Matemáticas de 2º de bachillerato página 1 Integral indefinida. Integral indefinida

(1)

1.Introducción.-La integración es el proceso recíproco de la derivación, es decir, en la derivación se trata de hallar la función derivada de una función f, esto es, hallar f ´, mientras que en la integración se trata de que dada una función f, debemos determinar otra (escribimos F) tal que su derivada sea f, esto es, F ´= f.

El proceso de integración (o calcular una integral) es, generalmente, más complicado que el de derivación. En el presente tema veremos diversas técnicas o métodos de integración, es decir, métodos que nos permitirán resolver el siguiente problema: “dada una función f, hallar

otra funciónFcuya derivada seaf “.

2.Primitivas de una

función.-Una función F es una primitiva de otra función f, si la derivada de F es f.

Ejemplo

1.-La función F (x) = x3_{es una primitiva de la función}_f₍_x_{) = 3}_x2_{ya que}_F_´(_x_{) = 3}_x2 ₌_f₍_x_). La función F₁ (x) = x3_{+ 5 también es una primitiva de la función}_f₍_x_{) = 3}_x2_{ya que} derivando, F₁´(x) = 3x2 ₌_f₍_x_).

La función F₂ (x) = x3_&_{0´8 también es una primitiva de la función}_f₍_x_{) = 3}_x2_{ya que} derivando, F₂´(x) = 3x2 ₌_f₍_x_).

En realidad, cualquier función de la forma F (x) = x3_{+ C , siendo C un número real} cualquiera, es una primitiva de la función f (x) = 3x2_.

De lo anterior deducimos que la función f (x) = 3x2_{tiene infinitas funciones primitivas.}

En general, podemos asegurar que si una función f (x) tiene una primitiva F(x), entonces tiene infinitas, ya que la función Φ(x) = F(x) + C con C 0ú también es una primitiva de f (x).

En efecto:

[

]

F x primitiva de f x F x f x x F x C F x f x x es una primitiva de f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ ′ = ′ = + ′ = ′ = ⇒ Φ Φ

La expresión F(x) + C representa al conjunto de la infinitas funciones primitivas de f (x). Para cada valor de C (número real), obtenemos una primitiva en concreto. Si conocemos una primitiva, tenemos determinadas todas, ya que difieren en una constante.

Integral indefinida

(2)

Ejemplo

2.-Sea la función f (x) = cos x.

Una primitiva de f (x) es F1(x) = sen x ya que F1´(x) = cos x = f (x). Otra primitiva de f (x) es F2 (x) = sen x + 9 ya que F2´(x) = cos x = f (x). Otra primitiva de f (x) es F3 (x) = sen x& 12´92 ya que F3´(x) = cos x = f (x).

etc.

Como la función f (x) = cos x tiene infinitas primitivas y todas se diferencian en una constante, expresamos F (x) = sen x + C (C es un número real cualquiera) como el conjunto de las infinitas primitivas de f (x) = cos x.

Es decir:

Conjunto de las primitivas de f (x) = cos x

Ejercicio

1.-Determinar el conjunto de las primitivas de la función f (x) = ex_{y escribir tres elementos} de dicho conjunto.

Solución:

A simple vista se aprecia que cualquier función de la forma F (x) = ex_{+ C œC 0 ú es} una primitiva de f (x) = ex_{, por lo que:}

Conjunto de las primitivas de f (x) = ex

Hallemos tres de ellas:

Para C tenemos F e Para C tenemos F e Para C tenemos F e x x x = = = = + = − = −       0 5 5 1 7 3 2 73 3

Puede ocurrir que la primitiva de una función esté definida únicamente en un intervalo de ú. Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo

3.-Consideremos la función f x( )= _x1. Una primitiva de esta función sería F(x) = Lx

(logaritmo neperiano de x) ya que F ´(x) = f (x).

Ahora bien, si x#0 entonces Lx no está definido (recuerda que los números negativos y el cero no tiene logaritmo), por lo que las funciones F(x) = Lx + C serán primitivas de f (x) en el intervalo abierto (0,+4), esto es, para valores positivos de x.

No obstante, la función F(x)=L*x* sí es una primitiva de f (x) en todo ú&{0}. En efecto:

Si x

entonces F x

L x

Lx y F x

f x

Si x

entonces F x

L x

L x y F x

f x

x x x

>

=

′

= =

<

=

−

′

=

− = =









−

0

1

1 1 1

( )

(

)

( )

F x

( )

=

sen x C C

+

∈

R

F (x) = ex_{+ C}

(3)

Lo visto en el ejemplo 3 hace que la definición de primitiva de una función deba ser más rigurosa que la dada anteriormente.

Definición:

Cuando no se especifica un intervalo concreto, se entiende que se refiere a todo el dominio de definición de f (x).

Ejercicio

2.-Dada la función

G x

( )

=

4 x

3

−

1₂

x

2

+

6 x

−

5 ,

comprobar si es una primitiva de la función g x( )= 12x2 − +x 6.

