Evaluación de modelos de series de tiempo para pronosticar la demanda de transporte aéreo a corto y mediano plazo en Colombia

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Evaluación de modelos de series de tiempo para pronosticar la demanda

de transporte aéreo a corto y mediano plazo en Colombia

Cristian Camilo Amézquita Bravo

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Económicas, Maestría en Ciencias Económicas Bogotá, Colombia

2021

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Evaluación de modelos de series de tiempo para pronosticar la demanda

de transporte aéreo a corto y mediano plazo en Colombia

Cristian Camilo Amézquita Bravo

Tesis o trabajo de investigación presentada(o) como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Ciencias Económicas

Director (a):

Álvaro Martin Moreno Rivas

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Económicas, Maestría en Ciencias Económicas Bogotá, Colombia

2021

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A mis padres, José y Angela y mi hermana, Juliana.

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Agradecimientos

No habría llegado jamás a este punto de mi vida sin el apoyo incansable e incondicional de mis padres José y Ángela, a quienes agradezco siempre por su amor, confianza y dedicación. A mi hermana Juliana por su cariño y motivación. Agradecimiento profundo a mi profesor y director Álvaro Moreno por sus valiosos conocimientos, entrega y acompañamiento, fundamentales para el desarrollo de mi trabajo y para alcanzar esta meta. Para terminar, a la siempre gloriosa Universidad Nacional por brindarme la oportunidad y las herramientas para de ser un profesional integro.

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Resumen

Evaluación de modelos de series de tiempo para pronosticar la demanda de transporte aéreo a corto y mediano plazo en Colombia

El presente trabajo suministra una evaluación de la capacidad predictiva de diferentes modelos de serie de tiempo en datos mensuales del transporte aéreo de pasajeros de tráfico nacional, internacional y total entre 1994 y el 2019. Los modelos estimados son:

modelo de regresión armónica, modelo de suavizado exponencial de Holt-Winters, modelo autorregresivo integrado de media móvil (ARIMA), ARIMA estacional (SARIMA) y ARIMA con variable exógena (ARIMAX). Los resultados muestran que los modelos SARIMA y SARIMAX proveen los mejores resultados en cuanto a bondad de ajuste y precisión con pronósticos en términos de MAPE y RMSE por debajo del umbral del 3% de la realización puntual media. El modelo multivariado SARIMAX supera los resultados de pronóstico de los modelos univariantes. El PIB logra potenciar los resultados del modelo y se confirma la relación positiva que posee con el sector aéreo. Se evaluaron otras variables como los precios del petróleo y choques exógenos locales e internacionales pero su efecto resultó ser no significativo. El modelo de regresión armónica solo puede predecir con alta precisión los pasajeros de tráfico internacional mientras que el modelo de Holt Winters logra obtener previsiones altamente precisas para la serie de tráfico internacional y total.

Palabras clave: Pronóstico de demanda, transporte aéreo, series de tiempo, ARIMA, SARIMA, ARIMAX.

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Abstract

Evaluation of time series models to forecast air transportation demand in the short and medium term in Colombia

This thesis provides an evaluation of the predictive capacity of different time series models in monthly data of the air transport of passengers of national, international, and total traffic between 1994 and 2019. The estimated models are harmonic regression model, Holt- Winters exponential smoothing model, integrated moving average autoregressive model (ARIMA), seasonal ARIMA (SARIMA) and ARIMA with exogenous variable (ARIMAX). The results show that the SARIMA and SARIMAX models provide the best results in terms of goodness of fit and precision with forecasts in terms of MAPE and RMSE below the threshold of 3% of the average punctual realization. The SARIMAX multivariate model exceeds the forecast results of the univariate models. The GDP manages to enhance the results of the model and the positive relationship it has with the airline sector is confirmed.

Other variables such as oil prices and local and international exogenous shocks were evaluated, but their effect was not significant. The harmonic regression model can only predict international traffic passengers with high precision while the Holt Winters model manages to obtain highly accurate forecasts for the international and total traffic series.

Keywords: Forecasting demand, air transport, air passengers demand, time series, ARIMA, SARIMA, ARIMAX.

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Contenido

Pág.

Resumen ... V Lista de figuras ... VIII Lista de tablas ... IX Lista de abreviaturas ... X

Introducción ... 1

1. Revisión de literatura ... 5

1.1 Internacional ... 5

1.1.1 América del norte ... 5

1.1.2 Europa ... 6

1.1.3 Asia ... 7

1.1.4 Resto del mundo ... 8

1.2 Colombia ... 9

2. Metodología ... 12

2.1 Modelos de efectos de frecuencia fija o regresión armónica ... 12

2.2 Método de Holt-Winters ... 13

2.3 Método de serie de tiempo ARIMA ... 15

2.3.1 Proceso ARMA ... 15

2.3.2 Proceso ARIMA ... 17

2.3.3 Proceso SARIMA ... 18

2.3.4 Proceso ARIMAX ... 20

2.3.5 Metodología Box-Jenkins ... 21

3. Datos ... 26

4. Resultados empíricos ... 29

4.1 Modelos de regresión armónica ... 29

4.2 Modelos de suavizado exponencial de Holt-Winters ... 31

4.3 Modelos de serie de tiempo univariado ARIMA-SARIMA ... 32

4.4 Modelos de serie de tiempo multivariado ARIMAX/SARIMAX ... 35

4.5 Evaluación de rendimiento de pronósticos de los modelos ... 37

5. Conclusiones ... 40

Bibliografía ... 43

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Lista de figuras

Pág.

Gráfico i. Comportamiento del PIB del transporte aéreo. 2005-2019^p. ... 2 Gráfico ii. Participación del PIB del transporte aéreo sobre el PIB Nacional. 2005-2019^p.3 Gráfico iii. Comportamiento del transporte aéreo de pasajeros. 1994-2019. ... 4

Gráfico 3.1 Series mensuales de movilización de pasajeros en Colombia y en primeras diferencias. Enero 1994 – diciembre 2019. ... 27 Gráfico 3.2 Tasas de crecimiento anual del flujo de pasajeros en Colombia. Enero 1994 – diciembre 2019. ... 28

Tabla 4.1 Número de pasajeros aéreos nacionales, internacionales y totales reales y pronosticados por los modelos SARIMA y SARIMAX. ... 39

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Lista de tablas

Pág.

Tabla 4.1 Resultados del modelo de regresión armónica ... 30

Tabla 4.2 Resultados de pruebas de residuos en los modelos de regresión armónica seleccionados... 31

Tabla 4.3 Resultados del modelo de suavizado exponencial de Holt-Winters ... 31

Tabla 4.4. Resultados de prueba de raíz unitaria estocástica ADF. ... 32

Tabla 4.5 Resultados prueba de raíz unitaria estacional HEGY. ... 33

Tabla 4.6 Resultados de modelos ARIMA-SARIMA seleccionados para las series de tráfico de pasajeros aéreos. ... 34

Tabla 4.7 Resultado de modelos Arimax/Sarimax seleccionados para las series de tráfico de pasajeros aéreos. ... 35

Tabla 4.8 Indicadores MAPE y RMSE de cada proceso metodológico. ... 38

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Lista de abreviaturas

ADF Dickey-Fuller aumentado (Por su sigla en inglés AR Modelo autorregresivo

ARMA Modelo autorregresivo de media móvil

ARIMA Modelo autorregresivo integrado de media móvil ARIMAX Modelo ARIMA con entrada exógena

DANE Departamento Administrativo Nacional de Estadística DF Prueba de Dickey-Fuller

DNP Departamento Nacional de Planeación

DPG Proceso generador de datos (Por su sigla en inglés) EIA U.S. Energy Information Administration

GARCH Modelo autorregresivo con heterocedasticidad condicional generalizada

HEGY Hylleberg, Engle, Granger y Yoo

IATA Asociación Internacional de Transporte Aéreo (Por su sigla en inglés)

