CONSTRUCCIONES MENTALES DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

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ISSN 2007-1957

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Ejemplar 18. Enero-Julio de 2018

CONSTRUCCIONES MENTALES DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE

UNA FUNCIÓN

Martha Patricia Jiménez Villanueva

Profesora Titular C

mpjvillanueva1972@gmail.com

Gelacio Castillo Cabrera

Profesora Titular C

gcastilloc@ipn.mx

María del Rosario Rocha Bernabé

Profesora Titular C

rosario.rocha@gmail.com

Escuela Superior de Cómputo, Instituto Politécnico Nacional

Resumen

En este trabajo se documentan las construcciones mentales que realizan los alumnos, sobre el concepto de límite de una función, mediante el desarrollo de prácticas de laboratorio y el uso del software Mathematica. Su desarrollo se determina por el diseño e implementación de la enseñanza que plantea el ciclo de investigación de la teoría APOE. El objetivo de esta investigación es aportar evidencias sobre cómo los alumnos construyen su comprensión del concepto de límite, cuyos resultados muestran la concepción de límite, como un Proceso complejo, ya que este no se construye solo mediante la repetición de Acciones que se interiorizan, sino que además, es necesario la coordinación de Procesos.

Palabras clave: Límite de una función, práctica de laboratorio, construcciones mentales, teoría APOE

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2 El estudio del concepto de límite en los

cursos de Cálculo es fundamental ya que en este descansan firmemente otros conceptos (continuidad, derivada, integral) y quizá también sea el más complejo.

Muchos autores han aportado evidencia de que el concepto de límite presenta dificultades para muchos estudiantes y reportan pocos éxitos en su comprensión, es así como Cottrill, et al., (1996), Páez Murillo (2004) y Jiménez Villanueva (2008), lo exponen.

En particular, el propósito de este trabajo es presentar los resultados obtenidos sobre las diferentes construcciones mentales que los alumnos tienen sobre el concepto de límite de una función, a través de prácticas de laboratorio y el uso del software Mathematica. Así mismo, el objetivo de la investigación es aportar evidencias sobre cómo el estudiante puede construir su comprensión de este concepto matemático.

Para desarrollar este trabajo, se ocupa como modelo, el propuesto por Cottrill, et al., (1996), en el que se describen las construcciones mentales que debería desarrollar un individuo para la construcción del concepto de límite de una función en un punto dado.

El desarrollo de este documento está estructurado en cinco secciones. En la primera, se realiza una descripción de los referentes teóricos que sustentan el desarrollo de este trabajo los cuales se configuran entorno a las

construcciones mentales que, desde el punto de vista de la teoría APOE (Arnon, et al., 2014), un estudiante desarrolla en la construcción de su conocimiento.

En la segunda sección se presentan los resultados de investigaciones centradas en el concepto de límite, donde se resaltan las dificultades de los estudiantes en la comprensión de este concepto. En la tercera sección se presenta a manera de ejemplo el diseño de una práctica de laboratorio para el aprendizaje del límite de una función a través de la metodología usada en su implementación. En la cuarta parte se presenta el análisis de los resultados. Finalmente, en la última sección se exponen algunas reflexiones sobre el trabajo realizado y la pertinencia de su continuación.

1 - La teoría APOE.

El desarrollo de esta investigación se sustenta en la teoría APOE (Arnon, et al., 2014), la cual se basa en la idea de abstracción reflexiva de Piaget extendida hacia la construcción del conocimiento matemático en estudiantes universitarios.

En los últimos años, se han publicado varios estudios centrados en conceptos de Cálculo que toman como marco de referencia la teoría APOE: límite (Cottrill, et al., 1996), derivada (Asiala, Cottrill, Dubinsky, & Schwingendorf, 1997), integral definida (Czarnocha, Prabhu, & Vidakovic, 2001), (Llinares, Estruch Fuster, & Boigues Planes, 2010).

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3 La teoría APOE proporciona un ciclo de

investigación (Arnon, et al., 2014) que integra tres componentes: 1) Análisis teórico, 2) Diseño e implementación de enseñanza y 3) Observación, análisis y verificación de datos. Estos componentes se muestran en el siguiente esquema.

