Las máquinas de calcular :: Números: revista de Didáctica de las Matemáticas

LAS f'/AQ/lINAS DE. CALC/lLAíl.

('/~ DolO/l.eh He/l.nández He/l.nández Juan Sánchez BallehÍ.e/l.Oh

P R 1 MEROS PASOS

Es posible que ya en el año 1588,Johi. 8Ü'1.qi,relojero de la

-Corte de Guillermo IV de Hessen,trabajase en el cálculo de

logaritmos,-per,o sólo tenemos noticia de ello en 1620, con .la publicación de su "í'"-Q g/l.ehh-Taguea". Para esta fecha,el matemático escocés John Neppe/I. habípublicado ya,en 1614 y 1619,los resultados de sus trabajos, iniciados

a-finales del siglo XVI. Estos dos "científicos" fueron;sin duda,los

pre-cursor~s del gran avance que supusieron después las máquinas de calcu--lar. Creemos que el mérito debe ser compartido,ya que ambos investigad~

res llegaron a las mismas tesis,aunque por distintos métodos de desarr~ llo.

8Ü'1.gi intentaba establecer una "tabla general" que resolviera las dificultades,los cálculos demasiado molestos y complicados,al multi

plicar,dividir y extraer raices. Para ello,partió de l~ relación

entre-una progresión aritmética y otra geométrica, y, conocedor de los trabajos

de f'lichael Sf.itef. (1544) sobre las propiedades especiales de dos progr~ sienes paralelas de tal tipo, se esforzó en aumentar la frecuen~ia de los

términos,ya que la geométrica de Stitel era de relativo valor por no con tener términos intermedios. Con este fin,dio al cociente un valor próxi

mo a la unidad. Las progresiones elegidas fueron :->

o

1.00000000' 1.0001000' 1.00020001 , 1. 00070021 ,

en la que la diferencia de la aritmética es 10 y el cociente de la

geo-métrica es 1.0001.

En estas tablas,los términos de la progresi6n aritmética van

en rojo y los de geométrica en negro.

Veamos con un ejemplo la manera de operar. Calculemos el val-Or

de 1.0Ó070021 X 1.017003549:

12) A estos valores en cifras negras corresponden los números

70 y 1690 en rojo,Su suma es 1760.

22) El valor negro correspondiente a 1760 es el producto

bus-cado,

Si en lugar de O, 10, 20 , ••• ,tomáramos 0.00010, 0.00020,

0.00030 , •••• ,se tendría una progresi6n

progresiones corresponderían a un sistema

muy seguida y,entonces,ambas

. 1

logarítmico de base

(1+~-,)11Í'

(e= 2.71828182845 •••• ).

Neppe4 tuvo un punto de partida diferente. Tratando de facili

tar los cálculos trigonométricos,mediante estudios complejos de

proce--sos(un movimiento aritmético y uno geométrico),lleg6 a la deducci6n de

la funci6n logarítmica~

Pero,lo curioso es que tantc Bii4gl como Neppe4 desconocían la definici6n de logaritmo como exponente d~ una base determinada •. A tal

-definici6n se lleg6,a través de una serie de estudios y experiencias,en

el siglo XVIII.

En 1615,Hen4y B4lgg~ introdujo les logaritmos decádicos,lo que

condujo a pensar en la amplia gama de posibilidades que ofrecían.

En 1620, ldmun.d !funte4 present6' una escala logarítmica que pe!_ mitÍa realizar fácilmente multiplicaciones y divisioneE con .ayuda de un

compás,

Doce afios después,W.Unght4ed diseft6 un sistema de dos escalas que se desplazaban una sobre otra, que facilitaba enormemente la

1

1

1 1

ciÓn de lai operaciones elementales.

A finales del XVII,S.,..th

introdujo la "regla de cá1

-culo en su form·a actual. A partir de este momento,logaritmos y regla de

cálculo se convierten en instrumentos imprescindibles para los científi

ces.

