2. AXIOMAS DE ORDEN
Al decir que las palabras en el diccionario están ordenadas, entendemos que se dispone de un criterio (lexicográfico) que permite establecer si una palabra precede1 o sigue a otra.
¿Qué características se deben tener en cuenta para establecer un criterio o criterios de ordenación en un conjunto?
Definición 2.1: Diremos que un conjunto (finito o infinito) de elementos está ordenado linealmente cuando es posible relacionarlos entre sí mediante la relación
precede a de tal modo que:
1. Dados dos elementos A y B del conjunto se cumple sólo una de las siguientes afirmaciones: A precede a B, o B precede a A o A = B.
2. Si A, B, C son elementos del conjunto y A precede a B, B precede a C, entonces A precede a C.
Definición 2.2: Sean A , B y C puntos. Si B precede a C y sigue aA, se dice que está entre A y C o entre C y A o también que separa a ambos puntos. Si B está entre A y C escribimos A – B – C o C – B –A.
B C
A
B
C A
Figura 6
En este concepto también se puede establecer la siguiente propiedad: Si D está entre A y B, y B está entre A y C, entonces D está entre A y C.
D
A
B
C
Figura 7
Los axiomas de orden determinan las posiciones de los puntos situados en una recta. De estos axiomas se desprende el significado de la expresión estar entre. La posición de los puntos en una recta permite establecer una relación de orden
precede a entre los puntos en esa recta.
La recta es un conjunto linealmente ordenado de puntos que no tiene ni primero ni último elemento y en el que no hay puntos consecutivos. La recta determinada por los puntos A y B la simbolizamos por AB.´
Axioma O.1: Si un punto B se encuentra situado entre un punto A y un punto C, entonces A, B y C son tres puntos en la misma recta y B está entre C y A.
Axioma O.2: Dados dos puntos A y C siempre existe al menos un punto B en la recta AC tal que C está entre A y B.´
Axioma O.3: De tres puntos cualesquiera en una recta no existe más que uno de ellos situado entre los otros dos.
A
B
C
Figura 8
Definición2.3: Sean, O, A y B puntos en una rectal. Si O no está entre los puntos A y B, diremos que los puntos A y B están a un mismo lado del punto O. Si O está entre A y B diremos que los puntos A y B están en lados opuestos respecto al punto O.
Definición 2.4: Si A y B son puntos de una recta y A precede a B, la semirrecta o rayo de origen A y que pasa por B es el conjunto formado por los puntos A y B, los que están entre A y B y todos los que le siguen a B y se simboliza por ⃗AB. Cada
punto de una recta determina, en ella, dos semirrectas opuestas. El punto en cuestión se denomina origen.
A
B
Figura 9
Definición 2.5: Dados dos puntos A y B en una recta l con A ≠ B, llamaremos
segmento de extremos A y B al conjunto de puntos formado por A, B y todos los puntos de la recta AB que están entre ´ A y B. El segmento de extremos A y B lo
denotamos por AB.
1. Los puntos que están entre A y B se llaman puntos interiores del segmento AB.
2. Los puntos A y B reciben el nombre de extremos del segmento.
3. Los puntos restantes en la recta r se llaman puntos exteriores del segmento.
B
A
2.1 IMPLICACIONES DE LOS AXIOMAS DE ORDEN
Teorema 2.1: Dados A y C puntos en una recta l existen puntos en l
que son interiores del segmento AC y puntos en l que son exteriores al segmento AC.
A
C
E F
G
D
Figura 11 Demostración:
Sean A y C puntos de en una rectal.
1. Si A y C son puntos de una recta l entonces existe un punto E exterior a la recta l. Por axioma I.3.
2. En la recta determinada por los puntos A y E existe un punto F tal que E está entre A y F. Por axioma O.2.
3. En la recta determinada por los puntos F y C, entonces existe un punto G tal que C está entre F y G. Por axioma O.2.
4. Los puntosA, F y C son no colineales y ninguno de ellos está en la recta generada por E y G. Por numerales 2 y 3.
6. Sea D el punto donde se intersecan EG yAC, entonces D satisface la relación estar entre A – D – C luego D es un punto interior del segmento AC.
7. Por otra parte dados dos puntos A y C en una recta lexiste al menos un punto B tal que A−C−B .
8. Luego el punto B es un punto de la recta l exterior al segmento AC. Teorema 2.2: Entre dos puntos de una recta existen infinidad de puntos.
A
C1 C
Figura 12 Demostración:
Sea l una recta y sean A y C puntos de la recta l.
1. Entre A y C existe un punto C1 situado en la recta AC. Por el teorema 2.1.´
2. También en la recta AC existe un punto ´ C2 situado entre A y C1.
3. De la misma forma podemos encontrar puntos C3, C4, … situados respectivamente entre A yC2, entre A yC3.
4. El proceso puede continuar indefinidamente, luego entre A y C existen un número indeterminado de puntos.
Definición2.6: Si A , B , C son puntos que satisfacen el orden A – B – C decimos que A precede a B y B precede a C.
Observación:
De la misma manera, como un punto P sobre una recta lla divide en dos semirrectas, toda recta divide también a un plano α en dos regiones no vacías α1 y α2 separadas de acuerdo con el siguiente axioma.
Axioma O.5 (Axioma de separación del plano): Dado un plano α y una recta l contenida enα, el conjunto α –l es la unión de dos conjuntos α1 y α2 no vacíos que satisfacen:
Si A y B son puntos de α1 entonces AB no corta al.
