Propiedad subaditiva de la medida

Medidas

Objetivos. Definir la noci´on de medidas y estudiar sus propiedades b´asicas.

Requisitos. Sigma-´algebras de conjuntos, series de n´umeros, conjuntos numerables y no numerables, sucesiones mon´otonas de conjuntos.

1. Definici´on (sucesi´on disjunta de conjuntos). Sea (A_j)_j∈N una sucesi´on de conjun- tos. Decimos que los elementos de la sucesi´on son disjuntos por pares o brevemente que la sucesi´on es disjunta si

∀j, k ∈ N (j 6= k) =⇒ A_j ∩ A_k = ∅.

2. Definici´on (medida). Sea X un conjunto y seaF una σ-´algebra sobre X. Una funci´on µ : F → [0, +∞] se llama medida (o medida positiva) si µ(∅) = 0 y µ es σ-aditiva. Lo

´

ultimo significa que para cualquier sucesi´on disjunta (A_j)_j∈N ∈F^N se cumple la igualdad

µ [

j∈N

A_j

!

=X

j∈N

µ(A_j).

Notemos que el lado izquierdo de esta igualdad est´a bien definido pues S

j∈NA_j ∈ F.

Ambos lados de esta igualdad pueden ser iguales a +∞.

3. Definici´on (medida compleja o carga). La definici´on es similar, pero µ : F → C.

4. Sea µ : F → [0, +∞] una funci´on σ-aditiva tal que µ(A) < +∞ para alg´un A ∈ F.

Entonces µ(∅) = 0.

Ejemplos triviales de medidas

En cada uno de los siguientes ejemplos hay que demostrar que µ es una medida.

5. Medida de conteo. Sea X un conjunto. Pongamos F = 2^X y definamos la funci´on µ : F → [0, +∞] de la siguiente manera:

µ(A) :=

(+∞, si A es infinito;

|A|, si A es finito.

Aqu´ı |A| es el n´umero de elementos del conjunto A, esto es, la cardinalidad de A.

Medidas, p´agina 1 de 4

6. Sea X un conjunto, sea F = 2^X y sea x0 ∈ X. Definamos µ : F → [0, +∞] de la siguiente manera:

µ(A) :=

(1, si x₀ ∈ A;

0, si x₀ ∈ A./

7. Sea X un conjunto no numerable. Denotemos por N al conjunto de todos los subcon- juntos finitos o numerables de X. Como ya hemos visto, la siguiente colecci´on de conjuntos es una σ-´algebra sobre X:

F := A ⊂ X : A ∈N ∨ A^c∈N . Definimos µ : F → [0, +∞] mediante la regla

µ(A) :=

(0, A ∈N;

+∞, A^c∈N.

Propiedades elementales de las medidas

Suponemos que F es una σ-´algebra sobre X y que µ: F → [0, +∞] es una medida.

8. Propiedad aditiva. Sean A₁, . . . , A_m ∈F conjuntos disjuntos, es decir, Ai∩ A_j = ∅ siempre que i 6= j. Entonces

µ

m

[

i=1

A_i

!

=

m

X

i=1

µ(A_i).

9. Sean A, B ∈F tales que A ⊂ B. Entonces

µ(A) + µ(B \ A) = µ(B).

10. Propiedad mon´otona. Sean A, B ∈F tales que A ⊂ B. Entonces µ(A) ≤ µ(B).

11. Sean A, B ∈F tales que A ⊂ B y µ(A) < +∞. Entonces µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).

12. Sean A, B ∈F. Entonces

µ(A) + µ(B) = µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B).

Medidas, p´agina 2 de 4

Continuidad de medida por abajo y por arriba

13. Continuidad por abajo. Sea (A_i)^∞_i=1una sucesi´on creciente enF, esto es, Ai ⊂ A_i+1 para todo i. Denotemos por B a la uni´on de esta sucesi´on: B :=S∞

i=1A_i. Entonces µ(B) = lim

i→∞µ(A_i).

Idea:

∞

[

i=1

A_i =

∞

[

k=1

D_k, donde D_k = A_k\ A_k−1 y A₀ = ∅.

14. Continuidad por arriba. Sea (A_i)^∞_i=1una sucesi´on decreciente enF, esto es, Ai+1⊂ A_i para todo i. Sea B =T∞

i=1A_i. Se supone que µ(A₁) < +∞. Demuestre que µ(B) = lim

i→∞µ(Ai).

15. Ejercicio. Muestre con un ejemplo que la condici´on µ(A1) < +∞ en la proposici´on anterior es esencial, es decir, sin esta condici´on la afirmaci´on no es correcta.

Propiedad subaditiva de la medida

16. Propiedad subaditiva, el caso de dos conjuntos. Sean A, B ∈F. Entonces µ(A ∪ B) ≤ µ(A) + µ(B).

17. Propiedad subaditiva, el caso finito. Sean A₁, . . . , A_n∈F. Entonces

µ

n

[

k=1

A_k

!

≤

n

X

k=1

µ(A_k).

Idea de demostraci´on. Inducci´on matem´atica sobre n y la proposici´on anterior.

18. Proposici´on (propiedad subaditiva, el caso numerable). Sea (A_j)_j∈N una su- cesi´on en F. Entonces

µ [

j∈N

A_j

!

≤X

j∈N

µ(A_j).

Idea de demostraci´on. Definamos conjuntos U_k, k ∈ N, como “uniones parciales” de la sucesi´on (A_j)_j∈N:

U_k = [

j≤k

A_j.

Medidas, p´agina 3 de 4

Es f´acil ver que

[

j∈N

A_j = [

k∈N

U_k.

Adem´as (U_k)_k∈N es una sucesi´on creciente de conjuntos y µ(U_k) ≤ P

j≤kµ(A_j). Por lo tanto,

µ [

j∈N

A_j

!

= µ [

k∈N

U_k

!

= lim

k→∞µ(U_k) ≤ lim

k→∞

X

j≤k

µ(A_j) =X

j∈N

µ(A_j).

19. Ejercicio. Haga la demostraci´on con todos los detalles.

20. Corolario (uni´on de una sucesi´on de conjuntos de medida cero). Sea (A_j)_j∈N una sucesi´on en F tal que µ(Aj) = 0 para todo j en N. Entonces

µ [

j∈N

A_j

!

= 0.

Medidas σ-finitas

21. Criterio de que una medida es σ-finita. Sea (X,F, µ) un espacio con medida.

Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) Existe una sucesi´on (A_i)_i∈N de conjuntos F-medibles tales que µ(Ai) < +∞ para todo i ∈ N y X =S

i∈NA_i.

(b) Existe una sucesi´on creciente (B_i)_i∈Nde conjuntosF-medibles tales que µ(Bi) < +∞

para todo i ∈ N y X =S

i∈NB_i.

(c) Existe una sucesi´on (C_i)_i∈N de conjuntos disjuntos por pares,F-medibles y tales que µ(C_i) < +∞ para todo i ∈ N, y X =S

i∈NC_i.

Si µ cumple con estas condiciones, entonces se llama σ-finita.

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