Sistema de guiado para vehículo autónomo sumergible

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(1)Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingenierı́a Eléctrica Departamento de Automática y Sistemas Computacionales. Trabajo de Diploma. Sistema de Guiado para Vehı́culo Autónomo Sumergible. Autor: Yenier Jiménez Paz Tutor: Ing. Delvis Garcia Garcia. Santa Clara 2012 “Año 54 de la Revolución”.

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingenierı́a Eléctrica Departamento de Automática y Sistemas Computacionales. Trabajo de Diploma. Sistema de Guiado para Vehı́culo Autónomo Sumergible. Trabajo de Diploma presentado en opción al Tı́tulo Académico de Ingeniero en Automática. Autor: Yenier Jiménez Paz email: [email protected]. Tutor: Ing. Delvis Garcia Garcia Profesor Instructor Dpto. de Automática, Facultad de Ing. Eléctrica, UCLV email: [email protected]. Santa Clara 2012 “Año 54 de la Revolución”.

(3) Hago constar que el presente Trabajo de Diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingenierı́a en Automática, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. Yenier Jiménez Paz Autor. Fecha. Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Yenier Jiménez Paz Autor. Fecha. Boris Luis Martı́nez Jiménez, Dr.C Jefe del Departmento. Fecha. Responsable ICT o J’ de Carrera, (Dr.C., M.Sc. o Ing.) Responsable de Información Cientı́fico-Técnica. Fecha.

(4) PENSAMIENTO. “No basta saber, se debe también aplicar; no es suficiente querer, se debe también hacer. ” Johann Wolfgang von Goethe. i.

(5) DEDICATORIA. A mis padres por ser tan especiales para mı́ y por la confianza que me han brindado. A mis hermanas por el cariño y el apoyo que me brindan cada dı́a.. ii.

(6) AGRADECIMIENTOS A mi familia, en especial a mis padres y mis hermanas por estar siempre presentes. A todos mis amigos, principalmente a los que han compartido estos cinco años conmigo. También quiero agradecer a mi tutor Delvis, por la ayuda que me brindó para obtener este resultado.. iii.

(7) RESUMEN. El desarrollo e investigación de los Vehı́culos Autónomos Sumergibles (en inglés, AUV) ha tenido un gran auge en los últimos años. Debido a la importancia que tendrı́a para nuestro paı́s una plataforma de este tipo, el Grupo de Automatización, Robótica y Percepción (GARP) y el Centro de Investigación y Desarrollo Naval (CIDNAV) trabajan de forma conjunta en el desarrollo de un prototipo. Imprescindible para esta aplicación es el sistema de guiado que se encarga de brindar al sistema de control la información de la ruta deseada. Un procedimiento común para esto es la introducción de puntos deseados que luego el sistema de guiado convierte en una trayectoria. En esta investigación se propone una nueva metodologı́a para el seguimiento de trayectoria para este vehı́culo, basado en interpolación cúbica entre los puntos. El algoritmo incluye el efecto del oleaje y de las corrientes marinas y su desempeño es comparado con un algoritmo implementado en investigaciones anteriores, obteniéndose mejores resultados en varios sentidos. El algoritmo fue implementado utilizando el toolbox Simulink del Matlab. Para ilustrar el comportamiento del sistema se presentan varias simulaciones teniendo en cuenta el modelo matemático del vehı́culo, el oleaje y las corrientes.. iv.

(8) TABLA DE CONTENIDO Página PENSAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i. DEDICATORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ii. AGRADECIMIENTOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iii. RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iv. Índice de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Índice de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. CAPÍTULO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.. Revisión bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.1.. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.2.. Aplicaciones de los vehı́culos autónomos . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.3.. Ejemplos de AUVs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.4.. Sistema de Guiado, Navegación y Control en los AUV s . . . . . . . . .. 10. 1.5.. Generación de Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.6.. Seguimiento de Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 1.7.. Consideraciones finales del Capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. CAPÍTULO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.. Generación y Seguimiento de Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2.1.. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2.2.. Generación de Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2.2.1. Generación de trayectorias mediante polinomios cúbicos . . . . .. 22. Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 2.3.. v.

(9) 2.4.. Relación entre los sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.5.. Seguimiento de Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 2.5.1. Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 2.6.. Ley de Guiado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 2.7.. Disturbios medio-ambientales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 2.8.. Consideraciones finales del Capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. CAPÍTULO 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.. Simulación y Discusión de los Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.1.. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.2.. Consideraciones para las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.3.. Generación de trayectoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.4.. Filtrado de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.5.. Seguimiento de trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.5.1. Comparación con el algoritmo LOS . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. 3.6.. Análisis económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 3.7.. Consideraciones finales del Capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. RECOMENDACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. vi.

(10) Índice de tablas Tabla. Página. 2–1. Notación utilizada para AUVs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 3–1. Valores estadı́sticos de los errores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 3–2. Valores estadı́sticos de las señales de mando. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. vii.

(11) Índice de figuras Figura. Página. 1–1. AUV Hugin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1–2. AUV R-One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1–3. MARES AUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1–4. Sistema de Posicionamiento Dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1–5. Trayectoria de lı́neas rectas y arcos de circunferencia . . . . . . . . . . . . .. 15. 2–1. Trayectoria formada por segmentos entre los puntos deseados. . . . . . . .. 22. 2–2. Sistemas de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 2–3. Relación entre b − f rame y el i − f rame . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 2–4. Relación geométrica entre curso, rumbo y deslizamiento lateral . . . . . . .. 31. 2–5. Errores en el seguimiento del vehı́culo a la trayectoria. . . . . . . . . . . . .. 33. 3–1. Esquema General de Simulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3–2. Trayectoria generada a partir de los puntos deseados. . . . . . . . . . . . .. 41. 3–3. Polinomios xd ($), yd ($) y sus primeras y segundas derivadas. . . . . . . .. 42. 3–4. Seguimiento de trayectoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 3–5. Errores longitudinal y lateral en el seguimiento de la trayectoria. . . . . . .. 45. 3–6. Comparación del método LOS y Splines para el seguimiento de trayectoria.. 46. 3–7. Comparación entre las señales de mando a los actuadores. . . . . . . . . . .. 47. 3–8. Comparación entre los valores de rumbo deseado y los valores reales. . . . .. 48. viii.

(12) INTRODUCCIÓN En los últimos años se ha experimentado un aumento en el estudio y desarrollo de los vehı́culos autónomos sumergibles (AUVs, Autonomous Underwater Vehicles), por las grandes ventajas que estos presentan con respecto a los vehı́culos tripulados para la exploración y explotación submarina entre otras aplicaciones. Con los vehı́culos autónomos se logran reducir los costos que implican las misiones en vehı́culos tripulados, además de los riesgos que pueden traer consigo para la vida humana. Es por ello que en la actualidad estos vehı́culos constituyen objeto de investigación y desarrollo de muchas instituciones y universidades a nivel mundial. Las primeras investigaciones que se desarrollaron en el campo de los AUVs comenzaron en la década de 1960 (J.E.Gorset, 2007), de las cuales desafortunadamente existen pocas publicaciones . Posteriormente, durante la década del 70, cuando se descubrieron los yacimientos petroleros de los mares del norte fueron introducidos los vehı́culos operados de forma remota (ROVs, Remotely Operated Vehicles) lo que permitió que su uso se extendiera a las tareas realizadas en las profundidades del océano, que hasta ese momento eran realizadas por los buzos. Los AUVs son controlados automáticamente y toda la inteligencia está almacenada en los sistemas de cómputo a bordo, los que en sus inicios constituı́an una dificultad porque estos eran demasiado grandes, pesados y consumı́an mucha energı́a. No obstante, en la década de 1980-1990 el desarrollo en las tecnologı́as de computadoras trajo consigo que estas fueran más pequeñas, de bajo consumo y de suficiente memoria para el almacenamiento de los datos, estas ofrecı́an el potencial necesario para implementar complejos algoritmos de navegación y control junto a la posibilidad de trabajar con varias fuentes de información.. 1.

