UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN
V IC E R R E C T O R A D O DE IN V E S T IG A C IÓ N
FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES Y FINANCIERAS
INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN TITULADO:
PRONÓSTICO DE DEMANDA UTILIZANDO LA
METODOLOGÍA DE BOX-JENKINS
RESOLUCIÓN DE CONSEJO DE FACULTAD N° 950-CF-2016-FCJE/UNJBG
INFORME FINAL
P R E S E N T A D O P O R
V IC T O R E C H E G A R A Y M U N E N A K A
15 de abril del 2017
Contenido
r e s u m e n...
INTRODUCCIÓN...
CAPÍTULO 1...5
PLANTEAMIENTO METODOLÓGICO... 5
1.1. DESCRIPCIÓN DE LA REALIDAD PROBLEMÁTICA... 5
1.2. DELIMITACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN... 5
1.. 3. PROBLEMAS DE INVESTIGA CIÓN...6
1.4. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN... 6
1.5. VARIABLES... 6
1.6. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN... 7
CAPÍTULO II... 8
MARCO TE Ó R IC O ... 8
2.1. ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN... 8
2.2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS...9
2.3. MARCO CONCEPTUAL...11
CAPÍTULO III... 13
FUNDAMENTOS DE LA METODOLOGÍA DE BOX JENKINS... 13
3.1. OBJETIVO DEL ANÁLISIS DE UNA SERIE DE TIE M P O ... 14
3.2. PROCESOS ESTACIONARIOS... 15
3.3. PROCESO DE RUIDO BLANCO... 16
3.4. EXPLORACIÓN DE PATRONES DE DATOS MEDIANTE ANÁLISIS DE AUTOCORRELACIÓN... 16
3.5. OPERADORES UTILIZADOS PARA OBTENER SERIES ESTACIONARIAS 22
APLICACIÓN DE LA METODOLOGIA PROPUESTA PARA EL PRONOSTICO DE LAS VENTAS DE AGRICOLA PAREDES... 36
DISC USIÓ N... 47
RESUMEN
En el presente trabajo se realiza un análisis de la capacidad predictiva de uno de los métodos muy utilizados en el ámbito de los pronósticos y la econometría, los modelos ARIMA, que utilizan la metodología de Box- Jenkins, llevándose a cabo un caso práctico a partir de una serie con estacionalidad.
Después de revisar la literatura existente relativa a la utilización de las series de tiempo para realizar pronósticos de negocios, se expuso los fundamentos teóricos de las series temporales y la metodología de Box-Jenkins, se aplicó
Los hallazgos encontrados nos muestran que el modelo ARIMA reduce el error de la estimación, para el modelo ARIMA se encontró un RMSE igual a 62.0227, mientras que para el modelo de Holt-Winters el RMSE fue 72.4568.
La prueba t de Student para probar la significancia de los parámetros del modelo ARIMA muestran valores de P menores que 0.05, lo que indica que los coeficientes del modelo son distintos de cero:
ABSTRACT
ln the present work there is realized an analysis of the predictive capacity of one of the methods used in the field of econometrics and the forecasts, ARIMA models, which used the Box - Jenkins methodology, carried out a case study from a series with seasonality.
After reviewing the existing literature on the use of time series for forecasting business, discussed the theoretical foundations of time series and the Box- Jenkins methodology, applied these results to predict sales of olive in a company of the city of Tacna, the series used is "monthly sales in thousands of boxes of packaged in víais table olives for the 2012-2016 period, was used as the validity period the year 2016.
According to the pattem of the data and following Box-Jenkins's methodology two models were evaluated:
• ARIMA (0,0,2) x (2,1,2)12
• Winteris exponential Suavizamiento with alpha 0.237, beta 0.1613 and gamma 0.414168
Found finds show us that the ARIMA model reduces the error of the estimation, for model ARIMA found an RMSE equal to 62.0227, while for the Holt-Winters model the RMSE was 72.4568.
Student t test to test the significance of the parameters of the model ARIMA shows valúes lower than 0.05 P, indicating that the model coefficients are non- zero
INTRODUCCIÓN
Hacer previsiones supone realizar la mejor apreciación posible de algún suceso futuro. En el mundo de los negocios actual sujeto a continuos cambios, esas apreciaciones pueden marcar la diferencia entre el “éxito” y el “fracaso”.
Las decisiones comerciales dependen casi siempre de alguna previsión realizada sobre el curso de los acontecimientos, los directores de comercialización utilizan previsiones de demanda al elaborar sus prepuestos promocionales.
En este contexto El pronóstico de la demanda desempeña un rol fundamental en el planeamiento empresarial, se hace necesario tener una metodología para poder realizar pronósticos precisos y confiables.
