IMPLICACIONES DE IGNORAR LA CORRELACIÓN RIGIDEZ-RESISTENCIA EN EL DISEÑO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS CONFORMADAS POR MARCOS DE CONCRETO REFORZADO
José E. Barradas Hernández 1, Manuel F. Pinzón Beltrán, Hugo Castellanos Rosado y Gustavo Ayala Milián 2
RESUMEN
El objetivo del presente estudio fue mostrar las implicaciones de ignorar la correlación entre la rigidez a flexión y la resistencia de los miembros estructurales, en el análisis sísmico de estructuras conformadas por marcos rígidos de concreto reforzado diseñadas con base en las normas técnicas complementarias para diseño por sismo del 2004. Se muestra que dependiendo de la región en la que se ubiquen los periodos elásticos agrietados, el considerar la correlación puede resultar en una estructura con miembros más robustos y/o con mayor cuantía de refuerzo, o en una estructura con miembros más esbeltos y/o con menor cuantía de refuerzo.
ABSTRACT
Implications of ignoring the correlation between effective bending stiffness and strength of members, in the seismic analysis of reinforced concrete frame structures are shown. Frame structures are designed to meet the guidelines of Appendix A of the additional technical standards for seismic design of 2004. It is shown that depending on the spectral region where the cracked elastic periods are located, it may result in stronger and/or greater reinforced frame structures or thinner and/or less reinforced frame structures if this correlation is considered.
INTRODUCCIÓN
En las normas técnicas complementarias para diseño de estructuras de concreto de 2004, NTCDC-2004, se estipula, al igual que en muchas normas internacionales homólogas; que cuando el análisis sísmico de estructuras de CR se lleve a cabo por métodos de análisis elástico, como el PASBF; para tomar en cuenta la pérdida de rigidez en los miembros debida a su agrietamiento, sus rigideces se calculen con un momento de inercia efectivo constante de su sección transversal, Ieff, dado por la ec.1.
(1)
Donde k es una constante comúnmente menor a la unidad, e Ig es el momento de inercia geométrico o bruto de la sección transversal del miembro, sin considerar el efecto del acero de refuerzo.
Esta estipulación conlleva a que mediante la aplicación del PASBF se ignore; para el cálculo de la rigidez a flexión elástica efectiva de los miembros de CR, la correlación entre dicha rigidez y la resistencia de los miembros, como se discute a continuación. Smith y Tso, 2002 observaron que el considerar que Ieff es constante, implica que el momento flexionante resistente, Myn, de una sección de CR con un peralte dado, será proporcional a su curvatura de fluencia, φyn, como se observa en la fig. 1a. Esta figura muestra las relaciones momento-curvatura, m-φ, idealizadas como curvas bilineales, de tres secciones de CR con diferentes Myn, que representan la relación entre Myn y φyn previamente descrita. Resultados de estudios
1
Investigador, Instituto de Ingeniería, Universidad Veracruzana, Av. S. S. Juan Pablo II S/N, Zona Universitaria, Fraccionamiento., Costa Verde, 91294, Boca del Río, Ver., e-mail: [email protected]
2 Posgrado de Ingeniería Estructural, Instituto de Ingeniería, UNAM, Coordinación de Mecánica aplicada. Circuito Escolar, Ciudad Universitaria, Coyoacán, 04510, México D.F, e-mail [email protected]; [email protected]; [email protected]
experimentales y numéricos (Priestley, 1998; Smith y Tso, 2002), muestran que secciones de CR que tienen un peralte dado y cuantías de refuerzo longitudinal a tensión, ρl, y compresión, ρl’, y magnitudes de carga axial, P, dentro de intervalos de valores usuales de estructuras convencionales; sus φyn exhiben una pequeña variación y por lo tanto se pueden considerar aproximadamente constantes. Esto implica que su rigidez a flexión elástica efectiva, EIeff, donde E es el módulo de elasticidad del concreto; es proporcional a su Myn, como se muestra en la fig. 1b.
