1.- MEDIDA DE VISCOSIDAD DE FLUIDOS

PR ´ ACTICAS DE PROCESOS FLUIDOT ´ ERMICOS

1.- MEDIDA DE VISCOSIDAD DE FLUIDOS

´ Indice

Introducci´on 2

Modelo molecular de los efectos viscosos 2

Medida experimental de la viscosidad 5

Medida de viscosidad en tubos de ca´ıda libre. . . 5

Fundamento te´orico de los viscos´ımetros de rotaci´on. . . 8

Realizaci´on de la pr´actica 10 Medida de la viscosidad utilizando los tubos de ca´ıda libre . . . 10

Medida de la viscosidad de aceite SAE 30 y aceite de vaselina . . . 10

Medida de la viscosidad de la glicerina . . . 11

Medida de µ con el viscos´ımetro rotacional . . . 12

Realizaci´on de las medidas . . . 12

Variaci´on de la viscosidad con la temperatura . . . 13

Introducci´ on

Si consideramos un fluido, ´este se mover´a siempre y cuando haya fuerzas presentes que produzcan el movimiento. Sin embargo, para la mayor´ıa de los fluidos, una fuerza de deformaci´on finita producir´a una velocidad de deformaci´on finita. En la mayor´ıa de los fluidos que se utilizan com´unmente, tales como el agua, aire, aceite, etc, los esfuerzos asociados a una velocidad de deformaci´on dada son una funci´on lineal de esa velocidad de deformaci´on. Este tipo de fluidos se llaman fluidos Newtonianos y el factor de proporcionalidad lineal se conoce como coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad din´amica. El coeficiente de viscosidad depende ´unicamente del estado termodin´amico del fluido. De este modo tenemos que los esfuerzos cortantes en el plano XY vienen dados por:

τxy = µ  ∂Ux

∂y +∂Uy

∂x



(1) donde µ es el coeficiente de viscosidad, U_xes la componente de velocidad en la direcci´on x y U_y es la componente de velocidad en la direcci´on y.

X Y

U(y)

Figura 1: Ejemplo de modelo unidireccional.

Modelo molecular de los efectos viscosos

En el caso de gases ideales, las mol´eculas est´an tan alejadas unas de otras que las fuerzas intermoleculares son despreciables. La ´unica fuente de generaci´on de esfuerzos cortantes es el transporte de cantidad de movimiento a trav´es del movimiento de las mol´eculas. Consideremos, por ejemplo, un flujo unidireccional donde la componente x de la velocidad es ´unicamente funci´on de la coordenada vertical y, U_x(y), tal y como se muestra en la figura 1.

Utilizando un modelo sencillo de teor´ıa cin´etica de gases se puede ver que la viscosidad viene dada por:

µ = 2 3 d²

r mkT

π³ (2)

donde d es el di´ametro de las mol´eculas de gas, m es la masa molecular, k es la constante universal de Boltzmann y T es la temperatura. La ecuaci´on 2 muestra que la viscosidad aumenta con el peso de las mol´eculas y disminuye con su tama˜no. Para un tipo de gas en

concreto la viscosidad es ´unicamente funci´on de la temperatura, aumentando conforme aumenta

´esta.

En el caso de l´ıquidos, el modelo es m´as complicado. Las mol´eculas est´an m´as cerca unas con otras y las fuerzas de atracci´on intermolecular son muy importantes. No obstante se ha observado que la viscosidad es tambi´en funci´on de la temperatura, disminuyendo conforme la temperatura aumenta. Este efecto es contrario al caso de gases.

Como los l´ıquidos se pueden asemejar a los s´olidos en el sentido de que sus mol´eculas se encuentran agrupadas, podemos utilizar el estado s´olido para ayudarnos a comprender el efecto de la viscosidad en l´ıquidos. Si aplicamos un esfuerzo tangencial a un s´olido en forma de cubo, tal y como se muestra en la figura 2, ´este se deformar´a y la cara en contacto con la fuerza tangencial se desplazar´a un diferencial de longitud ∆x. Los esfuerzos cortantes son directamente proporcionales a la deformaci´on tal y como se describe por la ley de Hooke,

τ = F

A = G∆x

∆y = G tgγ ≈ G γ (3)

donde F es la fuerza cortante deformadora, A es el ´area donde se aplica la fuerza, ∆x es la deformaci´on en la direcci´on x, ∆y es el lado del cubo, G es el m´odulo de Young y γ es el ´angulo de deformaci´on.

