Alternativa didáctica con enfoque constructivista para la enseñanza del concepto de límite Única

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(1)u ft) ftCNOLOGICO Y DE ESTUDIOS. SUPERIORES DE MONTERREY UNIVERSIDAD VIRTUAL. “ALTERNATIVA DIDACTICA CON ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA PARA LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO DE LIMiTE” TESIS PRESENTADA COMO REQUISITO PARA OBTENER EL TITULO DE MAESTRO EN EDUCACION CON ESPECIALIDAD EN MATEMATICAS AUTOR: LIC. FRANCISCO JAVIER MORALES CIRIO ASESOR: M.C. FRANCISCO ALMAGUER RENDON. MONTERREY, N. L.. MAYO DE 1999.

(2) INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY UNIVERSIDAD VIRTUAL. CAMPUS EUGENIO GARZA SADA. 021 ACTA DE EXAMEN Y AUTORIZACION DE LA EXPEDICION DE GRADO ACADEMICO. Los suscritos, miembros deljurado calificador del examen de grado sustentado hoy por. Francisco Javier Morales Cirio. en opción al grado académico de. Maestro en Educaci6n, especialidad en Matemáticas. hacemos constar que el sustentante resultó. Hago constar que el sustentante, de acuerdo con documentos contenidos en. SU. expediente, ha cumplido con los requisitos de graduación, establecidos en el Reglamento Académico de los programas de graduados de la Universidad Virtual.. Expídase el grado académico mencionado, con fecha. 3 de junio de 1999..

(3) AGRADECIMIENTOS. De manera muy especial quiero agradecer a quienes se preocuparon por acompañarme en la elaboración del presente trabajo, ya que su ayuda fue valiosa y su orientación precisa para llevar a cabo cada uno de los pasos que se requieren a lo largo del desarrollo.. Así, expreso mi sincero agradecimiento de forma directa al Maestro Francisco Almaguer, al Maestro Pedro Arizpe y al Dr. Salvador García, ya que fueron ellos quienes dirigieron el trabajo y orientaron su enfoque y contenido.. También se agradece a todos aquellos que de forma indirecta colaboraron con sus opiniones y aportes de material, así como en la interpretación de algunas de las opiniones de los autores consultados..

(4) DEDICATORIA. Dedico el presente trabajo a quienes a lo largo de mi vida han estado a mi lado brindando su apoyo de diversas formas, dando cada uno de ellos lo que ha estado al alcance de su mano y de acuerdo a sus posibilidades en su momento.. A mis padres, María de Jesús y Cipriano (+), ya que desde el inicio de mi formación educativa, me impulsaron a dedicarme para llegar a las metas propuestas, enseñándome que solamente con esfuerzo y dedicación se logra sobresalir en la vida.. A mi esposa, Mairanela, por ser ella quien estuvo a mi lado en los momentos de intenso trabajo, estudio y desvelo, siempre apoyándome e impulsándome a seguir adelante por el bienestar profesional y de la familia.. A mis hijos, Francisco, Manan y Ana, ya que ellos supieron valorar los momentos de ausencia, con la seguridad de que buscaba una meta más en la vida y que les sirve a ellos de ejemplo para la planeación de sus aspiraciones profesionales a corto y largo plazo.. De manera general, agradezco a la vida la oportunidad de compartir con estas personas tan queridas por mí y sobre todo que con su apoyo he alcanzado un grado educativo más, que al mismo tiempo es un beneficio para mi familia a quien dedico mi trabajo, esfuerzo y entusiasmo.. A todos ellos MIL GRACIAS..

(5) “ALTERNATIVA DIDÁCTICA CON ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA PARA LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO DE LÍMITE”. MAYO DE 1999. FRANCISCO JAVIER MORALES CIRIO. LICENCIADO EN MATEMÁTICAS. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN. Dirigida por el M. C. Profesor Francisco Almaguer. RESUMEN. Al realizar trabajos con los alumnos dentro de la escuela preparatoria, los cuales están enfocados a la comprensión de algunos conceptos matemáticos como el de límite, es necesario que se lleven a cabo en un ambiente agradable en donde influye en gran medida la forma de trabajar y el enfoque que se le de a cada una de las actividades que se hagan dentro y fuera del salón de clase.. Dentro del marco teórico se considera la opinión de varios autores que desarrollan su teoría en base a variados aspectos del enfoque constructivista, y es la idea de ellos la que ha servido de fundamento en el desarrollo de este trabajo.. Entre las ideas de los autores abordados, se ha rescatado la opinión de que un concepto matemático para ser asimilado adecuadamente, debe seguir ciertos pasos en donde se contemplan las acciones, los procesos y los objetos, elementos que son tomados en cuenta para seguir el diseño de la propuesta didáctica.. 111.

(6) Cuando se busca que los jóvenes tengan una participación activa en donde puedan expresar sus inquietudes y dudas acerca de los temas abordados, se dice que se está dando un enfoque construclivista a ese tipo de actividades, por lo cual se considera importante el enfoque que se le da a las actividades propuestas dentro del presente trabajo.. De esta forma, se hace saber que el principal enfoque que tienen las actividades con las que se espera que se alcance una mayor comprensión del concepto de límite, es que los propios estudiantes desarrollen los trabajos y que sean ellos los que lleguen a ciertas conclusiones en donde estarán asesorados por el maestro.. Al realizar cierto tipo de actividades en donde puedan aplicar sus conocimientos y desarrollar sus capacidades y habilidades matemáticas, es lo que se busca a lo largo de una serie de actividades que se incluyen en el trabajo esperando que aporte elementos para mejorar la participación dentro y fuera del salón de clase y sobre todo que encuentren una aplicación práctica a los conocimientos adquiridos en base a la interacción con materiales e información en la convivencia escolar.. El título del trabajo que se presenta es “Alternativa didáctica con enfoque constructivista para la enseñanza del concepto de límite”, y en él se desarrollan actividades con características propias en donde se orienta hacia los aspectos antes mencionados..

(7) ÍNDICE DE CONTENIDO Página AGRADECIM IENTOS.... (~apítu]o 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. 3. 1 1,. Antecedentes. 3. 1 .2.. Planteamiento de la necesidad. 6. 1 .3.. Enunciado del objetivo. 7. 1 .4.. Objetivos particulares. 7. 1.5.. .Justificación. 7. 1.6.. Delimitación. lo. 2. MARCO TEÓRICO Y METEDOLÓGICO. 11. .. 2.1.. Marco Teórico. 11. 2.2.. Análisis Teórico. 12. 2.3.. Tratamiento instruccional, Estrategia metodológica. 18. 2.4.. 2.5.. 2.3.1.. Actividades. 19. 2.3.1.. Discusión en clase. 19. 2.3.3.. Ejercicios. 20. Ejemplos para la construcción de un concepto matemático. 21. 2.4.1.. Ejemplos de acciones. 21. 2.4.2.. Ejemplos de proceso. 22. 2.4.3.. Ejemplosdeobjeto. 22. 2.4.4.. Ejemplos de esquema. 23. Análisis Teórico del concepto de límite de una función. 24.

(8) 2.5.1.. Análisis Teórico 2.5.1.1.. Lo que sabe el profesor. 25. 2.5.1.2.. Algunas dificultades en la comprensión del concepto de límite. 27. 2.5.1.3.. Requisitos previos. 28. 2.5.1.4.. Lo que debe quedar claro en el alumno. 29. 2.5.1.5.. Uso de la tecnología. 30. 2.5.1.6. Conclusiones. 30. 2.5.2.. Descomposición genética del concepto Acciones. 31. 2.5.2.2.. Proceso. 31. 2.5.2.3.. Objeto. 32. Diseño de actividades. 32. 2.5.3.1.. Requisitos previos. 32. 2.5.3.2.. Acciones. 33. 2.5.3.3.. Proceso. 34. 2.5.3.4.. Objeto. 34. 3. DISEÑO DE ACTIVIDADES. 3.2.. 31. 2.5.2.1.. 2.5.3.. 3.1.. 24. Requisitos previos. 35 35. 3.1.1.. Actividad 1. 35. 3.1.2.. Actividad2. 38. 3.1.3.. Actividad 3. 40. 3.1.4.. Actividad 4. 42. 3.1.5.. Actividad 5. 45. Acciones. 49.

