Lección 10: Circuitos de Corriente Alterna (A.C.)

Lección 10: Circuitos de Corriente Alterna (A.C.)

 Introducción. Características de la corriente alterna.

 Diagrama fasorial.

 Comportamiento de los dipolos básicos (resistencia, autoinducción, condensador) ante una A.C.

 Circuito RLC serie. Impedancia y desfase.

 Resonancia. Filtros.

Cataratas Niágara del

Nikola Tesla 1856-1943

 Período T = 2π/ω (s)

 Frecuencia f = 1/T (Hz)

 Frecuencia angular (pulsación) w = 2πf (rad/s)

 Fase wt+ϕ

 Fase inicial ϕ (grados o radianes) (fase en t=0)

 Amplitud=Voltaje máximo U_m (V)

 es el valor eficaz. Es el valor que miden los voltímetros en A.C.

ω t T

ϕ

U

u(t) = U

cos(ωt + ϕ)

f Europa: 50 Hz

f América del Norte: 60 Hz

Características de una corriente alterna senoidal

2

rms m

U = U

 Para simplificar el análisis de los circuitos de A.C se puede utilizar una representación gráfica de las funciones senoidales llamado diagrama fasorial.

 Un fasor es un vector cuyo módulo (longitud) es proporcional a la amplitud de la función senoidal a la que representa.

 El vector gira en sentido antihorario a una velocidad angular ω. El ángulo formado con el eje horizontal es la fase (ωt+φ).

 Entonces, dependiendo de si estamos trabajando con la función seno o con la función coseno, esta función queda representada por la proyección vertical o por la proyección horizontal del vector giratorio.

ω t T

ϕ

U

u(t) = U_m cos(ωt + ϕ) u(t)

Diagrama fasorial

U

U_m ωt+φ ω

: cos( )

Pr : sin( )

m m

Horizontal U t oyecciones

Vertical U t ω φ ω φ

 +

 +



 Como la posición del fasor es diferente para cualquier instante considerado, la representación gráfica se hace en el instante t=0, por lo que la fase inicial φ es el ángulo entre el vector y el eje horizontal. Así, el fasor es un único vector (no cambia en el tiempo) para una función dada:

ω t T

ϕ

U

u(t) = U_m cos(ωt + ϕ) u(t)

U

U_mφ

Diagrama fasorial

Diagrama fasorial

ω t

ϕ_u =0

u(t) = U

cos(ωt + ϕ

)

u(t)

Fase inicial. Ejemplos.

ω t

u(t)

ϕ_u=90º (π/2 rad)

ω t

u(t)

ϕ_u=-90º (-π/2 rad)

ω t

u(t)

ϕ_u=-45º (-π/4 rad)

U U

U U

u(t) = U

cos(ωt + ϕ

) i(t) = I

cos(ωt+ϕ

)

ϕ

ω t

i

u

ϕ

ϕ

ϕ = −

Desfase entre dos ondas (voltaje e intensidad)

El desfase se define como

ϕ

=0 ϕ

<0 ϕ < 0

Voltaje u(t) va retrasado respecto de la intensidad i(t) Intensidad i(t) va adelantada respecto del voltaje u(t)

Para poder compararse, ambas funciones deben ser seno o coseno,

con la misma frecuencia angular

φ_u

U

Diagrama fasorial

I

ϕ

ω t

i

u

ϕ

ϕ

ϕ = −

ϕ

=0 ϕ

>0

0

ϕ >

ϕ

ω t

ϕ

<0 ϕ

=0

0

ϕ >

φ =φ_u

U

I

φ =φ_i

U

I

Desfase entre dos ondas (voltaje e intensidad)

Comportamiento de los dipolos básicos. Resistencia Resistencia

ωt

i u

u(t) = R i(t) = RI

cosωt = U

cosωt i(t) = I

cosωt

i(t) R u(t)

U

= R I

ϕ = 0

Tipler, capítulo 29.1

u

= iR

U

I

i(t) = I

cosωt

i(t) L u(t)

U

= L ω _I

ϕ = π/2

Tipler, capítulo 29.1

Autoinducción

ωt

i u

X

= Lω Reactancia inductiva (Ω)

U

I

L

= di(t) u L dt

m m m

di(t)

u(t) L L I sen t L I cos( t ) U cos( t ) dt

π π

ω ω ω ω ω

= = − = + = +

2 2

Comportamiento de los dipolos básicos. Autoinducción

i(t) C u(t)

φ = - π/2

Tipler, capítulo 29.1

Condensador

ωt

i u

u(t) = U

cosωt

X

= 1/Cω Reactancia capacitiva (Ω)

Cu q =

I U

m m m

dq(t) Cdu(t)

i(t) CU sen t CU cos( t ) I cos( t )

dt dt

π π

ω ω ω ω ω

= = = − = + = +

2 2

m

I

U ⁼ C ω

Comportamiento de los dipolos básicos. Condensador

d(u )

i(t) C

= dt

R

L

C

) cos(

m

L

I Lw wt

u = + ϕ

) cos(

m

R

I R wt

u = + ϕ

)

cos(

C m

wt

Cw

u = I + ϕ

 



