# R x j. E = {e 1,...,e m} x i. x k X = {x 1,...,x n}

## Full text

(1)

X = {x1, . . . , xn}

xk xi

xk

(2)

R X

X× X

µR: X × X −→ [0, 1]

X

n× n R = (rij) rij =

µR(xi, xj) ∀i, j ∈ {1, . . . , n}

(0.5, 1]

xi

xi xj,

xj xi.

(3)

X R

x1, x2, . . . , xk(xk+1 = x1) xjRxj+1∀j = 1, . . . , k

xi

xj xk

xi xk

rik≥ min{rij, rjk}

min{rij, rjk} ≥ 0.5 ⇒ rik≥ min{rij, rjk}

rik≥ max{rij, rjk}

min{rij, rjk} ≥ 0.5 ⇒ rik≥ max{rij, rjk}

rji

rij·rkj

rjk =rki

rik

(rij− 0.5) + (rjk− 0.5) = rik− 0.5

0.5

rii= 0.5 ∀i

rij+ rji= 1 ∀i, j

R= (rij)

∀i, j, k : rki= 1 − rik

≤ 1 − max{rij, rjk}

= min{1 − rij,1 − rjk}

= min{rji, rkj}

∀i, j, k : rki≥ max{rkj, rji}

∀i, j, k : rik= rij= rjk= 0.5.

∀i, j, k : rik= 1 − rki

≤ 1 − min{rkj, rji}

= max{1 − rkj,1 − rji}

= max{rjk, rij}

∀i, j, k : min{rij, rjk} ≤ rik≤ max{rij, rjk}.

(4)

{xi, xj, xk} (rij+ rjk >

1.5) ∨ (rij+ rjk < 0.5) ⇒ rik ∈ [0, 1]

{0, 1}

xi, xj, xk

rik= f(rij, rjk) ∀i, j, k

xi xk

xj

1 XXXXXXX-z rik= f(rij, rjk)

rjk

rij

f f: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1].

f

f rij, rjk

rik

f(x, y) ≥ f(x, y) if x ≥ xand y ≥ y

f(rij, rjk) = f(ril, rlk) ∀i, j, k, l.

rij = f(ril, rlj) rlk= f(rlj, rjk).

f(f(ril, rlj), rjk) = f(ril, f(rlj, rjk)) ∀i, j, k, l.

f

f(f(x, y), z) = f(x, f(y, z)) ∀x, y, z ∈ [0, 1]

∀i, j, k : rki= f(rkj, rji) = f(1 − rjk,1 − rij) rki= 1 − rik= 1 − f(rij, rjk)

f(1 − rjk,1 − rij) = 1 − f(rij, rjk) ∀i, j, k.

f(x, y) + f(1 − y, 1 − x) = 1 ∀x, y ∈ [0, 1]

y= 1 − x x= y = 0.5

(5)

f(x, 1 − x) = 0.5 ∀x ∈ [0, 1]

f(0.5, 0.5) = 0.5

∀i, k : f(0.5, rik) = f(f(rik,1 − rik), rij)

= f(rik, f(1 − rik, rik))

= f(rik,0.5)

∀i, k : rik= f(rij, rjk)

= f(rij, f(rji, rik))

= f(f(rij, rji), rik).

f(rij, rji) = 0.5

rik= f(0.5, rik) ∀i, k.

f.

f(0.5, x) = f(x, 0.5) = x ∀x ∈ [0, 1]

min{rij, rjk} ≥ 0.5 ⇒ f(rij, rjk) ≥ max{rij, rjk} max{rij, rjk} ≤ 0.5 ⇒ f(rij, rjk) ≤ min{rij, rjk}

rij≤ 0.5 ≤ rjk⇒ rij≤ f(rij, rjk) ≤ rjk

x≥ 0.5 ⇒f(x, 1) = f(1, x) = 1 x≤ 0.5 ⇒f(x, 0) = f(0, x) = 0

f(0, 0) = 0 ∧ f(1, 1) = 1 (x, y) {(0, 1), (1, 0)}.

f(0, 1) = f(1, 0) = 0.5.

x≥ 0.5 ⇒ x =f(0.5, x) = f(f(0, 1), x)

=f(0, f(1, x)) = f(0, 1) = 0.5 x≤ 0.5 ⇒ x =f(x, 0.5) = f(x, f(0, 1))

=f(f(x, 0), 1) = f(0, 1) = 0.5 f(0, 1) = f(1, 0) = 0.5 0.5 = x ∀x ∈ [0, 1].

(x, y) ∈ [0, 1]2\{(0, 1), (1, 0)}.

f(0, 1) (f(1, 0))

f(0, 1) = f(0, f(1, x)) = f(f(0, 1), x) ∀x ≥ 0.5 f(0, 1) = f(f(x, 0), 1) = f(x, f(0, 1)) ∀x ≥ 0.5 0.5. f(0, 1) > 0.5 f(0, 1) = f(f(0, 1), 1) = 1 f(0, 1) < 0.5 f(0, 1) = f(0, f(0, 1)) = 0.

f(0, 1), f(1, 0) ∈ {0, 1}

f (rij, rjk)

rik.