φyn1 Momento Curvatura Myn1 Diagramas m-φ idealizados Myn2 Myn3 EIeffconstante φyn2
φyn3 φyn≈ constante
Momento Curvatura Diagramas m-φ idealizados 1 1 Myn2 Myn3 EIeff2 EIeff3 EIeff1 1 Myn1
a). EIeff constante, φyn y Myn proporcionales.
b). φyn aproximadamente constante,
EIeff y Myn proporcionales.
Figura 1 Relaciones entre las propiedades EIeff, Myn y φyn de secciones de CR para el análisis sísmico de estructuras a). Supuesta, b). Real
Con la finalidad de estimar con mayor precisión por medio de análisis elásticos los efectos de segundo orden en estructuras de CR, el reglamento ACI-318-11 (ACI-318, 2011), indica calcular con mayor aproximación los Ieff de columnas y vigas por medio de ecuaciones algebraicas que son función de algunos de los parámetros que mayor influencia tienen en los valores de Ieff. Estos parámetros son: ρl, ρl’, la magnitud de P normalizada por el producto Agf´c es decir; P/Agf´c, la relación de excentricidad, e/h, de la P aplicada, donde h es el peralte de la sección transversal del miembro, la resistencia a compresión del concreto, f´c, la forma (sección rectangular o sección T) y relación de aspecto, b/h, de la sección transversal, donde b es la base de la sección.
La estimación de los Ieff por medio de ecuaciones algebraicas permite considerar la correlación entre EIeff y Myn, e implica que la aplicación del PASBF sea iterativa, ya que la EIeff de un miembro se calcula a partir de los valores conocidos de; por ejemplo, la ρl y P necesarias para suministrarle la Myn requerida; la cual se obtuvo a su vez, de un análisis estructural elástico-lineal en el que se consideró cierto valor de la EIeff. Cabe mencionar además que el ACI-318-11 no indica las modificaciones que se deben hacerse al PASBF para considerar la correlación entre EIeff y Myn; así como también, que las ecuaciones algebraicas indicadas por dicho reglamento para el cálculo de los Ieff, tienen la limitante; en el caso de vigas; de que solo pueden usarse para el análisis sísmico de la estructura en el ELF, ya que el valor del Ieff está asociado al momento flexionante correspondiente a la fluencia incipiente del refuerzo longitudinal a tensión. Las ecuaciones indicadas por el ACI-318-11 para estimar el Ieff de las columnas se pueden utilizar para el análisis sísmico de la estructura tanto en el ELS como en el ELF, ya que el valor del Ieff está asociado a cualquier magnitud de las fuerzas internas dentro del intervalo de comportamiento elástico de una columna.
El objetivo del presente estudio fue mostrar las implicaciones de ignorar la correlación entre EIeff y Myn en el diseño sísmico de estructuras conformadas por marcos rígidos de CR. Para lograr el objetivo, primero se modificó el PASBF, lo que resultó en un PASBFM; de tal forma que pudiera considerar la correlación entre EIeff y Myn, y aplicarlo al diseño sísmico de estructuras de CR de acuerdo a los lineamientos del AA de las NTCDS-2004. Para desarrollar el PASBFM se revisaron diversos estudios sobre propuestas para la estimación del Ieff de miembros de CR para su uso en el análisis sísmico de estructuras en el ELS y en el ELF; y con base en ciertos criterios que se mencionarán posteriormente, se eligieron las propuestas más adecuadas. También, para desarrollar el PASBFM; por las razones que posteriormente se comentarán, se
consideró apropiado realizar el diseño de los miembros de acuerdo a los lineamientos del capítulo siete de las NTCDC-2004 -Marcos dúctiles-. Para mostrar las implicaciones de ignorar la correlación entre EIeff y Myn en el diseño sísmico de estructuras de CR se diseñaron cuatro marcos rígidos de CR ignorando en dos de ellos dicha correlación mediante la aplicación del PASBF, y considerándola en los otros dos marcos mediante la aplicación del PASBFM. De la comparación de los cuatro marcos diseñados se muestra que dependiendo de la región espectral en la que se ubiquen los periodos elásticos agrietados de una estructura, el considerar la correlación entre EIeff y Myn, resultará en una estructura con miembros más robustos y/o con mayor cuantía de refuerzo, o en una estructura con miembros más esbeltos y/o con menor cuantía de refuerzo.
