Ejemplo de demostración de que cierto lenguaje es el lenguaje aceptado por un AFND.

Ejemplo de demostraci´on de que cierto

lenguaje es el lenguaje aceptado por un

AFND.

Sea el siguiente aut´omata finito no determinista M:

q0 a q1

b

q2 b

c

Sea L ={x ∈ {a, b, c}∗_{/x es de la forma a(ba)}k_bcm _{, con k ≥0, m >0}.}

Demostraremos que L(M) = L. Para ello, primero demostraremos que L ⊆ L(M) y luego que L(M)⊆L.

Previamente, definimos los siguientes lenguajes auxiliares: - Lq0 ={x∈ {a, b, c}∗/q0 ∈δ(qˆ 0, x)}

- Lq1 ={x∈ {a, b, c}∗/q1 ∈δ(qˆ 0, x)}

- Lq2 ={x∈ {a, b, c}∗/q2 ∈δ(qˆ 0, x)}

Es decir, cada lenguaje contiene las tiras que llegan al estado correspon-diente. Puede observarse que L(M) es la uni´on de los lenguajes correspon-dientes a estados finales.

- P0) x es de la forma (ab)k_{, con k ≥0}

- P1) x es de la formaa(ba)k_{, con k≥0}

- P2) x es de la formaa(ba)k_bcm_{, con k≥0, m≥0}

Demostramos primero que L(M) ⊆ L. Esto es equivalente a demostrar que si w∈L(M), entonces w∈L, para cualquier tira w.

Para ello, demostraremos por inducci´on completa en la cantidad de pasos que lleva reconocer w (denotada τ(w)), las siguientes propiedades:

1. Si w∈Lq0 ⇒w cumple P0

2. Si w∈Lq1 ⇒w cumple P1

3. Si w∈Lq2 ⇒w cumple P2

Las tres inducciones deben hacerse al mismo tiempo dado que, como se ver´a, la demostraci´on de la tesis inductiva en alguna de ellas utiliza la

hip´ote-sis inductiva de otra.

Paso Base: consideramos las tiras m´as cortas que llegan a cada estado: - PB0)w ∈Lq0 y τ(w) = 0 ⇒ (por def de M) w=² ⇒w = (ab)0 ⇒w

cumple P0

- PB1)w∈Lq1 y τ(w) = 1 ⇒(por def de M) w=a⇒w=a(ba)0 ⇒w

cumple P1

- PB2)w∈Lq2 yτ(w) = 2⇒(por def de M)w=ab⇒w=a(ba)0bc0 ⇒

w cumple P3

Hip´otesis Inductivas: suponemos que, dado un ciertoh, para toda tira w tal que w se reconoce en h pasos o menos, se cumple:

- HI0) si w∈Lq0 ⇒w cumple P0

- HI1) si w∈Lq1 ⇒w cumple P1

- HI2) si w∈Lq2 ⇒w cumple P2

Tesis Inductivas: si las hip´otesis inductivas son v´alidas, para toda tira w tal que w se reconoce en h+ 1 pasos se cumple:

- TI0) siw∈Lq0 ⇒w cumple P0

- TI1) siw∈Lq1 ⇒w cumple P1

- TI2) siw∈Lq2 ⇒w cumple P2 Demostraci´on

TI0) Si w ∈ Lq0 entonces, por definici´on de δ, w = w0b, con w0 ∈ Lq1.

Como τ(w0_{) = h, por la hip´otesis inductiva HI1, w = w}0_{b con w}0 ₌

a(ba)k_{, con k ≥0. Entonces, w es de la forma a(ba)}k_{b = (ab)}k+1_{, y por}

lo tanto w cumple P0.

TI1) Si w ∈Lq1 entonces, por definici´on de δ, w=w0a, con w0 ∈ Lq0.

Como τ(w0_{) = h, por la hip´otesis inductiva HI0, w = w}0_{a con w}0 ₌

(ab)k_{, con k ≥0. Entonces, w es de la forma (ab)}k_a=a(ba)k_{, y por lo}

tanto wcumple P1.

