Unidad XVI: Ejemplo de Modelado de Equipos de una Planta en Estado Dinámico

1

Unidad XVI: Ejemplo de Modelado de Equipos de una Planta en Estado Dinámico

Sea el diagrama de flujo de la figura. Luego de nombrar las variables restantes, se desea plantear un modelo en estado dinámico que lo represente, y proponer una estrategia de resolución.

Hipótesis:

A) Reactor

• Reacción reversible exotérmica cuando se desplaza hacia el producto C.

C B

A+ ↔

• La cinética con A como base:

* * *

A D A B I C

r K C C K C

− = −

2

• Reactor Mezcla completa. La camisa de refrigeración también se considera mezcla completa.

• Los coeficientes cinéticos son función de la temperatura (funcional tipo Arrhenius).

• Presión en el cuerpo de vapor del reactor es conocida (PR10

)

• Coeficiente de transferencia (UA)2 conocido (camisa)

• Tanque cilíndrico de área AT.

• C=[moles/lt]; ρ: densidad molar

• Caída de presión a través de la camisa nula

• VR1: volumen de líquido del reactor

B) Válvulas de control

Asúmase el caudal a través de las válvulas según:

( )

f s e

v

P C P

Q ρ

= −

Nótese que pueden existir diversas funcionalidades, según tipo de válvula y condición de flujo y fluído. Generalmente el fabricante provee funcionalidades al respecto.

Siendo Pe la presión de entrada y Ps la de salida, ρf la densidad del fluido. La conductividad Cvi (con i de 1 a 4) depende de la ley de control:

ACi

i

Cvi = α

(Nótese que pueden existir diversas funcionalidades según lo expresado arriba) Siendo ACi la acción total de control de la válvula i:

0

i i i i i

AC =AP + AI + AD + A

Siendo APi la acción proporcional del controlador i, AIi la acción integral y ADi la derivativa.

A0i es una constante conocida.

Q es caudal volumétrico.

C) Flash

• No se producen reacciones químicas

• Adiabático

• Opera en equilibrio

• Hold up de vapor despreciable

• Las presiones de descargas son conocidas y constantes

3

• Líquido con mezcla perfecta.

D) Intercambiador de calor

• (UA)IC1 conocido y constante

• No se considera cambio de fase ni reacción química en ninguna de sus corrientes

• Modelar en estado pseudoestacionario (identifique los equipos que puede considerar bajo esta hipótesis)

• Caída de presión nula

Modelado Reactor

C B A + ↔

( ) − r

_A

= k

_D

× C

_A

× C

_B

− k

_I

× C

_C

Balance de Materia:

^R1

F

₀

F

₆

F

₁

( ) r

_A

V

_R1

dt

dM = + − − − ×

( )

₁

1 6 1 0

1 R A R

F

F F F r V

dt

dV = + − − − × ρ ×

( )

₁

1 6 1 0

1

1 R R A R

F

F F F r V

dt dh

A × = + − − − × ρ ×

(I)

Balance de Materia por Componentes:

• Componente A (concentraciones y fracciones molares):

• Fi: flujos molares (con i=A, B y C)

( ) _{( )}

1 1

1 6 6

0 0

1 1

R A

F A F

A F

A F

R

F x F x F x r V

dt C V

d

A

×

−

−

×

−

× +

×

× =

( )

1 1

1 1 1

6 0 1

R F

R R A R

A

h A r F

F F dt dh

×

×

×

−

−

−

= +

ρ

4

( ) _{( )}

1 1

1 6 6

0 0

1 1

1 A R

F A F

A F

A F

R

R

F x F x F x r V

dt C h

A d ×

^A

= × + × − × − − ×

×

( ) ( )

1

1 1

1 6 6

0 0

1 1

R

R A

F A F

A F

A F

R

A

V r

x F x

F x

F dt

C h

d ×

A

= × + × − × − − ×

( )

