Criterio de la convexidad de una funci´ on en t´ erminos de su epigrafo

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Funciones convexas

Objetivos. Estudiar criterios y propiedades de las funciones convexas definidas en sub- conjuntos convexos de espacios vectoriales reales.

Requisitos. Conjuntos convexos, combinaciones convexas.

1. Sea V un espacio vectorial, sean x₁, x₂ ∈ V , sean y₁, y₂ ∈ R y sea µ ∈ [0, 1]. Encuentre un punto (z, w) ∈ V × R tal que

(z, w) − (x₁, y₁) = µ (x₂, y₂) − (x₁, y₁).

2. Definición (función convexa). Sea A un subconjunto convexo de un espacio vectorial real V . Una función f : A → R es llamada convexa si para todo par de puntos x1, x₂ ∈ A y todo par de números λ, µ ≥ 0 tales que λ + µ = 1,

f (λx1+ µx2) ≤ λf (x1) + µf (x2).

3. Observación (otra forma de la definición de función convexa). Sea A un subconjunto convexo de un espacio vectorial real V . Una función f : A → R es convexa si y sólo si para todo par de puntos x₁, x₂ ∈ A y todo número λ ∈ [0, 1] se cumple la desigualdad

f (λx₁+ (1 − λ)x₂) ≤ λf (x₁) + (1 − λ)f (x₂).

4. Explique el sentido geom´etrico de la convexidad de una funci´on.

5. Ejercicio. Demuestre que la funci´on f : R² → R definida mediante f(x, y) = x²+ y² es convexa.

6. La suma de dos funciones convexas. Sean f, g : V → R funciones convexas. De- muestre que la funci´on f + g es convexa.

7. Un múltiplo positivo de una función convexa. Sea f : V → R una función convexa y sea α ≥ 0. Demuestre que la función αf es convexa.

8. Combinaci´on lineal con coeficientes positivos de funciones convexas. Sean m ∈ {1, 2, . . .}, f₁, . . . , f_m: V → R funciones convexas y α1, . . . , α_m ≥ 0. Demuestre que la funci´onPm

k=1α_kf_k es convexa. Por consecuencia, el conjunto de las funciones convexas es un cono convexo.

9. Diferencia de dos funciones convexas. Construya dos funciones convexas f, g : R → R tales que su diferencia f − g no es convexa.

Funciones convexas, p´agina 1 de 2

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Criterio de la convexidad de una funci´ on en t´ erminos de su epigrafo

10. Definición (epigrafo). Sea A un subconjunto convexo de un espacio vectorial real V y sea f : A → R una función. El epigrafo de la función f es el siguiente subconjunto de V × R:

epi(f ) := {(x, y) ∈ V × R : x ∈ A, y ≥ f (x)}.

11. Ejemplo de epigrafo. Dibuje los epigrafos de las siguientes funciones:

1. f : R → R, f (x) = x². 2. f : R → R, f (x) = −|x|.

12. Observaci´on. En la definici´on de epigrafo, V y R son espacios vectoriales reales.

Por lo tanto V × R tambi´en se puede considerar como un espacio vectorial real, con las operaciones definidas componente a componente:

(a, x) + (b, y) := (a + b, x + y); λ(a, x) := (λx, λx).

13. Criterio de que una función es convexa en términos de su epigrafo. Sea A un subconjunto convexo de un espacio vectorial real V y sea f : A → R una función.

Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) f es convexa.

(b) el epigrafo epi(f ) de la funci´on f es un subconjunto convexo de V × R.

Desigualdad de Jensen finita

14. Valor de una función convexa en una combinación convexa (desigualdad de Jensen finita). Sea A un subconjunto convexo de un espacio vectorial real V y sea f : A → R una función convexa. Sean m ∈ {1, 2, . . .}, x1, . . . , x_m ∈ A y λ₁, . . . , λ_m ≥ 0 tales que Pm

j=1λ_j = 1. Entonces f

m

X

j=1

λ_jx_j

!

≤

k

X

j=1

λ_jf (x_j).

Idea de demostración. Inducción matemática sobre m. Note que si λ₃ < 1, entonces λ₁x₁+ λ₂x₂+ λ₃x₃ = (1 − λ₃)