TI2) Si w∈Lq2, por la la definici´on de δ,w puede tener dos formas

- w=w0_{b, conw}0 _∈L

q1. Comoτ(w0) =h, por la hip´otesis inductiva

HI1, w = w0_{b con w}0 _{= a(ba)}k_{, con k ≥ 0. Entonces, w es de la}

forma a(ba)k_bc0 _{= (ab)}k+1_c0_{, y por lo tantow cumple P2.}

- w=w0_{c, conw}0 _∈L

q2. Comoτ(w0) = h, por la hip´otesis inductiva

HI2,w=w0_cconw0 _=a(ba)k_bcm_{, conk ≥0 ym ≥0. Entonces, w}

es de la formaa(ba)k_bcm_{c= (ab)}k+1_cm+1_{, y por lo tantowcumple}

P2.

Entonces, por el principio de inducci´on completa, se cumplen las propie-dades P1, P2 y P3 para toda tira wdel alfabeto. En particular, la propiedad P3 es lo que se quer´ıa demostrar.

Resta demostrar el rec´ıproco de la propiedad anterior, es decir que si una tira pertenece a L, entonces es reconocida por el aut´omata.

Demostraremos por inducci´on completa en el largo de la tira w, las si-guientes propiedades:

1. Si w cumple P0 ⇒w∈Lq0

2. Si w cumple P1 ⇒w∈Lq1

Como puede verse, las propiedades que se demuestran aqu´ı son las rec´ıpro-cas de las demostradas en el paso anterior.

Las tres inducciones deben hacerse al mismo tiempo dado que, como se ver´a, la demostraci´on de la tesis inductiva en alguna de ellas utiliza la

hip´ote-sis inductiva de otra.

Paso Base: consideramos las tiras m´as cortas cumplen cada una de las propiedades:

- PB0)w cumple P0 y |w|= 0⇒w=²⇒ (por def de M)w∈Lq0

- PB1)w cumple P1 y |w|= 1⇒w=a⇒ (por def de M) w∈Lq1

- PB2)w cumple P2 y |w|= 2⇒w=ab⇒(por def de M) w∈Lq2 Hip´otesis Inductivas: suponemos que, dado un cierto h, para toda tira w/|w| ≤h se cumple:

- HI0) si w cumple P0 ⇒w∈Lq0

- HI1) si w cumple P1 ⇒w∈Lq1

- HI2) si w cumple P2 ⇒w∈Lq2

Tesis Inductivas: si las hip´otesis inductivas son v´alidas, para toda tira w/|w|=h+ 1 se cumple:

- TI0) siw cumple P0 ⇒w∈Lq0

- TI1) siw cumple P1 ⇒w∈Lq1

- TI2) siw cumple P2 ⇒w∈Lq2 Demostraci´on

TI0) Si w cumple P0 entonces w es de la forma (ab)k _{= w}0_{b, con}

w0 _=a(ba)k−1_{. Como |w}0_{|=h, por la hip´otesis inductiva HI1,w=w}0_b,

con w0 _∈L

q1, y por la definici´on deδ w∈Lq0.

TI1) Si w cumple P1 entonces w es de la forma a(ba)k _{= w}0_{a, con}

w0 _{= (ab)}k_{. Como |w}0_{| = h, por la hip´otesis inductiva HI0, w = w}0_a,

con w0 _∈L

TI2) Si w cumple P2, w=a(ba)k_bcm_{, con k ≥0, m≥0.}

- Si m= 0, w=a(ba)k_{b y entonces w=w}0_{bcon w}0 _=a(ba)k_{. Como}

|w0_{|= h, por la hip´otesis inductiva HI1,w =w}0_{b con w}0 _{∈ L}

q1, y

por la definici´on deδ, w∈Lq2

- Sim >0,w=a(ba)k_bcm_{y entoncesw=w}0_cconw0 _=a(ba)k_bcm−1_.

Como |w0_{| = h, por la hip´otesis inductiva HI2, w = w}0_{c con}

w0 _∈L

q2, y por la definici´on de δ, w∈Lq2

Entonces, por el principio de inducci´on completa, se cumplen las propie-dades P1, P2 y P3 para toda tira wdel alfabeto. En particular, la propiedad P3 es lo que se quer´ıa demostrar.