Figura 1. Ciclo de enseñanza de la teoría APOE. [Esquema]. Tomado de: Arnon, I., Cottril, J.,

Dubinsky, E., Oktac, A., Roa-Fuentes, S., Trigueros, M., & Weller, K. (2014). APOS Theory

A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics Education. New York

Heidelberg Dordrecht London: Springer.

La repetición de este ciclo conduce, por un lado, a un refinamiento del análisis teórico, que permite obtener una descripción más detallada de la forma en que se construye un concepto matemático; y por otro lado, a una revisión del diseño de enseñanza como resultado de los datos empíricos que se obtienen en el desarrollo del tercer componente.

El propósito del análisis teórico de un concepto, es proponer modelos que pueden desarrollarse en la mente de un individuo cuando está tratando de aprenderlos. Este

modelo es conocido como descomposición genética preliminar del concepto, el cual es un conjunto estructurado de construcciones mentales que pueden describir, cómo el concepto puede ser construido (Arnon, et al., 2014).

Como resultado del desarrollo del ciclo de investigación planteado en la teoría APOE, se han propuesto modelos que describen cómo un concepto puede desarrollarse en la mente de un individuo, cuando está tratando de aprenderlo.

En particular, con respecto al límite, concepto que nos ocupa en este trabajo, para Cottrill et al., (1996), plantean un modelo preliminar e indican elementos que se deben considerar para su refinación con base en datos empíricos. De acuerdo con esta teoría, el desarrollo de la comprensión de un concepto inicia cuando el sujeto realiza acciones sobre objetos matemáticos previamente construidos, ya que estas son el medio para acercarse al objeto de conocimiento. Cuando el individuo reflexiona sobre estas acciones y logra hacerlas suyas en el sentido que toma consciencia del resultado de la acción, interioriza acciones en procesos.

Así mismo, cuando el individuo siente la necesidad de aplicar acciones sobre un proceso, necesita encapsularlo en objetos para operar con estos y, se espera que sean desencapsulados para regresar a los procesos de los cuales surgieron. Las interrelaciones que establece el individuo con otros conceptos dan lugar a la conformación de un esquema del concepto en cuestión.

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4 Para el desarrollo de este trabajo se considera

la descomposición genética planteada por Cottrill, et al., (1996), diseñada como resultado del desarrollo del primer componente del ciclo de investigación y se hace un acercamiento al desarrollo del segundo componente.

Una vez que se establece una descomposición genética preliminar, la teoría APOE propone el diseño de un modelo de enseñanza que siga el camino cognitivo señalado, de tal manera que los individuos puedan construir el concepto con base a los elementos descritos en el análisis teórico.

El enfoque pedagógico, propuesto en la Teoría APOE, para la implementación de la secuencia de enseñanza y aprendizaje, se denomina ciclo de enseñanza ACE el cual consta de tres componentes: actividades, discusión en clases y ejercicios.

Las actividades son sesiones en el laboratorio de cómputo. Su objetivo principal es que los alumnos obtengan experiencia con los problemas matemáticos que posteriormente se desarrollan en el salón de clase.

La discusión en clase se realiza en sesiones dentro del salón, donde los alumnos trabajan en pequeños grupos sobre las actividades realizadas en el laboratorio, para lo cual utilizan lápiz y papel. La función del profesor es por un lado, quien dirige la discusión diseñada para propiciar la reflexión de los alumnos sobre el trabajo hecho en el laboratorio y de lo que se hace en el salón, y por el otro, también les proporciona definiciones, explicaciones que se

entremezclan con preguntas cuyas respuestas son importantes, además, de aportar descripciones para unir las ideas planteadas.

Los ejercicios son tareas relativamente tradicionales, asignadas a los alumnos para trabajar fuera de las sesiones de laboratorio y de las sesiones de clase.

La idea de este enfoque pedagógico es que mediante actividades en computadora se apoya la activación de mecanismos mentales como la interiorización y la encapsulación, que conducen al desarrollo de construcciones mentales, como procesos y objetos.

