COLEGIO SANTO ÁNGEL DE LA GUARDA
C/ Julián Cañedo, 9; 33008 - Oviedo Tlf: 985221728; Fax: 985221728
MATEMÁTICAS
1º ESO
4. ECUACIONES
A.
Ecuaciones del tipo x+a=b
B.Ecuaciones del tipo ax+b=c
C.Ecuaciones con denominadores
D.Ecuaciones con paréntesis
E.Ecuaciones de otros tipos
5. PROPORCIONALIDAD
A.Proporcionalidad directa.
B.Proporcionalidad indirecta.
C.Porcentajes
6. FUNCIONES
A.Representación de puntos
B.
Obtención del valor de una función dado un punto
C.Obtención de puntos de una función
Recopilación de ejercicios propuestos y resueltos
pertenecientes a los contenidos trabajados
durante la segunda evaluación de
Primer Curso de Matemáticas de 1º de ESO:
Ecuaciones, Proporcionalidad y Funciones.
ECUACIONES DE GRADO UNO
Ejercicios propuestos
A. Ecuaciones del tipo x+a=b
4) x+2=4 5) x – 4 = 12
B. Ecuaciones del tipo ax+b=c
6) 30x = 60 11) 9x – 2 = 4 – 2
7) 3x = – 4 12) 16x + 3 – 4 – 2 = – 4 – 2
8) –2x = –14 13) 12x – 2 – 4 = –3 – 4 – 4
9) 2x + 2 = 12 14) 4x – x + x = 3 + 10
10) 9x – 4 = 14
C. Ecuaciones con denominadores
18) 5x 1= - 3 5 15) x 2 1 3 7+ = 3 6 -7 3 19) 11x 14 1 1 4 8 = + 16) x 1 2 3 4- = - 2 + 6 -1 20) 3x x 2 1+2x 17) 3x 3 1 2 + =4 2 2 + - =4
D. Ecuaciones con paréntesis 21) -4(3-x)= -3 22) -4(3 x) ( 3 5x)- - - - =- +1 x 23) -4(3 x) ( 3 5x) 2(x- - - - = -3x 1) -24) x 1 x 2 8 -= 25) x 1 x 1 3 2 3 6 + + + =
26) 3(x 4) 5(2x 1) 2x 2 3 - + + = 4 27) 3(2x 4 x) 5(2x 1) 2(x 3) 2 3 4 - + - -- =
E. Ecuaciones de otros tipos 28) 1 2 x= 29) 3 5 2=7x 30) 5 1 1 31) 5 3 1 2 2+ =3x- 32) 2x 3 5 = 1 x -33) 1 2 x - = 2=7x- 1 1
Soluciones
a) Ecuaciones del tipo x+a=b 1) x+2=4 Solución: x = 4 – 2 x = 2 2) x – 4 = 12 Solución: x = 12 + 4 x = 16 b) Ecuaciones del tipo ax+b=c
3) 30x = 60 Solución: 60 x 2 30 = = 4) 3x = – 4 Solución: 4 x 3 = -5) –2x = –14 Solución: 14 14 x 7 2 2 -= = = -2x 12 2= - 6) 2x + 2 = 12 Solución: 10 2x 10 x 5 2 = = = Ecuaciones. Grado 1
7) 9x – 4 = 14 Solución: 9x 14 4= + 18 9x 18 x 2 9 = = = 9x 4 2 2= - + 8) 9x – 2 = 4 – 2 Solución: 4 9x 4 x 9 = = 16x= - - + + - 4 2 4 2 3 9) 16x + 3 – 4 – 2 = – 4 – 2 Solución: 3 16x 3 x 16 = = -12x= - - - + + 3 4 4 2 4 12x= - - - + + 3 4 4 2 4 10) 12x – 2 – 4 = –3 – 4 – 4 Solución: 5 12x 5 x 12 = = -11) 4x – x + x = 3 + 10 Solución: 13 4x 13 x 4 = =
c) Ecuaciones con denominadores 12) x 2 1 3 7+ = 3 Solución: m.c.m(3,7) 21= . Entonces: x 7 2 3 1 7 7x 6 7 21 21 21 21 21 21 ⋅ + ⋅ = ⋅ + = 7x 6 7 7x 1 x 1 7 + = = = 13) x 1 2 3 4- = Solución: m.c.m(4, 3) 12= . Entonces: x 4 1 3 2 12 4x 3 24 12 12 12 12 12 12 ⋅ + ⋅ = ⋅ + = 21 4x 3 24 4x 21 x 4 + = = =