IPC Índice de Precios al Consumidor MA Modelo de media móvil

MAPE Error Porcentual Absoluto Medio (Por su sigla en inglés MARIMA Modelo ARIMA multiplicativo con intervención

ML Máxima Verosimilitud (Por su sigla en inglés)

OLS Mínimos Cuadrados Ordinarios (por su sigla en inglés) PMA Plan Maestro Aeroportuario

RAC Reglamentos Aeronáuticos de Colombia

RMSE Raíz del error cuadrático medio (Por su sigla en inglés) SARIMA Modelo ARIMA estacional

TRM Tasa Representativa del Mercado

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Introducción

Durante las últimas décadas, el transporte aéreo se ha convertido en un sector clave en la economía mundial al ser el único transporte rápido que conecta pares de ciudades, el cual, genera un flujo de personas, inversiones, comercio, conocimiento, turismo y demás actividades económicas que contribuyen al desarrollo económico y social de los países. La conectividad aérea es un motor del crecimiento económico, estimula la innovación al permitir el comercio transfronterizo y el acceso a los mercados internacionales, inversión de capital y recurso humano de alta calidad, aumentando la productividad económica y la eficiencia de los agentes económicos (IATA, 2007). Las cifras hablan por sí mismas, según la IATA, el sector contribuyó con el 4,1% del PIB mundial, 87,7 millones de empleos y estiman que su huella económica es de 3,5 billones de dólares en el 2019 (IATA, 2020). A su vez, en un estudio muestran que la relación productividad-conectividad no es lineal sino logarítmica, donde un incremento del 10% en la conectividad aérea, en relación con el PIB del país, los niveles de productividad laboral aumentan en un 0,07% (IATA, 2007).

Por su parte, en Colombia, el Estado introdujo una serie de políticas en la industria a partir de los 90, empezando por considerar al sector aéreo como un servicio esencial¹ en la constitución del 91, cambiar de un esquema restrictivo a uno de libertad vigilada, modificar la estructura de la autoridad aérea Aeronáutica Civil, entre otras modificaciones que reestructuraron e impulsaron el sector (Olivera et al., 2011). Esto permitió consolidar a la industria como una de las más importantes puesto que logró brindar, fundamentalmente, conectividad en todo el territorio nacional, ya que, por el relieve colombiano, existen regiones de difícil acceso cuya única forma de transporte hacia las grandes ciudades es vía aérea. Adicionalmente, el país cuenta con una posición geográfica estratégica que

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funciona para la industria como punto de conexión mundial convirtiendo al país en un puente operacional intercontinental entre América, Europa y Asia, siendo el tercer país de la Latinoamérica con mayor conectividad absoluta² en 2019 con un crecimiento del 49%

en los últimos 5 años y el segundo mejor en conectividad relativa³, según la IATA (2020).

Gráfico i. Comportamiento del PIB del transporte aéreo. 2005-2019^p.

p Provisional Fuente: Cálculos propios. Datos obtenidos del DANE.

Su relevancia en la economía del país se ve reflejado en el comportamiento del PIB del transporte aéreo, teniendo un crecimiento del 134% entre el 2009-2019, 8,5% de crecimiento promedio anual en el mismo periodo y cerrando el 2019 con un PIB de $5,981 billones de pesos constantes de 2015 (véase el Gráfico i). En términos de PIB nacional, presentó un crecimiento del 62% entre el 2009-2019, siendo en el 2019 el 0.68% sobre el PIB nacional (véase el Gráfico ii), además, el transporte aéreo contribuye con 600.000

2

3

5.981 16,09

1,45

15,53

5,61

11,47

5,69

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000

Variación %

Miles de milones de pesos de 2015

PIB Transporte Aéreo

Variación % PIB Transporte Aéreo

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empleos, distribuidos en 71.000 empleos directos, 76.000 en la cadena de suministro, 22.000 en gasto de los empleados y 432.000 en turismo (IATA, 2019).

Ahora bien, en términos de pasajeros, el sector ha tenido una evolución sin precedentes en los últimos 15 años, creciendo a una tasa anual promedio del 9,12%, con máximos históricos del 23.9% en 2010 y de 15,8% en 2013, el cual movilizó más de 41,2 millones de pasajeros en el 2019, aproximadamente 3,5 millones más que el año inmediatamente anterior (véase el Gráfico iii), lo cual refleja el gran comportamiento del sector y el

“vertiginoso y dinámico desarrollo, nunca antes visto en su historia” (Díaz Olariaga, 2016).

Gráfico ii. Participación del PIB del transporte aéreo sobre el PIB Nacional. 2005-2019^p.

p Provisional Fuente: Cálculos propios. Datos obtenidos del DANE.

Dentro de este orden de ideas, la previsión de la demanda del transporte aéreo es un proceso fundamental, tanto para el sector público como el privado puesto que, en primero lugar, le permite a la autoridad planificar la inversión en la infraestructura aeroportuaria para la gestión de la demanda futura, y en el caso del segundo, asignar los recursos de la compañía de forma eficiente con el fin de satisfacer la demanda del mercado. Según (Marazzo et al., 2010), el pronóstico de la demanda es la base para alcanzar sistemas de transporte aéreo eficientes. El error de cálculo del volumen de demanda futura puede resultar costoso, sea subestimando la demanda, pues provoca pérdidas, insatisfacción de los usuarios y congestión operacional, como al sobreestimar la demanda ya que aumenta

882.029

0,44

0,40

0,49

0,58

0,68

0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80

400.000 500.000 600.000 700.000 800.000 900.000 1.000.000

Variación %

Miles de milones de pesos de 2015

PIB Nacional

PIB Transporte Aéreo (% del PIB)

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los costos generales totales de las empresas a través de la creación de capacidad ociosa (Sharif Azadeh et al., 2013).

Gráfico iii. Comportamiento del transporte aéreo de pasajeros. 1994-2019.

Fuente: Cálculos propios. Datos obtenidos de la Aeronáutica Civil.

En este sentido, la investigación pretende realizar una evaluación de pronósticos de la demanda de pasajeros en Colombia a través de diferentes modelos de series de tiempo comparando su precisión y consistencia de previsión para cada una de las series temporales. Se aplicarán los modelos univariados más utilizados en los trabajos de pronóstico de demanda de pasajeros aéreos de la literatura analizada, siendo, en este caso, el proceso de regresión armónica, el método de suavizado de Holt-Winters, y los modelos ARIMA y SARIMA. Asimismo, se construirá un modelo multivariado de tipo ARIMAX con variables exógenas locales e internacionales que afectaron la industria a nivel global. El propósito es evaluar si variable como el atentado terrorista del 9-11 en Estados Unidos, la recesión económica del 2008 y la pandemia generada por el virus SRAS-CoV en 2003 tuvieron incidencia significativa en las series de tráfico de pasajeros con el fin de ser incorporadas en los modelos.

41,29

12,35

-2,51 -2,27 9,97

23,94

6,88

15,87 10,22

-0,43 9,21

-5,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018

Variación %

Millones de pasajeros

Pasajeros

Variación % Pasajeros

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1. Revisión de literatura

Los estudios de análisis de previsión de demanda de transporte aéreo con series de tiempo se encuentran de tipo i) agregado, los cuales toman las series de movilización de pasajeros nacionales, internacionales o totales del país teniendo en cuenta todos sus aeropuertos;

ii) sectorial o aeroportuario, es decir, trabajos que restringen el análisis en determinados aeropuertos donde suelen utilizar los pasajeros que ingresan al aeropuerto o de orígenes específicos. En estos trabajos, las metodologías más utilizadas son el modelo de suavizado exponencial de Holt-Winters y la metodología de Box-Jenkins con los modelos ARMA. Asimismo, estas investigaciones se encuentran en su mayoría en las regiones de América del Norte, Europa y Asia, mientras que en Colombia los estudios encontrados son escasos, como se verá a continuación.

