Miguel Angel Cano Lengua

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M ´etodos Num ´ericos

Miguel Angel Cano Lengua

canolengua@gmail.com

Universidad Wiener

Sistema de Ecuaciones Lineales:M ´etodos Directos

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2 Sistema de Ecuaciones Lineales

3 M ´etodos Directos

Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky 4 Referencias

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Introducci ´on Sistema de Ecuaciones Lineales M ´etodos Directos Referencias

Palabras claves

Sistemas Lineales

La necesidad de resolver sistemas lineales aparece en una gran cantidad de problemas cient´ıficos.

Existen estimativas que de cuatro problemas de

simulaci ´on en matem ´atica, tres se convierten en resolver sistemas lineales.

Un ejemplo es la soluci ´on de ecuaciones diferenciales por elementos finitos y diferencias finitas.

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Palabras claves

Sistemas Lineales

Sistema Lineal

El problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en encontrar x = (x1,x2, ...,xn)tal que

a11x1+a12x2+ ... +a1nxn =b1

a21x1+a22x2+ ... +a2nxn =b2

...

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Introducci ´on Sistema de Ecuaciones Lineales M ´etodos Directos Referencias

Palabras claves

Sistemas Lineales

Expresi ´on Matricial

Definiendo A =     a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... an1 an2 ... ann.     , b =     b1 b2 ... bn    

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Palabras claves

Sistemas Lineales

Expresi ´on Matricial

encontrar el vector x ∈ Rntal que: Ax = b

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Palabras claves

Sistemas Lineales

Observa

Si admitimos que A ∈ Rn×n es invertible, entonces la soluci ´on

ser ´a

x∗ =A−1b.

Lamentablemente, tanto el saber si la matriz es invertible como tambi ´en obtener la inversa de una matriz, son trabajos

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Palabras claves

Sistemas Lineales

Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Refinamiento de la Soluci ´on

Condicionamiento de la matriz y estimativa del error Sistemas In(sobre)-determinados

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Sistemas Triangulares

Supongamos que tenemos un sistema donde n = 2. En este caso:  a11x1 + a12x2 =b1 a22x2 =b2 donde a116= 0 y a22 6= 0, entonces: x2= b2 a22 1

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Palabras claves

Sistemas Lineales

Supongamos que tenemos un sistema donde n = 3. En este caso:    a11x1 + a12x2 + a13x3=b1 a22x2 + a23x3=b2 a33x3=b3 donde a11,a22,a33 6= 0 entonces: x3= b3 a33 x2= 1 a22 (b2− a23x3) 1

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Palabras claves

Sistemas Lineales

En general, consideremos el sistema            a11x1 + a12x2 ... + a1,n−1xn−1 +a1nxn=b1 0 + a22x2 ... + a2,n−1xn−1 +a2nxn=b2 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 0 an−1,n−1xn−1 +an−1,nxn=bn−1 0 0 0 0 0 0 annxn =bn

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Palabras claves

Sistemas Lineales xn= bn ann xn−1 = 1 an−1,n−1 bn−1− an−1,nxn  ... x2= 1 a22 b2− a2nxn− a2,n−1xn−1− ... − a23x3  x1= 1 a11 b1− a1nxn− a1,n−1xn−1− ... − a13x3− a12x2 

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU Descomposici ´on de Cholesky

Palabras claves

Sistemas Lineales Algoritmo Triangular Dados aij, j ≥ i, bi,1 ≤ i, j ≤ n. Hacer xn= abnnn suma = 0 Para k = n − 1 : 1 hacer suma = bk Para j = k + 1 : n hacer suma = suma − akjxj Fin (Para)

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Palabras claves

Sistemas Lineales Ejemplo Sea el problema    3x1 + 2x2 + 2x3=5 2x2 + 2x3=6 1x3=3

La soluci ´on es:

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU Descomposici ´on de Cholesky

Palabras claves

Sistemas Lineales Complejidad

Vemos directamente que el algoritmo envuelve:

1 n divisiones 2 Adiciones: n P j=1 j = n(n−1)2 3 Multiplicaciones: n P j=1 j = n(n−1)2

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M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Propiedad