Los modelos Autorregresivos integrados de medias móviles conocidos como ARIMA se pueden utilizar para modelar un proceso estocástico {X(t)}, proporcionando pronósticos con un margen de error determinado y un cierto nivel de confianza. Box y Jenkins propusieron una metodología para evaluar la aplicación de los modelos ARIMA.
La presente investigación que pongo a consideración busca contribuir con el desarrollo de la capacidad de análisis y razonamiento que conduzcan a mejorar los fundamentos de los pronósticos en el área de los negocios.
Se desarrollará la metodología de Box-Jenkins, utilizada para evaluar los modelos ARIMA, con el propósito fundamental de brindar conocimientos y habilidades de pronósticos aplicados a los negocios.
CAPÍTULO I
PLANTEAMIENTO METODOLÓGICO
1.1. DESCRIPCIÓN DE LA REALIDAD PROBLEMÁTICA
Las decisiones comerciales dependen casi siempre de alguna previsión realizada en el curso de los acontecimientos, los directores de comercialización utilizan pronósticos de demanda al elaborar sus presupuestos promocionales.
Hacer pronósticos supone realizar la mejor apreciación posible de algún suceso futuro, en el mundo de los negocios actual sujeto a continuos cambios, esas apreciaciones pueden marcar la diferencia entre el “éxito” y el “fracaso”.
En este contexto el pronóstico de demanda desempeña un rol, fundamental en el planeamiento empresarial, se hace necesario tener una metodología para realizar pronósticos precisos y confiables.
Los modelos Autorregresivos Integrados de Medias Móviles conocidos como ARIMA se pueden utilizar para modelar un proceso estocástico {X(t)}, proporcionando pronósticos con un margen de error y un cierto nivel confianza.
George E.P. Box y Gwilym M. Jenkins (1970) propusieron una metodología para evaluar la aplicación de los modelos ARIMA.
1.2. DELIMITACION DE LA INVESTIGACIÓN
1.2.1. DELIMITACIÓN ESPACIAL
1.2.2. DELIMITACIÓN SOCIAL
Favorece al ámbito académico universitario específicamente a los estudiantes de las escuelas que integran la Facultad de Ciencias Jurídicas y Empresariales de la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann de Tacna.
1..3. PROBLEMAS DE INVESTIGACIÓN
1.3.1. PROBLEMA PRINCIPAL
La investigación se puede formular mediante la siguiente interrogante general:
¿Es posible aplicar la metodología de Box Jenkins para
realizar pronósticos de demanda de los negocios?
1.4. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
1.4.1. OBJETIVO GENERAL:
Presentar la metodología de Box Jenkins para evaluar la aplicación de los modelos ARIMA en el campo de las ciencias empresariales.
1.4.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS:
a) Utilizar un software estadístico en particular Statgraphics Centurión XVII para realizar pronósticos.
b) Aplicar metodología de Box Jenkins a un caso práctico en el área de los negocios
1.5. VARIABLES
1.5.1. Demanda
La demanda es la cantidad de bienes y/o servicios que los compradores o
1.5.2. Metodología de Box Jenkins
La metodología Box-Jenkins se refiere a una serie de procedimientos
para identificar, ajustar y verificar los modelos Auto Regresivos (AR(p)) Integrados de Promedios Móviles (MA(q)), más conocido por sus siglas en inglés ARIMA, con los datos de serie de tiempo. Los pronósticos proceden directamente de la forma del modelo ajustado, y es distinta de la mayoría de los métodos debido a que no supone un patrón particular en los datos históricos de las series que se quieren pronosticar.
1.6. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
1.6.1. TIPO Y NIVEL DE INVESTIGACIÓN
a) TIPO DE INVESTIGACIÓN: Básica
Básica porque La finalidad de la presente investigación es generar y/o ampliar conocimientos sobre un tema específico en particular la metodología de Box Jenkins lo que servirá para futuros trabajos de investigación de tipo aplicativo (Zorrilla 2007)
b) NIVEL DE INVESTIGACIÓN: Descriptiva
Descriptiva, porque se refiere a las características o atributos de las variables de estudio
Se describirá la metodología de Box Jenkins, así como la demanda.
c) DISEÑO DE INVESTIGACIÓN
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN
Las decisiones comerciales dependen casi siempre de alguna previsión realizada en el curso de los acontecimientos, los directores de comercialización utilizan pronósticos de demanda al elaborar sus presupuestos promocionales.
Los datos obtenidos a partir de observaciones repetidas de un fenómeno a lo largo del tiempo son muy comunes en muchas áreas de las ciencias basado en descomposición en bandas de frecuencia denominado análisis espectral y un enfoque basado en el modelado de la varianza mediante la estructura ARIMA.
El análisis espectral es el análisis en el dominio de las frecuencias, mientras que el modelado de la varianza hace un análisis en el dominio del tiempo.