(9) 3.2.1.. Actividad6. 49. 3.2.2.. Actividad 7. 55. 3.2.3.. Actividad 8. 60. 3.2.4.. Actividad 9. 80. 3.2.5.. Actividad 10. 86. 3.2.6.. Actividad 11. 92. 3.2.7.. Actividad 12. 106. 3.2.8.. Actividad 13. 112. 3.2.9.. Actividad 14. 118. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. 126. BIBLIOGRAFÍA. 129.

(10) INTRODUCCIÓN. Dentro del presente trabajo se aborda un problema que de alguna manera se presenta en el salón de clase, y que causa diversos problemas al proceso de aprendizaje de los alumnos en el nivel de preparatoria, a saber, el concepto de límite, el cual desde su forma tanto teórica como en su aplicación tiene una serie de dificultades como podría ser la existencia o no existencia de un límite; ya que en muchos de los casos los alumnos confunden la idea de aproximación de una función con el valor de la misma.. Enfocado a este tipo de problemas y bajo una perspectiva constructivista, se desarrolla el presente trabajo que se divide en tres capítulos. En el primer capítulo se hace referencia al Planteamiento del problema y que incluye entre otros datos, sus objetivos y justificación, haciendo patente así la importancia que tiene el desarrollo de un trabajo con este tema.. En el segundo capítulo se engloba el Marco Teórico, en donde se hacen algunas divisiones de los temas según su enfoque y lineamiento dentro del estudio, incluyendo divisiones de la información en el Marco Teórico, el Análisis Teórico y el Tratamiento Instruccional.. En este mismo Marco Teórico, se hace referencia a la opinión de algunos de los. autores consultados y que de alguna forma son quienes fundamentan el sentido teórico de este trabajo.. Posteriormente se cuenta con el capítulo tres, el cual tiene desarrolladas las actividades que se proponen como una posible solución al problema que detectan los maestros dentro del aula, y que tiene como finalidad principal el que los alumnos alcancen en sus prácticas una mayor y mejor comprensión del concepto de límite en su forma aplicada..

(11) Para concluir se desarrolla un apartado en donde se tienen las conclusiones generales y particulares, y al mismo tiempo se mencionan algunas de las recomendaciones que se consideran útiles para el desarrollo de las actividades dentro del salón de clases en la interacción con los alumnos, especialmente en el tema del concepto de límite.. Se tiene la intención que esta investigación sea de utilidad para aquellos que lo lean. y sobre todo que encuentren en la aplicación de sus actividades, una herramienta pedagógica que beneficie el proceso de enseñanza-aprendizaje en el campo de las matemáticas..

(12) CAPÍTULO 1.. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. 1.1 Antecedentes. En la preparatoria Eugenio Garza Sada (P.E.G.S.) del Instituto Tecnológico y de. Estudios Superiores de Monterrey (I.T.E.S.M.); en el área de matemáticas correspondientes al plan de estudio 96, está integrado por los cursos de: Matemáticas 1, Matemáticas II, Matemáticas III, Matemáticas IV, Matemáticas V y Cálculo Diferencial e Integral.. En los cursos de matemáticas de la Preparatoria Eugenio Garza Sada (P.E.G.S.) se ha detectado que un porcentaje considerado de alumnos, posee problemas en sus estudios en el área de matemáticas. Desafortunadamente, se ha observado que algunos de los alumnos de preparatoria se comunican las tareas, lo que ha provocado que se pierda el interés por la indagación personal, así como la competencia escolar.. Existe a nivel general un olvido por el tema que se trató en la clase del día anterior, como si la memoria a corto plazo no se practicara. En forma significativa, los alumnos esquivan los contenidos del curso, por lo que no se esfuerzan por seguir con el plan de estudios, lo que lleva a que muchos de ellos reprueben la materia de matemáticas.. Al igual que los problemas anteriores, se puede observar que existe poca disposición por aprender y comprender los conceptos fundamentales de la matemática, la apatía impera en muchos aspectos y se manifiesta en muchas actitudes de los mismos alumnos.. Desafortunadamente, los alumnos se preparan para los exámenes, pero no para construir un aprendizaje significativo que les permita aplicarlo constantemente en cada una de sus actividades o cada vez que la vida les presente una situación adecuada a ello.. 3.

(13) Por otro lado, en el salón de clase, la enseñanza de las matemáticas se desarrolla de manera tradicional, en donde el profesor expone y los alumnos copian la clase, para posteriormente realizar ejercicios que en muchos de los casos, son de manera similar a los enseñados por el profesor y se realizan de manera mecánica.. En una encuesta que se realizó entre los alumnos, se hizo la siguiente pregunta: ¿Cómo aprendes matemáticas?, las respuestas en su gran mayoría fueron: estudio de los apuntes y realizo la tarea, pongo atención y hago la tarea; estudio un día anterior al examen.. A partir de las respuestas dadas por los alumnos y por las observaciones realizadas, se puede concebir que los alumnos colaboran poco en su aprendizaje de los conceptos matemáticos, con el poco ánimo que muestran por aprender, no logran construir su propio. aprendizaje, ya que mecanizan, dejando a un lado la reflexión y el análisis, elementos de suma importancia en la educación actual en todos los niveles.. En cuanto a la postura de los profesores, algunos piensan que los alumnos. transfieren los conocimientos adquiridos de manera inmediata hacia los otros saberes del conocimiento; se cree que el alumno graba lo que se le comunica por medio de la enseñanza en el salón de clase.. Sin embargo cuando a los alumnos se le presentan otros problemas que se resuelven de manera similar a la teoría presentada, un gran porcentaje de éstos, no pueden resolverlos; lo que indica que ellos regularmente no aplican el conocimiento de manera inmediata.. En el curso de Cálculo diferencial e Integral de la Preparatoria Eugenio Garza Sada, se encuentra inserto el tema de Límite de una función, el cual será la pieza fundamental del. estudio.. En un semestre de preparatoria, se abordan conceptos de cálculo, tales como: funciones, límites, continuidad, derivadas, aplicaciones a la derivada e integrales, sin. embargo, se sabe que los conceptos no son tan sencillos de manipular y de comprender. 4.

(14) No es fácil que los alumnos comprendan y axiomaticen los conceptos en un semestre; aunado a que el curso se imparte de manera tradicional en que el alumno recibe la información ya acabada, y el profesor trata de transmitir los conceptos matemáticos; el proceso de enseñanza-aprendizaje del cálculo, en particular el límite de una función, no tienen el impacto para el cual fue constniido, por lo que se vuelve un tanto rutinario.. Debido a que los contenidos con respecto al tema de límite de una función, no son tan sencillos de comprender por parte del alumno, en la preparatoria se le da más énfasis a la mecanización de los procesos, dejando de lado a los conceptos fundamentales, lo que origina que los exámenes sean prácticos y éstos se reduzcan a la aplicación directa de los procesos aprendidos en el salón de clase.. El tema de límites es considerado para muchos matemáticos una idea abstracta y compleja, entre las opiniones se cuenta con las siguientes:. Yañez (1985), considera que para el alumno el concepto de límite es dificil de comprenderlo, captarlo y de manejarlo; agrega que a la humanidad le tomó alrededor de 22 siglos para presentarlo en su forma actual.. Courant (1979), cuando se le presenta por primera vez, no es extraño que a los estudiantes se les dificulte captar la idea del límite de una función en toda su profundidad; agrega que existe una dificultad psicológica para comprender la manera precisa del límite de una función. Además que es uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial, que tanto la derivada como la integral se pueden definir únicamente con pasos al límite de una función.. La mayoría de los autores de libros de cálculo, consideran que el tema de límite es una de las ideas más importantes.. Purcell (1992), considera que el tema de límites es la idea que distingue al cálculo de las otras ramas de la matemática; que al cálculo se le puede definir como un estudio de 5.

