1. Tema 1 Funciones y dominios
Las funciones reales de variable real se clasi can en:
Algebraicas
P olin´omicas : f (x) = 4x3− 5x + 7
Racionales f (x) = 3x2+ 5 x2− 1 Irracionales f (x) =√
x − 4
Trascendentes:
Exponenciales : f (x) = 2x−3
Logar´ıtmicas : f (x) = log (5x + 2)
T rigonom´etricas : f (x) = cos (x + 4)
Función a trozos:
f (x) =
x2 si x ≤ 1
0,5x si 1 < x ≤ 4
Log2(x) si x > 4
Función en valor absoluto:
f (x) = |x + 2| =
x + 2 si x ≥ −2
− (x + 2) si x < −2
1.1. Ficha de repaso de funciones elementales
1. Escribe la expresión algebraica al lado de cada grá ca.
a) f (x) = 3x2− 6x + 2
b) f (x) = −3x2+ 6x − 2
c) f (x) = x3− 2x2− 5x + 6
d) f (x) = x − 2
e) f (x) = 3x2+ 5 x2− 1 f ) f (x) =√
x − 4
g) f (x) = 2x−3
h) f (x) = log (5x + 2)
i) f (x) = cos (x)
j ) f (x) = sen (2x)
k) f (x) = tg (x + 4)
l) f (x) = |x − 3|
1.2. Uso de geogebra
1.3. Cálculo de dominios y representación grá ca:
Polinómicas: f (x) = P (x)−→ Dom f (x) = R
1. Polinómicas de primer grado (rectas y = mx + n ):
Función constante: f(x) = k (y = 3) Recta vertical: x = k (x = −2)
Función afín: y = mx + n (y = 2x + 3,5)
Representa las siguientes funciones:
a) y = −2 b) y = 3x c) y = −x + 2
2. Polinómicas de segundo grado (cuadrática o parábolas y = ax2+ bx + c):
Las funciones cuadráticas son del tipo f(x) = ax2+ bx + c, con a 6= 0. Su grá ca es una parábola. Para representar una parábola, es necesario obtener al menos los siguientes elementos:
Según el signo del coe ciente a, si
a > 0 −→ ∪, la par´abola es c´oncava.
a < 0 −→ ∩, la par´abola es convexa El vértice de cualquier parábola: V ´ertice = (xv, yv)donde xv = −b
2 · a , yv= f (xv)
Los puntos de corte con el eje OX (f(x) = y = 0) se calculan resolviendo la ecuación ax2+ bx + c = 0 utilizando la expresión de la solución de la ecuación de 2º grado:x =−b ±
√
b2− 4 · a · c 2 · a
x1 x2
Los puntos de corte con el eje OY (x = 0) sustituyendo x = 0 en la función 99K P unto(0, c) a) y = −x2− 6x + 27
b) y = − (x − 5)2+ 4
3. Polinómicas de tercer grado (cúbica y = ax3+ bx2+ cx + d):
Las funciones de grado 3, dependen del valor de a como sigue:
a > 0
x x
y y
a < 0 respaldo de la silla
Derecha Izquierda
El punto de in exión es xv= −b 3 · a
Los puntos de corte con el eje OX (f(x) = y = 0) se calculan resolviendo la ecuación ax3+ bx2+ cx + d = 0y se suele complicar (podemos hacer uso de la calculadora)
Los puntos de corte con el eje OY (x = 0) sustituyendo x = 0 en la función 99K P unto(0, d)
a) f(x) = y = −x3− x2+ 2x
b) f (x) = y = x3− 2x2− 5x + 6−→ f (x) = x − 1 x + 2
x − 3
4. Funciones racionales
Funciones racionales: f (x) = P (x)
Q (x)−→ Dom f (x) = {x ∈ R/Q (x) 6= 0}
a) f (x) = 2 x
b) f (x) = 3x2+ 5 x2− 1
5. Funciones Irracionales:
Tipo 1:
f (x) =pP (x)−→ Dom f (x) = {x ∈ R/P (x) ≥ 0}
a) f (x) =√ 2x + 1 b) f (x) =√
x2− 4 c) f (x) =√
x3− 2x2− 5x + 6 =p(x − 1) · (x + 2) · (x − 3) Tipo 2:
f (x) = P (x)
pQ (x)−→ Dom f (x) = {x ∈ R/Q (x) > 0}
a) f (x) = 3x − 1
√x2− 1
Tipo 3:
f (x) = pP (x)
