UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES DE UNA CORRESPONDENCIA HEMICONTINUA

TESIS PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMATICAS

AUTOR:

Br. FEDERICO CARRANZA CALDERÓN

ASESOR:

Mg. ROSARIO DIÓMEDES DELGADO VÁSQUEZ

Trujillo - Perú 2014

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS

CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES DE UNA CORRESPONDENCIA HEMICONTINUA

TESIS PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMATICAS

AUTOR:

Br. FEDERICO CARRANZA CALDERÓN

ASESOR:

Mg. ROSARIO DIÓMEDES DELGADO VÁSQUEZ

Trujillo - Perú 2014

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Dr. Wilson Maco Vásquez Presidente

Dr. José Diaz Leiva Vocal

Mg. Rosario Diomedes Delgado Vásquez Asesor

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Dedicatoria

La presente tesis esta dedicada a Dios todopoderoso por permitirme llegar en este momento tan especial en mi vida. Por darme la fuerza para seguir adelante y darme la sabiduria y el entendimiento para cumplir mis metas.

A mis padres que me dieron la vida, especialmente a mi querido padre Federico que auque no este físicamente con nosotros, sigue vivo en mi pensamiento y se que desde el cielo siempre me cuida y me guía.

A mi esposa Esperanza amiga el y sincera quien me brindo su amor y cariño su estimulo y apoyo constante, comprensión y paciente espera para que pudiera termi- nar el grado son evidencias de su gran amor. ½Gracias!

A mi querida hermana Silvia por su apoyo incondicional que me brindo en los momentos que mas lo necesite, mi sincero agradecimiento.

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En la presente página, hago extensivo mí más profundo agradecimiento al Sr.

Profesor Mg. ROSARIO DIÓMEDES DELGADO VÁSQUEZ, asesor del presente trabajo, por su maniesta y constante colaboración en el desarrollo del mismo. Así mismo, muestro mi amistad y simpatía para todas las personas que de una u otra manera hicieron posible el feliz término de éste trabajo.

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Presentación

Señores miembros del jurado:

En cumplimiento a lo estipulado en el reglamento de Grados y Títulos de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad Nacional de Trujillo, es un honor presentar a vuestra consideración el presente trabajo intitulado:

CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES DE UNA CORRESPONDENCIA HEMICONTINUA;

Con el propósito de obtener el Título Profesional de Licenciado en Matemáticas.

Esperando que vuestro criterio sea de comprensión por algunos errores u omisio- nes involuntarios al momento de su elaboración, acepto honestamente vuestro dictamen, el cual me guiará para mejorar en el futuro.

El Autor

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Γ : X → Y : Correspondencia

Γ ⁺ [A] : Preimagen superior se A Γ ⁻ [A] : Preimagen inferior se A A\B : Complemento de B en A

⊂ : Inclusión de conjuntos {x _n } _n∈N : Sucesión de números {x n

} _k∈N : Subsucesión de números

B _ε (x ₀ ) : Bola abierta de radio ε y centro x 0

{A λ } λ∈A : Familia de conjuntos abiertos

k . k : Norma

S

λ∈Λ

: Unión del conjunto de familias T

λ∈Λ

: Unión del conjunto de familias

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Índice general

Dedicatoria iv

Agradecimiento v

Presentación vi

Lista de Símbolos vii

Resumen ix

Abstract x

Introducción xi

1. Resultados 1

1.1. Conceptos Básicos de Topología . . . . 1

2. Discusión 8

2.1. Correspondencias . . . . 8 2.2. Caracterización Secuencial de la Hemicontinuidad Superior . . . 10 2.3. Caracterización Secuencial de Hemicontinuidad Inferior . . . 11

CONCLUSIONES 16

SUGERENCIAS 17

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 18

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Se estudia aplicaciones que llevan vectores en conjuntos, llamadas corresponden- cias. Analizamos el concepto de continuidad para correspondencias, basada en la hemicontinuidad superior e inferior, para luego obtener una caracterización secuen- cial de correspondencia hemicontinuas.

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Abstract

Applications that take vectors sets are studied, called correspondences. We analy- ze the concept of continuity for correspondences, based on the upper and lower hemi- continuity, then get a sequential characterization of hemicontinuas correspondence.

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Una correspondencia entre X e Y es un subconjunto del producto cartesiano X × Y de manera que a un elemento de X le pueden corresponder uno o más ele- mentos de Y , en contradicción con la denición de función. Una correspondencia entre X e Y se puede consisderar como una función entre X y P (Y ), donde P (Y ) son todos los subconjuntos de Y .