La aplicación de cada ciclo de la secuencia de enseñanza proporciona una oportunidad para recoger datos. La fase de recolección y análisis de datos es crucial para las investigaciones basadas en la teoría APOE, ya que sin evidencia empírica, una descomposición genética permanece sólo como una hipótesis.

Así mismo, el modelo de enseñanza incluye actividades que los estudiantes desarrollan en grupos colaborativos, diseñadas para trabajar con el uso de un lenguaje de programación matemática. La frase “lenguaje de programación matemática” se refiere a un programa que satisface tres propiedades (Arnon, et al., 2014):

• La sintaxis cercana a la notación matemática formal

• La posibilidad de usar controles como If y, y For que pueden ser usados para realizar procedimientos matemáticos

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5 • Y la posibilidad de programar subrutinas

que pueden ser manipuladas y usadas como entradas de otros programas

En particular, el Software Mathematica satisface las propiedades que debe cumplir un lenguaje de programación matemática por tanto puede considerarse como tal y sus características lo hacen útil para propiciar la realización de construcciones mentales sugeridas en la descomposición genética propuesta por Cottrill, et al., (1996).

2 - Antecedentes teóricos.

En la literatura diversos autores coinciden en que los estudiantes presentan dificultades en la comprensión del concepto de límite en el contexto de funciones o en el de sucesiones y series (Hitt & Lara chavez, 1999), (Vinner, 1989), (Eisenberg & Dreyfus, 1991). Muchas de las dificultades encontradas cuando los alumnos tratan con otros conceptos, como continuidad, diferenciabilidad, integración, pueden estar relacionadas a sus dificultades con el concepto de límite (Orton, 1983).

De acuerdo con un estudio realizado por Hitt y Lara (1999) con profesores de una institución de enseñanza media, reportan que algunas de las dificultades de aprendizaje del concepto de límite se deben a la forma cómo se enseña. Por ejemplo, en la enseñanza tradicional de la matemática básica, se considera que hay un mayor nivel curricular cuando el contenido generalmente se desenvuelve en el registro algebraico, en consecuencia, se le exige al

alumno aprender algoritmos, para resolver los ejercicios rutinarios de límites.

Con relación a lo anterior, Vinner (1989) señala lo siguiente: los alumnos consideran que la demostración algebraica es, a pesar de todo, más matemática y más general, por tanto, es preferible tener la seguridad, que arriesgarse por la claridad, simplicidad, inmediatez, etc., de la demostración visual; además, puntualiza que los estudiantes frenan el aprendizaje con sentido y prefieren memorizar fórmulas y técnicas algebraicas porque consideran que es una receta efectiva para tener éxito en los exámenes estándares.

En este mismo sentido, Eisenberg y Dreyfus (1991) señalan que, aunque los beneficios de la visualización de conceptos matemáticos son frecuentemente defendidos, muchos estudiantes son reacios a aceptarlos; ellos prefieren el pensamiento algorítmico sobre el visual.

Por otro lado, Sierpinska (1985) analizó la dificultad de identificar la tangente como el límite de una secante variable, y con base en los resultados de una investigación clasificó los obstáculos en la comprensión de este concepto en cinco categorías:

1) Horror infiniti

2) Obstáculos ligados a la noción de función 3) Obstáculos geométricos

4) Obstáculos lógicos 5) Obstáculos simbólicos

Para continuar con esta investigación, Sierpinska (1985) parte de la hipótesis de que es

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6 necesario crear un conflicto cognitivo para que

un obstáculo sea eliminado, al respecto y con base en los resultados obtenidos, este autor reporta que ninguno de los estudiantes superó completamente los obstáculos, sin embargo, los conflictos cognitivos surgieron y esto podría ser un punto de partida.