A

∆y

∆x

γ

F

Figura 2: Deformaci´on de un s´olido sometido a un fuerza tangencial.

Durante el proceso de deformaci´on del cubo se realiza un trabajo debido a los esfuerzos cortantes, τ . Cuando la fuerza F deja de ejercerse el paralel´ogramo se comporta como un muelle y cede energ´ıa al sistema recuperando su forma original (cubo) siempre y cuando no se haya excedido de su estado el´astico durante la deformaci´on. Los l´ıquidos tienen distancias intermoleculares del mismo orden que los s´olidos, la ´unica diferencia es que las mol´eculas no est´an fijas y la configuraci´on cambia constantemente. Si se aplica un esfuerzo cortante a un l´ıquido, la deformaci´on contin´ua mientras el esfuerzo contin´ue. El ejemplo m´as claro es el movimiento introducido en un fluido que se encuentra confinado entre dos placas planas de superficie A como se muestra en la figura 3. Si se aplica una fuerza, de magnitud F , tangente a la placa superior, la placa comenzar´a a moverse arrastrando el fluido en contacto con ella que se mover´a

A

∆y

F

U(y)

U(y)

Figura 3: Deformaci´on de un l´ıquido sometido a un fuerza tangencial.

a la misma velocidad U . La diferencia m´as importante con respecto al caso de un s´olido es que, en el caso de un l´ıquido, el ´angulo de deformaci´on γ aumenta conforme se aplica la fuerza deformadora F . Si calculamos el perfil de velocidades que se obtiene en el fluido (problema resuelto en clase) observaremos que se obtiene un perfil de velocidades lineal, U (y). El fluido en contacto con la placa superior adquiere la velocidad mayor, U , y el fluido en contacto con la placa inferior permanece en reposo. El esfuerzo cortante viene determinado por τ = F/A, y, aplicando la f´ormula 1 obtenemos:

τ = µ∂U (y)

∂y (4)

Las dimensiones de la viscosidad vienen dadas por:

[µ] = F/A U/y



= kg m/s²m⁻² m/s m⁻¹ = kg

m s (5)

Dado que 1 kg m⁻¹s⁻¹= 1 P a.s, una forma t´ıpica de expresar la viscosidad en el entorno indus- trial es en Pascales multiplicado por segundo o un subm´ultiplo suyo, milipascales multiplicado por segundo, 1 mP a.s = 10⁻³P a.s. Otra de las unidades utilizadas como unidad de viscosidad es el P oise expresado en el sistema cegesimal:

1 p = 1 P oise = 1 gr cm⁻¹s⁻¹ (6)

de modo que una cent´esima de Poise es igual a una mil´esima de Pascal multiplicado por segundo.

1 cp = 10⁻²P oise = 10⁻²gr cm⁻¹s⁻¹ = 10⁻³kg m⁻¹s⁻¹= 1 mP a.s (7) Adem´as de la viscosidad din´amica, debido a su importancia en una gran cantidad de aplicaciones de mec´anica de fluidos, se define la viscosidad cinem´atica, ν, como la viscosidad por unidad de densidad:

ν = µ

ρ (8)

y cuyas unidades son m²/s en el Sistema Internacional o Stokes (St) en el sistema cegesimal, donde 1 St = 1 cm²/s. De este modo tenemos que una cent´esima de Stoke es igual a 10⁻⁶m²/s.

Como punto de referencia tenemos que tanto las viscosidades cinem´atica como la din´amica del agua son una cent´esima en el sistema cegesimal:

µag= 10⁻³kg m⁻¹s⁻¹= 1 cp (centiPoise) νag= 10⁻⁶m²s⁻¹ = 1 cSt (centiStoke)

Durante esta pr´actica estudiaremos experimentalmente la viscosidad tanto cinem´atica como din´amica de varios fluidos newtonianos.

Medida experimental de la viscosidad

El objetivo de esta pr´actica es medir experimentalmente la viscosidad de diferentes fluidos combinada con la resoluci´on de problemas t´ıpicos que aparecen en mec´anica de fluidos. Para ello utilizaremos dos tipos de medida de la viscosidad:

- Tubos de ca´ıda libre.

- Viscos´ımetro comercial de rotaci´on.

Medida de viscosidad en tubos de ca´ıda libre.

U

H ρ µ

ρb

D_b

Figura 4: Tubo de ca´ıda libre.