1

1 1

1 6 6

0 0

1 1

1 1

R

R A

F A F

A F

A F

R F R

A

V r

x F x

F x

F dt

h dC dt

C

A

dh

^A

×

−

−

×

−

× +

= ×

× +

×

( )

dt dh C

A

V r

x F x

F x

F dt

h dC

^R

F

R

R A

F A F

A F

A F

R

A

A 1

1

1

1 1

1 6 6

0 0

1 1

− ×

×

−

−

×

−

× +

= ×

×

( ) ( )

1 1

1

1 1

6 1 0

1

1 1

1 6 6 0 0 1

R R

F

R F A

R

R A F

A F

A F

A F

A h

V r F

F C F

A

V r x

F x

F x

F dt

dC

A

A





 



  

 





×

×

−

−

−

× +

× −

−

−

×

−

× +

= ×

ρ

• Para los tres componentes:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1 1

1 1 1

6 1 0

1

1 1 1

1 6 6 0 0 1

1

1 1

1 1 1

6 1 0

1

1 1 1

1 6 6 0 0 1

1

1 1

1 1 1

6 1 0

1

1 1 1

1 6 6 0 0 1

R

R F

R R F A

R

R R A F

C F

C F

C F

R

R F

R R F A

R

R R A F

B F

B F

B F

R

R F

R R F A

R

R R A F

A F

A F

A F

h

A

h A r F F C F

A

h A r x

F x F x F

dt dC

h

A

h A r F F C F

A

h A r x

F x F x F

dt dC

h

A

h A r F F C F

A

h A r x

F x F x F

dt dC

C C

B B

A A



 



 

 





×

×

×

−

−

−

× +

× −

×

− +

×

−

× +

×

=



 



 



 





×

×

×

−

−

−

× +

× −

×

−

−

×

−

× +

×

=



 



 



 





×

×

×

−

−

−

× +

× −

×

−

−

×

−

× +

×

=

ρ ρ ρ

(Ecs. II, III y IV)

Balance de energía (ρF1 densidad molar, HF1, entalpía específica):

5

(

^{R1 F1}

) ^F

₀

^H

_F0

^F

₆

^H

_F6

^F

₁

^H

_F1

( ) ( ^r

_A

^H

_R1

) ^V

_R1

^Q

_R1

dt H M

d × = × + × − × + − × − ∆ × −

(

^{1 1}

)

_{0 0 6 6 1 1}

( ) (

₁

)

_{1 1}

1 R F F F F A R R R

F

F H F H F H r H V Q

dt H V

d × = × + × − × + − × − ∆ × −

ρ ×

(

^{1 1}

)

_{0 0 6 6 1 1}

( ) (

₁

)

_{1 1}

1

1 R F F F F A R R R

R

F

F H F H F H r H V Q

dt H h

A × d × = × + × − × + − × − ∆ × −

ρ ×

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1 6 6

0 1 0

1 1 1

R F

R R

R A

F F

F F R

R

R

A

Q V

H r

H F H

F H

F dt

h dH dt

H dh

×

−

×

∆

−

×

− +

×

−

× +

= ×

× +

× ρ

( ) ( )

dt H dh

A

Q V

H r

H F H

F H

F dt

h dH

_R ^R

R F

R R

R A

F F

F F

R 1

1 1

1

1 1

1 1

1 6 6

0 1 0

1

− ×

×

−

×

∆

−

×

− +

×

−

× +

= ×

× ρ

( ) ( ) ( )

1

1 1

1 1 1

6 0 1 1

1

1 1 1 1 1

1 6 6 0 0 1

R

R F

R R A R

R F

R R R R A

F F

F

F

h

A

h A r F F H F

A

Q h A H r

H F H F H F dt

dH 



 



 

 





×

×

×

−

−

−

× +

× −

−

×

×

∆

−

×

− +

×

−

× +

×

=

ρ ρ

(Ec. V)

(Se asume ρF1 constante en el rango de operación (respecto a la temperatura).

6

(1)

i= A, B y C (2-4)

(5) Flujo molar a través de la válvula de control CV2:

(6)

(7)

0 1

PR : presión en el cuerpo de vapor en el reactor

0 1

2 FL

F

P

P =

(8)

0 1

PFL : presión en el cuerpo de vapor en el flash (Peq)

2

2 2

AC

C

v

= α

02 2 2

2

2

AP AI AD A

AC = + + +

A02: Acción del controlador (2) cuando son cero las acciones P, I, D (conocida y constante).