(13) INTRODUCCIÓN. 2. El desarrollo alcanzado en la computación permitió que los AUVs se transformaran de simples prototipos de sistemas operacionales a prototipos de primera generación capaces de cumplir con objetivos bien definidos. Posteriormente al año 2000 el comercio de estos móviles ha crecido continuamente y los primeros productos verdaderamente comercializables se han hecho realidad, (Wernli, 2000). Los AUVs han cobrado cada dı́a más fuerzas en aplicaciones civiles debido al mejoramiento y abaratamiento de las tecnologı́as empleadas para su concepción. Para que un vehı́culo opere realmente de forma autónoma independientemente de la supervisión del operador, se hace necesario contar con un buen Sistema de Posicionamiento Dinámico (SPD). Los SPD han adquirido gran auge a nivel mundial y su uso es cada vez mayor en los sistemas marinos, tanto en vehı́culos que se mueven en la superficie del mar como en submarinos. Dentro de estos un componente fundamental es el Sistema de Guiado (SG), este es de vital importancia ya que es el encargado de calcular continuamente la posición, velocidad y aceleración deseadas para el vehı́culo logrando ası́ el seguimiento de trayectorias deseadas. En nuestro paı́s estos desarrollos aún son muy incipientes, pero el Centro de Investigación y Desarrollo Naval (CIDNAV ) de forma conjunta con el Grupo de Automatización Robótica y Percepción (GARP ) de la Universidad Central ”Martha Abreu”de Las Villas han mostrado interés en las ventajas que las plataformas no tripuladas poseen por encima de sus contrapartes tripuladas por lo que se han dado a la tarea de desarrollar el sistema de control para un móvil con vistas a convertirlo en un vehı́culo autónomo subacuático, (Martı́nez, 2010). Teniendo en cuenta la necesidad del desarrollo de un autopiloto para el CIDNAV − AUV se establecen los objetivos del trabajo de diploma. Objetivo general Desarrollar un Sistema de Guiado basado en trayectorias curvas para el AUV del CIDNAV..

(14) INTRODUCCIÓN. 3. Objetivos especı́ficos - Identificar las principales técnicas utilizadas para la generación y el seguimiento de trayectorias curvas para vehı́culos autónomos. - Seleccionar los algoritmos que sean más factibles para implementar en el AUV del CIDNAV. - Desarrollar los procedimientos seleccionados de manera modular. - Validar los procedimientos desarrollados. - Generar la documentación técnica correspondiente a cada módulo. Resultados esperados: Con este trabajo se pretende dar continuidad al desarrollo del autopiloto del AUV desarrollado por el GARP y brindar una solución viable para el guiado del mismo, o sea, la generación de una trayectoria a partir de puntos deseados y el seguimiento de la misma, independientemente de la influencia de perturbaciones externas.. Estructura del Trabajo de Diploma El Trabajo de Diploma, posterior a esta introducción cuenta con tres capı́tulos. A continuación se muestra el contenido de cada capı́tulo de forma resumida. Capı́tulo 1 Se realiza un análisis de la literatura especializada en la temática a tratar y la problemática a resolver. En este se introduce el tema de los vehı́culos autónomos y se explican brevemente los principales métodos de generación y seguimiento de trayectorias. Además se hace una explicación de los subsistemas que componen un sistema de posicionamiento dinámico y como interactúan entre sı́. Capı́tulo 2 En este capı́tulo se realiza una explicación del método de interpolación cúbica, el cual fue implementado para la generación de la trayectoria para el vehı́culo. Además se explican los sistemas de referencia que se utilizan para definir la posición y orientación del vehı́culo. También se realiza un resumen de los disturbios ambientales que afectan el sistema de.

(15) INTRODUCCIÓN. 4. control y los métodos utilizados en el mundo para filtrar estos. Por último se realiza un análisis de la ley de control implementada para hacer que el vehı́culo siga la trayectoria. Capı́tulo 3 En este se hace un resumen de las consideraciones para el desarrollo de las simulaciones. Se realiza una descripción del algoritmo utilizado para la generación de la trayectoria y además se muestran los resultados obtenidos mediante la simulación del proceso de seguimiento de trayectoria y una comparación con trabajos realizados anteriormente. También se explica brevemente el método de filtrado basado en observador pasivo. Por último se realiza un análisis económico. Posterior a estos capı́tulos se realizan unas conclusiones las cuales resumen el trabajo realizado anteriormente y además se dan unas recomendaciones para establecer la continuidad de esta investigación..

(16) CAPÍTULO 1.

(17) Capı́tulo 1 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 1.1.. Introducción. Los mares representan cerca del 70 por ciento del planeta tierra, estos constituyen una gran fuente de recursos, los cuales en su mayorı́a todavı́a son inexplorados por el hombre. Es por esto que en la actualidad las inspecciones y el reconocimiento del medio marino es una cuestión de alta prioridad. A partir de la necesidad de interactuar con este medio el hombre se ha dedicado al desarrollo de vehı́culos que le permitan adentrarse más en el mismo. Es por ello que muchas instituciones en el mundo se dedican al estudio y desarrollo de vehı́culos capaces de realizar estas tareas con la mayor eficacia posible, además de disminuir los costos para la realización de las mismas. Debido a estas condiciones ha existido un gran desarrollo de los vehı́culos submarinos no tripulados (UUV, Unmanned Underwater Vehicles). Estos están constituidos principalmente por dos tendencias; los Vehı́culos Operados Remotamente (ROVs, Remotely Operated Vehicles) los cuales son operados remotamente desde un vehı́culo en la superficie que se conecta a este mediante un cable, este cable sirve para suministrarle la energı́a y además para enviarle las señales de control y los Vehı́culos Autónomos Submarinos (AUVs, Autonomous Underwater Vehicles), que son vehı́culos motorizados que se trasladan en un medio acuático y realizan diferentes misiones sin llevar a bordo operadores humanos y sin teleoperación. Su capacidad de navegación autónoma les permite ser programados con anticipación. Estos navegan libremente y a diferencia de los ROVs que las señales de control se le envı́an mediante un cable, en estos pueden estar determinadas en la unidad de. 6.

(18) REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 7. cómputo que posee el vehı́culo o se le pueden enviar desde una estación de supervisión vı́a inalámbrica, además los AUVs poseen su propio suministro de energı́a (Fossen, 2011). Los AUVs son capaces de realizar las tareas asignadas sin la necesidad de arriesgar la vida del hombre, por lo que muchos centros investigativos y universidades han mostrado un gran interés en el desarrollo de estos, obteniendo resultados satisfactorios evidenciados en publicaciones de un alto grado cientı́fico. Ejemplo de estas universidades se muestran a continuación: “Universidad Nacional del Sur”(UNS) en Argentina (Jordán, 2008),“Universidad de Oporto”, Portugal (Ramos, 2008); “Universidad BEIHANG”, China (Liang, 2008); “Universidad de Zagreb”, Croacia (Miskovic, 2008); “Universidad Técnica de Lisboa”, (Encarnacao, 2002) y la “Universidad Noruega de Ciencia y Tecnologı́a”(NT NU) la cual posee una gran cantidad de publicaciones de gran calidad en este tipo de investigaciones dentro de las que destacan las realizadas por el profesor Thor I. Fossen (Fossen, 2002, 2011). Cuba es un paı́s rodeado por mares, por lo que la utilización de este tipo de tecnologı́a para la explotación de los recursos naturales que estos ofrecen se hace indispensable. Por ello el Centro de Investigación y Desarrollo Naval (CIDNAV ) y el Grupo de Automatización Robótica y Percepción (GARP ) de la Universidad Central “Martha Abreu”de Las Villas trabajan de forma conjunta en el desarrollo de un prototipo de AUV de bajo costo, este proyecto ha sido nombrado CIDNAV − AUV . El GARP es el encargado de desarrollar el sistema de posicionamiento dinámico del vehı́culo que permita que este opere de forma autónoma. En tal sentido, se han obtenido varios resultados que han sido corroborados en pruebas experimentales que suman más de 30 horas de trabajo, lográndose resultados satisfactorios, (Hernández, 2011; Martı́nez, 2010; Rodrı́guez, 2011). Entre estos resultados se encuentran: - Hardware y software de bajo nivel (Guerra, 2010; Martı́nez, 2010). - Software de supervisión y control (Martı́nez, 2010; Rodrı́guez, 2011, 2010). - Instalación de sensores (Martı́nez, 2010). - Modelo dinámico del CIDNAV − AUV (Cañizares, 2010; Zamora, 2010)..

(19) 8. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. - Estrategia de control de rumbo diseñada a partir del modelo del HRC − AUV (Cañizares, 2010; Hernández, 2011; Valeriano, 2011). Además se han desarrollado estrategias de guiado para que el vehı́culo siga trayectorias predeterminadas, como la desarrollada por (Zamora, 2010) pero estas no han sido probadas en pruebas experimentales por lo que en este sentido todavı́a quedan tareas pendientes. 1.2.. Aplicaciones de los vehı́culos autónomos. Los AUVs han despertado un gran interés tanto en el ámbito cientı́fico, militar y comercial por las ventajas y las disı́miles actividades que estos son capaces de realizar. A continuación se muestran varias de estas aplicaciones en las diferentes ramas de trabajo. Ciencia Inspección del fondo marino. Estudios geológicos. Estudio de la biologı́a marina. Industria Inspección de cascos de buques y tanques Inspección e instalación de cables de comunicación y transmisión de energı́a eléctrica. Construcción y mantenimiento de estructuras submarinas. Inspección y evaluación de los recursos oceánicos. Mapeo con precisión del fondo marino para proyectos de cable y tuberı́as submarinas. Militar Poner y quitar minas marinas a poca profundidad. Detección de otros vehı́culos. Misiones Clandestinas 1.3.. Ejemplos de AUVs. En el mundo existen varios prototipos de estos vehı́culos, a continuación se exponen ejemplos de algunos de ellos:.

