2 Sucesiones de números reales

2

Sucesiones de n´

umeros reales

2.1. Sucesiones

En el siguiente cap´ıtulo introduciremos la noci´on de l´ımite de una funci´on real de variable real utilizando para ello la noci´on de sucesi´on. El prop´osito del presente cap´ıtulo es introducir al lector en el estudio de las propiedades m´as b´asicas e importantes de las sucesiones de n´umeros reales.

Podemos iniciar este estudio utilizando una definici´on intuitiva de lo que es una sucesi´on.

2.1.1. Definici´on. Una sucesi´on es una lista infinita de n´umeros dis-puestos en un orden determinado.

Con esta definici´on, la lista de los n´umeros pares 2,4,6,8,10,12,14,16, . . . , es una sucesi´on. De igual manera, los n´umeros

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈, . . . ,

donde an = (−1)n para cada n ∈ N, forman una sucesi´on (note que en

este caso la lista tiene la siguiente forma₋1,1,₋1,1,₋1,1,₋1,1, . . .). Un hecho importante que se debe tener presente es que una sucesi´on no es simplemente un conjunto de n´umeros. Recordemos que si en un conjunto cambiamos el orden en que son escritos sus elementos obtenemos el mismo conjunto (por ejemplo, los conjuntos {1,2,3} y {2,3,1} son iguales), por el contrario, en una sucesi´on, si uno cambia el orden de todos o de algunos de sus t´erminos entonces se obtiene una nueva sucesi´on. Por ejemplo, la sucesi´on

−1,1,₋1,1,₋1,1,₋1,1, . . . es una sucesi´on distinta de la sucesi´on

1,₋1,1,₋1,1,₋1,1,₋1, . . . , y la sucesi´on

1,2,3,4,5,6, . . . es una sucesi´on diferente a la sucesi´on

Como ya habr´a notado el lector, para especificar o definir a una sucesi´on uno puede dar una lista de los primeros t´erminos de la sucesi´on y usar despu´es puntos suspensivos para sugerir que la sucesi´on contin´ua gener´an-dose de un modo ya claro. Por ejemplo, las siguientes listas de n´umeros determinan sucesiones:

1,3,5,7,9,11,13,15,17, . . . , 5,10,15,20,25,30,35,40,45, . . . , 1,4,9,16,25,36,49,64,81, . . . ,

Un breve an´alisis de las listas de n´umeros permite concluir que el n´umero 19 es el d´ecimo t´ermino de la sucesi´on plasmada en el primer rengl´on, que la sucesi´on que ocupa el segundo rengl´on tiene por d´ecimo t´ermino al n´umero real 50 y que la tercera sucesi´on tiene por d´ecimo t´ermino al n´umero real 100.

En algunas ocasiones es posible establecer una f´ormula que proporcione una forma de calcular los valores de todos los t´erminos de una sucesi´on. As´ı por ejemplo, la sucesi´on de los n´umeros pares tiene por una f´ormula general aan= 2n, donde n recorre al conjunto de los n´umeros naturales.

De igual manera, la sucesi´on 1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8, . . . , tiene por f´ormula general a an =

1 n donde n∈N, y la sucesi´on 1 2,4, 1 8,16, 1 32,64, 1 128, . . . , tiene por f´ormula general a an = 2(−1)

n_n

para cada n _∈ N. Note-mos que para esta ´ultima sucesi´on es posible dar una f´ormula para los t´erminos pares y otra para los t´erminos impares, generando de esta man-era otra f´ormula que permite calcular el valor de todos los t´erminos de esta sucesi´on (esto permite concluir que una sucesi´on no tiene necesariamente una ´unica f´ormula general):

an =    2n _{sin es par,} 1 2n sin es impar.

Notemos ahora que la expresi´on algebraica bn = n(n₂+1) (n ∈ N) es una

f´ormula general para la sucesi´on

1,1 + 2,1 + 2 + 3,1 + 2 + 3 + 4,1 + 2 + 3 + 4 + 5, . . .

Por otra parte, la f´ormula an = n! donde n ∈ N (por definici´on 0! =

1 = 1! y cuando n > 2 se define a n! = 1_·2_·3_{· · ·}(n ₋1)_·n), permite describir a la sucesi´on

cuyo primer t´ermino es el n´umero 1, cuyo segundo t´ermino es el n´umero 2, cuyo tercer t´ermino es el n´umero 6, cuyo cuarto t´ermino es el n´umero 24, etc´etera.

Por otro lado, la f´ormula general cn= 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3!+· · ·+ 1 n!, donde n_∈N, describe a la sucesi´on

2,5 2, 16 6 , 65 24, . . . ,

cuyo primer t´ermino es el n´umero 2, cuyo segundo t´ermino es el n´umero real 5₂, cuyo tercer t´ermino es 16₆ , cuyo cuarto t´ermino es el n´umero 65₂₄, etc´etera.

Es oportuno mencionar que a´un cuando es deseable que cualquier sucesi´on se pudiera representar mediante una f´ormula general expresable como regla algebraica, ´este no es el caso para la sucesi´on cuyos t´erminos son los d´ıgitos de la expansi´on decimal del realπ:

3,1,4,5,9,2,6,5,3, . . . ,

ni para la sucesi´on de n´umeros primos ordenados por magnitud 2,3,5,7,11,13,17,19,23, . . .

Tambi´en sucede que en muchas ocasiones es muy dif´ıcil, de la simple observaci´on de los t´erminos de una sucesi´on, obtener una f´ormula general. Por ejemplo, la sucesi´on de Fibonacci

1,1,2,3,5,8,13,21,34, . . . , tiene por f´ormula general a la ecuaci´on

an=

(1 +√5)n₋₍₁₋√₅₎n

2n√₅ (n ∈N)

En otras ocasiones escribir la f´ormula general de una sucesi´on es una tarea engorrosa. Por ejemplo, la sucesi´on

√ 2, q 2 +√2, r 2 + q 2 +√2, s 2 + r 2 + q 2 +√2, . . . , tiene por f´ormula general a

a_n = s 2 + r 2 + q 2 +. . .+√2 (n radicales) ∀ n_∈N

En los dos ejemplos anteriores es sencillo percatarse de que cada t´ermino (a partir de “cierto momento”) se puede ir generando de una manera sen-cilla a partir de los t´erminos anteriores. Por ejemplo, en la sucesi´on de

Fibonacci, cada t´ermino es la suma de los dos anteriores, una vez dados los dos primeros t´erminos:

1,1,2 = 1 + 1,3 = 2 + 1,5 = 3 + 2,8 = 5 + 3,13 = 8 + 5, . . . Sucesiones que tienen una caracter´ıstica semejante a la sucesi´on de Fibonacci tienen un nombre especial; ´estas son llamadas sucesiones re-currentes. (La idea fundamental para llamar de esta manera a este tipo de sucesiones es que para ir obteniendo cada t´ermino de ellas, uno recurre a los t´erminos anteriores al t´ermino que se desea conocer).

Una definici´on “m´as formal” de sucesi´on recurrente es la siguiente.

2.1.2. Definici´on. Una sucesi´on es una sucesi´on recurrente si est´a ex-presada por medio de una f´ormula de recurrencia.

Para explicar con mayor detalle esta definici´on regresemos a la sucesi´on de Fibonacci.

Como ya hemos hecho observar, para determinar a cada t´ermino de la sucesi´on de Fibonacci, una vez establecidos los dos primeros t´erminos de esa sucesi´on, es suficiente sumar los dos t´erminos anteriores al t´ermino que se desea determinar; notemos ahora que todo esto lo podemos resumir con la siguiente f´ormula:

an =      a1 = 1 t´ermino dado a2 = 1 t´ermino dado an=an−1 +an−2 para n>3

F´ormulas como la anterior son llamadas f´ormulas de recurrencia, porque expresan cada t´ermino en funci´on del precedente, y lo que acabamos de hacer con la sucesi´on de Fibonacci es establecer una f´ormula de recurren-cia que la define.

La f´ormula de recurrencia de car´acter m´as general tiene la forma si-guiente:

an=

(

a₁, a₂, . . . , ak t´erminos dados o conocidos;

an=F(ak, ak₋1, . . . , a2, a1) para n >k+ 1

donde F(ak, ak−1, . . . , a2, a1) es una funci´on que depende de los valores

que tengan ak, ak−1, . . . , a2, a1, o dicho de otra manera:

“F(a_k, a_k−1, . . . , a₂, a₁) es una f´ormula que expresa la manera en que pueden ser calculados los valores de los t´erminos an, para n > k + 1, conociendo los valores de los t´erminosak, ak₋1, . . . , a2, a1”.

Por ejemplo, para la sucesi´on de Fibonacci se tiene queF(an₋1, an₋2) =

an₋1+an₋2 para n >3.

Finalmente, estamos ya en posici´on de entender la noci´on de sucesi´on recurrente: Una sucesi´on es recurrente si puede ser establecida una f´ormula de recurrencia que la describa.

