EC 2322 Incidencia Normal Múltiples Medios pdf

Texto completo

(1)EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. 2.7. INCIDENCIA NORMAL SOBRE MÚLTIPLES MEDIOS. 2.7.1 Planteamiento y geometría del problema Se tiene un sistema de N (N > 2) medios LIH y sin fuentes que son infinitos transversalmente y que están separados por interfaces planas paralelas entre ellas. En el medio 1, llamado medio de incidencia, existe una onda plana uniforme u onda incidente que se propaga en la dirección normal a la interfaz entre los medios 1 y 2, como se muestra en la figura 2.7. x1. x2. xN-3. d2. E1+. xN-2. dN-2. xN-1= xN. dN-1. S1+. H 1+. 01 1. 02 2. 3. //. 0N-3 N-2. 0N-2. 0N-1=0N N-1. z. N. Fig. 2.7: Geometría inicial del problema de incidencia normal sobre N medios. La onda incidente es conocida y se supone que tiene polarización paralela (dado que para el caso de incidencia normal el plano de incidencia queda indeterminado, esto no resta generalidad al estudio). Adicionalmente se conocen la constante de propagación y la impedancia intrínseca de cada región, y las distancias que separan las interfaces adyacentes. Se desea determinar los campos electromagnéticos resultantes en todas las regiones en régimen sinusoidal permanente. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 87.

(2) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Puede observarse en la figura 2.7 que se define un sistema de coordenadas local para cada región, cuyo origen está en la interfaz que está a la derecha de la región, excepto para la región N, en la que el origen está en la interfaz de la izquierda puesto que no hay interfaz a la derecha. Los límites para la coordenada z en cada región son − ∞ < z1 ≤ 01 , − d k ≤ z k ≤ 0 k para 2 ≤ k ≤ N − 1 y 0 N ≤ z N < ∞ , con − d k = 0 k −1 para 2 ≤ k ≤ N − 1. Resulta instructivo analizar de manera cualitativa qué sucede en el régimen transitorio, a fin de llegar a la situación que se obtiene en estado estacionario (régimen sinusoidal permanente) y saber cuántas incógnitas se van a resolver. Cuando la onda incidente S1+ llega por la izquierda a la primera interfaz z1 = 01 , se activa localmente el mecanismo de reflexión que produce una. ( ). primera onda reflejada S1− 1 en el medio 1 y una primera onda transmitida. (S 2+ )1 en el medio 2. La onda transmitida (S 2+ )1 al llegar a por la izquierda a la. segunda interfaz z 2 = 0 2 activa localmente el mecanismo de reflexión que. ( ). produce una primera onda reflejada S −2 1 en el medio 2 y una primera onda. ( ). transmitida S 3+ 1 en el medio 3, de manera similar va sucediendo a medida que la primera onda transmitida en cada medio va llegando a la interfaz que está a su derecha, excepto en la región N que no tiene interfaz a su derecha.. ( ). La onda reflejada S −2 1 por su parte llega a la primera interfaz desde la derecha y mediante el mecanismo local de reflexión produce una onda S1− 2. ( ). ( ). ( ). ( ). que se suma con S1− 1 y una onda S 2+ 2 que se suma con S 2+ 1 , de manera Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 88.

(3) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. similar sucede con cada una de las ondas reflejadas que llega a cada interfaz desde la derecha. Cada una de las reflexiones de segundo orden producirá a su vez reflexiones de tercer orden, y así sucesivamente. El resultado global es que hay múltiples reflexiones en cada interfaz desde la izquierda y desde la derecha, excepto en la última interfaz, que sólo tiene ondas transmitidas desde la izquierda. La figura 2.8 muestra las reflexiones múltiples de los primeros órdenes para el caso de cuatro regiones. Se ha inclinado ligeramente en la figura la dirección de propagación sólo con el propósito de mostrar cada onda individualmente, además, se ha disminuido progresivamente la intensidad de los colores de los rayos para mostrar que la intensidad de cada reflexión sucesiva es cada vez menor. x1. x2. x3. z 1. 01. 2. 02. 3. 03. 4. Fig 2.8: Múltiples reflexiones sucesivas en el régimen transitorio para el caso de cuatro regiones. Como resultado de las múltiples reflexiones sucesivas habrá en cada región, excepto en la región N, infinitas ondas que viajan en dirección de z negativo, y en cada región, excepto en la región 1, infinitas ondas que viajan en dirección de z positivo. La superposición de todas esas ondas produce en el estado estacionario sólo una onda en cada dirección por región, excepto en la Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 89.