ESTIMACIÓN SIMPLIFICADA DE LA PÉRDIDA DE RIGIDEZ EN MIEMBROS DE CR DEBIDA A SU AGRIETAMIENTO, EN LOS REGLAMENTOS ACI-318-11 Y NTCDC-2004
Debido a la baja resistencia a esfuerzos de tensión del concreto los miembros estructurales de CR se agrietan, incluso ante esfuerzos relativamente bajos como los impuestos por las cargas gravitacionales; lo que ocasiona que exhiban una pérdida de rigidez. Con la finalidad de considerar en los análisis sísmicos dicha pérdida, los actuales reglamentos de diseño internacionales indican asignar a los miembros un Ieff=kIg. Cada reglamento define el valor constante de k de acuerdo a distintos parámetros y aspectos que afectan la magnitud del Ieff, que en los casos específicos de los reglamentos ACI-318-11 y las NTCDC-2004 son el tipo de miembro y el estado límite de diseño, como se muestra en la tabla 1. Los Ieff indicados para el ELF corresponden al Myn de las secciones, y los Ieff indicados para el ELS corresponden a momentos flexionantes de menor magnitud, impuestos por la acción sísmica de diseño correspondiente al ELS.
Tabla 1 Comparación de los Ieff indicados por ACI-318-11 y las NTCDC-2004 para el análisis sísmico de estructuras conformadas por marcos rígidos de CR
Reglamento Tipo de miembro ELF ELS
ACI-318-2011 Vigas 0.35Ig 0.5Ig
Columnas 0.70Ig Ig
NTCDC-2004 Vigas 0.50Ig 0.50Ig
Columnas Ig Ig
El ACI-318-11 indica dos opciones para calcular los Ieff a considerar en el análisis sísmico de estructuras. Los Ieff para la primera opción son los valores numéricos constantes mostrados en la tabla 1, los cuales se tomaron de un estudio realizado por Hage y Macgregor (1974); y cuyo uso se recomienda solo para la estimación de las deformaciones laterales de la estructura debidas a las acciones sísmicas de diseño. Estos autores propusieron los siguientes Ieff para columnas, Ieffc, y para vigas, Ieffv, en el ELF.
(2a) (2b)
donde 0.875 es un factor de reducción que toma en cuenta la variabilidad en los desplazamientos laterales predichos, resultante de las simplificaciones en el modelo de la estructura. Para el ELS, Hage y Macgregor (1974) consideran que el factor de reducción debería ser unitario, y que el Ieff de los miembros puede ser tomado como 1.25 veces los correspondientes al ELF. Estas consideraciones conducen a:
(3a) (3b)
En la tabla 1 se observa que las NTCDC-2004 no hacen distinción entre el Ieff a usar en cada uno de los estados límite de diseño, y que los Ieff estipulados por esta norma, son los que indica el ACI-318-11 para el ELS. Debido a lo anterior, la aplicación de los lineamientos de las NTCDC-2004 para calcular la rigidez efectiva de los miembros de CR en el ELF, conducirá a una sobrestimación de la rigidez lateral de la
estructura en este estado límite y a una correspondiente subestimación de las demandas de deformación lateral, mediante las cuales; como es conocido, se pretende limitar el daño en los miembros estructurales.
IMPLICACIONES DE IGNORAR EN EL ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS DE CR LA PÉRDIDA DE RIGIDEZ EN SUS MIEMBROS DEBIDA A SU AGRIETAMIENTO
Es importante caracterizar adecuadamente la pérdida de rigidez por agrietamiento en los miembros de CR, ya que los Ieff considerados afectarán las magnitudes de los periodos de vibración elásticos agrietados y sus correspondientes formas modales, que son las propiedades dinámicas utilizadas para el análisis sísmico de una estructura. De estas propiedades dependen la magnitud y distribución de: (1) El cortante basal de la estructura y las fuerzas laterales de inercia, a partir de las cuales se calculan las fuerzas internas de diseño de los miembros estructurales, y (2), las distorsiones de entrepiso, que es el índice de desempeño mediante el cual los reglamentos de diseño sísmico controlan la magnitud del daño en elementos estructurales y no estructurales.
