Espacios vectoriales.pdf ANTONIO APONTE

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL

LIBERTADOR

INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TRUJILLO

DIAGNOSTICO

Tutor:

Carlos Valderrama

Autor:

ANTONIO APONTE

20118577

Espacios vectoriales

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa, con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Estructuras algebraica

Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él.

En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición interna y también leyes de composición externa.

Semi-grupo

Un monoide asociativo se denomina semi-grupo.

Si la ley de composición interna también es conmutativa se llama semigrupo conmutativo.

Si existe el elemento neutro se dice que es un semigrupo con unidad o semigrupo con identidad.

El elemento neutro de llama identidad.

Ejemplos de semigrupos

( N , + ) es un semigrupo conmutativo sin elemento neutro.

( N0 , + ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, el 0.

( N , ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro ó identidad

igual a 1.

Grupo

Sea el par (A , ) , donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria  :

(A , ) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo sí:

a)  es asociativa. Es decir a , b , c : a, b, c  A 









b)  posee elemento neutro en A. Es decir  e A / a , si a A 

a e e a a   

Es decir  a A ,  a´ A / a a´ a´ a e   

Grupo Abeliano ó Grupo conmutativo: es cuando además de ser un grupo,

d)  es conmutativa. Es decir a , b : a, b  A    a b b a

Si G = (A , ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es finito y su cardinal se llama orden del grupo.

Ejemplos

1) El par ( Z , ) donde Z es el conjunto de los números enteros y  es una operación definida como a  b = a + b + 3 forma un grupo abeliano.

Comprobación:

 Es una ley de composición interna en Z pues si a y b  Z , a + b + 3  Z

 Es asociativa pues









 Tiene elemento neutro e = –3 , pues

 a A , a  e = a entonces a + e +3 = a  e = –3

y e  a = a entonces e + a + 3 = a  e = –3

 Tiene inverso a , a / a a  e , en nuestro caso

a a  = –3  a a  3 = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a derecha

a a   3  a  a 3 = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a izquierda

Otros ejemplos:

1 ) ( Z , + ) ; ( Q , + ) ; ( R , + ) y ( C , + )

Son grupos abelianos .

También se llaman grupos aditivos debido a la operación aditiva.

2) (N , + ) No es grupo. No tiene neutro ni inverso de cada elemento.

3) (N0 , + ) No es grupo. Tiene neutro, el 0 , pero no tiene inverso

Aditivo.

4) (Q, ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.

5) (R, ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.

6) (Q – {0}, ) y (R – {0}, ) Son grupos.

Subgrupo

Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de (A,  ) si y solo sí (B,  ) es un grupo.

Por ejemplo, (Z, +) es un subgrupo de (Q, +).

Si en estas estructuras se introduce una nueva ley de composición interna con ciertas restricciones, se obtienen ternas ordenadas del tipo (A ,  , ) que también son estructuras algebraicas.

Estas nuevas estructuras son:

Anillo

Dados, un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna  y  , la terna ordenada (A , , ) tiene estructura de Anillo si y solo si

a)  es asociativa. Es decir a , b , c : a, b, c  A 









b)  posee elemento neutro en A. Es decir  e A / a , si a A 

a e e a a   

c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de  .

Es decir  a A ,  a´ A / a a´ a´ a e   

d)  es conmutativa. Es decir a , b : a, b  A    a b b a

Estas 4 propiedades muestran que ( A ,  ) es un grupo abeliano.

e)  es asociativa. Es decir a , b , c : a, b, c  A  (a b) c = a ( b c)

Esta propiedad muestra que ( A , ) es un semigrupo.

f)  distribuye doblemente sobre  . Es decir, a , b , c : a, b, c  A  a (b c ) = ( a b ) (a c ) y (b c ) a = (b a )  ( c a )

Resumiendo podemos decir que:

(A , , ) es un Anillo sii (A ,  ) es un grupo abeliano ; ( A , ) es un semigrupo y la segunda operación distribuye sobre la primera.