Solución:

G(x) es una primitiva de g(x) si G ´(x) = g(x) Derivemos G (x): G ´(x) = 12 x2_-_x_{+ 6} Observamos que G ´(x) = g(x)

Conclusión: G(x) es una primitiva de g(x)

Ejercicio

3.-¿Es f x( ) = sen2 x+3 una función primitiva de

ϕ

( )x sen x ?

x

= ₂2

Solución:

f (x) es una primitiva de n (x) si f ´(x) = n (x)

Derivemos f (x) :

f

x

sen x

x

sen

x

′

( )

=

2 ⋅

cos

⋅

=

2 =

( )

2

1 2

ϕ

Por tanto, f (x) es una primitiva de n (x). NOTA:

Recuerda que sen 2A = 2 sen A · cos A (seno del ángulo doble). En este caso A = x

3.Integral indefinida de una

función.-Sea f(x) una función. Se llama integral indefinida de la función f(x) al conjunto formado por todas sus funciones primitivas. A dicho conjunto le damos la siguiente notación: Esta notación representa el conjunto de las primitivas de f(x)y se lee “integraldef diferencial dex ” o simplemente “integraldef “

m es el símbolo de integración (lo mismo que

´

es el de derivación) Se dice que la función F (x) es una primitiva de la función f (x) en el

intervalo abierto (a,b), si se verifica que œx0(a,b) es F´(x) = f (x)

f x dx( )

∫

(4)

dx es una expresión que nos indica cuál es la variable (x) de la función que vamos a integrar. Su lectura es “diferencial dex” y significa algo así como “variación de x”.

Recopilando lo visto en los apartados y ejemplos anteriores y considerando este concepto:

Conjunto de las primitivas de f x

( )

=

∫

f x dx

( )

=

{

F x

( )

F x

′

( )

=

f x

( )

}

Hemos visto que si F(x) es una primitiva de la función f (x), entonces la función Φ(x)=F(x)+C, siendo C una constante, también es una primitiva de f (x).

Puede demostrarse lo siguiente: f x una funcion

F x una primitiva de f x

Todas las primitivas de f x son de la forma F x C C ( ) & ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    ⇒ +    constante

es decir, dos primitivas de una función f (x) sólo se diferencian en una constante.

Visto lo anterior, para abreviar, al conjunto de las primitivas de la función f (x) lo podemos expresar de la siguiente forma:

En la que F(x) es una primitiva cualquiera y C0ú son números reales cualesquiera, esto es, son infinitas primitivas.

En ocasiones, cuando tengamos varias integrales o queramos abreviar su expresión, las identificaremos con letras mayúsculas, esto es:

I

=

∫

f x dx

( )

;

J

=

∫

g x dx

( )

;

L

=

∫

h x dx etc

( )

...

Ejemplo

4.-Sea la función f (x) = 2x.

Una primitiva de f (x) será F (x) = x2_{ya que}_F_´(_x_{) = 2}_x₌_f₍_x₎ El conjunto formado por las infinitas primitivas de f (x) se expresa:

Se lee “integral de 2xdiferencial de x” f x dx( ) =

∫

x dx

∫

2

Si nos piden que hallemos dicho conjunto, expresaríamos:

Para cada valor de C obtenemos una función primitiva distinta.

Veamos algunas:

Para C tenemos F x una primitiva de f x x Para C tenemos F x otra primitiva de f x x Para C tenemos F x otra primitiva de f x x

= = = = = + = = − = − =       0 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )

π

Los conceptos de integral y diferencial de una función son recíprocos, es decir: Sea f (x) una función y f ´(x) su derivada.

Recordemos el concepto de “diferencial de f (x)” : d f (x) = f ´(x) dx

Si integramos:

I

=

∫

df x

( )

=

∫

f

′

( )

x dx f x

=

( )

+

C

ya que [ f (x) + C ]´= f ´(x)

f x dx

( )

=

F x

( )

+

C

∫

f x dx( ) =

∫

x dx x= +C ∀ ∈C

(5)

Resumiendo:

Ejercicio

4.-Justificar razonadamente si es cierta o no la igualdad siguiente: siendo C0ú

6 x e

3x2

dx e

=

3x2

+

C

∫

Solución:

Llamamos f x( )= 6x e3x2 y F x( )=e3x2

La igualdad propuesta es cierta sí y sólo sí F´(x) = f (x) Veamos:

( )

F x′( )=e3x2 3x2 ′ Le e= 3x2 6x=6x e3x2 = f x( )

Conclusión: La igualdad propuesta es cierta.