Si f : X → Y es una función, entonces g : Y  X denida por

g(y) = {x ∈ X : f (x) = y} , es una correspondencia denotada por g = f ⁻¹ y llama- da función inversa de f. Por ejemplo, si f : R → R es la función f(x) = x ² , entonces para cada y ≥ 0, f ⁻¹ (y) = { √

y, − √

y} y para cada y < 0, f ⁻¹ (y) = { } . Este caso es importante, pues marcan el comienzo del estudio de las correspondencias. Una de las preguntas que se formulan es la que tiene que ver con la continuidad de la función inversa si f es continua. Esta pregunta remite al tema de la estabilidad en el sentido de Hadamard de las soluciones de la ecuación f(x) = y, donde y es un dato numérico en un problema concreto. La continuidad es una manera de expresar que las soluciones de una ecuación varían muy poco ante pequeños cambios o per- turbaciones de un conjunto de datos relativos al funcionamiento de un sistema.

Precisamente, los objetivos de este trabajo es mostrar dos procedimientos que se han seguido para denir el concepto de continuidad de una correspondencia Γ : X  Y cuando estos conjuntos son espacios topológicos. El procedimiento seguido por Aubin y Frankowska en [1] es directo. Denen estos autores la hemicon-

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ÍNDICE GENERAL xii

tinuidad inferior y la hemicontinuidad superior de Γ sin denir topologias en P (Y ).

El procedimiento seguido por Michael en [3] es directo. En un apéndice, al nal, de-

ne las topologias llamadas por él upper and lower seminite topologies y dene la continuidad inferior y superior en términos de dichas topologías. Muy someramente relaciona estas deniciones indirectas de continuidad con las deniciones directas tradicionales.

En resumen nuestro problemas a resolver quedan enunciados como siguen: Sean X ⊂ R ⁿ , Y ⊂ R ^m y Γ : X  Y una correspondencia,

¾Bajo que condiciones la correspondencia Γ es hemicontinua superior?.

¾Bajo que condiciones la correspondencia Γ es hemicontinua inferior?.

El interés por las correspondencias cayó en desuso durante la primera mitad del siglo XX, pero el interés se reactivó con el libro de C. Berge [2]. a ello se agregó el auge de las aplicaciones del análisis diferencial e integral de las correspondencias a una gran variedad de problemas en la teoría de la optimización, el cálculo de variaciones y análisis convexo.

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Resultados

1.1. Conceptos Básicos de Topología

A seguir introduciremos algunos conceptos topológicos en R ⁿ : conjuntos abiertos, conjuntos cerrados y compacidad.

Denición 1.1.1 Un conjunto B ⊂ A ⊂ R ⁿ es abierto en A si para cada x 0 ∈ B existe ε > 0 tal que {x ∈ A : kx − x 0 k < ε} está contenido en B.

Un conjunto abierto en A ⊂ R ⁿ también es llamado de conjunto abierto relativo al conjunto A, o abierto relativo (cuando no existe posibilidad de confusión). Si A = R ⁿ , nos referimos a un conjunto abierto en R ⁿ simplemente como conjunto abierto.

Note que, si B es abierto en A no necesariamente B es un subconjunto abierto de R ⁿ . Por ejemplo, B = (0, 1] es abierto en [0, 1], pero no es abierto en R.

Por denición, todo conjunto A ⊂ R ⁿ es abierto en A. Además, el conjunto vacío es abierto en cualquier A ⊂ R ⁿ .

En general, dado A ⊂ R ⁿ , un conjunto B ⊂ A es abierto en A si y solamente si existe un conjunto abierto C ⊂ R ⁿ tal que B = A ∩ C.

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1.1 Conceptos Básicos de Topología 2

Sea A n = {A ⊂ R ⁿ : A es abierto}. Para cada ε > 0 y x 0 ∈ R ⁿ , denote por B _ε (x ₀ ) el conjunto {x ∈ R ⁿ : kx − x ₀ k < ε} , el cual llamaremos de bola abierta de centro x 0 y radio ε. De la misma forma, dado A ⊂ R ⁿ , dena la bola abierta en A, de centro x 0 ∈ A y radio ε > 0, como B ε (x ₀ ; A) := {x ∈ A : kx − x ₀ k < ε} . Note que, B ε (x 0 ) = B ε (x 0 ; R ⁿ ) .

Proposición 1.1.1 Para todo A ⊂ R ⁿ , para cada (ε, x 0 ) ∈ R ⁺ × R ⁿ , B ε (x 0 ; A) es un subconjunto abierto de A.