Consideremos el problema de una esfera de di´ametro D_b y densidad ρ_b cayendo a una ve- locidad U en un fluido de densidad ρ y viscosidad µ tal y como se muestra en la figura 4. El problema es similar a considerar una esfera en reposo sumergida en un fluido que se mueve a una

velocidad constante de valor U como se ve en figura 5. La ecuaci´on de cantidad de movimiento que, en coordenadas cartesianas se expresa como

(u.∇)u = −1

ρ∇p + ν∇²u+ g (9)

queda reducida a

0 = −∇p + µ∇²u (10)

para bajos n´umeros de Reynolds, donde u es el vector de velocidad y p el campo de presiones.

Este problema se puede resolver introduciendo la funci´on de corriente de Stokes, ψ(r, θ), y resolviendo la ecuaci´on de arriba en coordenadas esf´ericas. El campo de velocidades depende

´

unicamente de la coordenada radial r y la coordenada tangencial θ de modo que tenemos:

u= [ur(r, θ), uθ(r, θ), 0]

quedando ψ(r, θ) definida como;

ur= 1 r²sinθ

∂ψ

∂θ, u_θ = − 1 rsinθ

∂ψ

∂r (11)

Despu´es de ciertas manipulaciones algebraicas, la ecuaci´on 10 expresada en coordenadas

U

R

r

ur

uθ

θ

Figura 5: Flujo alrededor de una esfera.

esf´ericas queda reducida a:

 ∂²

∂r² +sinθ r²

∂

∂θ

 1 sinθ

∂

∂θ

²

ψ = 0 (12)

que se puede resolver sujeta a la condici´on de no deslizamiento en las paredes de la esfera, ψ(r = R_b) = 0, ∂ψ

∂r(r = R_b) = 0 (13)

junto con la condici´on que para distancias muy alejadas de la esfera la velocidad del fluido es U ,

u_r = U cosθ, u_θ = −U sinθ para r → ∞ (14)

Las correspondientes componentes de la velocidad son, ur

U = 1 2cosθ

"

 Rb

r

³

− 3 Rb

r

 + 2

#

uθ

U = 1 4sinθ

"

− Rb

r

³

− 3 Rb

r

 + 4

#

(15) Calculando los esfuerzos cortantes, obtenemos:

τrθ = 3 2

µU Rb

sinθ Rb

r

⁴

τ_rϕ= τ_ϕθ = 0

τrr= −2τϕϕ= −2τθθ= −3µU Rb

cosθ

"

 Rb

r

²

− Rb

r

⁴#

(16)

y en las paredes de la esfera ´unicamente se tienen esfuerzos τ_rθ en el plano rθ, τrθ(r = Rb) =3

2 µU

R_b sinθ (17)

La presi´on puede ser calculada integrando la ecuaci´on 10 a partir del campo de velocidades obteniendo:

p = p∞+3 2

µU Rb

 Rb

r

²

cosθ (18)

Integrando la presi´on y los esfuerzos viscosos sobre la superficie de la esfera podemos calcular la fuerza total que el fluido ejerce sobre la esfera,

F = 6πµ R_bU (19)

La ecuaci´on 19, llamada ley de Stokes, v´alida para bajos n´umeros de Reynolds, Re< 0.5.

Consideremos de nuevo el problema de una bola esf´erica cayendo verticalmente en un tubo que contiene un l´ıquido muy viscoso tal y como se muestra en la figura 4. La esfera est´a sometida a unas fuerzas viscosas que se oponen a su movimiento dadas por la ecuaci´on 19. Por otro lado est´a sujeta a una fuerza gravitatoria que produce su descenso vertical dada por:

F_g = (ρ_b− ρ) g4

3πR³_b (20)

donde ρ_b es la densidad de la bola esf´erica, ρ es la densidad del fluido viscoso y R_bes el radio de la esfera. En estado estacionario, podemos calcular la velocidad terminal de ca´ıda simplemente igualando las ecuaciones 19 y 20,

U = 2 9

g R_b² ν

 ρb

ρ − 1



(21)

Si medimos experimentalmente la velocidad de ca´ıda de la bola cronometrando el tiempo que tarda en recorrer una distancia conocida, se puede calcular la viscosidad cinem´atica utilizando la ecuaci´on 21,

ν = 2 9

g R²_b U

 ρb

ρ − 1



(22)

Fundamento te´orico de los viscos´ımetros de rotaci´on.