Como un ejemplo de todo lo anterior, notemos que la f´ormula an = (√ 2 cuando n= 1 √ 2 +an₋1 cuando n>2

es una f´ormula de recurrencia para la sucesi´on √ 2, q 2 +√2, r 2 + q 2 +√2, s 2 + r 2 + q 2 +√2, . . . , cuya f´ormula general, recuerde, es

an = s 2 + r 2 + q 2 +. . .+√2 (n radicales) ∀ n_∈N

2.2. Problemas

(1) Escriba los 5 primeros t´erminos de cada una de las siguientes sucesiones: (a)an =n(n+ 1) (b)an= (−1)n+n (c) an = (−1)nn (d)a1= 3,an= 3 + an−1 10 (n>2) (e) an = 1 + 1 2 +. . .+ 1 n (f) an = n₋1 n+ 1 (g)an = 2n+ 1 n2 (h)an= √_{n+ 1} (i)p1= 1, pn+1=q−pn (n∈N) (j)a1= 1,ak+1= 2 3ak (k∈N). (2) Hallar f´ormulas generales que especifiquen a las siguientes sucesiones:

(a) 1 2,1,2,4,8,16,32, . . . (b) 0.4,0.44,0.444,0.4444, . . . (c) 1,₋2,3,₋4,5,₋6, . . . (d) 1,2,9,64,625,7776,117649, . . . (e) 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, . . . (f) 0, 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, . . . (g) 0,1 3, 2 4, 3 5, 4 6, 5 7, . . . (h) 1 4, 4 9, 9 16, 16 25, 25 36, 36 49, . . .

(3) Dadas las siguientes sucesiones recurrentes hallar f´ormulas generales que las representen. (a)a1= 1,an = (−1)an−1(n>2) (b)a1= 1 2, an= 1 2an−1 (n>2) (c) a1= 3 10,an+1=an+ 1 3n+1 (n∈N) (d)a1= 0,an= 1 2−an−1 ( n>2) (4) Escriba una f´ormula de recurrencia para cada una de las siguientes sucesiones:

(a)an = 1 + 1 2+ 1 3 +· · ·+ 1 n (b)an= 1 + 1 1!+ 1 2!+· · ·+ 1 n! (c) an = r 2 + q 2 +p2 +. . .+√2 (nradicales,n_∈N) (d) 0.4,0.44,0.444,0.4444,0.44444, . . .

(5) Si una sucesi´on tiene la f´ormula de recurrencia ( a1 an =F(an−1) , donde F :R_→Res una funci´on,

(a) Demuestre quea3=F(F(a1))

(b) Escriba la f´ormula que daa4en t´erminos de a1

(c) Escriba la f´ormula que daa10en t´erminos de a8

(d) Escriba la f´ormula que daan en t´erminos deak, para 16k < n. (6) Un Banco ofrece a sus clientes una tasa de inter´es de r% anual. Una

per-sona deposita cierta cantidad de dinero y la deja en el Banco durante varios a˜nos. Suponga que el total del dinero que tiene acreditado a su cuenta al cabo de n a˜nos es an. Escriba una f´ormula de recurrencia para la sucesi´on

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, . . .

(7) Demuestre

an=

(1 +√5)n

−(1−√5)n

2n√₅ (∀n∈N),

satisface quea1 = 1 =a2 y quean =an₋1+an₋2 cuando n>3. (Observe

quean nos proporciona una f´ormula general para la sucesi´on de Fibonacci).

2.3. Sucesiones crecientes, decrecientes y sucesiones

acotadas

En la secci´on anterior se introdujo la noci´on de sucesi´on utilizando para ello una definici´on intuitiva: una sucesi´on es una lista ordenada e infinita de n´umeros reales. Iniciamos la presente secci´on introduciendo una definici´on m´as rigurosa de lo que es una sucesi´on.

2.3.1. Definici´on. _{Una sucesi´on de n´umeros reales es una funci´on}

f :N_→R,

con dominio el conjunto de los n´umeros naturales N y codominio el con-junto R.

N´otese que si visualizamos a una sucesi´on como una funci´onf :N_→R

entonces podemos crear una lista ordenada infinita de n´umeros reales que “representa” a esta funci´on. En efecto, consideremos simplemente como el primer t´ermino de esta lista infinita al n´umero realf(1), como segundo t´ermino al real f(2), como tercero a f(3), y as´ı sucesivamente:

f(1), f(2), f(3), . . . , f(n), . . .

Por otra parte, si partimos de una lista ordenada infinita de n´umeros reales

a₁, a₂, a₃, a₄, . . . ,

podemos entonces construir una funci´onf :N_→R que determina a esta lista de n´umeros reales. En efecto, simplemente definamos af por medio de la regla f(m) =am para cada m∈N.

Observe que con todo lo anterior hemos establecido que es lo mismo considerar a una sucesi´on como una lista ordenada e infinita de n´umeros reales, que como una funci´on con dominio N y codominioR.

Por otra parte, el poder hablar de una sucesi´on como una funci´on con dominio N y codominio R nos capacita para poder comprender la idea de que algunas “sucesiones no necesariamente inician en n = 1”. Expliquemos esto con m´as detalle.

Si N es un n´umero natural, A = _{n _∈ N : n > N_} y f : N _→ R es una funci´on, entonces f determina una sucesi´on de n´umeros reales (y en este sentido, podemos decir quef es una sucesi´on de n´umeros reales). En efecto, la funci´on f define a la sucesi´on

f(N + 1), f(N + 2), f(N + 3), f(N+ 4), . . . ,

o dicho de otra manera, utilizando a la funci´on f podemos definir a la funci´on g :N_→Rque tiene por regla de asociaci´on a g(m) = f(N +m) con m _∈N.

Por ejemplo, la funci´on f : A _→ R dada por f(k) = 1

k−5 para cada

k _∈A={n _∈N:n >5}es la sucesi´on cuyo primer t´ermino es el n´umero real

a₁ =f(5 + 1) =f(6) = ₆₋1₅ = 1, cuyo segundo t´ermino es el real

a2 =f(5 + 2) =f(7) = ₇₋1₅ = 1₂,

cuyo tercer t´ermino es a3 =f(5 + 3) =f(8) = ₈₋1₅ = 1₃, etc´etera.

2.3.2. Notaci´on. De ahora en adelante, cuando queramos hacer refe-rencia a una sucesi´on

a1, a2, a3, . . .

escribiremos “la sucesi´on (a_n)n∈N” y diremos quea_n es eln-´esimo t´ermino

de la sucesi´on (an)n_∈N. Por ejemplo, para referirnos a la sucesi´on

1,3,5,7, . . . ,2n₋1, . . . escribiremos “la sucesi´on (2n₋1)n∈N”.

Estamos ahora interesados en introducir a las sucesiones mon´otonas. Con este prop´osito es que establecemos la siguiente definici´on.

2.3.3. Definici´on. Sea (an)n∈N una sucesi´on de n´umeros reales.

(1) Diremos que (an)n_∈N es mon´otona creciente (o simplemente

cre-ciente) si:

∀ m, n_∈N: n < m _⇒ an 6am.

(2) Diremos que (an)n∈N es estrictamente crecientesi ocurre que

∀ m, n_∈N: n < m _⇒ an< am.

(3) Por otro lado, se dice que (an)n_∈N es una sucesi´on mon´otona

de-creciente(o simplemente decreciente) si: ∀ m, n_∈N: n < m _⇒ an >am,

(4) y finalmente, diremos que la sucesi´on (an)n_∈N es una sucesi´on

es-trictamente decrecientesi sucede que

∀ m, n_∈N: n < m _⇒ an> am.

No es dif´ıcil demostrar que las siguientes proposiciones son formas equivalentes de percibir a las sucesiones crecientes, decrecientes, estricta-mente crecientes y estrictaestricta-mente decrecientes.

2.3.4. Observaci´on. _{Las siguientes proposiciones son verdaderas para}

cualquier sucesi´on de n´umeros reales (an)n_∈N.

(1) La sucesi´on (an)n∈N es creciente si y s´olo si

∀ m_∈N: am 6am+1.

(2) (an)n∈N es estrictamente creciente si y s´olo si

∀ m_∈N: am < am+1.

(3) La sucesi´on (an)n_∈N es decreciente si y s´olo si

∀ m_∈N: am >am+1.

(4) (an)n∈N es estrictamente decreciente si y s´olo si

∀ m_∈N: am > am+1.

2.3.5. Ejemplos.

(1) Consideremos a la sucesi´on (bn)n_∈Ndefinida por medio de la f´ormula

generalbn=n (n∈N), esto es, consideremos a la sucesi´on de los

n´umeros naturales

1,2,3,4,5, . . .

Esta sucesi´on es una sucesi´on estrictamente creciente (y por lo cual, una sucesi´on mon´otona creciente). En efecto, seg´un el inciso (2) de la anterior observaci´on, para demostrar este hecho bastar´a verificar que

∀ m_∈N:bm < bm+1

Pero notemos que sim _∈N entonces bm < bm+1 puesto que bm =

m, bm+1 =m+ 1 y m < m+ 1. De esta manera hemos verificado

que (bn)n_∈N es estrictamente creciente.

(2) Consideremos ahora a la sucesi´on

0.3,0.33,0.333,0.3333, . . . ,0.333. . .33

| {z }

m-veces

, . . .

Obs´ervese que una f´ormula general para esta sucesi´on es am =

0.

m-veces z }| {

333. . .33, donde m _∈ N. N´otese ahora que esta sucesi´on sat-isface que am+1 = am + ₁₀m3+1 para cada m ∈ N. Ahora, como

3

10m+1 > 0 para cualquier m ∈ N, tenemos que am < am+1 para

cadam, y de esta forma hemos establecido que la sucesi´on (an)n∈N

(3) Para cadan _∈N, sea an = _n1. Entonces

∀ n_∈N:n < n+ 1 _⇒ 1 n+ 1 <

1

n ⇒ an+1< an As´ı que (an)n_∈N es estrictamente decreciente.