(4) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. región N, en la cual no hay onda reflejada. La disminución de la intensidad de las ondas con cada reflexión sucesiva garantiza la convergencia de la superposición de todas las ondas que son paralelas a una onda de intensidad finita. La situación de las ondas en el estado estacionario se muestra en la figura 2.9. x1 E1+. E +2. E +k. S1+. H 1+. S1−. 01. H −2 2. E−k. S−k // 02. E +N. S +k. H +k. E−2. S−2. H1− 1. S +2. H +2. E1−. xN-1= xN. x2. H −k k. H +N. //. S +N. 0N-1=0N. z N. Fig. 2.9: Ondas en estado estacionario para incidencia normal sobre N medios. 2.7.2 Determinación de los campos El problema a resolver tiene 2(N-1) incógnitas que son Ê1− , Ê +N y los. Ê +k y Ê −k para 2 ≤ k ≤ N − 1. Dado que hay N-1 interfaces, y en cada una de ellas hay una condición de frontera para el campo eléctrico y otra para el campo magnético, se tiene un sistema cerrado de 2(N-1) ecuaciones con igual número de incógnitas. Las condiciones de frontera en cuestión son las de continuidad de los campos eléctricos y magnéticos totales en cada interfaz.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 90.

(5) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Formulación de los campos. El primer paso en la determinación de los campos es la formulación de los campos electromagnéticos. Los campos eléctricos y magnéticos totales en cada región se construyen como la superposición de ondas planas uniformes que se propagan en dirección de z positivo y negativo, cuyos campos eléctricos y magnéticos vienen dados por: ˆ + ( z ) = 1x Eˆ + ( z ) = 1x eˆ + e −γˆk z k , 1 ≤ k ≤ N E k k k k k. (2.73a). ˆ k− ( z ) = 1x Eˆ k− ( z ) = 1x eˆk− e + γˆk z k , 1 ≤ k ≤ N − 1 E k k. (2.73b). eˆk+ −γˆ z + + ˆ ˆ H k ( z k ) = 1y H k ( z k ) = 1y e k k ,1 ≤ k ≤ N ηˆk. (2.74a). −. ˆ −k ( z ) = −1y Hˆ k− ( z ) = −1y eˆk e −γˆk z k , 1 ≤ k ≤ N − 1 H k k ηˆk. (2.74b). Los campos correspondientes a las ondas incidentes y reflejadas no están definidos en las interfaces, ya que la continuidad de los campos totales implica la discontinuidad de los correspondientes a las ondas incidentes y reflejadas por separado. Los campos electromagnéticos totales son la suma del campo incidente más el campo reflejado: ˆ ( z ) = 1x  eˆ + e −γˆk z k + eˆk− e + γˆ k z k , 1 ≤ k ≤ N − 1 E k k  k . (2.75a). ˆ ( z ) = 1x eˆ + e −γˆ N z N E N N N. (2.75b). −  eˆ +  − γˆ k z k eˆk + γˆk z k   k ˆ H k ( z k ) = 1y e − e ,1≤ k ≤ N − 1  ηˆk  ηˆk  . (2.76a). Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 91.

(6) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. + eˆ N ˆ ˆ H N ( z N ) = 1y e −γ N z N ηˆ N. (2.76b). Como se ha mencionado previamente, los campos totales son continuos en las interfaces, por lo que están definidos en éstas. Estrategias de solución Existen dos posibles estrategias de solución: la estrategia de solución simultánea y la estrategia de solución recursiva. Como se sabe, existen 2(N-1) incógnitas, que en virtud de las ecuaciones (2.75) y (2.76) son las amplitudes + complejas ê1− , ê N , êk+ y êk− ( 2 ≤ k ≤ N − 1) .. La estrategia de solución simultánea requiere construir un sistema de ecuaciones lineales de 2(N-1) ecuaciones con 2(N-1) incógnitas, construcción que se hace a partir de aplicar las condiciones de frontera de continuidad de los campos eléctricos y magnéticos totales en las (N-1) interfaces. La solución del sistema de ecuaciones requiere de la inversión de una matriz de 2( N − 1) × 2( N − 1) , o alternativamente calcular un determinante de ese mismo tamaño por cada incógnita más el determinante del denominador, es decir, 2( N − 1) + 1 determinantes. En el mejor de los casos N = 3 y los determinantes serían de 4 × 4 , pero para valores de N mayores la complejidad computacional se incrementa notablemente. La estrategia de solución simultánea tiene la desventaja de que se obtienen los resultados en bloque, lo cual no permite conocer detalles sobre el comportamiento de los campos dentro del mismo proceso de solución.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 92.

