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P R O G R A M A
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PRIMER CURSO
L O G R O Ñ O
' m p r e n t a y l i b r e r í a d e E L R I O J . A N O
1 9 1 S
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escuela normal Superior de maestros de Cogroño
O R A D O S U P E R I O R
P R O G R A M A
— : DE
Aritmética y Algebra
P R I M E R C U R S O
E L IP MOFEIS O IR,
D. Jesús Gómez y San Martín
1^)
L O G R O Ñ O
I m p r e n t a y l i b r e r í a d o E L R I O J A N o
191S
P R O G R A M A
— D E -
rittncticd ebra
L E C C I Ó N I.»
PRELIMINARES. - Idea de magnitud y c a n t i d a d . - Deter- minación de é s t a . — M e d i r y contar. —Cantidades discretas y continuas. — M a t e m á t i c a s : su d i v i s i ó n . — N ú m e r o : su divi- s i ó n . - A r i t m é t i c a , definición y división —Conceptos y pro- posiciones que se emplean en m a t e m á t i c a s . — S i g n o s mate- máticos.
L E C C I Ó N 2.a
DE LA NUMERACIÓN.--Numeración. — F o r m a c i ó n de los n ú m e r o s . — D e f i n i c i ó n y división d é l a n u m e r a c i ó n : su necesidad. -Sistema de n u m e r a c i ó n . —Principios fundamen- tales.-Bases de un sistema de n u m e r a c i ó n . — S i s t e m a deci- mal de n u m e r a c i ó n . — N u m e r a c i ó n verbal. —Idem escrita.—
Q u é son cifras o guarismos.—Principios fundamentales.—
Reglas para escribir un n ú m e r o . - N u m e r a c i ó n Romana.—
Ejemplos.
L E C C I Ó N 3.a
CÁLCULO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. - Q u é es calcu-
- 4 -
lar. — Operaciones aritméticas. — Algoritmo. — Algoritmos fundamentales.- Definiciones de la adición. —Propiedad conmutativa.— Casos que conviene distinguir en la adición.
— Reglas prácticas para resolverlos. —Alteraciones que ex- perimenta la suma por las que tengan los sumandos.—Con- secuencias.—Ejemplos.
L E C C I Ó N 4.a
SUSTRACCIÓN DE ENTEROS. —Difiniciones.—Conse- cuencias.—Artificio operativo.—Casos que conviene dis- tinguir. — Reglas prácticas para resolver cada uno de ellos.
—Prueba de esta o p e r a c i ó n . — A l t e r a c i o n e s que experimen- ta la resta por las que tengan los datos.—Consecuencias.-—
Ejemplos.
L E C C I Ó N 5.A
MULTIPLICACION. - Definiciones. - Consecuencias.—
Q u é es múltiplo de un n ú m e r o . — P r o p i e d a d conmutativa.—
Casos de la m u l t i p l i c a c i ó n . — T a b l a de multiplicar: su cons- trucción.—Multiplicación de un n ú m e r o de varias cifras por otro de una.—Idem por la unidad seguida de ceros.—Idem un n ú m e r o de varias cifras por otro de varias.—Ejemplos.
L E C C I Ó N 6.a
DIVISIÓN DE ENTEROS.—Definiciones: consecuencias de la definición. —División exacta e inexacta.—A q u é se lla- ma división de un n ú m e r o . — A r t i f i c i o operativo.—Casos de la división. —Reglas para determinar el n ú m e r o de cifras del cociente.—División dedos n ú m e r o s cuando el divisor tiene varias cifras y el cociente una. - I d e m cuando divisor y co- ciente tengan varias c i f r a s . - I d e m cuando el divisor tiene una cifra y el cociente v a r i a s . — R e s o l u c i ó n de casos particu- lares de la división. — Ejemplos.
L E C C I Ó N 7.*
PROPIEDADES DÉLA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.- Alteraciones de un producto de dos factores por aumento ó disminución de uno de ellos.—Producto de una suma indicada por un n ú m e r o y viceversa —Idem de una d i - ferencia. — S e p a r a c i ó n de un factor común a la suma o dife- rencia de varios productos indicados. —Producto de sumas
5 ~
0 diferencias.- Idem de una suma por una diferencia indi- cada.—Idem de dos diferencias indicadas. —Producto de cocientes de los dos miembros de una igualdad por un mis- mo n ú m e r o .
L E C C I Ó N 8.a
Productos de varios factores. - Propiedades conmuta- tiva y asociativa. —Alteraciones de un producto indicado por multiplicación de uno o varios de sus factores por un entero.— Reglas para resolver ambos casos.—Alteraciones de un producto indicado por división de uno de sus facto- res por un e n t e r o . — C ó m o se divide un producto indicado
por un divisor de uno de sus f a c t o r e s . — C ó m o dividir un producto indicado por uno de sus factores.-Cociente de una suma indicada por un divisor de todos los sumandos.
