UNIVERSIDAD ANDRES BELLO FACULTAD DE INGENIERIA
MAGISTER EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA MENCIÓN LOGÍSTICA Y GESTIÓN DE OPERACIONES
UN PROBLEMA DE DISEÑO DE REDES MULTI-PERIODO CON CAPACIDAD Y CONGESTION EN LOS HUBS
LUIS SEBASTIAN BARRIOS ABARCA
Profesor guía: Armin Lüer-Villagra
SANTIAGO, CHILE Agosto, 2019
UNIVERSIDAD ANDRES BELLO FACULTAD DE INGENIERIA
MAGISTER EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA MENCIÓN LOGÍSTICA Y GESTIÓN DE OPERACIONES
UN PROBLEMA DE DISEÑO DE REDES MULTI-PERIODO CON CAPACIDAD Y CONGESTION EN LOS HUBS
LUIS SEBASTIAN BARRIOS ABARCA
Tesis presentada a la Comisión Integrada por los profesores:
Prof. Supervisor : Armin Lüer-Villagra Prof. Corrector : Pamela Álvarez M.
Prof. Invitado : Guillermo Latorre N.
SANTIAGO, CHILE Agosto, 2019
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AGRADECIMIENTOS
Son muchas las personas que han contribuido en el proceso de este trabajo y las cuales quiero agradecer:
En primer lugar, a mi profesor guía Armin Lüer-Villagra, quien fue el primero en creer en mí y en este proyecto, en él pude encontrar un apoyo personal y profesional para poder concluir con esta investigación de la cual estoy profundamente agradecido.
En segundo lugar, a mis padres y mi hermano, por todo su amor, comprensión y apoyo, pero sobre todo gracias infinitas por la paciencia que me han tenido. No tengo palabras para agradecerles las incontables veces que me brindaron su apoyo en todas las decisiones que he tomado a lo largo de mi vida y las que actualmente estoy tomado por mi futuro.
Me enseñaron a no temer, a creer en mi y luchar por todos mis sueños. Ed è per questo che gli ringrazio un'altra volta per tutto loro supporto che mi hanno messo dal primo giorno e per avere creduto in me, gli porterò per sempre sul mio cuore!
También a mis amigos, por todo lo que compartimos dentro y fuera de la universidad, aquellos que se convirtieron en amigos de vida. Y por todas aquellas personas que, si bien ya no están presentes, representaron un gran apoyo en este proceso.
Finalmente quiero agradecer al programa Fondecyt de CONICYT, por financiar la realización de este trabajo, a través del proyecto 11160345.
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ÍNDICE GENERAL
1. INTRODUCCIÓN ... 1
2. OBJETIVOS ... 4
2.1. Objetivo general ... 4
2.2. Objetivos Específicos ... 4
3. Metodología ... 5
4. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA ... 6
4.1. Investigación Operativa ... 6
4.2. Problemas de cobertura ... 8
4.3. Problemas de localización de hubs con cobertura ... 8
4.4. Multi objective hub location problems ... 9
4.5. Problemas multi-periodo... 11
4.6. Modelos de hubs con capacidad ... 12
5. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA ... 15
5.1. Planteamiento del problema... 15
5.2. Formulación del modelo ... 16
5.2.1. Conjuntos ... 16
5.2.2. Parámetros ... 16
5.2.3. Variables ... 17
5.2.4. Funciones Objetivo ... 18
5.2.5. Restricciones: ... 18
5.3. Método de resolución... 20
6. EXPERIMENTOS ... 22
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6.1. Datos utilizados... 22
6.2. Descripción de la máquina utilizada ... 23
6.3. Descripción de instancias... 23
6.3.1. Instancia base ... 23
6.3.2. Experimento 1: Demandas ... 24
6.3.3. Experimento 2: Costos ... 24
6.3.4. Experimento 3: Tiempos ... 24
7. Resultados experimentales ... 25
7.1. Instancia Base ... 25
7.2. Experimento 1: Demandas ... 26
7.3. Experimento 2: Costos ... 28
7.4. Experimento 3: Tiempos ... 33
8. Conclusiones ... 34
9. Bibliografía ... 35
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ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: (a) Red punto a punto y (b) Red hub and Spoke. ... 2
Figura 2: (a) Asignación única y (b) Asignación Múltiple. ... 3
Figura 3:Frontera de Pareto utilizando el método NISE... 21
Figura 4: Ubicación de todos los nodos en la red CAB25. ... 22
Figura 5: Frontera de Pareto obtenida al resolver instancia base con α = 0.5. ... 25
Figura 6: Porcentaje de ocupación de capacidad de cada hub en cada periodo de tiempo – (Instancia base vs Demanda aumentada en 20%). ... 26
Figura 7: Porcentaje de ocupación de capacidad de cada hub en cada periodo de tiempo – (Instancia base vs Demanda aumentada en 40%). ... 26
Figura 8: Porcentaje de ocupación de capacidad de cada hub en cada periodo de tiempo – (Instancia base vs Demanda aumentada en 60%). ... 26
Figura 9: Porcentaje de ocupación de capacidad de cada hub en cada periodo de tiempo – (Instancia base vs Demanda aumentada en 30% a la mitad superior de las rutas más lejanas). ... 27
Figura 10: Porcentaje de ocupación de capacidad de cada hub en cada periodo de tiempo – (Instancia base vs Demanda aumentada en 30% a la mitad inferior de las rutas más lejanas). ... 28
Figura 11: Nivel de capacidad de cada hubs en cada periodo de tiempo – (Aumento de los costos de transición de capacidad al aumentar de capacidad, en un 20% con respecto a la instancia base). ... 28
Figura 12: Nivel de capacidad de cada hubs en cada periodo de tiempo – (Aumento de los costos de transición de capacidad al aumentar de capacidad, en un 40% con respecto a la instancia base). ... 29
Figura 13: Nivel de capacidad de cada hubs en cada periodo de tiempo – (Aumento de los costos de transición de capacidad al aumentar de capacidad, en un 40% con respecto a la instancia base). ... 30
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Figura 14: Nivel de capacidad de cada hubs en cada periodo de tiempo – (Aumento de los costos de transición de capacidad al disminuir de capacidad, en un 20% con respecto a la instancia base). ... 31 Figura 15: Nivel de capacidad de cada hubs en cada periodo de tiempo – (Aumento de los costos de transición de capacidad al disminuir de capacidad, en un 40% con respecto a la instancia base). ... 31 Figura 16: Nivel de capacidad de cada hubs en cada periodo de tiempo – (Aumento de los costos de transición de capacidad al disminuir de capacidad, en un 60% con respecto a la instancia base). ... 32 Figura 17: Tiempo promedio de rutas en cada periodo de tiempo al aumentar la demanda.