14) 3x 3 1 2 + =4 2 Solución: m.c.m(2, 4) 4= . Entonces: 3x 2 3 1 1 2 6x 3 2 6x 3 2 6x 1 x 1 4 4 4 4 4 4 6 ⋅ ⋅ ⋅ + = + = + = = = -15) 5x 1 3 5 6 - = -7 3 Solución: m.c.m(3,6,7) 42= . Entonces: 5x 7 1 6 3 12 5 42 42 42 42 42 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - = - 35x 6 36 210 42 42 42 42 + = - 35x 6 36 210 + = - 36x 36 210 6= - - 36x 180= x 180 5 36 = = 16) 11x 14 1 1 4 8 - + 1= + 2 6 -Solución: m.c.m(2, 4,6,8) 24= . Entonces: 11x 12 14 4 1 24 1 6 1 3 132x 56 26 6 3 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - + - = + - + - = - 27 9 132x 56 26 6 3 132x 27 x 132 44 - + - = - = - = - = -17) 3x x 2 1+2x 2 + - =4 Solución: m.c.m(2, 4) 4= . Entonces: 3x 2 x 4 2 4 1 1 2x 4 6x 4x 8 1 8x 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ⋅ + ⋅ - ⋅ = ⋅ + ⋅ + - = + 9 6x 4x 8 1 8x 6x 4x 8x 1 8 2x 9 x 2 + - = + + - = + = = Ecuaciones. Grado 1
d) Ecuaciones con paréntesis 18) -4(3 x)- = -3 Solución: 20) Solución: 4(3 x) ( 3 5x) 2(x 3x 1) - - - = - -4 3 -4 x 3 12 4x 3 4x 3 12 9 4x 9 x 4 - ⋅ + ⋅ = - - + = - = - + = = 12 4x 3 5x 1 x 4x 5x x 1 3 12 - + + + = - + + - = - - + 8x 8 x 1 = = 12 4x 3 5x 2x 6x 2 4x 5x 2x 6x 2 12 3 7 13x 7 x 13 - + + + = - - + - + = - + - = = 19) Solución: 4(3 x) ( 3 5x) 1 x - - - = - + 21) x 1 x 2 8 -= Solución: m.c.m(2,8) 8= ( ) . Entonces: ( ) x 1 4 x 1 x 1 4 x 4x 4 x 4x x 4 8 8 - ⋅ = ⋅ - ⋅ = - = + = 4 5x 4 x 5 = = 22) x 1 x 1 3 3 6 2 + + + = Solución: m.c.m(2, 3,6) 6= ( ) . Entonces: ( ) ( ) ( ) x 1 2 x 1 1 3 3 x 1 2 x 1 1 9 6 6 6 + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = 2x 2 x 1 9 2x x 9 2 1 + + + = + = - - 3x 6 x 6 2 3 = = = 23) 3(x 4) 5(2x 1) 2x 2 3 4 - + + = Solución:
m.c.m(2, 3, 4) 12= . Entonces: 3(x 4) 6 5(2x 1) 4 2x 3 18(x 4) 20(2x 1) 6x 12 12 12 - ⋅ + + ⋅ = ⋅ - + + = 18x 72 40x 20 6x 18x 40x 6x 72 20 - + + = + - = - 52 52x 52 x 1 52 = = = 24) 3(2x 4 x) 5(2x 1) 2(x 3) 2 3 - + - -- = 4 Solución: m.c.m(2, 3, 4) 12= . Entonces: 3(2x 4 x) 6 5(2x 1) 4 2(x 3) 3 12 12 12 - + ⋅ - - ⋅ = - ⋅ 18(3x 4) 20(2x 1) 6(x 3) - - - = - 54x 72 40x 20 6x 18 - - + = - 34 17 54x 40x 6x 18 72 20 8x 34 x 8 4 - - = - + - = = =
e) Ecuaciones de otros tipos
25) 1 2 x= Solución: 1 2 1 1 2 x 1 2x x 1 x 1 x x 2 ⋅ ⋅ = = = = 26) 3 5 2=7x Solución: 3 7x 5 2 10 21x 10 x 14x 14x 21 ⋅ = ⋅ = = Ecuaciones. Grado 1
27) 5 1 1 2=7x- Solución: 5 7x 1 2 1 14x 21x 2 14x 21x 14x 2 14x 14x 14x ⋅ ⋅ ⋅ = - = - + = 35x 2= 2 x 35 = 28) 5 3 1 2 2+ =3x- Solución: 5 3x 3 6x 1 2 2 6x 15x 18x 2 12x 6x 6x 6x 6x ⋅ + ⋅ = ⋅ - ⋅ + = - 2 15x 18x 12x 2 45x 2 x 45 + + = = = 29) 2x 3 1 x- = 5 Solución: 3 (1 x) 2x 5 10x 3 3x 10x 3x 3 13x 3 x 3 (1 x) 5 (1 x) 5 13 ⋅ -⋅ = = - + = = = - ⋅ - ⋅ 30) 1 2 1 1 x - = Solución: 1 1 1 1 2 1 1 x 2 1 x x 1 x x x 1 2x 1 1 x 1 x x x 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ - = - - = - - = - + = = 1 1 x x 2 2 4 = = ⋅
PROPORCIONALIDAD
Ejercicios propuestos
a) Proporcionalidad directa 1) Quince libros cuestan 300 €.