— Cociente de una diferencia indicada por un divisor de mi- nuendo y sustraendo.— Resultado de multiplicar o dividir dividendo y divisor por un mismo n ú m e r o entero.
LECCIÓN 9.a
PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES Y DESIGUALDADES.
— Resultado de combinar miembro por adición, sustracción, multiplicación y división: igualdades: consecuencias.-- Re- sultado de combinar miembro a miembro por adición y sus- tracción una desigualdad y una igualdad y viceversa. —Con- secuencias. —Ejemplos.
LECCIÓN 10.
Resultado de combinar miembro a miembro por adición o por sustracción dos desigualdades del mismo sentido: ob- servaciones.- Resultado de combinar miembro a miembro por multiplicación o división una desigualdad y una igual- dad y viceversa.—Consecuencias.—Resultado de combinar miembro a miembro por multiplicación o por división: desi- gualdades del mismo sentido.—Observaciones.
LECCIÓN 11.
POTENCIACIÓN. — Definiciones.— Consecuencias. - Ba- se y grado de una potencia. —Potencia de cualquier grado de un producto i n d i c a d o . - - I d e m de un cociente. Potencia de una potencia.—Producto de varias potencias de la mis- ma base. - Cociente de dos potencias de la misma base.
- e - LFXCIÓN 12.
Cuadrado de la suma indicada de dos n ú m e r o s . - Idem de la d i f e r e n c i a . C o r o l a r i o s . —Cubo d é l a suma de dos n ú m e r o s . — C o r o l a r i o s . - Ejemplos.
LECCIÓN 13.
RADICACIÓN. — Definiciones. — Consecuencias. — R a í z exacta y entera y residuo de una r a í z . —Casos que debemos distinguir.—Cuadrados perfectos de los nueve primeros
números.— Regla práctica para resolver el 2.° caso.
LECCIÓN 14.
D e f i n i c i ó n . — R a í z cúbica exacta y entera de un n ú m e - ro.—Residuo de una r a í z . — C a s o s que conviene distinguir.
— Cubos pefectos de los nueve primeros n ú m e r o s . —Regla práctica para resolver el 2.° caso. - Ejemplos.
LECCIÓN 15.
DIVISIBILIDAD. - Definición y teoremas preliminares. - C u á n d o un n ú m e r o es divisible por 10, por 2, por 5, por 4, por 9 y por 11. - Ejemplos.
LECCIÓN 16.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR, — D e f i n i c i ó n . — C o n s e c u e n - cias.—El m á x i m o común divisor de dividendo y divisor de una división inexacta es igual al m. c. d. de divisor y resi- duo. Regla para hallar el m. c d. dedos n ú m e r o s . - T o d o divisor de dos n ú m e r o s es divisor de su m. c. d. y r e c í p r o - camente.—Si dos n ú m e r o s se multiplican o dividen por un entero su ni. c. d. queda multiplicado o dividido por dicho n ú m e r o . —Corolarios. —Todo divisor de un producto de dos factores que es primo con uno de ellos es divisor del otro factor. - Ejemplos.
LECCIÓN 17.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.—Definición.—Consecuen cias.—Todo múltiplo de dos n ú m e r o s es un producto de tres factores: uno de los n ú m e r o s propuestos el cociente de dividir el otro por el m. c. d. de ambos y un número entero.
— C o r o l a r i o s . - P r o p i e d a d de m. c. d. y del m. c. m . - P r o - piedad de todo múltiplo de dos n ú m e r o s . - C u á l es el m . c . m . de dos n ú m e r o s primos entre s í . - - Q u é le sucede al m. c. m. de dos n ú m e r o s , si se multiplican o dividen por un tercero. - Propiedadde los cocientes de dividir el m . c . m . d e dos n ú m e r o s por cada uno de e l l o s . - R e c í p r o c o . - E j e m - plos.—Regla para hallar el m. c. m. de dos n ú m e r o s .
LECCIÓN 18.
NÚMEROS P R I M O S . - D e f i n i c i ó n . - A v e r i g u a r si un nú- mero dado es primo o no. —La serie de números primos es i l i m i t a d a . - C r i b a de E r a t ó s t e n e s . - D o s n ú m e r o s primos no entre sí, tienen por lo menos un divisor común mapor que la unidad.—Todo n ú m e r o primo que sea divisor de un pro- ducto de varios factores, es divisor por lo menos de uno de e l l o s . — C o n s e c u e n c i a s . - D e t e r m i n a c i ó n de todos los facto- res primos de un n ú m e r o . - H a l l a r todos los divisores de un n ú m e r o . - Hallar el m. c d. y el m. c. m. de varios n ú m e r o s , descomponiendo éstos en sus factores primos.—Ejemplos.