Una práctica común y errónea que realizan muchos ingenieros estructurales profesionales en México es ignorar la pérdida de rigidez en miembros de CR debida a su agrietamiento, al considerar que Ieff= Ig en todos los miembros (Muriá Vila et al., 1997). Los autores del presente estudio investigaron tanto en el Distrito Federal como en algunas ciudades de provincia, los argumentos con los que los ingenieros justifican esta práctica y los cuatro principales son los siguientes: (1) Desconocimiento de los lineamientos reglamentarios en este aspecto. (2) Si al ignorar la pérdida de rigidez por agrietamiento se obtienen periodos elásticos no agrietados que son menores que los elásticos agrietados, de tal forma que con esto se logre que los primeros se ubiquen en la en la meseta del espectro de diseño de seudoaceleración y no en la rama descendente; se obtendrán fuerzas sísmicas de diseño mayores, lo que resultará en un diseño “conservador”, esto es; del lado de la seguridad, en cuanto a resistencias. Cabe mencionar que algunos ingenieros no están conscientes de este aspecto, y consideran que al ignorar la pérdida por rigidez siempre obtendrán diseños conservadores. (3) Debido a que comúnmente, por simplicidad, las secciones transversales de las vigas se modelan como rectangulares, al ignorar la pérdida de rigidez se trata de compensar la contribución de la losa (patín de las vigas T) al Ieff. (4) En el diseño de estructuras no es adecuado considerar que los miembros exhiben alguna pérdida de rigidez, ya que no se han sometido a la acción de ningún sismo, y por lo tanto no exhiben daño residual.
En relación al segundo argumento, se debe observar que el diseño por rigidez de una estructura; que es la limitación de la máxima distorsión de entrepiso demandada al valor de la permisible, es el más importante y es; de hecho, el que se realiza primero. Para que el diseño por rigidez sea apropiado, es primordial caracterizar adecuadamente la pérdida de rigidez por agrietamiento en los miembros de CR. Una vez realizado el diseño por rigidez de la estructura, se procede a diseñar por resistencia sus miembros. En relación al cuarto argumento, se debe observar en primera instancia, que debido a que el análisis que se realiza es elástico; la pérdida por rigidez a considerar en los miembros que indican los lineamientos reglamentarios es, en principio, solo por agrietamiento, no por daño residual debido sismos ocurridos anteriormente, ya sea que éstos hayan hecho que la estructura respondiera elástica o inelásticamente. Además, cuando una estructura nueva se sujeta a la acción de un sismo que le impone solo demandas de deformación elásticas, y se desarrollan las demandas de resistencia en sus miembros estructurales, éstos exhibirán instantáneamente una pérdida de rigidez solo por agrietamiento, proporcional a las demandas de resistencia. Si la estructura no es nueva, y sujeta a la acción de un sismo que le impone también solo demandas de deformación elásticas, la pérdida rigidez que exhiban los miembros se deberá tanto a agrietamiento como a daño residual debido a sismos ocurridos anteriormente.
Para discutir, por simplicidad de exposición, las implicaciones de ignorar la pérdida de rigidez debida al agrietamiento, se hacen las siguientes consideraciones: (1) Las estructuras se diseñan para que su respuesta ante la acción sísmica de diseño sea elástica y, (2) La respuesta de las estructuras es dominada por la contribución del modo fundamental. Las acciones sísmicas de diseño consideradas se representan por medio de los espectros elásticos de diseño de seudoaceleración, Sa, y sus correspondientes espectros de desplazamiento, Sd, mostrados en la fig. 2; los cuales se estipulan en el AA de las NTCDS-2004 para tres sitios del Valle de México cuyos periodos dominantes del suelo, Ts, se indican. Se observa que en la primera región de los espectros de Sa, las ordenadas son crecientes, en la segunda región las ordenadas son constantes
(meseta del espectro), y en la tercera región las ordenadas son decrecientes. En las figs. 2a y 2b se puede notar que en sitios con Ts=0.5 s (suelo muy firme) y Ts=1.0 s (suelo firme); mientras que las ordenadas de la tercera región de los espectros de Sa decrecen con el periodo de vibración, T, las ordenadas en la misma región de los espectros de Sd en suelos con Ts=0.5 s se incrementan ligeramente, fig. 2a, y en suelos con Ts=1.0 s se mantienen constantes, fig. 2b. En la fig. 2c se observa que en sitios con Ts=2.0 s (suelo blando), las ordenadas de la tercera región de los espectros de Sa y Sd decrecen con T.
