ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD, ANALISIS DE RIESGO, SIMULACIÓN

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ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

La falta de certeza sobre el futuro es lo que hace a la toma de decisiones económicas una de las tareas más difíciles que realizan los administradores. Por ejemplo, es posible que en la evaluación de una propuesta se observe una gran incertidumbre con respecto a cambios en factores como: El precio unitario de ventas, en costos o en la vida útil de la propuesta. Así la sensibilidad de un proyecto debe hacerse con respecto al parámetro más incierto que se haya detectado.

El análisis de sensibilidad es una técnica de análisis de riesgo que nos permite conocer la magnitud en la que cambiarán los resultados, como respuesta a una modificación en una variable de insumo. Y así, determinar que tan sensibles son los resultados a estos elementos.

Estimación de Varios Escenarios

Empieza con la definición de una situación como caso básico y a partir de ésta los otros dos escenarios, de manera que las variables se modifican en razón de unos cuantos puntos porcentuales específicos por arriba y por debajo del valor esperado, manteniéndose constante todo lo demás.

1. Caso básico: Las variables de insumos se fijan conforme a sus valores más probables.

2. Pesimista: Las variables de insumos se fijan a sus peores valores razonablemente pronosticados.

3. Optimista: Las variables de insumos se fijan a sus mejores valores razonablemente pronosticados.

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EJEMPLO

La compañía Eliade quiere saber que le conviene más entre dos opciones de inversión, A y B, cada una de ellas requiere un desembolso inicial de $10,000 y ambas tiene un rendimiento anual más probable de 15%. Para evaluar el grado de riesgo de estos activos la compañía ha decidido realizar estimaciones pesimistas y optimistas de los rendimientos de cada inversión. La siguiente tabla presenta la información.

Evaluación de Activos A y B

Activo A Activo B

Inversión Inicial $10,000 $10,000

Tasa Anual de

rendimiento

Pesimista 13% 7%

Caso básico 15% 15%

Optimista 17% 23%

Amplitud de variación 4% 16%

Todo parece indicar que el activo A es menos riesgoso que el activo B, debido a que su amplitud de variación de 4% (17% - 13%) es menor que la amplitud de 16% ( 23%- 7%) del activo B. Por consiguiente el administrador tal vez se decida por el activo A, pues éste ofrece el mismo rendimiento más probable para B (15%), pero con un riesgo menor.

Estimar el VPN (Valor Presente Neto) a partir de Escenarios

En la presupuestación de capital uno de los métodos de sensibilidad de uso más común consiste en estimar el VPN en los tres escenarios. Puede obtenerse el intervalo sustrayendo del resultado VPN optimista el correspondiente al escenario pesimista, como se muestra en el siguiente ejercicio.

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EJEMPLO

Una llantera del centro está considerando la inversión en unos de dos proyectos mutuamente excluyentes, A y B, cada uno de los cuales requiere una inversión inicial de $10,000. Se espera que ambos proyectos proporcionen entradas de efectivo anuales iguales a lo largo de sus 15 años de vigencia. El administrador financiero de la compañía ha elaborado estimaciones pesimistas, más probables y optimistas de las entradas de efectivo de cada proyecto. La siguiente tabla presenta las estimaciones de flujos de efectivo y los VPN resultantes de cada caso.

Análisis de Sensibilidad de los Proyectos A y B de Llantera del Centro Proyecto A Proyecto B

Inversión Inicial $10,000 $10,000

Entradas de efectivo anuales

Resultado

 Pesimista $1,500 $0

 Caso básico $2,000 $2,000

 Optimista $2,500 $4,000

Intervalo $1,000 $4,000

Valores presentes netos *

Resultado

 Pesimista $1,409 -$10,000

 Caso básico $5,212 $5,212

 Optimista $9,015 $20,424

Intervalo $7,606 - $30,424

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* Calculados con las entradas de efectivo anuales correspondientes, con un costo de capital de 10% y una vigencia de 15 años paras las entradas de efectivos anuales.

La comparación de los intervalos de las entradas de efectivo ($1000 del proyecto A y $4000 del proyecto B) y el intervalo de los VPN ($7,606 del proyecto A y $30,424 B) revela que el primero es menos riesgoso.