1.1 Internacional

1.1.1 América del norte

Emiray y Rodríguez (2003) en su trabajo toman los datos de pasajeros embarcados / desembarcados de Canadá y emplean diferentes modelos tanto para las series de pasajeros de tráfico nacional como internacional, entre ellos un modelo lineal AR(p) con estacionalidad determinista estable, un modelo lineal AR(p) con raíces unitarias estacionales, un modelo SARIMA, un modelo autorregresivo periódico y un modelo de serie de tiempo estructural. Los autores concluyen principalmente que los pronósticos dependen del horizonte temporal y el sector elegido.

Nieto y Carmona-Benítez (2018) aplicaron un método híbrido de serie tiempo ARIMA + GARCH + Bootstrap sobre los datos mensuales de pasajeros movilizados en Estados Unidos a nivel nacional de 1990 a 2016. Los autores escogieron esta metodología con el fin captar la tendencia, la volatilidad y la distribución histórica de los datos y, de esta

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6 Título de la tesis o trabajo de investigación

manera, mejorar la precisión de las proyecciones. No obstante, los autores utilizan otras metodologías como el modelo de Holt-Winters aditivo y multiplicativo, el modelo ARIMA y el Damp Trend Grey Model (DTGM) para compararlo con el modelo híbrido y llegar a la conclusión que con el modelo ARIMA + GARCH + Bootstrap obtuvieron los mejores pronósticos de la serie.

Dantas et al. (2017) utilizan los datos mensuales de pasajeros totales movilizados de 11 países de Europa, Estados Unidos, Australia y Brasil para un total de 14 series comprendidas del 2007 al 2014. Los autores elaboran predicciones para cada país aplicando el método combinado de Holt Winters y agregacion Bootstrap, lo que se denomina Bagging Holt Winters. Se concluye que el método arroja resultados de pronóstico consistentes y precisos en comparación con otros métodos.

1.1.2 Europa

Coshall (2006) aplica las metodologías Holt-Winters, Naive 1, Naive 2 y ARIMA a la serie de viajes aéreos trimestrales del Reino Unido entre el primer trimestre de 1976 hasta el segundo trimestre de 2003 a 20 principales destinos. El autor hace énfasis en que las series de viajes internacionales no son usualmente procesos I(1,1), como también muestra que este tipo de series no requiere muchos filtros de diferencia ni de transformación logarítmica, puesto que, según el autor, esta última no suele ser apropiada. Finalmente, el trabajo concluye, primero, que el modelo ARIMA supera a los demás modelos, tanto en su forma aditiva como multiplicativa y segundo, que el largo uso de diferenciaciones y transformaciones son innecesarios en los modelos multiplicativos.

Uno de los pocos estudios de previsión de pasajeros regionales corresponde a Andreoni y Postorino (2006) quienes utilizan modelos univariantes y multivariante de tipo ARIMA y ARIMAX con datos anuales de pasajeros planeados/embarcados para el aeropuerto de Reggio Calabria en Italia. Para el modelo multivariado, han propuesto la renta per cápita y el número anual de operaciones del aeropuerto, tanto de salida como de llegada, como variables independientes. Los autores concluyen que los modelos obtienen resultados satisfactorios, no obstante, afirman que los resultados de los modelos univariados tienen mayor consistencia a pesar de sus limitantes.

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Anexo B. Nombrar el anexo B de acuerdo con su contenido 7

1.1.3 Asia

El trabajo de Alhassan et al. (2017) se centra en los pasajeros en conexión nacional con destino final internacional de Arabia Saudita. Los autores toman los datos de enero de 2014 a octubre de 2016 y aplican un modelo de regresión múltiple y un modelo ARIMA para pronosticar la demanda esperada para vuelos domésticos. Los resultados de los pronósticos son usados con el objetivo de brindar a la aerolínea Saudi Arabian Airlines estrategias operativas para afrontar la demanda prevista en sus tres rutas nacionales principales.

Por otro lado, el artículo de Lin et al. (2011) utiliza el método Holt-Winters, el modelo ARIMA estacional (SARIMA) y el modelo de pronóstico gris GM para replicar las llegadas mensuales de viajes aéreos entrantes a Taiwán con datos de enero de 1996 a diciembre de 2007 y comparar el desempeño de pronósticos, los cuales, son generados de forma directa (total de viajes aéreos entrantes) e indirecto (suma de pronósticos de viajes aéreos entrantes). Los autores concluyen, en primera medida, que el modelo SARIMA tiene el mejor desempeño en los pronósticos, y segundo, los pronósticos realizados con el método indirecto arrojan mejores resultados, explicado, según los autores, por cada componente de la serie posee diferente información y comportamiento que, en cada caso, el método tiene en cuenta al realizar cada pronóstico que al final se agregan en un pronóstico total.

Goh y Law (2002) en su trabajo tienen como objetivo, por un lado, descubrir si el modelo SARIMA y el modelo MARIMA supera en pronóstico a otros modelos de series de tiempo más usualmente usados utilizando diez series de llegadas para Hong Kong entre 1990 y 2000, siendo los países de origen seleccionados los de mayor afluencia de turistas durante este periodo, y, por otro lado, determinar si las series son estacionarias. De esta manera, al realizar la prueba ADF concluye que todas las series eran estacionales no estacionarias.

Por otro lado, las intervenciones importantes del sector como la relajación de la emisión de visas de visitantes extranjeros, la crisis financiera asiática y la epidemia de gripe aviar, resultaron significativas y con los signos esperados. Finalmente, los pronósticos obtenidos utilizando los modelos SARIMA y MARIMA con análisis de intervención obtuvieron que la mayor precisión comparado con los ocho modelos de series de tiempo adicionales.

Oh y Morzuch (2005) analizan ocho modelos de series de tiempo para pronosticar las llegadas de turistas mensuales entrantes a Singapur entre 1977 y 1990, los cuales fueron los modelos Naive I y II, modelo Sine-Waive, el modelo de suavizado exponencial de Holt-

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Winters y modelos ARIMA. Los autores concluyen, primero que, comparar los modelos con diferentes estadísticas de desempeño, los resultados pueden llevar a diferentes selecciones de modelos. Segundo, un modelo que se desempeña mejor durante el período dentro de la muestra no necesariamente se desempeña mejor en el período posterior a la muestra. Asimismo, el horizonte de pronóstico puede tener un efecto en la elección del mejor modelo y finalmente, un modelo combinado, en este caso, un promedio de los pronósticos de los modelos con mejores resultados de desempeño puede ser el que proporcione el mejor rendimiento de pronóstico.

Tsui et al (2014) estimaron un modelo ARIMAX sobre el tráfico mensual de pasajeros del Aeropuerto Internacional de Hong Kong entre enero de 1993 y agosto de 2011 y un modelo SARIMA para pronosticar la entrada de pasajeros de los 11 orígenes principales del aeropuerto. Esta metodología fue empleada con el fin de proyectar la tendencia de la demanda de pasajeros para el 2011-2015. Para el modelo ARIMAX, los autores seleccionaron variables exógenas tales como la distinción de vuelos de origen o conexión, visitantes aéreos de la ciudad de Hong Kong, asimismo, intervenciones o choques exógenos como el brote del SARS en el 2003, el acuerdo del Estrecho entre China y Taiwán y los precios del petróleo. Ambos modelos, para diferentes períodos de pronóstico, proporcionaron rendimientos de pronóstico precisos y confiables con valores bajos de MAPE y RMSE, arrojaron errores pronosticados aceptables al comparar los datos reales y proyectados. En general, se prevé que el rendimiento futuro de pasajeros de la HKIA mantenga una tendencia de crecimiento en promedio mensual del 0,5 al 0,8%.