... 33
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ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1: Resumen comparativo de literatura. ... 14 Tabla 2: Ciudades referenciadas en Figura 4. ... 22
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Abstract
El diseño de redes es un área amplia dentro de Investigación de Operaciones, que busca construir redes para satisfacer algún tipo de demanda. Un área activa corresponde al diseño de redes hub-and-spoke, que usan instalaciones especiales para consolidar flujos, comúnmente llamadas hubs. En la literatura se han estudiado problemas de diseño de redes con múltiples periodos de planificación, congestión en los nodos, o con múltiples objetivos, pero no con todas estas características simultáneamente. La contribución de este trabajo es la formulación y resolución exacta para instancias de tamaño pequeño de un problema de diseño de redes hub-and-spoke.
Nuestro modelo busca simultáneamente maximizar la demanda captura y minimizar los costos totales de la red, para un horizonte temporal discreto y finito. Se usan funciones lineales por tramos en el flujo entrante a los hubs para modelar la congestión en ellos. Se estudia el impacto de la congestión, capacidad en los hubs y la longitud del horizonte temporal.
Los experimentos computacionales demuestran que el modelo propuesto logra representar la congestión dentro de una red de múltiples periodos de tiempo, ya que, al aumentar la demanda, los hubs fueron mostrando una saturación creciente al ir aumentando la demanda y junto a esto, los tiempos de viaje promedio también fueron mostrando un aumento en cada periodo de tiempo, indicación clara de la saturación de la red.
Como trabajo futuro se propone encontrar la ubicación optima de los hubs dentro de la red mediante un modelo de localización, al igual que considerar costos fijos al momento de habilitarlos y la existencia de capacidad en los arcos de la red, todo esto con el fin de complementar el modelo propuesto.
Keywords: Diseño de redes; Capacidad modular; Modelos de congestión; Hub.
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1. INTRODUCCIÓN
Frecuentemente se comenta que la logística es una actividad fundamental para el comercio, al ser el enlace entre la producción y los clientes separados por la distancia y el tiempo. Dentro de la logística existen las actividades de distribución y transporte, que resultan costosas y fundamentales para la actividad logística, además de ser no-triviales.
El proceso de decisión para el diseño de redes de transporte en la mayoría de los casos puede ser formulado como un problema de programación lineal entera mixta. Además, por esto los problemas de diseño de redes fueron tomando protagonismo y relevancia dentro de Investigación de Operaciones.
La principal motivación para solucionar estos problemas se centra en la necesidad de transportar un bien desde un punto especifico, comúnmente llamado origen, hacia uno o múltiples puntos de la red, llamados puntos o nodos de destino. Existen múltiples formas de organizar las redes de transporte, pero existen dos que comúnmente son usadas para ilustrar las ventajas de la consolidación de flujos/carga/pasajeros. La primera se conoce como red punto a punto, la cual conecta de forma directa todos los puntos de origen con todos los puntos de destino de la red, ver Figura 1(a). La segunda topología se denomina hub-and-spoke, la cual permite una mejor utilización de activos, además de simplificar la administración de la red resultante. En esta topología, todos los flujos desde orígenes a destinos deben pasar por al menos una instalación especial, denominada hub, donde los flujos con consolidados, clasificados y combinados.
Este tipo de red es comúnmente utilizada en industrias de transporte, ya sea por aire, mar o tierra. En la Figura 1(b) se muestra una red hub-and-spoke típica.
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Figura 1: (a) Red punto a punto y (b) Red hub and Spoke.
Podemos entender un hub como una instalación capaz de distribuir flujo/carga/pasajeros.
Este es el caso de un aeropuerto donde los pasajeros de una aerolínea realizan conexión, un terminal de buses o bien un terminal portuario.
Un problema importante es justamente la localización de los hubs en este tipo de redes.
Matemáticamente, se les conoce como Hub Location Problems (HLPs). Buscan la localización de los hubs, junto con el enrutamiento de los flujos desde los orígenes hasta los destinos, a través de los hubs. El objetivo usual es la minimización de los costos totales de la red.
Las redes hub-and-spoke pueden clasificarse según como se conectan nodos y hubs en asignación única y múltiple. En la asignación única, ver Figura 2a, cada nodo de demanda o cliente es asignado a solo hub. Es decir, cada nodo puede transferir o recibir flujo a través o desde un solo arco o conexión entre dicho nodo y el hub al cual fue asignado.
Esto ocurre, por ejemplo, en la industria de la paquetería courier. Por otra parte, en la asignación múltiple, ver Figura 2b, se permite que un nodo de demanda o cliente sea asignado a más de un hub. Esto se da, por ejemplo, en las aerolíneas de pasajeros.
El HLP clásico posee muchas variaciones o extensiones que buscan resolver el mismo problema bajo objetivos diferentes. En particular existe un grupo de problemas, denominado de cobertura, que buscan maximizar la demanda atendida. La atención de
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demanda es posible si se cumple alguna medida de calidad de atención, como por ejemplo tiempo máximo de servicio.
Figura 2: (a) Asignación única y (b) Asignación Múltiple.
Esta investigación se centra en una extensión el p-Hub Maximal Covering Location Problem. Este problema maximizar la cantidad de demanda captura y transportada entre los pares origen-destino cubiertos por una cantidad fija de hubs a localizar.
Hoy en día en la industria aérea, los aeropuertos han mostrado una dificultad para satisfacer la demanda, en Europa, varios aeropuertos importantes, como el de Frankfurt o Londres Heathrow, ya se encuentran saturados, esto debido al incremento del flujo de pasajeros.
Dentro de las principales consecuencias que origina este aumento de flujo o demanda, es la congestión, lo que afecta de forma directa la experiencia del servicio para el cliente, aumentando los tiempos de ruta.
El presente estudio pretende analizar la incorporación de múltiples características, como la congestión en los hubs, los cuales se encuentran capacitados de forma modular, en múltiples periodos de tiempo. Se propone un modelo multi-objetivo que busca maximizar la demanda cubierta al mismo tiempo que minimiza los costos totales de la red (recolección, transferencia, distribución y cambios de capacidad instalada en los hubs).