Q (x) −→ Dom f (x) = {x ∈ R/Q (x) 6= 0 y P (x) ≥ 0}
a) f (x) =
√x2− 4 x + 3
Tipo 4:
f (x) =
sP (x)
Q (x)−→ Dom f (x) =
x ∈ R/P (x) Q (x) ≥ 0
a) f (x) =r 3x + 6 x + 5
6. Exponenciales:
f (x) = ag(x)−→ Dom f (x) = Dom g (x)
f(x) = axpara a >1 (0,1)
f(x) = axpara0 < a < 1 (0,1)
x
y y
x
a) f (x) = ex2−1 b) f (x) = e√x
7. Logarítmicas:
f (x) = loga(P (x))donde a > 0, a 6= 1−→ Dom f (x) = {x ∈ R/P (x) > 0}
f(x) = loga(P (x)) para a > 1
x y
x y
f(x) = loga(P (x)) para 0 < a < 1
a) f (x) = log10(2x + 6)
8. Función en valor absoluto:
Dom f (x) = R
a) f (x) = |2x + 5| =
2x + 5 si 2x + 5 ≥ 0
− (2x + 5) si 2x + 5 < 0
b) f(x) = x2− 2x − 8
9. Trigonométricas:
a) Función seno: f (x) = sen (x) −→f (x) = sen (g (x))
Dom sen (x) = R b) Función coseno:f (x) = cos (x) −→f (x) = cos (g (x))
Dom cos (x) = R
c) Función tangente: f (x) = tg (x) =sen (x)
cos (x) −→f (x) = tg (g (x))
Dom tg (x) = {x ∈ R/cos(x) 6= 0} =n
x ∈ R/x 6= π
2 + k · π, k ∈ Zo
1.3.1. Ficha de cálculo de dominios de funciones
10. Calcula el dominio de las siguientes funciones racionales e irracionales:
a) yx + y − x = 0
b) g(x) =x2+ 3 x2 c) y = 1
7 − 3x d) f(x) =√
x2+ 4 e) y = 1
√4 − 2x
f ) y = 1
√3
x g) y =r x − 1
x h) y =
r x − 2 x2− 3x + 2 i) y =
√x + 1 x − 4
j ) y =
√x2− 4 x2− 9 k) y =
√ x2− 4
√3
x − 6 l) y = 2x + 7
√3
9 − x m) f(x) = 5
x2− 9 n) y2− x = 0 ñ) f(x) =√
x2− 1 o) f(x) =x − 1
x + 1 p) f(x) =
r x2 x2− 4 q) f(x) =r x − 1
x + 1 11. Calcula el dominio de las siguientes funciones logarítmicas y exponenciales.
a) f(x) = ln (−3x + 2) b) f(x) = ln 5 − x2
c) f(x) = ln −x2+ x + 2 x2+ 2x − 15
d) f(x) =√ lnx − 1 e) f(x) = lnx
√x − 3
f ) f(x) = x ln (x − 1) g) f (x) = 5√1−x h) f (x) = 5√x2−4
i) f (x) = 5
s x
x2− 4
j ) f (x) = 1 2
x2−3x+1
12. Calcula el dominio de las siguientes funciones valor absoluto y trigonométricas:
a) f(x) = 2 + |x − 3|
b) f(x) =
2 x − 2
c) f(x) = 2
|x| − 2
d) f(x) = 1 − x x2− |x|
e) f(x) = 1 − x
|4x| − x2 f ) f(x) = ln |x − 1|
g) f(x) = 1
|lnx − 1|
h) f(x) = |lnx − 1|
i) f(x) = sen (x + 7)
j ) f(x) = cos 2 + 7x x2− 9
k) f(x) =2x − 10 sen (x)
l) f(x) = cos
x
x3− x
13. Calcula el dominio de las siguientes funciones a trozos:
a) f (x) =
x2 si x ≥ 1 x
x + 3 si x < 1
b) f (x) =
√x2+ 1 si x < 0
√x si x ≥ 0
c) f (x) =
1 si x ≤ 0
1
x3− 2x si x > 0
d) f (x) =
x − 1 si x > −1 1
x2− 9 si x ≤ −1
e) f (x) =
1
x − 2 si x ≤ 0
√x − 1 si x > 0
f ) f (x) =
1
x2− 2x si x ≤ 1 1
ln (x − 1) si 1 < x < 6 x − 2 si x > 6
2. 30/09/2021 Examen 1 de matemáticas II
Espacio para la rma del padre
y/o madre Nota:
Nombre: ____________
Tema: Dominio de funciones
1. Determinar el dominio de las siguientes funciones empleando intervalos cuandos sea posible.
a) (0.5) f (x) = x − 7 x2− 25
b) (1.25) f (x) =
√x − 7 x2− 7
c) (1.25) f (x) = 2x − 5
√
2x2+ 8x
d) (1.5) f (x) =
r x + 3 2x2− 8
e) (0.75) f(x) = lnx x2
f ) (1.5) f(x) =
√x ln (3x − 6)
g) (1.5) f(x) = 5 2
|x2− 9|
h) (1) ♣ f (x) =
1
x + 2 si − 3 ≤ x ≤ 0 lnx si 0 < x < 1
x − 2 si 1 < x ≤ 7
i) (0.75) ♣ f (x) = 1 cos
1
2x − 4