Los modelos ARIMA son preferidos en las ciencias sociales por potencia y facilidad de uso, mientras que el análisis espectral es preferido en las ciencias físicas, porque permiten describir con mayor precisión las funciones matemáticas asociados a los datos de carácter temporal.
Diseño descriptivo de series de tiempo
Es el diseño básico, trata de descomponer la varianza de la serie temporal en componentes determinísticos y estocásticos, previamente a la formulación de hipótesis causales. El desarrollo de este diseño se muestra en el clásico trabajo de Box y Jenkins (1970).
Diseño de series temporales interrumpidas
Es considerado como un diseño cuasi experimental por Cook y Campbell (1979), persigue contrastar los niveles de pre y post intervención de una serie temporal para determinar si un tratamiento ha tenido un impacto en la variación de la variable que representa la serie.
Diseño de series temporales concomitantes
Una extensión directa del diseño de series temporales interrumpidas sugiere un análisis comparativo de la covarianza, para determinar si la variación se debe a una relación causa efecto
Este tipo de diseño se estudia en el trabajo de Cook, Dinzer y Mark (1980).
2.2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS.
El análisis de series temporales constituye un conjunto de procedimientos estadísticos para construir un modelo del proceso estocástico que genero la serie temporal observada.
El análisis de series de tiempo sigue un esquema ligeramente modificado del esquema clásico de composición de la varianza modelo lineal general.
DATO = COMPONENTE DETERMINÍSTICO + COMPONENTE ALEATORIO
En los modelos de series temporales el esquema básico sigue el teorema de descomposición de Wold (1938), y puede representarse así:
El teorema establece que un proceso temporal puede ser modelado como una suma de dos procesos independientes, uno puramente determinístico y otro no determinístico llamado estocástico o probabilístico.
El objeto del análisis consiste en eliminar de los datos originales todos los componentes determinísticos y estocásticos hasta reducir la variación a un componente estrictamente aleatorio llamado ruido blanco.
Análisis de seríes de tiempo
Este análisis constituye una clase especial e importante de análisis de regresión no lineal. Lo que tiene de especial es que la variable exógena es también la variable endógena. En otras palabras, lo que antes llamábamos autocorrelación y tratábamos como un problema a evitar, aquí se analiza como la fuente de una señal informativa.
El método deriva del control de las variaciones en los resultados. Las variaciones en el tiempo son totalmente aleatorias y se llaman "ruido blanco", que no puede explicarse ni controlarse. En cuanto aparece un patrón reconocible, la serie de tiempo deja de ser un ruido blanco.
La extensión del análisis de las series de tiempo en la física y las ciencias sociales se debe principalmente a G.E.P. Box y G.M. Jenkins.
Jiménez J., Gázquez J. y Sánchez R. (2005) realizaron un estudio para ver la capacidad predictiva de los métodos de Winters para predecir “el número de viajeros alojados en los establecimientos hoteleros de la provincia de Almería España”, donde concluyen que los modelos ARIMA producen mejores resultados que los procedimientos clásicos de descomposición.
Ráez L. (2012) en su tesis de maestría de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, presenta una metodología para la medición de la atención de una central telefónica usando Box-Jenkins.
2.3. MARCO CONCEPTUAL.
DEMANDA.
-Se entiende por demanda de un producto la cantidad física o monetaria vendida en un lugar y periodos dados.
PRONOSTICO DE DEMANDA.
-Un pronóstico de demanda puede ser definido como una estimación de la demanda de un producto que una empresa espera alcanzar durante un periodo futuro, en una localidad específica, bajo ciertos supuestos económicos y condiciones de mercado
SERIE DE TIEMPO
-Una serie de tiempo es un conjunto de valores observados durante una serie de períodos temporales secuencialmente ordenada, tales períodos pueden ser semanales, mensuales, trimestrales o anuales
TENDENCIA.
VARIACIÓN ESTACIONAL.
-El componente de la serie de tiempo que representa la variabilidad en los datos debida a influencias de las estaciones, se llama componente estacional. Esta variación corresponde a los movimientos de la serie que recurren año tras año en los mismos meses (o en los mismos trimestres) del año poco más o menos con la misma intensidad.
VARIACIÓN CÍCLICA.
-Con frecuencia las series de tiempo presentan secuencias alternas de puntos abajo y arriba de la línea de tendencia que duran más de un año, esta variación se mantiene después de que se han eliminado las variaciones o tendencias estacional e irregular.
MODELOS ARIMA.
CAPÍTULO III
FUNDAMENTOS DE LA METODOLOGÍA DE BOX JENKINS
La metodología de Box Jenkins es un procedimiento de análisis estadístico utilizado para modelar un proceso estacionario que es una serie de tiempo que satisface ciertos requisitos.
El análisis de series temporales estudia cómo construir un modelo para explicar la estructura y prever la evolución de una serie.