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2. OBJETIVOS
2.1. Objetivo general
Aumentar el conocimiento de los problemas de diseño de redes hub-and-spoke al incorporar simultáneamente congestión, capacidades modulares y múltiples periodos de tiempo en un modelo multi-objetivo.
2.2. Objetivos Específicos
• Comprender el efecto de la congestión en el diseño de una red hub-and-spoke en el tiempo.
• Comprender el efecto de la decisión de capacidad de los hubs en el tiempo.
• Comprender el efecto de considerar múltiples periodos de tiempo en el diseño de redes hub-and-spoke.
• Estudiar el efecto de incorporar múltiples periodos de tiempo y dos objetivos simultáneos en un problema de diseño de redes hub-and-spoke.
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3. METODOLOGÍA
La metodología utilizada para el desarrollo de esta investigación se describe a continuación:
1. Revisión de literatura: En este punto inicial se llevó a cabo una revisión exhaustiva de trabajos para detectar el ámbito del problema, como, por ejemplo: minimización de costos, posibilidad de capturar la mayor cantidad de demanda y la aplicación de múltiples periodos de tiempo.
2. Formulación del modelo de optimización con todas las características propuestas e identificando las variables relevantes para el problema.
3. Generación de instancias: Para crear instancias válidas de nuestro problema, no existente en la literatura, se creará una instancia inicial basándose en los datos CAB25 de la literatura, estimando aquellos parámetros para los que no se cuente con información.
4. Realización de las pruebas computacionales: Una vez que el modelo está escrito en el lenguaje del software a utilizar (AMPL con el solver CPLEX), se generaran distintas instancias de prueba teniendo como referencia la instancia base definida anteriormente.
5. Discusión de resultados: Evaluar los resultados obtenidos de los diferentes experimentos realizados, para verificar la eficiencia del modelo.
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4. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
4.1. Investigación Operativa
Las primeras actividades de Investigación de Operaciones se dieron en Inglaterra durante la Segunda Guerra Mundial, cuando se encomendó a un equipo de científicos la toma de decisiones acerca de la mejor utilización de materiales bélicos. Al término de la guerra, las ideas formuladas en operaciones militares fueron adaptadas para mejorar la eficiencia y la productividad en el sector civil. Hoy en día, la Investigación de Operaciones es una herramienta dominante e indispensable para tomar decisiones. (Taha, 2012).
Dentro de las principales áreas de la Investigación Operativa se encuentra la localización de instalaciones, la cual “consiste en determinar la mejor ubicación para una o varias instalaciones o equipos para servir a un conjunto de puntos de demanda” (Laporte &
Nickel, 2015)
La gran variedad de situaciones en que esta área puede ser aplicada, le ha dado un gran protagonismo dentro de la comunidad investigativa. Según (Laporte & Nickel, 2015) dentro de esta área se destacan las siguientes sub-campos de investigación:
• p-Median problems: Estos problemas buscan encontrar los puntos medianos entre los puntos candidatos, de modo que la suma de los costos sea mínima.
• p-Center problems: El objetivo de este tipo de problema es minimizar la distancia máxima para todos los puntos de demanda.
• Fixed-Charge Facility Location problems: Son problemas en los cuales deben tomarse dos tipos de decisiones: ubicación, para determinan dónde establecer las instalaciones, y asignación, es decir, determinan cómo satisfacer la demanda de los usuarios desde las instalaciones.
• Covering location problems: Este tipo de problema busca establecer un rango de cobertura el cual cubrirá solo a los nodos que se encuentran dentro de este radio de cobertura, definido anteriormente por el valor crítico.
• Anti-covering problems: Contrariamente al enfoque habitual de este tipo de problemas, los Anti-covering problems buscan localizar instalaciones repulsivas las cuales minimizan la cobertura ya que, a diferencia de las instalaciones
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atractivas (que buscan estar cerca de sus nodos de origen) en este tipo de instalaciones se espera que se ubiquen a una mayor distancia de su respectiva demanda, un ejemplo de este tipo de problemas puede ser un basural.
Los modelos de localización de instalaciones determinan el mejor lugar geográfico entre varios posibles candidatos, la importancia de esta decisión recae principalmente en el factor costo, ya que estas decisiones requieren una gran inmovilización de recursos financieros. Los principales motivos por los cuales se emplean estos modelos son los siguientes:
• Localización de establecimientos educacionales o de salud.
• Localización de múltiples fábricas y depósitos.
• Localización de servicios de emergencia.
• Localización de Hubs.
El primer problema de localización de hubs (HLP) fue definido formalmente por (O’Kelly, 1986). Esta investigación presentó un enfoque heurístico para la evaluación de redes y ubicaciones de hubs. Posteriormente el mismo O’Kelly propuso un modelo de localización de hubs como un programa entero cuadrático. La dificultad de este problema se presenta en la no-convexidad de la función objetivo, a lo cual presento una variedad de estrategias de solución (O’Kelly, 1987). Luego (Campbell, 1992) pesento la primera formulación lineal entera mixta de un problema de localización de hubs. Tras esto, (Campbell, 1994) formulo los equivalentes de localización de hubs de los problemas clásicos de localización de instalaciones.
Dentro de los primeros problemas de localización de hubs usualmente se ignoraban los costos fijos de abrir o ubicar un hub. Por este motivo (O’Kelly, 1992) elaboró un modelo el cual considera este tipo de costos.
El primer problema formulado fue de asignación simple (O’Kelly, 1987). En el caso de asignación múltiple la primera aparición fue realizada por (Campbell, 1992).
Con la intención de reducir la cantidad de variables y restricciones del problema de asignación única, (Ernst & Krishnamoorthy, 1996) presentan una nueva formulación, la
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cual permite emplear instancias de mayor tamaño esto gracias a la ventaja computacional que presenta frente al modelo original presentado por O’Kelly. Posteriormente (Ernst &
Krishnamoorthy, 1998) extendieron sus resultados a problemas de localización de asignación múltiple.
4.2. Problemas de cobertura
Los problemas de cobertura forman parte esencial de la planificación estratégica de todo tipo de empresas (Owen & Daskin, 1998). El origen de este tipo de problema se remonta a (Berge, 1957). El autor presentó la forma de encontrar la cobertura mínima dentro de un grafo y junto a esto estableció un teorema que entrega un algoritmo para encontrar dicha cobertura mínima.