La iniciación de la era tecnológica repercutió de forma not);!;

ble en el desarrollo de instrumentos científicos. En cuanto a máquinas

-de calcular, cabe sefialar :

En 1623,la de

la que era posible efecttar

multiplicaciones combinando una tabla de multiplicar móvil y un

me de adiciones. En 1624,Bl.ai4e

construyó una máquina de sumar y

restar. En 1673,apareció la máquina de cilindros de

permi

-tía realizar las cuatro operaciones básicas. Aproximadamente por la

ma

creó un ingenio en el que se combinaban las

VJ;!;-ritas multiplicadoras de

y la escala guteriana(logarítmica),que

-tuvo poca difusión.

Durante-·· afies, se utilizan por separado la máquina calculadora,

trabajando digitalmente,y la regla de dálculo como.,instrumento

analógi-cci>. ,

trabá;j4ndó. con·.magnittude.s .vaniables.

Esto empezó a cambiar a partir de 1832 en q_ue

estableció que "en los digitales no se aplican logaritmos, sino al ce!!_

trario, las calculadoras se utilizan para calcularlos", y desarrolló una

-serie de estudios que conducían a demostrar su hipótesis. Podemos consi

derar a

como el pionero de las calculadoras que existieron

ta 1970. Con sus ideas destacó claramente la importancia de los logari!

mes como operación fundamental de cálculo. Al respecto dice

Lo

que los logaritmos son para las Matemáticas,son las Matemáticas para

otras ciencias.

LAS MAQUINAS DE CALCULO ANALOGICAS

Las calculadoras son fundamentalmente de dos tipos: anal6gicas

y digitales o numéricas. Las primeras se basan en la comparación de

la-magnitud física que se estudia con la-magnitudes dé"tipo mecánico o elécti;i

co y que var{an siguiendo leyes iguales o proporcionales a la primera.

-Como ejemplo de calculador:;i.s anal6gicas rudimentarias basadas en magnitE.

des mecánicas,nos referiremos brevemente a las dos más ·usacl.as : la regla

de cálculo y el plan{metro.

La regla de cálculo establece una analog{a entre las magnitE.

des a operar y longitudes que se toman proporcionales a los logaritmos

-de dichas magnitu-des •. La suma -de longitu-des correspon-de,por tanto,al

lS?_-gari tmo del producto, y la diferencia de longitudes al cociente, cons.ervá.!!.

dose en ambos casos el factor de proporcionalidad. En resumen,sumando

longitudes,calcularemos productos;restándolas,obtendremos cocientes.

El-esquema básico es :

k lgA]

f

+

k lgB

~)L

1

'

k(lgA

+

k lg(A/B)

k(lgA lgB)

plan{metro,muy utilizado en la escuela inglesa,se usa

pri.!!.-cipalmen te para el cálculo de áreas planas limita das por .. con tornos cerrl!;

dos,por lb que puede decirse que resuelve problemas de cálculo integral.

Consta de dos brazos metálicos con una articulaci6n comdn. Uno de los

brazos,llamado polar,tiene un extremo que se fija, el polo,y alrededor

-del mismo gira todo el aparato. La otra varilla,el brazo trazador,tiene

un punz6n en su extrem0, que recorre el. aontorno de la superficie. Inca!.

parada a los brazos va la roldana o rueda integradora, que gira sobre eJ,.

papel al moverse el punz6n,y tiene adosado un cuentavueltas de precisi6n

para registrar el ndmero de vueltas que d.a la roldana cuando el punz6n

-r'ª-.corre el contorno.

Se demuestra que el 'rea de la superficie a medir viene dada

-por la ecuación

A

=

~ ,el radio de la roldana ,

d ,la distancia del punzón a la articulación común y

n ,elnÚmero de vueltas de la roldana.

La p~ecisión de ~mbas miquinas depend~ de la precisión en la

-medida de longitudes y 'ngulos,q~e son las magnitudes analógicas emple~

das.

Cuando la analogía se establece con magnitudes de tipo eléctri

co,el resultado de las operaciones se obtiene también de forma sencilla

Generalmente se utilizan voltajes e intensidades de corriente. Las fig,!:!

ras que siguen muestran,respectivamente,un circuito sumador de tensig

-nes y otro de intensidades • Se obtendría la diferencia de voltajes cafil

biando la polaridad de uno de los bornes ; la de intensidades,invirtie!l

do el sentido de I

1 o I2•

Para multiplicar por una constante k introduciríamos ·las

sienes o intensidades en un, circuito amplificador de factor k

Traasis11er

SilID.A

La divisi6n por una constante la obtendremos mediante un pote~

ci6metro,si se trata de voltajes,y por ~edio de ~edes en paralelo,en el

caso. de intensidad"s, Con circ.ui tos más elaborados, basados en. estos mis_

mas fundamentos, se pueden realizar ope.raciones más compl:j_cadas •

.¡.V R

I/2

I/2

R

El problema fundamental de las máquinas anal6gicas estriba en

su precisi6n, supeditada siempre a la ·que se alcance en la medida de las

magnitudes análogas. La banda de ·precisi6n oscila entre el .1% y el 0.01%,

inalcanzable éste por cualquier. máquina de este tipo. Como contraparti

-da,ofrecen una velocidad estimable de cálculo y un manejo muy simple,

que las hacen· aconsejables ,por ejemplo,para problemas de tiro antiaér~­

o y otros,si bien su empleo ha quedado muy restringido con el despegue

-y difusi6n de las calculadoras digitales.

CALCULADORAS DIGITALES

A diferencia de las calculadoras anal6gicas,que trabajan

convalores continuos,las digitales lo hacen con convalores discretos;de ahí

-que se les llame también numéricas.

Presentan, sobre ~quellas,la ventaja de una mayor precisi6n.Ad~

más,p1,1eden realizar las cuatro operaciones básicas,junto con tres de ti

po 16gico que,combinadas,resuelven potencialmente cualquier problema,ya

que todas las operaciones de tipo .matemático conducen a las

fundament_!!:-les; por ejemplo,las funciones trigonométricas pueden resolverse por m~

dio de ser~es convergentes.

Se componen de cuatro unidades : control, entrada y salida de

datos,memoria y cálculo. La unidad de mando coordina el funcionamiento

-de las -demás y organiza el flujo -de datos en el interior -de la máquina;

a la vez,optimiza el funcionamiento del complejo, en lo que a tiempo se

-refiere,prop.o.rcionando nuevos datos a las unidades de cálculo y memoria

si fuere necesario,mientras la unidad de salida,más lenta,proporciona

-resultados anteriores. Una serie de diodos y transistores conforman

la-u.nidad de cálculo. A ella llegan los datos de entrada, a través de la uaj.

dad de memoria,recibiendo las 6rdenes de la unidad de control.

Puesto que el sistema es eléctrico,la máquina codifica los n~

meros iniciales y los traduce al sistema binario,de tal forma que la

presencia de un impulso eléctrico,voltaje o intensidad,equivale a un 1;

su ausencia,a un O.

El problema de operaciones dentro de la uní.dad de cálculo lo

-resolvi6 el matemático inglés f}e.o/l.ge Boole (1815-1864),que ide6 un

si_§.-tema 16gico.compuesto de tres funciones básic~s que,al combinarlas,r~

-suelven cualqÚier operaci6~ sencilla : las funciones NO • O e Y.

La función "NO" o conmutadora cambia el valor del dígito s~

-gún la siguiente tabla :

o

§.

o

En la figura que sigue se indipa el símbolo de esta

funci6n,-Se consigue mediante un circuito eléctrico con un transistor,al prod~

-cir un potencial cero a partir de un impulso inicial,o al contrario.

B

••---~~>

0

---41

La funci6n "Y" posee dos entrádas y una salida. Ert salida ªP.!!:

rece el O cuando las entradas son diferentes o iguales a cero; el

l,si-ambas son uno. Su tabla de funcionamiento es la siguiente :

~

o

o

.E

o

1

§.

o

o

o

o

Esta funci6n se puede obtener mediante un circuito

eléctrico-con dos diodos; en él,los dos potenciales de entrada,E y F,pueden ser O

6 positivos,lo que,respectivamente,equivale a O y 1.

: :_D...___y . s

Si una de las entradas pi:esenta el potencial (:0, 1) o ( 1, O),

el ·diodo correspond.iente conducirá la corriente,no existiendo difere.!!

-cia de poten-cial entre sus bornes y,entonces,la salida S estará también

a potencial cero. Lo mismo ocurriría,evidentemente, si son las dos e!!

-tradas las que están a pot.encial cero, (0,0) ,puesto que en esas

circun!!_-c:Í.as, conducen ambos diodos. Por Último, si las dos están a potencial ( 1, 1)

ninguno de los diodos conducirá,lo que hace que se comporten como resi!!.

tencias infinitas,estando en la salida el potencial 1.

La funci6n "0" tiene también dos entradas y una salida.

Pr.s?,.-porciona un 1 si en una de las dos entradas,o en las dos,hay un 1. Si

en ambas hay ceros,da O de salida. He aquí la tabla de funcionamiento

o

o

o

o

o

Esta funci6n "0" se consigue, como muest.Pa la figura adjunta,

mediante un circuito análogo al de la 11_Y11_{,al que se le aplica un}

circui-to "NO" en la salida.

: _____

:

J:)...--...--0

.

s

Otra parte fundamental de las calculadoras digitales 'es la uni

dad de memoria. Esta unidad recoge ~ almacena los datos proporcionados -por la unidad de entrada,los suministrados a la unidad de cálculo y

los-,,

resultados que elabora ésta para pasarlos a la de salida; y,siempre,b~

-jo las 6rdenes de la unidad de control.

Aunque se han utili,zado dtversos métodos dé memoria,el más

e!!!.-pleado por los grandes ordenadores es el ridcleo.magnético de ferrita,foE

mado por cerámi,cas ferromagnéticas c¡ue tienen l a propiedad de que, bajo

la acci6n del campo, magnético creado, por una corriente, se imanan y maQ

-tienen su imanaci6ri indefinidamente. Estas memorias s~ llaman de "coinci

dencia de corriente", porque 'ei registro de un da to se efectda s6lo

cuaQ-'

do a lo largo de dos determin~dos conductores se hallan

presentes,simul-táneamente,impulsos de corriente de un valor determinado.

Para la lectura de la memoria,se envía·~n impul•o negativo a

-todos los ndcleos. Los que tengan imanaci6n negativa no serán afectados.

Los que la tengan positiva,cambian,y esta eventual iñversi6n induce un

-impulso de corriente en un conductor de lectura. Analizando estos

impul-sos, se puede saber c6mo estaban los correspondientes ndcleos. NaturalmeQ

te,existe un sistema que actda con un pequeño retard~ y que inmediatameQ

te vuelve a poner los ndcleos que han invertido tal como estaban antes

-de la lectura.

Los ndcleos de ferrita son muy estables, tienen muy poco cons~­

mo y resultan muy econ6micos.

Cada ndcleo puede tener dos tipos de imantaci6n

negativa,lo que es asimilable a 1 6 2.

positiva. y

Las dimensiones de los ndcleos son muy reducidas. Una matriz

-de 64x64 ndcleos,capaz -de registrar 4096 dígitos ~narios,no alcanza los

3o cm de lado,con un espesor de 2 a 3 cm.

Generalmente,los registros de la máquina contienen números foE

mados por una cantidad reducida de cifras,limitando la exactitud de

los-resul tados al caso de que no excedan ·la capacidad en cuanto a número

·de-cifras del regi s.tro. Gas.o de excederse esta cifra, la máquina redondea r~

sultados con una aproximaci6n similar a la manual y con un error mínimo.

~~~~

.. ora.ea••

- - - - •Date•

UNIDAD DE ENTRAD.A.

y SJ.LID.A.

llNID.A.D DE CALCULO

70

lmIDAD D.I

MEMORIA

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