(

_{1 1}

)

2

2

Kp h

R

SP

hR

AP = × −

(XIII)

dt Kd dh

AD

₂

=

₂

×

^R1

(9)

(10)

(

1 ^{1 1 1}

)

1

1 _{F F}

,

^F_A

,

_B^F

,

_C^F

F

ρ T x x x

ρ =

1 1

F F i

i

x

C = × ρ

( )

1 2 1 2

1 1

F F F v

F

P C P

F = ρ × × ρ ⁻

∑ ( )

=

×

=

³

1

0 0

0 ⁰

i

F i F i

F

x H T

H

^F

(

_{1 1}

)

2 2

hR

R

SP

h dt Ki

dAI = × −

1 1

0 1

1 R F R

F

P g h

P = + ρ × ×

( )

^{1 1} I C^F1

F B F A D

A

k C C k C

r = × × − ×

−

∑ ( )

=

×

=

³

1

1 1

1 ¹

i

F i F i

F

x H T

H

^F

7 (11)

Camisa:

Considerando el hold up, densidad y Cpa del agua de enfriamiento constantes:

(

^{a a}

) AE

₀

Cp

_a

( T

_AE0

T

_AE1

) Q

_R1

dt

H M

d × = × × − +

(

^{a AE1}

)

_{0 a}

(

_{AE0 AE1}

)

_R1

a

AE Cp T T Q

dt T Cp

M × d × = × × − +

(

_{0 1}

)

₁

1 0

R AE

AE AE a

a

a

AE Cp T T Q

dt Cp dT

M × × = × × − +

(VI)

( ) (

_{2 1 1}

)

1 F AE

R

UA T T

Q = × −

(12)

( )

0 1 0

1 0 0

AE AE AE

v AE

P C P

AE = ρ × × ρ ⁻

(13)

1

1 1

AC

C

v

= α

01 1 1

1

1

AP AI AD A

AC = + + +

(

_{1 1}

)

1

1

Kp T

F

SP

TF

AP = × −

(XII)

Nota:

SP= set point.

Convención de signos Calor de reacción

Reacciones exotérmicas: ∆H <0 Æ (-∆H)>0 Reacciones endotérmicas: ∆H >0 Æ (-∆H)<0

∑ ( )

=

×

=

³

1

6 6

6 ⁶

i

F i F i

F

x H T

H

^F

(

_{1 1}

)

1 1

TF

F

SP

T dt Ki

dAI = × −

( )

a a

R AE

AE a

AE

Cp M

Q T

T Cp AE dt

dT

×

+

−

×

=

⁰

×

^{0 1 1}

1

8

Flash

Balance de Materia:

4 3

1

F

1

F F

dt

dM

_FL

= − −

( )

4 3 1 1

4

F F F

dt V

d ρ

_F

×

_FL

= − −

( )

4 3 1 1

4 1

F F F

dt A h

d

_{FL FL}

F

× = − −

ρ ×

4 3 1 1 1

4

F F F

dt A

_FL

dh

^FL

F

× × = − −

ρ

(VII)

Con M_FL1: Hold up de líquido en el flash, V_FL1: Volúmen de líquido en el flash, h_FL1: altura de líquido en el flash

Balance de Materia por Componentes:

• Componente A

( )

³

3 4 4 1 1 4

1 F

A F

A F

A F

A

FL

F x F x F y

dt x M

d × = × − × − ×

( )

4 4

3 4 4 1 1 4 1 4

F A F

A F

A F

A F

A FL

F

F x F x F x K

dt x V

d × = × − × − × ×

ρ ×

( ) (

4 3 ⁴

)

4 1 1 4 1 1

4

F A F

A F A F

A FL FL

F

F x x F F K

dt x h

A × d × = × − × + ×

ρ ×

( )