1.1.4 Resto del mundo

El trabajo de Lim y McAleer (2001) utiliza los datos mensuales de llegadas de turistas a Australia provenientes de Hong Kong, Malasia y Singapur para realizar pronóstico a través de los modelos de suavizado exponencial simple, doble y no estacional, como también, el modelo aditivo y multiplicativo de Holt-Winters. Los autores concluyen que, los modelos de Holt-Winters superan en rendimiento y precisión a los modelos de suavizado exponencial.

No obstante, para Hong Kong y Singapur, el modelo Holt-Winters multiplicativo obtiene mejores resultados, mientras que para Malasia es más preciso el modelo aditivo.

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Kim y Moosa (2001) analizan en su trabajo el efecto de especificar la estacionalidad como un componente estocástico sobre el desempeño de los pronósticos. Para ello toman las llegadas de turistas a Australia provenientes de 6 países entre enero de 1989 y diciembre de 1999. Generan pronósticos con el modelo basado en regresión, el modelo ARIMA estacional y el modelo de serie temporal estructural de Harvey y compararan la precisión y el rendimiento de cada uno. Para evaluar la estacionalidad de las series, los autores utilizan la prueba HEGY para raíces unitarias estacionales y la prueba de Caner, las cuales determinan que la estacionalidad es estocástica para casi todos los casos. Sin embargo, la investigación concluye que el tratamiento estocástico de la estacionalidad no mejora el rendimiento del pronóstico, así las series posean raíces unitarias estacionales. El modelo basado en regresión tiende a generar pronósticos superiores cuando la estacionalidad se trata como determinista.

Du Preez y Witt (2003) realizaron pronósticos con modelos univariados y multivariados sobre las llegadas mensuales de turistas a Seychelles provenientes de Alemania, Francia, Italia y Reino Unido entre enero de 1980 y diciembre de 1994, considerando las series de tiempo de origen múltiple como un proceso vectorial. Los autores evaluaron los efectos de la intervención de los modelos de series de tiempo en la predicción del rendimiento dentro de un marco de espacio de estados. Sus resultados concluyeron que el modelo de series de tiempo de espacio de estado univariado (ARIMA) tuvo el mejor ajuste y rendimiento en los pronósticos. Adicionalmente, argumentan que el mal desempeño de pronóstico en el modelo de series temporales de espacio de estados multivariantes se debe en mayor parte a la ausencia de una “rica” estructura de correlación cruzada entre las series de demanda

"paralelas".

1.2 Colombia

Los estudios académicos encontrados sobre análisis o previsión de pasajeros aéreos en Colombia son recientes y exiguos. En primer lugar, es importante mencionar que los estudios de pronóstico de demanda de transporte aéreo en Colombia se han realizado a través de estudios técnicos llamados “Plan Maestro Aeroportuario” (PMA) contratados por el dueño de cada aeropuerto, ya sea concesionado o no concesionado, puesto que así lo

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estipula la autoridad aeronáutica civil⁴. Determinados como un “instrumento de planificación de naturaleza aeroportuaria” el cual analiza las condiciones de ordenamiento y desarrollo del aeropuerto con el fin de satisfacer las necesidades en materia de infraestructura que logren satisfacer la demanda actual y futura proyectada en un horizonte de tiempo determinado, tanto de pasajeros como de operaciones (Aeronáutica Civil, 2014a). En este sentido, los PMA utilizan mayormente modelos de regresión lineal o logarítmica con variables macroeconómicas, primordialmente el PIB, puesto que exponen la existencia de una fuerte correlación entre la actividad aeronáutica y el producto del país (Aeronáutica Civil, 2014b; 2019).

En segundo lugar, en los últimos años se ha generado un interés en la academia en el estudio de previsión de demanda de transporte aéreo en Colombia. Por un lado, se encuentra un par de trabajos que utilizaron modelos econométricos de regresión lineal múltiple con variables macroeconómicas. De esta manera, Ramos y Cardenas (2016), con datos anuales de 1979 a 2015, simularon el modelo macroeconómico de regresión lineal múltiple para el Aeropuerto Internacional ElDorado usados en los PMA 2001 y 2014 de dicho aeropuerto, luego, comparan los resultados de pronóstico. Los autores encuentran que el PIB es una variable estadísticamente significativa y los pronósticos resultantes son menores a los previstos por el PMA del 2014. Asimismo, Mogollón (2020) realiza un pronóstico de demanda de transporte aéreo para el aeropuerto de la ciudad con variables adicionales al PIB tales como la población de Bogotá, exportaciones, importaciones, el IPC y la TRM. El estudio resulta que el modelo es significativo al 95% y R cuadrados cercanos o por encima del 90% en la mayoría de las variables para cada serie (pasajeros nacionales, pasajeros internacionales, carga nacional y carga internacional) con el cual se realiza proyecciones suavizadas y extrapoladas hasta el 2023 mediante la técnica de regresión local polinomial (Loess).

Por otra parte, se encuentran algunos estudios que emplearon la metodología de modelos series de tiempo. Uno de ellos son el trabajo de Diaz Olariaga, Girón y Mora-Camino (2017) quienes analizan el efecto que genera la privatización de los aeropuertos sobre la previsión de la demanda de pasajeros aéreos. Para esto, los autores construyen modelos ARIMAX sobre 18 aeropuertos del país para los datos de pasajeros nacionales e internacionales

4

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entre 1992 y 2015, siendo el PIB per cápita, la población de del departamento en el cual se encuentra el aeropuerto y el año de privatización de dicho aeropuerto, las variables exógenas del modelo. Así, concluyen que en el 62% de los aeropuertos, el pronóstico para los seis años subsiguientes es creciente por lo que demuestra que la privatización produce un aumento general de la demanda de los aeropuertos privatizados. Luego, Diaz Olariaga (2018) realiza una ampliación al trabajo anterior, en este caso, el análisis contempla todos los aeropuertos del país, las variables dependientes son el número de operaciones, la carga aérea transportada y los pasajeros-kilómetro transportados (RPK por su sigla en inglés), el cual no solo tiene en cuenta la movilización de pasajeros sino la distancia recorrida que cada pasajero realiza en cada trayecto, y, adicionalmente, agrega variables como el índice de precios al consumidor (IPC), índice de precios al productor (IPP), exportaciones netas y la inversión extranjera directa (IED). Los resultados mostraron, en primera medida, que, para todos los casos, el PIB y la población son las variables significativas, y segundo, modelos con r cuadrados cercanos o superiores a 90%, salvo la carga. Para este caso, los autores deciden excluir las variables exógenas, estimando así modelos ARIMA y SARIMA con significancia de modelo entre 70% y 80%. Finalmente, los autores afirman que el pronóstico se encuentra por encima de las proyecciones hechas por la industria a nivel global.

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2. Metodología

Para cumplir con el propósito de evaluar la precisión de los pronósticos mensuales de la demanda de transporte aéreo de pasajeros nacionales e internacionales en Colombia a corto y mediano plazo, se han seleccionado los modelos de mayor utilización en los estudios de previsión de demanda de pasajeros aéreos en el mundo: modelo de regresión armónica, modelo de suavizado exponencial, dos modelos de serie de tiempo univariado tipo ARMA, uno integrado (ARIMA) y el otro adicionando el componente de estacionalidad estocástica (SARIMA), y para finalizar, un modelo de serie de tiempo multivariado de tipo ARMA (ARIMAX) siguiendo los criterios de la metodología de Box-Jenkins para seleccionar, en cada caso, el modelo que mejor se ajuste a las series temporales. No obstante, previo a la selección del mejor modelo, Posteriormente, se utilizan dos indicadores de desempeño para comparar el rendimiento de precisión de pronóstico de cada modelo: Error Porcentual Absoluto Medio (MAPE) y Raíz del Error Cuadrático Medio (RMSE). Finalmente, es importante mencionar que todas las estimaciones se llevarán a cabo a través del software de código libre R/R Studio⁵.

