Sistema de los números reales
Inecuaciones o Desigualdades
b
b a
b a
Inecuaciones o Desigualdades
Podemos interpretar:
1era recta a = b
2da recta a> b
3era recta a < b a
0
0
Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas, que contiene uno de los signos o símbolos “<“ o “>”.
Es una “desigualdad” que se cumple en un intervalo finito o infinito de valores de la incógnita o incógnitas que intervienen:
Inecuaciones o Desigualdades
x < 2 ( -oo , 2 )
x ≥ - 4 [ - 4 , +oo )
-∞ 0 2
-4 0
+∞
Signo: Se lee:
x < - 3 x es siempre MENOR que - 3 x ≤ 5 x es MENOR o IGUAL que 5 x > 7 x es siempre MAYOR que 7 x ≥ - 2 x es MAYOR o IGUAL que - 2
Inecuaciones o Desigualdades
CASOS QUE PUEDEN DARSE CON INECUACIONES Y RESOLUCIÓN
1. INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Se despeja la incógnita y se interpreta la solución.
Admite representación gráfica.
2. INECUACIONES POLINÓMICAS (CUADRÁTICAS, CÚBICAS, ETC) Se factoriza y mediante la regla de los signos se deduce la solución.
Admite representación y resolución gráfica.
3. INECUACIONES RACIONALES
Se factoriza y mediante la regla de los signos se deduce la solución, donde los ceros del denominador no pueden formar parte de la misma.
Admite representación y resolución gráfica.
4. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Se despeja una incógnita, generalmente la “y” y se resuelve gráficamente.
La gráfica es una línea recta, continua o discontinua. No tiene solución analítica
5. INECUACIONES NO LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Se despeja una incógnita, generalmente la “y” y se resuelve gráficamente.
La gráfica es una parábola, hipérbola, etc, continua o discontinua. No tiene solución analítica
SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN EN FORMA NUMÉRICA
Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas, tales que al sustituirlos en la inecuación la desigualdad sea cierta.
Ejemplos:
x > 4 x = 5 es solución; también x = 6, x = 7, etc x2 – 4 < 0 x = 1 es solución; también x = - 1 , x = 0, etc
EQUIVALENCIA DE INECUACIONES
Dos o más inecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.
Ejemplos:
x > 4 y x – 4 > 0 son inecuaciones equivalentes.
x2 – 4 < 0 y (x + 2).(x – 2) < 0 son equivalentes.
Solución de intervalos
• 2 + x ≥ 4 x ≥ 4 – 2 x ≥ 2 Solución = [ 2, + oo )
Como x puede valer 2, se empleará intervalos semicerrados.
En la gráfica, la inclusión del 2 se representa por un punto sólido.
• 2x < x -5 2x – x < - 5 x < - 5 Solución = ( - oo, - 5 )
Como x no puede valer - 5, se empleará intervalos abiertos.
En la gráfica, la exclusión del - 5 se representa por un punto hueco.
2 R
- 5
R
Solución de base a funciones
Se grafica cada expresión como una función:
2 + x ≥ 4 x ≥ 2
Y1 = 2 + x Y2 = 4
X Y1
0 2 (0,2)
4 6 (4,6)
8 10 (8,10)
12 14 (12,14)
https://www.geogebra.org/graphing
PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA
• Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número real negativo, resulta una inecuación equivalente a la dada, pero con el signo de desigualdad contrario al de la inecuación original.
Si -2x > 8 (-1) (-2x) > (8) (-1) 2x < -8 x < -8/2 x < -4
• Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la dada.
Si x – 3 > 1 x – 3 + 3 > 1 + 3 x > 4
• Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un número real positivo, resulta una inecuación equivalente a la dada.
Si x / 3 < 5 (3) (x / 3) < (3) (5) x < 15
12 3 6
2 x
6 3 12
2 x
3 18
2 x
2 18 3 3
2 2
3 x
2
54 x
27 x
ón Comprobaci
30 6 123
2
12 3 6
60
12 6
20 12
14 Cumple
24 8
4
x
8 24
4
x
16 4
x
4 16 4
4
x
4
x
24 8
) 5 (
4
24 8
20 24 28
ón Comprobaci
Cumple
Ejercicios en clase
Sean las inecuaciones:
2 + x ≥ 4 2x ≤ x – 5 x > x + 2 3x ≥ 5x + 8
Se requiere solución en intervalos y funciones.
Inecuaciones racionales
Una inecuación RACIONAL es la que tiene la forma:
P(x)
--- ≤ 0 , ( también pueden llevar el signo ≥, > o <) Q(x)
Inecuaciones racionales
1. Siendo Q(x) <> 0 siempre.
2. Para resolverlas se FACTORIZAN los polinomios P(x) y Q(x), a semejanza de las inecuaciones cuadráticas y polinómicas.
3. Y finalmente se aplica la Regla de los signos.
4. Hay que tener presente que los ceros o raíces de Q(x) no pueden formar parte de la solución de la inecuación.
5. La solución será un intervalo abierto o cerrado.
1.- Factorizar
2.- Encontrar los puntos críticos 3.- Graficar
4.- Resolver
x 2 - 5x + 6 > 0
Ejercicios en clase
(-∞ , 2)∪(3 , ∞)
BIBIOGRAFÍA
Calculo. Edwin J. Purcell, Dale Varberg, Steven E. Rigdon. Pearson, 2007, 9na Edición
Calculo 1 de una variable. Ron Larson, Bruce H. Edwards. McGrawHill, 2010, 9na Edición.
Aplicaciones de la Derivada en economía y Administración- Marco Jara Riofrio MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA. ARYA, JAGDISH C.;
LARDNER, ROBIN W.
Cálculo. HAEUSSLER JR., ERNEST F.; PAUL, RICHARD S.
http://biblio.ecotec.edu.ec/login
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