Matemáticamente un modelo de serie de tiempo puede expresarse como:
X t = f(t)
Donde:
X t = es el valor de la serie en el instante t
t = es el tiempo
gráficamente se representa a la serie de tiempo en un sistema de coordenadas cartesianas en el eje de las abscisas se representa al tiempo, en el eje de las ordenadas a la serie de tiempo
3.1. OBJETIVO DEL ANÁLISIS DE UNA SERIE DE TIEMPO
1. Modelación.
Se desea obtener un modelo adecuado a partir de una serie de datos ( t , xt) Una serie de tiempo puede ser modelada como:
X t = D t + Ot
Donde:
D t: es la parte determinística del modelo
a t : es la parte aleatoria del modelo
2 . Predicción.
La predicción llamado también pronóstico es el valor estimado por el modelo establecido.
X t estimado = D t
El error de predicción es la diferencia entre el valor real y el valor estimado.
= X t - X t estimado
3.2.
PROCESOS ESTACIONARIOS
El marco teórico del análisis de series temporales es el de los procesos estocásticos.
Un proceso estocástico se define como una sucesión de variables { X t}, t= 1,2 ,
... . n, ordenadas en el tiempo.
Una serie temporal puede ser considerada como una realización o trayectoria de un proceso estocástico.
Es decir, el valor observado de la serie en el instante t puede ser considerada como una muestra aleatoria de tamaño uno de la variable X t del proceso
estocástico definida en dicho instante.
Un proceso estocástico {Xt} t et es estacionario si
1. La media de X t es constante
E[Xt] = p
2 . La varianza de X t es constante
V[Xt] = (72
3 . La correlación entre X t y X t - k depende únicamente del número de
retardos que las separan.
3.3. PROCESO DE RUIDO BLANCO
Un proceso estacionario { ¿lt} es un ruido blanco si:
1. E[¿t] = 0
2.
V[¿t] = a2
3. r k = 0
4. (X\ ** N(0, a)
3.4. EXPLORACIÓN DE PATRONES DE DATOS MEDIANTE ANÁLISIS DE AUTOCORRELACIÓN
Antes de establecer el modelo adecuado para estudiar una serie de tiempo es necesario es necesario identificar sus componentes identificando el patrón de los datos, esto se puede hacer gráficamente y de manera analítica.
La identificación del patrón de los datos se puede hacer utilizando el concepto de autocorrelación.
Autocorrelación
La autocorrelación es la correlación entre una variable desfasada uno o más períodos y la misma variable.
rk = Cov (Xt, Xt- k)/V(Xt)
Función de autocorrelación
Autocorrelación Parcial
La autocorrelación parcial es la correlación entre variables separadas por k retardos eliminando el efecto de las k - 1 variables intermedias.
Correlograma
Al gráfico de la función de autocorrelación se le denomina correlograma y se obtiene sólo para k > 0.
Fig. 01.- Autocorrelaciones para las ventas de Alicorp
Con el correlograma se pueden estudiar los patrones de una serie de tiempo { Xt }
Patrón de Tendencia
Si una serie tiene tendencia X t y X t - i están altamente correlacionadas, es
típico que los coeficientes de correlación sean diferentes de cero para varios de los primeros desfasamientos, siendo n cercana a uno.
Fig. 02.- Autocorrelaciones para las ventas de IBM
Patrón Estacional
Si una serie presenta un factor estacional, el gráfico de autocorrelaciones muestra el siguiente patrón.
• La autocorrelación de orden 4 fuera de la franja de confianza si la serie es trimestral y presenta factor estacional de período 4.
• La autocorrelación de orden 12 fuera de la franja de confianza si la serie es mensual y presenta factor estacional de período 12.
Fig. 04.- Autocorrelaciones para ventas mensuales de bubbly
Serie Aleatoria
Si una serie presenta un comportamiento aleatorio, las correlaciones entre Xt y Xt - 1 es cercana a cero y los valores sucesivos no guardan relación entre sí.
El correlograma de un proceso aleatorio muestra que las autocorrelaciones se mueven alrededor del cero.
Serie Estacionaria
Una serie de tiempo { Xt } es estacionaria si no presenta tendencia, esto es cuyo valor promedio no cambia a través del tiempo.
Las dos primeras autocorrelaciones r i y rX pueden estar fuera de la franja de confianza, el resto r 3 y las demás deben estar dentro de la franja de confianza.
i -1
o.«
-retraso
Fig. 05.- Autocorrelaciones para D if IBM
Antes de abordar cualquier estudio analítico de una serie de tiempo se debe representar gráficamente y observar detenidamente su aspecto evolutivo a través del tiempo con el objetivo de identificar el patrón de los datos.