2.1 Modelos de efectos de frecuencia fija o regresión armónica

El modelo de efectos de frecuencia fija, más conocido como regresión armónica⁶ es un modelo de patrón estacional determinista con especificación lineal de dos funciones

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(23)

trigonométricas (seno y coseno) que tratan de forma suave los efectos estacionales de una serie de tiempo. Se define como:

𝑦_𝑡 = 𝛼 + 𝛽_𝑡+ ∑ (𝛾_𝑗𝑐𝑜𝑠 𝜆_𝑗𝑡 + 𝛾_𝑗^∗sin 𝛾^∗𝑡) + 𝛾_𝑠/2sin 𝜆_𝑠/2𝑡 + 𝑒_𝑡

1 2𝑠−1

𝑗=1

(2.1)

donde, 𝛼 es una constante o valor esperado, 𝛽 es la tendencia de la serie en función del tiempo, 𝑠 da cuenta del número de periodos, 𝜆_𝑗 son los harmónicos que al ser 𝜆_𝑗=^2𝜋𝑗_𝑠 𝑗 = 1, … ,^𝑠₂ se le conoce como frecuencia “fundamental” que toma el valor de un año, 𝛾_𝑗 y 𝛾_𝑗^∗ son los parámetros que capturan la estacionalidad, los cuales pueden ser estimados por MCO y, finalmente, 𝑒_𝑡 un término de error tipo ruido blanco Gaussiano independiente e idénticamente distribuido, tal que:

𝐸(𝑒_𝑡) = 0 ∀𝑡 (2.2)

𝐸(𝑒_𝑡²) = 𝜎_𝑒² ∀𝑡 (2.3)

𝐶𝑜𝑣(𝑒_𝑡, 𝑒_𝑠) = 0 ∀𝑡, ∀𝑠, 𝑡 ≠ 𝑠 (2.4)

2.2 Método de Holt-Winters

El procedimiento de suavizado exponencial de Holt-Winters⁷ es un método recursivo de suavizado exponencial que toma en cuenta la tendencia y la estacionalidad para el modelado de una serie de tiempo. Este método contiene dos alternativas de estimación de acuerdo con los componentes de nivel, tendencia y valor estacional de la serie temporal:

aditivo y multiplicativo. El primero es apropiado, principalmente, cuando la magnitud del movimiento estacional es constante en el tiempo, por lo contrario, el multiplicativo cuando la serie contiene variación estacional creciente (Coshall, 2006). El método de Holt-Winters Aditivo puede ser definido de la siguiente manera:

𝑙_𝑡 = 𝛼(𝑦_𝑡− 𝑠_𝑡−𝑚) + (1 − 𝛼)(𝑙_𝑡−1+ 𝑏_𝑡−1) (2.5) 𝑏_𝑡 = 𝛽(𝑙_𝑡− 𝑙_𝑡−1) + (1 − 𝛽)𝑏_𝑡−1 (2.6)

7

(24)

𝑠_𝑡 = 𝛾(𝑦_𝑡− 𝑙_𝑡−1− 𝑏_𝑡−1) + (1 − 𝛾)𝑠_𝑡−𝑚 (2.7)

siendo el pronóstico en el tiempo 𝑡 + ℎ:

𝑦̂_𝑡+ℎ = 𝑙_𝑡+ ℎ𝑏_𝑡+ 𝑠_{𝑡−𝑚+ℎ} (2.8)

El método de Holt-Winters Multiplicativo puede ser de la forma:

𝑙_𝑡 = 𝛼 𝑦_𝑡

𝑠_𝑡−𝑚+ (1 − 𝛼)(𝑙_𝑡−1+ 𝑏_𝑡−1) (2.9) 𝑏_𝑡 = 𝛽(𝑙_𝑡− 𝑙_𝑡−1) + (1 − 𝛽)𝑏_𝑡−1 (2.10) 𝑠_𝑡 = 𝛾 𝑦_𝑡

𝑙_𝑡−1− 𝑏_𝑡−1+ (1 − 𝛾)𝑠_𝑡−𝑚 (2.11)

siendo el pronóstico en el tiempo 𝑡 + ℎ:

𝑦̂_𝑡+ℎ= 𝑙(_𝑡+ ℎ𝑏_𝑡)𝑠_{𝑡−𝑚+ℎ} (2.12)

donde 𝛼, 𝛽, 𝛾 son los estimadores de suavizado los cuales se encuentran entre cero y uno que actualizan el nivel medio, la tendencia y el índice estacional en el tiempo 𝑡 para 𝑙_𝑡, 𝑏_𝑡 y 𝑠_𝑡, respectivamente, 𝑚 se refiere número de observaciones por ciclo estacional y ℎ el horizonte de previsión.

Este método de pronóstico es altamente utilizado ya que pondera las observaciones pasadas por lo que reduce las fluctuaciones generadas por el componente irregular de la serie de tiempo observada. Adicionalmente, permite calcular, tanto pronósticos como un promedio de observaciones pasadas con igual ponderación, como también, puede obtenerse pronósticos en los que se asigna un mayor peso a los datos más recientes, con pesos que disminuyen exponencialmente para los más distantes en el tiempo (Lim &

McAleer, 2001).

(25)

2.3 Método de serie de tiempo ARIMA

2.3.1 Proceso ARMA

El modelo univariado ARMA⁸ (𝑝, 𝑞), se caracteriza porque una serie de tiempo en función del tiempo 𝑡, denotada como 𝑦_𝑡 es una suma lineal de sus componentes estocásticos 𝐴𝑅(𝑃) y 𝑀𝐴(𝑞): 1) los sucesos pasados de la serie de tiempo (componente autorregresivo o sistemático de orden 𝑝) y, 2) las innovaciones en periodos pasados de la serie temporal (componente de media móvil de orden 𝑞). De esta manera, se define de la siguiente forma:

𝑦_𝑡 = 𝑐 + ∑ 𝜙_𝑖𝑦_𝑡−𝑖

𝑝

𝑖=1

− ∑ 𝜃_𝑖𝑒_𝑡−𝑖+ 𝑒_𝑡

𝑝

𝑖=1

(2.13)

donde los 𝜙𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝑝) son los parámetros autorregresivos, los 𝜃 (𝑖 = 1, … , 𝑞) son los parámetros de media móvil y 𝑒𝑡 son los errores de tipo ruido blanco. A su vez, utilizando los operadores de rezago:

𝐵^𝑚𝑦_𝑡 = 𝑦_𝑡−𝑚 (2.14)

𝜙(𝐵) = 1 − 𝜙₁𝐵−. . . − 𝜙_𝑝𝐵^𝑝 (2.15) 𝜃(𝐵) = 1 − 𝜃₁𝐵−. . . −𝜃_𝑞𝐵^𝑞 (2.16)

donde 𝜙(𝐵), 𝜃(𝐵) son los polinomios de rezagos autorregresivos y de media móvil de orden 𝑝 y 𝑞, respectivamente. Así, reemplazando (2.15) y (2.16) en (2.17), el modelo ARMA también se puede expresar así:

𝜙(𝐵)𝑦𝑡 = 𝜃(𝐵)𝑍𝑡 (2.17)

Teniendo en cuenta que cualquier DPG estacionario puede ser representado con un modelo MA (∞), es decir, con un número infinito de parámetros, tales procesos estacionarios se pueden aproximar con un menor número de parámetros a través de un

8

(26)

modelo combinado ARMA, lo cual refleja tanto, su característica parsimoniosa, como su importancia en el modelado de series de tiempo.