Métodos Estadísticos

Se puede calcular también la variación entre los VPN de este mismo ejemplo con la ayuda de la desviación estándar y el coeficiente de variación.

EJEMPLO

Se toman la información del VPN de la anterior tabla, y se complementa con un estimado de las probabilidades de estos parámetros para cada uno de los tres escenarios, como a continuación se describe:

Valores presentes netos y estimaciones de probabilidad de los proyectos A y B de la Llantera del centro

Resultado VPN Probabilidad

Pri (a)

Proyecto A

1. Pesimista $1,409 .25

2. Caso básico $5,212 .50

3. Optimista $9,015 .25

Proyecto B

1. Pesimista -$10,000 .25

2. Caso básico $5,212 .50

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(a) Valores estimados subjetivamente, con base en resultados anteriores.

Procedimiento:

1. Calcular el VALOR PRESENTE NETO ESPERADO de cada proyecto con la siguiente fórmula:

Donde:

VPNi VPN del i-énesimo resultado

Pri Probabilidad de ocurrencia i-énesimo resultado

n Número de resultados considerados

Al sustituir los datos tenemos los siguientes VPN esperados:

$1,409(.25) + $5,212(.50) + $9,015(.25)

= $352.25 + $2,606.00 + $2,253.75 = $5,212

- $10,000(.25) + $5,212(.50) + $20,424(.25)

= -$2,500 + $2,606+ $52106 = $5,212

Obsérvese que ambos proyectos tienen VPN esperado de $5,212 que también igualan sus estimaciones más probables.

2. Determinar la desviación estándar del VPN, por medio de la siguiente ecuación:

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Proyecto A

I VPNi

VPNi - (VPNi - )2

Pri (Pri)( (VPNi - ) 2

1. $1,409 $5,212 - $3803 $14,462,809 .25 $3,615,702

2. $5,212 $5,212 0 0 .50 0

3. $9,015 $5,212 $3803 $14,462,809 .25 $3,615,702

= 2689

Proyecto B

I VPNi VPNi - VPNi - )2 _Pri _{(Pri)( (VPNi -} ₎2

1. -$10,000 $5,212 $15,212 $231,400,000 .25 $57,850,000

2. $5,212 $5,212 0 0 .50 0

3. $20,424 $5,212 $15,212 $231,400,000 .25 $57,850,000

= = $10756

Puede observarse que la desviación estándar del proyecto B ($10,756) es más alta que la del proyecto A ($2,689). De tal suerte, que el segundo es el más riesgoso.

Coeficiente de Variación

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CV VPN =

Sustituyendo tenemos:

CV VPN A = = .516 CV VPN B = = 2.064

El proyecto B, con un coeficiente de variación del VPN de 2.604, es más riesgoso que el proyecto A, con un CV de 0.516.

Ventajas

Fácil de entender, debido a que no se requiere tener conocimientos sobre teoría de la probabilidad.

Fácil de aplicar.

Desventaja

Analiza las variaciones de un parámetro a la vez. Debido a cuando se trata de cambios simultáneos en varios parámetros, se recomienda utilizar un análisis de riesgo o simulación estocástica, debido a que implicaría visualizar los parámetros en tres dimensiones.

Futuro Incierto.

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En un mundo incierto, es útil crear modelos que nos permitan determinar cuánta incertidumbre rodea nuestras estimaciones, por ejemplo, del cálculo de un Valor Presente Neto.

Valor Esperado

Se puede decir que cualquier situación que tenga un resultado incierto tiene una distribución de probabilidad, que es simplemente una lista de resultados potenciales y sus probabilidades asociadas.

El valor esperado de una distribución es un promedio ponderado de todos los posibles resultados donde los pesos son las probabilidades de que ocurran. El valor esperado puede considerarse como el resultado más probable o el resultado promedio si pudiéramos realizar un experimento miles de veces. Para cualquier distribución de probabilidad discreta, el valor esperado está dado por:

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Xt es el t-ésimo posible resultado. Pt es la probabilidad de que Xt ocurra.

Medidas de Dispersión

Siempre que usemos un valor esperado es útil saber, en promedio, cuánto podría desviarse el resultado real respecto al resultado esperado. Cuanto más grandes sean estas desviaciones potenciales, menos confianza tenemos en que el resultado esperado se presente en la realidad. En otras palabras, cuanto más grandes sean las desviaciones respecto al valor esperado, más alta es la probabilidad de un resultado alejado del resultado esperado.