(20) 9. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. El AUV Hugin (J.E.Gorset, 2007) fue desarrollado por Kongsberg Maritime y Forvarets Forskning Institute (FFI) de Noruega. Este vehı́culo está dispuesto para el mapeo de alta precisión del fondo marino, vigilancia y reconocimiento de minas.. Figura 1–1: AUV Hugin El AUV R-One (Kim, 2003) utilizado por la Universidad de Tokyo con fines cientı́ficos para el estudio y validación de estrategias de control a partir del uso óptimo de combustible.. Figura 1–2: AUV R-One El MARES AUV (Cruz, 2008), MARES (Modular Autonomous Robot for Environment Sampling) es un AUV programado para seguir trayectorias predefinidas, recolectar datos relevantes del medio ambiente en que se encuentra y sumergirse hasta un máximo de 100m..

(21) 10. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. Figura 1–3: MARES AUV 1.4.. Sistema de Guiado, Navegación y Control en los AUV s. En los últimos años ha existido un aumento creciente en la demanda de los Sistemas de Posicionamiento Dinámicos (SPD), esto es debido a que cada dı́a las misiones que realizan los barcos y los submarinos requieran de forma indispensable de estos para tener una mayor fiabilidad y exactitud. El SPD para vehı́culos autónomos está compuesto por tres bloques, (Fossen, 2011): El Sistema de Guiado, el Sistema de navegación y el Sistema de control los cuales se muestran en la figura 1–4 .. Figura 1–4: Sistema de Posicionamiento Dinámico.

(22) 11. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. El Guiado es la acción o el sistema encargado de calcular continuamente la referencia de la posición, velocidad y aceleración que se desea tenga el vehı́culo. Además genera la trayectoria a seguir por el mismo. La Navegación es el sistema que determina la posición, el rumbo y la distancia recorrida, además puede determinar la velocidad y aceleración del vehı́culo, para ello los sistemas de navegación más avanzados se basan en los Sistemas de Navegación Inercial (INS) y en el empleo de otros sensores que brindan mediciones absolutas de los parámetros de navegación. El Control es la acción o el sistema encargado de determinar las fuerzas y momentos necesarios para que el vehı́culo siga el objetivo deseado o se mantenga sobre la trayectoria predefinida. Este principalmente incluye leyes de control feedfoward y feedback. Estos tres subsistemas interactúan entre sı́ intercambiando datos y señales para lograr el movimiento deseado del vehı́culo. El Guiado obtiene la información dada por el sistema de navegación, de la posición, velocidad y aceleración del vehı́culo y a partir de estas mediante la ley de guiado calcula la señal del rumbo, la cual se toma como referencia para el sistema de control, que es el encargado de mantener el vehı́culo en la trayectoria deseada. 1.5.. Generación de Trayectorias. Una trayectoria no es más que la descripción del movimiento de un objeto en el espacio como función del tiempo u otra variable independiente. La trayectoria puede ser descrita matemáticamente por la geometrı́a del camino o la posición del vehı́culo, (Fossen, 2011). La generación de trayectorias para vehı́culos autónomos es un tema ampliamente tratado en la literatura, a continuación se explican los métodos más utilizados. Mapas Probabilı́sticos Los mapas probabilı́sticos han demostrado ser un método importante en la generación de trayectorias ya que han solucionado el problema de encontrar rutas o caminos a seguir.

(23) REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 12. libres de colisiones en los diferentes entornos. Este método se basa en distribuir un conjunto de puntos de forma aleatoria en el espacio y posteriormente se establecen las conexiones entre estos y se descartan las trayectorias que produzcan colisiones, basándose en información estadı́stica de donde existe una mayor probabilidad de encontrar obstáculos. Una de las desventajas que presenta este método es la necesidad de verificar rápidamente si una trayectoria puede producir una colisión, por lo que necesita hacer cientos de comprobaciones por segundos antes de generar la trayectoria, además no se puede asegurar que la trayectoria generada entre el punto inicial y el objetivo al que se quiere llegar sea la más óptima en cuanto al tiempo y la distancia. También es de destacar que la implementación de este método requiere de un gran costo ya que el mismo necesita de un alto grado de procesamiento matemático, (Cárdenas, 2011). Redes Neuronales Artificiales Una de las técnicas más aplicadas para implementar estrategias de navegación son las redes neuronales artificiales, estas se utilizan para la generación de trayectorias y esquemas de navegación inteligente. Con este método el vehı́culo debe seguir la trayectoria reaccionando de manera inteligente ante la incertidumbre de los sensores, el medio ambiente y los cambios dinámicos del entorno. Estas se basan en la creación de una base de datos con las trayectorias generadas por la Red Neuronal, en la que existen varias trayectorias a seguir para alcanzar el objetivo. Este método tiene como gran inconveniente que se necesita contar con medios computacionales avanzados para generar la base de datos que le permite trazar la trayectoria a seguir, (Rios, 2008) Modelos de Referencia Este método se basa en el uso de modelos de referencia lineales para la generación de las trayectorias que el vehı́culo debe seguir. El modelo más básico que se puede obtener es el basado en una estructura de un filtro paso bajo. El diseño del filtro puede ser basado en la dinámica del vehı́culo lo cual contribuye a que la trayectoria que se genera pueda ser seguida con mayor facilidad. Es importante que cuando se diseña el filtro el ancho de.

(24) REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 13. banda del mismo debe ser menor que el del sistema de control para poder lograr resultados satisfactorios en el seguimiento de la trayectoria, (Fossen, 1994). Generación Óptima de Trayectoria Consiste en un método sistemático que incluye las restricciones estáticas y dinámicas del vehı́culo. La implementación de este se realiza a través de algoritmos de programación que incluyen programación lineal y cuadrática, también son usados métodos no lineales para el desarrollo de trayectorias, (Fossen, 2011). Generación de Trayectoria basada en puntos deseados La generación de trayectorias basada en puntos deseados es una de las más usadas tanto para los barcos como para los vehı́culos subacuáticos. Este método se basa en la introducción de los puntos deseados por parte de un operador, estos son almacenados en una base de datos, los cuales son usados posteriormente para generar la trayectoria, (Fossen, 2002). Para el desarrollo de la base de datos de los puntos deseados con la cual se genera la trayectoria se pueden tener en consideración condiciones y caracterı́sticas especiales como: Misiones: En estas el vehı́culo puede moverse desde un punto inicial hasta conseguir el objetivo siguiendo varios puntos. Datos Medioambientales: La información acerca del comportamiento del viento, de las olas y de las corrientes marinas. Datos Geográficos: Información acerca de la profundidad del mar y de pequeñas islas, además de plataformas flotantes y de otros obstáculos que puedan existir. Obstáculos: En este caso se basa en que la trayectoria a generar tenga en cuenta construcciones flotantes que pueden ser evitadas por la trayectoria del vehı́culo..

(25) REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 14. Flexibilidad: Este se basa en que cada punto deseado puede ser factible para el vehı́culo, esto es que sea posible el paso del vehı́culo por cada punto sin exceder su máxima razón de giro. Las condiciones y caracterı́sticas antes expuestas pueden ser tenidas en cuenta por el operador encargado de introducir los puntos deseados con el objetivo de que al generar las trayectorias para seguir los puntos, estas sean más factibles. Los puntos deseados son definidos utilizando las coordenadas de los ejes cartesianos (x,y,z). Las bases de datos consisten de varios puntos que incluyen el punto inicial, puntos intermedios y el punto final u objetivo. Además en la definición de los puntos deseados se les pueden añadir propiedades como la velocidad y el rumbo del vehı́culo. Generación de trayectoria basada en lı́neas rectas y arcos de circunferencias Debido a que generalmente la trayectoria deseada se genera a partir de los puntos hacia los cuales el vehı́culo debe dirigirse, uno de los métodos más usados para su desarrollo es la unión mediante lı́neas rectas y arcos de circunferencia que unen los puntos a seguir como se muestra en la figura 1–5 (Fossen, 2011). Este se basa en la aproximación de la trayectoria deseada como el conjunto de lı́neas rectas que unen dos puntos consecutivos y entonces inscribir una circunferencia entre dos de estas lı́neas y el punto donde el arco de circunferencia intercepta la lı́nea recta es el punto donde comienza el estado de giro del vehı́culo para seguir hacia el otro punto deseado. Este arco de circunferencia debe tener un radio máximo, el cual tiene que ser mayor que el radio de curvatura mı́nimo que el vehı́culo es capaz de describir. Esta aproximación por tramos rectos y arcos de circunferencias tiene una gran desventaja con respecto a otros métodos que unen los puntos deseados a través de curvas y es que cuando se va a tomar como referencia el punto siguiente se experimenta un salto en la razón del rumbo deseado. Esto es debido a que la razón del rumbo a lo largo de las lı́neas rectas no experimenta ninguna variación rd=0, y en los arcos de circunferencia, el rumbo se mantiene constante, lo cual produce un error en el seguimiento de la trayectoria..