Espacios vectoriales y ejemplos

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa, con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Sean V y K conjuntos no vacíos. Sea + una operación interna sobre V , y sea

· una operación externa sobre V con conjunto de escalares K, que llamaremos producto por escalar. Diremos que V , con estas operaciones, es un espacio vectorial si se cumplen las siguientes propiedades:

1. (V, +) es un grupo abeliano.

2. K es un cuerpo.

3. El producto por escalar verifica las siguientes propiedades:

a) (α + β) v = αv + βv, ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V.

b) α (v + w) = αv + αw, ∀α ∈ K, ∀v, w ∈ V .

c) α (βv) = (αβ) v, ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V .

d) 1v = v, ∀v ∈ V, donde 1 es el elemento neutro de la

multiplicaci´on de K

Dependencia e independencia lineal

Definición 0.2.1. Dado un conjunto de vectores v1,..., vk de un espacio vectorial V, llamaremos combinación lineal de ellos a cualquier vector de la forma

a1v1 +... + akvk donde los coeficientes ai, i = 1,..., k, son escalares.

El concepto de combinación lineal nos permite dar la definición de dependencia e independencia lineal que será fundamental a lo largo de toda la asignatura.

Definición 0.2.2. Se dice que un conjunto finito de vectores {v1,..., vk} es linealmente dependiente

si el elemento neutro se puede escribir como combinación lineal de ellos con no todos los

a1v1 + ... + akvk = 0.

Por el contrario, si {v1, ..., vk} no es linealmente dependiente, se dice que es un conjunto linealmente independiente. Es decir, si a1v1 + ... + akvk = 0 ⇒ a1 = ... = ak = 0.

Como una consecuencia inmediata de esta definición, observemos que cualquier conjunto de vectores que contenga al elemento neutro es linealmente dependiente.

Estudiar la independencia o dependencia lineal de un conjunto finito de vectores es equivalente a estudiar si un determinando sistema homogéneo es compatible determinado o indeterminado, respectivamente.

Una caracterización equivalente de la dependencia lineal es la que sigue.

Proposición 0.2.3. Un conjunto de vectores {v1,..., vk} es linealmente

dependiente si y s´olo si podemos expresar uno de los vectores del conjunto como combinación lineal del resto.

NOTA: Que podamos expresar uno de los vectores como combinación lineal del resto no significa que podamos expresar cualquier vector como

combinación lineal del resto. Coeficientes nulos. Es decir, si existen escalares a1,... ak no todos nulos tales que

Sub-espacios vectoriales

Definición 0.4.1. Sea V un espacio vectorial y sea U un subconjunto no vacío de V. Decimos que

U es un subespacio vectorial de V si U es en s´ı mismo un espacio vectorial con las operaciones

Inducidas de V. Lo denotaremos como U ≤ V.

Una caracterización equivalente de sub-espacio vectorial es la siguiente.

Sistemas de generadores y bases.

En esta sección veremos como el concepto de dependencia lineal sirve para expresar los elementos de un espacio vectorial utilizando solo un conjunto (posiblemente finito) de vectores.

Sistema de generadores

Sea V un espacio vectorial. Diremos que un sistema de vectores S =

{v1,. . ., vr} es un sistema de generadores de V si todo vector de V puede

Escribirse como combinación lineal de los vectores de S.

En este caso diremos que V esta generado por S, o por los vectores de S.

Espacio vectorial Kn

, un sistema de vectores S = {v1, . . . , vr} es un sistema generador si y solo si cualquier forma escalonada por filas de la matriz

AS = (v1| · · · |vr) tiene exactamente n pivotes.

Es decir, S es sistema generador si y solo si rango(AS) = n.

Ejemplo 2.- En el ejemplo 1, página 74, S es un sistema generador de R

Mientras que T no lo es.