(7) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. La estrategia de solución recursiva plantea ir aplicando las condiciones de borde localmente en cada interfaz e ir sustituyendo los resultados a medida que éstos aparecen en las siguientes condiciones de borde. El método recursivo tiene la ventaja de que la complejidad computacional no se incrementa con el número de regiones, lo que se incrementa es el número de veces que se aplica el mismo algoritmo. Otra ventaja del método recursivo es que permite conocer con detalle el comportamiento de los campos en cada región. Debido a su simplicidad computacional y a la posibilidad de conocer con detalle el comportamiento de los campos en cada región durante el proceso de solución, se escoge la estrategia de solución recursiva. A fin de incrementar la eficiencia del método, se definen a continuación dos funciones complejas asociadas a los campos: el coeficiente de reflexión generalizado y la impedancia generalizada. Coeficiente de reflexión e impedancia generalizados: definición y propiedades El coeficiente de reflexión generalizado se define como: − ˆ− ˆΓk ( z k ) ≡ Ek ( z k ) = eˆk e 2γˆk z k = Γˆ k (0 k− ) e 2γˆ k z k Eˆ + ( z k ) eˆ + k. (2.77). k. donde − ∞ < z1 < 01 y − d k < z k < 0 k para 2 ≤ k ≤ N − 1. La discontinuidad de los campos eléctricos incidentes y reflejados implica la discontinuidad del coeficiente de reflexión generalizado en las Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 93.

(8) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. interfaces, por lo que dicho coeficiente no está definido en las interfaces. Para la región N, se tiene Γˆ N ( z N ) = 0 porque no hay onda reflejada.. En términos del coeficiente de reflexión generalizado, los campos totales pueden escribirse:. (. ). ˆ ( z ) = 1x eˆ + e −γˆk z k 1 + Γˆ ( z ) = 1x Eˆ ( z ) E k k k k k k k. (2.78). eˆk+ −γˆ z ˆ H k ( z k ) = 1y e k k 1 − Γˆ k ( z k ) = 1y Hˆ k ( z k ) ηˆk. (2.79). (. ). Al expresarse los campos de esta manera se reemplaza como incógnita las amplitudes complejas êk− por las constantes Γˆ k (0 −k ) . La impedancia generalizada se define como el cociente de la componente del campo eléctrico total entre la componente del campo magnético total: Zˆ k ( z k ) =. Eˆ k ( z k ) Hˆ k ( z k ). = ηˆk. (1 + Γˆ k ( zk )) (1 − Γˆ k ( zk )). (2.80). A diferencia del coeficiente de reflexión generalizado, la impedancia generalizada sí está definida y es continua en las interfaces, como consecuencia de la continuidad de los campos electromagnéticos totales: Zˆ k −1 (0 k −1 ) = Zˆ k (− d k ) , para 2 ≤ k ≤ N − 1. (2.81). Adicionalmente, para la región N, como no hay onda reflejada, se tiene Zˆ N ( z N ) = η̂ N .. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 94.