Dada una serie de tiempo { Xt} hay dos componentes teóricos que debemos identificar:
1. Tendencia 2. Estacionalidad
3.5. OPERADORES UTILIZADOS PARA OBTENER SERIES ESTACIONARIAS
Muchos de los modelos utilizados requieren que las series sean estacionarias.
Las series no estacionarias pueden transformarse en estacionarias mediante un proceso de diferenciación
A continuación, se definen algunos operadores
O p e ra d o r de re tro ce so n o e sta cio n a l (B)
B Xt = Xt-1 Bm Xt = Xt-m
O p e ra d o r de re tro ce so e sta cio n a l (Bs)
Bs Xt = Xt-s BmS Xt = Xt-ms
Donde S representa el período estacional
O p e ra d o r de d ife re n c ia n o e sta cio n a l (V)
V Xt = (1 - B) Xt = X t - Xt - i
Vd Xt = (1 - B)d Xt
V2 Xt = (1 - B)2 Xt = Xt - 2Xm + Xt -2
O p e ra d o r de d ife re n c ia e sta cio n a l (Vs)
VsXt = (1 — Bs)Xt = Xt - Xt-s
Vs D Xt = (1 — Bs) D Xt
d: es el g rad o d e diferenciació n no estacional
3.6. PROCESOS INTEGRADOS
Muchos de las series de tiempo que observamos no son estacionarias y su nivel medio cambia con el tiempo.
Es frecuente que al diferenciar una serie no estacionaria esta se convierta en estacionaria.
Wt = Xt-Xti
Proceso de p r im e r a d ife re n c ia
Wt= V X t = (1 - B ) Xt = X t - X t - i
Proceso de segunda d ife re n c ia
3.7. MEDICIÓN DEL ERROR DE PRONÓSTICO Sea et el error de pronóstico definido como:
© t — X t - X (t estimado)
Para evaluar un modelo utilizaremos
• M edidas de d isp e rsió n
1. Raíz cuadrada del error medio: RMSE. 2. Error absoluto medio: MAE.
3. Error absoluto medio porcentual: MAPE.
Se busca el modelo que tenga los valores más pequeños
• M edidas de p ro m e d io
1. Error medio: ME.
2. Error medio porcentual: MPE
Se busca un modelo que tenga un valor cercano a cero.
Los errores se deben comportar como un ruido blanco y deben satisfacer las siguientes hipótesis:
1. Los errores son aleatorios.
2. Los errores no están autocorrelacionados. 3. La media es constante.
4. La varianza es constante.
Para probar estas hipótesis se hará uso de los siguientes test.
1. ALEATORIEDAD
• RUNS: Test de rachas
• RUNM: Test de la mediana
2. AUTOCORRELACIÓN
• AUTO: Test de Box Pierce para autocorrelación
3. MEDIA
• MEDIA: Test de media constante
3.8. MODELO AUTORREGRESIVO INTEGRADO DE MEDIA MOVIL
EXPRESION GENERAL DEL MODELO ARIMA
ARIMA (p, d, q) x (P, D, Q )s
Donde
• p: representa el orden del proceso autorregresivo no estacional.
• d: es el número de diferencias utilizadas para eliminar la tendencia.
• q representa el orden del proceso de medias móviles no estacional.
• P representa el orden del proceso autorregresivo estacional. • D: es el número de diferencias utilizadas para eliminar el
factor estacional.
• Q: representa el orden del proceso de medias móviles estacional.
• S: representa el periodo del factor estacional.
El patrón de los datos determinara si se incluyen todos los componentes del modelo.
i. Patrón estacionario: d=0
MODELO AUTORREGRESIVO DE ORDEN p: AR(p)
AR(p) = ARIMA (p, O, 0) x (O, O, 0 ) 0
Diremos que {Xt} es un proceso autorregresivo AR(p) si
0
p(B)
Xt — + cDonde
0 P(B) =1 - 01B - 0 2B2 - 0 3B3 - ... - 0 PBP
Luego el proceso AR(p) puede ser modelado por el siguiente modelo lineal
Xt - 01 Xt -1 + 02 Xt - 2 + 03 Xt - 3 + ... + 0p Xt - p + a t +- c
Donde {a t\ es un proceso de ruido blanco independiente de Xt
MODELO MEDIA MOVIL DE ORDEN q: MA(q)
MA(q) = ARIMA
(O, O, q) x (O, O, 0)o
Diremos que {Xt} es un proceso Medias Móviles MA(q) si
X t — 0 q ( B ) + C
Donde
0q(B) =1 - 0iB - 02B2 - 03B3 - . . . - 0PBP
Luego el proceso MA(q) puede ser modelado por el siguiente modelo lineal
Xt =
a.t -
01 a t - i - 02 a t-2 - 03 a t - 3 - . . . - 0p a t - p +c
Donde {at} es un proceso de ruido blanco independiente de Xt
MODELO AUTORREGRESIVO DE MEDIAS MOVILES DE ORDEN ( p, q):
ARMA (p , q)
ARMA (p, q) = ARIMA (p, O, q) x (O, O, 0)o
Diremos que {Xt} es un proceso Autorregresivo de Medias Móviles ARMA (p, q) si
0p(B) Xt ~ #q(B) (Xt + c
Donde {at) es un proceso de ruido blanco independiente de Xt
Un proceso de medias móviles ARMA(q) se caracteriza porque los primeros “q” coeficientes de la función de autocorrelación simple son no nulos, el resto cero y los primeros “p” coeficientes de la función de autocorrelación parcial son no nulos y el resto cero
De lo anterior se deduce que un proceso ARMA (p, q) es una mezcla de un proceso AR(p) y un MA(q).