Con respecto al primer obstáculo, Horror infiniti, Sacristán Rock (1988) consideró en su investigación los procesos infinitos con relación al conflicto que pueda surgir en la mente de los estudiantes en cuanto a si una sucesión infinita “tiende hacia algo”, ese algo es su límite y si es alcanzado o no. Entre los resultados obtenidos destaca lo siguiente: el límite es visto en general como un tope que no se puede rebasar, aunque se pueda alcanzar, pero además no necesariamente es conocido o está bien definido; las concepciones que los alumnos tienen del infinito en una expansión decimal infinita y son básicamente concepciones del infinito potencial.

Por otra parte, Cottrill, et al., (1996)con base a un análisis de la literatura centrada en el concepto de límite y en la observación de un grupo experimental, identifican elementos claves que se deben considerar para la comprensión de este concepto matemático. Como resultado, los autores proponen un modelo preliminar para comprender el límite, organizado en siete pasos, los cuales no necesariamente se siguen en el orden dado, más bien es en un ir y venir sobre estos pasos según, los estudiantes construyan este concepto.

1) La acción de evaluar f en un punto único x que es considerado cercano o incluso igual al valor de a.

2) La acción de evaluar la función en un número específico de puntos, cada punto sucesivo más cercano al valor de a (a es el punto donde se quiere calcular el límite).

3) Construcción de un esquema coordinado. 4) Interiorización del paso 2, con el fin de construir un proceso dominio en el cual, x se aproxima al valor de a. 5) Construcción de un proceso rango en el

cual, y se aproxima a L.

6) Coordinación de (a), (b) vía f. Esto es, la función f se aplica al proceso de x, aproximándose al valor de a para obtener el proceso f (x) aproximándose a L.

7) Realizar acciones sobre el concepto de límite, por ejemplo, hablar acerca del límite de composición de funciones. De esta forma el esquema 3, es encapsulado en un objeto.

8) Reconstruir el proceso del paso 3c en términos de intervalos y desigualdades. Esto se realiza introduciendo estimaciones numéricas de las aproximaciones, símbolos, 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 y |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.

9) Aplicar un esquema de cuantificación para conectar el proceso reconstruido en el paso 4, para obtener así, la definición formal del límite.

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7 10) Una concepción 𝜀 − 𝛿 aplicada a

situaciones específicas.

Con base en la descomposición genética propuesta por Cottrill, et al., (1996), en la siguiente sección se presenta el diseño de instrumentos para la enseñanza y el aprendizaje del concepto de límite de una función.

3 - Desarrollo: diseño de la enseñanza y

el aprendizaje del concepto de límite.

La práctica en clase con el tema del concepto de límite se realizó después de un mes de iniciado el ciclo escolar en la Unidad de aprendizaje Cálculo. Durante ese primer mes, se proporcionó entrenamiento sobre el software Mathemática, para lo cual se usó como espacio el laboratorio. Además se diseñaron seis prácticas que se realizaron en tres sesiones (dos prácticas por sesión) con duración de 90 minutos cada una, estas se centraron en los siguientes aspectos:

1

Nociones básicas (presentación del entorno del software con operaciones básicas)

2

Funciones matemáticas definidas en Mathematica y su sintaxis (algebraicas y trascendentes)

3

Uso del comando Plot para graficar funciones

4

Uso del comando Table para generar listas de elementos, por ejemplo, pares ordenados

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Uso del comando Manipulate el cual genera controles que permiten una manipulación interactiva de listas de diferentes tipos de datos por medio de parámetros (números, expresiones algebraicas, gráficas, etc.)

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Exploración de otros comandos del software como sumatorias, derivadas, límites e integrales

Los alumnos que participaron en el proyecto, pertenecieron a un grupo de la Unidad de Aprendizaje Cálculo (30 alumnos). Esta Unidad de Aprendizaje tiene como programación curricular, tres sesiones de clase a la semana, noventa minutos cada una, dentro de las cuales, una se realiza en el laboratorio de cómputo, el cual, cuenta con el software Mathemática instalado en cada computadora.

La estrategia pedagógica que se aplicó en este curso experimental está basada en el ciclo de enseñanza ACE, cuyos componentes anteriormente expuestos, se diseñaron del siguiente modo:

Actividades En el software Mathematica (diseñadas para hacer las construcciones mentales que se señalan en la descomposición genética propuesta por Cottrill et al., (1996).

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ISSN 2007-1957 Ejemplar 18. Enero-Julio de 2018 8 Discusión en el salón de clase

Se orienta a llevar a los alumnos a reflexionar sobre las actividades realizadas en la computadora y en los ejercicios extra clase. Ejercicios

extra clase

Para reforzar las ideas construidas por los alumnos.

Con el objetivo de delimitar el trabajo presentado en este documento, se hará referencia a las actividades propuestas para promover las construcciones mentales solicitadas en los tres primeros pasos de la descomposición genética planteada por Cottrill, et. al., (1996), para lo cual se desarrolló lo siguiente:

1) Investigar en Mathematica las aproximaciones. Los alumnos escriben, en el software un código para determinar lo siguiente:

a) Un conjunto de números que se aproximen al valor de a por su izquierda. b) El valor de la función en un valor de x

igual al valor de a.

c) Un conjunto de números que se resulta al evaluar la función en el conjunto obtenido en el inciso a).

Con este punto se buscó que los alumnos investigaran qué pasa con el valor de la función cuando el valor de x está muy cerca (por la izquierda) del valor de a, así como hacer predicciones.

2. Construir en Mathematica un valor al que se aproxima el límite. Los alumnos construyen un código con base al código escrito en el paso 1, que les permitiera investigar qué pasa con el valor de la función cuando el valor de x está muy cerca (por la derecha) del valor de a, así como, hacer predicciones.

Con lo anterior se esperó que los alumnos interiorizaran la acción de tratar con valores que incrementalmente se acercan al punto límite, tanto en el dominio como en el rango, al construir en Mathematica un código que pudiera dar sucesión finita de puntos en el dominio, que empezara en un punto x0

(apropiadamente elegido), y que se aproxime al valor de a. Además, pudiera evaluar una función dada en cada uno de los elementos de la sucesión finita del dominio.

3. Investigaciones gráficas. Los alumnos grafican diferentes funciones e investigan qué pasa en la gráfica de una función cuando x se acerca a un valor determinado, a. Esto, desde nuestro punto de vista, les permite establecer relaciones entre los conceptos de límite y continuidad de una función en un punto dado.

Por otra parte, respecto a la programación de la práctica en el laboratorio de cómputo, esta se realizó durante varias semanas; para cada semana se diseñó: una práctica de laboratorio, una lista de ejercicios 1 (extra-clase), discusión, una lista de ejercicios 2 (extra-clase).

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9 A continuación, se muestra a modo de

ejemplo, una práctica, una sección de la lista de ejercicios 1 y una situación que introduce la discusión en el salón de clase.

Figura 2. Castillo Cabrera, G. Jiménez Villanueva, M. P. Rocha Bernabé, M. del R. (2016). Práctica de

laboratorio.

En la figura 2 se presenta la primera práctica con la que trabajan los alumnos en el laboratorio. En esta se pide escribir un programa que genera un conjunto de valores que se acercan a un valor dado “a” por su izquierda, así como un conjunto formado por los valores de la función; para lograr esta actividad se utiliza el software Mathemática.

La intensión de esta actividad, es que el alumno identifique el valor al que tiende la función a medida que el valor de x se aproxima

al valor de “a” por la izquierda. Posteriormente, se pide reconstruir el programa para hacer un acercamiento al valor de “a” por la derecha y determinar el comportamiento de la función; además, determinar si la función está definida en x=a.

Después de la fase experimental se plantean ejercicios extra-clase para que los estudiantes ganen experiencia con funciones específicas. En estos se plantean por ejemplo, situaciones como las siguientes:

Investigar el comportamiento de las funciones en los puntos a=1, a=0 y a= -1

i) 𝑓5(𝑥) = 𝑥

|𝑥|

ii) 𝑓6(𝑥) = 𝑆𝑖𝑛 (1_𝑥)

iii) Sea 𝑓7(𝑥) = {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 < 1 −𝑥2_{𝑥 ≥ 1}

Para iniciar la discusión en el salón de clase se plantea una situación como la siguiente:

Para una llamada telefónica de larga distancia, un hotel hace un cargo de $ 9.00 por el primer minuto y de $ 1 por cada minuto o fracción adicional. Identificar con c(x) la función costo de la llamada, donde x representa el tiempo de la llamada.

Calcula los siguientes límites, si existen. a) 𝑙𝑖𝑚

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ISSN 2007-1957 Ejemplar 18. Enero-Julio de 2018 10 b) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3.5𝑐(𝑥)

4 - Análisis de resultados

A continuación, se presentan algunas respuestas comunes de los alumnos al trabajar con la situación planteada en la sesión de discusión. Se usa la notación P, para identificar al profesor y E para identificar la respuesta de los estudiantes.

1) Construcciones de acción

P: ¿Cuál es el límite de la función en x=3.5?

E: El límite es 12.

P: ¿Por qué crees que ese es el límite?

E: Porque primero construí una función por partes y al sustituir en la función veo que el valor de la función es 12, entonces el límite es 12.

Este es un ejemplo que se repite en varias situaciones en las cuales, algunos estudiantes reiteradamente muestran que su comprensión del límite de una función en un punto, significa el valor de la función en ese punto. Cuando estos estudiantes hablan acerca del límite en general, explícitamente hablan acerca de c(a) como el límite en a. Cuando la función no está definida en x=a señalan que el límite no existe. P: ¿Esto siempre pasa? o ¿Hay casos en los que no puedan evaluar?

E: Hay casos en los que no se puede evaluar porque la función no está definida. En ese punto y el límite no está definido. En este caso sí puedo evaluar.

P: ¿Qué significa que el límite no esté definido?

E: Bueno, quise decir que el límite no existe, porque la función no está definida.

P: Entonces, si la función está definida en x=a ¿el límite de la función es f(a)?

E: Si puedo evaluar, sí.

Algunos estudiantes hacen esto para otros valores, incluso para los puntos de salto, dado que pueden evaluar en esos puntos.

P: ¿Cuál es el límite de la función en x=3?

E: El límite es 11.

P: ¿Por qué es 11?

E: Porque la función evaluada en x=3 vale 11 y ese es su límite.

Hay estudiantes que evalúan en un único punto. En este caso, los estudiantes señalan que el límite de una función en un punto es el valor de la función evaluada en ese punto, si la función está definida ahí mismo. Estos estudiantes tienen una noción estática del límite de una función, por lo que piensan, que si la función no está definida en el punto entonces el límite no existe.

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11 P: ¿Qué pasa si la función no está definida

en el punto donde se quiere calcular el límite?

E: El límite no existe.

Así, para estos estudiantes, si el límite existe, debe ser el valor de la función evaluada en el punto.

2) Construcciones de proceso.

Algunos estudiantes empiezan con declaraciones similares a las que se mencionan en los extractos anteriores, posteriormente hay un cambio entre una evaluación estática y empiezan hacer una evaluación más dinámica, al evaluar en varios puntos.

En el siguiente extracto de la discusión, un estudiante, toma valores muy cercanos al valor de a, lo cual puede considerarse como la interiorización de una acción en un proceso de x acercándose al valor de a, por un lado y f(x) acercándose a un valor L.

E: Yo creo que el límite es 11 y 12. P: ¿Por qué crees que tiene dos límites?

E: Porque cuando evalúo en 3 el valor de la función es 11, pero cuando evaluó en valores cercanos a 3 el valor de la función es 12.

P: ¿Por qué en un caso evalúas en 3 y en otro caso te acercas a 3?

E: porque vi que en este caso si me acerco a tres por este lado (izquierda), el límite es el mismo que si evaluó en el punto. Si me acerco

por este lado (derecha) me acerco a 12, pero la función evaluada en 3 no es 12.

Si la función no está definida en el punto algunos estudiantes evalúan en punto cercanos al valor de a.

P: ¿Qué pasa si la función no está definida en el punto?

E: En ese caso tomo valores cercanos al punto, y veo que el límite seguiría siendo 11 y 12.

Esta explicación, da la pauta para pensar, que algunos estudiantes ven, el acercarse al valor de a por la izquierda y por la derecha, como dos procesos separados que les lleva a concluir que hay funciones que tienen dos límites.

Pocos alumnos parecen coordinar estos dos procesos, esto se evidencia cuando explican que si se acercan al valor de a por su izquierda y por su derecha el valor de la función se acerca a un valor único, como se muestra en el párrafo siguiente.

E: Si tengo una función que no está definida en x=a, por ejemplo 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥−1 no está

definida en x=1, si me acerco a uno por su derecha 1.5, 1.4, 1.3 la función se va acercando a 2 y si me acerco por su izquierda 0.5, 0.6, 0.7 la función también se va acercando a dos.

P: ¿qué significa eso?

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12 Para que estos alumnos vean un proceso

único, deben coordinarse con estos mediante el conector de conjunción “y” a fin de realizar una construcción proceso de dominio de una función, como un único proceso que le lleve a establecer |𝑥 − 𝑎| < 𝛿.

P: ¿Qué pasa en la situación de las llamadas en x=3?

E: Bueno, aquí [señala la gráfica de la función por partes] si me acerco por la izquierda de 3, el límite es 11, si me acerco por la derecha el límite es 12.

P: Entonces, ¿en x=3 la función tiene dos límites?

E: No, tiene un límite por la derecha y un límite por la izquierda.

P: Pero la pregunta es cuál es el límite en x=3, no el límite por la derecha o por la izquierda.

E: Lo que veo es que en esta función …, señala la función, 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥−1, el límite por la

derecha es igual al límite por la izquierda.

P: ¿Qué quieres decir?

E: Que los límites laterales son iguales y puedo hablar del límite en x=3.

P: ¿y si son diferentes?

E: No puedo hablar del límite en el punto.

5 - Reflexiones finales

En este trabajo se hace un primer acercamiento al desarrollo del segundo componente que plantea el ciclo de investigación de la teoría APOE. Es así que se diseñó una práctica de laboratorio con base a la descomposición genética del concepto de límite que plantean Cottrill et al., (1996). Con esto se intenta aportar evidencia de si los alumnos hacen las construcciones mentales sugeridas por la descomposición genética propuesta.

De acuerdo a los resultados se concluye que es necesario incluir en la descomposición genética planteada por Cottrill, et al., (1996), dos procesos: el “tiende por la izquierda” y el “tiende por la derecha”, que se coordinan para construir un proceso único.

Este análisis sugiere que la construcción de dominio como un proceso único es mucho más que un proceso, que es capturado por la interiorización de una acción. Su construcción implica la coordinación de dos procesos: “acercarse por la derecha de a”, “acercarse por la izquierda de a”, mediante el conector de conjunción “y”.

La construcción del proceso único “acercarse al valor de a” que incluye un acercamiento tanto

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13 por la derecha como por la izquierda,

relacionada con la noción de “desigualdad con valor absoluto”, lo que permite al estudiante dar sentido a la expresión |𝑥 − 𝑎| < 𝛿.

Por otro lado, se requiere la construcción de un proceso “rango” vía una función para identificar (si es posible) el valor al que se acerca la función, primero dependiendo si el acercamiento es por la derecha o por la izquierda del número a, dando lugar a dos nuevos procesos que se coordinan en un proceso único mediante el conectivo de conjunción, a fin de dar sentido a la expresión |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.

Finalmente, la falta de coordinación entre estos dos procesos conduce al estudiante a pensar en la existencia de dos límites.

Referencias.

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Sierpinska, A. (1985). Obstacle Epistemologiques, relatifs a la notion de limite. Recherches en Didactique des Mathematiques, 6(1), 5-67.

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14 Vinner, S. (1989). The Avoidance of Visual

Considerations in Calculus Students. Focus on Learning Problems in Mathematics,, 11(1), 149-156.

Este trabajo fue presentado en el XVII Simposium Internacional “Aportaciones de las Universidades a la Docencia, la Investigación, la Tecnología y el Desarrollo”, que se llevó a cabo del 28 al 30 de septiembre del 2016 en la Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas del Instituto Politécnico Nacional.