Los modelos de series de tiempo ARMA son un proceso estocástico estacionario en sentido débil o estacionarios en covarianza, es decir, si las características de sus momentos son constantes en el tiempo, así, para todo 𝑡:

𝐸(𝑦_𝑡) = 𝜇 ∀𝑡 (2.18)

𝑉𝑎𝑟(𝑦_𝑡) = 𝐸(𝑦_𝑡 − 𝜇)²= 𝜎² ∀𝑡 (2.19) 𝐸(𝑦𝑡− 𝜇)(𝑦𝑡−𝑗− 𝜇) = 𝛾𝑗 ∀𝑡, ∀𝑗, (2.20)

donde las ecuaciones (2.18) y (2.19) indican que la media y la varianza del DPG es constante en el tiempo, mientras que la ecuación (2.20) indica que el valor de la covarianza entre cada momento no depende del tiempo sino de la distancia temporal transcurrida entre estos dos periodos.

Dado que el proceso ARMA se encuentra construido bajo el supuesto de estacionariedad de las series, se vuelve fundamental detectar previamente a la identificación del modelo si la serie de tiempo a analizar es no estacionaria, de lo contrario, se llegará a conclusiones estadísticamente erróneas, como obtención de resultados espurios⁹.

La estacionariedad se puede presentar, ya sea por un proceso de tendencia determinística que se asocia al cambio de media en el tiempo de la forma:

𝑦_𝑡 = 𝛼_𝑡+ 𝛽_𝑡𝑡 (2.21)

donde 𝛼_𝑡 es el intercepto local y 𝛽_𝑡 la pendiente local en función del tiempo, o por la no estacionariedad estocástica que se refiere a cambios tanto en la media como la varianza a través del tiempo de la forma:

9

𝑅²> 𝑑

(27)

𝑦_𝑡 = 𝑦_𝑡−1+ 𝑒_𝑡 (2.22)

donde 𝑒_𝑡 consta de un proceso puramente aleatorio. De esta manera, se dice que el proceso DPG no es estacionario si en al menos una de las raíces de la ecuación (2.17) es igual a raíz unitaria. Existen diferentes procedimientos que detectan la no estacionariedad de una serie de tiempo, una de ellas es la prueba ADF, método que se utilizará en la presente investigación y que será descrita en la sección 2.3.5.

Generalmente, las series económicas no son procesos estocásticos estacionarios, por ende, deberán ser aplicados métodos de transformación con el fin de que la serie cumpla con los supuestos de estacionariedad en sentido débil. Así, con el propósito de volver constante el primer momento o media de una serie, se usa la diferenciación (𝑦𝑡− 𝑦𝑡−1) = (1 − 𝐵)𝑦_𝑡, que busca eliminar la tendencia de una serie temporal, luego, en el segundo momento o varianza, la transformación logarítmica, siendo el logaritmo natural es el método más utilizado para estabilizar la varianza de los datos.

2.3.2 Proceso ARIMA

Dada la existencia de series temporales no estacionarias, el modelo univariado ARIMA¹⁰ (𝑝, 𝑑, 𝑞) contiene el parámetro de diferenciación que transforma la serie y la convierte en un proceso estacionario. Existen series que deben ser diferenciadas más de una vez para que cumpla con los supuestos de estacionariedad débil, por lo que 𝑑 se puede expresar de la forma (1−𝐵)^𝑑𝑦_𝑡. De tal manera que, el parámetro 𝑑 determina las veces que se diferenció el DPG antes de ajustar el modelo ARMA (𝑝, 𝑞), luego al ser la serie integrada (“I” en el acrónimo ARIMA), el modelo ajustado es un ARIMA de orden 𝑝, 𝑑, 𝑞.

Tomando la ecuación (2.17) podemos agregar el componente de integración y expresar el modelo ARIMA matemáticamente de la forma:

𝜙(𝐵)(1 − 𝐵)^𝑑𝑦_𝑡 = 𝜃(𝐵)𝑍_𝑡 (2.23)

De acuerdo CON lo anterior, si una serie de tiempo es 𝐼(𝑑), luego de ser diferenciada 𝑑 veces se obtiene finalmente una serie 𝐼(0), es decir, estacionaria.

10

(28)

2.3.3 Proceso SARIMA

El modelo SARIMA¹¹ supone que la estacionalidad de la serie cambia a lo largo del tiempo y tiene un impacto significativo en el proceso estocástico, por ende, incluye el componente estacional al proceso regular. El modelo está compuesto por los términos de orden no estacionales (𝑝, 𝑑, 𝑞) y términos de orden estacional autorregresiva, de integración y de media móvil (𝑃, 𝐷, 𝑄)s. El modelo SARIMA interactúa el efecto regular con el efecto estacional, interconectando los componentes de media móvil, tanto estacional como no estacional, así como los elementos autorregresivos estacionales y no estacionales (Lim y Mcaleer, 2010). Se expresa de forma generalizada de la siguiente forma:

𝜙(𝐵)ɸ(𝐵^𝑠)(1 − 𝐵)^𝑑(1 − 𝐵^𝑠)^𝐷𝑦_𝑡 = 𝜃(𝐵)Θ(𝐵^𝑠)𝑍_𝑡 (2.24)

donde 𝐵^𝑠 es el operador estacional, (1 − 𝐵^𝑠) es el filtro de diferenciación estacional que captura la relación entre observaciones del mismo periodo estacional en diferentes años, ɸ, Θ corresponden a los polinomios en 𝐵^𝑠 de orden 𝑃, 𝑄, respectivamente y s denota la periodicidad estacional de la serie de tiempo.

Al igual que en el proceso ARIMA, es importante saber si el DPG contiene raíces unitarias estacionales y, de ser así, es necesario utilizar el operador de diferenciación estacional antes de identificar el modelo SARIMA. Para ello, Hylleberg et al. (1990) han propuesto la prueba HEGY que detecta las raíces estacionales en series trimestrales a través de un proceso 𝐴𝑅(𝑝) expresado en la siguiente regresión:

𝑦_4𝑡 = 𝜋₁𝑦_1𝑡−1+ 𝜋₂𝑦_2𝑡−1+ 𝜋₃𝑦_3𝑡−2+ 𝜋₄𝑦_3𝑡−1+ 𝑒_𝑡 (2.25)

donde,

𝑦_4𝑡 = (1 − 𝐵⁴)𝑌_𝑡 (2.26)

𝑦_1𝑡−1 = (1 + 𝐵 + 𝐵²+ 𝐵³)𝑦_𝑡−1 = 𝑦_𝑡−1+ 𝑦_𝑡−2+ 𝑦_𝑡−3+ 𝑦_𝑡−4 (2.27) 𝑦_2𝑡−1= −(1 − 𝐵 + 𝐵²− 𝐵³)𝑦_𝑡−1 = −𝑦_𝑡−1+ 𝑦_𝑡−2− 𝑦_𝑡−3+ 𝑦_𝑡−4 (2.28) 𝑦_3𝑡−2= −(1 − 𝐵²)𝑦_𝑡−2 = −(1 − 𝐵)(1 + 𝐵)𝑦_𝑡−2= −𝑦_𝑡−2+ 𝑦_𝑡−4 (2.29) 𝑦_3𝑡−1= −(1 − 𝐵²)𝑦_𝑡−1= −𝑦_𝑡−1+ 𝑦_𝑡−3 (2.30)

11

(29)

y 𝑒_𝑡 es un término de error normal e independientemente distribuido con media cero y varianza constante.

Con la anterior y teniendo en cuenta que la regresión (2.25) puede contener tendencia y estacionalidad determinística, las tres hipótesis nulas a testear son las siguientes:

1) H₀: 𝜋₁= 0, H₁: 𝜋₁< 0 2) H₀: 𝜋₂= 0, H₁: 𝜋₂< 0

3) H₀: 𝜋₃= 𝜋₄= 0, H₁: 𝜋₃≠ 0 𝑦/𝑜 𝜋₄≠ 0

Para evaluar tales hipótesis, se utiliza el estadístico t para las dos primeras, mientras que la prueba F se aplica para la última. Si no se rechaza al menos una hipótesis, se concluye que la serie tiene raíz unitaria estacional. Si no se rechaza la primera hay raíz unitaria no estacional o de frecuencia cero. El no rechazo de la segunda determina la existencia de raíz unitaria estacional en frecuencia semestral, mientras que el no rechazo de la última resulta raíz unitaria estacional en frecuencia anual. En caso de no rechazar las tres, se requerirá los tres filtros de diferenciación estacional (1 − 𝐵) y no estacional (1 + 𝐵) y (1 + 𝐵²) siendo la serie de orden 𝐼(1,1,1).