(9) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. La ecuación 2.80 establece una relación biyectiva entre la impedancia generalizada y el coeficiente de reflexión generalizado, de la cual se obtiene: Zˆ ( z ) − ηˆk Γˆ k ( z k ) = k k Zˆ k ( z k ) + ηˆk. (2.82). Algoritmo de solución recursiva El algoritmo de solución recursiva está basado en el uso de las propiedades de continuidad de la impedancia generalizada (ecuación 2.81), de la relación biyectiva entre la impedancia generalizada y el coeficiente de reflexión generalizado (ecuaciones 2.80 y 2.82), y de las expresiones del campo eléctrico en términos del coeficiente de reflexión (ecuaciones 2.78 y 2.79). En particular, la ecuación 2.81 sugiere la utilización de recursión hacia atrás, lo cual está reforzado por el hecho de que Zˆ N ( z N ) = η̂ N es dato. A continuación se presenta el algoritmo de solución recursiva, el cual consta de un lazo de recursión hacia atrás para calcular las impedancias y los coeficientes de reflexión a la izquierda y derecha de cada interfaz, y un lazo de recursión hacia delante donde se aplica la continuidad de los campos para calcular las amplitudes complejas incógnita.. Fase 1: Cálculo de los coeficientes de reflexión e impedancias en las interfaces. Desde k=N−1 hasta k=2: a) Se aplica la continuidad de impedancias en la interfaz (ecuación 2.81):. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 95.

(10) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. ηˆ Zˆ k (0 k ) =  N , si k = N −1 Zˆ k +1 (−d k +1 ), si k ≠ N − 1 b) Se calcula Γˆ k (0 −k ) evaluando la ecuación 2.82 en la interfaz: Zˆ (0 ) − ηˆk Γˆ k (0 −k ) = k k Zˆ k (0 k ) + ηˆk. (2.83). (2.84). c) Se calcula Γˆ k (−d k+ ) mediante la ecuación 2.77:. Γˆ k (− d k+ ) = Γˆ k (0 k− ) exp(−2γˆ k d k ). (2.85). d) Se calcula la impedancia generalizada Zˆ k (−d k ) con la ecuación 2.80: (1 + Γˆ k (−d k ) ) (2.86) Zˆ k (− d k ) = ηˆk (1 − Γˆ k (−d k ) ) e) Decrementar k e iniciar otro ciclo en a). Al finalizar el ciclo anterior, se tienen todos los coeficientes de reflexión generalizados e impedancias generalizadas en las interfaces para las regiones desde k = 2 en adelante. Luego:. • Se calcula Zˆ1 (01 ) = Zˆ 2 (−d 2 ) y con ésta se calcula Γˆ1 (01− ) mediante la ecuación 2.82. Si se desea, se puede calcular ê1− aplicando la ecuación 2.77.. Fase 2: Determinación de los campos eléctricos. ˆ ( z1 ) aplicando la • Se determina el campo total de la onda incidente E 1 ecuación 2.78. Para k = 2 hasta k = N−1: f) Se aplica la ecuación de continuidad del campo eléctrico en la interfaz: Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 96.

(11) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. ˆ (−d k ) = E ˆ E k k −1 (0 k − 1). (2.87). g) Aplicando la ecuación 2.78 se despeja êk+ :. (. ). ˆ (− d ) = 1x eˆ + eγˆk d k 1 + Γˆ (−d ) = 1x Eˆ (−d ) E k k k k k k k eˆk+ =. Eˆ k (− d k ) ˆ e −γ k d k 1 + Γˆ k (−d k ). (. ). (2.88). h) Con el valor de êk+ recién calculado se aplica de nuevo la ecuación 2.78 ˆ ( z k ) y calcular E ˆ (0 k ) . Si se desea, se para escribir el campo total E k k − puede calcular también êk usando la ecuación 2.77. i) Se incrementa k y se repite el ciclo en f). Al finalizar este segundo ciclo se han calculado ya todos los campos eléctricos totales hasta el penúltimo medio. Luego:. • Se aplica continuidad del campo eléctrico en la última interfaz y se + despeja ê N : + ˆ (0 N ) = E ˆ E N N −1 (0 N − 1) = 1x eˆ N. • Se escribe el campo eléctrico total en la región N aplicando la ecuación 2.75b.. Fase 3: Cálculos adicionales (no indispensable).. • Si se desea, se pueden calcular los campos magnéticos totales y/o los vectores de Poynting promedio de cada onda para cualesquiera de las regiones.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 97.