(15) los límites. Los famosos problemas de recta tangente y velocidad instantánea, involucran al tema de límite de una función que tiene muchas aplicaciones en las ciencias exactas como en las sociales.. “El cálculo es uno de los logros del intelecto humano...Muchos de los descubrimientos científicos que han formado nuestra civilización durante los últimos tres siglos hubieran sido imposibles sin el uso del cálculo” (Edwards y Penney).. 1.2. Planteamiento de la necesidad. Los profesores de la PEGS, consideran que el tema de límite de una función tiene fuertes dificultades para la enseñanza-aprendizaj e.. Una de las más importantes preocupaciones, es que el alumno no explota al máximo su capacidad intelectual, ni tampoco se interesa por casos que requieran observación y meditación sobre el tema a fin de llegar a ciertas conclusiones.. El mayor interés por parte de los maestros, es despertar en los alumnos, la inquietud de pensar en soluciones a un problema determinado. También inducir al estudiante de. preparatoria a que tome la iniciativa en la resolución de problemas, ya que se ha constatado que son pocos los alumnos que ponen en práctica la razón para llegar a un resultado favorable, mientras tanto los demás sólo esperan escuchar la respuesta.. A medida que el alumno avanza en su educación, tiende a ser más práctico y siente que el hecho de pensar le lleva tiempo y le requiere esfuerzo personal, por lo que trata de buscar el camino más fácil aunque éste no sea el adecuado.. Se seleccionó el presente tema porque se pretende favorecer el progreso de nuestros escolares en la comprensión, razonamiento y aplicación del concepto de límite de una función. Es un área de oportunidad, pues se ha observado que los alumnos no localizan los. 6.

(16) datos fundamentales de la información que se les proporciona, que no los organizan y por lo tanto no logran resultados satisfactorios.. De tal forma} que tratando de responder adecuadamente a esa necesidad, y sobre todo tomando en cLienta que el quehacer de un docente, no se limita a la acción de depositar conocimientos en la mente de sus estudiantes, la educación actual demanda de todos nosotros una formación más integral, y por ello es preciso que se desarrollen en los alumnos habilidades de orden superior tales como: la capacidad de aprender por cuenta propia; las capacidades de análisis, síntesis y evaluación: así también el pensamiento crítico; la creatividad; la capacidad de identificar y resolver problemas; la capacidad para tomar decisiones y el trabajar en equipo entre otras, así como lo señala la meta general del ITESM (Misión 1-lacia el 2005).. Nuestro interés es lograr que el alumno analice, deduzca y determine el límite de una función, incorporando en su realización diferentes caminos para llegar a la solución de los problemas.. Debido a lo anterior, es necesario realizar un análisis del tema de límites de una función y generar una propuesta didáctica para su enseñanza.. 1.3. Enunciado del objetivo. Después de haber establecido los antecedentes y el planteamiento de la necesidad a partir de los cuales se ha detectado la problemática tomada, se continuará a la presentación del objetivo fundamental.. El objetivo principal del trabajo es proponer una serie de actividades que conlleven al mejoramiento de la comprensión y de la aplicación de concepto del límite de una función de manera intuitiva.. 7.

(17) 1.4. Objetivos particulares. Aprovechando la libertad que el programa vigente presenta y en donde se le da oportunidad al maestro para adaptar la enseñanza del alumno y misma que se puede utilizar con un lenguaje matemático en las experiencias cotidianas, nos hemos propuesto lograr los siguientes objetivos particulares con la realización del presente trabajo y en especial a través de las actividades propuestas.. 1. Despertar la inquietud de comunicar e interpretar información matemática en la clase diaria con la utilización de los instrumentos que nos presente diariamente la tecnología.. 2. Desarrollar la capacidad de anticipar y verificar resultados en una problemática planteada ayudando al desarrollo de ciertas habilidades individuales.. 3. Fomentar el interés por participar en una investigación matemática que surja en cualquier lugar y momento.. 4. Lograr la aplicación de los conocimientos adquiridos en el salón de clase en experiencias propias.. 5. Consolidar una mayor calidad educativa en el área de matemáticas.. 1.5. Justificación. Existe entre el maestro y el alumno una relación muy estrecha que permite al docente conocer los intereses y problemas que aquejan a sus alumnos. Hemos observado a través de varias generaciones, que el razonamiento en una situación dada es motivo de dificultades o aburrimiento por parte del estudiante de preparatoria.. 8.

(18) Además de las justificaciones anteriores, es importante la realización del trabajo porque uno de los obstáculos que en la enseñanza-aprendizaje de la matemática, en particular el cálculo, es que se les presenta a los alumnos como una secuencia lógica (de acuerdo al profesor).. Con lo anterior, hacemos referencia a que en la enseñanza actual de las matemáticas, sobre todo a nivel medio superior, el proceso se reduce a presentar una serie de definiciones, teoremas y ejercicios encadenados lógicamente.. Lo anteriormente señalado, crea una imagen en el estudiante, considerando que las matemáticas son una sucesión lógicamente encadenada de definiciones y teoremas que han sido creadas por unas mentes, que razonan de manera lógica y estructurada.. El alumno considera, que sólo cuando sea capaz de seguir paso a paso el reordenamiento deductivo de la prueba de un teorema, puede entender, y además, podrá realizar sus propias conclusiones.. El planteamiento anterior puede considerarse totalmente falso, puesto que el desarrollo de las matemáticas no han sido de la forma en que actualmente se presenta en un. curso tradicional de matemáticas. ¿Cómo se quiere que el alumno comprenda y entienda en un semestre los conceptos y los procesos del cálculo?. La historia de las matemáticas nos dice que: “las ideas matemáticas evolucionan y en algunos de los casos se ha requerido de mucho tiempo y esfuerzo para llevarlas a su forma actual”(López Yañez).. Gómez(l984): Considera que la única manera de aprender matemáticas es haciendo matemáticas. Resulta claro que el alumno aprenda y aplique los conceptos fundamentales del cálculo, para que se enfrente a los problemas y trate de resolverlos con sus habilidades y herramientas.. 9.

(19) “Si. Ufl. profesor de matemáticas dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en. operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando una gran oportunidad. Pero si por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello” (Polya).. En la preparatoria, dentro del curso del cálculo, el profesor trabaja la parte numérica, algebraica y gráfica, para tratar de hacer comprender a los estudiantes los conceptos y procesos fundamentales del cálculo, recurso que no propoprciona los resultados óptimos, ya que el desarrollo de la clase es muy lenta con el uso del pizarrón y trae consigo la distracción de algunos alumnos y finalmente la incomprensión de los conceptos fundamentales.. En la actualidad algunos profesores hacen uso de la calculadora gráfica tratando de hacer más eficiente el desarrollo de la clase, proceso que da buenos resultados pero aún así, se siguen presentando dificultades en la atención por parte del alumno por lo que se requiere un desarrollo de actividades en donde el alumno tenga una mayor participación y dinamismo, pues no hay que olvidar que el conocimiento que no se olvida es aquel en que la persona que aprende lo realiza de una manera práctica.. 1.6. Delimitación. La realización del trabajo, se limita bajo los lineamientos institucionales, por lo que se tratará de elaborar un diseño instruccional para el curso de Cálculo Diferencial e Integral, propuesto para la preparatoria Eugenio Garza Sada, del Instituto Tecnológico y de Estudios. Superiores de Monterrey.. En fonna real, el curso es tomado en el Sexto Semestre, teniendo los alumnos edades entre. 17 y 18 años aproximadamente, correspondiendo ellos a un nivel. socioeconómico medio alto y alto. 10.

(20) CAPÍTULO 2.. MARCO TEÓRICO Y METODOLÓGICO. Este apartado sirve especialmente, para presentar el Marco Teórico y Metodológico en el que se apoya y fundamenta el tratamiento instruccional que se desarrolla.. 2.1. Marco Teórico. La realización de un tratamiento instruccional tiene como finalidad principal, el generar un diseño instruccional que sea utilizado en el curso de Cálculo Diferencial e Integral, el cual se ubica específicamente en la Escuela Preparatoria Eugenio Garza Sada del instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey.. Para la realización del tratamiento instruccional (RUMEC 1), se considera varios aspectos como lo son: el análisis teórico, observaciones, y el diseño del tratamiento instruccional (ver figura). En la siguiente figura se muestra cada uno de los componentes y las relaciones que se dan entre ellos..

(21) El análisis teórico da inicio en el momento en que se modela la epistemología del concepto en cuestión, es decir, entender el concepto y la forma en que esa comprensión puede ser construida por el que aprende, a saber, el alumno.. Posterior al análisis inicial, se forman criterios en base a la forma en que se comprende el concepto y también a la experiencia que se tiene como personas que aprenden y por otro lado como maestros del concepto.. La implementación de la instrucción, proporciona a quienes la practican, una oportunidad para recolectar datos y también para considerar el análisis teórico inicial con respecto a los datos proporcionados. El resultado puede ser considerado como una revisión del análisis teórico, el cual proporciona también el fundamento para la siguiente interacción del estudio.. La siguiente interacción parte con el análisis teórico revisado, y se da por terminado con una revisión adicional o con una comprensión más profunda de la epistemología del concepto en cuestión, el cual mediante el desarrollo del proceso puede convertirse en el fundamento para otra repetición del ciclo.. 2.2. Análisis Teórico. En el desarrollo del tratamiento instruccional, es importante proporcionar un significado a la descomposición genética del concepto estudiado, (RUMEC 1) explica que el análisis teórico de un concepto se realiza a través de la propuesta de un modelo cognitivo, que son las descripciones mentales y específicas que un individuo hace en el proceso de aprendizaje y que ha de desarrollar en la comprensión de un concepto dado.. La descomposición genética de un concepto (RUMEC 1), consiste en un conjunto de constructos mentales, los cuales podrían describir la manera en que el concepto puede desarrollarse en la mente de un individuo.. 12.

(22) Ha de tomarse en cuenta que la descomposición genética de un concepto, debe estar gradualmente influenciada por las ideas de Jean Piaget, en donde se hace referencia a la abstracción reflexiva y se reconstruyen en un contexto matemático específicamente en un nivel universitario.. Dubinsky (1 996) Comenta que la abstracción reflexiva es un concepto introducido por Jean Piaget y que describen las construcciones lógico-matemáticas de un individuo durante el proceso del desarrollo cognitivo. Por lo tanto es importante que en el desarrollo de este Marco, se entienda el significado de aprender o de conocer algo en el campo matemático.. “El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a responder a las situaciones de problemas matemáticos percibidos al reflejarse los problemas y sus soluciones en un contexto social y el construir o reconstruir acciones matemáticas, procesos y objetos y organizar éstos para usarlos en esquemas al tratar esas situaciones” (RUMEC 1).. Por otro lado, se considera muy familiar o de mucha frecuencia, un fenómeno estudiantil, ya que los alumnos que no contestan las preguntas que se les hacen en la aplicación de un examen, encuentran o recuerdan el resultado a la interrogante sin tener que consultar los apuntes o los libros, lo cual hace pensar en que se requiere de una práctica con diferentes aplicaciones a las meramente mecánicas y memorísticas.. Lo anterior clarifica que dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje de los conceptos matemáticos y especialmente a nivel universitario, deben quedar bien sentadas las bases para que en ellos se distinga el aspecto del aprendizaje de un concepto y por otro lado la necesidad de obtenerlo en el momento en que se le requiera.. Otro de los aspectos importantes en el proceso del aprendizaje, es el reflexionar sobre la necesidad de poner atención a la realización de las diferentes operaciones matemáticas. 13.

(23) Lo sobresaliente de lo que se menciona anteriormente, hace referencia a que dentro de las matemáticas, y en particular, en el aprendizaje de muchas de sus operaciones, se utilizan una serie de técnicas y algoritmos, que deben ser utilizados en cualquier situación en donde la solución a un problema requiera de una respuesta matemática.. (RUMEC 1 (1996) Comentan que la comprensión de la matemática, va mucho más allá de la simple capacidad de poder realizar diferentes cálculos independientemente de lo complicados o sofisticados que ellos sean. Se debe estar consciente de la manera en que ellos funcionan y de los procedimientos que deben realizarse para captar el sentido que debe darse al resultado y no llevar a cabo todas las operaciones y trabajar con variaciones y variantes de algún algoritmo simple, lo que permite observar las relaciones y posteriormente organizar las experiencias sean matemáticas o no.. Vidakovic (1996), considera que es importante la reflexión en el proceso del aprendizaje, ésto es reflexionar sobre la necesidad de poner atención a la realización de las diferentes operaciones matemáticas; la cual aumenta significativamente dentro de un contexto social.. Los estudiantes se caracterizan por una tendencia (RUMEC 1), y ella es la de construir o reconstruir a partir de algo que anteriormente ya se hizo y partiendo del conocimiento adquirido y en torno a la experiencia tratan de repetir el método anterior.. De modo que en el ambiente matemático se considera que el desarrollo en el progreso de su conocimiento parte de la reconstrucción de una situación similar al actual, pero que se diferencia del otro en formas importantes en cuanto a problemas con el que se trató anteriormente.. Posteriormente, la reconstrucción de una situación no es exactamente igual a la que ya se vivió, pues puede tener el actual uno o más niveles de sofistificación en su avance. Esta noción total se relaciona en gran medida con la dicotomía Piagetiana de la asimilación y la acomodación (PIAGET). 14.

(24) RUMEC 1 (1996) Se considera que. para la comprensión de un concepto. matemático se da como punto de partida la manipulación de objetos fisicos o de información de la que se realiza una acción, posteriormente dichas acciones se interiorizan y pueden formar procesos mismos que son encapsulados en forma de objetos.. Esos mismos objetos pueden salir de la cápsula en la que se sumergieron y dirigirse de nueva cuenta hacia los procesos de los cuales fueron formados. Como parte final se tiene que las acciones, procesos y objetos pueden ser organizados en forma de esquemas (ver figura).. De los cuatro elementos que se tomaron en cuenta anteriormente, cada uno de ellos se basa en una construcción específica de acuerdo a los elementos que Piaget menciona en su teoría (PIAGET), en dicha teoría, el significado se manifiesta de maneras diversas y al mismo tiempo similares al concepto de TaIl y Vinner, en donde se menciona algo respecto a la tematización de los esquemas el cual hace referencia a la forma de convertirlos en objeto.. Cabe mencionar que una acción es considerada como la transformación de objetos, los cuales se perciben por parte del individuo desde una perspectiva externa. Cuando un individuo se limita al concepto de acción, puede desarrollarse una transformación a partir ~ 15.

(25) de una simple reacción a las claves que son consideradas externas y que son las que proporcionan los detalles precisos sobre los pasos que deben tomarse.. Breidencach (1996) Comenta que cuando un estudiante no es capaz de interpretar una situación como una función tal, a menos que tenga una fórmula determinada con la cual pueda computar los valores, está limitado a un concepto de acción de la función.. Un proceso puede ser interiorizado (RLTMEC 1), cuando se dan los elementos necesarios, y entre ellos están el hecho de repetir las acciones y detectar que en ellas el individuo se refleje. Es decir, cuando una construcción interna es elaborada y al mismo tiempo realiza la misma acción con la única diferencia de no estar dirigida necesariamente hacia los mismos estímulos externos o un estímulo particular.. Cuando un individuo tiene un proceso de concepto de la transformación (RLJMEC 1), puede entonces reflejar, describir y hasta poner en reversa los pasos requeridos para una transformación sin realizar todos los pasos para la misma.. Cuando se trata de funciones, un concepto de proceso permite a una persona pensar acerca de una función, y recibe uno o más datos de entrada o de valores de las variables independientes, con lo cual realiza una o más operaciones sobre los datos de entrada y regresa los resultados como datos de salida proporcionando valores a las variables dependientes.. A lo anterior puede ponerse como ejemplo que para entender una función como el sen(x), se requiere de un concepto de proceso de función ya que no se dan las instrucciones explícitas para poder entender los datos de salida sobre los datos de entrada. Para poder implementar la función, debe imaginarse el proceso de asociar un número real con su seno.. Breidencach (1996), opina con relación al concepto de proceso de función, un individuo puede enlazar dos o más procesos, construir una composición o poner en reversa el proceso a través del cual se pueden obtener funciones inversas. 16.