Ejercicio

5.-Hallar f (x) para que sea cierta la igualdad

∫

f x dx x

( )

=

3

+

6 x C

+

,

con C0ú. Solución:

Para que la igualdad sea cierta debe ocurrir que la derivada de F (x) = x3_{+ 6}_x₊_C_sea igual a f (x) = x2_{+ 6. Veamos:}

F´(x) = ( x3_{+ 6}_x₊_C₎_´=₃_x2_{+ 6 =}_f₍_x₎

Por tanto, la igualdad propuesta es cierta, es decir:

∫

f x dx x( ) = 3 +6x C+ ∀ ∈C R

Ejercicio

6.-Dada la función f x( ) = ₂1_x , se pide:

a) Determinar el conjunto formado por todas sus primitivas.

b) Hallar la primitiva cuya gráfica pasa por el punto del plano A(9,8) c) Hallar la primitiva cuya gráfica pasa por el punto del plano B(&4,6) Solución:

a) Se trata de resolver la integral

I

dx

x

=

_∫

₂1

Es fácil apreciar que una primitiva de f (x) esF x₁( )= x ya que F x

x 1′( )= ₂1 Por tanto,F x( )= x C+ representa al conjunto pedido. Lo expresamos:

b) De las infinitas primitivas, buscamos aquella cuya gráfica pase por el punto A(9,8).

f x

( )

+

C



   

→

f

( )

x

←

   



















′

si derivamos si integramos

I

dx

x

C

x

=

∫

₂1

=

+

∀ ∈

R

(6)

La función que buscamos será de la forma F x( )= x C+ , siendo C = nº desconocido. Debemos hallar el valor de constante C para tener determinada dicha función. Veamos: A punto de la grafica de F x x C F C C C ( , ) _& ( ) ( ) ; ; 9 8 9 8 9 8 3 8 5 = + ⇔ = + = + = =

La función pedida es:

c) Se trata del mismo razonamiento que en el apartado anterior:

La función que buscamos será de la forma F x( )= x C+ , siendo C = nº desconocido. Debemos hallar el valor de constante C para tener determinada dicha función. Veamos: B punto de la grafica de F x x C F

C ecuacion solucion

( , ) & ( ) ( )

& sin _&

− = + ⇔ − =

− + =

4 6 4 6

4 6

Significa que ninguna de las primitivas de f (x) pasa por el punto B(&4,6).

En este ejercicio puede apreciarse que la función f x está definida en el x

( )= ₂1

intervalo (0,+4), esto es, su dominio es ú+_{y sus primitivas}_{F x}_{( )}₌ _{x C}₊ _{están definidas en} el intervalo [0,+4), por lo que en este caso debemos decir que las funcionesF x( )= x C+ son las primitivas de f (x) en el intervalo (0,+4), esto es, en el dominio de f (x).

Podemos expresar:

Representemos gráficamente las funciones de este ejercicio: En la figura 1 apreciamos la

función f (x) y las dos primitivas halladas anteriormente, F₁(x) y

F₂(x).

Obsérvese que

F x

₁

( )

=

x

es una primitiva que pasa por el punto O(0,0) y

F x

₂

( )

=

x

+

5

es otra primitiva que pasa por el punto A(9,8)

4.Integral de una suma de dos

funciones.-“La integral de una suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones” Es decir:

F x

₂

( )

=

x

+

5

I dx x C C x x =

_∫

₂1 = + ∀ ∈ R ∈(0,+ )∞

(7)

(

f g x dx

)

[

f x g x dx F x

]

G x C { F x C G x C f x dx g x dx c q d Haciendo C C C + = + = + + = = + + + = +

∫

= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . 1 2 1 2

3 f (x) y g(x) son dos funciones reales de variable real.

3 (f + g)(x) = f (x) + g(x) es la función suma de ambas. Se verifica que:

En efecto:

P Sea f (x) una función y F(x) una de sus primitivas, es decir, F´(x) = f (x). Entonces podemos poner que

∫

f x dx F x

( )

=

( )

+

C

₁

C

₁

∈

R

P Sea g (x) otra función y G(x) una de sus primitivas, es decir, G´(x) = f (x). Entonces podemos poner que

_∫

g x dx G x( ) = ( )+C₂ C₂ ∈R

P Consideremos la función suma de f y g : ( f + g)(x) = f (x) + g(x) Consideremos la función suma de F y G : ( F + G )(x) = F (x) + G(x) Pues bien, la función ( F + G )(x) es una primitiva de ( f + g)(x). En efecto:

( F + G )´(x) = F´(x) + G´(x) = f (x) + g(x) = ( f + g)(x)

P Las funciones F (x) + G(x) + C son las primitivas de f (x) + g(x), por lo que expresamos:

Ejemplo

5.-Sea f (x) = ex_{una función y}_F₍_x_{) =}_ex_{una de sus primitivas.}

Sea g(x) = cos x una función y G(x) = sen x una de sus primitivas. Podemos poner que:

f x dx e dx e C F x C g x dx x dx sen x C G x C x x ( ) ( ) ( ) cos ( ) = = + = + = = + = +    

∫

1 1 2 2 Entonces:

(

e

x

+

x dx

)

=

∫

e dx

x

+

x dx e

=

x

+

sen x C

+

C

∈

∫

cos

∫

cos

R

5.Integral del producto de un número por una

función.-“La integral del producto de un número real por una función es igual al número por la integral de la función”

Es decir:

4 Sea f (x) una función y k un número real.

4 La función “k por f ” es (k f )(x) = k f (x) Se verifica que: En efecto: (k f )( )x dx=

∫

k f x dx k f x dx( ) =

∫

( )

∫

(

f + g x dx

)

=

[

f x + g x dx

]

= f x dx+ g x dx

∫

( )

∫

( ) ( )

∫

( )

∫

( )

(8)

R Supongamos que F (x) es una primitiva de f (x), es decir, F ´(x) = f (x). Entonces:

∫

f x dx F x

( )

=

( )

+

C

1

C

1

∈

R

R La función (k F )(x) = k F (x) es una primitiva de (k f )(x) = k f (x) ya que si derivamos:

(k F )´(x) = [ k F (x)]´ = k´·F (x) + k ·F´(x) = 0·F (x) + k ·F´(x) = k F´(x) = k f (x) Entonces k F (x) + C representa a todas las primitivas de k f (x), es decir:

{

(

)

k f x dx k F x C k F x k C k F x C k f x dx c q d Llamamos C k C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . = + = + = = + = =

∫

1 1 1

9 Esta propiedad nos permitirá “sacar” constantes que estén multiplicando, “fuera” del símbolo integral.

Ejemplo

6.-Supongamos que queremos resolver la integral I dx. x

=

∫

₂5 Utilizando la propiedad anterior, podemos poner:

I

dx

x C

x x

=

∫

₂5

=

5 ∫

₂1

=

5 +

Ejemplo

7.-Vamos a resolver la integral

I

=

∫

2₃dx_x Veamos:

I

=

∫

2₃dx_x

=

∫

₃2 1_x

dx

=

2₃

∫

_x1

dx

=

2₃

L x

+

C

NOTA: Obsérvese que en los dos últimos ejemplos hemos omitido la expresión C0ú, dando por hecho que C es una constante cualquiera, esto es, un número real.

Ejercicio

7.-Considera la función f x( )= ₃2_x que hemos integrado en el ejemplo 7 y el conjunto de sus primitivas F (x) = L* x* + C. Se pide:

a) Halla la primitiva cuya gráfica pasa por el punto P(1,1) b) Halla la primitiva que pasa por el punto Q(&1,1) c) Halla la primitiva que pasa por el punto M(&e,&4) Solución:

a) F (x) = L* x* + C primitiva que pasa por P(1,1). Buscamos el valor de la constante C. P pertenece a la grafica de F x L x C F F L C L C C C ( , ) _& ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 = + ⇔ = = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Por tanto, la función pedida es :

(9)

b) F (x) = L* x* + C primitiva que pasa por Q(&1,1). Buscamos el valor de la constante C. Q pertenece a la grafica de F x L x C F F L C L C C C ( , ) _& ( ) ( ) ( ) − = + ⇔ − = − = ⇒ − + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = 11 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1

Por tanto, la función pedida es la misma que la que pasa por el punto P(1,1).

c) F (x) = L* x* + C primitiva que pasa por M(&e,&4). Buscamos el valor de C.

M e pertenece a la grafica de F x L x C F e F e L e C L e C C C ( , ) _& ( ) ( ) ( ) − − = + ⇔ − = − − = − ⇒ − + = − ⇒ + = − ⇒ + = − ⇒ = − 4 4 4 4 4 1 4 5

Por tanto, la función pedida es :

Representemos gráficamente la función f (x) y sus primitivas F₁(x) y F₂(x) :

En la figura 2 tenemos dibujadas las gráficas de la función f (x) y de sus primitivas F1(x) y F2(x).

Apréciese como la gráfica de F1(x) pasa por el punto Q(&1,1) (no hemos representado este punto) y como el punto M(&e,&4), que hemos representado, está en la gráfica de la función F2(x).

Debe quedar clara la idea de que F1´(x) = F2´(x) = f (x). En la figura 2 puedes apreciar como las gráfica de F1(x) y F2(x) son paralelas, esto es, las pendientes de ambas curvas en un punto x =

a son exactamente iguales. Por ejemplo:

F₁′( )4 = F₂′( )4 = f( )4 = _{3 4}2_⋅ = = ′₆1 0 16)

6.Integrales

inmediatas.-Se denominan integrales inmediatas a aquellas que, por su sencillez, se hallan de una forma inmediata, es decir, “a simple vista”. Basta con saber derivar para resolverlas directamente.

No obstante, hay que decir que la clasificación de las integrales en inmediatas y no inmediatas es subjetiva, o sea, que para un estudiante una integral puede ser inmediata y para otro puede ser complicada y de difícil resolución.

En este apartado veremos aquellas integrales que consideramos inmediatas.

6.1.Integral de la función cero.-

Recordemos que la función cero es aquella que transforma todo número real en el cero, es decir:

F x

₁

( )

=

L x

+

1

(10)

R O R x O x  → =     ( ) 0 R f R x f x k  → =     ( ) I =

_∫

f x dx( ) =

_∫

2dx=2x C+ ∀ ∈C R

Si integramos la función cero:

, siendo C una constante. cualquiera. I=

∫

O x dx( ) =

∫

0dx C=

Recuérdese que la derivada de una función constante es cero, esto es, F (x) = C y F ´(x) = 0 Por tanto:

“La integral de la función cero es el conjunto formado por todas las funciones constantes”

6.2.Integral de una función constante.-

Función constante es aquella que transforma todo número real x en el mismo número k. Es decir:

Si integramos la función constante f (x) = k : I =

∫

f x dx( ) =

∫

k dx k x C= + Es decir, las primitivas de la función f (x) = k tienen la forma F (x) = k x + C. Comprobación: F´(x) = (k x + C )´= k

Por tanto:

“La integral de una función constante es el conjunto de funciones polinómicas de grado uno cuyos coeficientes principales es el valor de la constante”

Nótese que las gráficas de las primitivas son todas las rectas paralelas de pendiente k.