¿Cuánto costarán 7 libros? 2) Un árbol de 5 m da una sombra
de 7 m. ¿Qué sombra da un edificio de 15 m?
3) Un alumno tarda en escribir 12 palabras en 30 s. ¿Cuánto tiempo tardará en escribir,
como mínimo, una redacción de 150 palabras?
4) Un trabajador gana 120 € en dos días. ¿Cuánto ganará en un mes?
5) Tres cucharadas suponen 60 ml de sopa. ¿Cuánto supondrán 40 cucharadas?
b) Proporcionalidad indirecta 6) Un coche tarda 15 minutos en
hacer cierto recorrido cuando va a 120 km/h. ¿Cuánto tardará si va a 50 km/h
8) 60 obreros hacen un puente en 10 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para hacer ese puente en 3 días?
7) Cinco asnos comen cierta cantidad de heno en 10 días. ¿Cuántos días tardarán en comer esa misma cantidad de heno 25 asnos?
9) Las ruedas delanteras y traseras de un tractor tienen 0,5 y 1,2 metros, respectivamente. Cuando las ruedas delanteras dan 100 vueltas, ¿cuántas vueltas han dado las delanteras?
c) Porcentajes
10) ¿Cuál es el 30 % de 500? ¿Cuál es el 90 % de 3500?
13) En una sala hay 80 personas, siendo chicas el 60 % de sus integrantes. ¿Cuántas chicas hay en la sala? ¿Y chicos?
11) Si en una clase de 27 alumnos hay 21 con los ojos marrones, ¿cuál es el porcentaje de éstos?
14) Cierto concesionario de coches hace un descuento del 17 % al que se compre uno antes de que acabe el mes. Si estamos interesados en un coche de 20000 €, ¿por cuánto nos saldrá si nos beneficiamos de esa oferta?
12) Un arriesgado inversor de bolsa ha perdido en un día 500 € de los 20000 € que invirtió. ¿Cuál ha sido el porcentaje de las pérdidas?
Soluciones
a) Proporcionalidad directa
1) Quince libros cuestan 300 €. ¿Cuánto costarán 7 libros? 1. Tabla de datos libros € 15 300 7 x 2. Tabla de proporcionalidad libros € + + - -P. Directa üïï ïï ï ï ïï ïï 3. Ecuación
2) Un árbol de 5 m da una sombra de 7 m. ¿Qué sombra da un edificio de 15 m? 1. Tabla de datos altura (m) sombra (m) 5 7 15 x 2. Tabla de proporcionalidad altura sombra + + - -P. Directa üïï ïï ï ï ïï ïï
3) Un alumno tarda en escribir 12 palabras en 30 s. ¿Cuánto tiempo tardará en escribir, como mínimo, una redacción de 150 palabras?