Los m ´etodos directos utilizados para resolver el sistema Ax = b no se altera si lo sometemos a una sucesi ´on de operaciones del tipo:

1 Multiplicaci ´on de una ecuaci ´on por una constante no nula.

2 Suma del m ´ultiplo de una ecuaci ´on con otra.

3 Cambio de orden de las ecuaciones

Presentaremos el m ´etodo de eliminaci ´on Gausiana (Gaus, 1777-1855)

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU Descomposici ´on de Cholesky

Palabras claves

Sistemas Lineales Considere el sistema:        a11 a12 a13 a14 b1 a21 a22 a23 a24 b2 a31 a32 a33 a34 b3 a41 a42 a43 a44 b4.

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Palabras claves

Sistemas Lineales

Eliminaci ´on de la primera columna:

Supongamos que a11 6= 0.

Trabajando en la segunda fila

(a11 a12 a13 a14 b1) × −aa2111+

(a21 a22 a23 a24 b2)

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Palabras claves

Sistemas Lineales

Trabajando en la tercera fila

(a11 a12 a13 a14 b1) × −aa3111+

(a31 a32 a33 a34 b3)

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Palabras claves

Sistemas Lineales

Trabajando en la cuarta fila

(a11 a12 a13 a14 b1) × −aa4111+

(a41 a42 a43 a44 b4)

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Palabras claves

Sistemas Lineales

Trabajando en la i− ´esima fila, i = 2, 3, 4.

(a11 a12 a13 a14 b1) × −aa11i1+

(ai1 ai2 ai3 ai4 bi)

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Palabras claves

Sistemas Lineales

Este proceso podemos expresarlo como: Para i = 2 hasta 4, hacer

Para j = 2 hasta 4 a(2)ij =aij − (aa11i1)a1j

Fin (Para)

b(2)i =bi− (aa11i1)b1.

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU Descomposici ´on de Cholesky

Palabras claves

Sistemas Lineales En general:

Para i = 2 hasta n, hacer Para j = 2 hasta n

a(2)ij =aij − (aa11i1)a1j

Fin (Para)

b(2)i =bi− (aa11i1)b1.

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Palabras claves

Sistemas Lineales La matriz queda          a11 a12 a13 a14 b1 0 a(2)22 a(2)23 a(2)24 b2(2) 0 a(2)32 a(2)33 a(2)34 b3(2) 0 a(2)42 a(2)43 a(2)44 b(2)4 .

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Palabras claves

Sistemas Lineales

Eliminaci ´on de la segunda columna: Supongamos que a(2)22 6= 0.

Trabajando en la tercera fila

(0 a(2)22 a(2)23 a24(2) b(2)2 ) × −a32

a(2)22+

(0 a(2)32 a(2)33 a34(2) b3(2))

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Palabras claves

Sistemas Lineales

Trabajando en la cuarta fila:

(0 a(2)22 a(2)23 a24(2) b(2)2 ) × −a42 a(2)22+ (0 a(2)42 a(2)43 a44(2) b4(2)) 0 0 a(2)43 − (a (2) 42 a(2)22)a (2) 23 a (2) 44 − ( a(2)42 a(2)22)a (2) 24 b (2) 4 − ( a(2)42 a(2)22)b (2) 2

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU Descomposici ´on de Cholesky

Palabras claves

Sistemas Lineales En general:

Para i = 3 hasta n, hacer Para j = 3 hasta n a(3)ij =a2ij − (a (2) i2 a(2)22)a (2) 2j Fin (Para) b(3)i =bi(2)− (a (2) i2 a(2)22)b (2) 2 . Fin (Para)

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Palabras claves

Sistemas Lineales

El sistema queda como:          a11 a12 a13 a14 b1 0 a(2)22 a(2)23 a(2)24 b2(2) 0 0 a(3)33 a(3)34 b3(3) 0 0 a(3)43 a(3)44 b(3)4 .