Ejemplo

8.-Queremos hallar el conjunto de las primitivas de la función f (x) = 2. Veamos:

El conjunto de las primitivas de f (x) = 2 es

F (x) = 2 x + C

Queremos hallar tres de esas primitivas:

L Para C = 0 tenemos F1 (x) = 2 x

L Para C = 5 tenemos F2 (x) = 2 x + 5

L Para C=&2 tenemos F3 (x) = 2 x & 2 Ahora buscamos la primitiva cuya

gráfica tiene al punto P (&2, 3):

F4 (x) = 2 x + C función buscada. ¿C ? P (&2, 3)0GF

]

F (&2) = 3

2·(&2) + C = 3

Y

C = 7

F4 (x) = 2 x + 7 es la función buscada

En la figura 3 tenemos las gráficas de f, F1, F2 , F3 y F4 I=

∫

O x dx( ) =

∫

0dx C=

I=

∫

f x dx( ) =

∫

k dx= k x C+

La imagen de cualquier número real x es 0. La gráfica de la función cero coincide con el ejede

La imagen de cualquier x0ú es k0ú, siendo k un número fijo. La gráfica de la función f (x) = k es una recta paralela al eje de abcisas que corta al eje de ordenadas en el punto (0,k)

(11)

Ejemplo

9.-Hallemos las primitivas de la función unidad. Veamos:

La función unidad es aquella que transforma todo número real en el 1, es decir, u(x) = 1

I

=

∫

u x dx

( )

=

∫

1 dx

=

∫

dx x C

= +

Nótese que una primitiva de la función unidad es la función identidad (aquella que transforma todo número x en sí mismo). En efecto:

L Para C = 0 tenemos la primitiva I (x) = x + 0 = x. Observa que su derivada es u(x) = 1.

Ejercicio

8.-Dada la función f x( )= −₄3, se pide: a) Halla el conjunto de sus primitivas.

b) Halla aquella primitiva que pase por los puntos P(&2,&3) y Q(2, 5) Solución:

a) Se trata de resolver una integral: I=

∫

−₄3dx= − 3₄x C+

es el conjunto de las primitivas de f (x).

Nótese que lo forman todas las rectas de pendiente &0´75.

b) Buscamos la primitiva que pase por los puntos P(&2,&3) y Q(2, 5), esto es, la recta primitiva que pase por dichos puntos. Veamos:

es la función buscada. Necesitamos hallar el valor de C.

F x

( )

= −

₄3

x C

+

Llamaremos GF al grafo (puntos de la gráfica) de la función buscada F (x).

P G F Q G F C C C C C C F F ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) − − ∈ ⇔ − = − ∈ ⇔ =    ⇒ − + = − ⇒ = − + = ⇒ =         ⇒ ≠ − − 2 3 2 3 2 5 2 5 2 3 2 5 3 4 9 2 3 4 13 2

Hemos obtenido dos valores distintos para C, lo que significa que no existe una función primitiva de f (x) que pase pos los punto P y Q. Si existe una primitiva que pasa por el punto P y otra distinta que pasa por el punto Q.

6.3.Integral de una función de la forma

f

(

x

)=

x

n

Sea la función polinómica de grado n f (x) = xn

NOTA: Esto es válido si n …&1, ya que si n = 1 entonces el denominador es 0.

El caso n = 1 se trata en el punto siguiente.

Ejemplo

10.-Queremos determinar el conjunto de las primitivas de la función I (x) = x. Nótese que se trata de caso f (x) = x1₌_x_.

Integramos: F x( ) = − 3₄x C C+ ∈R I f x dx x dx x n C C n n = = = + + ∈ +

∫

( ) 1 1 R

(12)

J = I x dx= x dx= x x C

+ = +

∫

( )

∫

+

1 1 2

Debe apreciarse que si derivamos F (x) obtenemos f (x)

Ejercicio

9.-De una función se sabe que su derivada es

h x

( )

=

5 x

2y que el punto P(2,0´5) pertenece a su gráfica. Halla dicha función.

Solución:

Buscamos una función H(x) tal que H´(x)= h(x) = 5x2 Para ello, hallamos las primitivas de h(x):

{ h x dx x dx x dx C sacamos la x x ( ) =

∫

= = = +

∫

5 2 5

∫

2 5_{2 1}₊2 1+ 5 ₃3 constante

Todas las funciones de la forma

_{H x}

_{( )}

=

₅

x3

+

_C

tiene por derivada a h(x) = 5x2_.

3

Buscamos una en concreto, aquella cuya gráfica tiene al punto P(2,0´5). Veamos:

( )

_{

P

G

H

C

solviendo la ecuacion en C C

C

H grafo de H

2

1₂

2

1₂

5

2₃ 1₂ 1 2 403 776 3

,

( )

Re

&

:

;

∈

⇔

=

⇔

+ =

= −

=

− es la función buscada.