Luego podemos expresar el proceso ARMA (p, q) como
MODELO AUTORREGRESIVO INTEGRADO DE MEDIAS MOVILES
DE ORDEN (p, d , q): ARIM A (p , d., q)
ARIMA (p, d, q) = ARIMA (p, d, q) x (O, O, 0 )0
Diremos que {Xt} es un proceso Autorregresivo integrado de Medias Móviles ARIMA (p, d, q) si
0 P(B) Vd Xt = 0q(B) at + c
Donde {at} es un proceso de ruido blanco independiente de Xt, V es el operador diferencia y d, el orden de diferenciación.
Tomando
wt =Vd Xt
Tenemos
0 P(B) wt = 0q(B) at + c
Luego el proceso ARIMA (p, d, q) para Xt es equivalente al proceso ARMA (p, q) para wt.
La modelación se hará sobre el proceso diferenciado wt para estimar wt Considerando la función inversa de W obtendremos la serie original Xt
MODELO AUTORREGRESIVO INTEGRADO DE MEDIAS MOVILES
ESTACIONAL De PERÍODO ESTACIONAL S.
ARIMA (p, d, q) x (P, D, Q )s
Diremos que {Xt} es un proceso Autorregresivo integrado de Medias Móviles estacional de periodo S si
<t>P(B s)0 p(B) Vd Vsd Xt = e Q (Bs )0 q(B) at +■ c
Donde {at} es un proceso de ruido blanco independiente de Xt, V es el operador diferencia no estacional, Vs es el operador diferencia estacional, d es el orden de diferenciación regular y D es el orden de diferenciación estacional
Tomando
Wt =Vd Vsd Xt Tenemos
<l>p(Bi )0p(B)
w, =e
«2
(B s)Bq(B)
a t + CLuego el proceso ARIMA (p, d, q) x (P, D, Q) s para Xt es equivalente al proceso ARMA estacional para wt.
CAPÍTULO IV
El proceso de identificación del tipo de modelo ARIMA más apropiado para una determinada serie de tiempo, tiene por finalidad estimar, el grado de diferenciación necesaria para producir estacionariedad y también, determinar el orden de los polinomios AR y MA.
Para resolver la etapa de identificación recurriremos a métodos estadísticos que nos den una idea del tipo de modelo a ajustar.
4.1. F U N C IO N E S Q U E SE U S A N EN UV ID E N T IF IC A C IÓ N
En el proceso de identificación se recurre a analizar gráficamente las siguientes funciones estadísticas:
• FAS: Función de autocorrelación simple • FAP: Función de autocorrelación parcial
Estas funciones se deben analizar en conjunto, con el objeto de decidir el o los modelos a ajustar.
COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES ESTADÍSTICAS.
George E.P. Box y Gwilym M. Jenkins (1970), dos especialistas en estadística analizaron en forma teórica la FAS y la FAP.
La selección inicial de un modelo ARIMA se basa en el examen de las autocorrelaciones muéstrales, las cuales se comparan con los patrones propuestos por Box y Jenkins.
Para la identificación de los modelos ARIMA, es conveniente calcular y graficar las funciones de autocorrelación simple y parcial. A continuación, se muestran algunos patrones más usados.
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Fig.o8.- Autocorrelación sim p ley parcial de los modelos M A (i) y M A (2)
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4.2. PROCEDIMIENTO PARA LA ETAPA DE IDENTIFICACIÓN DEL MODELO
• Se gráfica la serie original para detectar el patrón de los datos en particular si presenta estacionalidad.
• Se analiza la necesidad de transformar la serie con el fin de estabilizar la varianza.
• Se gráfica la FAS de la serie transformada, si las autocorrelaciones decaen rápidamente en el rango (0, n/4), se debe diferenciar la serie en forma estacional y/o no estacional hasta lograr la estacionariedad. • Se gráfica la FAP para la serie estacionaria y de acuerdo al patrón se
propone el modelo adecuado.