(4) Sea b _∈ R. Definamos am = b para cada m ∈ N. La sucesi´on

(bn)n∈N de esta forma definida es una sucesi´on creciente y

decre-ciente a la vez (es usual llamar a la sucesi´on (an)n∈N sucesi´on

constante de valor b). Efectivamente, como am = b = am+1 para

cada m_∈N, se verifica que

∀ m_∈N:a_m 6a_m+1 y a_m >a_m+1.

Entonces la sucesi´on (an)n_∈N es una sucesi´on creciente y

decre-ciente.

Obs´ervese que esta sucesi´on no es ni estrictamente creciente ni estrictamente decreciente.

(5) Consideremos a la sucesi´on (an)n∈N = (2n + (−1)n)_n∈N. No es

dif´ıcil convencerse que la siguiente lista proporciona los primeros cinco t´erminos de esta sucesi´on

a₁ = 1, a₂ = 5, a₃ = 5, a₄ = 9, a₅ = 9, . . .

Afirmamos que la sucesi´on (an)n_∈Nes una sucesi´on creciente (aunque

no estrictamente creciente). En efecto, observemos que para la sucesi´on (2n+ (₋1)n₎ n_∈N ocurre que n par _⇒ ½ an= 2n+ 1 an+1= 2(n+ 1)−1 = 2n+ 2−1 = 2n+ 1 ¾ ⇒ an=an+1 n impar ⇒ ½ an= 2n−1 an+1= 2(n+ 1) + 1 = 2n+ 2 + 1 = 2n+ 3 ¾ ⇒ an< an+1

Como todo n´umero natural es par ´o impar, lo anterior argu-menta que

∀n_∈N:an 6an+1.

Por lo tanto, (an)n∈N es mon´otona creciente. Dado que a₂ = a₃,

esta sucesi´on no es una sucesi´on estrictamente creciente. (6) Consideremos ahora a la sucesi´on recurrente:

(cn)n∈N=

(

c1 = 7

cn=√2 +cn₋1 sin >2

La sucesi´on recurrente (cn)n_∈Nes mon´otona decreciente. En efecto,

seg´un el principio de inducci´on matem´atica, para establecer que la proposici´on “cn > cn+1 para cada n ∈ N” es verdadera, basta

(i)c₁ >c₂; y

(ii) cn>cn+1 ⇒ cn+1 >cn+2

Los siguientes argumentos demuestran estas dos proposiciones.

Demostraci´on de quec1 >c2: Comoc2 =√2 +c1 =√2 + 7 = √ 9 = 3<7 =c1, podemos concluir que c1 >c2. Demostraci´on de quecn>cn+1 ⇒ cn+1 >cn+2: cn >cn+1 ⇒ 2 +cn >2 +cn+1 ⇒ √2 +cn >√2 +cn+1 ⇒ cn+1 >cn+2

(7) Para cadan_∈N, definimosα_n = 1 +_1!1 +_2!1 +· · ·+_n1_!. La sucesi´on (αn)n∈N de esta forma definida es una sucesi´on estrictamente

cre-ciente. Efectivamente, notemos simplemente que para cadan_∈N

sucede que αn= 1 + _1!1 + _2!1 +· · ·+ _n1_! < ³ 1 + _1!1 +_2!1 +_{· · ·}+ _n1_!´+_(n+1)!1 =αn+1. (8) Definamos βn = ³

1 + _n1´n para cada n _∈ N. Demostraremos que la sucesi´on (βn)n_∈N es una sucesi´on estrictamente creciente

demostrando los siguientes hechos.

(a)Si m es un n´umero natural cualquiera, entonces

³ 1 + 1 m ´m = 1 + 1 1!+ 1 2! ³ 1₋ 1 m ´ + 1 3! ³ 1₋ 1 m ´³ 1₋ 2 m ´ +_{· · ·} · · ·+ 1 m! ³ 1₋ 1 m ´³ 1₋ 2 m ´ · · ·³1₋m−1 m ´ .

Demostraci´on. Por el Teorema del Binomio de Newton, tenemos

que ³ 1 + 1 m ´m = m X j=0 µ m j ¶ 1m−j³1 m ´j .

Recordemos ahora que¡m_j¢= n!

(n₋j)!j! y quen! = 1·2· · ·(n−1)·n

³ 1 + 1 m ´m = ¡m₀¢1m−0 1 m0 + ¡m 1 ¢ 1m−1 1 m1 + ¡m 2 ¢ 1m−2 1 m2 +· · ·+ ¡m m ¢ 1m−m 1 mm = m! (m−0)! 0!· 1 m0 + m! (m−1)! 1! · 1 m1 + m! (m−2)! 2!· · ·+ m! (m−m)!m!· 1 mm = m! m!· 1 1+ m_·(m₋1)! (m−1)! 1! · 1 m1 + m_·(m₋1)·(m₋2)! (m−2)! 2! · 1 m2 +· · · · · ·+m·(m−1)··· ¡ m−(m−2)¢·¡m−(m−1)¢ (m−m)!m! · 1 mm = 1 + 1 + 1 2! · m·(m−1) m2 +· · ·+ 1 m!· m_·(m₋1)···¡m₋(m₋2)¢·¡m₋(m₋1)¢ mm = 1 + 1 + 1 2! · m m· (m−1) m +· · ·+ 1 m! · m m· (m−1) m · · · ¡ m−(m−2)¢ m ¡ m−(m−1)¢ m = 1 + 1 +_2!1³m m− 1 m ´ +· · ·+_m1_!³m m− 1 m ´³ m m− 2 m ´ · · ·³m m− m−1 m ´ = 1 + 1 +_2!1³1− 1 m ´ +· · ·+_m1_!³1− 1 m ´³ 1− 2 m ´ · · ·³1−m−1 m ´ ⊠ (b) Sim_∈N y k _{∈ {}1,2, . . . , m₋1_}, entonces 1₋ k m <1− k m+1.

Demostraci´on. Elijamos un n´umerok _{∈ {}1,2, . . . , m₋1_}. Como 0< m < m+ 1, tenemos que 1 m+1 < 1 m. Entonces − 1 m <− 1 m+1.

Multiplicando ambos lados por k obtenemos que ₋k m < −

k m+1.

Finalmente sumamos 1 a cada lado de la desigualdad para obtener 1− k m <1− k m+1. ⊠ (c)Si m_∈N entonces 1 (m+1)! ³ 1_{− m}1₊₁´³1_{− m}2₊₁´_{· · ·}³1₋ m m+1 ´ >0.

Demostraci´on. Sea k _{∈ {}1,2, . . . , m_} arbitrario. Claramente 0< k < m+1. Entonces k

m+1 <1. Por lo cual 0<1−

k

m+1. Comok ∈

{1,2, . . . , m_} fue elegido en forma arbitraria, podemos concluir que 0<1₋ k

m+1 para cada k ∈ {1,2, . . . , m}. De esta manera se

tiene que 1 (m+1)! ³ 1− 1 m+1 ´³ 1− 2 m+1 ´ · · ·³1− m m+1 ´ >0. ⊠

Para finalizar el an´alisis de este ejemplo, probemos que βn <

Seleccionemos un natural n. Aplicando los resultados de los incisos (a), (b) y (c) anteriores, obtenemos que

βn = ³ 1 + 1 n ´n = 1 +_1!1 +_2!1³1− 1 n ´ +_3!1³1− 1 n ´³ 1− 2 n ´ +· · · · · ·+_n1_!³1− 1 n ´³ 1− 2 n ´ · · ·³1−n−1 n ´ < 1 + 1 1! + 1 2! ³ 1₋ 1 n+1 ´ + 1 3! ³ 1₋ 1 n+1 ´³ 1₋ 2 n+1 ´ +_{· · ·} · · ·+ 1 (n+1)! ³ 1₋ 1 n+1 ´³ 1₋ 2 n+1 ´ · · ·³1₋ n₋1 n+1 ´ < 1 + _1!1 +_2!1³1− 1 n+1 ´ +_3!1³1− 1 n+1 ´³ 1− 2 n+1 ´ +· · · · · ·+_(n1_)!³1_{− n+1}1 ´³1_−n+12 ´_{· · ·}³1₋ n−1 n+1 ´ + + 1 (n+1)! ³ 1₋ 1 n+1 ´³ 1₋ 2 n+1 ´ · · ·³1₋ n n+1 ´ = ³1 + 1 (n+1) ´n+1 =βn+1

Por lo tanto, podemos concluir que βn< βn+1 para cada n ∈N.

2.3.6. Definici´on. Sea (an)n_∈N una sucesi´on de n´umeros reales.

(1) Diremos que (an)n∈N es acotada superiormente si existe un n´

u-mero real K con la propiedad de que an 6 K para cada n´umero

naturaln.

(2) Diremos que la sucesi´on (an)n∈Nesacotada inferiormentesi existe

un n´umero real k tal que a_n>k para cada n´umero natural n. (3) Finalmente, diremos que la sucesi´on (an)n_∈N est´a acotada si es

acotada tanto superior como inferiormente.

2.3.7. Ejemplos.

(1) La sucesi´on (bn)n∈Ndefinida por medio de la f´ormula generalb_n=

n (n _∈ N) no es una sucesi´on acotada superiormente, aunque si est´a acotada inferiormente (el n´umero real 0 nos sirve para constatar esta ´ultima afirmaci´on). Para comprobar quebnno est´a

acotada superiormente, verificaremos que:

Para cada K _∈R: existe n _∈N tal que K < bn.

Elijamos un n´umero real K cualquiera. El lector seguramente recordar´a que el conjunto de los n´umeros naturales N no est´a acotado superiormente (c.f. Proposici´on 1.8.3); esto significa, en particular, que ning´un n´umero real puede ser una cota superior para el conjuntoN. En consecuencia, el n´umero real K no puede ser una cota superior de N. Entonces, al no ser K cota superior de N, deber´a existir un n´umero natural m _∈ N tal que K < m. Para culminar la prueba de nuestra afirmaci´on, s´olo observemos quem =bm.

El lector seguramente habr´a notado que una vez que hici-mos evidente que el conjunto de los n´umeros naturalesN no est´a acotado superiormente, fue muy f´acil demostrar que la sucesi´on (bn)n_∈N no est´a acotada superiormente. La raz´on de ello es que

en realidad estos dos hechos son equivalentes. (2) Consideremos a la sucesi´on (an)n_∈N dada por

0.3,0.33,0.333,0.3333, . . . ,0.333. . .33

| {z }

n-veces

, . . .

Sabemos ya que esta sucesi´on es una sucesi´on estrictamente cre-ciente. Ahora note que esto implica que (an)n_∈N est´a acotada

inferiormente (¿por qu´e?).

Por otra parte, notemos que cualquiera que seam_∈Nsiempre sucede que 1 = 10m_{−99. . .9}

| {z }

m₋veces

. Con este hecho a la mano, podemos concluir que para cualquier n´umero natural m se tiene que:

0<1 _⇒ 0<10m₋ m−veces z }| { 99. . .9 ⇒ m₋veces z }| { 99. . .9<10m ⇒ m−veces z }| { 99. . .9 10m <1 ⇒ 0. m−veces z }| { 99. . .9<1 ⇒ 3_·¡0. m₋veces z }| { 33. . .3¢ <1 ⇒ 0. m−veces z }| { 33. . .3< 1 3 ⇒ am < 1 3

Por lo tanto, la sucesi´on (an)n∈N est´a acotada superiormente.

(3) La sucesi´ona_n = _n1 es una sucesi´on que est´a tanto acotada superi-ormente como inferisuperi-ormente. La raz´on de ello es porque 0< 1_n 61 para cualquier n´umero natural n.

(4) Toda sucesi´on constante es una sucesi´on acotada. En efecto, con-sideremos la sucesi´on constante an = b (donde n ∈ N y b ∈ R es

fijo). Claramente, para esta sucesi´on se tiene que

∀ n_∈N:b6an 6b

Observe ahora que esto ´ultimo constata que (an)n∈N est´a acotada

(5) Consideremos a la sucesi´on (2n+ (−1)n₎

n_∈N. Recordemos que los

primeros cinco t´erminos de esta sucesi´on son los n´umeros a1 = 1, a2 = 5, a3 = 5, a4 = 9, a5 = 9, . . .

Esta sucesi´on es un ejemplo de una sucesi´on que est´a acotada inferiormente, pero no superiormente. Es f´acil demostrar que esta sucesi´on est´a acotada inferiormente (utilice el hecho de que esta sucesi´on es mon´otona creciente); as´ı que s´olo verificaremos que an= 2n+ (−1)n no est´a acotada superiormente.

Con este prop´osito en mente, consideremos un n´umero real cualquiera K. Seleccionemos un n´umero natural m con las si-guientes dos propiedades:

(a) m es un n´umero natural par, y adem´as, (b) K−1

2 < m

(Para convencerse de que existe al menos una m con esta propiedad, recuerde que la sucesi´on de los n´umeros naturales no est´a acotada superiormente. Por esa raz´on, el real K−1

2 no puede

ser una cota superior para N, de lo cual podemo garantizar la ex-istencia de un natural n tal que K−1

2 < n. Si n es par, definimos

m=n, en caso contrario definimos a m como n+ 1).

Siendo m un natural par, se tiene que am = 2m+ (−1)m =

2m+ 1. Como K₋1

2 < m, tenemos que K < am.

Por lo tanto, hemos demostrado que para cualquier real K siempre existe un t´ermino de la sucesi´on m´as grande que ´el; esto significa que (an)n∈N no puede estar acotada superiormente.

(6) La sucesi´on recurrente (cn)n_∈N=

(

c₁ = 7

cn=√2 +cn₋1 sin >2

es una sucesi´on acotada tanto superior como inferiormente. En efecto, recordemos que la sucesi´on (cn)n_∈N es una sucesi´on

decre-ciente. Por lo cual, se tiene que cm 6 c1 = 7 para cada n´umero

natural m; esto ´ultimo significa que (cn)n∈N est´a acotada

superi-ormente.

Con el prop´osito de demostrar que (cn)n∈N est´a acotada

in-feriormente, demostraremos, utilizando el m´etodo de inducci´on matem´atica, la veracidad de la siguiente proposici´on:

∀ n_∈N:cn>2.

Primer paso de inducci´on: _{Como 2} <7 = c₁, la propiedad es cierta para n= 1.

Segundo paso de inducci´on: Supongamos que la propiedad es

v´alida paran=k (esto es, supongamos que 26ck es verdadera),

y verifiquemos que la propiedad es tambi´en verdadera para n = k+ 1. Note que la v´alidez del siguiente razonamiento y el hecho

de que la propiedad sea verdadera para n = k, implica que la propiedad es verdadera paran =k+ 1:

26ck ⇒ 2 + 262 +ck

⇒ √2 + 2 6√2 +ck

⇒ 26ck+1

Aplicando el m´etodo de inducci´on matem´atica, podemos concluir que 26cn para cada n∈N.

(7) La sucesi´onαn= 1 +_1!1 +_2!1 +· · ·+_n1_! (n∈N) es una sucesi´on que

est´a acotada superiormente e inferiormente (dejamos al lector la tarea de verificar que esta sucesi´on est´a acotada inferiormente).

Con la idea de comprobar que (αn)n∈N est´a acotada

superior-mente, observemos que para cualquier naturaln se tiene que αn = 1 + _1!1 +_2!1 +_2!1 + _4!1 · · ·+ _n1_! = 1 + 1 + ₂1 +₂1_·3 + _2·31_{·4 · · ·}+_2·3·1_4···n < 1 +³1 + 1₂ +₂1_·2 +_2·1_2·2 +· · ·+_2·21_{· · ·2} | {z } n−_1-veces ´ = 1 +³1 + 1 2 + 1 22 + ₂13 +· · ·+₂n1−₁ ´ = 1 +³1− ¡₁ 2 ¢n 1−1₂ ´ = 1 +³1− 1 2n 1 2 ´ = 1 + 2³2n −1 2n ´ = 1 + 2₋ 1 2n−₁ <3. (8) La sucesi´on βn= ³ 1 + 1 n ´n

es una sucesi´on acotada. Efectivamente, para comprobar que βn =

³

1 + _n1´n est´a aco-tada superiormente (dejamos al lector la tarea de comprobar que βn est´a acotada inferiormente) notemos primeramente que para

cualquier n´umero natural m y cualquier k_{∈ {}1,2, . . . , m₋1_}, se tiene que

1− k m <1

(puesto que k

m > 0 para cualquier k ∈ {1,2, . . . , m−1}). Con

este resultado podemos concluir que βm = ³ 1 + _m1´ m = 1 +_1!1 +_2!1³1_−m1´+_3!1³1_−m1´³1_−m2´+_{· · ·} · · ·+_m1_!³1− 1 m ´³ 1− 2 m ´ · · ·³1−m−1 m ´ < 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! +· · ·+ 1 m! =αm<3 para todo n´umero natural n.

2.4. Problemas

(1) Demuestre que las sucesiones siguientes son crecientes. ¿Cu´ales de ellas son estrictamente crecientes? (a)an = 2n2−3n+ 5 (b)an= 3n2−2n−7 (c) an =√n (d)an= n n+ 1 (e)an= √ n2₋₁ n (f) an=n− 1 n (g)an = 1 + 1 1!+· · ·+ 1 n!

(2) Demuestre que las sucesiones siguientes son decrecientes. ¿Cu´ales de ellas son estrictamente decrecientes? (a)an = n √ 2 (b)an = √ n+ 1₋√n (c) an = 1 n2 (d)an =−n (e) an =xn donde 0< x <1 (f)an= ( 7 sin= 1 √_{2 +} an₋1 sin>2

(3) De las siguientes sucesiones, determine cu´ales son acotadas, cu´ales son mon´otonas crecientes o decrecientes, cu´ales son estrictamente decrecientes y cu´ales de el-las son estrictamente crecientes.

(a)an = (−1)n+1 (b)an= (−1)n+1 n (c)an= 1− 1 n (d)an= 1 + (₋1)n+1 n (e)bn = 1 + (₋1)n 2 (f) 3 r n2+ 1 n (g)dn= √ n2_{−n (h)c} n= 1 + 2 3+ 3 5 +· · ·+ n 2n₋1 (i)αn = 3 n −2n (j)cn= 1 + 1 4+ 1 27+· · ·+ 1 n2

(4) Demuestre que una sucesi´on (an)n_∈Nest´a acotada si y s´olo si existe un n´umero

real positivoK tal que_|an|6K, para cadan∈N.

(5) Demuestre que las siguientes sucesiones no est´an acotadas. (a)an = 2n n (b)an= 2 n _(c)b n=√n (d)an=−n2 (e) an=n2+ 1 (f)an=n3−2

(6) ¿Cu´ales de las siguientes sucesiones son mon´otonas (crecientes o decrecientes) y acotadas? (a)an = 2n n+ 3 (b)an= n n2_{+ 1} (c)bn= 1 √ n (d)an= 1 + 1 n (e) an= 2 3 + 1 n (f) an = n+ 2 n2_{+n+ 1}

(7) Demuestre que una sucesi´on (an)n∈N es creciente si y s´olo si

∀n_∈N: an6an+1. (8) Demuestre que la sucesi´on (an)n∈Ndefinida por

(

a1= 1

an+1=√2 +an paran∈N es una sucesi´on creciente y acotada superiormente. (9) Demuestre que si (an)n∈Nest´a dada por:

   a1>0 an+1= 1 2 ³ an+ A an ´ paran_∈N dondeA >0, entonces (a) _∀ n>2 : an > √ A. (b) ∀ n>2 : an+1< an.

(10) En este ejercicio se establece otra manera de demostrar que la sucesi´on (βn)n∈N es estrictamente creciente.

(a) Demuestre que si 06a < byn_∈Nentonces

bn+1

−an+1

b₋a <(n+ 1)b

n

.

(Sugerencia: Utilice el hecho de que

bn+1

−an+1_{= (b}

−a)(bn_+bn−1_a+bn−2_a2₊

· · ·+ban−1_+an_).) (b) Demuestre que si 06a < byn_∈Nentonces

an+1> bn[(n+ 1)a₋nb].

(Sugerencia: aplique el resultado del inciso anterior).

(c) Definaa= 1 +_n+11 yb= 1 +_n1. Demuestre que los n´umerosaybde esta manera definidos satisfacen que 06a < b. Aplique lo demostrado en el inciso anterior para concluir que sin_∈Nentoncesβn< βn+1.

(11) En este ejercicio se demuestra nuevamente que la sucesi´on (βn)n∈N es

cre-ciente. Demuestre los siguientes hechos.

(a) Demuestre la desigualdad de Bernoulli, esto es, demuestre que

∀x>₋1 _∀n_∈N: (1 +x)n _{>1 +}

nx.

Sugerencia: Dadox>₋1, use inducci´on matem´atica para probar que

∀n_∈N: (1 +x)n_{>1 +nx.} (b) Use la desigualdad anterior para demostrar que

∀ n>_{2 :} βn·

³

1−_n1´n>₁₋1 n.

(c) Despejeβn en la desigualdad del inciso anterior y concluya que

∀n>2 : βn>βn₋1.

(12) En este ejercicio se demuestra nuevamente que la sucesi´on βn =

³

1 + 1

n

´n est´a acotada superiormente.

(a) Demuestre que_∀ n_∈N:³1 + 1 2n

´2n

<4.

(Sugerencia: Aplique la desigualdad plasmada en el inciso (b) del Problema 10, a los n´umeros a = 1 y b = 1 + 1

2n para concluir que

³

1 + 1 2n

´n

<2; despu´es “eleve al cuadrado” cada uno de los t´erminos de esta ´ultima desigualdad).

(b) Aplicando el resultado del inciso anterior y el resultado del Problema 10, concluya que sin_∈Nentonces³1 +1

n

´n

<4 (note que esto ´ultimo permite concluir que la sucesi´on (βn)n∈Nest´a acotada superiormente).

2.5. L´ımites de sucesiones

Supongamos que (an)n_∈N es una sucesi´on y que P es alguna propiedad

que cada t´ermino an puede tener o no. Por ejemplo, P puede ser la

propiedad de “ser un n´umero mayor que 13”, o bien puede ser la propiedad de “ser un entero positivo”. Nos preguntamos ahora si an tiene o no

la propiedad _P para cada n´umero natural n y reflexionando un poco notamos que se tienen los siguientes tres casos:

Caso A.Todos los t´erminos an tienen la propiedad P, o en su defecto,

s´olo un n´umero finito de t´erminos an no tienen la propiedad P. En

resumen, a lo m´as un n´umero finito de t´erminos de la sucesi´on no poseen la propiedad_P.

Caso B. Ning´un t´ermino an tiene la propiedad P, o ´unicamente un

n´umero finito de t´erminos an poseen la propiedad P. En resumen, a lo m´as un n´umero finito de t´erminos de la sucesi´on (an)n∈N tienen la

propiedad _P.

Caso C.La tercera posibilidad es que no sucedan ni A ni B, en cuyo caso

se tiene que tanto la cantidad de t´erminosan que no poseen la propiedad

P como la cantidad de t´erminos que s´ı la poseen es infinita.

A continuaci´on exponemos algunos ejemplos de sucesiones, y de algunas de propiedades _P, con la idea de poder ejemplificar los tres anteriores casos.

2.5.1. Ejemplos.

(1) Consideremos como (an)n∈N a la sucesi´on a_n=n (n∈N) y como

P a la propiedad “ser un n´umero positivo”. Para esta sucesi´on sucede que todos sus t´erminos poseen la propiedad _P. Por otra parte, si consideramos como P a la propiedad “ser un n´umero mayor que 11”, entonces ´unicamente un n´umero finito de t´erminos de la sucesi´on no poseen esta propiedad (los t´erminos a₁, a₂, . . . , a₁₀ no son mayores que 11).

En estos dos ejemplos sucede el caso A.

(2) Consideremos ahora a la sucesi´on (bn)n_∈N dada por b_n = 1

n para

cadan _∈N, y a la propiedad de “ser un n´umero mayor estricto que

1

7”. No es dif´ıcil verificar que s´olo un n´umero finito de t´erminos de

la sucesi´on (bn)n_∈Ntienen la propiedad de ser estrictamente mayor

que 1

7 (a saber, los t´erminosa1, a2, a3, a4, a5 y a6). Es claro que en

(3) Finalmente, consideremos de nuevo a la sucesi´on (n)n_∈N de todos

los n´umeros naturales y sea P la propiedad de “ser un n´umero par”. Es evidente que tanto la cantidad de t´erminos de la sucesi´on que poseen la propiedad P, como la cantidad de t´erminos que no la poseen es infinita. En este ejemplo, sucede el caso C.

Supongamos ahora que (an)n_∈N es una sucesi´on arbitraria y que P es

una propiedad para la cual sucede el caso A; es decir, supongamos que a lo m´as una cantidad finita de t´erminos de la sucesi´on (an)n_∈N, digamos

an1, an2, . . . , anN,

no tienen la propiedad _P. Con ank (para 1 6 k 6 N) denotamos al

k-´esimo t´ermino que no tiene la propiedad _P, y estamos suponiendo que solamente sonN los t´erminos de la sucesi´on (an)n∈Nque no tienenP (que

no necesariamente son losN primeros t´erminos de la sucesi´on). Es claro entonces que an tiene la propiedad P si n > nN. Por ejemplo, podemos

pensar que (an)n∈N es la sucesi´on

1,2,1,1,1,1,8,12,1,3,₋1,1,1,1,1,1,1,1,1, . . . ,1, . . . ,

y que P es la propiedad “ser igual a 1”. Para esta sucesi´on, y para esta propiedad, sucede que los ´unicos t´erminos que no son iguales a 1 son los t´erminos: a₂, a₇, a₈, a₁₀ y a₁₁; que como se ve no son los cinco primeros t´erminos de la sucesi´on, pero con la idea de ordenarlos podr´ıamos renom-brarlos de la siguiente manera:

a₂ =a_n1 es el primer t´ermino de la sucesi´on que no posee P, a₇ =an2 es el segundo t´ermino de la sucesi´on que no posee P,

a₈ =an3 es el tercer t´ermino de la sucesi´on que no posee P,

a₁₀ =an4 es el cuarto t´ermino de la sucesi´on que no posee P,

y finalmente

a11 =an5 es el quinto t´ermino de la sucesi´on que no posee P.

Note ahora que podemos decir que para n > n5 = 11 el t´ermino an

ya posee la propiedad _P. Con frecuencia se utiliza la frase: “para n

sufientemente grande” para hacer ´enfasis en que existe un n´umero nat-ural m a partir del cual todos los t´erminos de una sucesi´on poseen una cierta propiedad (en nuestro ejemplo tenemos que todos los t´erminos de la sucesi´on (a_n)n∈N son iguales a 1 para n suficientemente grande).

Todo lo anterior nos permite concluir que la frase

La sucesi´on(an)n∈N tiene la propiedadP para n suficientemente grande,

existe un n´umero natural m tal que an tiene la propiedad P para todan >m.

Cuando uno analiza a los t´erminos de una sucesi´on (an)n_∈N es muy

natural hacerlo en orden, comenzando cona₁, siguiendo cona₂, luego con a₃, etc´etera, es decir, suponiendo que n toma sucesivamente los valores de 1, 2, 3, . . .. Para indicar que n tomar´a sucesivamente los valores de 1, 2, 3, . . .suele usarse la expresi´on n tiende al infinito y escribirn _{→ ∞}.

De esta manera, si (an)n∈N tiene la propiedad P para n

suficiente-mente grande yn tiende al infinito entonces en alg´un momento el natural n asumir´a valores tan grandes como para asegurar que an tiene ya la

propiedad _P. Por esa raz´on algunos autores toman a la frase an tiene la propiedad P cuando n tiende a infinito

como “sin´onimo” de la frase “a_n tiene la propiedad P para n suficiente-mente grande”.

2.5.2. Ejemplos.

(1) La sucesi´on (an)n∈N= (1

n)n∈Ntiene la propiedad de quean <

1 10500

para n suficientemente grande.

En efecto, seg´un lo antes dicho debemos verificar que existe un n´umero natural m que tiene la siguiente cualidad:

∀ n_∈N, con n>m, se tiene que an< ₁₀1500.

Pero notemos que

an< ₁₀1500 ⇔ _n1 < ₁₀1500 ⇔ 10500 < n.

As´ı que si tomamos como m a un n´umero natural mayor es-tricto que 10500_{, digamos que m= 10}500_{+ 1, podemos garantizar}

que

si n _∈N y n >m entonces an= 1_n < ₁₀1500.

(2) Consideremos a la sucesi´on (bn)n_∈N = (n+1

n )n∈N. Afirmamos que

para n suficientemente grande se tiene que bn−1< ₁₀₀₀1

Para demostrar esta afirmaci´on necesitamos determinar una m_∈N que tenga la siguiente propiedad:

∀ n_∈N, con n>m, se tiene que n+1

n −1<

1 1000.

Ahora bien, n´otese que n+1

n = 1 +

1

n para cada n. As´ı que

De esta manera hemos descubierto que bastar´a considerar como m a un n´umero natural mayor que 1000 para poder garantizar la propiedad deseada. Por esa raz´on podemos decir que sim= 1003 entonces se tiene que

n _∈N y n >m implican que bn−1< ₁₀₀₀1 .

(3) Sea (cn)n_∈N la sucesi´on c_n = 7n+15

15n . Afirmamos que para n

sufi-cientemente grande se tiene que |cn− ₁₅7|<1.

Intentemos descubrir una m adecuada. Primeramente note-mos que |cn− ₁₅7 |<1 ⇔ |7n₁₅+15_n − ₁₅7|<1 ⇔ |7n+15−7n 15n |<1 ⇔ |15 15n|<1 ⇔ 1 n <1 ⇔ |1 n|<1 ⇔ 1 1 < n.

As´ı que bastar´a considerar como m a un n´umero natural mayor que 1 (por ejemplo, podemos tomarm = 2).

(4) an= 1 + _n12 ∈(0.95,1.05) cuando n → ∞. En efecto, 0.95<1 + _n12 <1.05 ⇔ 0.95−1<1 + _n12 −1<1.05−1 ⇔ −0.05< _n12 <0.05 ⇔ |_n12|<0.05 ⇔ 1 n2 <0.05 ⇔ _0.1₀₅ < n2 ⇔ 1 0.05 < n 2 _{⇔ 20< n}2 ⇔ √20< n

Por lo tanto, podemos tomarm = 5 y concluir que ∀ n _∈N:n >m implica an ∈(0.95,1.05).

En el ejemplo 3 comprobamos que para n suficientemente grande se tiene que _|7n+15

15n −

7

real 1 en la demostraci´on de este resultado fue irrelevante. Es claro que pudimos haber demostrado que la proposici´on

“|7n+15 15n −

7

15|< ε para n suficientemente grande”

es cierta para cualquier n´umero real positivoε.

Esta ´ultima propiedad es un razgo caracter´ıstico del n´umero ₁₅7, puesto que, como veremos a continuaci´on, este n´umero es precisamente el l´ımite de la sucesi´on 7n₁₅+15_n .

2.5.3. Definici´on. Sean (an)n∈Nuna sucesi´on de n´umeros reales yℓun

n´umero real. Diremos que ℓ es el l´ımite de (an)n∈N cuando n tiende a

infinitosi

∀ ε >0 existe N _∈N tal que _∀n >N se tiene que _|an−ℓ|< ε.

Lo primero que debemos hacer notar, una vez establecida la noci´on de l´ımite de una sucesi´on, es que cuando una sucesi´on tiene un l´ımite este l´ımite es ´unico.

2.5.4. Lema. Si una sucesi´on de n´umeros reales tiene l´ımite este l´ımite es ´unico.

Demostraci´on. (Por contradicci´on) Supongamos que existe una sucesi´on (an)n∈N de n´umeros reales que tiene dos l´ımites distintos ℓ y s. Como

ℓ ₆= s, tenemos que ε = |ℓ−₂s| > 0. As´ı que aplicando el hecho de que ℓ = limn_→∞an = s, podemos argumentar la existencia de un par de

n´umeros naturales N₁ y N₂ que tienen las siguientes propiedades: ∀n>N1 : |an−ℓ|< ε y ∀n >N2 : |an−s|< ε.

Elijamos ahora un n´umero natural m tal que m > N₁, N₂. Debido a que m >N₁ y a que m >N₁, se tiene que _|am −ℓ| < ε y |am −s| < ε.

Entonces

|ℓ₋s_|=_|ℓ₋am+am−s|6|ℓ−am|+|am−s|< ε+ε= 2ε=|ℓ−s|.

Por lo tanto _|ℓ₋s_|<_|ℓ₋s_|, lo cual es una contradicci´on.

2.5.5. Notaci´on. _{Una vez que sabemos que cuando una sucesi´on tiene}

un l´ımite ´este es ´unico, podemos establecer una notaci´on adecuada para este hecho. A partir de este momento escribiremos

ℓ= lim

n_→∞an,

para denotar al hecho de que existe un n´umero real ℓ tal que

∀ ε >0 existe N _∈N tal que _∀n >N se tiene que _|an−ℓ|< ε. 2.5.6. Ejemplos.

(1) Consideremos a la sucesi´onan= _n1 (n ∈N). Afirmamos que esta

sucesi´on tiene por l´ımite al n´umero real 0.

En efecto, recordando la definici´on de l´ımite de una sucesi´on, observamos que debemos probar que

∀ ε >0 existe N _∈N tal que _∀ n>N se tiene que _|1

n−0|< ε.

Consideremos entonces una ε > 0 arbitraria. Notemos primera-mente que |n1 −0|< ε⇔ 1 n < ε⇔ 1 ε < n.

As´ı que si tomamos un n´umero natural N con la propiedad de que N > 1_ε podemos entonces garantizar que n > 1_ε cada vez que n_∈N y n >N. Pero observe que n > 1_ε implica que _|1

n−0|< ε.

As´ı que si tomamos n _∈ N con n > N podemos concluir que |1n−0|< ε.De esta manera hemos demostrado que

∀n _∈N:n>N implica que _|1

n−0|<

1

ε.

Y as´ı hemos culminado la prueba de que

∀ ε >0 existe N _∈N tal que _∀ n>N se tiene que _|1

n−0|< ε.

Por lo tanto, limn_→∞n1 = 0.

(2) Sea bn = (−1)

n

n (n ∈ N). Note que esta sucesi´on tiene todos sus

t´erminos “oscilando” alrededor del n´umero real 0 y que a me-dida que n crece, estos t´erminos se van haciendo cada vez m´as peque˜nos.

Se afirma que el l´ımite de esta sucesi´on es nuevamente el n´umero real 0.

Recordemos que para demostrar esta afirmaci´on debemos de-mostrar que

∀ ε >0 existe N _∈N tal que ∀ n>N se tiene que |(−n1)n −0|< ε.

Consideremos entonces unaε >0 arbitraria. Con la finalidad de “descubrir” c´omo debemos de seleccionar a la N _∈ N para que cumpla las propiedades deseadas, analicemos la desigualdad |(−n1)n −0| < ε. No debe ser dif´ıcil que el lector se convenza de

que |(−n1)n −0|< ε⇔ 1 n < ε⇔ 1 ε < n.

As´ı que, al igual que en el anterior ejemplo, bastar´a tomar a una N _∈ N con la propiedad de queN > 1_ε (recuerde que debido a que N no est´a acotado superiormente siempre es posible hallar, para cualquier n´umero realx, un n´umero naturalntal quex < n). Entonces podemos concluir

Esto ´ultimo culmina la prueba de que

∀ε >0 existe N _∈N tal que ∀n >N se tiene que |(−n1)n−0|< ε.

Por lo tanto, podemos concluir que limn→∞ (−1)

n

n = 0.

(3) Consideremos a dn = _nn₊₁ donde n ∈ N. Primeramente

observe-mos que d_n = n n+1 =

n+1−1

n+1 = 1 − 1

n+1 para cada n. Ahora

bien, una vez que dn est´a escrita de esta manera es f´acil observar

que a medida que n crece, el sumando 1

n+1 se hace cada vez m´as

peque˜no, y por lo cualdn se “acerca” cada vez m´as al n´umero 1.

Conjeturamos entonces que limn_{→∞ n}n₊₁ = 0.

Para demostrar esta afirmaci´on, elijamos en forma arbitraria un n´umero positivo ε. Notemos primero que

| n n+1 −1|< ε ⇔ |1− 1 n+1 −1|< ε ⇔ | −n+11 |< ε ⇔ 1 n+1 < ε ⇔ 1 ε < n+ 1 ⇔ 1 ε−1< n

As´ı que si elejimos unaN _∈Ncon la propiedad de queN > 1_ε−1, podemos garantizar que

∀n _∈N: n >N implica que _| n

n+1 −1|< ε.

Efectivamente, si n>N entoncesn > 1_ε−1, por lo cual 1

n+1 < ε. Pero _| n n+1 −1|= 1 n+1, as´ı que | n n+1 −1|< ε. (4) Seacn= n 2₋₁

n2_+n+1 donde n∈N. Viendo que

cn = n 2₋₁ n2_+n+1 = n2₋₁ n2 n2+n+1 n2 = 1− 1 n2 1+1_n+_n12 ,

notamos que cuandontoma valores muy grandes, el n´umerocn“se

parece” a 1

1, por esta raz´on conjeturamos que limn→∞

n2₋₁

n2_+n+1 = 1.

Para probar que nuestra conjetura es cierta, elijamos en forma arbitraria un n´umero positivo ε. Ahora bien, reflexionando un poco podemos notar que intentar “resolver” la desigualdad

| n2−1

n2_+n+1 −1|< ε

paran (como lo hicimos en los ejemplos anteriores) puede ser una tarea muy “laboriosa”, as´ı que con el afan de evitar este trabajo podemos darnos cuenta de que la idea fundamental para poder

“hallar” unaN _∈N que nos sirva para comprobar la afirmaci´on ∀n _∈N:n>N implica que | n2−1

n2_+n+1 −1|< ε,

est´a en el hecho de poder “manipular” adecuadamente la desigual-dad

| n2−1

n2_+n+1 −1|< ε

para poder llevarla a una forma que nos permita “deducir ade-cuadas las caracter´ısticas” que debe poseer laN _∈N. Note el lec-tor que en los ejemplos anteriores, esta manipulaci´on consisti´o en resolver, paran, las desigualdades correspondientes. Como hemos mencionado, hacer esto ´ultimo para la desigualdad_| n2₋₁

n2_+n+1−1|< ε

puede ser una tarea muy laboriosa, pero observemos que si lo-graramos “mayorizar” a la expresi´on | n2−1

n2_+n+1 −1| con otra

ex-presi´on en la que aparezca la variable n –llamemos a esta ex-presi´on P(n)– entonces podr´ıamos intentar detectar a partir de cu´al n sucede que P(n) < ε, para obtener como una consecuen-cia el poder saber cuando sucede que _| n2₋₁

n2_+n+1 −1| < ε (al fin de

cuentas, se supone que _| n2₋₁

n2_+n+1 −1|6P(n)).

En nuestro caso particular, tenemos que | n2−1 n2_+n+1 −1|=|n 2_−1−n2_−n−1 n2_+n+1 |=|_n−2₊n_n−₊₁2 |= _n2n₊+2_n+1 6 n_n+22 y adem´as paran >2 n+2 n2 6 2n n2.

As´ı que para lograr saber “cuando” (esto es, a partir de qu´e n) sucede que

| n2−1

n2_+n+1 −1|< ε

bastar´a saber “cuando ocurre” que

2n n2 < ε

(teniendo presente quendebe ser>2 para poder tener que n+2

n2 6

2n

n2). Pero tratar de ver cuando sucede que 2_nn2 < ε es una tarea

f´acil de lograr puesto que podemos resolver esta desigualdad para n:

2n

n2 < ε ⇔ _n2 < ε ⇔ 2_ε < n.

De esta forma si tomamos unaN _∈Ncon la propiedad de que N > 2_ε y N > 2 podemos garantizar que si n _∈ N es elegido de tal forma quen>N entonces_| n2₋₁

n2_+n+1−1|< ε. Efectivamente, si

n> N entoncesn > 2_ε y n >2, por lo cual 2n

n2 < ε y n >2. Pero

entonces sin _∈Nes tal que n >N tenemos que | n2−1

Con todo lo anterior hemos demostrado que limn→∞ n

2₋₁

n2_+n+1 =

1.

(5) Definamos an = b para toda n ∈ N (donde b ∈ R es fijo).

De-mostraremos que limn_→∞an = b. Para este prop´osito, elijamos

unaε >0 y hagamosN = 1. Es f´acil ahora verificar que si n>N y n _∈ N entonces _|an − b| = |b − b| = 0 < ε. Por lo tanto,

limn_→∞an =b.

A continuaci´on demostramos algunas propiedades de ciertas sucesiones particularmente. 2.5.7. Proposici´on. (1) Sip_∈N entonces limn→∞ n1p = 0. (2) Si_|x_|<1entonces limn→∞xn= 0. (3) Sip > 0entonces limn→∞ √np= 1. (4) limn→∞ √nn= 1. Demostraci´on.

(1) Seaε >0 arbitrario. Sea N _∈N tal que N > √p1_ε. Afirmamos que

∀n _∈N, con n>N, se tiene que | 1

np|< ε.

En efecto, sean_∈N con n>N. Entoncesn > √p1_ε, y por lo cual 1_ε < np.

Claramente esto ´ultimo implica que _n1p < ε. Ahora s´olo resta notar que

debido a que np _{>0 se tiene que |} 1

np|= _n1p < ε.

(2) Dividiremos la prueba de esta afirmaci´on en dos casos.

Caso 1: x= 0.

Six= 0 entonces la sucesi´on (xn₎

n∈N es la sucesi´on constante de valor

0. Y en este caso es f´acilmente concluir que limn→∞xn= 0.

Caso 2: x₆= 0.

Six₆= 0 entonces tenemos que 0<_|x_|<1. Consecuentemente 1 < 1 |x|. As´ı que existe un n´umero p >0 tal que 1

|x_| = 1 +p (o equivalentemente,

|x_|= ₁₊1_p).

Elijamos en forma arbitraria un n´umero positivo ε. Notemos primer-amente que como una aplicaci´on de la desigualdad de Bernoulli se tiene que (1 +p)n _{>1 +np(v´ease inciso (a) del Problema 11 de la secci´on 2.4).}

Adem´as es claro que 1 +np > np. Note ahora que si _np1 < ε entonces |xn_{| < ε puesto que |x}n_{| = |x|}n ₌ ¡ 1

1+p

¢n

= 1

(1+p)n 6 ₁₊1_np < _np1 . Pero

observe ahora que _np1 < εes equivalente a que _pε1 < n. As´ı que si elegimos N _∈N con la propiedad de queN > _pε1 podremos garantizar que

∀ n>N :|xn_|< ε. Por lo tanto, limxn_{= 0.}

(3) Al igual que en el inciso anterior, dividiremos la prueba de esta afir-maci´on en dos partes.

Caso 1. _Si p >1 entonces limn_→∞ √np= 1.

Como p > 1, tenemos que √np > 1 para toda n. Definamos θ

n =

n

√_{p−1 > 0 para toda n. Es claro que para cada n ∈ N, sucede que} p = (θn + 1)n. Aplicando ahora el Teorema del Binomio de Newton,

podemos concluir que p= (θn+ 1)n = n X j=0 µ n j ¶ θ_nj _·1j _{= 1 +n θ} n+ n X j=2 µ n j ¶ θj_n·1j _{>1 +n θ} n, puesto que Pn_j=2¡n_j¢θj n ·1j > 1 +n θn > 0 (recuerde que θn > 0). En consecuencia,θ_n6 p−_n1.

Notemos ahora que, dada una ε >0, el hecho de que p−_n1 < εimplica que_|√n_p−1|< ε. (En efecto, simplemente observe que|√n_p−1|=|_θ

n|=

θn 6 p−_n1 < ε). Por lo tanto, dado un n´umero real positivoε >0, bastar´a

elegir un n´umero naturalN con la propiedad de que N > p−_ε1 para poder argumentar que

∀ n _∈N: n >N implica que _|√n_{p−1|< ε.}

Esto ´ultimo no es m´as que el hecho que limn_→∞ √np= 1. ⊠ Caso 2. Si 0 < p <1 entonces limn→∞ √np= 1 .

Aplicando el resultado del caso anterior podemos concluir que lim n_→∞ n q 1 p = 1

(claramente 0 < p < 1 implica que 1_p > 1). Consideremos ahora una ε > 0 arbitraria. Como limn_→∞ n

q 1

p = 1, existe una N ∈ N tal que

| 1 n √_p −1|=|n q 1 p −1|< ε, para cadan >N.

Afirmaci´on. Sin _∈N es tal quen >N, entonces _|√np−1|< ε.

En efecto. Sean _∈N tal que n>N. Entonces |√n_p−1|=|1− √n_p|=|√n_p( 1

n

√_p −1)|= √n_p| 1 n

√_p −1|<_| n√1_p −1|< ε

(puesto que √n_{p <}1 para toda_ny| 1 n

√_p−1|< εsin >N). Esto demuestra

nuestra afirmaci´on. ⊠

Para concluir, obs´ervese que hemos probado que, para cada ε > 0, existe unaN _∈N tal que

∀ n _∈N: n >N implica que |√n_p−₁|_{< ε.}

(4) Notemos que si n > 2 entonces √n_{n > 1. De esta forma, el n´umero}

αn = √nn−1 es positivo para toda n > 2. Note ahora que para n > 2

sucede que n= (√n n)n_{= (1 +α} n)n = n X j=0 µ n j ¶ α_nj > µ n 2 ¶ α2_n

(puesto que αn > 0 para toda n > 2). Entonces podemos concluir que

para n>2 se tiene que

n_·(n₋1) 2 ·α 2 n = µ n 2 ¶ α2_n6n. Por lo tanto, α_n6 q 2 n−1 cuando n>2.

Supongamos ahora queε > 0 est´a dada y elijamos un n´umero natural N con la propiedad de que N > _ε22 + 1.

Afirmaci´on. |√n_{n−1|< ε para todan>N.}

Efectivamente, elijamos un n´umero natural n con n > N. Notemos primero que como N > _ε22 + 1, se tiene quen > _ε22 + 1 (note tambi´en que

esto implica que n >2). Finalmente observe que |√n_n −1|=|αn|=αn6 q 2 n−1 < ε, puesto queαn>0 yn > _ε22 + 1.

De esta manera hemos demostrado que al considerar unaε >0 cualquiera basta elegirN _∈Nmayor que _ε22+1 para poder garantizar que|n

√

n₋1|< εpara todan >N. As´ı que hemos demostrado que limn→∞ √nn = 1.

2.6. Problemas

(1) Suponga queε >0. Resuelva parancada una de las siguientes desigualdades. (a) 2n+3 3n < 2 3+ε (b)−ε < 3 n₋5 (c) 1−ε < n2 −13 n2 (d)₋ε <_n23₊₈ (e) q 2 2n+1 < ε (f) 3 q n n+2 < ε

(2) En cada una de las expresiones siguientes se da el l´ımite cuandon tiende a

∞. Encuentre en cada caso un n´umero natural N tal que, para n>N, la distancia|an−ℓ|entre el valor de la expresi´onan y su l´ımiteℓsea: (a) menor que ₁₀1; (b) menor que ₁₀₀₀1 ; (c) menor que _100000001 .

(a) limn→∞n5 = 0 (b) limn→∞1+21+nn = 2 (c) limn→∞n 2 +n−1 3n2₊₁ = 1 3 (d) limn→∞√n12 +1 = 0 (e) limn→∞ 3n+1 √ 4n = 3 4 (f) limn→∞ n+1 2n+1 = 1 2

(3) Determine si las siguientes sucesiones tienen l´ımite o no. En los casos en que se tenga un l´ımite, determine un n´umero naturalN tal que n>N implique que_|an−ℓ|< ε(se est´a suponiendo queε >0 es cualquier n´umero positivo), dondean esta dada por:

(a) n2 +n 2n2₊₁ (b) 6n3 +4n₋1 n3_+5n (c) n2 +1 n+1 (d) (1₋1₂)(1₋1₃)(1₋₄1)_{· · ·}(1₋1_n) (e) 3n5 −2n4 +6n3 −2 4n5_+6n3_+n2 −1 (f) 1−n(−1) n

(4) Aplicando la definici´on de l´ımite, demuestre que (a) El l´ımite de la sucesi´on 3₃,5₆,₉7,₁₂9, . . . ,es 2₃. (b) El l´ımite de la sucesi´on 2 1, 7 3, 12 5, 17 7, . . . ,es 5 2. (c) El l´ımite de la sucesi´on 2 5, 2 9, 2 13, 2 17, . . . ,es 0. (d) El l´ımite de la sucesi´on 0.3,0.33,0.333,0.3333, . . . ,es 1₃. (e) limn→∞ ¡√ nk_{+ 1} −√nk¢_{= 0, dondek} ∈N. (f) _∀ k>0, limn_→∞ ¡√ n2_{+ 2kn+ 1−}√_n2_{+ 5}¢_=k. (g) limn→∞ ¡√ n+ 1₋√n¢¡qn+1 2 ¢ =1 2. (h) limn→∞ ¡√ n2_{+ 2n−}√_n2_+n¢₌1 2. (i) limn_→∞ ¡√3 n+ 1₋√3 n¢= 0. (j) limn→∞ ¡1 n2 + 1 (n+1)2 + 1 (n+2)2 +· · ·+ 1 (2n)2 ¢ = 0 (5)

(a) Sea (an)n∈Nuna sucesi´on. Defina a (xn)n∈Ny a (yn)n∈Ncomo las

suce-siones dadas porxn=a2nyyn =a2n−1donden∈N, es decir, (xn)n∈N

y (yn)n∈N son las sucesiones formadas por todos los t´erminos de la

sucesi´on (an)n∈N cuyos ´ındices son n´umeros pares y la formada por

todos los t´erminos de la sucesi´on (an)n∈N cuyos ´ındices son n´umeros

impares. Demuestre que si limn→∞xn = ℓ = limn→∞yn entonces limn→∞an =ℓ.

(b) Use el resultado del inciso anterior para demostrar que la sucesi´on (an)n∈N dada por a2n = _n1 ya2n−1 = ₂1_n (n∈N), converge a 0 (esto

es, tiene por l´ımite al real 0).

(c) Use el resultado del inciso (a) para demostrar que la sucesi´on

−3 2,− 2 3,− 5 4,− 4 5,− 7 6,− 6 7,− 9 8,− 8 9,− 11 10,− 10 11, . . .

tiene por l´ımite a -1 (6)

(a) Demuestre que si limn→∞an =ℓ entonces las sucesiones xn =a2n y

yn=a2n−1 tambi´en tiene aℓcomo l´ımite.

(b) Use el resultado del inciso anterior para mostrar que la sucesi´on (−1)n no tiene l´ımite.

2.7. Sucesiones convergentes

Es costumbre decir que una sucesi´on (an)n_∈N converge a ℓ (ℓ es un

n´umero real) para indicar que ℓ es el l´ımite de (an)n_∈N. Se acostumbra

decir tambi´en que la sucesi´on (an)n_∈N converge (o que es convergente)

cuando tiene l´ımite, y que es divergente, en el caso contrario (esto es, cuando no converge).

Observe el lector que en casi todos los ejemplos de sucesiones que tenemos hasta este momento ha sido sencillo para nosotros percatarnos de quien es el l´ımite y verificar que en efecto este n´umero satisface la Definici´on 2.5.3. Como no siempre es f´acil darse cuenta de si una sucesi´on tiene l´ımite o no, en esta secci´on demostraremos algunos resultados ac-erca de sucesiones que nos ser´an de gran utilidad para poder “calcular” los valores de los l´ımites de varios tipos de sucesiones. Por ejemplo, en la siguiente proposici´on se establece una condici´on necesaria para que una sucesi´on sea convergente, que como veremos posteriormente, con este resultado a la mano podremos establecer de manera indirecta la no con-vergencia de algunas sucesiones.

2.7.1. Proposici´on. Si (an)n∈N es una sucesi´on convergente entonces

(an)n∈N es una sucesi´on acotada.

Demostraci´on. _{Supongamos que} ℓ = limn→∞an. Tomemos ε = 1 en

la Definici´on 2.5.3. Entonces sucede que, para esta ε, existe una N _∈ N

tal que

∀ n_∈N: n>N implica que _|an−ℓ|<1.

Como _|an| − |ℓ|6 |an−ℓ| para cadan ∈N (v´ease el Problema 11 de la

secci´on 1.7), tenemos que

|an|<1 +|ℓ| siempre que n>N.

Para finalizar, hagamos M = m´ax_{|a_1|,_|a_2|,_|a_3|, . . . ,_|aN|,1 +|ℓ|}. Es

f´acil ahora verificar que

∀m _∈N:_|am|6M.

Por lo tanto, (an)n_∈N est´a acotada.

Como ya hemos mencionado, el resultado de la anterior proposici´on es una herramienta ´util para demostrar que cierto tipo de sucesiones no son sucesiones convergentes (esto es, no tienen l´ımite). En efecto, note que como un corolario de la anterior proposici´on obtenemos quetoda sucesi´on no acotada no es una sucesi´on convergente. Por esta raz´on, las sucesiones

(1) an=n,

(2) an =n2, en forma m´as general, la sucesi´on an =np donde p ∈N

es fijo, (3) an=√n,

(4) bn =n+k, donde k∈R es fijo.

no convergen. Algunos otros ejemplos de sucesiones divergentes son los siguientes:

(1) la sucesi´on an = (−1)nn (esta sucesi´on no es ni acotada

superi-ormente ni acotada inferisuperi-ormente por lo que no es acotada. En consecuencia, no es convergente);

(2) la sucesi´on bn = √3n (esta sucesi´on no es acotada superiormente,

Note que existe una diferencia sustancial entre los dos ´ultimos ejemplos de sucesiones divergentes: la sucesi´on bn =√3 n satisface que

∀K _∈R: existe m_∈N con la propiedad de que K < bn para cada n >m,

esto es, dado cualquier n´umero real K siempre existe unam _∈Na partir de la cualtodos los t´erminosbn, paran >m, “rebasan” al realK(observe

que esta propiedad no la posee la sucesi´on (₋1)n_{n puesto que todos sus}

t´erminos impares son negativos).

Esa forma de no convergencia, como la de la sucesi´on (√3 _n)

n∈N, recibe

un nombre especial.

2.7.2. Definici´on. Sea (an)n∈N una sucesi´on de n´umeros reales.

Dire-mos que la sucesi´on (an)n∈N diverge a +∞, lo cual denotaremos con los

s´ımbolos limn→∞an= +∞, si sucede que

∀ K _∈R: existe m_∈N tal que K < an ∀ n >m.

La noci´on dual a la noci´on de divergencia a +∞es la noci´on de diver-gencia a −∞.

2.7.3. Definici´on. Diremos que una sucesi´on (an)n∈Ndiverge a−∞, lo

cual denotaremos con los s´ımbolos limn→∞an =−∞, si sucede que

∀k _∈R: existe m_∈N tal que an < k ∀ n>m.

De esta manera, la sucesi´on bn = √3 n diverge a +∞, pero no as´ı la

sucesi´onan= (−1)nn (la cual simplemente diverge).

Observe que la noci´on de convergencia de sucesiones nos permite dividir al conjunto de todas las sucesiones en dos clases: la clase de las sucesiones convergente y la clase de las sucesiones divergentes. Adem´as, la clase de las sucesiones divergentes (las no convergentes) puede ser dividida en tres clases ajenas:

• La clase de las sucesiones divergentes a +∞(en donde est´an, por ejemplo, la sucesi´on de los n´umeros naturales (n)n_∈Ny la sucesi´on

bn =√3 n);

• la clase de las sucesiones divergentes a _−∞ (en donde est´an las sucesiones (₋n)n_∈N y c_n =−2n);

• la clase de las sucesiones no convergentes, cuya divergencia no es ni a +_∞ ni a _−∞ (note que dos elementos de esta clase son las sucesiones an = (−1)n y bn= (−1)nn).

La siguiente proposici´on establece algunas propiedades de la divergen-cia a +_∞y de su contraparte, la divergencia a _−∞.

2.7.4. Proposici´on. Sean (an)n_∈N y (bn)n_∈N sucesiones.

(1) Si limn→∞an = ∞ y an 6 bn para n suficientemente grande, entonces limn→∞bn =∞.