LECCIÓN 19.
Q u é es fracción ordinaria o^ quebrado. - Sus t é r m i n o s .
— C ó m o se escribe y lee un quebrado. —Quebrado propio e i m p r o p i o . — N ú m e r o s m i x t o s . - Cociente completo de to- da división inexacta —Producto de un quebrado por su de- nominador.—Cociente completo de toda división. — Cuál de varios quebrados que tienen el mismo denominador es mayor. —Consecuencias. — C u á l de varios quebrados que tienen el mismo numeradores mayor. —Consecuencias. - A l - teraciones que experimenta el valor de un quebrado por multiplicación o división del numerador o denominador. - Consecuencias.
LECCIÓN 20.
Q u é es simplificar una fracción. — Q u é es quebrado irre- d u c i b l e . - T o d a fracción igual a otra cuyos términos sean primos entre sí, tienen sus dos términos equimúltiplos de é s t a . - C o r o l a r i o . - R e d u c c i ó n de fracciones a un común de- nominador.
— ¿ -
LECCIÓN 21.
Adición de fracciones.—Definiciones.—Casos que de- bemos distinguir. —Reglas prácticas para resolver los dis-
tintos casos.
LECCIÓN 22.
Sustracción de f r a c c i o n e s . - D e f i n i c i ó n . —Casos y re- glas para resolverlos.
LECCIÓN 23.
Multiplicación de fracciones.—Definición.— Casos y reglas prácticas para resolverlos.
LECCIÓN 24.
División de fracciones. —Definición. - Casos que con- viene distinguir y reglas para resolverlos.
LECCIÓN 25.
Igualdades fraccionarias. - Q u é es r a z ó n de dos n ú m e - ros.—Sus t é r m i n o s . — Q u é es p r o p o r c i ó n o igualdad frac- cionaria.—Nombres de los t é r m i n o s de una p r o p o r c i ó n . — Clasificación de é s t a s . — T e o r e m a fundamental. — R e c í p r o c o .
— Corolarios.—Aplicaciones.—Demostrar que si los nume- radores o los denominadores de una igualdad fraccionaria son iguales respectivamente, a los de otra^ los otros cuatro t é r m i n o s forman una igualdad fraccionaria,
LECCIÓN 26.
Propiedad de la suma o diferencia de los numeradores de una igualdad fraccionaria dividida respectivamente por la suma o diferencia de los denominadores.-Corolarios.—
Propiedad de la suma o diferencia de los términos de la primera fracción en una igualdad fraccionaria dividida res- pectivamente por la suma o resta de la segunda. —Propiedad de los productos ordenados de varias proporciones o igual- dades fraccionarias. - Corolario. —Propiedad de dividir dos igualdades fraccionarias t é r m i n o a termino ordenadamente, - Corolario.—Ejemplos,
— 9 - LECCIÓN 27.
FRACCIONES DECIMALES. — D e f i n i c i ó n . — N u m e r a c i ó n de ias fracciones decimales.—Principios.-Reglas para es- cribir un decimal. —Lectura de una fracción decimal escrita en forma entera.—Altera el valor de un decimal si a su de- recha se colocan uno o varios ceros?—Corolarios.—Si a u n n ú m e r o decimal se corre la coma uno o varios lugares a la derecha o a la izquierda ¿qué le sucede a dicho n ú m e r o ? — Consecuencias.
LECCIÓN 28.
Operaciones fundamentales con los decimales.— A d i - ción, sustracción, multiplicación y división de decimales.—
Casos que pueden ocurrir y reglas prácticas para resolver- los. - E j e r c i c i o s .
LECCIÓN 29.
C o n v e r s i ó n de f r a c c i o n e s . — T r a n s f o r m a c i ó n de los que- brados ordinarios en decimales y viceversa. - Relaciones en- tre las fracciones y sus generatrices.
LECCIÓN 30.
N ú m e r o s concretos. — G e n e r a l i d a d e s . — D e f i n i c i ó n y d i - visión de los c o n c r e t o s . - E x p o s i c i ó n detallada del sistema métrico decimal.
LECCIÓN 31.
T r a n s f o r m a c i ó n de los n ú m e r o s concretos.—Transfor- mar un incomplejo en otro incomplejo de orden superior o inferior.—Transformar un complejo en incomplejo de orden inferior.—Idem en incomplejo de un orden cualquiera.—
Idem un incomplejo en complejo.—Reglas para resolverlos.
—Valuación de una fracción y reglas para verificarlo.—
Ejemplos.
L E C C I Ó N 32.
Adición y sustracción de n ú m e r o s concretos. - D e f i n i - c i ó n . — C a s o s . — R e g l a s para resolverlos.—Ejemplos.