(0, 1) (1, 0).

xlim→0f(x, 1−x) = f(0, 1) ∧ lim

x→0f(1−x, x) = f(1, 0).

f

xj, xk xl

f(rij, rjk) = f(rij, rjl) ∀i

rjk=f(0.5, rjk) = f(f(rji, rij), rjk)

=f(rji, f(rij, rjk)) = f(rji, f(rij, rjl))

=f(f(rji, rij), rjl) = f(0.5, rjl) = rjl

(6)

f(rkj, rji) = f(rlj, rji) ∀i rkj= rlj.

f (x, y) ∈ {(0, 1), (1, 0)},

f(x, y) = f(x, z) ∀x ∈]0, 1[⇒ y = z f(y, x) = f(z, x) ∀x ∈]0, 1[⇒ y = z

f: [0, 1]×[0, 1] −→ [0, 1]

• f

[0, 1]2\{(0, 1), (1, 0)}.

• f(0, 1), f(1, 0) ∈ {0, 1}.

• f 0.5

[0, 1]

f

f f

I

F: I2 −→ I I2

F(F (x, y), z) = F (x, F (y, z))∀x, y, z ∈ I F(x1, y) = F(x2, y) F(y, x1) = F (y, x2) x1 =

x2 y ∈ I

φ: J −→ I F(x, y) = φˆ

φ−1(x) + φ−1(y)˜

∀x, y ∈ I J

]−∞, γ], ]−∞, γ[, [δ, ∞[, ]δ, ∞[, ]−∞, ∞[

γ ≤ 0 ≤ δ I

φ(x) φ(Cx) C = 0

F

F

[0, 1]

f

U ]0, 1[

[0, 1]2\{(0, 1), (1, 0)}.

φ−1: [0, 1] −→ [−∞, ∞] h(0) =

−∞, h(1) = ∞.

N e,

U(N(x), N(y)) =N(U(x, y)) N(e) =e

[0, 1]

N(x) = 1 − x.

(7)

N(x) = 1 − x.

rji

rij ·rkj

rjk =rki

rik ∀i, j, k.

rij >0 ∀i, j

∀i, j, k :rij· rjk· (1 − rik) = rik· rkj· rji rij· rjk− rij· rjk· rik= rik· rkj· rji rik· rkj· rji+ rij· rjk· rik= rij· rjk rik· (rkj· rji+ rij· rjk) = rij· rjk rik= rij· rjk

rij· rjk+ rji· rjk rik= rij· rjk

rij· rjk+ (1 − rij) · (1 − rjk)

[0, 1]2\{(0, 1), (1, 0)}

U(x, y) = 8<

:

0, (x, y) ∈ {(0, 1), (1, 0)}

xy

xy+ (1 − x)(1 − y),

N(x) =

1−x φ−1(x) =

ln1−xx

[0, 0.5] × [0, 0.5] [0.5, 1] × [0.5, 1]

(8)
(9)

Modelo semántico-difuso de un sistema de recomendaciones de información para

bibliotecas digitales universitarias ...73 José M. Morales-del-Castillo, Enrique Herrera-Viedma, Eduardo Peis

Mejorando el sistema de recomendaciones SIRE2IN: un enfoque interdisciplinar ...81 Carlos Porcel Gallego, Enrique Herrera Viedma, José M. Morales del Castillo

Análisis y detección de determinadas estructuras condicionales en documentos de

texto ...89 Cristina Puente, José A. Olivas

técnicas de lógica borrosa ...97 Francisco Pascual Romero, Arturo Peralta, José Ángel Olivas, Jesús Serrano-Guerrero

Resúmenes de textos basados en conjeturas ...105 Alejandro Sobrino Cerdeiriña

Applying fuzzy linguistic tools to evaluate the quality of airline web sites...113 L. Hidalgo, F.J. Cabrerizo, J. López Gijón, E. Herrera-Viedma

Toma de Decisiones I: Modelos

Consistency of reciprocal fuzzy preference relations...123 Sergio Alonso Burgos, Francisco Chiclana, Enrique Herrera-Viedma, Francisco Herrera, Universidad de Granada

A procedure to estimate missing information in group decision-making with fuzzy

linguistic information...139 Sergio Alonso Burgos, Francisco Javier Cabrerizo Lorite, Francisco Herrera, Enrique

Borda decision rules within the linguistic framework ...149 José Luis García Lapresta, Bonifacio Llamazares, Miguel Martínez Panero

Un sistema de apoyo al consenso adaptativo para problemas de toma de

decisiones en grupo con información heterogénea ...157 Luis Martínez López, Juan C. Martínez, Francisco Mata, Enrique Herrera Viedma

Toma de decisión en grupo basada en las alternativas ideal y anti-ideal en un

ambiente difuso...163 Mª Teresa Lamata, Mª Socorro García-Cascales, Antonio Masegosa

(10)

ACTAS DEL

### II SIMPOSIO SOBRE LÓGICA FUZZY Y SOFT COMPUTING

(LFSC 2007)

EDITORES

Enrique Herrera Viedma Juan Luis Castro

Jorge Casillas Rafael Alcalá Sergio Alonso Luis Martínez José Ángel Olivas

European Society for Fuzzy logic and Technology (EUSFLAT)

(11)

ACTAS DELII SIMPOSIO SOBRE LÓGICA FUZZY Y SOFT COMPUTING (LFSC 2007)

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