(12) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. En resumen, la solución del problema de incidencia normal sobre múltiples medios se ha reducido, gracias al uso de una estrategia recursiva, a un algoritmo que fundamentalmente tiene dos fases, cada una con un lazo de cinco pasos por iteración, más unos pocos pasos adicionales fuera de los lazos.. 2.7.3 Incidencia normal sobre múltiples medios sin pérdidas A continuación se estudia con más detalle el problema de incidencia normal en múltiples medios para medios sin pérdidas, haciendo hincapié en las propiedades del coeficiente de reflexión generalizado para este caso. El coeficiente de reflexión generalizado en un medio sin pérdidas En un medio sin pérdidas el coeficiente de reflexión generalizado queda:. Γˆ k ( z k ) = Γˆ k (0 −k ) e j 2 β k z k = ρ k e jφ k e j 2π z k (λk / 2 ). (2.90). donde:. Γˆ k (0 −k ) = ρ k e jφ k. (2.91). La función compleja Γˆ k ( z k ) tiene las siguientes propiedades: a) Γˆ k ( z k ) = ρ k . Como el módulo de Γˆ k ( z k ) es constante, su lugar. geométrico en el plano complejo es una circunferencia de radio ρ k . Dado que − ∞ < z1 ≤ 01 y − d k ≤ z k ≤ 0 k para 2 ≤ k ≤ N − 1, dicha circunferencia parte desde Γˆ k (0 −k ) = ρ k e jφ k y es recorrida en sentido horario para 1 ≤ k ≤ N − 1 . Es oportuno recordar que Γˆ N ( z N ) = 0 .. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 98.

(13) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. b) De la expresión 2.90 se obtiene que la fase de Γˆ k ( z k ) tiene período. [. ]. λk / 2 , partiendo desde arg Γˆ k (0 −k ) = φ k . c) La combinación de a) y b) hace que Γˆ k ( z k ) sea una función periódica de período λk / 2 . Además, como hay una relación biunívoca entre el coeficiente de reflexión generalizado y la impedancia generalizada, ésta última también es una función periódica de período λk / 2 . En la figura 2.10 se muestra el lugar geométrico del coeficiente de reflexión generalizado Γˆ k ( z k ) para un caso hipotético en el cual Γˆ (0 − ) = 0,5 ∠45° . Nótese que es práctica frecuente expresar al ángulo de Γˆ k (0 −k ) en grados, por lo que deben tomarse precauciones al calcular el ángulo de Γˆ k ( z k ) para evitar sumar grados con radianes. Im[ Γ(z)] 1. Γ(z). 0,5 Γ(0-)= Γ(λ/2). Γ(3λ/8) 45°. 0,5. Γ(λ/4). 1. Re[Γ(z)]. Γ(λ/8). Fig. 2.10: Representación en el plano complejo de Γˆ ( z ) para el caso en que Γˆ (0 − ) = 0,5 ∠45°. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 99.

(14) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Ver ejemplo 1 Magnitud de los campos totales En el caso de que no hay pérdidas, se tiene: Eˆ k ( z k ) = eˆk+ 1 + Γˆ k ( z k ) = eˆk+ 1 + ρ k e jφ k e j 2π z k (λk / 2 ). ˆ (z ) = H k k. eˆk+. ηk. 1 − ρ k e jφ k e j 2π z k (λk / 2 ). (2.92). (2.93). Las magnitudes de los campos electromagnéticos totales son funciones reales periódicas, con período igual al del coeficiente de reflexión generalizado, es decir, λk / 2 . Además, se tiene: ˆ ( z ) ≤ eˆk+ (1+ ρ ) eˆk+ (1− ρ k ) ≤ E k k k eˆk+. ηk. (1 − ρ k ) ≤ Hˆ k ( zk ) ≤. eˆk+. ηk. (1+ ρ k ). (2.94a). (2.94b). De las expresiones 2.92 y 2.93 puede concluirse que el comportamiento de las magnitudes del campo eléctrico y del campo magnético es similar, con la diferencia que están desfasados medio período, es decir, λk / 4 . Por lo tanto, cuando la magnitud del campo eléctrico es máxima, la del campo magnético es mínima, y viceversa. A fin de comprender mejor el comportamiento de las magnitudes del campo eléctrico y del campo magnético, es conveniente graficar las funciones 1 + Γˆ k ( z k ) y 1 − Γˆ k ( z k ) en el plano complejo.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 100.