L E C C I Ó N 33.
Multiplicación y división de n ú m e r o s concretos. —Defi- n i c i ó n . — C a s o s . — R e g l a s para resolverlos. - Ejemplos.
- 10 - L E C C I Ó N 34.
Cantidades proporcionales. — R a z ó n de dos cantidades h o m o g é n e a s . — C a n t i d a d e s relativas.—Idem proporcionales.
— Idem directa e inversamente proporcionales. - Reglas pa- ra conocer si dos cantidades son directa o inversamente proporcionales.
L E C C I Ó N 35.
Regla de tres. — Generalidades. - Objeto de la regla de tres. — Regla de tres simple, directa e inversa. —Regla de tres compuesta.—Problemas.
L E C C I Ó N 36.
I n t e r é s . — D e f i n i c i ó n . - Interés simple. —Casos. — F ó r - mulas.—Problemas.
L E C C I Ó N 37.
D e s c u e n t o . — D e f i n i c i ó n . — D e s c u e n t o comercial. — F ó r - mulas.—Problemas generales.—Descuento real o matemáti- c o . — F ó r m u l a s m á s generales de descuento m a t e m á t i c o .
L E C C I Ó N 38.
Repartos proporcionales.—Dividir un n ú m e r o en partes proporcionales: otros dados.—Regla de c o m p a ñ í a . — P r i n c i - pios en que se f u n d a . — F ó r m u l a s . - Problemas de c o m p a ñ í a .
L E C C I Ó N 39.
Fondos públicos.—Definición. — F ó r m u l a s . — Problemas relativos a los fondos p ú b l i c o s .
L E C C I Ó N 40.
Regla de a l i g a c i ó n . — D e f i n i c i ó n . —Regla de aligación directa, inversa.—Principios fundamentales. —Problemas.
A L G E B R A
L E C C I O N 41.
Nociones p r e l i m i n a r e s . — D e f i n i c i ó n . - F ó r m u l a s a l g é - bricas. - Notación algebraica. —Cantidad l i t e r a l . — T é r m i - nos de las cantidades literales y nombres que reciben.—
Cantidad racional e irracional. — E x p r e s i ó n a l g é b r i c a entera y fraccionaria. —Grado de los monomios. —Polinomios ho-
m o g é n e o s . — V a l o r n u m é r i c o de una e x p r e s i ó n algébrica.—
Cualidades de las cantidades a l g é b r i c a s . — Signos negati- vos y positivos de las cantidades a l g é b r i c a s .
L E C C I Ó N 42.
Q u é son t é r m i n o s semejantes y c ó m o se simplifican. — Casos que pueden ocurrir. - Adición y sustracción de expre- siones enteras,
L E C C I Ó N 43.
Multiplicación de expresiones enteras.—Definición y consecuencias que se deducen.—Casos que conviene distin- guir.—Consecuencias de la m u l t i p l i c a c i ó n . — E j e m p l o s .
L E C C I Ó N 44.
División de expresiones enteras. —Definición y conse- cuencias que de ella se deducen. —Casos que se pueden distinguir. — Ejemplos.
L E C C I Ó N 45.
Fracciones a l g é b r i c a s . — D e f i n i c i ó n . - Propiedades.—
R e d u c c i ó n de fracciones a un común denominador. Sim- plificación de fracciones. - E j e m p l o s .
L E C C I Ó N 46.
Adición y sustracción de fracciones a l g é b r i c a s . — C a s o s que debemos d i s t i n g u i r . — M u l t i p l i c a c i ó n y división de frac- ciones literales.
~ 12 -
L E C C I Ó N 47.
Ecuaciones de primer g r a d o . — Q u é es igualdad. —Iden- tidad y ecuación. —Ecuaciones equivalentes, imposibles e indeterminadas. —Ecuaciones n u m é r i c a s y literales. —Grado de una ecuación.— Principios generales de las ecuaciones.
—Consecuencias. —Aplicaciones.
L E C C I Ó N 48.
Ecuaciones de primer grado con una i n c ó g n i t a . - F ó r - mula general d e s p u é s de preparada. — C ó m o se plantea, re- suelve y comprueba un problema de ecuaciones de primer grado con una incógnita.— Ejemplo.
L E C C I Ó N 49.
Sistema de ecuaciones de primer grado con tantas ecuaciones como i n c ó g n i t a s , — Q u é es iliminar una i n c ó g n i - t a . - - M é t o d o s m á s usuales de iliminación de i n c ó g n i t a s . — Ejemplo.
L E C C I Ó N 50,
M e t o d o l o g í a especial para la e n s e ñ a n z a de la Aritmética.
L o g r o ñ o , septiembre de 1912.