6.4.Integral de una función de la forma

f

(

x

)=

x

&1

.-Sea la función f x( )= x−1 = _x1. El conjunto de sus primitivas será:

Ejercicio

10.-Dada la función

g x

( )

=

₅2_x , se pide: a) Halla el conjunto de sus primitivas.

b) Halla la primitiva cuya gráfica contiene al punto P(&e2_,_&₂₎ Solución:

a) Integrando la función g (x) obtenemos el conjunto de sus primitivas:

g x dx

( )

=

∫

_x

dx

=

_x

dx

=

L x

+

C

∫

2

∫

5 25 1 25

Nótese que, por comodidad, la constante C la ponemos cuando hemos terminado de operar.

F x( ) = x₂2 + C ; C∈ R

H x

( )

=

5

x₃3

−

77₆

(13)

La familia de funciones forman las primitivas de g (x)

G x( )= 2₅L x + C C; ∈ R b) Hallamos aquella cuya gráfica contiene al punto P(&e2_,_&_2).

Llamamos G x( )= 2₅ L x + C a la función buscada. Necesitamos conocer C. Llamamos GG al grafo (puntos de la gráfica) de la función G.

P e

G

G e

L

e

C

L e

C

G

(

, )

(

)

;

−

− ∈

⇔

−

= −

−

+ = −

= − − = −

2 2 2 5 2 2 5 2 2 5 4 5 14 5

2

La primitiva buscada es

G x

( )

=

2₅

L x

−

14₅

6.5.Integral de una función de la forma

y

=

f

´(

x

)/

f

(

x

).-Supongamos una función de la forma y f x .

f x

= ′( ) ( )

Observa que la función numerador es la derivada de la función denominador.

Ejercicio

11.-Dada la función f x( ) = ₃_x3₊₅, se pide:

a) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto P(&2, 6)

b) Comprueba que la función obtenida es verdaderamente una primitiva de f. Solución:

a) Primer hallemos el conjunto de las primitivas de f :

(observa que el numerador es la derivada del denominador)

3

3x+5

dx

=

∫

= L x3 + +5 C

Por tanto, F (x) = L*3x + 5* + C es el conjunto de las primitivas de f.

Busquemos aquella cuya gráfica tiene al punto P(&2, 6). Llamamos GF al grafo de F.

F (x) = L*3x + 5* + C es la función buscada. Necesitamos el valor de C.

P

G

F

L

C

L

C

L

C

F

(

, )

(

)

(

)

;

−

∈

⇔

− =

− + + =

− +

=

+ =

=

2 6

2

6 3 2

5

6

1

6

1

6

0

6

La primitiva cuya gráfica contiene al punto P(&2, 6) es b) Debe verificarse que F ´(x) = f (x). Veamos:

F x L x L x si x L x si x ( ) ( ) (*) ( ) (**) = + + =  ₋ +₋ +₊ + >_{+ <}  3 5 6 3 5 6 3 5 0 3 5 6 3 5 0

De las desigualdades (*) y (**) obtenemos:

I

=

∫

f_{f x}′_{( )}( )x

dx L f x

=

( )

+

C

(14)

(*) (**) ( ) ( ) ( ) 3 5 0 3 5 3 5 0 3 5 3 5 6 3 5 6 5 3 5 3 5 3 5 3 x x x x x x F x L x si x L x si x + > ⇒ > − ⇒ > − + < ⇒ < − ⇒ < −     ⇒ = − − + < − + + > −     Si derivamos F (x) en un puntox< −₃5: F x′( )= _{− −}₃_x1 ₅⋅ − =( )3 ₋₍₃−_x3₊₅₎= ₃_x3₊₅ = f x( ) Si derivamos F (x) en un punto

_x

_{F x}

_{f x}

x x

>

−₃5

:

′

( )

=

₃ 1₊₅

⋅ =

3

₃ 3₊₅

=

( )

Hemos comprobado que la derivada de F (x) es f (x).

6.6.Integral de una función de la forma

f

(

x

)=

a

x

.-Consideremos la función exponencial de base a (a 0ú y a>0)

NOTA: Recuérdese que la función exponencial

f (x) = ax_{se definía para}_a_{>0. Las} primitivas obtenidas corresponden al caso en que a…1 ya que si a=1 el denominador sería La = L1 = 0. Hagamos la comprobación: a La C La a La a x x x +    _ ′ = 1 ⋅ . =

Ejemplo

11.-La integral de la funcióny = 5xes I dx L C x x =

_∫

5 = 5 + 5

6.7.Integral de la función

f

(

x

)=

e

x

.-Se trata de un caso particular de la integral tratada en el punto 6.5. NOTA:

Recuérdese que e = 2´71828182.... y que Le = 1

6.8.Integral de la función

seno.-Comprobación:

(& cos x + C )´ = (& cos x )´ = &( cos x )´ = &(&sen x ) = sen x

6.9.Integral de la función

coseno.-Comprobación: ( sen x + C )´ = (sen x )´ = cos x

a dx

a

La

C C

x

₌

x

₊

_∈

∫

;