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Palabras claves

Sistemas Lineales

En general, repitiendo el proceso obtendremos un sistema de la forma:              a11x1 + a12x2 ... + a1,n−1xn−1 +a1nxn=b1 0 + a(2)22x2 ... + a (2) 2,n−1xn−1 +a2nxn=b2(2) ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 0 a(n−1)n−1,n−1xn−1 +a(n−1)n−1,nxn=bn−1(n−1) 0 0 0 0 0 0 a(n)x =b(n)

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Palabras claves

Sistemas Lineales

Observaci ´on

En el proceso de eliminaci ´on, los elementos

a11,a(2)22,a(3)33, ...,a(j)jj que aparecen en la diagonal son

llamados pivots.

Si en el proceso de eliminaci ´on uno de los pivots se anula, debemos cambiar las filas (siempre escogiendo aquellas debajo de la diagonal para no perder la eliminaci ´on anterior).

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Algoritmo Eliminaci ´on Gaussiana

Dados aij, bi,1 ≤ i, j ≤ n.

Para k = 1 : n − 1 hacer

encontrar i ≥ k tal que aik 6= 0

Si aii =0 para todo i ≥ k entonces A−1no existe

Cambie la linea k con la linea i Para i = k + 1 : n hacer

m = mik = aakkik

bi =bi− mbk

Para j = k + 1 : n hacer aij =aij− makj

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Complejidad de la eliminaci ´on de Gauss

Para cada valor j en el tercer bloque del algoritmo son realizadas dos operaciones: una multiplicaci ´on y una adici ´on. As´ı en este lazo son necesarias:

n

X

j=k +1

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Complejidad de la eliminaci ´on de Gauss

En el segundo bloque (el bloque en i) adem ´as de las operaciones contabilizadas anteriormente, para cad i realizamos una divisi ´on, una multiplicaci ´on y una resta. As´ı el n ´umero de operaciones ser ´a:

n

X

i=k +1

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Complejidad de la eliminaci ´on de Gauss

M ´etodo de Gauss

Para obtener el n ´umero total de operaciones realizamos la suma en k , correspondiente al bloque externo del

algoritmo: n−1 X k =1 3(n − k ) + 2(n − k )(n − k ) = 3 n−1 X k =1 (n − k ) + 2 n−1 X k =1 (n − k )2.

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Complejidad de la eliminaci ´on de Gauss

M ´etodo de Gauss

N ´umero de operaciones aritm ´eticas (cont.)

Obteniendo as´ı, la cantidad de operaciones 2 3n 3+n2 2 − 7 6n.

Observe que en los c ´alculos anteriores usamos el resultado:

n−1

X

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N ´umero de operaciones aritm ´eticas

M ´etodo de Gauss

Para obtener el n ´umero total de operaciones en el m ´etodo de eliminaci ´on gaussiana, necesitamos sumar el n ´umero de operaciones neces ´arias para resolver el sistema triangular.

As´ı, la aplicaci ´on del m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss, el n ´umero de operaciones aritm ´eticas es:

2 3n 3+n2 2 − 7 6n + n 2= 2 3n 3+3 2n 2 7 6n.

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Sistemas Triangulares

M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU Descomposici ´on de Cholesky

Ejemplo

M ´etodo de Gauss    2x1 + 4x2 + 6x3=16 −1x2 + x3=1 2x1 + −x2 + 4x3=7

La soluci ´on es:

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Estrat ´egia de Pivoteamiento

Considere el sistema: 

0.004x1 + 15.73x2 = 15.77

0.423x1 − 24.72x2 = −20.49

Trabajando con 4 d´ıgitos en la representaci ´on de punto flotante y redondeando al despreciar el quinto d´ıgito, procedemos a la eliminaci ´on Gaussina de x1en la segunda ecuaci ´on.

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Sistemas Triangulares M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Estrat ´egia de Pivotiamiento

Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Estrat ´egia de Pivoteamiento

Obtenemos que:

m = 105.8 

0.004x1 + 15.73x2 = 15.77

−1689x2 = −1688

De esta manera la soluci ´on obtenida es: x1=12.5; x2=0.9994.