Algunas propiedades de los conjuntos abiertos:

(1) Dada una familia de conjuntos abiertos {A λ } _λ∈Λ ⊂ A n , donde Λ es una co- lección arbitraria de índices, el conjunto S

λ∈Λ

A _λ es abierto. De hecho, dado x ₀ ∈ S

λ∈Λ

A _λ existe λ(x 0 ) ∈ Λ tal que x 0 ∈ A _λ(x

₎ . Así, existe ε > 0 tal que B _ε (x ₀ ) ⊂ A _λ(x

₎ ⊂ S

λ∈Λ

A _λ .

(2) Cuando el conjunto de índices Λ es nito, la intersección de los conjuntos {A _λ } _λ∈Λ está en A n . Para demostrar esto, considere un vector x 0 ∈ T

λ∈Λ

A _λ . Como para cada λ ∈ Λ existe ε λ > 0 tal que B ε

(x ₀ ) ⊂ A _λ , sigue que

B _ε (x ₀ ) ⊂ T

λ∈Λ

A _λ , donde ε := m´ın

λ∈Λ ε _λ .

La intersección arbitraria de conjuntos abiertos no necesariamente es un conjunto abierto. Como ejemplo, considere la familia {(− _n ¹ , 1 + _n ¹ ); n ∈ N} ⊂ A 1 . A pesar de cada conjunto ser abierto, la intersección de todos ellos, [0, 1], no lo es.

Denición 1.1.2 Un conjunto B ⊂ A ⊂ R ⁿ es cerrado en A si el complemento de B en A, A\B, es abierto en A.

Sigue que B es cerrado (en R ⁿ ) si y solo si B ^c ⊂ A n .

Algunas propiedades de los conjuntos cerrados se pueden deducir de lo que ya sabemos sobre los conjuntos abiertos. De hecho, la intersección arbitraria de conjun- tos cerrados es un conjunto cerrado. La unión nita de conjuntos cerrados también es un conjunto cerrado. No así la unión arbitraria de conjuntos cerrados: la unión

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Proposición 1.1.2 Un conjunto B ⊂ R ⁿ es cerrado si y sólo si toda secuencia convergente de B tiene su límite en B.

Demostración. Suponga que B es cerrado y je una secuencia convergente {x n } _n∈N ⊂ B.

Por denición, existe ¯x ∈ R ⁿ tal que kx n − ¯ xk tiende para cero cuando n aumenta.

Suponga que ¯x 6= B. Entonces, existe ε > 0 tal que B ε (¯ x) ⊂ B ^c . Esto implica que, para n sucientemente grande, x n no está en B, una contradicción.

Recíprocamente, suponga que toda secuencia convergente de B tiene su límite en B. Si B no es cerrado, entonces B ^c no es abierto. Esto es, para algún ¯x ∈ B ^c y para cada n ∈ N, existe x n ∈ B tal que kx n − ¯ x} < _n ¹ . Luego, encontramos una secuencia convergente de B que tiene su límite en B ^c , una contradicción. 

Recuerde que una función f : U → R ^m , denida en un subconjunto U ⊂ R ⁿ es continua en un punto x 0 ∈ U si y sólo si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ U, kx − x ₀ k < δ implica que kf(x) − f(x 0 )k < ε . Dado A ⊂ R ^m , nos referimos al conjunto f ⁻¹ (A) := {x ∈ U : f (x) ∈ A} como la preimagen de A por f. A continuación mostraremos como la continuidad de funciones se relaciona con los conceptos de conjunto abierto y conjunto cerrado.

Proposición 1.1.3 Una función f : U ⊂ R ⁿ → R ^m es continua en x 0 ∈ U si y sólo si la preimagen por f de cada conjunto A ∈ A m que contiene al vector f(x 0 ) es un subconjunto de U que contiene una vecindad de x 0 .

Demostración. Suponga que f es continua en x 0 ∈ U . Dado A ⊂ R ^m abierto tal que f(x 0 ) ∈ A . Suponga que no existe ε > 0 tal que B ε (x ₀ ; U ) ⊂ f ⁻¹ (A) . Entonces,

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1.1 Conceptos Básicos de Topología 4

existe una secuencia {x n } _n∈N ⊂ U tal que, para cada n ∈ N, kx n − x 0 k < ¹ _n y f (x _n ) / ∈ A .

Como {x n } _n∈N converge para x 0 , la continuidad de f nos asegura que f(x n ) es convergente para f(x 0 ) . Como A ^c es cerrado, llegamos a que f(x 0 ) ∈ A ^c . Esto es, x 0 ∈ f / ⁻¹ (A) , una contradicción.