R1 R 2

Ω₁ Ω₂

Figura 6: Modelo de viscos´ımetro de rotaci´on

Sea un cilindro de radio R¹ que gira a velocidad Ω¹ inmerso en un l´ıquido de viscosidad µ y densidad ρ conocidas, y conc´entrico con otro cilindro de radio R2 que gira a velocidad Ω2, como se representa en la fig 6. En el movimiento estacionario del fluido que ocupa el espacio entre ambos cilindros se tiene que ur = uz = 0 y _∂z^∂ = 0. Las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento seg´un los ejes r y θ quedan:

∂uθ

∂θ = 0 (23)

−ρu²_θ

r = −∂p

∂r (24)

0 = µ ∂

∂r

 1 r

∂

∂r(r uθ)



(25) (26) La tercera de las ecuaciones se puede integrar, dando para la velocidad acimutal del fluido la siguiente expresi´on:

uθ = Ar +B

r (27)

siendo A y B constantes de integraci´on. Para determinarlas se deben imponer las condiciones de contorno en las paredes m´oviles:

u_θ(r = R1) = Ω1R1 (28)

u_θ(r = R2) = Ω2R2 (29)

resultando

A = Ω2R2²− Ω1R²1

R2²− R²1

(30)

B = (Ω1− Ω2) R²1R²2

R²2− R²1

(31)

En el caso particular del viscos´ımetro de rotaci´on, la pared exterior se considera infin´ıtamente alejada y adem´as en reposo, con lo que la velocidad uθ queda:

uθ = Ω1R²1

r (32)

A partir de esta velocidad es f´acil calcular el esfuerzo cortante en la pared del cilindro interior, que resulta

τrθ|r=R₁ = µ r ∂

∂r

uθ

r

|r=R₁ = −2 µ Ω1 (33)

El par ejercido por el fluido sobre el cilindro interior por unidad de longitud del mismo es T = 2πR1²τ_rθ|_r=R1 = −4πµΩ1R²1 (34) indicando el signo negativo que el par tiene sentido opuesto al del giro del cilindro, como cab´ıa esperar. Como se observa en la ecuaci´on 34, conocido el radio y la velocidad de giro del cilindro, es posible obtener la viscosidad del l´ıquido que lo ba˜na a partir del par que el fluido ejerce sobre el rotor.

Realizaci´ on de la pr´ actica

Medida de la viscosidad utilizando los tubos de ca´ıda libre

Para la medida de la viscosidad de fluidos muy viscosos utilizaremos los tubos de ca´ıda libre descritos en la secci´on de teor´ıa. La instalaci´on consiste de tres columnas cil´ındricas verticales que contienen tres fluidos de diferente viscosidad. Los fluidos utilizados son aceite de vaselina, aceite SAE 30 y glicerina, cuyas propiedades aparecen en la tabla 1.

Fluido ρ (kg/m³) µ (kg/ms) ν (m²/s)

Aceite vaselina 880 217 × 10⁻³ 247 × 10⁻⁶

Aceite SAE 30 875 309 × 10⁻³ 353 × 10⁻⁶

Glicerina 1259 1435 × 10⁻³ 1139 × 10⁻⁶

Tabla 1: Tabla de valores de densidad y viscosidad a 20 ^oC.

Medida de la viscosidad de aceite SAE 30 y aceite de vaselina

Durante la medida de la viscosidad de estos aceites se utilizar´an tres tipos de bolas diferentes:

a) Perdigones amarillos de di´ametro Db = 6 mm y densidad ρ = 973 kg/m³. b) Bolas de cristal, di´ametro D_b = 4 mm y densidad ρ = 2475 kg/m³. c) Bolas de cristal, di´ametro D_b = 6 mm y densidad ρ = 2475 kg/m³. Los pasos a seguir son:

1- Introducir inicialmente una de las bolas de tipo a), b) o c) y cronometrar el tiempo que tarda en recorrer un distancia conocida, 60 cm.

2- Repetir el proceso con un total de 5 bolas de cristal de cada tama˜no y 4 perdigones de pl´astico para obtener tiempos de ca´ıda m´as precisos y reducir los errores de operaci´on.

3- Una vez medida la velocidad media de ca´ıda de cada tipo de bola, calcular con cada una de ellas la viscosidad del aceite que se este considerando utilizando la ecuaci´on 22.

4- Comparar los valores de la viscosidad obtenidos con los dos tipos de bolas diferentes con los presentados en la tabla 1.

5- Calcular el n´umero de Reynolds medio obtenido con los tres tipos de bolas y comprobar si es aplicable la ecuaci´on de Stokes.

Anotar el tiempo de cada de cada ensayo en las siguientes tablas:

Amarillas (D= 6 mm) Cristal (D= 4 mm) Cristal (D= 6 mm)

Tabla 2: Tabla de resultados del aceite SAE 30.