1. Tabla de datos palabras s 12 30 150 x 2. Tabla de proporcionalidad palabras s + + - -P. Directa üïï ïï ï ï ïï ïï 3. Ecuación 5 7 5 x 15 7 x 105 21 m 15= ⋅ =x ⋅ = 5 = 3. Ecuación 12 30 12 x 150 30 x 4500 375 s 6 15 150= x ⋅ = ⋅ = 12 = = ¢ ¢¢ 15 300 15 x 300 7 x 2100 140 € 7 = x ⋅ = ⋅ = 15 =
4) Un trabajador gana 120 € en dos días. ¿Cuánto ganará en un mes? 1. Tabla de datos días € 2 120 30 x 2. Tabla de proporcionalidad días € + + - -P. Directa üïï ïï ï ï ïï ïï 3. Ecuación 2 120 2 x 30 120 x 3600 1800 € 30= x ⋅ = ⋅ = 2 =
5) Tres cucharadas suponen 60 ml de sopa. ¿Cuánto supondrán 40 cucharadas? 1. Tabla de datos cucharadas ml 3 60 40 x 2. Tabla de proporcionalidad cucharadas ml + + - -P. Directa üïï ïï ï ï ïï ïï 3. Ecuación b) Proporcionalidad inversa
6) Un coche tarda 15 minutos en hacer cierto recorrido cuando va a 120 km/h. ¿Cuánto tardará si va a 50 km/h 1. Tabla de datos minutos km/h 15 120 x 50 2. Tabla de proporcionalidad minutos km/h + -- + P. Indirecta üïï ïï ï ï ïï ïï 3 60 3 x 60 40 x 2400 800 ml 0,8 l 40= x ⋅ = ⋅ = 3 = = 3. Ecuación x 120 1800 50 x 120 15 x 36 minutos 15= 50 ⋅ = ⋅ = 50 = Proporcionalidad
7) Cinco asnos comen cierta cantidad de heno en 10 días. ¿Cuántos días tardarán en comer esa misma cantidad de heno 25 asnos?
1. Tabla de datos asnos días 5 10 25 x 2. Tabla de proporcionalidad asnos días + -- + P. Indirecta üïï ïï ï ï ïï ïï 3. Ecuación
8) 60 obreros hacen un puente en 10 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para hacer ese puente en 3 días?
1. Tabla de datos obreros días 60 10 x 3 2. Tabla de proporcionalidad obreros días + -- + P. Indirecta üïï ïï ï ï ïï ïï
9) Las ruedas delanteras y traseras de un tractor tienen 0,5 y 1,2 metros, respectivamente. Cuando las ruedas delanteras dan 100 vueltas, ¿cuántas vueltas han dado las delanteras?
1. Tabla de datos diámetro vueltas 0,5 m x 1,2 m 100 2. Tabla de proporcionalidad diámetro vueltas + -- + P. Indirecta üïï ïï ï ï ïï ïï 25 10 50 25 x 10 5 x 2 días 5 = x ⋅ = ⋅ = 25= 3. Ecuación x 10 3 x 10 60 x 600 200 obreros 60= 3 ⋅ = ⋅ = 3 = 3. Ecuación 1, 2= x 1, 2 100 0, 5 x⋅ = ⋅ =x 120=240 vueltas
c) Porcentajes 10) ¿Cuál es el 30 % de 500? ¿Cuál es el 90 % de 3500? Solución: 30% de 500: 30 500 150 100⋅ =
11) Si en una clase de 27 alumnos hay 21 con los ojos marrones, ¿cuál es el porcentaje de éstos?
Solución:
90% de 3500: 90 3500 3150
100⋅ =
12) Un arriesgado inversor de bolsa ha perdido en un día 500 € de los 20000 € que invirtió. ¿Cuál ha sido el porcentaje de las pérdidas?
Solución:
500 100 2, 5 %
20000⋅ =
13) En una sala hay 80 personas, siendo chicas el 60 % de sus integrantes. ¿Cuántas chicas hay en la sala? ¿Y chicos?
Solución:
Calculamos el 60% de 80 personas para saber el nº de chicas. El resto es obvio
60% de 80: 60 80 48 chicas
100⋅ =
- =
80 personas 48 chicas 32 chicos.
14) Cierto concesionario de coches hace un descuento del 17 % al que se compre uno antes de que acabe el mes. Si estamos interesados en un coche de 20000 €, ¿por cuánto nos saldrá si nos beneficiamos de esa oferta?
Solución:
Primero calculamos el 17% de 20000 € y luego restamos esa cantidad a 20000, que será lo que pagaremos finalmente por el coche
17 20000 € 3400 € de descuento 100⋅ = - = . 20000 € 3400 € 16600 €. Proporcionalidad
FUNCIONES
Ejercicios propuestos
1) Representa en un plano cartesiano los siguientes puntos:
A(1,4); B(-1,3); C(0,2); D(4,-3); E(3,0)
2) Indica las coordenadas de cada uno de los puntos representados en el siguiente sistema cartesiano.