4.3. FASES PARA APLICACIÓN DE LOS MODELOS ARIMA
Se propone las siguientes fases para la aplicación de los modelos ARIMA en el pronóstico de series de tiempo aplicando la metodología de Box y Jenkins.
F A S E 1- DIAGNOSTICO
Objetivo: Identificar el patrón de los datos
i. Identificar si la serie presenta • Tendencia
• Factor Estacional • Factor cíclico
FASE 2
- IDENTIFICACIÓN DEL MODELO
Objetivo: Identificar el modelo adecuado para realizar el pronóstico.
i. Etapa 1: Identificación
La identificación del modelo se basa en el examen de las autocorrelaciones simples como parciales, las cuales se comparan con los patrones propuestos por Box y Jenkins.
ii. Etapa 2: Evaluación de los modelos propuestos
La evaluación de los modelos se hará en base a los errores (residuos), estos deben comportarse como un ruido blanco y deben satisfacer las siguientes hipótesis:
1. Los errores son aleatorios.
2. Los errores no están autocorrelacionados. 3. La media es constante.
4. La varianza es constante.
5. Los errores tienen distribución normal.
Si no se verifican las hipótesis requeridas el modelo no es adecuado.
FASE 3 - REALIZACIÓN DEL PRONÓSTICO
Objetivo: utilizar el modelo propuesto para obtener los pronósticos
requeridos.
CAPÍTULO V
APLICACIÓN DE LA METODOLOGIA PROPUESTA PARA EL PRONOSTICO DE LAS VENTAS DE AGRICOLA PAREDES.
Aplicaremos los criterios anteriormente mencionados para pronosticar las ventas mensuales de una división de Agrícola Paredes dedicada a la importación de aceituna.
La información que utilizaremos consiste en las ventas mensuales en miles de cajas de aceituna de mesa envasada en frascos, para el período 2012 - 2016.
Tabla 5.1.- Ventas mensuales de aceituna en miles de cajas
periodo 2012 -2016
FASE 1: DIAGNÓSTICO
El objetivo de esta fase es identificara el patrón de la serie de datos, utilizaremos el software estadístico Statgraphics Centurión Versión 17 para obtener las gráficas y resúmenes que se muestran a continuación.
Fig. 5 .X .- V e n ta s M ensuales p e río d o 2 0 X 2 - 2 0 X6
Fig. 5 .2 . - V e n ta s M ensuales su aviza d a s
Fig. S.S .- Periodogram a para las ventas mensuales
Fig. 5.í>. - P e rio d o g ra m a In te g ra d o p a r a las v e n ta s m e n su a le s
Tabla 5.4.- Verificación de Varianza
P r u e b a V a l o r - P
ANALISIS
-En la figura 5.1 se muestra la evolución de las ventas mensuales a través del tiempo para el período 2012-2016, observando un ligero desplazamiento ascendente lo que se corrobora con la serie suavizada mostrada en la figura 5.2. y el gráfico de promedios de la figura 5.3.
Las autocorrelaciones tabla 5.2 y figura 5.4 muestran el patrón de una serie con factor estacional de período 12, lo que se confirma con el Periodograma tabla 5.3 y figura 5.5, donde se observa que el valor más alto de la ordenada corresponde al período 12.
En la tabla 5.4 se muestra la prueba de Levene para la verificación de la varianza, dado que P= 0.4661, podemos deducir que la serie presenta una varianza constante.
El Periodograma integrado figura 5.6 y el gráfico de autocorrelaciones figura 5.4 nos muestra que serie no es aleatoria presentando un patrón cíclico con movimiento ondulatorio.
Patrón de los datos:
1. Tendencia.
2. Factor estacional de período 12 3. Varianza constante
FASE
2: IDENTIFICACIÓN DEL MODELO
Objetivo: Identificar el modelo adecuado para realizar el pronóstico,
i. Etapa 1: Identificación
Observando el patón de los datos, notamos que la serie es no estacionaria, presentando tendencia y factor estacional de periodo 12, lo que nos sugiere que el modelo debe incluir al menos una diferenciación a fin de eliminar el factor estacional y la tendencia.
Dado que la serie observada presenta estacionalidad de periodo 12 el modelo que se ajustará será un ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)i2, con d=0 y D=1 obteniendo el siguiente patrón de autocorrelaciones
Fig. 5.7.- FAS y FAP Diferencia d-O y D=t
En base al patrón anterior proponemos los siguientes modelos probables para realizar el pronóstico de las ventas
(A) ARIMA(l,0,0)x(0,l,0)12 con constante
(B) ARIMA(2,0,2)x(2,1,2)12 con constante
(C) ARIMA(0,0,2)x(2,1,2)12 con constante
(D) Suavización exp. de Winter con alfa = 0.237, beta = 0.1613,
ii. Etapa 2 : Evaluación de los modelos propuestos
Para cada modelo propuesto debemos verificar que los errores se comporten como un ruido blanco esto deben satisfacer las hipótesis del modelo.