R

e dx e Le e C e C C x ₌ x ₌ x _{+ =} x ₊ _∈

∫

₁ ; R

sen x dx

= −

x C

+

C

∈

∫

cos

;

R

cos

x dx sen x C

=

+

;

C

∈

∫

R

(15)

(

−

+

) (

′ = −

) (

′ = −

)

′ = −



_



_

′

=

= −

− ⋅ − ⋅

= −

− +

=

cotg

x C

cotg

x

cotg

x

_{sen x}x

sen x sen x x x sen x

sen x x

sen x sen x

cos

cos cos ( cos ) 2

2 2

1

6.10.Integral de la función

f

(

x

) = 1/

sen

2

_x

.-Comprobación:

6.11.Integral de la función

f

(

x

) = 1/

cos

2

_x

.-6.12.Integral de la función

f x

( )

=

1 1

−

x

2

6.13.Integral de la función

f x( )= −1 1− x2

Recuerda que la derivada de la función y = arc cos x es y

x ′ = − − 1 1 2

6.14.Integral de la función

f x

x

( )

=

₁₊1 2

Recuerda que la derivada de la función y = arc tg x es y′ = _x + 1 1 2

1

2

sen x

dx

x C

C

∫

= −

cotg

+

;

∈

R

1

2

cos

x

dx

x C

;

C

∫

=

tg

+

∈

R

1 1− 2 = + ∈

∫

x dx arc sen x C ; C R − − = + = − + ∈

∫

1

1 x2 dx arccosx C arc sen x C ; C R

1

1₊ 2

=

+

∈

(16)

6.15.Integral de la función

f x

x

( )

=

₁₊−12

Recuerda que la derivada de la función y = arc cotg x es y

x ′ = − ₁₊1 2

6.16.Integral de la función

f x n xn n ( ) = 1 ₋ 1 Comprobación:

(

x C

) ( )

x

( )

x x x x n x n x n x n n n n n n _n n n n n nn nn n n + ′= ′ = ′ = − = − = − − = − = ₋ = ₋ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Ejemplo

12.-1

7

7 6 7

x

dx

x

C

∫

=

+

Hemos expuesto las integrales que consideramos como inmediatas. El apartado siguiente lo dedicaremos a resolver algunos ejercicios de integrales en los que estas pueden reducirse a uno de los modelos tratados anteriormente.

7.Ejercicios sobre integrales

inmediatas.-Veamos algunos ejercicios de cálculo integral en el que se utilizaran las propiedades de la integral vistas anteriormente, así como la idea de integral inmediata.

Ejercicio

12.-Resolver la integral

I

=

∫

4₉x

dx

y halla la primitiva cuya gráfica pasa por el origen. 3

Solución:

I

=

∫

4₉x

dx

=

₉4

∫

x dx

3

=

4_{9 3 1}x₊+

+ =

C

4_{9 4}_⋅x

+ =

C

x₉

+

C

3 _{3 1} 4 ₄

Para C = 0 tenemos la primitiva F x( )= x₉4 cuya gráfica pasa por el punto O(0,0) ya que se verifica que F( )0 = 0₉4 = 0

1

n x

n n

dx

x C

C

n −

∫

=

+

;

∈

R

− + = + = − + ∈

∫

1

(17)

Ejercicio

13.-Hallar el conjunto de las primitivas de la función

f x

( )

=

5 x

3

+

3 x

2

− +

x

3

. ¿Hay alguna primitiva cuya gráfica pase por los puntos P(0,4) y Q(2,36)?

Solución:

(

)

f x dx

x

dx

x dx

dx

x dx

dx

x x x

x C

( )

=

+

− +

=

+

−

+

=

+

−

+

=

+

−

+

+ =

∫

5

3

5

3

5

3

5

3

3 2 3 2 3 2 4 3 2 4 3 2

es el conjunto de las funciones primitivas de la función f x( )= 5x3 +3x2 − +x 3

Buscamos una función F x( ) = 5₄x4 + x3 − x₂2 + 3x C+ cuya gráfica contiene a los puntos P(0,4) y Q(2,36). La función puede que exista o que no exista.

Llamamos GF al grafo de F. P G F C C Q G F C C C F F ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 4 0 4 0 0 0 0 4 4 2 36 2 30 20 8 2 6 36 36 32 4 ∈ ⇔ = + − + + = ⇒ = ∈ ⇔ = + − + + = ⇒ = − ⇒ = Por tanto:

es una primitiva de f (x) cuya gráfica contiene a los puntos P(0,4) y Q(2,36).