Por otro lado, podemos verificar que la soluci ´on es:

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Estrat ´egia de Pivoteamiento

Invirtiendo el orden de las filas en el sstema, tenemos 

0.423x1 − 24.72x2 = −20.49

0.004x1 + 15.73x2 = 15.77

Trabajando de nuevo con cuatro d´ıgitos y eliminamos x1en la

segunda fila tenemos: m = 0.956 × 10−2,tenemos



0.423x1 − 24.72x2 = −20.49

−15.96x2 = 15.96

De esta manera la soluci ´on obtenida es: x1=10; x2=1

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Sistemas Triangulares M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana

Estrat ´egia de Pivotiamiento

Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Algoritmo Eliminaci ´on Gaussiana con pivoteamiento

Para k = 1 : n − 1 hacer w = |akk|

Para j = k : n hacer

Si |ajk| > w entonces w = |ajk| y r = j

Fin (Para)

Cambiar las f´ılas k y r Para i = k + 1 : n hacer

m = mik = aakkik

bi =bi− mbk

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Matriz de banda

Una matriz es dicha esparsa si la cantidad de ceros es superior al n ´umero de elementos no nulos.

Si adem ´as de esparsa, la matriz tiene los elementos no nulos concentrados en torno de la diagonal, esta es llamada matriz de banda.

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Sistemas Triangulares M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento

Matrices Tridiagonales

Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Matriz de banda

Definici ´on

Una matriz A = (aij)es una matriz de banda p + q + 1, si

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Matriz Tridiagonal

Si p = q = 1, la matriz de banda es llamada tridiagonal, i.e,

A =       d1 c1 a2 d2 c2 ... ... ... an−1 dn−1 cn−1 an dn      

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Matrices Tridiagonales

Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Matriz Tridiagonal

Para resolver un sistema lineal con una matriz tridiagonal, i. e,

A =       d1 c1 a2 d2 c2 ... ... ... an−1 dn−1 cn−1 an dn       , b =      b1 b2 .. . bn     

podemos usar cuatro vectores, una para la diagonal principal, dos para las diagonales secundarias y una para el t ´ermino

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Algoritmo Sistema Tridiagonal

Dados vectores a, b, c, d Para k = 1 : n − 1 hacer dk +1=dk +1− (ak +1dk )ck bk +1=bk +1− (ak +1dk )bk xn= bdnn Para k = n − 1 : 1 hacer xk = (bk − ckxk +1)/dk Fin(Para) Fin(Para)

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Factorizaci ´on LU

Supongamos que A = LU, donde

L es una matriz triangular inferior con elementos de su diagonal igual a 1, y

U es una matriz triangular superior, entonces Ax = b ⇐⇒ LUx = b

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Factorizaci ´on LU

el cual permite obtener dos sistemas:

Sistema 1: encontrar y tal que:

Ly = b

Sistema 2: encontrar x tal que:

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Sistemas Triangulares M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales

Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Factorizaci ´on LU

Conocidas L y U, el sistema ser ´a resuelta en 2n2

operaciones aritm ´eticas (dos sistemas triangulares) lo que

representa una ganancia substancial comparado con 2/3n3

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Ejercicio de Factorizaci ´on LU

Estudiar el problema de la existencia de las matrices L y U. Referencia: Matrix Computation, Golub-Van Loan, 1989.

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Sistemas Triangulares M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales

Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Observaciones

1 Dada una matriz A, los factores L y U son ´unicos si

exigimos que todos los elementos de la diagonal de L son iguales a 1.

2 Se pueden encontrar directamente los elementos de L y U

a partir de la definici ´on de producto de matrices,

obteniendose un sistema de n2ecuaciones y n2

incognitas, que ser ´a resuelto progresivamente a partir de los valores anteriormente calculados.

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Ejemplo

Considere la matriz: A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  

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Sistemas Triangulares M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU Descomposici ´on de Cholesky

Ejemplo

Considere la matriz: LU =   1 0 0 m21 1 0 m31 m32 1     u11 u12 u13 0 u22 u23 0 0 u33  =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  

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Ejemplo

  u11 u12 u13 m21u11 m21u12+u22 m21u13+u23 m31u11 m31u12+m32u22 m31u13+m32u23+u33  =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  

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Sistemas Triangulares M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales

Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Formulaci ´on

De esta manera, si llamamos mij los elementos de L y de uij los

elementos de U, obtenemos: mii =1, ∀i = 1, ..., n uij =aij − i−1 X k =1 mikukj, para i ≤ j mij =  aij − j−1 X mikukj  /ujj