Recíprocamente, ado x 0 ∈ U , asuma que la pre-imágen de cada conjunto A ∈ A ^m que contiene al vector f(x 0 ) es un subconjunto de U que contiene una vecindad de x 0 . Como para cada ε > 0 el conjunto B ε (f (x ₀ )) es abierto, concluimos que existe δ > 0 tal que, si x ∈ U y kx − x 0 k < δ entonces x ∈ f ⁻¹ (B ε (f (x 0 ))) , esto es, kf(x) − f(x 0 )k < ε . Así, f es continua en x 0 . 

Como el conjunto vacío es abierto, sigue de la proposición anterior que una fun- ción f : U → R ^m es continua en su dominio U ⊂ R ⁿ si y sólo si la preimagen por f de todo conjunto abierto A ⊂ R ^m es un conjunto abierto de U.

Si A ⊂ R ^m es cerrado y f : U → R ^m es continua, entonces f ⁻¹ (A ^c ) es abierto en U .

Esto es lo mismo que armar que f ⁻¹ (A) es cerrado en U. Por otro lado, si para cada conjunto cerrado A ⊂ R ^m , f ⁻¹ (A) es cerrado en U, entonces para cada abierto B ⊂ R ^m , f ⁻¹ (B) = (f ⁻¹ (B ^c )) ^c es abierto en U. Esto es, f es continua en U.

Por lo tanto, una función f : U ⊂ R ⁿ → R ^m es continua si y solamente si la preimagen de cada conjunto cerrado A ⊂ R ^m es un conjunto cerrado en U.

La continuidad de una función nada tiene que ver con las propiedades de la imagen por f de los conjuntos abiertos o cerrados. Si una función f : U ⊂ R ⁿ → R ^m es continua, entonces dado un conjunto A abierto (o cerrado) en U, f(A) puede ser abierto, puede ser cerrado, o bien no tener ninguna de estas propiedades topológicas.

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ejemplo, [0, 1) no es compacto, ya que la cobertura abierta {(−1, 1 − ¹ _n ; n ∈ N}

no tiene una subcobertura nita. De la misma forma, el conjunto [0, +∞) no es compacto, ya que {(−1, n); n ∈ N} no tiene una subcobertura nita. El problema de estos conjuntos es que dejan abierto el extremo derecho y, por lo tanto, se puede construir una cobertura que avanza lentamente en esa dirección, bloqueando la existencia de una subcobertura nita. En el primer caso, el extremo derecho está

abierto debido a que el conjunto no es cerrado, en el segundo caso, por el conjunto no ser limitado.

Proposición 1.1.4 La siguientes propiedades son equivalentes:

(a) K ⊂ R ⁿ es compacto.

(b) K ⊂ R ⁿ es cerrado y acotado.

(c) Toda secuencia en K ⊂ R ⁿ tiene una subsecuencia convergente en K.

Proposición 1.1.5 Sea f : U ⊂ R ⁿ → R ^m una función continua. Si K ⊂ U es compacto, entonces f(K) es compacto.

Demostración. Fije una cobertura abierta de f(K), {A λ } _λ∈Λ . Esto es, una fa- milia de conjuntos abiertos tal que f(K) ⊂ S

λ∈Λ

A _λ . Es inmediato vericar que K ⊂ f ⁻¹ ( S

λ∈Λ

A _λ = S

λ∈Λ

f ⁻¹ (A _λ ) . Esto es, {f ⁻¹ (A _λ )} _λ∈Λ es una cobertura abierta de K. Luego, existe una subcobertura nita {f ⁻¹ (A _λ )} _λ∈Λ

, con Λ ^∗ ⊂ Λ . Así, f(K) puede ser cubierto por un número nito de elementos de {A λ } _λ∈Λ . Esto es, f(K) es

compacto. 

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1.1 Conceptos Básicos de Topología 6

Dada una función f : U ⊂ R ⁿ → R ^m , diremos que f alcanza su máximo (resp.

mínimo) en U, si existe ¯x ∈ U tal que f(¯x) ≥ f(x) (resp. f(¯x) ≤ f(x)), para todo x ∈ U .

Corolario 1.1.1 Toda función continua f : K ⊂ R ⁿ → R denida en un con- junto compacto K alcanza su máximo y su mínimo en K.

Demostración. Como f es continua, f(K) es compacto. Así, es cerrado y acotado.

Por ser acotado, existen z := ´ınf{z : z ∈ f(K)} y z := sup{z : z ∈ f(K)}. Por de- nición de ínmo y supremo, hay secuencias {z _n ⁱ } _n∈N ⊂ f (K) y {z _n ^s } _n∈N ⊂ f (K) que convergen, respectivamente, para z y z. Como f(K) es cerrado, z y z están en f(K),

lo que concluye la demostración. 