(26) REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 15. Otra consideración que se puede tener en cuenta para evitar el efecto anteriormente mencionado es que alrededor de cada punto deseado se trace un cı́rculo de aceptación que le permita al vehı́culo que cuando está llegando al punto, seguir hacia el otro sin la necesidad de saturar los timones. El radio del cı́rculo de aceptación se debe tomar aproximadamente como dos veces la longitud del vehı́culo, (Fossen, 2011).. Figura 1–5: Trayectoria de lı́neas rectas y arcos de circunferencia Un caso particular de este método es el algoritmo de la Lı́nea de Visión (Line of Sight). Este consiste en un esquema de guiado formado por tres puntos que incluye, el vehı́culo, el objetivo y un punto estacionario. El propósito del mismo consiste en alinear el vector velocidad del vehı́culo con un vector que se extiende desde la posición real del vehı́culo hasta la lı́nea recta que une los puntos anterior y siguiente de la trayectoria definida por el usuario, este vector es conocido como vector LOS, (Fossen, 1994)..

(27) 16. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA Métodos de Interpolación. Los métodos de interpolación son unos de los más usados en la generación de trayectorias ya que estos no producen saltos en la razón del rumbo deseado, estos consisten básicamente en la generación de curvas a través de los puntos deseados por los distintos métodos de interpolación, a partir de los puntos deseados se genera una trayectoria la cual esta conformada por un conjunto de segmentos que se forman entre estos puntos. Las curvas son representadas por funciones polinómicas que por lo general son de orden 3, además los coeficientes de estos polinomios son distintos para cada segmento que se forma entre dos puntos. También mediante estos métodos de interpolación se le pueden añadir caracterı́sticas deseadas a la trayectoria como el rumbo y la aceleración deseada en cada punto lo que permite que la trayectoria generada sea suavizada y que recorra los puntos deseados. Los principales métodos de interpolación utilizados para la generación de trayectorias en la navegación son: El método de interpolación Spline y el de interpolación Hermite. La principal diferencia entre estos dos métodos es que la trayectoria generada mediante Spline es mucho más suavizada que la que se logra mediante Hermite (Fossen, 2011). 1.6.. Seguimiento de Trayectoria. En los vehı́culos submarinos el sistema de control y guiado está compuesto por dos subsistemas: el sistema de control de posición que cuenta con un autopiloto (controlador feedback) para mantener el vehı́culo en la posición deseada y el de control de trayectoria para lograr que el sistema siga una trayectoria predefinida, (Fossen, 2011). Los métodos de control para el seguimiento de trayectorias y la maniobrabilidad de los AUVs han sido tratados de diferentes formas por varios autores (Encarnacao, 2002; Skjetne, 2005). A continuación se muestra la clasificación de estos métodos dada por Thor I Fossen, (Fossen, 2011)..

(28) REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 17. Regulación del punto de referencia: Es el sistema más básico de guiado y consiste en una entrada constante (set-point) , en los AUVs se puede mantener constante la velocidad, la profundidad y el rumbo. Control de Rastreo de trayectoria: La salida del sistema es forzada a seguir una trayectoria deseada la cual puede tener restricciones espaciales y temporales , la posición y la velocidad de la vehı́culo pueden cambiar durante la trayectoria siguiendo señales de referencia de velocidad y posición variantes en el tiempo. Control de seguimiento de Trayectoria: Este consiste en seguir una trayectoria predefinida sin restricciones temporales a lo largo del camino. Este método puede tener restricciones espaciales con el propósito de evitar colisiones o de alcanzar determinados objetivos. Seguimiento de objetivos: En este el propósito de control es seguir el objetivo, el cual puede encontrarse en movimiento y donde solo se conoce su movimiento instantáneo, por lo que no se pueden tener restricciones temporales y espaciales. El caso más simple es cuando el objetivo se encuentra estacionario. Maniobrabilidad: El objetivo de control es utilizar conocimiento acerca de las restricciones dinámicas del vehı́culo para de esta forma lograr que el seguimiento de la trayectoria se realice con el menor error posible. Este método también incluye restricciones temporales pero más suavizadas que las del rastreo de trayectorias. Existen además otros métodos para el seguimiento de trayectoria como los reportados en (Isiyel, 2007) y los cuales que se explican a continuación. Guiado basado en Visión Artificial: Es generalmente usado para el seguimiento de cables submarinos. Este se basa en la evaluación de imágenes que son tomadas por dos cámaras diferentes, estas imágenes son procesadas para asociar las caracterı́sticas y la dirección de cada rasgo. Después la disparidad de los pixels de las imágenes es determinada por la calibración, entonces la dirección se envı́a al sistema de guiado..

(29) REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 18. Guiado mediante Magnetómetros: El principal objetivo de este método es el seguimiento eficiente de cables por vehı́culos submarinos. Este es utilizado cuando los cables se encuentran enterrados. Los magnetómetros son utilizados para sensar los cables y la información de los sensores se envı́a al sistema de guiado para que este haga que el vehı́culo siga los cables satisfactoriamente. Guiado basado en Campos Electromagnéticos: Este método se basa en la utilización de bobinas magnéticas en el vehı́culo y es muy útil en lugares donde las condiciones ambientales hacen que otros métodos como el de visión no se pueda implementar. Además es un método muy preciso pero su rango es limitado a una distancia de 25 a 30m. 1.7.. Consideraciones finales del Capı́tulo. Teniendo en consideración los diferentes métodos de generación de trayectorias y los requerimientos que cada uno necesitan para su desarrollo, principalmente que no existen condiciones para implementar ninguno de los métodos avanzados como los mapas probabilı́sticos, las redes neuronales, generación de trayectorias óptimas entre otros que por lo general necesitan de un alto grado de cómputo para su implementación y por lo que resultan difı́ciles de implementar en tiempo real, por lo que para la etapa en la que se encuentra el proyecto del CIDNAV − AUV la elección ha sido la navegación mediante puntos deseados brindados desde la estación en tierra basándose tanto en mapas fı́sicos como cartas marı́timas. Basado en estos puntos en la presente investigación se propone el desarrollo del método de interpolación para unir los mismos mediante una trayectoria que resulte la más factible a seguir por el vehı́culo y posteriormente solucionar la ley de guiado para mantener el mismo sobre la trayectoria, pese a los disturbios medio-ambientales y externos que se puedan presentar. Esto presupone una mejora del método de guiado propuesto en tesis anteriores que se basan en el vector LOS ya que en ellos se generan saltos o cambios bruscos en la señal deseada cada vez que se chequea un punto deseado y se pasa a buscar el siguiente, provocando ası́ la saturación de los timones..

(30) REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 19. De los métodos de control de seguimiento de trayectorias expuestos anteriormente, teniendo en cuenta que el AUV tiene como restricción que no es posible manipular la velocidad y por lo tanto no se pueden tener restricciones temporales en el seguimiento de la trayectoria predefinida, se utilizará el método de seguimiento de trayectoria para desarrollar un algoritmo de control que permita seguir la trayectoria con el menor error posible..

(31) CAPÍTULO 2.

(32) Capı́tulo 2 GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. 2.1.. Introducción. La planificación de trayectoria para los vehı́culos autónomos ası́ como la habilidad de dirigir y mantener un vehı́culo con gran precisión sobre esta es un objetivo importante para muchas aplicaciones (Morten, 2005). En el presente capı́tulo se desarrolla el método de interpolación para la generación de la trayectoria, ası́ como la ley de guiado para mantener al vehı́culo sobre la misma. 2.2.. Generación de Trayectorias. La ruta que sigue el vehı́culo desde el punto de inicio hasta el objetivo es llamada trayectoria. Varios puntos deseados se pueden utilizar para especificar una trayectoria y el camino total puede ser creado de forma tal que recorra todos los puntos en el orden dado. El punto inicial es definido como el punto 1 y el final como el punto n. Los puntos deseados son definidos utilizando las coordenadas de los ejes cartesianos (xk , yk ), donde k=1,...,n. La generación de la trayectoria se forma por los segmentos de curvas que se crean entre un par de puntos, por lo que para n puntos deseados se forman n − 1 segmentos. En el método utilizado se crea un vector $ que comienza en 0 y se va incrementando en 1 por cada segmento que forma la trayectoria. Por lo que $1 representa el camino en el punto 1, $2 representa el camino en el punto 2 y ası́ se incrementa hasta $n−1 como se muestra en la figura 2–1.. 21.

