R x j. E = {e 1,...,e m} x i. x k X = {x 1,...,x n}

X = {x1, . . . , xn}

xk xi

xk

R X

X× X

µR: X × X −→ [0, 1]

X

n× n R = (rij) rij =

µR(xi, xj) ∀i, j ∈ {1, . . . , n}

(0.5, 1]

•

xi

•

xi xj,

xj xi.

•

X R

x₁, x₂, . . . , xk(xk+1 = x1) xjRxj+1∀j = 1, . . . , k

xi

xj xk

xi xk

• rik≥ min{rij, rjk}

• min{rij, rjk} ≥ 0.5 ⇒ rik≥ min{rij, rjk}

• rik≥ max{rij, rjk}

•

min{rij, rjk} ≥ 0.5 ⇒ rik≥ max{rij, rjk}

• rji

rij·rkj

rjk =rki

rik

• (rij− 0.5) + (rjk− 0.5) = rik− 0.5

0.5

rii= 0.5 ∀i

rij+ rji= 1 ∀i, j

R= (rij)

∀i, j, k : rki= 1 − rik

≤ 1 − max{rij, rjk}

= min{1 − rij,1 − rjk}

= min{rji, rkj}

∀i, j, k : rki≥ max{rkj, rji}

∀i, j, k : rik= rij= rjk= 0.5.

∀i, j, k : rik= 1 − rki

≤ 1 − min{rkj, rji}

= max{1 − rkj,1 − r^ji}

= max{rjk, rij}

∀i, j, k : min{rij, rjk} ≤ rik≤ max{rij, rjk}.

{xⁱ, xj, xk} (r^ij+ rjk >

1.5) ∨ (rij+ rjk < 0.5) ⇒ rik ∈ [0, 1]

{0, 1}

xi, xj, xk

rik= f(rij, rjk) ∀i, j, k

xi xk

xj

1 XXXXXXX-z rik= f(rij, rjk)

rjk

rij

f f: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1].

f

f rij, rjk

rik

f(x, y) ≥ f(x^, y^) if x ≥ x^and y ≥ y^

f(rij, rjk) = f(ril, rlk) ∀i, j, k, l.

rij = f(ril, rlj) rlk= f(rlj, rjk).

f(f(ril, rlj), rjk) = f(ril, f(rlj, rjk)) ∀i, j, k, l.

f

f(f(x, y), z) = f(x, f(y, z)) ∀x, y, z ∈ [0, 1]

∀i, j, k : rki= f(rkj, rji) = f(1 − rjk,1 − r^ij) rki= 1 − rik= 1 − f(rij, rjk)

f(1 − rjk,1 − rij) = 1 − f(rij, rjk) ∀i, j, k.

f(x, y) + f(1 − y, 1 − x) = 1 ∀x, y ∈ [0, 1]

y= 1 − x x= y = 0.5

f(x, 1 − x) = 0.5 ∀x ∈ [0, 1]

f(0.5, 0.5) = 0.5

∀i, k : f(0.5, rik) = f(f(rik,1 − rik), rij)

= f(rik, f(1 − rik, rik))

= f(rik,0.5)

∀i, k : rik= f(rij, rjk)

= f(rij, f(rji, rik))

= f(f(rij, rji), rik).

f(rij, rji) = 0.5

rik= f(0.5, rik) ∀i, k.

f.

f(0.5, x) = f(x, 0.5) = x ∀x ∈ [0, 1]

min{r^ij, rjk} ≥ 0.5 ⇒ f(r^ij, rjk) ≥ max{r^ij, rjk} max{r^ij, rjk} ≤ 0.5 ⇒ f(r^ij, rjk) ≤ min{r^ij, rjk}

rij≤ 0.5 ≤ rjk⇒ rij≤ f(rij, rjk) ≤ rjk

x≥ 0.5 ⇒f(x, 1) = f(1, x) = 1 x≤ 0.5 ⇒f(x, 0) = f(0, x) = 0

f(0, 0) = 0 ∧ f(1, 1) = 1 (x, y) ∈ {(0, 1), (1, 0)}.

f(0, 1) = f(1, 0) = 0.5.

x≥ 0.5 ⇒ x =f(0.5, x) = f(f(0, 1), x)

=f(0, f(1, x)) = f(0, 1) = 0.5 x≤ 0.5 ⇒ x =f(x, 0.5) = f(x, f(0, 1))

=f(f(x, 0), 1) = f(0, 1) = 0.5 f(0, 1) = f(1, 0) = 0.5 0.5 = x ∀x ∈ [0, 1].

(x, y) ∈ [0, 1]²\{(0, 1), (1, 0)}.

f(0, 1) (f(1, 0))

f(0, 1) = f(0, f(1, x)) = f(f(0, 1), x) ∀x ≥ 0.5 f(0, 1) = f(f(x, 0), 1) = f(x, f(0, 1)) ∀x ≥ 0.5 0.5. f(0, 1) > 0.5 f(0, 1) = f(f(0, 1), 1) = 1 f(0, 1) < 0.5 f(0, 1) = f(0, f(0, 1)) = 0.

f(0, 1), f(1, 0) ∈ {0, 1}

f (rij, rjk)

rik.