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Algoritmo Factorizaci ´on LU

Dado la matriz A = (aij) Para i = 1 : n hacer Para j = i : n, hacer uij =aij − i−1 P k =1 mikukj Fin (Para) Para j = i + 1 : n, hacer mji =  aji − i−1 P k =1 mjkuki  /uii Fin(Para) Fin(Para)

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Sistemas Triangulares M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales

Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Observaciones

1 Se puede mostrar que los coeficientes m

ij calculados en el

algoritmo de eliminaci ´on Gaussina forman la matriz L (desde que no se realice ning ´un cambio de fila) y que la matriz triangular superior del m ´etodo de eliminaci ´on Gaussiana es la propia matriz U.

2 En el caso de cambio de filas (pivoteamiento) en la

eliminaci ´on gaussiana tambi ´en tendremos una

factorizaci ´on triangular pero con LU = A0,donde A0es obtenida con el cambio de filas de A, (ver Ruggiero-Lopes,

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Ejemplo

Sea la matriz: A =   1 +2 −1 2 +3 −2 1 −2 +1  , b =   2 3 0  

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Sistemas Triangulares M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales

Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Ejemplo

Calculando los mij y uij por el algoritmo presentado obtenemos:

L =   1 0 0 2 1 0 1 4 1  ; U =   1 +2 −1 0 −1 0 0 0 2  

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Ejemplo

Resolveremos el problema usando los sistemas:

Sistema 1: encontrar y tal que:

Ly = b

Sistema 2: encontrar x tal que:

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Sistemas Triangulares M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU Descomposici ´on de Cholesky

Ejemplo

Sistema 1: L =   1 0 0 2 1 0 1 4 1     y1 y2 y3  =   2 3 0   obtenemos: y1=2; y2= −1; y3=2

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Ejemplo

Sistema 2: con estos valores calculamos x atrav ´es del sistema Ux = y , i.e.,   1 2 −1 0 −1 0 0 0 2     x1 x2 x3  =   2 −1 2   obtenemos: x1=1; x2=1; x3=1

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Introducci ´on Sistema de Ecuaciones Lineales M ´etodos Directos Referencias

Sistemas Triangulares M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

En algunas aplicaciones, la matriz A es sim ´etrica (A = AT) y definida positiva (xTAx > 0, ∀x ∈ Rn,x 6= 0). En este caso, se puede demostrar que la factorizaci ´on triangular es:

A = LDLT,

donde L es una matriz triangular inferior (con 1 en la diagonal) y D es una matriz diagonal. Esta es la descomposici ´on de Cholesky, y el algoritmo es el siguiente:

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Algoritmo Factorizaci ´on de Cholesky

Dado la matriz A = (aij),sim ´etrica y definida positiva.

Para j = 1 : n, hacer dj =ajj −P dkljk Para i = j + 1 : n, hacer lij = aij− j−1 P k =1 dklikljk ! /dj Fin(Para) Fin(Para)

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Introducci ´on Sistema de Ecuaciones Lineales M ´etodos Directos Referencias

Sistemas Triangulares M ´etodo de eliminaci ´on Gausiana Estrat ´egia de Pivotiamiento Matrices Tridiagonales Factorizaci ´on LU

Descomposici ´on de Cholesky

Observaciones

La existencia de la descomposici ´on de Cholesky es una condici ´on necesaria y suficiente para que una matriz sea definida positiva. As´ı, el algoritmo tambi ´en puede ser usado para verificar si una matriz sim ´etrica es definida positiva.

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Referencias

1 R. L. Burden y J. D. Faires. An ´alisis Num ´erico. Editorial

Iberoamericana. M ´exico 1995.

2 A. Nieves Hurtado y F. C. Dom´ınguez S. M ´etodos

Num ´ericos aplicados a la Ingenier´ıa. C´ıa Editorial Continental. M ´exico, 1996.

3 S. Chapra y R. Canale. M ´etodos Num ´ericos para

Ingenieros, 5 Edici ´on, Mc Graw Hill, 2007.

4 David Kincaid y Ward Cheney. An ´alisis Num ´erico. Las

Matem ´aticas del C ´alculo Cient´ıfico. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, M ´exico, 1994.

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