1 4

4 3

4 4 1 1 4 1 1

4

FL

F A F

A F A F

FL A F FL

A

A

K F F x

x F dt h dx

dt x dh

×

× +

×

−

= ×

× +

× ρ

( )

dt x dh

A

k F F x

x F dt

h dx

^F_A ^FL

FL F

F A F

A F A F

A

FL 4 1

1 4

4 3 4 4 1 1 4

1

− ×

×

× +

×

−

= ×

× ρ

1 4

4 3 1 1

FL F

FL

A F F F dt

dh

×

−

= −

ρ

9

( )

1 1 4

1 4

4 3

4 4 1 1 4

FL FL F

A FL

F

F A F

A F A F

A

h

dt x dh

A

K F F x

x F dt

dx 



 



 − ×

×

× +

×

−

= ×

ρ

( )

1 1

4

4 3 4 1

1 4

4 3

4 4 1 1 4

FL FL

F F

A FL

F

F A F

A F A F

A

h

A F F x F

A

K F F x

x F dt

dx 



 



  

 





×

−

× −

× −

× +

×

−

= ×

ρ ρ

Todos los componentes:

Ecs. (VIII, IX y X)

Con KiF4 constante de equilibrio, a las condiciones swl flash (i= A, B y C).

Balance de energía:

( )

4 4 3 3

1 1 1

4 FL F F F

F

F H F H F F

dt M H

d × = × − × − ×

( )

4 4 3 3

1 1 1

4 F4 FL F F F

F

F H F H F F

dt V H

d × = × − × − ×

ρ ×

( )

4 4 3 3

1 1 1

1 4

4 F FL F F F

FL

F

F H F H F F

dt h H

A × d × = × − × − ×

ρ ×

1 4

4 4 3 3

1 1

1 4

4 1

FL F

F F

F FL

F F

FL

A

F F H

F H

F dt

H dh dt

h dH

×

×

−

×

−

= ×

× +

× ρ

dt dh H

A

F F H

F H

F dt

h dH

^{F FL}

FL F

F F

F F

FL 4 1

1 4

4 4 3 3

1 1

4 1

− ×

×

×

−

×

−

= ×

× ρ

1 1 4

1 4

4 4 3 3

1 1

4 F FL FL

FL F

F F

F

F

h

dt dh H

A

F F H

F H

F dt

dH 



 



 − ×

×

×

−

×

−

= ×

ρ

( )

( )

( )

1 1

3

4 3 4 1

1 1

4 4

3 4 1 1 3

1 1

3

4 3 4 1

1 1

4 4

3 4 1 1 3

1 1

3

4 3 4 1

1 1

4 4

3 4 1 1 4

FL FL

F F

C FL

FL

F C F

C F C F

C

FL FL

F F

B FL

FL

F B F

B F B F

B

FL FL

F F

A FL

FL

F A F

A F A F

A

A h F F x F

A

K F F x

x F dt

dx

A h F F x F

A

K F F x

x F dt

dx

A h F F x F

A

K F F x

x F dt

dx

 

 



 



 





×

−

× −

× −

×

−

×

−

= ×

 

 



 



 





×

−

× −

× −

× +

×

−

= ×

 

 



 



 





×

−

× −

× −

× +

×

−

= ×

ρ ρ

ρ ρ

ρ

ρ

10

(XI)

14)

0

1 1 4 1

FL FL F FL

P = P + ρ × × g h

(15) PFL1: Presión en el fondo del flash (donde se supone la salida de la corriente F4)

(16)

4

4 4

AC

C

v

= α

04 4 4

4

4

AP AI AD A

AC = + + +

(

_{1 1}

)

4

4

Kp h

FL

SP

hFL

AP = × −

(XV)

dt Kd dh

AD

₄

=

₄

×

^FL1

El caudal F3 es manipulado por el controlador de presión del flash

(17)

3

3 3

AC

C

v

= α

03 3 3

3

3

AP AI AD A

AC = + + +

(

1

)

0 1 3

3

Kp P

FL

SP

PFL

AP = × −

(XIV)

1

1 4

4 3 4 1

1 4

4 4 3 3

1 1

4

FL

FL F

F FL

F

F F

F

F

h

A F F H F

A

F F H

F H

F dt

dH 



 