(26) Debe mencionarse que cuando un individuo logra reflejarse en operaciones aplicadas a un proceso particular, logra entonces entender el proceso en su totalidad, y es entonces que realiza las transformaciones ya sea a través de acciones o procesos, y puede también, actuar sobre ellos y construir tales transformaciones, pues está pensando en el proceso como un objeto.. En un caso como en el anterior, se dice que el proceso ha sido encapsulado hacia un objeto, tal y corno se decía anteriormente en la explicación.. Mediante el curso de la ejecución en acción o a lo largo de un proceso sobre un objeto, es necesario en ocasiones desencapsular dicho objeto y encauzarlo nuevamente hacia el proceso del que provino para que sus propiedades sean utilizadas y pueda entonces manejarse adecuadamente.. RUMEC 1 (1996) En el desarrollo de la encapsulación de los procesos y la desencapsulación de los objetos hacia los procesos, da lugar cuando se piensa en la manipulación de las funciones tales como la suma, multiplicación o simplemente formando un conjunto de funciones.. Los objetos y los procesos después de haber sido construidos, pueden ser interconectados de varias maneras. Se tiene que dos o más procesos pueden ser coordinados si son unidos a través de la composición o también en otro tipo de operación.. Al hablar de los objetos y de los procesos, puede decirse que tienen una estrecha relación en el sentido de que el hecho anterior actúa sobre el posterior.. RUMEC 1 (1996), menciona que toda colección de objetos y de procesos, pueden organizarse dentro de una estructura con la finalidad de formar un esquema, así mismo, los esquemas pueden tratarse como objetos y pueden ser incluidos dentro de una organización catalogada como de “alto nivel” de esquemas.. 17.

(27) En el momento en que se dice que un esquema puede ser incluido en un esquema de. alto nivel o de un nivel mayor de las estructuras matemáticas, las funciones pueden tomarse en conjuntos, y las operaciones de estos conjuntos pueden ser introducidas y sus propiedades analizadas detenidamente.. Todo lo anterior puede organizarse para construir un esquema dado para un espacio de función a través del cual puede ser aplicado a conceptos como lo son los espacios duales, espacios de rastreo lineal y álgebra de funciones.. 2.3. Tratamiento instruccional, Estrategia metológica. Dentro del presente trabajo se utiliza un enfoque pedagógico que no puede ser considerado como una consecuencia necesaria de la perspectiva teórica, sino que es un diseño posible que servirá de apoyo al análisis teórico y que consiste en el desarrollo de algunas actividades dentro del salón de clase y la realización de variados ejercicios a lo que se le dará el nombre de ciclo de enseñanza: ACE (Actividades, Discusión en clase, Ejercicios), el cual es propuesto por RUMEC 1.. Tomando en cuenta el presente diseño, cabe mencionar que se descompone en temas en donde los mismos tienen una duración de una semana, en la cual, los alumnos tienen la oportunidad de trabajar en actividades fuera de las clases y en donde hacen uso de los conceptos adquiridos dentro de los temas tratados en la clase misma.. Después de la realización de los ejercicios fuera del salón de clases, se reúnen en grupos para trabajar en un ambiente de cooperación.. Con lo anterior puede decirse que en el círculo de trabajo en el ciclo de enseñanza ACE, hay tres elementos o componentes que son las actividades, la discusión en clase y los ejercicios.. 18.

(28) .. 2.3.1. Actividades. Los alumnos se reúnen en equipo fuera del salón de clases en donde se disponen a. realizar algunas actividades en las que se utiliza el concepto de límite y en donde se tiene por objeto el apropiarse de las construcciones específicas mentales que son sugeridas dentro del análisis teórico.. Vale la pena hacer notar que dentro del proceso en el que se involucra a los alumnos para la realización de diferentes actividades conlleva a un aprendizaje a través del descubrimiento, pero que se tiene como objetivo principal el de proveer a los estudiantes de una buena base que esté fundamentada en experiencias y que los encaminen a respuestas correctas.. Es precisamente a lo largo del desarrollo de las diferentes actividades, que los estudiantes adquieren una profunda experiencia con relación a los temas matemáticos, que posteriormente se comparten con sus compañeros dentro y fuera del salón de clase.. 2.3.2. Discusión en clase. Los estudiantes se reúnen en el salón de clase y trabajan en equipos realizando su estudio y asignaciones, siguiendo las instrucciones de las actividades señaladas. El instructor se encarga de dirigir las discusiones llevadas por los estudiantes y que son resultado de las instrucciones de cada una de las actividades.. En este tipo de trabajo, se da la oportunidad a todos los alumnos de reflexionar. sobre el trabajo que realizaron y mediante el cual trataban de dar respuesta a cada una de las actividades ejecutadas. En algunas ocasiones será el propio instructor el que les de algunas explicaciones, definiciones y puntos de vista a través de los cuales se tratarán de unir a los estudiantes para llegar a una conclusión del trabajo realizado.. 19.

(29) .3.. soic rejE. Cna serie de ejercicios son diseñados para que los alumnos trabajen agrupados en equipos y realicen sus tareas específicas. Se busca entre otras cosas, que los estudiantes logren realizar algunos ejercicios fuera de clase y que posteriormente se integren en grupos para exponer sus puntos de vista o conclusiones de lo que hicieron.. Otro de los propósitos de los ejercicios, es que los estudiantes logren reforzar las ideas de lo que han construido para que cotidianamente utilicen los conceptos aprendidos. de las matemáticas en cada una de las situaciones concretas que se les presenten posteriormente.. Las actividades tienen como función enlazar el aspecto teórico a uno práctico, y se busca que los alumnos puedan a través de los ejercicios, resolver y plantear los resultados (le forma escrita o verbal y en donde la idea principal sea la comprensión del concepto de 1ímite.. La estrategia es diseñada en tomo a acciones, procesos y objetos, en donde los estudiantes adquieren una gran experiencia en base a los trabajos realizados y sobre todo al compartir sus ideas y escuchar las de los demás teniendo todos el mismo tema o la necesidad de llegar a una misma conclusión.. Esa misma experiencia se refuerza en la realización de otras actividades posteriores en las que se les pide a los estudiantes construir acciones familiares o procesos generales en donde se utilicen los términos en cuestión.. Generalmente las actividades que se realizan posteriormente, toman elementos de las anteriores, y ello ayuda a los estudiantes a encapsular procesos en objetos y esa información se considera de entrada o salida respecto al objeto.. 20.

(30) 2.4.. Ejemplospara la construcción de un concepto matemático. Estos ejemplos son proporcionados por algunos de los autores que fueron investigados para fundamentar el tema tratado.. 2.4.1. Ejemplos de acciones. 1. Lina persona realiza una acción cuando se le da una fórmula para una función y un punto, esta Persona calcula el valor de la función en ese punto. Un estudiante que no puede interpretar una situación como función a menos de que tenga una fórmula simple para computar los valores se limita al concepto de acción de una función. En tal caso el estudiante no pLiede hacer mucho con esta función excepto evaluarla en puntos específicos y manipular la fórmula.. 2. lina acción consiste en resolver una ecuación dada siguiendo los pasos en un ejemplo de una ecuación semejante. Si una persona sólo entiende la resolución de una ecuación como la búsqueda de un ejemplo que puede ser imitado, entonces se encuentra en el nivel del concepto de acción en cuanto a la solución de esa ecuación. Este ejemplo puede ser un ejemplo que se memorizó con anterioridad.. 3. Dada la regla general para encontrar la derivada de una función polinomial y dada la función específica polinomial, una acción sería encontrar la derivada conectando los números a la fórmula general. La persona se encuentra en un nivel del concepto de acción en cuanto a la diferenciación de una función, si sólo puede encontrar la derivada de una función en los casos en que se le proporcione una lista de reglas y él encuentra de acuerdo a su memorización la regla a usar. Sucede lo mismo, si al individuo se le da la regla a usar para la diferenciación de la función, y él determina la derivada, anotando los números específicos de la regla.. 4. Una acción consiste en calcular la desviación estándar de un conjunto específico de datos dada la fórmula. Si una persona entiende el concepto de desviación estáiidar, y 21.