La Varianza y la Desviación Estándar

La varianza es una medida de dispersión y representa el promedio del cuadrado de las desviaciones a partir de la media:

La desviación estándar es otra medida de dispersión y se define como la raíz cuadrada de la varianza. Nos informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.

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1 Frigopez Company

1. Comercializa filetes de pescado congelado. 2. Nuevo proyecto: comercializar filetes de bagre.

3. Compra de una granja piscícola, el edificio y los equipos.

4. Estimación de 200,000 libras de filete a $2.50 para el primer año. 5. Los gastos variables representan el 60% de las ventas.

6. Los costos fijos son $80,000 al año. 7. La demanda aumentaría en 8% por año.

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El método de Monte Carlo simula los resultados que puede asumir alguna variable dependiente del proyecto (ejemplo: VAN, TIR, etc.) a través de la asignación aleatoria de un valor a cada variable independiente que afectan al mismo (ejemplo: tasa de crecimiento, tasa de interés, ventas, costos, etc.).

A cada una de estas variables independientes se les asigna una distribución de probabilidad.

La simulación de Monte Carlo puede incluir todas las combinaciones posibles de las variables que afectan los resultados de un proyecto. Por ejemplo, se puede evaluar cuál será la rentabilidad del proyecto si cambian todas las variables al mismo tiempo, teniendo en cuenta la interrelación que existe entre ellas.

Gracias a la constante evolución de las microcomputadoras, en lo que se refiere a su capacidad de procesamiento de la información, el método de Monte Carlo es cada vez más frecuentemente utilizado.

En primer lugar hay que definir cuál es la distribución de probabilidad de cada variable que afecta los objetivos del proyecto. Por ejemplo, se puede tener información histórica para estimar que la tasa de interés tienen una distribución normal cuya media es 10% y la desviación estándar del 2%. En este caso, siguiendo los principios estadísticos sabemos que existe un 95% de probabilidad que la tasa de interés futura esté comprendida entre 6% y 14% (media +- 2 desviación estándar).

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Una vez definidas las variables que afectan los objetivos del proyecto, sus interrelaciones y sus distribuciones de probabilidad, se debe asignar un valor aleatorio a cada variable.

Este proceso de asignar valores aleatorios a cada variable lo realiza en forma automática el software de simulación como el Crystal Ball o incluso en una hoja de Excel.

El computador asignará valores aleatorios a todas las variables que afectan la rentabilidad del proyecto en forma simultánea. De esta forma se podrán correr miles de escenarios donde en cada uno de ellos se obtiene un indicador de rentabilidad.

Ventajas del método Monte Carlo

La simulación Monte Carlo tiene la ventaja, sobre otros métodos que evalúan el riesgo, que no sólo brinda el valor más probable de la variable dependiente, sino también su distribución de probabilidad. Por lo tanto, todos los resultados posibles pueden ser analizados.

Otra ventaja es que el número de variables independientes que pueden ser consideradas en el análisis es muy grande. Todas las combinaciones posibles de los estados de la naturaleza se incluyen en el problema, proveyendo un método de análisis muy riguroso.

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una desviación estándar menor es menos riesgoso ya que la probabilidad de obtener una rentabilidad negativa es inferior al proyecto B.

Ejemplo en Excel

Deben ser realizadas diversas simulaciones donde, en cada una de ellas, son generados valores aleatorios para el conjunto de variables de entrada y parámetros del modelo que están sujetos a incertidumbre. Tales valores aleatorios generados siguen distribuciones de probabilidades específicas que deben ser identificadas o estimadas previamente.

El conjunto de resultados, producidos a lo largo de todas las simulaciones, podrán ser analizados estadísticamente y proveer resultados en términos de probabilidad. Esas informaciones serán útiles en la evaluación de la dispersión total de las apreciaciones del modelo, causado por el efecto combinado de las incertidumbres de los datos de entrada y en al evaluación de las probabilidades de ser violados los patrones de las proyecciones financieras.