(33) 22. GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. Figura 2–1: Trayectoria formada por segmentos entre los puntos deseados. 2.2.1.. Generación de trayectorias mediante polinomios cúbicos. Para la generación de trayectorias se pueden usar los polinomios de tercer orden, llamados spline cúbicos (Fossen, 2011). El uso de este método permite que los segmentos que forman la trayectoria sean descritos por polinomios de la forma: xd ($) = a3 $ 3 + a2 $ 2 + a1 $ + a0. (2.1). yd ($) = b3 $ 3 + b2 $ 2 + b1 $ + b0. (2.2). donde xd ($) y yd ($) representan la posición del vehı́culo y $ la variable del camino. Las derivadas parciales de la trayectoria con respecto a $ están dadas por: Primera derivada: ẋd ($) = 3a3 $ 2 + 2a2 $ + a1. (2.3). ẏd ($) = 3b3 $ 2 + 2b2 $ + b1. (2.4).

(34) GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. 23. Segunda derivada: ẍd ($) = 6a3 $ + 2a2. (2.5). ÿd ($) = 6b3 $ + 2b2. (2.6). las cuales se utilizan en la generación de la trayectoria para lograr que esta sea lo suavizada posible. Para crear una trayectoria suavizada que pase a través de todos los puntos, se pueden crear varios subcaminos que después pueden ser unidos para conformar la trayectoria total. Para poder hacer esto, los subcaminos definidos por los polinomios 2.1 y 2.2 deben cumplir las propiedades de continuidad de C 0 , C 1 y C 2 donde los segmentos se unen, estas propiedades para la generación de la trayectoria se explican a continuación. Continuidad C 0 , significa que los dos segmentos deben tener el mismo valor en el punto que los une. Continuidad C 1 , significa que los dos segmentos deben tener el mismo valor de la pendiente en el punto que los une. Continuidad C 2 , significa que los dos segmentos deben tener la misma curvatura en el punto que los une. A continuación se muestra el procedimiento y las ecuaciones necesarias para generar la trayectoria deseada a partir de segmentos entre dos puntos. 1. Para comenzar, el segmento de curva entre los puntos deseados pi y pi+1 está dado por las ecuaciones 2.1 y 2.2. Para implementar la continuidad C 0 , los segmentos de curva deben pasar por los puntos deseados, esto es: xd ($i) = a3 $i3 + a2 $i2 + a1 $i + a0 3 2 xd ($i+1 ) = a3 $i+1 + a2 $i+1 + a1 $i+1 + a0. 2. Debido a que la continuidad de C 0 no implica que se cumpla la continuidad de C 1 , es necesario que las ecuaciones de las pendientes en los puntos sean obtenidas explı́citamente. Para que se cumpla C 1 la derivada tiene que ser la misma a ambos lados del punto. Por lo que:.

(35) GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. 24. 2 2 3a3i $i+1 + 2a2i $i+1 + a1i − 3a3i+1 $i+1 + 2a2i+1 $i+1 + a1i+1 = 0. 3. El mismo principio utilizado para lograr la continuidad de C 1 se usa para asegurar la de C 2 , o lo que es lo mismo asegurar la continuidad de la curvatura de la trayectoria que esta dada por: 6a3i $ + 2a2 − 6a3i+1 $ + 2a2 = 0 El número de restricciones que se deben tener en cuenta para la generación de la trayectoria total se pueden reducir a: Dos restricciones en el punto de inicio o comienzo: • La posición xd ($0 ) y yd ($0 ) • Se puede usar la primera o segunda derivada Dos restricciones en el punto final o destino: • La posición xd ($n−1) y yd ($n−1 ) • Se puede usar la primera o segunda derivada. Para cada subcamino o segmento se necesitan cuatro restricciones: • La posición al comienzo del subcamino xd ($n−1)=x$ y yd ($n−1)=y$ • La posición al final del subcamino xd ($)=x$+1 y yd ($)=y$+1 • La primera derivada tiene que ser la misma a ambos lados del punto deseado. • La segunda derivada tiene que ser la misma a ambos lados del punto deseado. El número total de las restricciones para la construcción de la trayectoria están dadas por 4×(n−1), lo que representan cuatro restricciones para cada subcamino o segmento. El sistema de ecuaciones puede resolverse para una dirección x o y utilizando los polinomios de interpolación de la forma 2.1 o 2.2 y sus derivadas dadas por 2.3,2.4,2.5 y 2.6 donde resulta un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas para cada subcamino. Este sistema se puede resolver mediante la ecuación 2.7. MA = X. (2.7).

(36) GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. 25. donde M es la matriz creada a partir de las restricciones para la construccion de la trayectoria, esta es de orden 4 × (n − 1) × 4 × (n − 1), A es la matriz de los coeficientes y X el vector del otro miembro del sistema de ecuaciones. A continuación se muestra el procedimiento para resolver este sistema para la posición en x, el cual es el mismo a seguir para la posición y. Para la posición en x de los subcaminos (n − 1), los coeficientes del polinomio 2.1 se pueden almacenar en vectores de la forma: . a  3,1   a2,1  A =    a1,1  a0,1. . . a  3,n−1     a2,n−1    , ...,      a1,n−1    a0,n−1. T        . (2.8). donde las columnas de 2.8 son los coeficientes de 2.1 para cada subcamino. Los coeficientes de 2.8 se determinan dando solución a la ecuación 2.9. A = M −1 X donde X = [xrestriccionesiniciales, x1 , x2, x2 , 0, 0, x3 , x3 , 0, 0, ..., xn , xrstriccionesf inales ] además La matriz M está compuesta por: Cinicio ∈ {ẋd ($0 )} Cf inal ∈ {ẋd ($n−1 )} p($k ) = [$k3 , $k2 , $k , 1] v($k ) = [3$k2 , 2$k,1, 0] a($k ) = [6$k , 2, 0, 0] donde resulta la matriz 2.10. (2.9).

(37) 26. GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA .                    M =                  . cinicio. 01×4. 01×4. p(t0 ). 01×4. 01×4. p(t1 ). 01×4. 01×4. 01×4. p(t1 ). 01×4. −v(t1 ). v(t1 ). 01×4. −a(t1 ). a(t1 ). 01×4. 01×4. p(t2 ). 01×4. 01×4. 01×4. p(t2 ). 01×4. −v(t2 ) v(t2 ). 01×4 . . . 01×4. −a(t2 ) a(t2 ). 01×4. 01×4. 01×4. 01×4. 01×4. . . . 01×4. .   01×4      01×4    01×4    01×4     01×4     01×4    01×4    01×4     01×4     p(tn−1 )    . . . cf inal. (2.10). En la matriz 2.10 las 2 primeras filas representan las restricciones correspondientes al punto de inicio, de la fila 3 a la 6 representan las restricciones correspondientes al segundo punto, de la fila 7 a la 10 representan las restricciones correspondientes al tercer punto y ası́ se incrementan en dependencia de la cantidad de puntos deseados, las 2 últimas filas corresponden a las restricciones del punto final. 2.3.. Sistemas de Coordenadas. Los estados del sistema de Navegación, como la posición, velocidad y actitud están definidos con respecto a los sistemas de referencia. Además las mediciones, resultados de cálculos intermedios, ası́ como los datos de salida para los sistemas de posicionamiento son expresados en diferentes sistemas de coordenadas. De los sistemas de coordenadas existen varios tipos como los ortogonales, dextrógiros y los cartesianos. A continuación se realiza una explicación de los cuatro sistemas de referencias que se necesitan para definir la posición y orientación de un vehı́culo a escala global (Morten, 2003), además la relación existente entre estos..