Una propiedad que utilizaremos a menudo en nuestras aplicaciones será la con- vexidad de conjuntos. Recordemos que un conjunto C ⊂ R ⁿ es convexo si para cada par de elementos x 1 , x ₂ ∈ C , los vectores {λx 1 + (1 − λ)x ₂ } _λ∈(0,1) están en C.

El siguiente resultado enumera algunas propiedades de los conjuntos convexos.

Proposición 1.1.6 (a) Los conjuntos ∅ y R ⁿ son convexos.

(b) Dados A y B convexos en R ⁿ , A + tB := {a + tb : a ∈ A, b ∈ B} es convexo para cada t ∈ R.

(c) Intersección arbitraria de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

(d) Todo espacio vectorial es convexo.

(e) Si C ⊂ R ⁿ es convexo entonces la clausura de C,

C := {x ∈ R ⁿ : ∃ (x _n ) _n∈N ⊂ C convergente para x}, es un conjunto convexo.

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Capítulo 2 Discusión

2.1. Correspondencias

En este capítulo estudiaremos aplicaciones que llevan vectores en conjuntos, lla- madas correspondencias. Analizaremos conceptos de continuidad para correspon- dencias y sus propiedades.

Denición 2.1.1 Una correspondencia entre X ⊂ R ⁿ e Y ⊂ R ^m es una aplica- ción, denotada por Γ, que asocia a cada x ∈ X un subconjunto Γ(x) de Y .

Notación: Γ : X  Y . Note que, toda correspondencia Γ : X  Y , también llamada función de conjuntos, es una función de X en 2 ^Y := {A ∈ R ^m : A ⊂ Y } .

Para denir el concepto de continuidad de una correspondencia Γ : X  Y podríamos pensar en una analogía con la continuidad de una función: la preimagen de todo abierto en Y debería ser un abierto de X. Sin embargo, como Γ(x) es un conjunto, no es claro que signica que un vector x ∈ X esté en la preimagen de un conjunto A ⊂ Y . De hecho, al menos dos posibilidades hacen sentido, x ∈ X esta en la preimagen de A si Γ(x) ⊂ A, o bien si Γ(x) ∩ A 6= ∅.

Esto da lugar a dos conceptos de pre-imágen y dos deniciones de continuidad:

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rior en x 0 ∈ X si, para cada conjunto abierto A de Y ⊂ R ^m tal que Γ(x 0 ) ⊂ A 6= ∅ , la preimagen inferior de A, Γ ⁻ [A] := {x ∈ X : Γ(x)∩A 6= ∅} , contiene una vecindad de x 0 . Una correspondencia Γ : X ⊂ R ⁿ  Y es hemicontinua inferior en X si es hemicontinua inferior en cada x 0 ∈ X .

Denición 2.1.4 Una correspondencia Γ : X ⊂ R ⁿ  Y es continua en x 0 ∈ X si es hemicontinua superior e inferior en x 0 . Una correspondencia Γ : X ⊂ R ⁿ  Y es continua en X si es continua en cada x 0 ∈ X .

Ejemplo 2.1

Considere la correspondencia Γ : [0, 1]  [0, 1] denida por Γ(x) = [0, 1],

∀ x ∈ [0, ² ₃ ] y Γ(x) = [ ¹ ₃ , ² ₃ ], ∀ x ∈ ( ² ₃ , 1] . Entonces, A = (0,8, 0,9) es abierto en [0, 1], pero Γ ⁻ [A] = [0, ² ₃ ] no lo es. Así, Γ no es hemicontinua inferior en x ₀ = ² ₃ . En cualquier otro punto del dominio la correspondencia Γ va a ser hemicontinua inferior. Además, Γ es hemicontinua superior en [0, 1].

Sea Ω : [0, 1]  [0, 1] denida por Ω(x) = [0, 1], ∀ x ∈ [0, ² ₃ ] y Ω(x) = [ ¹ ₃ , ² ₃ ] ,

∀x ∈ [ ² ₃ , 1] . Entonces, A = (0,1, 0,9) es abierto en [0, 1], pero Ω ⁺ [A] = [ ² ₃ , 1] no lo es. Así, no es hemicontinua superior en x 0 = ² ₃ . En cualquier otro punto del dominio la correspondencia va a ser hemicontinua superior. Además, Ω es hemicontinua inferior en [0, 1].