(0, 1) (1, 0).

xlim→0f(x, 1−x) = f(0, 1) ∧ lim

x→0f(1−x, x) = f(1, 0).

f

xj, xk xl

f(rij, rjk) = f(rij, rjl) ∀i

rjk=f(0.5, rjk) = f(f(rji, rij), rjk)

=f(rji, f(rij, rjk)) = f(rji, f(rij, rjl))

=f(f(r^ji, rij), r^jl) = f(0.5, r^jl) = r^jl

f(rkj, rji) = f(rlj, rji) ∀i rkj= rlj.

f (x, y) ∈ {(0, 1), (1, 0)},

f(x, y) = f(x, z) ∀x ∈]0, 1[⇒ y = z f(y, x) = f(z, x) ∀x ∈]0, 1[⇒ y = z

f: [0, 1]×[0, 1] −→ [0, 1]

• f

[0, 1]²\{(0, 1), (1, 0)}.

• f(0, 1), f(1, 0) ∈ {0, 1}.

• f 0.5

[0, 1]

f

f f

I

F: I² −→ I I²

F(F (x, y), z) = F (x, F (y, z))∀x, y, z ∈ I F(x1, y) = F(x2, y) F(y, x1) = F (y, x2) x₁ =

x₂ y ∈ I

φ: J −→ I F(x, y) = φˆ

φ⁻¹(x) + φ⁻¹(y)˜

∀x, y ∈ I J

]−∞, γ], ]−∞, γ[, [δ, ∞[, ]δ, ∞[, ]−∞, ∞[

γ ≤ 0 ≤ δ I

φ(x) φ(Cx) C = 0

F

F

[0, 1]

f

U ]0, 1[

[0, 1]²\{(0, 1), (1, 0)}.

φ⁻¹: [0, 1] −→ [−∞, ∞] h(0) =

−∞, h(1) = ∞.

N e,

U(N(x), N(y)) =N(U(x, y)) N(e) =e

[0, 1]

N(x) = 1 − x.

N(x) = 1 − x.

rji

rij ·rkj

rjk =rki

rik ∀i, j, k.

rij >0 ∀i, j

∀i, j, k :rij· rjk· (1 − rik) = rik· rkj· rji ⇔ rij· rjk− rij· rjk· rik= rik· rkj· rji ⇔ rik· rkj· rji+ rij· rjk· rik= rij· rjk ⇔ rik· (rkj· r^ji+ r^ij· rjk) = r^ij· rjk ⇔ rik= rij· rjk

rij· rjk+ rji· rjk ⇔ rik= rij· rjk

rij· rjk+ (1 − rij) · (1 − rjk)

[0, 1]²\{(0, 1), (1, 0)}

U(x, y) = 8<

:

0, (x, y) ∈ {(0, 1), (1, 0)}

xy

xy+ (1 − x)(1 − y),

N(x) =

1−x φ⁻¹(x) =

ln_1−x^x

[0, 0.5] × [0, 0.5] [0.5, 1] × [0.5, 1]

Modelo semántico-difuso de un sistema de recomendaciones de información para

bibliotecas digitales universitarias ...73 José M. Morales-del-Castillo, Enrique Herrera-Viedma, Eduardo Peis

Universidad de Granada

Mejorando el sistema de recomendaciones SIRE2IN: un enfoque interdisciplinar ...81 Carlos Porcel Gallego, Enrique Herrera Viedma, José M. Morales del Castillo

Universidad de Córdoba

Análisis y detección de determinadas estructuras condicionales en documentos de

texto ...89 Cristina Puente, José A. Olivas

Universidad Pontificia de Comillas

Clustering documental basado en mapas de Kohonen optimizados mediante

técnicas de lógica borrosa ...97 Francisco Pascual Romero, Arturo Peralta, José Ángel Olivas, Jesús Serrano-Guerrero

Universidad de Castilla-La Mancha

Resúmenes de textos basados en conjeturas ...105 Alejandro Sobrino Cerdeiriña

Universidad de Santiago de Compostela

Applying fuzzy linguistic tools to evaluate the quality of airline web sites...113 L. Hidalgo, F.J. Cabrerizo, J. López Gijón, E. Herrera-Viedma

Universidad de Granada

Toma de Decisiones I: Modelos

Consistency of reciprocal fuzzy preference relations...123 Sergio Alonso Burgos, Francisco Chiclana, Enrique Herrera-Viedma, Francisco Herrera, Universidad de Granada

A procedure to estimate missing information in group decision-making with fuzzy

linguistic information...139 Sergio Alonso Burgos, Francisco Javier Cabrerizo Lorite, Francisco Herrera, Enrique

Herrera-Viedma, Francisco Chiclana Universidad de Granada

Borda decision rules within the linguistic framework ...149 José Luis García Lapresta, Bonifacio Llamazares, Miguel Martínez Panero

Universidad de Valladolid

Un sistema de apoyo al consenso adaptativo para problemas de toma de

decisiones en grupo con información heterogénea ...157 Luis Martínez López, Juan C. Martínez, Francisco Mata, Enrique Herrera Viedma

Universidad de Jaén

Toma de decisión en grupo basada en las alternativas ideal y anti-ideal en un

ambiente difuso...163 Mª Teresa Lamata, Mª Socorro García-Cascales, Antonio Masegosa

Universidad de Granada

ACTAS DEL

II SIMPOSIO SOBRE LÓGICA FUZZY Y SOFT COMPUTING

(LFSC 2007)

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Jorge Casillas Rafael Alcalá Sergio Alonso Luis Martínez José Ángel Olivas

Organizadas por:

European Society for Fuzzy logic and Technology (EUSFLAT)

ACTAS DELII SIMPOSIO SOBRE LÓGICA FUZZY Y SOFT COMPUTING (LFSC 2007)

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