El problema de localización de cobertura fue formulado de forma matemática mediante un modelo de programación lineal por primera vez por (Toregas, Swain, ReVelle, &
Bergman, 1971), siendo usado para localizar instalaciones de emergencia, como puede ser estaciones de bomberos, policiales, escuelas, bibliotecas, etc.
4.3. Problemas de localización de hubs con cobertura
Los problemas de cobertura han sido establecidos también para redes de hubs, donde se pueden encontrar, los Maximal Hub Covering Location Problem, siendo uno de los más estudiados. Estos problemas buscan maximizar la demanda cubierta de los pares Origen- Destino a través de una cantidad definida de hubs. La primera investigación donde se definió un problema de cobertura orientado a Hub Covering Location Problem es la de (Campbell, 1994). Con el pasar del tiempo, se desarrollaron nuevas formulaciones para este tipo de problemas, donde destacó el trabajo realizado por (Kara & Tansel, 2003) quienes presentaron una nueva formulación, la cual demostró una gran mejora en los tiempos de resolución respecto a la formulación original de Campbell, 1994.
(Weng, Yang, & Ma, 2006) formularon un modelo de cobertura máxima considerando un problema de asignación múltiple estableciendo la cobertura con un límite de tiempo, costo o distancia.
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Años más tarde, (Wagner, 2008) propone formulaciones de modelos mejoradas para problemas de cobertura de Hubs con distintas características como por ejemplo asignación múltiple y única, que superan ampliamente las investigaciones anteriores. Posterior a esto, (Qu & Weng, 2009) propusieron un nuevo enfoque basado en path relinking o re- encaminamiento de rutas para el problema clásico denominado Multiple Allocation Hub Maximal Covering Problem (MAHMCP).
Más recientemente, (Karimi & Bashiri, 2011) presentaron un estudio el cual consideraba diversos tipos de coberturas en relación a las características de la aplicación que se encuentra orientado el problema, por ejemplo sistemas de líneas aéreas, diseño de redes de telecomunicaciones, etc.
Los tiempos de resolución se vieron disminuidos gracias a la formulación de una nueva heurística propuesta por (Hwang & Lee, 2012) la cual presentaba buenos resultados en instancias pequeñas, pero que para instancias de gran tamaño los resultados no se acercaban a la optimalidad. Luego (Peker & Kara, 2015) proponen una nueva formulación para el problema de cobertura máxima (MHCP) incluyendo un nuevo tipo de cobertura conocido como cobertura parcial. Posteriormente, (Silva & Cunha, 2017) tomaron como base el trabajo de (Peker & Kara, 2015) y propusieron una heurística que muestra buenos resultados para instancias grandes, logrando resolver por primera vez instancias de 200 nodos.
4.4. Multi objective hub location problems
Las formulaciones multiobjetivo son modelos realistas para muchos problemas complejos de optimización de ingeniería. En muchos problemas de la vida real, los objetivos estudiados entran en conflicto entre sí, y la optimización de una solución particular con respecto a un solo objetivo puede dar como resultado en resultados inaceptables con respecto a los demás objetivos.
Una solución razonable a un problema multiobjetivo es investigar un conjunto de soluciones, cada una de las cuales satisface los objetivos a un nivel aceptable sin estar dominada por ninguna otra solución. Es por esto que los problemas con múltiples objetivos ayudan en la toma de decisiones, gracias a que permiten encontrar un conjunto
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de soluciones, dando respuesta a un problema de forma más cercana a la realidad (Cohon, 1978). Su aplicación es muy amplia por lo que se han utilizado en diferentes áreas como la localización de instalaciones.
(Flynn & Ratick, 1988) presentaron un modelo matemático el cual evaluaba las opciones para la continuación del programa de Servicios Aéreos Esenciales (EAS), una disposición de la Ley de Desregulación de Aerolíneas de 1978. Este modelo ha sido diseñado para ayudar a los responsables de la toma de decisiones a asignar servicios aéreos subsidiados a las comunidades de una región, dado el objetivo de maximizar el acceso al sistema de transporte aéreo y minimizar los costos totales del sistema.
Años más tarde, (Hsu & Wen, 1999) desarrollaron una serie de modelos capaces de predecir el tráfico de pasajeros entre las líneas aéreas diseñando una red de rutas aéreas y determinando las frecuencias de vuelo en rutas individuales mediante la aplicación de la teoría de Grey y la programación multiobjetivo.
La primera investigación multi objetivo orientada a la localización de instalaciones fue llevada a cabo por (Costa, Eugénia, & Clímaco, 2008) que proponen un modelo bi- objetivo de asignación única, para minimizar los costos totales y minimizar el máximo tiempo de proceso de los flujos, determinando un nivel de servicio de los hubs.
Dos años más tarde, (Köksalan & Soylu, 2010) propusieron dos nuevas formulaciones multi-objetivo de asignación múltiple. La primera busca minimizar los costos totales de transporte y minimizar los costos totales de viaje entre los puntos centrales y los puntos de origen-destino (costos de recolección y distribución). La segunda formulación busca minimizar los costos de transporte desde un punto de origen a un punto de destino y minimizar el retraso máximo en cada hub.
(Tavakoli, Manavizadeh, & Rabbani, 2014) establecieron un problema de localización de hub con múltiples objetivos (MOHLP) que busca minimizar los costos totales de la red y minimizar el impacto al medio ambiental, dejando en evidencia la versatilidad de este tipo de modelo multi objetivo. (Ghodratnama, Tavakkoli-Moghaddam, & Azaron, 2015) propusieron un modelo que tiene por objetivo minimizar los costos de transporte e instalación y por último minimizar los gases de efecto invernadero, donde se utilizaron
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dos métodos, el primer método la programación de objetivos multi objetivos difusos (FMOGP) y el segundo método de Torabi y Hassini (TH) para resolver el modelo matemático de objetivos múltiples.
4.5. Problemas multi-periodo
Los problemas con múltiples periodos de tiempo tienen una gran utilidad en el ámbito estratégico, al momento de analizar un problema a largo plazo, permitiendo tomar mejores decisiones esto debido a que el modelo considera la relación existente entre cada periodo de tiempo.