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2.2 Caracterización Secuencial de la Hemicontinuidad Superior 10

2.2. Caracterización Secuencial de la Hemicontinui- dad Superior

Teorema 2.2.1 Sea X × Y ⊂ R ⁿ × R ^m y Γ : X  Y . Dado x ∈ X, Γ(x) es compacto y Γ es hemicontinua superior en x ∈ X si, y solamente si, dada

{x _n } _n∈N ⊂ X convergente para x, para toda {y n } _n∈N ⊂ Y , con y n ∈ Γ(x _n ) para todo n ∈ N, existe una subsecuencia {y n

} _k∈N ⊂ {y _n } _n∈N que converge a un vector y ∈ Γ(x) .

Demostración. Suponga que Γ es hemicontinua superior en x ∈ X y que Γ(x) es compacto. Fije {x n } _n∈N ⊂ X convergente para x, e {y n } _n∈N ⊂ Y , con y n ∈ Γ(x _n ) para todo n ∈ N. Dado k ∈ N, como Γ(x) es compacto, siempre existe un conjunto abierto A k ⊂ Y tal que: Γ(x) ⊂ A k y para cada a ∈ A k , m´ın

y∈Γ(x) ka − yk < ¹ _k . En particular, A k es limitado. Por otro lado, como {x n } _n∈N ⊂ X converge para x y Γ ⁺ [A _k ] es abierto en X, existe N k ∈ N tal que Γ(x n ) ⊂ A _k , para cada n ≥ N k . Así, {y _n } _n≥N

⊂ A _k .

Note que, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la secuencia {N k } _k∈N es estrictamente creciente. Por lo tanto, {yN k } _k∈N ⊂ A ₁ es una subsecuencia acotada de {y n } _n∈N . Esto es, tiene una subsecuencia convergente. Además, para cada

k ∈ N, yN k ∈ A _k .

Esto es, existe ˜y k ∈ Γ(x) tal que, kyN k − ˜ y _k k < ¹ _k . Así, {˜y k } _k∈N también tiene una subsecuencia que converge y al mismo límite de la subsecuencia de {yN k } _k∈N . Esto es, como Γ(x) es cerrado, existe una subsecuencia de {y n } _n∈N que converge para un elemento de Γ(x).

Recíprocamente, dada la propiedad secuencial en x ∈ X queremos probar que Γ(x) es compacto y Γ es hemicontinua superior en x. Escogiendo la secuencia cons- tante {x n } _n∈N ⊂ X , la propiedad secuencial nos asegura que toda secuencia en Γ(x) tiene una subsecuencia convergente. Así, Γ(x) es compacto. Para probar la hemicon- tinuidad superior en x suponga, por contradicción, que existe un abierto A ⊂ Y , con Γ(x) ⊂ A , tal que Γ ⁺ [A] no contiene una vecindad de x. Esto es, para todo n ∈ N,

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2.3. Caracterización Secuencial de Hemicontinuidad Inferior

Teorema 2.3.1 Sea X × Y ⊂ R ⁿ × R ^m . Una correspondencia Γ : X  Y es hemicontinua inferior en x ∈ X si y sólo si, dada {x n } _n∈N ⊂ X convergente para x , para todo y ∈ Γ(x) existe una secuencia {y n } _n∈N ⊂ Y , con y n ∈ Γ(x _n ) para todo n ∈ N, que converge para y.

Demostración. Suponga que Γ es hemicontinua inferior en x ∈ X. Fije

{x _n } _n∈N ⊂ X convergente para x, e tome un elemento y ∈ Γ(x). Dado k ∈ N, el conjunto A k = B

k

(y;Y ) ⊂ Y es abierto y satisface Γ(x) ∩ A k 6= ∅ . Luego, por la hemicontinuidad inferior en x, va a existir N k ∈ N tal que Γ(x n ) ∩ A _k 6= ∅ , para cada n ≥ N _k . Dado que, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la secuencia {N _k } _k∈N es estrictamente creciente, Γ(x n )∩A _j 6= ∅ , para cada n ∈ {N j , . . . , N _j+1 −1} . Por lo tanto, para cada n ∈ N existe j n ∈ N (estrictamente creciente en n) tal que n ∈ {N _j

, . . . , N _j

₊₁ − 1} y, para algún y n ∈ Γ(xn), ky − y _n } < _j ¹

n

. Dicho de otra forma, existe una secuencia {y n } _n∈N tal que: y n ∈ Γ(x _n ) y l´ım

n y _n = y . Lo que queríamos probar.

Recíprocamente, suponga que la propiedad secuencial se cumple para x. Si Γ no es hemicontinua inferior en x entonces existe un conjunto abierto A en Y tal que: Γ(x) ∩ A 6= ∅ y Γ ⁻ [A] no contiene una vecindad de x. Esto es, existe por lo menos un vector y ∈ Γ(x) ∩ A y una secuencia {x n } _n∈N ⊂ X convergente para x tal que Γ(x n ) ⊂ A ^c . Esto contradice la propiedad secuencial: cualquier {y n } _n∈N tal que para cada n ∈ N esta contenida en el conjunto cerrado A , el cual no

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2.3 Caracterización Secuencial de Hemicontinuidad Inferior 12

contiene al vector y ∈ A. 