(38) GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. 27. Sistema de coordenadas Inercial i-frame i-frame: Es un sistema cartesiano ortogonal que tiene su origen en el centro de masa de la Tierra y donde el eje z coincide con el eje de rotación de la misma, el eje x apunta hacia el Equinoccio Vernal y el eje y es ortogonalmente con los otros dos. Además es el único sistema donde se cumplen las leyes de la Mecánica Clásica, o sea, este sistema idealmente no se mueve ni rota respecto a otro, por lo que se usa para referir el movimiento de los cuerpos al mismo. Este sistema es representado con el subı́ndice i en la figura 2–2. Sistema de coordenadas ECEF e-frame e-frame: El sistema ECEF(Earth-centered and Earth-fixed), conocido como el sistema geocéntrico ya que tiene su origen en el centro de masa de la Tierra y sus ejes rotan con ella. El eje Z coincide con el eje de rotación de la Tierra, los ejes X e Y se encuentran en el plano ecuatorial, donde X apunta hacia el meridiano de Greenwich y el eje Y 900 al este del mismo. El ECEF es representado con el subı́ndice e en la figura 2–2.. Figura 2–2: Sistemas de Referencia.

(39) GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. 28. Sistema de coordenadas de navegación n-frame n-frame: Es un sistema local con sus ejes X e Y en un plano tangente a un punto de la tierra donde se encuentra el origen del mismo. Sus ejes X, Y y Z apuntan hacia el Norte, Este y hacia abajo respectivamente, aunque el eje Z pede cambiar hacia arriba, por lo que se debe especificar. Además por sus siglas en inglés se le conoce como NED (North, East, Down). El NED es representado con el subı́ndice n en la figura 2–2. Sistema de coordenadas del cuerpo b-frame b-frame: Es el sistema donde su origen coincide con el centro de masa del vehı́culo y sus ejes coinciden con los ejes de inercia del mismo, el eje x es longitudinal, el y transversal y el z hacia abajo, ortogonal al plano formado por el eje x e y. Este sistema es tı́picamente usado en plataformas fijas, es decir, cuando los sensores se encuentran ubicados en el centro de masa del vehı́culo o cercano al mismo y sus ejes se mueven con él. En la figura 2.3 se puede observar la relación entre el sistema b-frame y el i-frame, también se muestra la nomenclatura empleada y las variables para representar la traslación y rotación del vehı́culo, además estas se resumen en la tabla 2–1.. Figura 2–3: Relación entre b − f rame y el i − f rame En el caso del seguimiento de una trayectoria curva en la literatura se introduce un nuevo sistema de referencia llamado Serret-Frenet el cual se explica a continuación..

(40) 29. GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA Sistema de coordenadas de la Trayectoria Serret-Frenet. Serret-Frenet: EL sistema denominado SF es un sistema que se utiliza para el seguimiento de trayectorias curvas. Este sistema tiene su origen en cada punto que conforma la trayectoria y el eje X es la tangente a cada punto de la misma y orientado en el sentido del movimiento. En la tabla 2–1 se describe la nomenclatura utilizada para la posición, velocidad, fuerzas y momentos: Tabla 2–1: Notación utilizada para AUVs. Traslación Fuerza Avance X Desplazamiento lateral Y Arfada Z Rotación Momento Balanceo K Cabeceo M Guiñada N 2.4.. Velocidad lineal Posición u x v y w z Velocidad angular Ángulo p φ q θ r ψ. Relación entre los sistemas de coordenadas. Después de haber explicado los principales sistemas de referencia se hace necesaria la transformación de un vector de un sistema a otro. Para esto existen varios métodos, como puede ser el empleo de los ángulos de Euler; Alabeo (φ), Cabeceo (θ) y Guiñada (ψ) o la utilización de los cuaternios q1, q2, q3, q4. Para esto se hace necesario la utilización de las matrices de transformación entre los sistemas. Cambio de e-frame a n-frame mediante ángulos de Euler: En 2.11 se muestra la matriz de transformación de e-frame a n-frame la que se obtiene como resultado de dos rotaciones sucesivas: una del ángulo λ alrededor del eje Ze y la segunda del ángulo µ alrededor del eje Ye , donde λ y µ son la longitud y la latitud de un punto sobre la superficie terrestre.. . .  −cosλsenµ −senλ −cosλcosµ     Ren =   −senλsenµ cosλ −senλcosµ    cosµ 0 −senµ. (2.11).

(41) 30. GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. Cambio de b-frame a n-frame mediante ángulos de Euler: En 2.12 se muestra la matriz de transformación de b-frame a n-frame. Esta está dada por 2.13 la cual representa la rotación alrededor de los tres ejes del vehı́culo Zb , Yb y Xb que se corresponden con los ángulos de yaw, pitch y roll respectivamente.. .  cosψcosθ −senψcosφ + cosψsenθsenφ senψsenφ + cosψcosφsenθ  Rbn =   senψcosθ cosψcosφ + senφsenθsenψ −cosψsenφ + senθsenψcosφ  −senθ cosθsenφ cosθcosφ.       (2.12). Rbn = Rz,ψ Ry,θ Rx,φ 2.5.. (2.13). Seguimiento de Trayectoria. El seguimiento de Trayectoria es un tema tratado ampliamente en la literatura dentro de los que destacan trabajos como los realizados en (Encarnacao, 2002; Skjetne, 2005). Come se explicó anteriormente este consiste en seguir una trayectoria predefinida sin restricciones temporales. 2.5.1.. Definiciones Básicas. La relación que existe entre las variables angulares, curso, rumbo y deslizamiento lateral es importante para la maniobrabilidad del vehı́culo. Las relaciones entre estas variables se muestra en la figura 2–4 Curso: Es el ángulo (χ) formado por el eje x del sistema de referencia NED y el vector velocidad del vehı́culo U. Rumbo: Es el ángulo (ψ) formado por el eje x del sistema de referencia NED y el eje x del sistema de referencia del vehı́culo BODY Deslizamiento Lateral: Es al ángulo (β) formado por el eje x del sistema de referencia BODY y el vector velocidad del vehı́culo..

(42) 31. GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. Figura 2–4: Relación geométrica entre curso, rumbo y deslizamiento lateral De las definiciones anteriores se obtiene que: χ=ψ+β donde β = arcsen. υ U. . , si β es pequeño se cumple que:β ≈. (2.14) υ , U. además β puede ser. determinado por 2.22 Cuando no existe deslizamiento lateral, el cual es causado principalmente por las corrientes oceánicas, se cumple que el ángulo de rumbo es el mismo que el del curso (χ = ψ). 2.6.. Ley de Guiado. El principal objetivo en el seguimiento de trayectoria es hacer converger la posición del vehı́culo a la trayectoria deseada sin restricciones temporales. El segundo objetivo es asegurar que el vehı́culo cumpla con un comportamiento dinámico deseado mientras sigue la trayectoria. Por lo que el problema del seguimiento de trayectoria puede ser expresado siguiendo dos tareas, (Morten, 2004): Tarea Geométrica: Hacer que la posición del vehı́culo converja y siga la trayectoria deseada..

(43) 32. GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. Tarea Dinámica: Hacer que el vehı́culo siga la trayectoria pero cumpliendo con las asignaciones de velocidad deseadas. Como el CIDNAV − AUV es un vehı́culo en el cual la velocidad se mantiene constante, no se le puede dar cumplimiento a la tarea dinámica por lo que la tarea a implementar para que el mismo siga la trayectoria predefinida es la tarea geométrica. Si se considera la trayectoria como un camino geométrico continuo el cual es parametrizado por una variable $ y se define un sistema de referencia para este, al cual debe converger el vehı́culo, para lo cual es necesario una rotación positiva del sistema inercial en un ángulo alrededor del eje z dado por 2.15. xt ($) = arctan(. ẏp ($) ) ẋp ($). (2.15). En 2.15 $ representa la variable de la trayectoria, mientras que ẏp y ẋp son las derivadas de la posición deseada. Esta rotación puede ser representada por la matriz de rotación 2.16. . .  cos(xp ) −sen(xp )  Rp,z (xt ) =   sen(xp ) cos(xp ). (2.16). Entonces el error que existe entre la posición real del vehı́culo y la posición de la trayectoria a la cual debe converger está dado por 2.17 ε = Rp> (p − p($)). (2.17). ε = [s, e]>. (2.18). donde resulta que. En 2.18 s representa la distancia longitudinal desde la posición real del vehı́culo a un punto de la trayectoria a lo largo del eje x del sistema de referencia de la trayectoria, mientras que e representa la distancia lateral a lo largo del eje y como se muestra en la figura 2–5..

(44) 33. GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. Figura 2–5: Errores en el seguimiento del vehı́culo a la trayectoria. Para lograr que el seguimiento de la trayectoria por el vehı́culo sea satisfactorio, el error dado por 2.18 debe ser reducido lo más posible, para ello se utiliza el ángulo de rumbo (ψ) con el objetivo de dirigir el vector velocidad del vehı́culo en la dirección deseada, en este algoritmo se pretende alinear el vector velocidad con la tangente a cada punto de la trayectoria, para esto se utiliza la compensación del ángulo de deslizamiento lateral (β), por lo que el rumbo deseado puede ser calculado por 2.19. ψd = xd − β. (2.19). donde xd está dada por 2.20 y β por 2.22. xd ($, e) = xt ($) + xr (e). (2.20). además xt está dado por 2.15 y xr dado por xr (e) = arctan(. −e ) ∆. (2.21). donde ∆ > 0 es un parámetro de guiado para ajustar la convergencia a la trayectoria..

(45) GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. v β = arctan( ) u. 34. (2.22). donde v es la velocidad del vehı́culo en el eje x y u en el eje y dadas ambas en el sistema de referencia NED. 2.7.. Disturbios medio-ambientales. Los principales disturbios medio-ambientales que afectan a los vehı́culos marinos durante su navegación son las olas generadas por el viento y las corrientes marinas (Fossen, 1994; Ochi, 1998), los cuales se abordan de manera sencilla a continuación. Oleaje generado por el viento El proceso de generación de las olas causadas por el viento comienza con pequeñas ondas en la superficie del mar. Estas continúan su evolución y van desplazándose hasta que finalmente quiebran y disipan su energı́a (Fossen, 1994). El análisis del oleaje con objetivos de control se divide en dos partes. Por un lado se considera un efecto llamado de primer orden que consiste en el movimiento oscilatorio provocado por el paso de las olas y un efecto llamado de segundo orden que trata las fuerzas y momentos de deriva inducidos en el movimiento del vehı́culo. Como resultado de esto en las aplicaciones marinas el movimiento total del sistema vehı́culo-oleaje es la suma de un componente de baja frecuencia (BF) representando el movimiento del vehı́culo y un componente de alta frecuencia (AF) inducido por el oleaje. Por consiguiente, uno de los aspectos esenciales a tener en cuenta cuando se diseña un SPD para este tipo de aplicaciones es el filtrado del oleaje (Fossen, 1994), con el objetivo de cancelar el comportamiento oscilatorio del movimiento. A nivel mundial se han propuesto una gran variedad de soluciones para filtrar el oleaje (Fossen, 2009, 1999). Las primeras aplicaciones de vehı́culos autónomos se diseñaron usando técnicas de banda muerta y filtrado paso-bajo convencional; pero estas tienen el inconveniente de limitar la acción de control e introducir retardos de fase considerables (Fossen, 2002), degradando de esta manera el rendimiento del sistema cuando se necesita.

(46) GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. 35. una ganancia de control alta para llegar al valor deseado. Luego, se comenzaron a emplear los observadores de estados pasivos (Torsetness, 2004) y el algoritmo de filtrado de Kalman (Fossen, 2009), los cuales ya utilizan modelos matemáticos para representar la dinámica del vehı́culo y el oleaje. En esta tesis se hace uso de la técnica basada en observador pasivo para el filtrado del oleaje, ya que la misma se emplea ampliamente en la actualidad al igual que el filtrado Kalman pero este último es computacionalmente más intensivo y el procedimiento de ajuste y puesta en marcha es complicado debido a que requiere conocimientos de la varianza del proceso y de las mediciones. La estrategia del observador de estados será evaluada posteriormente en algunas simulaciones. Corrientes marinas El otro efecto indeseable sobre el control de trayectoria lo constituyen las corrientes oceánicas. Las mismas en las capas superiores de los mares y océanos son principalmente generadas por el sistema de vientos atmosféricos sobre la superficie del mar, además influye el intercambio de calor y las variaciones de salinidad de las aguas. También influye en sus variaciones la fuerza de Coriolis y la interacción gravitacional, dando lugar a que en las regiones costeras se aprecien notablemente sus efectos (Fossen, 1994). Para modelar las corrientes se pueden emplear modelos bidimensionales para navegación en superficie y modelos tridimensionales para vehı́culos submarinos. Como en este caso se pretende diseñar el control de trayectoria para la navegación en un plano bidimensional, el efecto de las fuerzas y los momentos inducidos por las corrientes se añade a la dinámica del vehı́culo mediante un vector de velocidad νc = [uc vc ]T , que provoca una velocidad relativa dada por la ecuación 2.23.. νr = ν − νc. (2.23). Siendo ν = [u v]T el vector velocidad lineal del vehı́culo. En esta investigación se toman el modelo para el oleaje y para las corrientes obtenido y presentado en el trabajo.

(47) GENERACIÓN Y SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA. 36. (Zamora, 2010) que se han utilizado en todas las investigaciones relacionadas con el AUV del CIDNAV. Por esta cuestión los valores de las componentes de las corrientes se determinan directamente de los modelos mencionados. Sin embargo, existen otros métodos que emplean estimadores de estados para realizar esta labor, que aunque no se van a utilizar en esta tesis, no se descarta su empleo en futuras investigaciones del GARP. 2.8.. Consideraciones finales del Capı́tulo. En este capı́tulo se presentó un método de generación de trayectoria que consiste en la unión de los puntos deseados por los que pase el vehı́culo mediante polinomios de tercer orden llamados splines. Este método es muy utilizado a nivel mundial para la implementación de control del trayectoria en vehı́culos autónomos.También se mostró la metodologı́a computacional a seguir para hacer que el vehı́culo se mantenga sobre la trayectoria generada. Las técnicas mencionadas anteriormente no quedan libres de la influencia de las perturbaciones externas como son el oleaje y las corrientes. Por esta razón se explicaron en detalle su influencia y la manera de corregirlos, cuestiones que serán simuladas posteriormente. Los procedimientos expuestos pueden ser aplicados en cualquier vehı́culo marino que se desee opere de manera autónoma o asistida..

(48) CAPÍTULO 3.

(49) Capı́tulo 3 SIMULACIÓN Y DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS. 3.1.. Introducción. En el presente capı́tulo se realiza un análisis de los resultados de varias simulaciones en la generación y seguimiento de trayectoria para el AUV del CIDNAV navegando en la superficie del mar. Principalmente en la generación de la trayectoria basada en el método de interpolación cúbica y el control del vehı́culo para que siga la trayectoria deseada basándose en el control del ángulo de rumbo descrito en la sección 2.6. 3.2.. Consideraciones para las simulaciones. Todas las simulaciones se llevaron a cabo utilizando el modelo matemático de 6 grados de libertad para el submarino, el cual se obtuvo como resultado de otras investigaciones. Este modelo constituye una herramienta excelente ya que considera toda la dinámica del móvil conjuntamente con los modelos de las perturbaciones externas; corrientes marinas y oleaje. En la figura 3–1 se muestra el esquema de simulación llevado a cabo. Primeramente se necesitan los puntos por los que se desea que navegue el vehı́culo, los cuales son brindados desde una estación remota en la aplicación real. Estos puntos deseados son la base para el funcionamiento del bloque de generación de trayectoria (en inglés, path generation) que ya forma parte del Sistema de Guiado desarrollado en la presente investigación. Luego que se conforma la trayectoria que debe seguir el vehı́culo mediante la interpolación cúbica, los valores de posición y velocidad deseados se utilizan como entradas al bloque de seguimiento de trayectoria (en inglés, path following), al cual además se le realimenta la señal de la velocidad y la posición real del vehı́culo que se obtienen del modelo dinámico, las cuales 38.

(50) SIMULACIÓN Y DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS. 39. son utilizadas por este para generar la señal del rumbo deseado. Como solamente se va a analizar el caso de seguimiento de trayectoria en superficie (2 dimensiones, Norte y Este), este rumbo deseado constituye la señal de entrada al regulador del lazo de control de rumbo. Este lazo de control es un lazo simple con realimentación del ángulo ψ, el cual se controla mediante un P I − D. Finalmente la salida de este controlador es la entrada de control al modelo, dándole el ángulo de timón deseado para llevar al vehı́culo hacia la trayectoria deseada y por lo tanto darle cumplimiento a la tarea geométrica que es el objetivo final de este sistema.. Figura 3–1: Esquema General de Simulación.. 3.3.. Generación de trayectoria. Como se puede ver en la figura 3–1 el 2do bloque corresponde al algoritmo de generación de la trayectoria. En este caso se va a generar un trayecto en 2 dimensiones, o sea, manteniendo el AUV operando solamente en la superficie del mar. Para ello es necesario resolver las ecuaciones 2.7 y 2.9, además tener en cuenta las restricciones para el inicio y final (1er y último punto deseado). En la figura 3–2 se muestra el trayecto obtenido de la interpolación entre los puntos deseados:.