(31) sólo es capaz de evaluarla en un conjunto de datos, dada la fórmula; entonces se dice que el individuo se encuentra en el nivel del concepto de acción en cuanto a la desviación estándar.. 2.4.2. Ejemplos de proceso. 1. Una persona realiza un proceso cuando piensa en una función, cuando recibe información de entrada y regresa información de salida o imagina el cálculo de valores de la función sin hacer los cálculos en realidad. Un individuo está a nivel del concepto de proceso en una función, si puede diferenciar las funciones especificadas por la fórmula pero tiene dificultad para descomponer la función en una combinación de funciones algebraicas para encontrar la derivada.. 2. Una persona realiza un proceso cuando soluciona una ecuación guiada por la forma, la cual le da una solución, en este caso, el individuo puede describir los pasos necesarios para resolver una ecuación sin en realidad realizarlos, este es un ejemplo de la habilidad para retroceder en el proceso o realizar el proceso inverso. Una individuo está a nivel de concepto del proceso de solución de ecuaciones, si tiene un proceso para encontrar soluciones, pero no puede realizar una acción sobre el conjunto de soluciones sin encontrar las soluciones de la misma.. 3. Una persona realiza un proceso cuando encuentra la función derivada de una función determinada usando las reglas estándares. Un individuo tiene el concepto de proceso de diferenciación, si encuentra la derivada de las funciones estándares pero no puede utilizar la idea de la segunda derivada de la función a menos que se haya calculado la primera derivada.. 2.4.3. Ejemplos de objeto. 1. Un individuo que puede pensar en una función como la suma de dos funciones sin referencia a los ejemplos específicos, está pensando en una función como objeto. Un 22.

(32) individuo tiene el concepto de objeto de una función, si se puede pensar en la descomposición de una función en la suma de dos funciones.. 2. La habilidad de un individuo para aplicar la regla de la cadena a una nueva situación, es un indicio que el esquema ha sido ternatizado en un objeto, esto permite que el estudiante analice la nueva situación y reconozca la manera en donde la regla de la cadena esta involucrada. La acción involucrada es para seleccionar la regla en cadena como apropiada a usarla y aplicarla. Tal individuo tendría un concepto de objeto de la regla de la cadena como resultado de la tematización de esquema de regla en cadena.. 3. La geometría euclidiana es un ejemplo del esquema tematizado, el cual es un objeto para alguien que tiene varias geometrías que la conoce, que se mueve entre ellas la compara, las contrasta y selecciona la geometría adecuada para resolver el problema. 4. Un estudiante que ha tematizado su esquema de soluciones de ecuaciones algebraicas puede seleccionar métodos apropiados y entender la relación que hay entre el conjunto de soluciones de la ecuación y los procedimientos que se usan para encontrar el conjunto de soluciones.. 5. En funciones diferenciales una persona trata las reglas de la diferenciación como objetos al reconocer cuales reglas generales se necesitan seleccionar y usarlas correctamente. El estudiante puede entender el porqué de la aplicación de cierta regla y así indicar el movimiento de una aplicación implícita para usos subsecuentes.. 2.4.4. Ejemplos de esquema. 1. Un estudiante puede tener un esquema para solucionar ecuaciones que incluya varios métodos de transformación de ecuaciones y un concepto de lo que significa solucionar una ecuación.. 23.

(33) 2. El esquema de un individuo para la diferenciación puede incluir varias reglas para encontrar la derivada de una función.. 3. Un individuo puede tener un esquema para límites, el cual le permite coordinar de alguna manera las situaciones cognoscitivas de la proximidad en el dominio, entendiendo la proximidad en el rango y un concepto de la función.. 4. Las reglas matemáticas tales como la regla de la cadena para la diferenciación, la cual requiere la coordinación de dos o más procesos o acciones u objetos, pueden ser entendidas como un esquema. La comprensión de tales reglas parece ser más complejas que la simple encapsulación de un proceso en un objeto.. 2.5. Análisis teórico del concepto de límite de una función. Se considera que el entender o comprender el concepto de límite, significa que el alumno sea capaz de usar el proceso más adecuado para determinar el límite de una función. en cualquier situación. Para la consecución de la meta, se construirán una serie de actividades apoyadas eii el marco teórico y basadas en la teoría constructivista.. Las actividades serán construidas de acuerdo a la manera en que el profesor supone que aprende el alumno, para lo cual, es importante realizar un análisis teórico del concepto y de la forma en que se da tal situación de aprendizaje. El análisis dará cuenta a la descomposición genética del concepto y servirá para identificar cuáles son las acciones, procesos y objetos que están en juego para la comprensión del concepto, para determinar de este modo el diseño de las actividades.. 2.5.1. Análisis teórico. Dentro del análisis teórico es importante resaltar que se realiza en base a la experiencia del profesor y de los éxitos y fracasos de los alumnos, tratando de aprender el concepto. 24.

(34) 2.5.1.1. Lo que sabe el profesor. Uno de los conceptos más importantes del cálculo, es la comprensión del concepto de límite, que es aplicable en cualquier ciencia, sin embargo, al alumno se le dificulta entenderlo y aplicarlo en cualquier situación.. En la preparatoria E.G.S., en el semestre de enero-mayo del 98, en el examen parcial, se hace notar que de 3 preguntas sobre el tema de límites, de 75 alumnos regulares el 66% de los estudiantes tuvieron por lo menos una pregunta mal. De las tres preguntas, dos de ellas eran de comprensión, en la primera de ellas, el 44% incorrecta, y la otra fue el 19% de los alumnos los que las contestaron mal. En la última pregunta de la aplicación del proceso algebraico para la determinación de límite, el 38% de los alumnos la contestaron mal, cabe la sospecha de que algo está funcionando mal, en particular dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje del concepto de límite algo no opera adecuadamente.. En el curso tradicional del cálculo diferencial e integral, con respecto al tema de límites, es muy común ver a los estudiantes determinar límites de funciones polinominales, racionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales cuando el valor al cual aproximan la "x" forma parte del dominio de la función, pues con una simple sustitución el límite es determinado; pero el concepto va más allá de la simple evaluación.. Los alumnos pueden determinar algunos límites de funciones en donde el valor al cual se aproxima la “x” no forma parte del dominio de la función, por ejemplo: el límite de cuando x se aproxima a “1”; o bien en los casos en que el alumno lo determina x -1 mediante una simplificación o racionalización.. En los exámenes se presenta el caso en que a algunos estudiantes se les olvida el proceso algebraico para la determinación del límite de una función, sin embargo, logran aproximar el valor mediante el uso de la calculadora gráfica.. 25.

(35) Cuando a los alumnos se le presentan casos de límites en los cuales es importante ver el comportamiento de la función por la izquierda y derecha, como por ejemplo: funciones seccionadas, con dominios restringidos, con asíntotas, o de funciones más complicadas, les cuesta mucho trabajo llegar a la respuesta y en ocasiones no saben o se les dificulta mucho la manera de abordar el problema.. Es importante señalar que al preguntar a los profesores del campus por los fallas que atraviesan los alumnos con respecto al tema de límite, dicen que ellos confunden el concepto y piensan que muchos de los jóvenes se quedan con la idea de que el límite es evaluar la función.. Otros comentarios de los maestros del Campus con respecto al tema de límites dicen que los alumnos con frecuencia preguntan o afinnan lo siguiente:. -. ¿porqué lo aproximas por la izquierda y derecha?, con solo evaluar la función ya. tienes el valor del límite. -. no existe el límite de la función. -. si existe el límite de la función. Estas interrogantes o afirmaciones tiene su razón de ser pues para cada una de ellas tienen sus justificaciones en el contexto del cálculo.. Hay que recordar que el límite puede no existir. Por ejemplo en algunos puntos de las funciones seccionadas.. El límite puede existir, por ejemplo en las funciones racionales en las que el valor a la cual se aproxima la "x" no forma parte del dominio de la función.. 26.