Ejercicio

I

=

∫

−₄x9

dx

Solución:

I

=

∫

−₄x9

dx

= −

1₄

∫

x dx

9

= −

_{4 10}1 x10

+ = −

C

x₄₀10

+

C

Ejercicio

I

=

∫

(

−

x dx

)

Solución:

I

=

∫

(

−

x dx

)

= −

∫

x dx

= −

x₂2

+

C

Ejercicio

I

=

∫

( )

−

5 dx

F x

( )

=

5₄x4

+

x

3

−

x₂2

+

3 x C

+

F x

( )

=

5₄x

+

x

3

−

x₂

+

x

+

4 ₂

3

4

(18)

Solución:

(

)

I

=

∫

−

5 dx

= −

∫

5 dx

= −

5 x C

+

Ejercicio

17.-Hallar el conjunto de las funciones primitivas de la función f x( )=

π

x3 − ₃2x− 1 Solución:

(

)

[

]

[

]

f x dx x x dx x x dx x dx x dx dx x dx x dx x x x x C x x x C ( ) = − − = − − = − − = = − − = − − + = − − +

∫

π π π π π π 3 3 3 3 4 2 4 2 2 1 3 1 3 2 1 1 3 2 1 3 2 3 4 2 3 2 12 2 6 1 3

es el conjunto de las funciones primitivas de la función f (x).

Ejercicio

18.-Resolver la integral I =

∫

(

20x2 − 2x dx

)

2 Solución:

(

)

(

)

I x x dx x x x dx x dx x dx x dx x x x C x x x C = − = − + = − + = = − + + = − + +

∫

20 2 20 4 20 4 20

∫

4 20

∫

4

∫

20 5 4 20 4 4 3 4 20 4 3 2 2 4 3 2 4 3 2 5 4 3 5 4 3

Ejercicio

I

=

∫

x dx

−5 Solución: I x dx x dx x C x C x C =

∫

−5 =

∫

_{− +}− + = ₋− + = − − + = − + 5 1 4 4 4 5 1 4 1 4 1 4

Ejercicio

20.-Resolver la integral I x dx =

∫

6₃ Solución: I x dx x dx x dx x C x C x C x C =

∫

6 =6

∫

1 =6

∫

− = 6 _{− +}− + + = ₋− + = − − + = − + 3 1 6 2 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2

F x

( )

=

₁₂π

x

4

−

₆2

x

2

−

1₃

x C

+

(19)

Ejercicio

I

=

∫

x dx

23 Solución:

I

=

x dx

=

x

C

x

C

x

C

x

C

+

+ =

+

∫

2 + 3 2 3 1 53 53 2 3 53 5 3

1

3

5

3

5 Ejercicio

I

=

∫

x dx

Solución:

I

=

x dx

=

x dx

=

x

C

x

C

x

C

x x

C

+

+ =

+

∫

1 + 2 1 2 1 32 1 2 23 3

1

2

3

2

3 Ejercicio

23.-Resolver la integral I =

∫

5x dx3 Solución: I=

_∫

5x dx=

_∫

5 x dx= 5

_∫

x dx= 5

_∫

x dx= 5x ₊+ + =C 5x + =C 2 5 x + C 5 3 3 3 1 1 5 2 5 3 2 3 2 3 2 5 2

Ejercicio

_∫

4 3 4 Solución: I x dx multiplico por x dx x dx x C =

_∫

4 = = 1 = 4

_∫

=

_∫

= + 4 4 16 1 4 16 3 4 44 4 3 4 3 3 4 ( )

Ejercicio

_∫

−8 35 4 Solución:

Esta integral es similar a la anterior pero la resolvemos por otro procedimiento.

I

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

C

x

C

x

C

x C

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

+

+ =

−

+ =

−

+ =

−

+

∫

− − ₊ −

8

3

8

3

1

8

3

1

8

3

8

3 ₁

8

3

40

3

40

3

4 5 5 4 1 4 5 1 5 5 4 5 4 5 4 5 15 1 5

(20)

P

( , )

11 ∈

G

_F

⇔

F

( )

1 = ⇔

1 2 1

+ = ⇔

C

1 C

= −

1 Ejercicio

_∫

−9 23 Solución: I xdx xdx x dx x dx x C x C x C = − = − = − = − = − + + = − + = − +

∫

− − ₊ − 9 2 9 2 1 9 2 1 9 2 9 2 ₁ 9 2 27 4 3 3 1 1 3 23 2 3 1 3 1 3 1 3 23

Ejercicio

I

x

dx

=

∫

+

1

Solución:

( )

I

x

dx

x

dx

x

dx x L x

C

=

∫

+

1 =

∫

1 +

1

=

∫

+

∫

1

= +

+

Ejercicio

28.-Resolver la integral _I x x x dx =

∫

2 2 −₃5 +6 Solución:

I

(

)

x

dx

x dx

dx

x dx

dx

x

L x

C

L x

C

x x x x x x x

=

−

+

=

− +

=

−

+

=

−

+

=

−

+

+ =

−

+

∫

2

5

6

3

2

2 2 3 53 36 23 53 2 2 3 53 1 23 2 53 3 5 3 2 2

Ejercicio

29.-Halla el conjunto de las primitivas de la función

f x

( )

=

1_x y determina aquella cuya gráfica pasa por el punto P(1,1).

Solución:

Las primitivas de f (x) las hallamos resolviendo la integral:

I

=

f x dx

=

_x

dx

=

x

dx

=

x

dx

=

x

C

x

C

x C

− +

+ =

+

∫

−

∫

− − +

( )

1 1 1 1 2 12 1 2 1 2 12

1

2

es el conjunto de las primitivas de f (x). Buscamos aquella que verifica que P(1,1)0GF (grafo de la función que buscamos F(x) )