  

 





×

−

× −

× −

×

−

×

−

×

= ρ ρ

( )

4 4 1 4

4 4

F F FL v

F

P C P

F = ρ × × ρ ⁻

∑ ( )

=

×

=

^NC

i

F i F

i

FL

x Pv T

P

1

4 4

0 1

( )

3 3 0

1 3

3 3

F S F FL v

F

P C P

F = ρ × × ρ ⁻

(

0 1

)

1 3 3

PFL

FL

SP

P dt Ki

dAI = × −

(

_{1 1}

)

4 4

hFL

FL

SP

h dt Ki

dAI = × −

11

dt Kd dP

AD

^FL

0 3 1

3

= ×

En ambos casos, las entalpías se calculan según la funcionalidad:

(18)

(19)

Intercambiador de calor

Se asume la variación instantánea de las variables involucradas respecto a las variaciones de las variables diferenciales (equipos de mayor holdup, por ejemplo) . Esta hipótesis se la conoce como estado pseudoestacionario.

Además, no se considera cambio de fases ni reacción química en ninguna de sus corrientes.

Balance de Materia:

(20)

• Por Componentes:

⁴

4 5

5

F x F

x

_i^F

× =

_i^F

×

con i=1 a 3

(21) Balance de energía:

(

_{4 5}

)

4 5 5

4 4

1 F F F F

IC

F H F H F H H

Q = × − × = × −

(22)

(23)

(

_{2 1}

)

1 1

1 AE AE AE

IC

AE Cp T T

Q = × × −

∑ ( )

=

×

=

³

1

5 5

5 ⁵

i

F i F i

F

x H T

H

^F

∑ ( )

=

×

=

³

1

3 3

3 ³

i

F i F i

F

x H T

H

^F

∑ ( )

=

×

=

³

1

4 4

4 ⁴

i

F i F i

F

x H T

H

^F

1 2

4 5

AE AE

F F

=

=

4

5 F

i F

i

x

x =

12 (24)

( ) ( ) ( )

( )

(

₄^{5 1}₂

)

2 4

1 1 5

1

AE F

AE F

AE F

AE IC F

IC

T T

T Ln T

T T T

UA T Q

−

−

−

−

= −

(34)

Bomba Centrífuga (estado pseudoestacionario)

Solo incrementa la presión para permitir la recirculación. Como la contrapresión es dato y constante (PR10

) y asumiendo como dato y constante el incremento de presión de la bomba (∆PBC1):

5

6 F

F = (25)

(26) (27)

0 1

6 R

F P

P = (28)

para i=1 a 3 (29-31)

(32)

Desarrollado el módulo, vemos que en definitiva, nos queda un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas a un sistema de ecuaciones algebraicas, no lineales.

En resumen, esquemáticamente el sistema de ecuaciones diferenciales que a su vez aparecen en el miembro derecho acoplado al sistema de ecuaciones algebraicas contiene

5

6 F

F T

T =

4

5 F

F P

P =

5

6 F

i F

i

x

x =

1 1

1 1

1 2 1

AE

AE AE

AE IC

Cp AE

T Cp

AE T Q

×

×

×

= +

∑ ( )

=

×

=

³

1

5 5

6 ⁵

i

F i F i

F

x H T

H

^F

13 funcionalidades que involucran derivadas del miembro izquierdo simultáneamente con las mismas en alguna ecuación del miembro izquierdo y en particular en la misma como es el caso de (I), (VII)



 



= 

dt dh dt f dh dt

dh_{R FL1 R1}

1 1 , _(I)



 



= 

dt dh dt f dh dt

dC_A^F _{FL1 R1}

2 1

, (II)



 



= 

dt dh dt f dh dt

dC_B^F _{FL1 R1}

3 1

, (III)



 



= 

dt dh dt f dh dt

dC_C^F _{FL1 R1}

4 1

, (IV)



 



= 

dt dh dt f dh dt

dH_{F FL1 R1}

5

1 , _(V)



 



= 

dt f dT dt

dT_{AE F1}

6 1

(VI)



 