(36) El límite bilateral (acercarse por ambos lados) no existe, por ejemplo, cuando se enfrentan a una función algebraica en la que no se pueden aproximar lateralmente.. Aunque en el salón de clase se les trata de aclarar todas sus dudas acerca del concepto, en los exámenes se siguen presentando serias confusiones entre las que se encuentran las siguientes:. -. Evalúan la función dejando de lado la concepción de aproximación. -. Olvidan que las aproximaciones deben ser a un valor de "x" por la derecha y por la. izquierda y cuando se les pide encontrar un límite bilateral y se enfrentan a una función en donde ella no está definida para valores de “x”, ya sea por la izquierda o derecha, dan el. valor del límite hacia donde se puede aproximar, también eso ocurre en las funciones seccionadas, pues sólo se aproximan por un lado olvidando que se trata de un límite bilateral.. -. Cuando una función no está definida para un valor de x; y se quiere determinar el. límite para ese valor, lo que sucede es que en ocasiones los alumnos dicen que el límite no existe, cuando en realidad el límite si existe, lo que pasa es que la función no esta definida para ese valor.. 2.5.1.2. Algunas dificultades en la comprensión del concepto de límite. La palabra aproximación es la clave para poder entender el concepto y en muchos de. los casos, el alumno no la interpreta correctamente, pues piensa que el concepto es sólo un “valor” y es donde se crea la confusión.. Para la comprensión del concepto es necesario entender el significado de aproximación en cálculo.. 27.

(37) Dado un valor fijo por ejemplo 0; mediante una sucesión de números, es posible. aproximarse al valor de O sin llegar a él, para lo cual considérese la siguiente sucesión de números. — (n). n. ,. con n número natural.. J. Si se le asigna a n números enteros positivos como: 1, 2, 3, 4,. (n). se tiene respectivamente 1, 0.5, 0.3333... ,. 0.25,. ...,. .... ; al evaluarlos en. y a medida que se le asignan los. siguientes números naturales a la sucesión, se obtienen números que se están acercando al “O”; pero esa cercanía no significa que el resultado del proceso sea igual a cero.. La cuestión anterior crea mucha confusión entre los alumnos pues en el discurso del concepto de límite, se dice que si "n" toma valores muy grandes, los valores de la sucesión. se aproximan a “0” y por lo tanto se dice que el límite de la sucesión es cero; que en flotación matemática se representa como:. {!}~o; cuando n crece.. El tecnisismo anterior es mal interpretado por algunos alumnos, ya que sólo se. quedan erróneamente con la última parte del discurso, o sea. O para n número. natural.. Por la naturaleza misma del concepto de límite, cabe resaltar que se utiliza para su notación, símbolos desconocidos para la mayoría de los estudiantes, por lo que en. ocasiones, algunos de los alumnos no los escriben y tampoco interpretan los símbolos de manera correcta.. 2.5.1.3. Requisitos previos. También es importante resaltar que en todo aprendizaje para poder comprenderlo y manipularlo en cualquier situación, es necesario contar con requisitos previos que son indispensables para navegar en la comprensión del concepto. 28.

(38) Entender que el conjunto de los números reales es denso; en el sentido de que entre dos números reales distintos, hay una infinidad de ellos. A algunos estudiantes les cuesta trabajo la siguiente afirmación: “dado un número real cualquiera; se puede acercar a él tanto. como se quiera sin llegar al mismo”, pues los estudiantes se olvidan de la propiedad de densidad. Por ejemplo, si se quiere acercar al número “3”; la manera más sencilla para acercarse es mediante la siguiente sucesión: 2.9, 2.99, 2.999, 2.9999,. . .. .etc.. Conocer el sistema coordenado cartesiano; pues se ha dado el caso de que los alumnos solo trabajan en el plano con números enteros dejando de lado las fracciones y los números irracionales.. Que el alumno entienda el concepto de función, que sepa evaluarla y graficarla; además determinar el dominio y rango de la función, pues se da el caso que muchos de los alumnos no saben graficar ni determinar el domino de una función.. 2.5.1.4. Lo que debe quedar claro en el alumno. Considerando que el alumno cuenta con los requisitos previos es posible que él comprenda el concepto de límite y lo aplique en cualquier situación. Para que ésto suceda, es importante que los alumnos entiendan el significado de aproximarse a un valor de la variable “x” y determinar hacia dónde se aproxima su correspondiente "y" para así aproximar o determinar el límite de la función.. También conviene aclarar que en ocasiones se puede determinar esa aproximación. mediante una simple evaluación de la función o bien mediante una simplificación de la expresión que defina la función para luego evaluarla.. Es importante hacer notar que el alumno ha comprendido el concepto cuando logra identificar cuál es el proceso más adecuado para la aproximación o determinación del límite de la función, así como también aplicarlo en cualquier situación.. 29.

(39) 2.5.1.5. Uso de la tecnología. Últimamente, los alumnos recurren al uso de las calculadoras gráficas para eficientizar los cálculos; y se ha dado el caso que aproximan el valor del límite mediante el. uso de las graficadoras cuando no es posible determinarlo con una evaluación o simplificación. Por lo tanto, las calculadoras gráficas son una herramienta que puede ser útil para comprender el concepto por aproximaciones.. 2.5.1.6. Conclusiones. El análisis teórico del concepto que se ha desarrollado tomando en cuenta los éxitos y los fracasos de los alumnos, sirve como una aproximación de la manera en que ellos. aprenden y determina el foco de atención en que se le debe poner énfasis. Esto es, a la descomposición genética del concepto.. Para la descomposición genética del concepto se consideran los aspectos que se mencionan a continuacion:. -. Debe quedar claro que el límite de una función no es un valor, representa el. comportamiento que tiene una función alrededor de un punto.. -. Las aproximaciones a un valor de “x” pueden ser tan cercanas como se quiera.. -. Las aproximaciones a un valor de “x” deben ser por la izquierda y derecha.. -. Hay diferentes formas de determinar el límite de una función, pero hay que tener. en cuenta que el límite no es un valor.. -. Reconocer y aplicar el límite de una función en situaciones que lo requieran.. 30.

(40) 2.5.2. Descomposición 2enética del concepto. El modelo cognitivo que se ha seleccionado para la realización de las actividades que conlleven al la comprensión del concepto del límite de una función, se desarrolla en base a la descomposición genética del concepto; es decir, las descripciones mentales que realiza la persona que aprende por medio de acciones, procesos, y objetos.. 2.5.2.1. Acciones. Un estudiante está en el nivel del concepto de acción con respecto al concepto de límite de una función si:. -. Sólo puede determinar el límite de una función, evaluando la función.. -. Determina el límite de una función cuando se le dice como lo realice, por ejemplo,. determina el límite de la función, simplificando la expresión y luego evaluarla.. 2.5.2.2. Proceso. Un estudiante está en el nivel de proceso cuando:. -. Sabe el significado del límite de una función por medio de aproximaciones.. -. Indentifica la forma en que se puede abordar el problema del límite de una función,. sin olvidar el significado del concepto. -. Pueda determinar o aproximar el límite de una función de diferentes maneras; por. ejemplo, hacer uso de los límites bilaterales, simplificaciones o por medio de la gráfica de la función, sin olvidar el significado del concepto.. 31.

(41) 2.5.2.3. Objeto. Un estudiante ha encapsulado el concepto en un objeto cuando:. Entiende el proceso en su totalidad, realiza las transformaciones, ya sea como. -. acciones o procesos sin olvidar el significado del límite de la función por medio de aproximaciones. Aplica el concepto en cualquier situación; por ejemplo, puede aplicar el concepto. -. de límite de una función para encontrar las propiedades de los límites tales como suma, resta, multiplicación, división así como también los conceptos de derivada y la integral.. 2.5.3. Diseño de las actividades. En este apartado se propone el diseño de las actividades que están influenciadas por análisis teórico del concepto y por la descomposición genética del concepto.. Para el diseño de las actividades se consideran los siguientes rubros: requisitos previos, las acciones, los procesos y los objetos.. Para cada una de ellas se especifica las actividades a realizar por parte de los alumnos:. 2.5.3.1. Requisitos previos. -. -. Recuerden que los números reales es denso.. Grafiquen puntos en el plano, que tengan corno característica coordenadas de. números racionales e irracionales.. 32.

(42) -. Evalúen funciones, cuyas coordenadas, sean números racionales o irracionales.. Hagan. uso. de. Determinen. -. 2.5.3.2.. el. calculadora. dominio. Simplifiquen. gráfica,. y. rango. expresiones. para. de. una. graficar. funciones.. función.. algebraicas.. Acciones. Contesten. una. Evalúen. un. la. valor. de. serie. de. funciones. “x”. por. preguntas. en. la. que. del. los. izquierda. significado. valores. yio. de. derecha. de. aproximar. la. variable. y. preguntarles. una. independiente. ftinción.. se. por. el. aproximen. valor. al. a. cual. se. aproximen.. -. sucesivas. Aproximen. mediante. Den. sobre. el. el. el. límite. de. Den. función,. así. -. expresión. cuestionar. como. una. valor. la. de. por. el. límite. valor. es,. el. límite. una. del. una. concepto. de. límite. una. gráfica. por. de. valor. aproximaciones. o. el. mediante. concepto. medio. aproximaciones. función.. realizar. un. función. de. la. sin. función. el. función. de. representa. por. de. una. función. si. cuestionar. sobre. concepto. la. de. límite. de. una. límite. también. el. de. esto. del. el. y/o. límite. función,. cuestionar. Aproximen. del. tabulación. Determinen. y. -. el. valor. del. y. cuestionarles. comportamiento. una. simple. de. evaluación. .)x(f. de. la. de. la. límite.. recurriendo. a. una. simplificación. límite.. función,. en. unilateral.. 33. donde. la. aproximación. sea. unilateral. y.

(43) -. Determinen o aproximen el límite de una función de diferentes formas ésto es,. evaluando, simplificando, mediante una tabulación, y mediante la gráfica.. 2.5.3.3. Proceso. -. Aproximen o determinen el límite bilateral o unilateral de una función y cuestionar. sobre el valor determinado.. 2.5.3.4. Objeto. -Ejercicios que determinen el límite de una suma, resta, multiplicación y división de funciones..

(44) CAPÍTULO 3. DISEÑO DE ACTIVIDADES.. l)e los resultados arrojados por la descomposición genética, ahora se propone las actividades a realizar y están influenciadas por los rubros que se obtuvieron en el diseño de las actividades.. 3.1. Requisitos previos. 3.1.1. Actividad 1. -. El alumno comprenda que e! conjunto de los números reales es denso, usando el. promedio de dos números.. Objetivos:. -. Encuentre la media aritmética entre dos números reales.. -. Determinar cuantos números hay entre dos números reales.. -. Comprenda que los números reales es denso.. Proceso:. -. Hacer uso de la relación a+h. ,. para determinar el promedio entre dos números;. y a su vez, con uno de los números iniciales y el promedio determinado, encontrar otra vez el promedio; y así sucesivamente.. 35.

(45) Alcance:. -. Comprender una forma de aproximarse a un valor de “x”.. Ejercicios: Contesta lo que se pide en cada uno de los siguientes ejercicios:. 1. Determina el promedio entre los números 4 y 6:. _______. 2. Determina el promedio entre: 4 y el promedio del resultado anterior:. 3.. _____. Determina e! promedio entre: 4 y el promedio del resultado anterior:. 4. Siguiendo e! proceso anterior; esto es, encontrando el promedio entre 4 y el resultado anterior; ¿crees qué se podrá llegar al número 4?.. _____________;. justifica la. respuesta:. 5. Determina el promedio entre los números. -‘~/~. y. ______. 6. Determina el promedio entre:. -\/~. y el promedio del resultado anterior:. 7. Determina el promedio entre:. \J~i y el promedio del resultado anterior:. 8. Siguiendo el proceso anterior; esto es, encontrando el promedio entre 4 y el resultado anterior; ¿crees qué se podrá llegar al número respuesta:. 36. ~. ?.. ____________;. justifica la.

(46) 9. Escribe un resumen del proceso anterior y de los resultados obtenidos. Discusión en clase:. -. En clase se darán las conclusiones de los estudiantes, así como también se definirá. la densidad de los números reales..

(47) 3.1.2. Actividad 2. -. El alumno grafique puntos en el plano, cuyas coordenadas sean números. racionales e irracionales.. Objetivo: -. Granfique puntos en el plano. Proceso: -. En el plano cartesiano, graflear puntos aproximando valores en el eje “x” y en el. eje "y". Alcance: -. Aproximarse a un valor de “x” por medio de aproximaciones sucesivas.. Ejercicios: En el plano cartesiano, grafica los siguientes puntos lo más exacto posible.. 2. Encuentra relaciones entre ellos y escribe las conclusiones:. 38.

(48) Discusión en clase: En. valores. de. clase. "x,. f. se. darán. pueden. las. ser. conclusiones. números. racionales. de. los. e. estudiantes,. irracionales.. poniendo. énfasisi. a. que. los.

(49) 3.1.3. Actividad 3. -. El alumno evalúe funciones, cuyas coordenadas, sean números racionales o. irracionales. Obj etivo: -. Evaluar funciones, haciendo uso de la calculadora.. Proceso: Dado el valor de "x" determinará el valor de fix), usando la jerarquía de las operaciones. -. Alcance: -. Determinar el límite de una función mediante una simple sustitución.. Ejercicios: Evalúe la función para los valores de “x” que se indican y represéntalos en un plano coordenado..

(50) Discusión en clase:. -. En clase se darán las conclusiones de los estudiantes, poniendo énfasis de la. jerarquía de las operaciones..

(51) 3.1.4. Actividad 4. -. El alumno haga uso de la calculadora gráfica, para graficar funciones. -. El. alumno determine el dominio y rango de una función.. Objetivos: -. Graficar funciones usando la calculadora gráfica. -. Determinar el dominio y rango de una función.. Proceso: -. Hacer uso de los comandos más importantes de la calculadora para realizar. gráficas.. -. Mediante el uso de la calculadora o el análisis de la ecuación que define a la. función, el alumno determinará el dominio y el rango de la función.. Alcance: -. Determinar o aproximar el límite de la función.. Ejercicios: Para cada uno de los siguientes ejercicios, grafica y determina el dominio y el rango de la función..

(52)

(53) -. En clase se darán las conclusiones de los estudiantes, poniendo énfasis de las. gráficas, el dominio y el rango de las fimciones..

(54) 3.1.5. Actividad 5 -. Simplificación de expresiones algebraicas. Objetivos: -. El alumno simplificará expresiones algebraicas.. -. El alumno determinará las restricciones de la variable.. Proceso: -. Igualando a cero el denominador y resolviendo la ecuación, el alunmo determinará. las restricciones para la variable. -. Realizando una simplificación algebraica, el alumno cancelará los factores. comunes de la fracción. Alcance: -. Determinación del límite de una función, simplificando la expresión.. Ejercicios:. 1. Contesta las siguientes preguntas, dados los siguientes procesos en la simplificación de la expresión..

(55) a) ¿Cuál de los dos procesos es el correcto?: _______________________;justifica la respuesta:. h) Dado que la simplificación de la fracción es:. También m. =. indefinido, si x. .. Al cancelar el factor común del numerador y. del denominador indica que lo puedes cancelar precisamente porque x motivo, en la fracción resultante no le puedes asignar a x el valor de -4.. 46. ±4;por ese.

(56) Aunque en la fracción. pero en m =. X. x. ±4; si x. =. 4; m esta indefinido.. (x+4). 2. Determina las restricciones de la variable y simplifica la expresión. 3. Dada la simplificación en 2.a); ¿,euál es el valor de la fracción para x = 0?. 4. Dada la simplificación en 2.b); ¿cuál es el valor de la fracción para x. =. 3?. 5. Dada la simplificación en 2.c); ¿cuál es el valor de la fracción para x. =. 1?.

(57) 6. Dada la simplificación en 2.d); ¿cual es el valor de la fraccion para x. 3 =. Discusión en clase:. -. En clase se darán las conclusiones de los estudiantes, poniendo énfasis de las. diferentes formas de simplificar una fracción así como también observar que a pesar de simplificarse la fracción, la fracción no puede tomar la restricción de la variable..

(58) 3.2. Acciones. 3.2.1. Actividad 6 -. Contesten una serie de preguntas del significado de aproximar una función.. Objetivos: -. Encontrar formas diferentes de acercarse a una valor.. -. Dar un proceso para acercarse a un valor.. Proceso:. -. Usando la media aritmética u otra forma, el alumno dará un proceso para. aproximarse a un valor. Alcance: -. Comprender el concepto de límite de una función.. Ejercicios:. Haz uso de la actividad 1 y escribe tres formas distintas de acercarte al valor especificado 1. 8 Conclusiones:. 2.. ir. Conclusiones: 49.