Tabla 5.5.- Verificación de las hipótesis
M o d e l o R M S E R U N S R U N M A U T O M E D I A V A R aleatoriedad, el modelo B no satisface la hipótesis de autocorrelación.
Los modelos C y D satisfacen todas las hipótesis.
Evaluaremos la capacidad predictiva de los modelos C y D en el periodo de validación correspondiente al año 2015
Tabla 5.6.- Periodo de Validación
M o d e l o R M S E M A E M A P E M E M P E
(C ) 6 2 .0 2 2 7 53.174 6 .7 6 7 5 7 9 .9 3 2 7 7 0 .3 1 3 5 4 2 (D ) 72.4 5 6 8 59.5681 7.96571 -36.1651 -5 .1 6 9 8
Gráfica de Secuencia en Tiem po para Ventas AP ARIMA(0,0,2)x(2,1,2)12 con constante
o actual --- pronóstico --- Límites del 95
Autocorrelaciones Residuos para ajuste de Ventas AP ARIMA(0,0,2)x(2>1,2)12 con constante
Basado en los resultados anteriores proponemos como modelo para realizar el
FASE 3 - REALIZACIÓN DEL PRONÓSTICO
Objetivo: utilizar el modelo propuesto para obtener los pronósticos requeridos.
A continuación, se muestra el pronóstico para las ventas mensuales para el periodo Enero-junio 2017
Tabla 5.8.- Pronostico para las ventas mensuales de Agrícola Paredes
ANALISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Las empresas necesitan realizar pronósticos de la demanda de sus servicios, con la finalidad de planificar sus actividades, es por ello que nace la inquietud de investigar la aplicación de los modelos ARIMA en los pronósticos empresariales. Este estudio estuvo dirigido a evaluar la aplicación de los modelos ARIMA en el campo de las ciencias empresariales presentando la metodología de Box Jenkins desarrollando un caso práctico para pronosticar las ventas mensuales de Agrícola Paredes para el primer semestre del año 2017, el ámbito de estudio es la ciudad de Tacna, ubicada en el departamento de Tacna en la zona sur del Perú.
Se evaluaron dos modelos:
• ARIMA (0,0,2) x (2,1,2)12
• Suavizamiento exponencial de W inter con alfa 0.237, beta 0.1613 y gama 0.414168
Que de acuerdo al patrón de los datos eran los más indicados para realizar el pronóstico requerido.
Los hallazgos encontrados nos muestran que el modelo ARIMA reduce el error de la estimación, para el modelo ARIMA se encontró un RMSE igual a 62.0227, mientras que para el modelo de Winters el RMSE fue 72.4568.
Los errores del modelo ARIMA muestran el comportamiento de un ruido blanco. La prueba t de Student para probar la significancia de los parámetros del modelo ARIMA muestran valores de P menores que 0.05, lo que indica que los coeficientes del modelo son distintos de cero siendo estimados por:
Luego podemos decir que el modelo ARIMA mejora la capacidad predictiva del modelo de Winters.
Nuestra investigación en relación a los trabajos de otros investigadores considerados en el marco teórico, muestra concordancia con Jiménez J., Gázquez J. y Sánchez R. quienes realizaron un estudio para ver la capacidad predictiva de los métodos de Winters para predecir “el número de viajeros alojados en los establecimientos hoteleros de la provincia de Almería España”, donde concluyen que los modelos ARIMA producen mejores resultados que los procedimientos clásicos de descomposición.
CONCLUSIONES
1. Los modelos Arima son modelos estadísticos utilizados para modelar una serie de tiempo estacionaria.
2. Los modelos Arima utilizan la metodología de Box Jenkins que consiste en tres fases: Identificación, validación y pronóstico.
3. Los modelos Arima mejoran la capacidad predictiva de los modelos clásicos de series de tiempo.
4. Los modelos Arima se pueden utilizar para realizar pronósticos en el área de los negocios produciendo resultados altamente confiables.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARCE & MAHIA. Modelos Arima, Universidad Autónoma de Madrid, España disponible en:
https://www.uam.es/personal pdi/economicas/anadelsur/pdf/Box-Jenkins.PDF
BOX, G., Jenkins, G., REINSEL, G., Ljung, G (2016). Time series Analysis Forecasting
and Control, 5taed., John Wiley & Sons, New Jersey.
BOWERMAN, O’CONNELL Y KOEHLER, (2007). Pronósticos, Series de Tiempo y
Regresión: Un enfoque aplicado, Cengage Leaming Editores, México
CAPRISTÁN, C. Econometría de Series de tiempo aplicada a la macroeconomía y
finanzas, disponible en:
http://www.carloscapistran.eom/uploads/2/9/5/7/29578885/introducdon 6052011 .pdf