La primera aparición de problemas con múltiples periodos de tiempo, fue gracias a (Wesolowsky & Truscott, 1975) quienes estudiaron un modelo estático y dinámico con múltiples periodos del problema de ubicación-asignación con relocalización de instalaciones, posteriormente, (Campbell, 1990) desarrollo un modelo de aproximación continua de un transportista de carga general que atiende a una región con mayor densidad de demanda. Considerando costos de terminal, transporte y reubicación. Más tarde, (Gelareh, 2008) propuso el primer modelo matemático para problemas de ubicación de hub de periodos múltiples (MPHLP). El autor formuló un modelo de programación de entera mixta en la planificación del transporte público. Fue denominado Multi-period hub location problem for public transport (MPHLPPT).
Años más tarde, (Contreras, Cordeau, & Laporte, 2011) propusieron un algoritmo de branch-and-bound que utiliza una relajación Lagrangeana el cual les permite obtener cotas inferiores y superiores. La función Lagrangeana permite descomponer el problema original en subproblemas más pequeños que se pueden resolver de manera eficiente, lo que produce una reducción considerable del tamaño del problema y por lo tanto, ayuda a reducir la carga computacional. Los autores pudieron resolver instancias con hasta 100 nodos y 10 periodos de tiempo. En 2016, (Alumur, Nickel, Saldanha-da-Gama, &
Seçerdin, 2016) estudiaron una extensión del problema clásico de la localización de hubs a múltiples períodos de tiempo, donde la red de hubs puede construirse progresivamente y su capacidad se expandirá gradualmente con el tiempo, para ambos tipos de asignación (única y múltiple). Una de las investigaciones más reciente ha sido realizada por (Marín,
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Martínez-Merino, Rodríguez-Chía, & Saldanha-da-Gama, 2018) quienes propusieron un modelo y un método de solución aproximada para el problema de localización de cobertura con múltiples periodos de tiempo estocásticos.
4.6. Modelos de hubs con capacidad
La capacidad se ha vuelto una variable decisiva al momento de configurar una red, ya que no solo la localización de estas instalaciones conocidas como hubs juega un rol fundamental a la hora de tomar decisiones, si no que la capacidad también es un factor por considerar ya que esto nos ayudara a determinar una cota superior sobre la cantidad de demanda que puede atender una determinada instalación.
La primera referencia sobre instalaciones capacitadas, fue realizada por (Current &
Storbeck, 1988) quienes hablaron sobre los principales extensiones del problema de cobertura máxima y un supuesto básico el cual indica que los modelos de localización de cobertura formulados hasta la fecha especifican que las instalaciones que se están ubicando no están capacitadas. Si bien esta suposición es válida en muchas configuraciones de planificación, ciertamente existen situaciones en las que esta suposición limita severamente la aplicación de modelos de cobertura. Al explotar este nuevo supuesto, permite resolver problemas del mundo real de pequeño y de tamaño moderado con los métodos de solución existentes.
Posteriormente, (Pirkul & Schilling, 1989) expandieron en dos dimensiones el modelo clásico de cobertura máxima, en un problema de localización de servicios de emergencia, la primera dimensión fue incorporar capacidades de carga de trabajo en las instalaciones y la segunda dimensión era la asignación de múltiples niveles de respaldo o servicio priorizado para todos los puntos de demanda.
En vista que la consideración de la capacidad de carga de trabajo en un problema de localización de cobertura máxima, MCLP por sus siglas en inglés, aumentaba (Pirkul &
Schilling, 1991) propusieron un procedimiento de solución eficiente que es aplicable a formulaciones de problemas simples y extendidas.
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La primera mención a los problemas de ubicación de cobertura máxima con capacidad modular fue realizada por (Correia & Captivo, 2003) el cual consistía en buscar la ubicación y la capacidad de las instalaciones para atender a un conjunto de clientes al costo mínimo. Para mejorar la aplicación del problema de ubicación de cobertura máxima (Yin & Mu, 2012) presentaron varios modelos de MCLP capacitados para considerar los límites de capacidad de las instalaciones. Sin embargo, la mayoría de estos modelos asumen solo un nivel de capacidad fija para la instalación en cada sitio potencial. Este supuesto puede limitar la aplicación del MCLP capacitado. En este artículo, se propone y formula un problema de ubicación de cobertura máxima capacitada modular (MCMCLP) para permitir varios niveles de capacidad posibles para la instalación en cada sitio potencial. Años más tardes (Boukani, Farhang, Mir, & Pishvaee, 2014) quienes introdujeron modelos generales de problemas de localización de hubs de asignación única y múltiple capacitados (CSAHLP y CMAHLP) utilizando un enfoque de optimización robusta para hacer frente a parámetros inciertos donde estudiaron la incertidumbre de parámetros como el costo fijo de configuración y la capacidad de cada hub.
(Correia, Nickel, & Saldanha-da-Gama, 2018) formularon un modelo para problemas de ubicación de hub de asignación múltiple estocástica capacitada múltiples períodos. Donde las decisiones a tomar tienen que ver con la localización de los centros, su capacidad inicial en cada periodo de tiempo, la expansión de la capacidad de los centros existentes y el transporte entre pares origen-destino. Debido a la complejidad de resolución por la gran cantidad de variables generadas para instancias de mediano y gran tamaño, se proponen mejoras al modelo, lo que hace posible resolver de manera óptima las instancias que no se pudieron resolver utilizando el modelo inicial.
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En el mismo año (Ghodratnama, Arbabi, & Azaron, 2018) desarrollaron un nuevo modelo de asignación de hub teniendo en cuenta la congestión, la capacidad y la programación de la producción. Este modelo asume que la fabricación y distribución de productos, incluidas las materias primas y los productos semiacabados o terminados, se realizan solo en hubs (como un municipio industrial). El objetivo principal de este estudio es minimizar los costos totales y minimizar la suma de los tiempos de espera para procesar bienes en fábricas y almacenes.
Autor Multi-
Objetivo Objetivo 1 Objetivo 2 Multi-
Periodo Capacidad Congestion N° Hubs a localizar
Metodo de solución Marín,
Martínez- Merino, Rodríguez- Chía, &
Saldanha-da- Gama, 2018
- Minimizar
Costos - x - - x Exacta
Correia, Nickel, &
Saldanha-da- Gama, 2018
- Minimizar
Costos x x - x Exacta
Ghodratnam a, Tavakkoli- Moghaddam,
& Azaron, 2015
x Minimizar
Costos
Minimizar Gases de efecto invernadero
- x - x Exacta
Ghodratnam a, Arbabi, &
Azaron, 2018
x Minimizar
Costos
Minimizar Tiempo promedio de los bienes en
fila
- x x x Exacto
Modelo
propuesto x Maximizar
Cobertura
Minimizar
Costos x x x - Exacto
Tabla 1: Resumen comparativo de literatura.