De forma simplificada, se puede aplicar el Modelo de Monte Carlo en el Excel de la siguiente forma:

1. Estimar la escala de valores que podría alcanzar cada factor, y la probabilidad de ocurrencia asociada a cada valor.

2. Elegir, aleatoriamente, uno de los valores de cada factor, y dependiendo de la combinación seleccionada, computar la tasa de rendimiento resultante.

3. Repetir el mismo proceso una y otra vez, la cantidad de veces que sea necesaria, que permita definir y evaluar la probabilidad de ocurrencia de cada posible tasa de rendimiento. Como existen millones de posibles combinaciones de factores, necesitamos efectuar un número de pruebas suficientemente grande para que pueda apreciarse la posibilidad de ocurrencia de las varias tasas de rendimiento. El resultado a que se llegará será una lista de distintas tasas de rendimiento que podrían lograrse, que puede variar desde una pérdida (si los factores son adversos) hasta la ganancia máxima que sea posible lograr conforme con los pronósticos que se hayan efectuado.

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5. También se determina la variabilidad de los valores respecto del promedio, lo que es importante porque a igualdad de otros factores, la empresa presumiblemente preferirá los proyectos de menor variabilidad.

Dependiendo de la política de decisión, el proceso lo podremos aplicar a la tasa interna de retorno o al valor actual neto. Los ejercicios aquí presentados trabajan en base al valor actual neto.

Distribuciones Continuas:

En nuestro modelo de simulación estocástico, existen varias variables aleatorias interactuando. Y estas variables, siguen distribuciones de probabilidad teóricas o empíricas distintas a la distribución uniforme. Por esta razón, para simular este tipo de variables, es necesario contar con un generador de números uniformes y una función que a través de un método específico, transforme estos números en valores de distribución normal.

Existen varios procedimientos para lograr este objetivo, en este trabajo se adoptó el siguiente procedimiento especial para generar números al azar que sigan la distribución de probabilidad:

Para cada tipo de distribución continua, se puede montar una función estocástica; en nuestro caso, una distribución normal puede ser expresado por:

para expresar la distribución acumulada de la distribución normal en forma explícita, utilizamos el teorema del límite central, el cual establece que la suma de n variables aleatorias independientes se aproxima a una distribución normal a medida que n se aproxima a infinito.

Que expresado en forma de teorema sería:

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Tiene una distribución normal estándar a medida que n se aproxima a infinito.

Si las variables que se están sumando son uniformes en el intervalo (0;1) entonces.

donde R es un número aleatorio

Tiene una distribución normal estándar. Puesto que la normal estándar de una variable aleatoria x distribuida normalmente se obtiene como:

Entonces, la simulación de la variable aleatoria x se haría de acuerdo a la siguiente expresión:

Finalmente, utilizando un valor de n=12, la confiabilidad de los valores simulados es bastante aceptable.

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Para hacer esta operación en el Excel, se debe usar la función =aleatorio().

=((((ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO() +ALEATORIO()+

ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO() +ALEATORIO())-6)*Desvío + Promedio))

A continuación se presenta un ejemplo de la utilización del método de Monte Carlo en la planilla de Microsoft Excel:

Estos son los datos del Ejercicio:

Supóngase una inversión inicial de $900,000, el proyecto espera tener una vida útil de 20 años, vendiendo tres productos de refrescos de diferentes sabores. Dependiendo del punto de venta, se definen los siguientes precios a tres tipos de mercado. Se espera que en el primer punto de venta se venda el 12% de los productos de cola, en el segundo punto de venta con un precio de $30 se espera vender el 63% y en el tercer punto de venta, se espera vender el 25%. En el siguiente cuadro se muestran los datos esperados de la distribución de las ventas. Y el pronóstico de ventas anuales por producto.

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ANALISIS DE RIESGO

1. Definición.

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2. Objetivos.

Los objetivos del análisis y administración del riesgo en un proyecto de inversión son los siguientes:

 Determinar, con alguna medida cuantitativa, cuál es el riesgo al realizar

determinada inversión monetaria.

 Administrar el riesgo de tal forma que pueda prevenirse la bancarrota de

una empresa.