= 

dt dP dt dh dt f dh dt

dh_{FL FL1 R1 FL}⁰

1 7 , ,

(VII)



 



= 

dt dP dt dh dt f dh dt

dx_A^F _{FL1 R1 FL}⁰

8 4

,

, _(VIII)



 



= 

dt dP dt dh dt f dh dt

dx_B^F _{FL1 R1 FL}⁰

9 4

,

, (IX)



 



= 

dt dP dt dh dt f dh dt

dx_C^F _{FL1 R1 FL}⁰

10 4

,

, _(X)



 



= 

dt dP dt dh dt f dh dt

dH_{F FL1 R1 FL}⁰

11

4 , , _(XI)

12

( )

1 f

dAI =dt (XII)

13

( )

2 f

dAI =dt (XIII)

14

14

( )

3 f

dAI =dt (XIV)

15

( )

4 f

dAI =dt (XV)

Estrategia de Resolución del Modelo Dinámico completo

Para resolver el problema se necesitan los valores de las condiciones iniciales de las variables diferenciales (o sea al tiempo inicial).

Además, necesitamos un método de resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales. En este caso, debido a que las derivadas de las variables diferenciales se encuentran también en el miembro derecho de las ecuaciones que conforman el sistema, se necesita un método implícito, es decir, iterativo, en particular en las variables acopladas mencionadas.

Siendo i=1 a 3

Entradas (Datos o parámetros del problema):

0 0 0 0

F i F

F P x

T

F

1 0

1 0

0 AE R BC

AE P P P

T ∆

( )

_{1 1}

( )

₁

1 R FL IC

R UA A UA

A

Condiciones iniciales (a tiempo t=t0):

• AI1i0

, AI20

, AI30

, AI40

,

• H_F1, hR1, hFL1

• C_i^F1, T_AE1, x_i^F4 yH_F4 (para i=A, B y C)

Valores semilla: Son inicializaciones para el procedimiento iterativo, al utilizar un método implícito de resolución.

* 1



 



 dt dh_R

,

* 1



 



 dt dH_F

,

* 1

dhFL

dt

 

 

  ,

0 * 1

 



 dt dP_FL

Secuencia de Resolución:

15 En primer lugar debe demostrarse que pueden resolverse todos los términos del miembro derecho de todas las ecuaciones diferenciales, para asegurar que el método de resolución seleccionado pueda calcular los valores de las variables diferenciales en el tiempo posterior.

Para ello tenemos los datos/parámetros conocidos y el valor de las variables diferenciales conocidas a partir de conocer los valores iniciales (a tiempo t0, en cada instante de tiempo).

Como vimos en los modelos dinámicos para cada equipo, se presentan todas las ecuaciones algebraicas necesarias relacionadas a los miembros derechos de las ecuaciones diferenciales.

En consecuencia, se reescriben a continuación en el orden requerido para su resolución.

Comenzamos calculando:

∑

=

=

₃

1 1 1 1

i F i F F j

j

C x C

Para j=1 a 3

( )

(

4 4 ⁴

)

4

1 1 1 1

, ,

, ,

F i F F F

F i F F F

x P H f T

x P H f T

=

=

Las anteriores deben resolverse por algún método iterativo (ejemplo Newton-Raphson).



 





×

 −



 





×

−

×

=

×

=

^{1 F1}

I F

D

T R

E I

I T

R E D

D

A e k A e

k

luego se resuelven las ecuaciones (1) a (5):

∑

=

×

= ³

1

1 1

1 ( )

j

F j F puro j

F

ρ

T x

ρ

( ) − ^r

_A

= ^k

_D

× ^C

_A^F1

× ^C

_B^F1

− ^k

_I

× ^C

_C^F1

1 1

0 1

1 R F R

F

P g h

P = + ρ × ×

₍₇₎

∑ ( )

=

×

=

^NC

i

F i F

i

FL

x Pv T

P

1

4 4

0 1

(8)

Antes de resolver la (6), se necesita conocer la acción de control de la válvula de control 2: CV- 2:

( )

2 2 R1 hR1

AP = Kp × h − SP