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5. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
5.1. Planteamiento del problema
El modelo busca diseñar una red hub-and-spoke en un horizonte de tiempo T periodos, al mínimo costo y maximizando la captura de tráfico de pares origen-destino (OD). Se tiene el conjunto de los nodos de la red (N), junto al subconjunto donde se encuentran localizados los hubs (K). Se cuenta con la información de la distancia que existe entre cada par de origen y destino, denotada Dij. El costo unitario de transporte de cada arco en la ruta entre los nodos de origen i y de destino j en el periodo t, diferencia entre recolección, transferencia y distribución, y se encuentran definidos por Cikt , Bkst y Esjt , respectivamente.
Dentro del área existe un denominado factor de descuento, que cual representa las economías de escala que este tipo de red posee en las conexiones inter-hub. Será representado por α y tendrá un valor entre 0 y 1. Junto a esto también se conoce la demanda originada desde el nodo de origen i al nodo de destino j en el periodo t, denotada
t
Hij .
Cada hub cuenta con distintos niveles de capacidad, donde debe escoger un solo nivel en cada periodo de tiempo. Dicha capacidad se define en términos del flujo entrante al hub.
Se puede tanto aumentar, disminuir o permanecer en el mismo nivel de capacidad. El costo asociado a cada acción se encuentra definido por Jabkt el cual representa el costo de aumentar desde la capacidad a a la capacidad b en el hub k en el periodo t . Mantener la capacidad en un periodo, se modela haciendo a=b.
La congestión de igual forma es representada en forma de niveles, donde cada hub en función del flujo capturado debe seleccionar un nivel en cada periodo de tiempo, lo que aumentara el tiempo de cada ruta, este tiempo se encuentra definido por Lktl , el cual indica el tiempo de procesamiento asociado el nivel de congestión l en el hub k en el periodo
t . A mayor nivel de congestión el tiempo de procesamiento será mayor.
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Se exige continuidad a lo largo de los periodos de tiempo tanto en los niveles de congestión como en la capacidad. Por ejemplo, si un hub termina con capacidad a en el periodo t , en el periodo siguiente t +1 debe comenzar con el mismo nivel de capacidad.
Existe la posibilidad de aumentar o disminuir la capacidad de cada hub a lo largo del horizonte de tiempo. las posibles transiciones son representadas por el conjunto TR. El tiempo total de una ruta OD está formado por la suma de los tiempos de pasada por los hubs en la ruta de origen – destino en el periodo t (Lktl ) y el tiempo de tránsito del flujo en cada arco que componen la ruta. El tiempo entre un nodo de origen i al hub k, entre los hubs k y s, y finalmente entre el hub s y el nodo de destino j, se denotan por Oikt , Qkst ,Rsjt , respectivamente, para el periodo t.
Cada hub también puede funcionar como origen o destino. Los tiempos de procesos en este caso se asumirán iguales, ya sea que el flujo tenga como origen o destino un hub, o si el hub es solo un punto de paso y consolidación del flujo como parte de su ruta.
5.2. Formulación del modelo
5.2.1. Conjuntos
• T : Periodo de tiempo.
• N : Nodos en la red.
• K : Nodos donde se encuentran ubicados los hubs.
• A : Conjunto de tramos de congestión.
• E : Conjunto de tramos de capacidad.
5.2.2. Parámetros
• Dij = Distancia que existe desde el nodo de origen iNal nodo de destino jN.
• Cikt = Costo de transportar una unidad desde el nodo de origen iN al hub kKen el periodo t T .
• Bkst = Costo de transportar una unidad entre los hubs kK y s K en el periodo t T .
17
• Esjt = Costo de transportar una unidad desde el hub sK al nodo de destino jN en el periodo t T .
• Hijt = Flujo de demanda originada desde el nodo de origen iNal nodo de destino jN en el periodo t T .
• Jabkt = Costo de transición desde la capacidad a hasta la capacidad b en el hub k en el periodo t T .
• Oikt = Tiempo de viaje entre el nodo de origen o al hub k.
• Qkst = Tiempo de viaje entre el hub kK y el hubs K .
• Rsjt = Tiempo de viaje entre el hubs K al nodo de destino jN.
• U = Límites de intervalos de tramos de congestión l lA.
• S =e Límites de intervalos de tramos de capacidad lA.
• L =ktl Tiempo de proceso asociado al tramo de capacidad lApara el hub kKen el periodo t T .
5.2.3. Variables de decisión
• Vabkt = 1, si el hub en el periodo comienza con capacidad y termina con capacidad .k t a b
• TEijt = Tiempo total de la ruta desde el nodo de origen o al nodo de destino d en el periodo t.
• Mijt = 1,si la ruta origen – destino son cubiertos en el per oi dot.
• Xiksjt = 1, si existe flujo transportado desde el nodo de origen i al nodo de destino j pasando por los hubs k y s en el periodo t.