+

=

=

π2

ϕ

mL

X I U

 



=

=

ϕ 0

mR

R I U

 



−

=

=

π2

ϕ

mC

X I U

Voltaje e intensidad van en fase

Voltaje va 90º delante de la intensidad

Voltaje va 90º detrás de la intensidad

Comportamiento de los dipolos básicos. Resumen

L

R C

u _L

u _R u _C

i(t)= I _m cos (wt)

u(t) = u _L (t)+ u _R (t)+ u _C (t)= U _m cos (wt+ ϕ )

 Sea un circuito con resistencia, autoinducción y condensador en serie.

Si circula una intensidad senoidal i(t)=I_mcos(wt) por esos dipolos, el voltaje en los terminales del circuito será la suma del voltaje en cada elemento:

Circuito RLC serie. Impedancia del dipolo

u(t)

La suma de funciones senoidales es otra función senoidal

U

cos (wt+ ϕ ) = LwIm cos (wt + π /2)+RIm cos (wt)+(1/Cw)Im cos (wt - π _/2)

U_L

I U_R

U_C

U_L-U_C

I U_R

U

ϕ

(Lω-1/Cω) I_m

RI_m

ϕ

Z X

R X

X I R

U Lw Cw

R I U Cw I

Lw RI

U _{L C}

m m m

m m

m

m² =( )² +(( − 1 ) )² ⇒ = ( ² +( − 1 )² ⇒ = ² +( − )² = ² + ² =

ϕ

ϕ tg

R X R

X X RCw

tg Lw ^L − ^C = =

− =

=

1 Z es la Impedancia del dipole (Ω)

ϕ es el desfase del dipolo

Z y ϕ no sólo dependen de R, L y C, sino también de la frecuencia de la corriente aplicada.

ϕ varía entre - ^π₂ y ^π₂ U = U_L + UR + U_C

Circuito RLC serie. Impedancia del dipolo

R

Z X

ϕ

X<0 (ϕ<0) R

Z ϕ X

Triángulo de impedancias.

 Todas las ecuaciones de un dipolo RLC pueden resumirse en el Triángulo de impedancias del dipolo para una frecuencia dada:

2 2

2

2 1 R X

Lw Cw R

Z = ( + ( − ) = +

R X R

X X

RCw

tg Lw ^L − ^C =

− =

=

1 ϕ

X=X

-X

=Lw-1/Cw

Reactancia del dipolo

X>0 (ϕ>0)

2

2

( 1 )

( R Lw Cw

I Z U

m

m

= + −

=

Circuito RLC serie. Resonancia

Representando Z frente a la frecuencia

Z v.s. freq

0 100 200 300 400 500 600

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

frequency (Hz)

Z (Ohm)

Ejemplo tomando: R = 80 Ω L = 100 mH C = 20 μF

Resonancia: f₀=707 Hz Z=80 Ω

En resonancia, la impedancia del circuito es mínima, y la amplitud de la intensidad alcanza un máximo ^(para

un voltaje dado). Intensidad y voltaje en los terminales del circuito RLC van en fase.

Hay una frecuencia para la cual X_L=X_C donde la impedancia alcanza un mínimo (Z=R).

Esta frecuencia se llama Frecuencia de resonancia (f₀) y puede calcularse fácilmente:

f LC LC

L C 1

2 1 1

1 0 0

0

0 ω π

ω = ω ⇒ = ⇒ =

Circuito RLC serie como filtro pasabanda

C u(t) R

L

uR(t)

Input Output ^{22 mmmRouput} ₎

C L 1

( R

RU Z

RU RI

U U

ω− ω +

=

=

=

=

2 m 2

R input

output

C ) L 1

( R

R U

U U

U

ω− ω +

=

=

2 1 U

U

2 1 f, m f

R =

Banda pasante [f₁, f₂]

Q 1 L

= R C El circuito de sintonía de

una radio es un filtro pasabanda

Input Output

1

1 2

L m f

U

U =

Banda pasante [f₁,

∞

Q 1 L

= R C

2 ( 1 )2

m m

ouput L m

U L U

U U L I L

Z R L

C ω ω ω

ω ω

= = = =

+ −

2 ( 1 )2

ouput L

input m

U U L

U U

R L

C ω

ω ω

= =

+ −

Circuito RLC serie como filtro pasaalta

Input Output

1

1 2

C m f

U

U =

Banda pasante [

∞

Q 1 L

=R C

2 2

1 1

( 1 )

m m

ouput C m

U U

U U I

C C Z

C R L

C

ω ω

ω ω

ω

= = = =

+ −

2 2

1

( 1 )

ouput C

input m

U U

U U

C R L

ω ω C

ω

= =

+ −

Circuito RLC serie como filtro pasabaja