3. Factores de Riesgo de una Inversión.

3.1.Producto que se comercializa. El riesgo se considera más o menos alto en función de la sensibilidad de la demanda. Cuando la demanda de dicho producto es muy sensible a la situación económica, el riesgo será mayor que en caso contrario. Dentro de este apartado debe contemplarse, la diferenciación del producto y las barreras de entrada de los posibles competidores. Por ejemplo productos protegidos por patentes, exclusividad, grado de competencia en el momento de entrada al mercado, etc.

3.2.Estructura de costes. Cuanto mayor sea la proporción de los costes fijos mayor será el riesgo económico, puesto que a corto plazo sólo los costes variables son adaptables al nivel de producción o venta y por lo tanto, las empresas con costes fijos altos tienen poca flexibilidad de adaptación a la baja demanda y por lo tanto, mayor riesgo.

3.3.Número de Clientes y Proveedores. Si la empresa depende de pocos proveedores y tiene pocos clientes, se considera que tiene un riesgo mayor que aquellas otras que tienen una clientela amplia y unas fuentes de suministros más diversificadas. La incertidumbre en los suministros de materias primas, elementos básicos, o producto elaborado necesarios para la marcha normal del negocio constituyen un elemento de riesgo.

3.4.Distribución del Producto. Facilidades y medios para vender el producto, y ponerlo a disposición de los usuarios finales. Coste de comercialización y distribución.

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4. Tipos de Riesgos.

Existen 3 tipos de riesgos en un proyecto:

1. Riesgo Individual. 2. Riesgo Corporativo. 3. Riesgo de Beta.

4.1. Riesgo Individual.

Es el riesgo que tendría un activo si fuera el único que poseyera una empresa, se mide a través de la variabilidad de los rendimientos esperados de dicho activo. Este riesgo se puede mitigar diversificando los activos de la empresa, sin embargo, es importante tenerlo en cuenta debido a las siguientes razones:

a) Es más fácil estimar el riesgo individual de un proyecto que su riesgo corporativo, y es mucho más fácil medir el riesgo individual que el riesgo de beta.

b) En la gran mayoría de los casos, los tres tipos de riesgo están altamente correlacionados, es decir, si la economía en general tiene un buen desempeño, también lo tendrá la empresa, y si ésta muestra un buen desempeño, también lo tendrán la mayoría de los productos. De este modo, el riesgo individual, por general, es una buena aproximación del riesgo de beta y del riesgo corporativo cuando los mismos son difíciles de medir.

c) De acuerdo con los puntos anteriores, si la administración desea una evaluación razonablemente exacta en la relación con el riesgo de un proyecto, deberá invertir un esfuerzo considerable en la determinación del grado de riesgo de los propios flujos de efectivo de un proyecto, es decir, su riesgo individual.

Existen tres técnicas para evaluar el Riesgo de un Proyecto Individual:

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cantidad en que cambiará el VPN en respuesta a un cambio determinado de una variable de insumo, si se mantiene todo lo demás constante.

b) Análisis de Escenarios. En esta técnica, se comparan los conjuntos “malos” y “buenos” de circunstancias financieras con una situación más probable o “caso básico”.Se analiza de acuerdo a la modificación de todas las variables en el peor de los casos y otro análisis en el mejor de los casos, para llegar así al caso básico. Posteriormente, se establece la probabilidad de que ocurra uno de los dos escenarios. Los escenarios posibles son:

 Escenario del peor caso. Análisis mediante el cual la totalidad de las variables de insumo se establecen en sus peores valores razonablemente pronosticados.

 Escenario del mejor caso. Análisis mediante el cual la totalidad de las variables de insumo se establecen en sus mejores valores razonablemente pronosticados.

 Caso básico. Análisis mediante el cual la totalidad de las variables de insumo se establecen en sus valores más probables.

c) Simulación mediante el Método Monte Carlo. Técnica del análisis de riesgos por medio del cual los eventos futuros probables son simulados en una computadora, lo que genera una distribución de probabilidad que indica los resultados más probables.

4.2 Riesgo Corporativo o Interno de la Empresa,

El riesgo corporativo es aquél que considera los efectos de la diversificación de los accionistas, se mide a través de los efectos de un proyecto sobre la variabilidad en las utilidades de la empresa. Refleja el efecto del proyecto sobre el riesgo de la empresa.

El Riesgo Corporativo es importante por 3 razones:

 Los accionistas no diversificados se preocupan más por el riesgo corporativo que por el riesgo beta.

 Los estudios acerca de los determinantes de las tasas requeridas de rendimiento (k) encuentran que tanto beta como el riesgo corporativo afectan los precios de las acciones.

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solicitar el crédito a tasas razonables, disminuyendo su rentabilidad y el precio de sus acciones.

4.3 Riesgo de Beta o de Mercado,

Es la parte del proyecto que no puede ser eliminado por diversificación, se mide a través del coeficiente de beta de un proyecto. No afecta mucho por la diversificación de cartera.

Concepto Beta B. Es una medida del grado en el cual los rendimientos de una acción determinada se desplazan con el mercado de acciones, y es una medida de volatilidad de una acción en relación con la de una acción promedio, es decir b = 1.0. Si aumenta la acción en iguales proporciones a las del mercado representará que es una acción muy volátil.

La Beta de una acción mide su contribución al grado de riesgo de una cartera, Beta es la medida teórica correcta del riesgo de una acción. Una empresa puede modificar su riesgo de beta a través de cambios en la composición de sus activos así como mediante el uso de financiamiento con deudas. Además que puede cambiar por factores externos, tales como la competencia.

Quién debería ser Responsable del manejo de estos Riesgos?

•

Para manejar riesgos, las medidas a tomar implican costos.

Puede la compañía manejar el riesgo en forma más económica que los inversionistas por su cuenta?

•Si es así, el valor será maximizado si la compañía incurre en costos de manejo de riesgo.

•Si no, es mejor dejar las acciones a los inversionistas.

•

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El Riesgo Beta o de Mercado se mide a través de 2 técnicas.

 Método del Juego Puro, En éste se identifican a las empresas con interés en el producto en cuestión, se determina la beta para cada compañía y después un promedio de estas, para así, encontrar una aproximación a su beta de su propio proyecto.

 Método Contable de Beta, se estima beta a través del cálculo de una regresión entre la capacidad básica promedio de generación de utilidades estimada a partir de una muestra grande de empresas.

El riesgo de cada proyecto se mide a través de la variabilidad de los rendimientos esperados del mismo y el riesgo corporativo se mide de acuerdo a la variabilidad de las utilidades y el riesgo beta se mide a través de del efecto del proyecto

sobre el coeficiente beta de la empresa.

5. Uso de las Distribuciones de Probabilidad para Cuantificar el Riesgo

La Distribución de Probabilidad es un modelo que vincula los resultados posibles con sus probabilidades de ocurrencia.

El Riesgo es la posibilidad de que el rendimiento esperado y el realizado sean diferentes.Para medir este riesgo se puede usar la varianza y su raíz cuadrada, la desviación estándar.

La desviación estándar es una medida estadística que indica la dispersión ovariabilidad de los datos con respecto a su valor medio. En finanzas, la desviación estándares una medida de riesgo ya que entre mayor dispersión o variabilidad de los rendimientosde un activo, más grande la posibilidad de que el rendimiento esperado y el realizado sean distintos entre sí, por lo tanto el riesgo

será mayor. La desviación estándar se expresa de la siguiente manera:

Donde:

Ri = Rendimiento que proporcionaría el activo bajo el escenario i.

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Pi = Probabilidad de ocurrencia del escenario i.

Otra medida de Riesgo es el Coeficiente de Variación. Es una medida relativa o estandarizada de riesgo que resulta de comparar la desviación estándar de los rendimientos de un activocon el rendimiento esperado del mismo. El coeficiente de variación se expresa de la siguiente forma:

Donde:

σi = Desviación estándar de los rendimientos del activo i.

Ri = Rendimiento esperado del activo i.

Esta medida es útil para comparar activos que no tienen la misma desviación estándar o el mismo rendimiento esperado, ya que permite conocer cuánto es el riesgoque proporciona el activo por cada punto porcentual de riesgo asociado. Entre mayor sea el riesgo por punto de rendimiento se hace menos probable obtener el rendimiento esperado.

6.2 Distribución Normal.

Se define como: Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribución normal con parámetros, (- <<) y 2_{>0, si tiene la función densidad dada la} ecuación

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La distribución normal tiene las siguientes características:

6.3 Distribución Triangular.

Se define por tres parámetros: el mínimo a, el máximo b, y el valor más probable