• Flkt=Flujo en el tramo entrante en el hub en el periodo .l k t
• Ilkt= 1,si el hub k se encuentra en el tramo de congestión en el periodo .l t
• Pijt = Tiempo de pasada por los hubs de la ruta , en el periodo .i j t
• Wekt = 1, si el hub se encuentra en el tramo de capacidad en el periodo .k e t
• FEekt=Flujo en el tramo entrante en el hub en el periodo .e k t
18 5.2.4. Funciones Objetivo
Maximizar ijt ijt
i N i N t T
M H
(1)( , )
Minimizar ( iksjt ijt) ( ikt kst sjt)
i N j N k K s K t T
kt kt
ab ab
k K a b TR t T
X H C B E
J V
+ +
+
(2)5.2.5. Restricciones:
( , )
1 ,
kt ab a b TR
V k K t T
=
(3)1 ,
kt l l A
I k K t T
=
(4)1 kt kt kt , ,
l l l l l
U− I F U I l A k K t T (5)
, : , : ,
kt t t t t t t ,
l iksj ij iskj ij ikkj ij
l A i j N s K k s i j N s K s k i j N
F X H X H X H t T k K
= + +
(6),
( ) , ,
t t t t t t
ij iksj ik ks sj ij
k s K
TE X O Q R P i j N t T
=
+ + + (7)(1 ) , , , , :
t kt kt st st t
ij l l l l iksj
l A
P TP I L I M X t T i j N k s K k s
+ − − (8)(1 ) , , ,
t kt kt t
ij l l ikkj
l A
P L I M X t T i j N k K
− − (9), ,
t t
iksj ij
k K s K
X M i j N t T
=
(10)1 ,
kt e e E
W k K t T
=
(11)1 kt kt kt , ,
e e e e e
S − W FE S W e E k K t T (12)
19
1 ( , ) , , 1
kt k t
ab b
V =W + a b TR k K −t T (13)
( , ) , ,
kt kt
ab a
V =W a b TR k K t T (14)
0 , ( , ) , :
kt
Vab= k K a b TR t T t= T a b (15)
kt kt ,
l e
l A e E
F FE t T k K
=
(16){0,1} ( , ) , ,
kt
Vab a b TR k K t T (17)
0 , ,
t
TEij i jN t T (18)
{0,1} , ,
t
Mij i jN t T (19)
{0,1} , , , ,
t
Xiksj i jN k sK t T (20)
0 , ,
kt
Fl l A k K t T (21)
{0,1} , ,
kt
Il l A k K t T (22)
0 , ,
t
Pij i jN t T (23)
{0,1} , ,
kt
We e E k K t T (24)
0 , ,
kt
FEe e E k K t T (25)
La función objetivo (1) maximiza la cobertura, mientras que la función objetivo (2) minimiza los costos totales de la red. Estos son conformados por el costo de enviar flujo desde el nodo de origen i al nodo de destino j por cada uno de sus arcos correspondientes y el costo asociado a las transiciones de capacidad.
La restricción (3) indica que solo se debe escoger una acción (aumentar, disminuir o mantener) la capacidad de cada hub en cada periodo de tiempo. La restricción (4) fuerza al modelo a escoger solo un nivel de congestión en cada hub y cada periodo de tiempo,
20
mientras que la restricción (5) cumple la función de indicar el nivel de congestión que se encuentra un hub en función del tráfico que captura en cada periodo de tiempo. La restricción (6) corresponde al cálculo del flujo que pasa a través un hub asociado al tramo de capacidad l. El tiempo total de una ruta desde un nodo de origen a un nodo de destino, se encuentra representado por la restricción (7), este tiempo se encuentra constituido por la suma de los tiempos en cada arco de la red, más el tiempo de pasada por un hubs el cual es calculado por las restricciones (8) y (9). La restricción (10) indica porque hubs pasa la ruta desde el nodo de origen i al nodo de destino j en el periodo t. La restricción (11) fuerza al modelo a escoger solo un nivel de capacidad en cada hub y cada periodo de tiempo, mientras que la restricción (12) cumple la función de indicar el nivel de capacidad en que se encuentra un hub en función del tráfico que captura en cada periodo de tiempo.
La restricción (13) indica que, si hay una variación en la capacidad de un hub y termina con capacidad b en un periodo t, el periodo siguiente t+1 comience con ese mismo nivel de capacidad b, mientras que la restricción (14) indica que, si ese hub comienza con capacidad a un cierto periodo de tiempo, el periodo anterior haya terminado con esa misma capacidad a, mientras que la restricción (15) obliga a que en el último periodo de tiempo no exista una variación en la capacidad de cada hub. La restricción (16) nos dice que el flujo capturado por cada hub, en cada periodo de tiempo es el mismo para determinar la congestión y la capacidad de cada instalación. Finalmente, las restricciones (17), (18), (19), (20), (21), (22), (23), (24) y (25) definen la naturaleza o el dominio de las variables de decisión.
5.3. Método de resolución
Para la resolución del modelo se utiliza el método NISE (Non-Inferior Set Estimation), que fue desarrollado por J. L. Cohon, Church, & Sheer (1979). Este método consiste en encontrar un conjunto de soluciones que reflejen la curva de trade-off entre ambos objetivos mediante sucesivas bisecciones del espacio de los objetivos. Para encontrar este conjunto de soluciones es necesario seguir los siguientes pasos:
1. Maximizar los objetivos individualmente, donde el valor correspondiente a la función objetivo 1, será representado por Z1y el valor de la función objetivo número 2, será
21
representado por Z2. Para obtener una nueva solución se utiliza el método de los pesos, los cuales son calculados mediante la pendiente existente entre cada uno de los valores de Zi.
2. Definir parámetros Si, que representan al i-ésimo mayor valor de Z2. Este conjunto contiene todos los pares de funciones objetivo obtenidos, ordenados de forma decreciente.
3. Calcular la pendiente existente entre las soluciones encontradas en el primer paso, al maximizar cada objetivo individualmente. Para luego calcular los pesos correspondientes a w1y w2, los cuales serán utilizados en el método de los pesos para encontrar las nuevas soluciones.
4. Establecer tanto el máximo error permitido, como el máximo error posible, denominados como Ty i i+, 1, respectivamente.
, 1
i i+ : Máximo error posible entre la línea que conecta Siy Si+1.
5. Al calcular una nueva solución, podemos determinar el máximo error posible, si i i+, 1
Tel algoritmo se detiene, ya que el error máximo posible es menor o igual al error máximo permitido, definido anteriormente. Caso contrario, buscar nuevos valores con el método de los pesos, hasta que la condición de desigualdad anteriormente mencionada se cumpla.
Figura 3:Frontera de Pareto utilizando el método NISE.
22
6. EXPERIMENTOS
6.1. Datos utilizados
La base de datos utilizada en esta ocasión fue la CAB25 (Civil Aeronautic Board), que representa 25 ciudades de Estados Unidos y es la base de datos que mayormente se utiliza para probar y validar modelos de localización de Hubs.
Fuente: (Elhedhli & Hu, 2005)
Fuente: Elaboración propia.
N° referencia Ciudad N° referencia Ciudad N° referencia Ciudad
1 Atlanta 11 Kansas City 21 St. Louis
2 Baltimore 12 Los Angeles 22 San Franciso
3 Boston 13 Memphis 23 Seattle
4 Chicago 14 Miami 24 Tampa
5 Cincinnati 15 Minneapolis 25 Washington DC
6 Cleveland 16 New Orleans
7 Dallas-Fort Worth 17 New York
8 Denver 18 Philadelphia
9 Detroit 19 Phoenix
10 Houston 20 Pittsburgh
Tabla 2: Ciudades referenciadas en Figura 4.
Figura 4: Ubicación de todos los nodos en la red CAB25.