Sin embargo, no se puede olvidar que la prueba de HEGY fue desarrollada únicamente para series trimestrales, no obstante, Franses (1990) realiza una extensión del test para series mensuales, el cual, amplía la regresión de cuatro a doce parámetros correspondientes un 𝑠 = 12:

𝑦_𝑖𝑡 = 𝜋₁𝑦_1,𝑡−1+ 𝜋₂𝑦_2𝑡−1+ 𝜋₃𝑦_3,𝑡−1+𝜋₄𝑦_3,𝑡−2+ 𝜋₅𝑦_4,𝑡−1+𝜋₆𝑦_4,𝑡−2 + 𝜋₇𝑦_5,𝑡−1+𝜋₈𝑦_5,𝑡−2+ 𝜋₉𝑦_6,𝑡−1+ 𝜋₁₀𝑦_6,𝑡−2+ 𝜋₁₁𝑦_7,𝑡−1 + 𝜋₁₂𝑦_7,𝑡−2+ 𝜇_𝑡 + 𝑒_𝑡

(2.31)

donde 𝜇_𝑡 denota la parte determinística, ya sea una constante, dummies estacionales o una tendencia. Las hipótesis para comprobar en este caso son:

▪ H₀: 𝜋₂ = 𝜋₃= ⋯ = 0 (existencia de todas las raíces unitarias estacionales).

▪ H_𝑎: 𝜋₁= 𝜋₃= ⋯ = 0 (existencia de todas las raíces unitarias tanto estacionales como no estacionales).

(30)

2.3.4 Proceso ARIMAX

El modelo de función de transferencia o proceso ARIMAX¹² es una estructura de retardo representada a través de la relación de dos polinomios de la forma:

𝑦_𝑡=𝜔(𝐿)

𝜆(𝐿)𝑥_𝑡+ 𝜃(𝐿)

∆^𝑑𝜙(𝐿)𝑒_𝑡, 𝑡 = 1, … , 𝑇 (2.32)

Donde 𝜔(𝐿) y 𝜆(𝐿) son los polinomios de orden finito en el operador de rezago. Como se puede observar, el modelo ARIMAX es una generalización del modelo ARIMA. Esta relación es utilizada para incorporar efectos de intervenciones o choques exógenos conocidos sobre la variable objetivo a través de la inclusión de variables explicativas, dummies o variables de intervención en el modelo de pronóstico, representado de la forma:

𝑦_𝑡 = 𝛿𝑥_𝑡+ 𝜆𝑤_𝑡+ 𝑢_𝑡, 𝑡 = 1, … , 𝑇 (2.33)

Siendo 𝑤_𝑡 la variable de intervención con su coeficiente 𝜆, mientras que 𝑢_𝑡 es el proceso ARIMA. A diferencia del modelo ARIMA, en los modelos de función de transferencia no es necesario que las series de las variables exógenas sean estacionarias siempre que los errores de la función de transferencia sean estacionarios, es decir el modelo ARIMA general (Williams, 2001).

Para el caso del análisis de intervención, la variable ficticia puede ser modelada como un efecto permanente o step variable:

𝑤_𝑡 = {1, 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 𝑇 (𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛) 0, 𝑠𝑖 𝑡 < 𝑇 (𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛)

así también, la variable indicadora puede ser determinada como efecto temporal o pulse variable:

𝑤_𝑡 = {1, 𝑠𝑖 𝑡 = 𝑇 (𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛) 0, 𝑠𝑖 𝑡 ≠ 𝑇 (𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛)

(31)

2.3.5 Metodología Box-Jenkins

La metodología Box-Jenkins¹³ tiene como objetivo identificar, estimar, diagnosticar y pronosticar a través de un modelo estadístico que tenga la capacidad de determinar el comportamiento de un DPG de una serie de tiempo.

Identificación

Consiste en encontrar los valores que mejor se ajuste en el componente autorregresivo (𝑝), orden de integración (𝑑) y componente de media móvil (𝑝) del modelo ARIMA. Dado que el modelo se construye bajo el supuesto de series estacionarias en sentido débil, en primera medida, se debe detectar la existencia de raíces unitarias, tanto estacionales como no estacionales, que determinen la no estacionariedad del DPG por medio de pruebas de raíz unitaria. Como se había comentado en la sección 2.3.1, la estacionariedad de una serie está caracterizada por sus momentos, por ende, si no es estacionaria en varianza, la transformación logarítmica es ideal para estabilizarla y volverla constante en el tiempo; por otro lado, el cambio de la media a lo largo del tiempo se puede detectar a través de diferentes pruebas, en el presente trabajo, se utilizará, la prueba ADF y la prueba de HEGY (ya descrito en la sección anterior). La prueba de ADF se basa en las siguientes ecuaciones:

𝑦_𝑡 es una caminata aleatoria: ∆𝑦_𝑡 = 𝛿𝑦_𝑡−1+ 𝑒_𝑡 (2.34) 𝑦_𝑡 es una caminata aleatoria con deriva: ∆𝑦_𝑡 = 𝛽₁+ 𝛿𝑦_𝑡−1+ 𝑒_𝑡 (2.35) 𝑦_𝑡 es una caminata aleatoria con deriva

y tendencia determinística:

∆𝑦_𝑡 = 𝛽₁+ 𝛽₂𝑡 + 𝛿𝑦_𝑡−1+ 𝑒_𝑡 (2.36)

donde 𝛿 = 𝜌 − 1 y ∆ es el operador de primeras diferencias. Para cada ecuación, se prueba la hipótesis nula de 𝛿 = 0 y la hipótesis alternativa de 𝛿 < 0 con el estadístico 𝜏, donde para cada ecuación, los valores críticos de la prueba 𝜏 son diferentes. Si no se rechaza la hipótesis nula, entonces 𝛿 = 0, es decir, 𝜌 = 1 que significa la existencia de raíz unitaria no estacionaria. Si se rechaza la hipótesis nula, entonces 𝑦_𝑡 es estacionaria con media cero como en la ecuación (2.34) o 𝑦_𝑡 es estacionaria con media distinta de cero como se

(32)

expresa en la ecuación (2.35). Para la última ecuación, Dickey-Fuller prueban de forma simultánea, por medio de una prueba F, la existencia de una tendencia determinística, es decir, 𝛽₂≠ 0. En cuanto al término error, la prueba ADF supone correlación adicionando los valores rezagados de ∆𝑦_𝑡, resultando:

∆𝑦_𝑡 = 𝛽₁+ 𝛽₂𝑡 + 𝛿𝑦_𝑡−1+ ∑ 𝛼_𝑖∆𝑦_𝑡−𝑖

𝑚

𝑖=1

+ 𝑒_𝑡

(2.37)

donde 𝑒_𝑡 es un término de ruido blanco y ∆𝑦_𝑡−1= (𝑦_𝑡−1− 𝑦_𝑡−2), ∆𝑦_𝑡−2= (𝑦_𝑡−2− 𝑦_𝑡−3), y así sucesivamente, de modo que, se incluyan número de rezagos suficientes para que el error no esté correlacionado y se logre una estimación insesgada de 𝛿.

Luego de determinar que la serie es estacionaria, se procede a construir el modelo ARMA.