Amarillas (D= 6 mm) Cristal (D= 4 mm) Pl´astico blanco (D= 6 mm)

Tabla 3: Tabla de resultados del aceite de Vaselina.

Medida de la viscosidad de la glicerina

Durante la medida de la viscosidad la glicerina se utilizar´an 3 tipos de bolitas:

a) Bolas de cristal de di´ametro Db= 10 mm y densidad ρ = 2610 kg/m³. b) Bolas de cristal de di´ametro D_b = 6 mm y densidad ρ = 2475 kg/m³. c) Bolas de cristal de di´ametro Db= 4 mm y densidad ρ = 2475 kg/m³. Los pasos a seguir son:

1- Introducir inicialmente una bola de cristal y cronometrar el tiempo que tarda en recorrer un distancia conocida, 60 cm.

2- Repetir el proceso con un total de 5 bolas de cristal para obtener tiempos de ca´ıda m´as precisos y reducir los errores de operaci´on.

3- Una vez obtenida la velocidad media de ca´ıda de las bolas de cristal, calcular la viscosidad de la glicerina utilizando la ecuaci´on 22.

4- Repetir los pasos 1, 2 y 3 con el resto de las bolitas de di´ametros 10 mm, 6 mm y 4 mm.

5- Comparar los valores de la viscosidad obtenidos con los presentados en la tabla 1.

6- Calcular el n´umero de Reynolds medio obtenido con los tres tipos de bolas y comprobar si es aplicable la ecuaci´on de Stokes en este tipo de flujo.

Anotar los resultados en la siguiente tabla:

Cristal (D= 10 mm) Cristal (D= 6 mm) Cristal (D= 4 mm)

Tabla 4: Tabla de resultados de la glicerina.

Medida de µ con el viscos´ımetro rotacional

El viscos´ımetro consiste de un cilindro o disco suspendido de un muelle de cobre-berilio que gira mediante un motor sincr´ono dentro del l´ıquido muestra. Para una combinaci´on dada de velocidad de giro y rotor, la medida de viscosidad se lee directamente en el dial, expresada en cP.

Realizaci´on de las medidas

1- Prepare los fluidos a medir (Aceite SAE, aceite de Vaselina y Glicerina) en un recipiente cil´ındrico controlado con precisi´on la temperatura.

2- Instale el protector del rotor, girando hacia la derecha para colocarlo y hacia la izquierda para quitarlo.

3- Enrosque el rotor seleccionado en la rosca del motor, girando hacia la izquierda para enroscar y hacia la derecha para desenroscar. Introduzca el recipiente con el fluido lentamente

hasta que el rotor est´e sumergido hasta la marca circular. Presione la varilla de control del indicador, ponga el rotor en marcha. Despu´es de varias vueltas la lectura tender´a a ser estable.

4- Cuando el valor indicado es demasiado alto o demasiado bajo, cambie el rotor o la velocidad de giro.

En primer lugar estime el rango aproximado de viscosidad del fluido a medir, entonces seleccione la velocidad y el rotor apropiado para dicho rango de acuerdo con la tabla que se encuentra en el laboratorio.

Cuando la viscosidad aproximada es dif´ıcil de predecir, se deber´a suponer una elevada viscosidad e ir probando con los rotores desde mayor al menor y las velocidades de menor a mayor hasta hallar el m´as adecuado a la viscosidad del fluido.

5- Anote la viscosidad obtenida y la temperatura a la que se encuentra el l´ıquido.

6- Repetir los pasos 2-5 con los diferentes fluidos (glicerina, aceite SAE, aceite de vaselina).

Variaci´on de la viscosidad con la temperatura

Para estudiar la influencia de la temperatura en la viscosidad de los l´ıquidos se van a realizar medidas a 3 temperaturas distintas para los l´ıquidos estudiados. Una de las temperaturas ser´a la temperatura ambiente medida anteriormente. Las otras dos temperaturas a las que se medir´a son 50^◦C y 70^◦C.

Para calentar los fluidos de trabajo se emplear´an los ba˜nos t´ermicos existentes en el laboratorio. Como el tiempo que se tarda en calentar es elevado, se tratar´a de tener siempre un l´ıquido calentando para optimizar recursos.

Para cada l´ıquido y temperatura se tomar´an dos medidas con dos rotores y velocidades distintas. Es importante anotar junto a cada medida de viscosidad obtenida cual es la temper- atura del l´ıquido en el instante en que se mide, puesto que dif´ıcilmente la temperatura ser´a ex´actamente la deseada.