Si A es un punto de α1 y B un punto de α2 entonces AB corta al.
Los conjuntos α1 y α2 se llaman semiplanos y l se denomina
frontera o borde de cada uno de ellos.
C
D A
B
Figura 13 Observación:
El axioma anterior plantea que:
La frontera l no pertenece a ninguno de los semiplanos que determina.
Si dos puntos están en un mismo semiplano, entonces el segmento que los une está en el mismo semiplano y, por tanto nunca intersecta la frontera.
Escribiremos (AB,´ C) para referirnos al semiplano cuya frontera es AB, al cual´
2.2 POLIGONOS
Definición 2.7: Dados tres puntos A , B y C no colineales, la unión de las semirrectas ⃗AB y ⃗AC se denomina ángulo y se simboliza por ∡BAC; el punto A se llama vértice del ángulo y las semirrectas⃗AB y ⃗AC, lados del ángulo. Si A está
entre B y C, entonces ∡BAC se llama ángulo llano.
A
B
C
A C
B
Figura 14
En ocasiones es necesario precisar cuál es el lado inicial y cuál el lado final de un ángulo. En este caso se dice que los ángulos son orientados.
Definición 2.8: Dado un ángulo ∡BAC, no llano, la intersección de los semiplanos (
´
AB, C) y (AC, B) se llama ´ región angular abierta del ángulo ∡BAC, o interior del
B
A
C
B
A
C
Figura 15 Clases de ángulos:
Ángulo nulo: Es aquel cuyos lados son semirrectas que coinciden. Un ángulo nulo no tiene puntos interiores.
O C
A
B
O
A
Figura 16
Ángulos adyacentes: Dos ángulos son adyacentes si y sólo si están en un mismo plano, tienen un lado en común y sus lados no comunes son semirrectas opuestas.
O
C
A
B
Ángulos opuestos por el vértice: Si dos ángulos tienen un vértice común y sus lados son semirrectas opuestas se llaman ángulos opuestos por el vértice.
O
A
B C
D
Figura 18
Ángulos consecutivos: Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un lado en común. En particular los ángulos adyacentes son consecutivos.
O
A
B C
D A
D
B C
Figura 19
D
r
t
A
G
B
F E
H C
Figura 20
En la figura 20 si los puntos A, C, G están en una misma rectal; B, D, F en la recta r y E, C, D en la rectat, entonces se tiene:
Son ángulos alternos internos: ∡ACD con ∡CDF y ∡BDC con∡GDC .
Son ángulos alternos externos: ∡ECA con ∡FDH y ∡ECG con ∡BDH.
Son ángulos correspondientes: ∡ECG con∡CDF, ∡FDH con ∡GCD,
∡ECA con ∡CDB, y ∡HDBcon ∡DCA.
Son ángulos conjugados: ∡ACD con ∡CDB y ∡GCD, con∡FDC .
Definición 2.10: Un conjunto se llama convexo si para cada par de puntos distintos P y Q del conjunto, el segmento PQ pertenece al conjunto.
Definición 2.11: Si A, B, C son tres puntos no colineales, la unión de los segmentos AB, BC y AC se llama triángulo ABC y se simboliza por △ABC. Los puntos A, B y C se denominan vértices del triángulo y los segmentos AB, BC y AC se denominan lados. La intersección de los semiplanos (AB ,C´ ¿, (BC , A´ ¿,y (AC , B´ ¿,se
B A C B A C ABC Región triangular Figura 21
Definición2.12: Dados los puntos A1, A2, A3, … Akcon k ≥2 de un mismo plano,
ordenados de tal forma que no existan tres puntos consecutivos colineales, la unión de los segmentos A1A2, A2A3, A3A4, … , Ak−1Ak, se llama línea poligonal A1A2A3… Ak. Si A1=Ak la línea poligonal se llamada cerrada caso contrario se
llama abierta.
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
Línea poligonal abierta.
A6 A1 A2 A3 A4 A5 Polígono. A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 A8 A9
Línea poligonal cerrada.
Figura 22
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
Línea poligonal abierta.
A6 A1 A2 A3 A4 A5 Polígono. A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 A8 A9
Línea poligonal cerrada.
Figura 23
Los polígonos reciben el nombre según el número de segmentos de la línea poligonal que los forma.
En particular un polígono formado por tres segmentos se llama triángulo; por cuatro, cuadrilátero, por cinco, pentágono, por seis hexágono, por siete heptágono, etc. En general un polígono de n lados se llama n-ágono.
Definición2.14: Una región poligonal cerrada es la unión finita de regiones triangulares de un mismo plano, de modo que cada uno de los triángulos que limita estas regiones, tenga por lo menos un lado en común con otro de los triángulos y los vértices que no pertenezcan al lado común, estén en semiplanos opuestos a éste. El polígono que limita la región poligonal se denomina frontera y la región poligonal, sin incluir la frontera, se denomina interior del polígono.
A3 A4 A5 A1 A2 Figura 24
A2
A1
A5
A4
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A1
A2
A3
Polígono no convexo Polígono convexo
Figura 25 Observación:
La región poligonal de un polígono convexo es un conjunto convexo. La intersección finita de polígonos convexos, del plano, es un conjunto convexo del plano.
B6
B7
B8
B9
B0
B1
B3
B4
B5
Ángulo interior. Ángulo
exterior
Diagonal