Para ello, se cuenta con herramientas como los correlogramas de las FAC y FACP, los cuales, son gráficos que representan a cada uno de ellos de acuerdo con la longitud del rezago. Por un lado, la FAP es la función que denota las correlaciones entre 𝑦_𝑡 y 𝑦_𝑡+𝑘, mientras tanto, la FACP es la correlación entre 𝑦𝑡 y 𝑦𝑡+𝑘 eliminando los efectos 𝑦 intermedios.

Una vez seleccionado diferentes modelos tentativos que mejor aproximan el comportamiento del DPG, se debe seleccionar el que mejor ajusta los datos conforme a los criterios de información. En esta investigación, se tomará el criterio de información de Akaike (AIC)¹⁴, el cual determina como mejor modelo al que minimiza

𝐴𝐼𝐶 = −2𝑙𝑜𝑔𝐿(𝜑) + 2𝑛 (2.38)

donde 𝜑 el valor maximizado de la función de verosimilitud y 𝑛 el número de parámetros, por ende, el modelo seleccionado se caracterizará por ser el de mayor parsimonia.

Estimación

(33)

La estimación¹⁵ del componente autorregresivo (𝐴𝑅) se puede efectuar por estimadores OLS o por estimadores lineales de ML. No obstante, para la estimación procesos de media móvil (𝑀𝐴) o mixtos ARMA los parámetros deben ser calculados con estimadores no lineales de ML puesto que en el elemento de media móvil (𝑀𝐴) la estimación por OLS resulta inconsistente. El estimador resultante de maximizar la verosimilitud de un modelo de MA o ARMA se conoce como estimador de suma condicional de cuadrados.

Diagnóstico

La verificación del modelo ARIMA ajustado se realiza a través de la evaluación de los residuos del modelo, determinando que cumplen con el supuesto del modelo de errores de ruido blanco. Para ello, una forma es obteniendo los correlogramas de FAC y FACP de los residuos y compararlo con la prueba de Ljung-Box¹⁶ (LB) el cual testea la no correlación residual a través de la siguiente ecuación:

𝐿𝐵 = 𝑛(𝑛 + 2) ∑ 𝜌_𝑘² 𝑛 − 𝑘

ℎ

𝑘+1

~ 𝑋²𝑚

(2.39)

donde 𝜌_𝑘 es el coeficiente de autocorrelación muestral en el rezago 𝑘, 𝑛 el tamaño de la muestra y 𝑚 la longitud de rezago.

Por otra parte, se pueden hacer pruebas de normalidad que establezcan que los errores se distribuyen de forma normal. En este trabajo, se aplicará la prueba de Shapiro-Wilk¹⁷, que plantea como hipótesis nula 𝐻₀: 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎²), es decir, el DGP procede de una distribución normal, contra la hipótesis alternativa de no distribución normal. El proceso se basa en probar √𝑏1 y 𝑏₂ en las siguientes ecuaciones:

𝐴𝑣𝑎𝑟(√𝑏₁) = (6 𝑇)⁄ ∑ 𝜌³(𝜏)

∞

−∞

(2.40)

(34)

𝐴𝑣𝑎𝑟(𝑏₂) = (24 𝑇)⁄ ∑ 𝜌⁴(𝜏)

∞

−∞

(2.41)

Esta prueba se recomienda realizar para muestras grandes puesto que en muestras pequeñas los resultados estadísticos no son sólidos.

Pronóstico

Completado el proceso de diagnóstico en el cual se ha seleccionado el modelo que mejor se ajusta al DGP de una serie temporal, entonces, se usan los estimadores del modelo para realizar el pronóstico¹⁸ de los valores futuros de la serie. Los valores predichos del modelo son 𝑦̂_𝑡+𝑠 y se expresa de forma siguiente:

𝑦̃_{𝑇+𝑗|𝑇} = 𝜑₁𝑦̃_{𝑇+𝑗−1|𝑇}+ ⋯ + 𝜑_𝜌+𝑑𝑦̃_{𝑇+𝑗−𝜌−𝑑|𝑇}+ 𝑒̃_{𝑇+𝑗|𝑇}+ ⋯ + 𝜃_𝑞𝑒̃_{𝑇+𝑗−𝑞|𝑇} 𝑖

= 1,2, …

(2.42)

Esta ecuación permite observar que, para series estacionarias, 𝑦̃_{𝑇+𝑗|𝑇} tiende a la media a medida que transcurre el tiempo. Por otro lado, en los pronósticos de series diferenciadas no esto ocurre debido al componente determinista del DPG del término 𝜑_𝜌+𝑑𝑦̃_{𝑇+𝑗−𝜌−𝑑|𝑇}, por lo que depende del grado de diferenciación aplicado. La ecuación (2.42) también denota que los pronósticos son función, tanto de las observaciones de la serie de tiempo como de los valores predichos al momento 𝑡 + 𝑠 − 1. Incluso, en determinado momento, los pronósticos pueden estar en función únicamente de los valores pronosticados en periodos de tiempo anterior.

Finalmente, se debe evaluar la calidad de los pronósticos estimados y, en el caso de aplicar diferentes modelos estocásticos, comparar la precisión predictiva de cada uno con el fin de determinar el modelo con un mayor rendimiento o menor error producido. Los métodos de medida más utilizados en los trabajos de previsión de pasajeros descritos en la sección

¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., son el MAPE y el RMSE. Estos

(35)

indicadores son estimados dentro de la muestra y se comparan con los datos reales. Se expresan en las siguientes ecuaciones:

MAPE: ∑|𝐴_𝑡− 𝐹_𝑡|/𝐴_𝑡

𝑛

(2.43) RMSE:

√∑(𝐴_𝑡− 𝐹_𝑡)² 𝑛

(2.44)

donde 𝐴_𝑡 es el valor actual en el periodo 𝑡, 𝐹_𝑡 es el valor de pronóstico en el periodo 𝑡 y 𝑛 el número de periodos usados en la estimación. Para el indicador MAPE, valores iguales o por debajo de 10% determinan un rendimiento de pronóstico altamente preciso (Tsui et al., 2014). De acuerdo con Chen et al. (2009) entre menor sea el MAPE, mejor serán los pronósticos, así, si se obtienen valores entre 10%-20% el pronóstico se considera como bueno y si es menor al 10% los pronósticos serán de alta precisión. En cuanto al RMSE, también se busca el modelo que contenga el menor valor.

(36)

3. Datos

Para la realización de esta investigación, se toma la base de datos de Origen-Destino de la Aeronáutica Civil de Colombia que contiene información mensual del tráfico aéreo en Colombia para el periodo 1994-2019. A partir de allí, se construyen las series mensuales de pasajeros aéreos a bordo de tráfico nacional, internacional y total movilizados, ya sea de entrada y salida, en cada uno de los aeropuertos de Colombia entre enero de 1994 a diciembre de 2019. La serie de pasajeros aéreos nacionales corresponde a operaciones entre dos ciudades cuyo origen y destino se encuentra dentro del país; la serie de pasajeros internacionales considera los vuelos entre dos ciudades, una de ellas en Colombia y la otra en el extranjero, por su parte, la serie de pasajeros totales cuenta la suma de pasajeros de tráfico nacional e internacional. Además, es relevante mencionar que i) se acota el periodo de enero de 1991 a diciembre de 2017 en las series correspondientes como periodo de entrenamiento sobre el cual se ajuste cada uno de los modelos descritos en la metodología, mientras que los dos últimos años de los datos se utilizan para la evaluación del rendimiento de los pronósticos y ii) las series temporales son transformadas en logaritmo natural sobre las cuales se aplican los procesos de estimación.

Por otro lado, la serie de tiempo del PIB fue construida con la base de datos de 1975 del DNP y las bases de datos de 1994, 2005 y 2015, empalmada a precios constantes de 2015, desagregados en datos mensuales con el método Denton¹⁹ y Chow y Lin²⁰ y desestacionalizada para la aplicación de la metodología ARIMA con el método X-13 ARIMA-SEATS²¹. El Índice de Producción Industrial, requerido para aplicar el método