(51) 40. SIMULACIÓN Y DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS . P untos(x,y).        =       . 0 100 200 450 600 700. . 0   200     300    320    600    720. (3.1). Como se abordó en el capı́tulo 2, la ecuación polinomial tanto para los valores de x como las y tienen la forma mostrada a continuación. vard ($) = coef3 $ 3 + coef2 $ 2 + coef1 $ + coef0. (3.2). Para los puntos deseados dados, desarrollando el procedimiento descrito en la sección 2.2.1 y resolviendo la ecuación 2.9 se obtiene: X = [xCI x1 x2 x2 0 0 x3 x3 0 0 x4 x4 0 0 x5 x5 0 0 x6 xCF ]. (3.3). = [0 0 100 100 0 0 200 200 0 0 450 450 0 0 600 600 0 0 700 0]. (3.4). Y = [yCI y1 y2 y2 0 0 y3 y3 0 0 y4 y4 0 0 y5 y5 0 0 y6 yCF ]. (3.5). = [0 0 200 200 0 0 300 300 0 0 320 320 0 0 600 600 0 0 720 0]. (3.6). Lo que conduce a que la matriz M sea del orden de 20 × 20 y además resultando los siguientes polinomios para cada tramo de la trayectoria. T ramo1 =⇒ xd ($i ) = 95$ 3 + 195$ 2. (3.7). T ramo2 =⇒ xd ($i ) = 86$ 3 − 347$ 2 + 543$ − 180. (3.8). T ramo3 =⇒ xd ($i ) = −97$ 3 + 750$ 2 − 1653$ + 1283. (3.9). T ramo4 =⇒ xd ($i ) = 53$ 3 − 610$ 2 + 2428$ − 2799. (3.10). T ramo5 =⇒ xd ($i ) = −68$ 3 + 851$ 2 − 3416$ + 4994. (3.11).

(52) SIMULACIÓN Y DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS. 41. T ramo1 =⇒ yd ($i) = −173$ 3 + 373$ 2. (3.12). T ramo2 =⇒ yd ($i) = 20$ 3 − 205$ 2 + 578$ − 193. (3.13). T ramo3 =⇒ yd ($i) = 115$ 3 − 776$ 2 + 1719$ − 954. (3.14). T ramo4 =⇒ yd ($i) = −138$ 3 + 1503$ 2 − 5119$ + 5885. (3.15). T ramo5 =⇒ yd ($i) = 19$ 3 − 393$ 2 + 2469$ − 4232. (3.16). Basado en cada uno de estos polinomios y teniendo en cuenta las condiciones C 0 ,C 1 y C 2 se genera la trayectoria completa desde el punto inicial hasta el final como se muestra en la figura 3–2.. 900 Trayectoria generada Puntos deseados. 800. 6. 700. 5. yd (ϖ). 600 500 400. 4. 300. 2. 3. 200 100 1. 0 0. 100. 200. 300 400 x (ϖ). 500. 600. 700. d. Figura 3–2: Trayectoria generada a partir de los puntos deseados. La expresión 3.2 tiene derivadas continuas de segundo orden como máximo si se desean mantener las mismas en función de la variable de la trayectoria $. Esto sugiere que se pueden utilizar las mismas para imponer dos restricciones más para la trayectoria.

(53) 42. SIMULACIÓN Y DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS. generada, en la figura 3–3 se muestran los valores de X y Y interpolados, ası́ como su primera y segunda derivadas.. xd(ϖ). yd(ϖ). 1000. 1000. 500. 500. 0 0. 2. 4. 6. 6. 4. 6. 4. 6. 0. 2. 4. 6. −500 0. 2 yd’’(ϖ). xd’’(ϖ) 500. 1000. 0. 0. −500 0. 4. 500. 200 0 0. 2 yd’(ϖ). xd’(ϖ). 400. 0 0. 2. 4. 6. −1000 0. 2. Figura 3–3: Polinomios xd ($), yd ($) y sus primeras y segundas derivadas.. 3.4.. Filtrado de señales. El filtrado de señales se define como la reconstrucción de los componentes de baja frecuencia de las mediciones de posición, guiñado y en otros casos de las velocidades y aceleraciones mediante filtros paso bajo convencionales u observadores de estados (Fossen, 2011) que es el caso que nos ocupa. El principal propósito del observador o estimador de estados se reconstruir el componente de BF del movimiento, haciendo uso de una medición con alta carga de componentes de AF, puesto que la medición contiene ambos componentes.

(54) SIMULACIÓN Y DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS. 43. como se ha mencionado. Esta función es vital para el correcto funcionamiento del sistema y del control de dirección en particular, debido a que de entrar en el lazo de control el movimiento oscilatorio causado por el oleaje, causarı́a excesivas vibraciones y desgaste en el sistema de actuadores, incrementando el consumo de energı́a, además de hacer inadecuado el control de trayectoria. En algunos casos, es posible contrarrestar el efecto indeseable del oleaje haciendo uso de un sistema de actuadores potentes y una gran capacidad de propulsión, pero no se obtendrı́a una mejora en el control de dirección ya que la salida del controlador mantendrı́a su comportamiento oscilatorio. El efecto de las corrientes se elimina mediante la corrección del ángulo β utilizando la ecuación 2.19, donde se contrarresta el deslizamiento lateral en el movimiento del vehı́culo, provocado por el componente de las corrientes en el eje y. Para el filtrado del oleaje se utilizó un observador pasivo como se mencionó anteriormente con los parámetros siguientes para el modelo del oleaje: la razón de amortiguamiento ζ se fijó a 0.1 y 0.5, de acuerdo con un estado de pequeñas crestas del mar, la frecuencia fundamental de las olas se estimó mediante experimentos reales aproximadamente con un valor de wn = 6rad/seg, lo que equivale a una frecuencia lineal de impacto de las olas de 1 segundo. La configuración para el observador es idéntica a la descrita en (Garcia, 2012). 3.5.. Seguimiento de trayectoria. La trayectoria generada pasa como una referencia al bloque de seguimiento de trayectoria. Como se mencionó al inicio del capı́tulo el lazo de control de rumbo del AUV presenta un controlador de tipo P I − D con ganancias Kp = 1,5, Ki = 0,01 y Kd = 0,5. Con este controlador y el algoritmo de guiado desarrollado en la sección 2.6 el cual se basa en el desarrollo de las ecuaciones 2.15 a la 2.22 se consigue un resultado satisfactorio para el seguimiento, figura 3–4. En la figura 3–4 se muestra mediante simulación la trayectoria descrita por el vehı́culo y como sigue la trayectoria deseada con un error muy pequeño, los cuales se muestran en la figura 3–5 y se resumen en la tabla 3–1. Estos errores; el longitudinal (s) y el lateral (e) constituyen los parámetros esenciales para asegurar que el resultado obtenido.

(55) 44. SIMULACIÓN Y DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS. es satisfactorio y se obtienen de la diferencia entre la posición deseada y la real que lleva el vehı́culo, las que a su vez se calculan de la diferencia entre la trayectoria interpolada y la real que se toma de la salida del modelo de 6 GDL del submarino.. 700. Trayectoria generada Movimiento AUV Puntos deseados. Dirección−Norte (metros). 600 500 400 300 200 100 0 0. 200 400 Dirección−Este (metros). 600. Figura 3–4: Seguimiento de trayectoria.. Tabla 3–1: Valores estadı́sticos de los errores. Error longitudinal (s) Error lateral (e). Media(metros) 0.0582 0.3776. V arianza(metros) 7,52 ∗ 10−4 2.243. En la figura 3–5 se pueden ver los valores de estos errores, los cuales muestran valores pequeños por lo que se le da cumplimiento a la tarea geométrica de hacer converger el vehı́culo hacia el camino deseado..

(56) 45. SIMULACIÓN Y DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS. Error longitudinal Error lateral. 6. Amplitud (metros). 4. 2. 0. −2. −4. −6 100. 200. 300 400 500 Tiempo (segundos). 600. 700. 800. Figura 3–5: Errores longitudinal y lateral en el seguimiento de la trayectoria. 3.5.1.. Comparación con el algoritmo LOS. En esta sección se quieren mostrar algunos resultados comparativos con el método de lı́nea de visión (en inglés, Line of Sigh LOS) debido a que este último se encuentra ampliamente difundido en los sistemas de guiado al igual que los métodos de interpolación y que existen antecedentes del método LOS en otras investigaciones en el proyecto del AUV. Para ello se tomaron como puntos de referencia los ejecutados durante una prueba real en el mar, estos son: . P untos(x,y). 0 0    215 646   = 520  921    120 −55  −546 −294.            . (3.17). Para esta simulación se mantiene el controlador de rumbo con las mismas ganancias mencionadas en la sección anterior. En la figura 3–6 se muestra el resultado de seguimiento.