¾Qué es la Teoría del Equilibrio General Walrasiano?

La Teoría del Equilibrio General Walrasiano constituye la contribución más ela- borada frente al problema central de la Economía que busca explicar cómo, a través de la interacción de distintos universos microeconómicos, es decir, de individuos que se mueven por intereses diversos, se alcanza el equilibrio macroeconómico que in- volucra a toda la comunidad y que resuelve el problema central de la asignación y distribución de los recursos.

El modelo de equilibrio general walrasiano representa el núcleo del paradigma neoclásico de la ciencia económica y se remonta a 1874 gracias al trabajo del ma- temático y economista francés Léon Walras, que es quien lo postula en su obra Elementos de Economía Pura. En términos simples, Walras profundiza y amplica la Ley de Say, que sostiene que la oferta crea su propio nivel de demanda, dando cuenta que es el producto de la oferta el principal motor del poder adquisitivo. Sobre la Teoría del Equilibrio General Walrasiano hablamos en el Concepto de Economía de hoy.

Por ejemplo, un zapatero que ofrece en el mercado 20 pares de zapatos, a 100 euros el par, con el producto de su oferta pasa a ser un demandante neto de otros bienes, es decir 2.000 euros. Este es el poder adquisitivo del zapatero para demandar otros bienes, como trigo, carne, tela. De esta manera, la idea simple del productor y consumidor microeconómico de Jean Baptista Say, en la cual los productos se intercambian por productos, es desarrollada por Walras para un conjunto mayor de consumidores y productores que intercambiarán una gran cantidad de bienes.

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cambian de mano en el mercado. Nótese que esta idea involucra todo lo relativo al intercambio. En este modelo todos los agentes realizan intercambio y no existe el atesoramiento. Es decir, no es posible la especulación.

Como muestra la gráca, en esta Teoría siempre la oferta y la demanda convergen por la vía de los ajustes de precios, hacia un equilibrio económicamente estable y socialmente aceptable. Esta convergencia implica la idea de un equilibrio como centro de gravedad al cual la economía tiende en forma natural. No existen distorsiones ni manipulaciones en los precios, ni tampoco creación de burbujas.

Las siguientes propiedades serán muy útiles al estudiar la teoría básica de equili- brio general. Las demostraciones de cada una de ellas utilizan las caracterizaciones secuenciales quenacabamos de probar.

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2.3 Caracterización Secuencial de Hemicontinuidad Inferior 14

Proposición 2.3.1 Sea X ⊂ R ⁿ , Y ⊂ R ^m y Γ : X  Y una correspondencia.

(P1) Si Y es compacto, entonces Γ es hemicontinua superior y tiene valores cerrados en X si y sólo si Graph[Γ] := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ Γ(x)}, llamado gráco de Γ, es cerrado en X × Y .

(P2) Si Γ tiene valores diferentes de vacío y gráco abierto en X × Y , entonces Γ es hemicontinua inferior en X.

(P3) Si Γ es hemicontinua inferior en X, la correspondencia Γ : X  Y denida por Γ(x) = Γ(x) también es hemicontinua inferior en X.

Demostración.

(P1) Suponga que Γ es hemicontinua superior y tiene valores cerrados en X. Sea {(x _n , y _n )} _n∈N ⊂ Graph[Γ] una secuencia convergente para (x, y) ∈ X × Y . Como Γ tiene valores compactos (Y es compacto), sigue de la caracteriza- ción secuencial de hemicontinuidad superior que y ∈ Γ(x). Recíprocamente, suponga que el gráco de Γ es cerrado en X × Y . Entonces, Γ tiene valores compactos (cerrados en Y ). Dada una secuencia {(x n , y _n )} _n∈N ⊂ Graph[Γ]

tal que {x n } _n∈N converge para algún x ∈ X, como {y n } _n∈N ⊂ Y , tiene una subsecuencia convergente. Como el gráco de Γ es cerrado, el límite de esa subsecuencia esta en Γ(x). Esto concluye la demostración.

(P2) Sea {x n } _n∈N convergente para x ∈ X y je un vector y ∈ Γ(x) 6= ∅. Como (x, y) ∈ Graph[Γ] , existe ε > 0 tal que B ε ((x, y); X × Y ) ⊂ Graph[Γ] . Luego, existe N > 0 tal que, para cada n > N, hay un vector y n ∈ Γ(x _n ) tal que la secuencia {y n } _n>N converge para y cuando n crece.