(15) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. En la figura 2.11 se muestran las gráficas correspondientes al caso en que Γˆ (0 − ) = 0,5 ∠45° . Im 1. 1−Γ(z). 0,5 1+Γ(0-) 1. 0. 45°. 0,5 (mín). 1−Γ(0-). 1,5 (máx). Re. 1+Γ(z). Fig. 2.11: Representación en el plano complejo de 1 + Γˆ (0 − ) , 1 − Γˆ (0 − ) , 1 + Γˆ ( z ) y 1 − Γˆ ( z ) para el caso en que Γˆ (0 − ) = 0,5 ∠45° . En la figura 2.11 puede observarse que el lugar geométrico de las funciones 1 + Γˆ ( z ) y 1 − Γˆ ( z ) , mostrado en rojo, es el mismo y es el lugar geométrico de Γˆ ( z ) desplazado una unidad en el eje real, en otras palabras, es una circunferencia de radio ρ centrada en el punto (1,0). Se muestra además que los máximos y mínimos de 1 ± Γˆ ( z ) corresponden a los dos cortes de las funciones 1 ± Γˆ ( z ) con el eje real. También pueden hallarse gráficamente los dos puntos en que 1 ± Γˆ ( z ) = 1 como la intersección del lugar geométrico de. 1 ± Γˆ ( z ). (circunferencia roja) con el arco de circunferencia de módulo unitario (en Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 101.

(16) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. amarillo). Es importante ver que estos dos puntos están más cerca del mínimo que del máximo. Patrón de onda estacionaria Cuando se superpone una onda incidente y una reflejada que viajan en una región sin pérdidas en la misma dirección y sentidos opuestos se produce una onda estacionaria, que es una onda que varía con el tiempo pero no se propaga espacialmente. Para cada coordenada z en un medio sin pérdidas de grosor d, las ondas incidente y reflejada habrán recorrido una distancia d − z y d + z , respectivamente (recuérdese que por definición z es negativo porque se mide respecto a la interfaz que está a la derecha), por lo que la diferencia de distancias recorridas entre ambas ondas es 2 z . La diferencia de distancias recorridas y más el desfasaje producido por la reflexión produce un desfasaje neto entre las ondas incidente y reflejada, dependiendo de dicho desfasaje habrá sitios donde hay máxima interferencia constructiva y otros donde habrá máxima interferencia destructiva, que coinciden con los lugares donde la función 1 ± Γˆ ( z ) es máxima o mínima, respectivamente (el signo se toma según sea campo eléctrico o campo magnético), en los otros sitios habrá interferencia constructiva o destructiva variable. El patrón de onda estacionaria del campo eléctrico es la gráfica del campo eléctrico total Eˆ ( z ) en función de z un medio sin pérdidas, y muestra la variación en la envolvente del campo eléctrico total producto de la interferencia entre las ondas incidente y reflejada que lo componen. De Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 102.

(17) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. manera análoga se define el patrón de onda estacionaria del campo magnético. Ambos patrones de onda estacionaria son similares, excepto porque los máximos de uno coinciden con los mínimos del otro y viceversa. Para el campo eléctrico total se tiene, de la ecuación 2.92: Eˆ k ( z k ) = eˆk+.  z  1 + ρ k 2 + 2 ρ k cos  φ k + 2π k  λk / 2  . (2.95a). Por su parte, para el campo magnético total se tiene, de la ecuación 2.93: ˆ (z ) = H k k. eˆk+. ηk.  z  1 + ρ k 2 − 2 ρ k cos  φ k + 2π k  λk / 2  . (2.95b). En la figura 2.12 se muestra el patrón de onda estacionaria normalizado (respecto a êk+ ) del campo eléctrico (en rojo) y del campo magnético (en azul) para el caso en que Γˆ (0 − ) = 0,5 ∠45° y el grosor de la región es λ.. 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0. λ Fig. 2.12: Patrón de onda estacionaria normalizado de campo eléctrico (en rojo) y de campo magnético (en azul) para el caso en que Γˆ (0 − ) = 0,5 ∠45° y el grosor de la región es λ. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 103.

(18) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Se observa claramente en la figura 2.12 la ubicación de los máximos y mínimos del campo eléctrico y del campo magnético total, así como la distancia entre máximos y mínimos consecutivos de cada patrón de onda estacionaria, que es λ/4. También se observa que los puntos en que el patrón de onda estacionaria pasa por la unidad están más cerca de los mínimos adyacentes que de los máximos adyacentes, como se había previsto, lo cual hace que el patrón de onda estacionaria no sea simétrico respecto al punto medio. Es importante mencionar que el patrón de onda estacionaria del campo eléctrico tiene un interés especial por cuanto se puede medir la magnitud del campo eléctrico total mediante una sonda, un detector de envolvente y un instrumento de medición de voltaje CC tal como un osciloscopio o un voltímetro. La sonda capta el campo y produce una señal de voltaje de alta frecuencia proporcional al campo eléctrico instantáneo en el sitio de medición, el detector de envolvente entrega un voltaje CC proporcional al voltaje de la envolvente del campo eléctrico total en dicho sitio. Finalmente, el instrumento de medición permite medir el voltaje detectado. Mediante el esquema de medición descrito, puede medirse punto por punto el patrón de onda estacionaria del campo eléctrico desplazando la sonda de medición a lo largo de la dirección de propagación (suponiendo que ésta es conocida). De esta manera pueden medirse los valores máximo y mínimo de la amplitud del campo eléctrico total, y también la distancia entre máximos consecutivos o mínimos consecutivos, la cual como es sabido está relacionada con la longitud de onda en el material a la frecuencia de operación. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 104.

(19) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Ubicación de los mínimos del patrón de onda estacionaria En la figura 2.12, que muestra un patrón de onda estacionaria, puede verse que el patrón varía más rápidamente en la vecindad de un mínimo que en la vecindad de un máximo. Esto implica que es más fácil ubicar precisamente los mínimos que los máximos, ya que cualquier error de ubicación cerca de un mínimo es más fácil de detectar. A continuación se obtiene analíticamente la ubicación de los mínimos del patrón de onda estacionaria del campo eléctrico, y se reseña el caso particular de la ubicación del primer mínimo a la izquierda de la interfaz, la cual se utiliza posteriormente para hallar el coeficiente de reflexión en la interfaz. Los mínimos del patrón de onda estacionaria se obtienen igualando a –1 el coseno en la ecuación 2.95a: z k , mín   λ (2n + 1)π − φ k  = −1 ⇒ z k , mín (n) = k cos  φ k + 2π λk / 2  2 2π  El primer mínimo negativo z k , mín se obtiene haciendo n = −1 en la ecuación anterior:. λ π + φk z k , mín = − k 2 2π. (2.96). Relación de onda estacionaria Se define como Relación de onda estacionaria al cociente entre las amplitudes máxima y mínima del patrón de onda estacionaria del campo eléctrico total o del campo magnético total en cada región:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 105.

(20) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. ˆ k ( z) E. ROEk ≡. ˆ k ( z) E. máx = mín. ˆ k ( z) H. máx. ˆ k ( z) H. mín. (2.97a). De acuerdo con las ecuaciones 2.94, resulta: ROEk =. 1 + ρk 1 − ρk. (2.97b). Determinación de Γˆ k (0 −k ) con datos del patrón de onda estacionaria Para determinar Γˆ k (0 −k ) = ρ k e jφ k. es necesario determinar por. separado su módulo ρ k y su ángulo φ k , con la ayuda de las ecuaciones 2.96 y 2.97. Ello involucra lo siguiente: d) Medir el primer mínimo z k , mín y medir la distancia ∆k entre dos mínimos consecutivos. e) Medir los valores máximo y mínimo de la amplitud del campo eléctrico, E( z) máx y E( z) mín , respectivamente.. f) Con las mediciones de la parte a) se determina la longitud de onda y el ángulo φ k partiendo de la ecuación 2.96:. λk = 2 ∆ k φk =. 4π z k , mín. λk. −π. (2.98). g) Con las mediciones de la parte b) se determina ROEk con la ecuación 2.97a y luego se calcula ρ k partiendo de la ecuación 2.97b: ROEk − 1 ρk = ROEk + 1. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (2.99). 106.

(21) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. La utilidad de determinar Γˆ (0 − ) radica en la posibilidad de calcular la impedancia intrínseca desconocida de algún material partiendo de la fórmula que relaciona a la impedancia con el coeficiente de reflexión y aplicando continuidad de impedancias en la interfaz. Ver ejemplo 2. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 107.

(22)