Criterio de la convexidad de una funci´ on en t´ erminos de su epigrafo

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Funciones convexas

Objetivos. Estudiar criterios y propiedades de las funciones convexas definidas en sub- conjuntos convexos de espacios vectoriales reales.

Requisitos. Conjuntos convexos, combinaciones convexas.

1. Sea V un espacio vectorial, sean x1, x2 ∈ V , sean y1, y2 ∈ R y sea µ ∈ [0, 1]. Encuentre un punto (z, w) ∈ V × R tal que

(z, w) − (x1, y1) = µ (x2, y2) − (x1, y1).

2. Definici´on (funci´on convexa). Sea A un subconjunto convexo de un espacio vectorial real V . Una funci´on f : A → R es llamada convexa si para todo par de puntos x1, x2 ∈ A y todo par de n´umeros λ, µ ≥ 0 tales que λ + µ = 1,

f (λx1+ µx2) ≤ λf (x1) + µf (x2).

3. Observaci´on (otra forma de la definici´on de funci´on convexa). Sea A un subconjunto convexo de un espacio vectorial real V . Una funci´on f : A → R es convexa si y s´olo si para todo par de puntos x1, x2 ∈ A y todo n´umero λ ∈ [0, 1] se cumple la desigualdad

f (λx1+ (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2).

4. Explique el sentido geom´etrico de la convexidad de una funci´on.

5. Ejercicio. Demuestre que la funci´on f : R2 → R definida mediante f(x, y) = x2+ y2 es convexa.

6. La suma de dos funciones convexas. Sean f, g : V → R funciones convexas. De- muestre que la funci´on f + g es convexa.

7. Un m´ultiplo positivo de una funci´on convexa. Sea f : V → R una funci´on convexa y sea α ≥ 0. Demuestre que la funci´on αf es convexa.

8. Combinaci´on lineal con coeficientes positivos de funciones convexas. Sean m ∈ {1, 2, . . .}, f1, . . . , fm: V → R funciones convexas y α1, . . . , αm ≥ 0. Demuestre que la funci´onPm

k=1αkfk es convexa. Por consecuencia, el conjunto de las funciones convexas es un cono convexo.

9. Diferencia de dos funciones convexas. Construya dos funciones convexas f, g : R → R tales que su diferencia f − g no es convexa.

Funciones convexas, p´agina 1 de 2

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Criterio de la convexidad de una funci´ on en t´ erminos de su epigrafo

10. Definici´on (epigrafo). Sea A un subconjunto convexo de un espacio vectorial real V y sea f : A → R una funci´on. El epigrafo de la funci´on f es el siguiente subconjunto de V × R:

epi(f ) := {(x, y) ∈ V × R : x ∈ A, y ≥ f (x)}.

11. Ejemplo de epigrafo. Dibuje los epigrafos de las siguientes funciones:

1. f : R → R, f (x) = x2. 2. f : R → R, f (x) = −|x|.

12. Observaci´on. En la definici´on de epigrafo, V y R son espacios vectoriales reales.

Por lo tanto V × R tambi´en se puede considerar como un espacio vectorial real, con las operaciones definidas componente a componente:

(a, x) + (b, y) := (a + b, x + y); λ(a, x) := (λx, λx).

13. Criterio de que una funci´on es convexa en t´erminos de su epigrafo. Sea A un subconjunto convexo de un espacio vectorial real V y sea f : A → R una funci´on.

Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) f es convexa.

(b) el epigrafo epi(f ) de la funci´on f es un subconjunto convexo de V × R.

Desigualdad de Jensen finita

14. Valor de una funci´on convexa en una combinaci´on convexa (desigualdad de Jensen finita). Sea A un subconjunto convexo de un espacio vectorial real V y sea f : A → R una funci´on convexa. Sean m ∈ {1, 2, . . .}, x1, . . . , xm ∈ A y λ1, . . . , λm ≥ 0 tales que Pm

j=1λj = 1. Entonces f

m

X

j=1

λjxj

!

k

X

j=1

λjf (xj).

Idea de demostraci´on. Inducci´on matem´atica sobre m. Note que si λ3 < 1, entonces λ1x1+ λ2x2+ λ3x3 = (1 − λ3)

 λ1

1 − λ3x1+ λ2

1 − λ3x2



+ λ3x3.

Funciones convexas, p´agina 2 de 2

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