(P3) Sea {x n } _n∈N ⊂ X una secuencia convergente para x ∈ X. Fije y ∈ Γ(x).

Si y ∈ Γ(x), la hemicontinuidad inferior de Γ nos garantiza que existe una secuencia {y n } _n∈N convergente para y tal que y n ∈ Γ(x _n ) ⊂ Γ(x _n ) . Ahora, si y ∈ Γ(x)\Γ(x) , para cada k ∈ N va a existir una secuencia {y n ^k } _n∈N convergente para un vector y ^k ∈ Γ(x) tal que y n ^k ∈ Γ(x _n ) ⊂ Γ(x _n ), ∀ n ∈ N y ky − y ^k k < ¹ .

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rior e inferior de la correspondencia de asignaciones presupuestariamente factibles, la cual asocia a cada vector p ∈ R ⁿ ₊ \{0} el conjunto C(p) := {x ∈ K : p.x ≤ p.w} ⊂ K ; donde w ∈ R ⁿ ++ y K := {x ∈ R ⁿ + : kxk ≤ W } , para algún W ∈ R ⁿ ++ .

Por un lado, al ser K compacto, C va a ser hemicontinua superior en R ⁿ ₊ \{0} si y solo si su gráco es cerrado. Ahora, dada una secuencia convergente, {(p n , x n )} _n∈N ⊂ Graph[C] , por denición p n .x _n ≤ p _n .w , para todo n ∈ N. Así, al tomar el límite cuando n va para innito, llegamos a que (l´ım

n p n ).(l´ım

n x n ) ≤ (l´ım

n p n ).w . Además, como K es cerrado, l´ım

n p _n ∈ K . Esto es, (l´ım

n p _n , l´ım

n x _n ) ∈ Graph(C) . Por lo tanto, C es hemicontinua superior en su dominio.

Por otro lado, la hemicontinuidad inferior la vamos a deducir de las propiedades (P 2) y (P 3). En efecto, si denimos la correspondencia ˙C : R ⁿ + \{0}  K como C(p) = {x ∈ K : p.x < p.w} ˙ , para todo p ∈ R ⁿ ₊ {0}, ˙ C(p) 6= ∅ , ya que w ∈ R ⁿ ₊₊ . Luego, sigue de la propiedad (P 2) que ˙C es hemicontinua inferior si tiene gráco abierto. Ahora, dado (p, x) ∈ Graph[ ˙C] si y sólo si x ∈ K y p.x < p.w, por lo que pequeñas perturbaciones de p y x (en K) todavía van a satisfacer la desigualdad.

Así, ˙C es hemicontinua inferior. Sigue de la propiedad (P 3) que la correspondencia C : R ˙ ⁿ + \{0}  K denida por ˙ C(p) = ˙ C(p) también es hemicontinua inferior. Como la correspondencia C tiene valores cerrados, ˙C(p) = C(p), ∀, p ∈ R ⁿ ₊ \{0} .

Esto es, la correspondencia C es hemicontinua inferior.

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CONCLUSIONES

Al término del presente trabajo, se llego a las siguientes conclusiones:

1. Dado x ∈ X, Γ(x) es compacto y la correspondencia Γ es hemicontinua supe- rior en x ∈ X si y solamente si, dado una sucesión {x n } _n∈N ⊂ X convergente para x, para toda {y n } _n∈N ⊂ Y , con y n ∈ Γ(x _n ) para todo n ∈ N, existe una subsucesión {y n

} _k∈N ⊂ {y _n } _n∈N que converge para y ∈ Γ(x).

2. Una correspondencia Γ es hemicontinua inferior en x ∈ X si y solamente si, dado una sucesión {x n } _n∈N ⊂ Y , con y n ∈ Γ(x _n ) para todo n ∈ N, que converge para y ∈ Y .

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La Escuela Académica Profesional de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas deberia coordinar con el autor de la presente obra para realizar un seminario que involucre el estudio de correspondencias y su implicancia en los modelos de Equilibrio General Walrasiano, en una Economía de Intercambio Puro.

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Referencias Bibliográcas

[1] Andreu Mascolell, Michael D. Whinston and Jerry R. Green, Mi- croeconomic Theory, Oxford University Press.

[2] Kim C. Border, Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom.

[3] Maxwell Rosenlicht, Introduction to Analysis, Dover Publications, New York.

[4] Rakesh Vohra, Advanced Mathematical Economics, Routledge, New York.

[5] Stokey, Lucas and Prescott, Recursive Methods in Economic Dynamics, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, USA.

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