23 6.2. Descripción de la máquina utilizada
Todos los experimentos fueron realizados en un computador con un procesador Intel®
Core™ i5-6200u @ 2.40 GHz, con 8 GB de RAM y sistema operativo de 64 bits.
6.3. Descripción de instancias
6.3.1. Instancia base
Para la realización de los experimentos se crearon distintas instancias de prueba, en donde se implementaron algunas modificaciones a los datos de la CAB25 junto con una incorporación de algunos parámetros como costos unitarios de mover flujo por cada arco de la red, costos en los cambios de capacidad, tiempos de viaje en los arcos y los tiempos de procesamiento en cada hub, junto con un factor de descuento α para aprovechar el efecto de consolidación que se genera en este tipo especial de instalación, comúnmente conocida como economía de escala generada en los tramos inter-hub. Se contará con un total de cuatro periodos de tiempo, diez niveles de capacidad y congestión, los cuales fueron estimados de forma aleatoria considerando el alto flujo de demanda que captura un aeropuerto de grandes dimensiones. Cabe destacar que todas las variaciones serán respecto de esta instancia base. Los costos de mover flujo por cada arco de la red fueron estimados, dando como costo máximo de 1.500 USD a la mayor distancia existente entre dos puntos de la red (valor equivalente a un vuelo entre ambos nodos), mientras que para la menor distancia existente fue establecido un costo de 200 USD, en el caso de las distancias intermedias se fijaron precios entre el rango de valores anteriormente mencionado en relación con la distancia existente entre ambos puntos. Para el costo de aumentar o disminuir la capacidad de un hub, se estimaron valores entre los 10.000 USD y 7.000 USD para el mayor y menor cambio de capacidad respectivamente, el cual se limitó como máximo aumento o disminución a 3 niveles, cabe destacar que el término “cambio de capacidad” considera tanto el aumento como la disminución de capacidad. Los tiempos de viaje al igual que los costos de mover flujo por cada arco, se basaron en el tiempo que tarda un vuelo entre cada par origen – destino (medido en hrs). Los tiempos de procesamiento de cada hub fueron estimados de tal forma que según el nivel de congestión en el cual se encontraba un hub este aumenta el tiempo de la ruta origen – destino,
24
considerando para el nivel 1 de congestión un tiempo asociado de 6 min (0,1 hrs) y para el nivel de congestión 10 un total de 75 min (1,25 hrs). Tanto la cantidad y la ubicación de los hubs dentro de la red fueron escogidos de forma aleatoria, siendo seleccionados los nodos n°4, n°7, n°9, n°16 y n°23.
6.3.2. Experimento 1: Demandas
El experimento 1 se divide en dos partes. En la primera parte se modificó la instancia base, aumentando la demanda en un 20%, 40%, y 60%. En la segunda parte se realizó un ranking de todos los pares OD, clasificándolos desde el más lejano al más cercano. Luego, se aumentó la demanda en un 30% a la parte superior de este ranking y luego aumentando la demanda en un 30% en la parte inferior de este ranking.
6.3.3. Experimento 2: Costos
Se analizará el resultado de la sensibilización de los costos de transición de capacidad, al igual que las demandas en un 20%, 40% y 60% haciendo más costoso el aumentar de capacidad a través del tiempo que disminuirla, posterior a esto se analizara situación contraria, es decir, se encarecerá disminuir la capacidad a través del tiempo y se pondrá bajo análisis ambas situaciones.
6.3.4. Experimento 3: Tiempos
En este experimento estudiarán los efectos de realizar la sensibilización de los tiempos de procesamiento, ya que es un parámetro crucial dentro de la resolución del problema. Esto, porque se encuentra relacionado de forma directa con la congestión, la cual afectara en el tiempo total de las rutas. Este tiempo se verá aumentado y disminuido en un 10%, 20% y 50%.
25 7.
RESULTADOS EXPERIMENTALES
7.1. Instancia Base
El conjunto de soluciones mostradas en la Figura 5, corresponden a la frontera eficiente del trade-off entre ambos objetivos del problema, resuelto mediante el método NISE, donde la primera solución es respecto a dar prioridad a la minimización de los costos totales. Mientras que la última solución corresponde a la priorización de maximizar la cobertura de los pares OD. Como se esperaba, al ir aumentando la prioridad de la cobertura, el porcentaje de flujo cubierto va aumentando.
Fuente: Elaboración propia.
0 200 400 600 800 1000 1200
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Funcion objetivo 2: Costos Millones
Funcion objetivo 1: Cobertura
Millares
Demanda capturada Costos
0 UM 0
155.332 UM 72.872.281 296.241 UM 186.387.908 478.135 UM 378.485.651 638.827 UM 603.080.781 686.291 UM 683.027.613 716.880 UM 1.063.565.399 716.880 UM 1.144.159.064 Tabla 3: Soluciones encontradas por método NISE, graficadas en Figura 5.
Figura 5: Frontera de Pareto obtenida al resolver instancia base con α = 0.5.
26 7.2. Experimento 1: Demandas
El experimento 1 se divide en dos partes, en la primera se modificó la instancia base, aumentando la demanda en un 20%, 40%, y 60%. En la segunda parte se realizó un ranking de todas las rutas clasificándolas desde la más lejana a la más cercana, posterior a esto se aumentó la demanda en un 30% con respecto al periodo anterior de la parte superior de este ranking y luego aumentando la demanda en un 30% con respecto al periodo anterior, en la parte inferior de este ranking.
0 20 40 60 80 100
Hub 4
Hub 7
Hub 9
Hub 16
Hub 23
Hub 4
Hub 7
Hub 9
Hub 16
Hub 23
Hub 4
Hub 7
Hub 9
Hub 16
Hub 23
Hub 4
Hub 7
Hub 9
Hub 16
Hub 23
Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4
Instancia base +20%
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Hub 4
Hub 7
Hub 9
Hub 16
Hub 23
Hub 4
Hub 7
Hub 9
Hub 16
Hub 23
Hub 4
Hub 7
Hub 9
Hub 16
Hub 23
Hub 4
Hub 7
Hub 9
Hub 16
Hub 23
Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4
Instancia base +40%
Figura 6: Porcentaje de ocupación de capacidad de cada hub en cada periodo de tiempo – (Instancia base vs Demanda aumentada en 20%).
Figura 7: Porcentaje de ocupación de capacidad de cada hub en cada periodo de tiempo – (Instancia base vs Demanda aumentada en 40%).
