ ⋅ ⋅ = • − B A B A B A B A cos B A B A B A B A B A B A cos cos B A B A z z y y x x 1 AB z z y y x x AB AB r r r r r r r r r r r r θ θ θ

Producto Cruz o Vectorial

Sean los vectores A r

y B r

, de módulos A r

y B r

y

con punto de aplicación común que se muestran en la figura 19a. Además, θAB es el ángulo más pequeño entre ambos vectores, que está entre 0 y π [rad] (180º).

En la figura 19b, se define B⊥

r

como el vector componente de B

r

perpendicular a A r

. De la figura,

A

r

B

r

AB θ AB θ ⊥

B

r

AB θ ⊥

A

r

(a) (b) (c) B A r r × nˆ

Figura 19) (a) Definición gráfica de producto cruz (b) Componente de B r

perpendicular a A r

; (c) Componente de A

r

perpendicular a B r

resulta evidente que B_⊥ = B ⋅sen

(

θ_AB

)

r

r

.

En la figura 19c, se define A⊥

r

como el vector componente de A r

perpendicular a B r

. De la figura,

resulta evidente que A_⊥ = A⋅sen

(

θ_AB

)

r

r

.

El producto cruz o vectorial de tales vectores se denota A B r r

× , y es un vector perpendicular a A r

y B

r

, cuya magnitud es igual a:

• La magnitud de A r

multiplicada por la magnitud de B_⊥ r

• La magnitud de B r

multiplicada por la magnitud de A⊥

r

Así, A×B= A ⋅B⊥ nˆ= B ⋅ A⊥nˆ= A ⋅ B ⋅sen

(

θAB

)

nˆ r r r r r r r r

Donde nˆ es un vector unitario normal (perpendicular) al plano que contiene ambos vectores. Su dirección está dada por la regla de la mano derecha (también llamada “regla del sacacorchos”), que se ilustra en la figura 20. Para aplicar esta regla mnemotécnica para determinar la dirección nˆdel vector

B A

r r

× , se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Disponga los dedos índice, medio, anular y meñique de la mano derecha, de manera que queden alineados en la dirección de A

r

. El pulgar, en tanto, queda estirado y libre, indicando la dirección perpendicular a A

r . 2. Imagine que, en la figura 19a) gira el vector A

r

con respecto al punto de aplicación hasta alinearlo con B

r

, tomando como dirección de rotación la del ángulo más pequeño entre ambos vectores, θAB. Con esto en mente,

enrosque los cuatro dedos citados sobre la perpendicular, con las puntas apuntando en la dirección de rotación.

3. El dedo pulgar indicará la dirección nˆ_del vector A B

r r

×

Considere la figura 21, en la cual se disponen los vectores A

r y B

r

de la figura 19a de manera de formar un paralelógramo de base b y altura h. El área S de este paralelógramo es el producto de la base por la altura, es decir S=b⋅h. En la figura 21 se aprecia que b A

r

= y h= B⋅sen

(

θAB

)

r

, por lo que S A B sen

(

AB

)

A B r r r r × = ⋅ ⋅ = θ .

Luego, el módulo del producto cruz de dos vectores es igual al área del paralelógramo formado por éstos.

Figura 20) Regla de la mano derecha AB θ A r B r

S

b

h

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R

Propiedades:

• La magnitud del producto cruz es tal que, 0 A B A B r r r r ⋅ ≤ ×

≤ . El detalle de los valores

que toma se aprecia en la siguiente tabla.

AB

θ _Ar_×Br

AB

θ = 0º (A r

paralelo a B r

) A B 0 A B 0

r r r r r = × ⇒ = ×

0 < θ_AB < 90º _{0< A}r_×Br _{< A}r _⋅Br

AB

θ = 90º (A r

perpendicular

a B r ) B A B A r r r r ⋅ = ×

90º < θAB < 180º 0 A B A B

r r r r ⋅ < × < AB

θ = 180º (A r

antiparalelo a B

r ) 0 B A 0 B A r r r r r = × ⇒ = ×

• A partir del producto cruz se puede establecer la siguiente condición para el paralelismo de dos vectores: A//B A B 0 A B 0

r r r r r r r = × ⇒ = × ⇔ .

• Propiedades del producto cruz

o A B -

(

B A

)

r r r r × =

× (anticonmutatividad, ver figura 22)

o

(

A B

)

A r r r

⊥

× y

(

A B

)

B r r r

⊥ ×

o

(

A×B

)

•A=

(

A×B

)

•B=0 r r r r r r

o A

(

B C

)

A B A C r r r r r r r × + × = +

× (distributividad)

o

(

A B

)

(

C D

)

A C A D B C B D r r r r r r r r r r r r × + × + × + × = + × +

Aplicando las propiedades del producto cruz a los vectores unitarios ortogonales iˆ ,jˆ ykˆ, se puede

establecer que i i j j k k 0 r = × = × = ׈ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ _{. Además, para el sistema de coordenadas de la figura 15}

o iˆ×jˆ=−jˆ×iˆ=kˆ

o ˆj×kˆ=−kˆ×jˆ=iˆ

o kˆ×iˆ=−iˆ×kˆ= jˆ

Descomponiendo los vectores A r

y B r

en sus componentes cartesianas A=A_xiˆ+A_yjˆ+A_zkˆ r y k B j B i B

B= _xˆ+ _yˆ+ _zˆ r

y aplicando el producto cruz:

A r B r AB θ B A r r × A B r r ×

(

B A

)

-B A r r r r × = ×

Figura 22) Anticonmutatividad del producto cruz

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

A B

)

k i

(

A B

)

k j

(

A B

)

k k k j B A j j B A i j B A k i B A j i B A i i B A k B k A j B k A i B k A k B j A j B j A i B j A k B i A j B i A i B i A k B j B i B k A j A i A B A z z y z x z z y y y x y z x y x x x z z y z x z z y y y x y z x y x x x z y x z y x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ × + × + × + × + × + × + × + × + × = × + × + × + × + × + × + × + × + × = + + × + + = × r r

Por las propiedades vistas para los productos cruzde los vectores unitarios ortogonales

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

AB AB

)

i

(

AB A B

)

j

(

AB A B

)

k

i B A j B A i B A k B A -j B A k B A B A x y y x z x x z y z z y y z x z z y x y z x y x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ − + − + − = − + + − = × r r

Esta expresión equivale a obtener el determinante de la siguiente matriz:

z y x z y x B B B A A A k j i B A ˆ ˆ ˆ = × r r

Para calcular el valor de θAB usando el producto cruz:

(

)

(

)

        ⋅ × = ⇒ ⋅ × = ⇒ ⋅ ⋅ = × − B A B A sen B A B A sen sen B A B A 1 AB AB

AB r r