3) Halla el valor de f x
para los siguientes valores de x: 2 x 7 a) x4 b) x 0 c) x 4 d) x 3 8 4) Halla el valor de f x
x2 x 1 2 x para los siguientes valores de x:
a) x4 b) x 0 c) x 4 d) x 3 8
5) Extrae cinco puntos pertenecientes a la función f x
3x2 4x 12
6) Extrae cinco puntos pertenecientes a la función f x
10 2x 3x3 2 x
7) Representa la siguiente función:
f x 2x 1
8) Representa la siguiente función: 1 2 3 4 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 x f x 0
9) Representa la siguiente función:
f x x 3
10) Representa la siguiente función:
f x 3x
Soluciones
1) Representa en un plano cartesiano los siguientes puntos: A(1,4); B(-1,3); C(0,2); D(4,-3); E(3,0); F(-3,-1); G(-4,4); H(-1,-3); I(0,-2); J(0,0); K(2,3); L(-3,1); M(2,-3) Solución: f x
2) Indica las coordenadas de cada uno de los puntos representados en el siguiente sistema cartesiano.
1 2 3 4 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 0 x A B C D E G F H I L M 1 2 3 4 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 M L K J I H G F E D C A B 0 f x A(1,0); B(2,1); C(4,2); D(3,-1); Solución: E(-4,-4);F(0,-2); G(-1,-4); H(-1,-1); I(-3,-2); J(-4,0);K(-3,3); L(-1,2); M(0,3) x Funciones
3. Halla el valor de f x
para los siguientes valores de x: 2 x 7 a) x4 b) x 0 c) x 4 d) x 3 8 Solución: a) Si x 4 , entonces: f 4
2 4 7 1 b) Si x 0 , entonces: f 0
2 0 7 7 c) Si x 4 , entonces: f 4
2
4 7 15 d) Si x 3 8 , entonces: 3 3 2 8 8 4 5 f 2 7 4) Halla el valor de
x2 x 1 2 x f x para los siguientes valores de x: 3 a) x3; b) x 0 ; c) x ; d) x 1 2 Solución: d) Si x 1 a) Si x 3 , entonces:
32 3 1 f 3 7 2 3 2 , entonces:
2 1 1 1 2 2 f 3 1 2 2 b) Si x 0 , entonces:
02 0 1 1 f 0 2 0 2 1 1 1 4 2 0 3 2 c) Si x 3, entonces:
3 2
3 1 f 3 2 3 9 3 1 13 2 3 5 5) Extrae cinco puntos pertenecientes a la función f x
3x2 4x 12
Solución:
Elegimos 5 valores de x y los llevamos a la función. Cada par (x,y) será un punto de la función. x f x
Puntos 2 3 22 4 2 1 2 1 A 2, 1 1 3 22 4 2 1 2 1 B 1, 1 0 3 02 4 0 1 2 0 C 1, 1 -1 3
1 2 4 1
1 13 2 2 13 D 1, 2 -2 3
2 2 4
2 1 1 2 5 E 2,15 6) Extrae cinco puntos pertenecientes a la función f x
10 2x 3x3 2 x
Solución:
Elegimos 5 valores de x y los llevamos a la función. Cada par (x,y) será un punto de la función. x f x
Puntos 2 10 2 2 3 23 2 3 2 4 A 2, 3 4 1 10 2 1 3 13 2 5 1 B 1, 5 0 10 2 1 3 13 2 No existe 0 No existe -1
2 3 10 2 1 3 1 9 1 D 1, 9 -2
2 3 10 2 2 3 2 1 4 2 1 E 2, 4 Funciones7) Representa la función f x
2x 1 . Solución: x f x
Puntos 1 f 1
2 1 1 3 A 1, 3 -1 f 1
2
1 1 1 B 1, 1 f x 4 3 4 1 2 3 4 x 4 3 2 1 3 2 1 1 2 0Llevamos estos dos puntos al plano cartesiano 8) Representa la función f x
2x 1 Solución: x f x
Puntos 1 f 1
2 1 1 1 A 1, 1 -1 f 1
2
1 1 3 B 1, 3 f x 4 3 3 4 1 2 3 4 x 4 3 2 1 2 1 1 2 0Llevamos estos dos puntos al plano cartesiano
9) Representa la función f x
. x 3 Solución: x f x
Puntos 3 f 3
3 3 0 A 3,0 0 f 0
0 3 3 B 0, 3 1 2 3 4 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 x f x 0 Llevamos estos dos puntos alplano cartesiano: 10) Representa la función f x
3x. Solución: x f x
Puntos 1 f 1
3 1 3 A 1, 3 -1 f 1
3
1 3 B 1, 3 1 2 3 4 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 x f x 0 Llevamos estos dos puntos alplano cartesiano:
