04.Análisis y Diseño de Filtros Digitales

(1)

Señales y Sistemas II

Grupos 3 y 4

Análisis y Diseño de Filtros

Digitales

Jan Bacca Rodríguez

[email protected]

(2)

Clasificación

✘ Respuesta impulso infinita (RII o IIR): Su función de transferencia tiene polos y ceros finitos

✗ Son más eficientes

✘ Respuesta al impulso finita (RIF o FIR): Todos los polos de su función de

transferencia están en el origen. Su

comportamiento dependerá solo de sus ceros.

(3)

Diseño de Filtros IIR

(4)

Diseño de IIR

(5)

Diseño de IIR

✘ Procedimiento

1. Transformar las características

del filtro IIR en el dominio

discreto a las de un prototipo

analógico

2. Diseñar un prototipo analógico

basado en esas especificaciones

3. Convertir el prototipo analógico

(6)

Conversión

continuo-discreto

✘ Obtener una función

H(z)

que se

asemeje a la función

G(s)

de la que

se parte (Rta. magnitud)

✘ Un mapeo exacto no es posible, ya

que

G(j



)

no es periódica y

H(e

j

₎

es

periódica con período 2



✘ Dos métodos:

(7)

Invariancia del Impulso

✘ Convertir la respuesta al impulso

continua g(s) en la respuesta al impulso discreta h[n].

✘ Muestreo

h[n] = Tg(nT)

(8)

Invariancia del Impulso

✘ Aplicando la transformada inversa de Laplace a cada término se obtiene

(9)

Invariancia del Impulso

✘ Tomando la transformada Z:

✘ Se puede omitir el muestreo y calcular H(z) directamente a partir de G(s)

(10)

Invariancia del Impulso

✘ Los correspondientes polos del

filtro digital son:

✘ El filtro analógico es estable, por lo

que



_i

< 0

✘ En consecuencia

(11)

Dominio de la frecuencia

✘ h[n] es una versión muestreada de g(t)

✘ El muestreo se puede modelar como la multiplicación de la señal a muestrear por un tren de impulsos de período T ✘ En general:

 



     k kT t t x nT x n

x[ ] ( ) ~ ( ) 

            



   k j T k T j X e

X     



 ₍ ₎_* 2 2

(12)

(13)

Invariancia del Impulso

✘ h[n] tendrá una respuesta en frecuencia similar a g(t) si la frecuencia de muestreo es lo suficientemente alta

✘ No es apropiado para diseñar pasa-altos             



   k T k T j

X     

 2 2 * ) ( 2 1   T k X T T k j X T k k         2 1 2 * ) ( 1 0 0         



       



     k kT t t x nT x n

(14)

Ejemplo

✘ Convierta el filtro Chebyshev I

diseñado anteriormente en un filtro

digital usando invariancia del

impulso con T = 0,2s

✘ La

función

de

transferencia

(15)

Ejemplo

✘ Se debe convertir en fracciones parciales:

(16)

Ejemplo

(17)

Ejemplo

H (z)= 0,0023 𝑧

2

+0,0021𝑧

𝑧3−2,7412 𝑧2+2,5395 𝑧 −0,7939

✘ La frecuencia de corte del filtro digital será _cD=0,2 rad/s

✘ El muestreo transforma

(18)

Especificaciones para

Diseño por Invariancia del

Impulso

✘ Diseñar un IIR con las siguientes especificaciones:

✘ Utilice invariancia del impulso con T₁ = 1s y T₂ = 2s

✘ Las atenuaciones son las mismas para el prototipo analógico que para el digital

(19)

Especificaciones para

Diseño por Invariancia del

Impulso

✘ Las frecuencias de muestreo serán

_A

0 𝜔𝑠

2

_A1 _A2

D

0 _D1 _D2 

(20)

Especificaciones para

Diseño por Invariancia del

Impulso

✘ Para T₁ = 1s

(21)

Especificaciones para Diseño

por Invariancia del Impulso

10-2 10-1 100 101

-100 -80 -60 -40 -20 0 T1 T2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

(22)

Transformación Bilineal

✘ Sea el filtro de primer orden:

✘ Su ecuación diferencial es:

(23)

Transformación Bilineal

✘ Reemplazamos en la ecuación diferencial y discretizamos:

(24)

Transformación Bilineal

✘ La integral se puede discretizar haciendo t₀ = (n-1)T y t = nT

(25)

Transformación Bilineal

✘ Simplificando

(26)

Transformación Bilineal

✘ Comparando con la función de transferencia analógica podemos deducir

✘ Resolviendo para z

(27)

Transformación Bilineal

✘ Para analizar la transformación en el dominio de la frecuencia, hacemos s = j

✘ Cuya magnitud es:

(28)

Transformación Bilineal

✘ La fase de z será

(29)

Transformación Bilineal

(30)

Ejemplo

✘ Convertir el filtro analógico descrito por:

En un filtro digital usando la transformación bilineal con T = 2s.

(31)

(32)

Especificaciones del prototipo

analógico

✘ Se requieren 4 parámetros para diseñar un filtro digital pasabajos o pasaltos

✗ Frecuencias límite (₁, ₂) ✗ Atenuaciones límite (R_p, A_s)

✘ Estos parámetros se deben convertir a los del prototipo analógico del que parte el diseño.

✘ Las atenuaciones se conservan

(33)

Frecuencias límite

✘ Invariancia del Impulso

✗ Relación lineal

_A

0 𝜔𝑠

2

_A1 _A2

_D

0 _D1 _D2 

(34)

Ejemplo: Diseño de IIR

usando Transformación

Bilineal

✘ Usando transformación bilineal, diseñe un filtro digital Butterworth pasabajos con las siguientes especificaciones:

(35)

Ejemplo: Diseño de IIR

usando Transformación

Bilineal

✘ Diseño del prototipo analógico:

✗ Órden:

(36)

Ejemplo: Diseño de IIR

usando Transformación

Bilineal

✘ Diseño del prototipo analógico:

(37)

Ejemplo: Diseño de IIR

usando Transformación

Bilineal

✘ Diseño del prototipo analógico: ✗ Polos

✗ 0 ≤ k ≤ 2N-1, escoger los que tengan parte

real negativa.

(38)

Ejemplo: Diseño de IIR

usando Transformación

Bilineal

(39)

Ejemplo: Diseño de IIR

usando Transformación

Bilineal

✘ Transformación a digital:

(40)

Ejemplo: Diseño de IIR

usando Transformación

Bilineal

𝐻

(

z

)

=

0,0065

𝑧

4

+

0,0260

𝑧

3

+

0,0390

𝑧

2

+

0 ,

0260

𝑧

+

0,0065

(41)

Diseño de Filtros FIR

(42)

Diseño de FIR

✘ Un filtro FIR de longitud N (orden N-1) está completamente

caracterizado por su respuesta al impulso h[n], n = 0, 1, 2, … N-1

(43)

(44)

Función de transferencia

✘ N coeficientes, orden N-1 ✘ N-1 ceros y polos

✘ La posición de los ceros depende de los coeficientes h[n]

✘ Todos los polos están en el origen (estable)

(45)

Diseño

Obtener los coeficientes h[n] del filtro FIR para obtener una respuesta en frecuencia

deseada

1. Escoger el orden (Por fórmulas o suposiciones)

2. Escoger un método de diseño que minimice la diferencia entre la respuesta deseada y la obtenida

3. Determinar los h[n]

(46)

Fase lineal

Un FIR de N coeficientes tendrá fase lineal si:

h[n] = ± h[N-1-n]

(47)

Ejemplo

✘ Sea

✘ Su función de transferencia es:

✘ Y su respuesta en frecuencia:

(48)

Ejemplo

✘ Simplificando

(49)

Ejemplo

(50)

Diseño por Ventanas

(51)

Diseño por Ventanas

✘ La respuesta al impulso se

(52)

Diseño por Ventanas

✘ h[n] es infinito

✘ Se debe truncar para obtener un FIR ✘ Se debe conservar simetría para

obtener fase lineal

✘ El filtro tendrá 2M+1 coeficientes

(53)

Rta. al Impulso Truncada

(54)

Diseño por Ventanas

✘ h_T[n] representa un sistema no causal

✘ Se debe introducir un retardo de M muestras

✘ En frecuencia:

✘ El corrimiento cambia la respuesta en fase

(55)

Ejemplo

✘ Diseñe, por ventanas un filtro FIR pasabajos de 15 coeficientes con

_c = 0,3

✘ La respuesta al impulso deseada será:

(56)

Ejemplo

(57)

Ejemplo

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Normalized Frequency ( rad/sample)

-600 -400 -200 0 P h a se ( d e g re e s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Normalized Frequency ( rad/sample)

(58)

Consecuencias del uso de

ventanas

✘ Comportamiento oscilatorio

✘ La operación de recorte se puede modelar como:

(59)

Consecuencias del uso de

ventanas

✘ Comportamiento oscilatorio

✘ La operación de recorte se puede modelar como:

(60)

Consecuencias del uso de

ventanas

✘ El

cambio abrupto de la

(61)

Otras ventanas

✘ Los efectos negativos del recorte se pueden disminuir usando funciones ventana que bajen suavemente a cero

(62)

Otras ventanas

✘ Hamming

✘ Hanning

(63)

(64)

Otras ventanas

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

(65)

Diseño de filtros usando ventanas

✘ Para lograr una mayor atenuación en la banda de rechazo se requiere usar otras ventanas

Tipo de

Ventana Ancho Lóbulo Principal Pico Lóbulo Secundario

Rectangular ₄__/M -13

Bartlett ₈__/M -25

Hanning 8/M -31

Hamming ₈__/M -41

(66)

Orden de un FIR

✘ No existen fórmulas para calcular de manera exacta el orden de un filtro FIR

✘ Una aproximación útil es la aproximación de Harris:

✗ f_s: Frecuencia de muestreo (Hz)

✗ Δ_f: Ancho de la banda de transición (Hz)

(67)

Resumen

1. Hallar la respuesta impulso ideal del filtro deseado, hallando la

transformada inversa de Fourier de su respuesta en frecuencia ideal.

2. Multiplicar esta respuesta por la función ventana escogida,

centrada en el origen

(68)

Ejemplo

✘ Diseñe, usando ventanas de

Blackmann y Hamming, un filtro FIR pasabajos de 15 coeficientes con _c = 0,3

✘ Se tenía la respuesta deseada

(69)

Ejemplo

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

-10 -5 0 5 10 -1200 1 2 3

(70)

Otras respuestas

✘ Pasaaltos

✘ Pasabanda

(71)

Implementación de

Filtros Digitales

(72)

Forma directa

✘ Ejemplo: Órden 3

(73)

Forma directa

(74)

Forma directa

(75)

Forma Directa I

(76)

Ejemplo

✘ Hallar la representación en Forma Directa I del sistema descrito por:

✘ Convertimos a potencias de z-1

(77)

(78)

Forma Directa II

✘ Los sistemas H₁ y H₂ se pueden

(79)

Forma Directa II

✘ Las líneas de

retardos

del medio tienen las mismas

entradas y salidas, se pueden

(80)

Ejemplo

✘ El

diagrama en Forma Directa II para el sistema

del

(81)

Formas en serie y

paralelo

✘ Una función de transferencia se puede expresar como la suma o producto de sistemas de orden menor

✘ Separar la función de transferencia en sistemas de orden 2 o 1

(82)

Ejemplo

✘ Encontrar una representación en serie para el sistema del ejemplo anterior.

(83)

Ejemplo

✘ Agrupar polos y ceros en sistemas de orden 1 o 2, teniendo en cuenta que los complejos conjugados DEBEN quedar juntos

(84)

(85)

Forma en paralelo

✘ Usando la suma de sistemas de orden 2 o 1

✘ La función de transferencia se puede dividir usando fracciones parciales y luego se vuelven a juntar los términos necesarios para obtener funciones de orden 1 o 2

(86)

Ejemplo

✘ Encontrar una representación en

paralelo para el sistema del ejemplo anterior.

(87)

Ejemplo

(88)