Un espacio vectorial puede tener muchos sistemas de generadores diferentes. Incluso puede haber sistemas de generadores donde “sobre” algún vector. Por ejemplo, si tenemos un sistema con cuatro vectores en R nos basta con tres de ellos para generar todo el espacio.

Esto nos va a llevar al concepto de base. Pero antes debemos hacer una restricción, puesto que existen espacios vectoriales demasiado “grandes”.

Un espacio vectorial V se dice que es de tipo finito si esta generado por un

número finito de vectores. Es decir, si existe un sistema de generadores S =

{v1, . . . , vr}.

Para estos espacios vectoriales de tipo finito, podemos definir sin problemas la noción de base:

Base

Sea V un espacio vectorial de tipo finito. Diremos que un sistema de vectores

B ⊂ V es una base de V si cumple:

1. B es un sistema de generadores de V .

2. B es linealmente independiente.

Teorema de la base. Dimensión. ´

En esta sección definiremos un concepto esencial del ´algebra lineal: la

dimensión´ de un espacio vectorial. Necesitamos primero el siguiente resultado:

Teorema 4.4.1. Sea V un espacio vectorial. Si G = {u1, . . . , um} es un sistema de generadores de V , y S = {v1, . . . , vn} es un sistema linealmente

independiente, entonces n ≤ m.

PRUEBA: Supongamos que n > m. Como G es un sistema de generadores, podemos escribir cada vi como combinación lineal de los elementos de G: vi = a1iu1 + · · · + amium.

x1v1 + · · · + xnvn = 0

solo puede admitir la solución trivial, x1 = · · · = xn = 0. Ahora bien, sustituyendo cada vi

, obtenemos la ecuaci´on equivalente:

x1(a11u1 + · · · + am1um) + · · · + xn(a1nu1 + · · · + amnum) = 0,

Donde, sacando factor com´un los ui

, se tiene:

(a11x1 + · · · + a1nxn)u1 + · · · + (am1x1 + · · · + amnxn)um = 0.

Una posible soluci´on para esta ecuaci´on se obtendr´ıa si cada coeficiente fuera cero, es

Decir, si

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0.

Este sistema homogéneo tiene, como máximo, rango m, ya que tiene m filas. Ahora bien, si n > m, el Teorema de Rouch´e-Frobenius nos dice que es un sistema compatible indeterminado, es decir, existe una solución para x1, . . . , xn donde no todos son cero. Esto contradice que S sea un sistema libre.

Veamos entonces que es la dimensión´ de un espacio vectorial:

Teorema 4.4.2 (Teorema de la base). Sea V un espacio vectorial de tipo finito. Todas las bases de V tienen el mismo número de elementos. A este número se le llama ´ dimensión de V.

PRUEBA: Sean B1 y B2 dos bases de V, de m y n vectores respectivamente. Como B1 es sistema de generadores, y B2 es libre, entonces n ≤ m por el Teorema 4.4.1. Pero como

B2 es sistema de generadores, B1 es libre, se tiene m ≤ n. Por tanto, m = n. ✷

Dimensión

La dimensión de un espacio vectorial V, que denotamos dim (V), se define como sigue:

Si V = {0}, entonces dim (V ) = 0.

Si V es de tipo finito, su dimensión es el número de elementos de cualquier base de V.

dim V = ∞.

Ejemplo 4.4.1. El espacio vectorial R no tiene dimensión n. Una base, llamada la base

canonica ´ , esta formada por los vectores {e1, . . . , en}, donde

ei = (0, . . . , 0,

(i)

1, 0,. . ., 0).

Ejemplo 4.4.2. El conjunto de polinomios, R[x], es un espacio vectorial de dimensión Infinita. En efecto, supongamos que existe un sistema de generadores G de R[x], formado por un número finito de polinomios. Sea entonces m el mayor grado de todos los polinomios de G. Entonces, cualquier combinación lineal de los polinomios de G tiene como máximo grado m, luego no podríamos obtener los polinomios de grado mayor que m, y