Ejercicios

4º ESO – Académicas y Aplicadas

Ejercicios de ecuaciones bicuadradas

Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas

1. x4 – 5x2 + 4 = 0 página 2 2. x4 + 10x2 + 9 = 0 página 3 3. x4 – 4x2 – 12 = 0 página 4 4. 2x4 – 4x2 – 30= 0 página 5 5. x4 – 13x2 + 36 = 0 página 6 6. 3x4 – 15x2 + 12 = 0 página 7 7. x6 – 7x3 – 8 = 0 página 8 8. x6 – 2x3 +1 = 0 página 9 9. x8 – 17x4 + 16 = 0 página 10 10.x10 – 31x5 – 32 = 0 página 11 11.x6 – 9x3 + 8 = 0 página 12

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Soluciones

1) Resuelve la siguiente ecuación.

x4 – 5x2 + 4 = 0

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y término independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:

z = x2

Si en la ecuación sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedaría:

(x2)2 – 5x2 + 4 = 0 => z2 – 5z + 4 = 0

Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas tendría por soluciones:

z = 4 y z = 1

¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡

Para obtener nuestras soluciones procederemos así:

Si z = x2 entonces, x2 = 4 y x2 = 1, de donde tenemos que

x = +

𝟒

= + 2 y x = +

𝟏

= + 1

Y estas SÍ serán las soluciones de nuestra ecuación

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2) Resuelve la siguiente ecuación.

x4 + 10x2 + 9 = 0

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y término independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:

z = x2

Si en la ecuación sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedaría:

(x2)2 + 10x2 + 9 = 0 => z2 + 10z + 9 = 0

Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas tendría por soluciones:

z = –9 y z = –1

¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡

Para obtener nuestras soluciones procederemos así:

Si z = x2 entonces, x2 = –9 y x2 = –1, de donde tenemos que

NO HAY SOLUCIONES PUES NO PODEMOS CALCULAR RAICES CUADRADAS DE NÚMEROS NEGATIVOS

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3) Resuelve la siguiente ecuación.

x4 – 4x2 – 12 = 0

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y término independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:

z = x2

Si en la ecuación sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedaría:

(x2)2 – 4x2 – 12 = 0 => z2 – 4z – 12 = 0

Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas tendría por soluciones:

z = 6 y z = –2

¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡

Para obtener nuestras soluciones procederemos así:

Si z = x2 entonces, x2 = 6 y x2 = –1, de donde tenemos que

x = +

𝟔

exclusivamente pues no podemos calcular la raíz cuadrada

de

Y estas SÍ serán las soluciones de nuestra ecuación

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4) Resuelve la siguiente ecuación.

2x4 – 4x2 – 30= 0

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y término independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:

z = x2

Si en la ecuación sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedaría:

2(x2)2 – 4x2 – 30 = 0 => 2z2 – 4z – 30 = 0

Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas tendría por soluciones:

z = 5 y z = –3

¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡

Para obtener nuestras soluciones procederemos así:

Si z = x2 entonces, x2 = 5 y x2 = –3, de donde tenemos que

x = +

𝟓

exclusivamente pues no podemos calcular la raíz cuadrada

de

Y estas SÍ serán las soluciones de nuestra ecuación

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5) Resuelve la siguiente ecuación.

x4 – 13x2 + 36 = 0

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y término independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:

z = x2

Si en la ecuación sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedaría:

(x2)2 – 13x2 + 36 = 0 => z2 – 13z + 36 = 0

Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas tendría por soluciones:

z = 9 y z = 4

¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡

Para obtener nuestras soluciones procederemos así:

Si z = x2 entonces, x2 = 9 y x2 = 4, de donde tenemos que

x = + 3 y x = + 2

Y estas SÍ serán las soluciones de nuestra ecuación

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6) Resuelve la siguiente ecuación.

3x4 – 15x2 + 12 = 0

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y término independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:

z = x2

Si en la ecuación sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedaría:

3(x2)2 – 15x2 + 12 = 0 => 3z2 – 15z + 12 = 0

Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas tendría por soluciones:

z = 1 y z = 4

¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡

Para obtener nuestras soluciones procederemos así:

Si z = x2 entonces, x2 = 1 y x2 = 4, de donde tenemos que

x = +

𝟒

= + 2 y x = +

𝟏

= + 1

Y estas SÍ serán las soluciones de nuestra ecuación

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7) Resuelve la siguiente ecuación.

x6 – 7x3 – 8 = 0

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 6, 3 y término independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:

z = x3

Si en la ecuación sustituimos y donde pone x3 ponemos z nos quedaría:

(x3)2 – 7x3 – 8 = 0 => z2 – 7z – 8 = 0

Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas tendría por soluciones:

z = 8 y z = -1

¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡

Para obtener nuestras soluciones procederemos así:

Si z = x3 entonces, x3 = -1 y x3 = 8, de donde tenemos que

x =

−𝟏

= - 1 y x =

𝟖

= 2

Y estas SÍ serán las soluciones de nuestra ecuación

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8) Resuelve la siguiente ecuación.

x6 – 2x3 +1 = 0

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 6, 3 y término independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:

z = x3

Si en la ecuación sustituimos y donde pone x3 ponemos z nos quedaría:

(x3)2 – 2x3 +1 = 0 => z2 – 2z +1 = 0

Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas tendría por soluciones:

z = 1 (raíz doble)

¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡

Para obtener nuestras soluciones procederemos así:

Si z = x3 entonces, x3 = 1 , de donde tenemos que

x =

𝟏

= 1

Y estas SÍ serán las soluciones de nuestra ecuación

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9) Resuelve la siguiente ecuación.

x8 – 17x4 + 16 = 0

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 8, 4 y término independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:

z = x4

Si en la ecuación sustituimos y donde pone x4 ponemos z nos quedaría:

(x4)2 – 17x4 + 16 = 0 => z2 – 17z + 16 = 0

Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas tendría por soluciones:

z = 1 y z = 16

¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡

Para obtener nuestras soluciones procederemos así:

Si z = x4 entonces, x4 = 1 y x4 = 16, de donde tenemos que

x = +

𝟏

= + 1 y x = +

𝟏𝟔

= + 2

Y estas SÍ serán las soluciones de nuestra ecuación

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10)Resuelve la siguiente ecuación.

x10 – 31x5 – 32 = 0

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 10, 5 y término independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:

z = x5

Si en la ecuación sustituimos y donde pone x5 ponemos z nos quedaría:

(x5)2 – 31x5 – 32 = 0 => z2 – 31z – 32 = 0

Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas tendría por soluciones:

z = -1 y z = 32

¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡

Para obtener nuestras soluciones procederemos así:

Si z = x5 entonces, x5 = -1 y x5 = 32, de donde tenemos que

x =

−𝟏

= -1 y x =

𝟔𝟒

= 2

Y estas SÍ serán las soluciones de nuestra ecuación

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11)Resuelve la siguiente ecuación:

x6 – 9x3 + 8 = 0

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 6, 3 y término independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:

z = x3

Si en la ecuación sustituimos y donde pone x3 ponemos z nos quedaría:

(x3)2 – 9x3 + 8 = 0 => z2 – 9z + 8 = 0

Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas tendría por soluciones:

z = 8 y z = 1

¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡

Para obtener nuestras soluciones procederemos así:

Si z = x3 entonces, x3 = 8 y x3 = 1, de donde tenemos que

x =

𝟖

= +2 y x =

𝟏

= + 1

Y estas SÍ serán las soluciones de nuestra ecuación

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12)Resuelve la siguiente ecuación:

x4 – 26x2 = –25

Resolución:

Primero dejamos todos los términos a un lado de la ecuación.

x4 – 26x2 + 25 = 0

Después, si nos fijamos se trata de una ecuación bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y término independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:

z = x2

Si en la ecuación sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedaría:

(x2)2 – 26x2 + 25 = 0 => z2 – 26z + 25 = 0

Ecuación ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la fórmula general para ellas tendría por soluciones:

z = 25 y z = 1

¡ QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIÓN ¡

Para obtener nuestras soluciones procederemos así:

Si z = x2 entonces, x2 = 25 y x2 = 1, de donde tenemos que

x = +

𝟐𝟓

= + 5 y x = +

𝟏

= + 1

Y estas SÍ serán las soluciones de nuestra ecuación

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13)Resuelve la siguiente ecuación:

x6 – 64x3 = 0

Resolución:

Si nos fijamos y aunque podríamos resolverla como una bicuadrada, al faltar el término independiente, lo primero que debemos hacer es sacar factor común, en este caso el exponente menor es 3 con lo que sacamos x3 factor común:

x3 (x3 – 64) = 0

Así, pues ya sabemos que x = 0 es raíz triple de la ecuación. Para el otro factor procederemos así:

x3 – 64 = 0 => x3 = 64 => x = 3

64

Las soluciones reales a la ecuación serían:

x = 4 y x = 0 (ésta como raíz triple)