Tuncr Tcr 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0 1 2 3 4 Sa/ g o Sd (m ) Periodo (s)
Espectros apéndice A, para un Ts=0.5 seg
Sa Sd Tuncr Tcr 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 0 1 2 3 4 Sa/ g o Sd (m ) Periodo (s) Espectros apéndice A, para un Ts=1.0 seg
Sa Sd Tuncr Tcr 0.00 0.30 0.60 0.90 1.20 1.50 1.80 0 1 2 3 4 5 Sa/ g o S d (m ) Periodo (s) Espectros apéndice A, para un Ts=2.0 seg
Sa sd
a). Sitio con Ts=0.5 s b). Sitio con Ts=1.0 s c). Sitio con Ts=2.0 s
Figura 2. Implicaciones de ignorar en el análisis sísmico la pérdida de rigidez en miembros de CR debida a su agrietamiento
Considérese una situación en la que con la finalidad de obtener un diseño conservador en cuanto a resistencias, un ingeniero ignora la pérdida de rigidez para obtener un periodo fundamental elástico no agrietado de la estructura, Tuncr, que se ubique cerca del final de la meseta del espectro de Sa en un suelo con Ts=0.5 s, y que no se ubique en la tercera región de dicho espectro, donde las ordenadas de Sa son menores que en la meseta, fig. 2a. Cuando actúe un sismo, la estructura desarrollará instantáneamente un periodo fundamental elástico agrietado, Tcr, el cual, por ser mayor al Tuncr; le corresponderá una ordenada de Sd mayor, y por lo tanto las demandas de deformación lateral de la estructura serán mayores a las estimadas en el diseño. De hecho, observando la forma de los espectros de Sa y Sd de este sitio, se puede inferir que en cualquiera de las tres regiones espectrales en las que se ubique el Tuncr se subestimaran las demandas de deformación lateral de la estructura, ya que el Sd siempre es creciente. Se puede inferir además, que al ubicarse el Tuncr cerca del final de la meseta del espectro de Sa, al ignorar la perdida de rigidez se diseñará una estructura con una resistencia mayor a la requerida. Por el contrario, en el caso de que el Tuncr se ubique cerca del final de la primera región del espectro de Sa (fig. 2b), al ignorar la perdida de rigidez se diseñará una estructura con una resistencia menor a la requerida. Se obtendrían resultados similares a todos los anteriores si la estructura a diseñar estuviera desplantada en un sitio con Ts=1.0 s (fig. 2b).
Si la estructura a diseñar se ubicará en un sitio con Ts=2 s (fig. 2c), y si el Tuncr se ubica cerca del final de la meseta del espectro de Sa, dependiendo de qué tan mayor sea el Tcr respecto al Tuncr, las demandas de deformación lateral estimadas en el diseño serán de ligera a moderadamente mayores a las que exhibirá la estructura, ya que en la tercera región del espectro de Sd las ordenadas son decrecientes. Debido a esto, se diseñará una estructura más rígida de lo necesario y la resistencia de la estructura también será mayor a la requerida. Más aún, si el Tcr se ubica en la tercera región del espectro de diseño, entre mayor sea su valor, menores serán el cortante basal y las deformaciones laterales de diseño, por lo que el considerar la pérdida de rigidez resultará en un diseño más económico.
REVISIÓN DE ESTUDIOS EXISTENTES EN LA LITERATURA TÉCNICA SOBRE LA ESTIMACIÓN DEL IEFF DE MIEMBROS DE CR PARA SU USO EN EL ANÁLISIS SÍSMICO DE
ESTRUCTURAS CONFORMADAS POR MARCOS RÍGIDOS
En esta sección se describen las consideraciones hechas en los estudios analíticos y experimentales más relevantes encontrados en la literatura técnica, sobre la estimación del Ieff de vigas y columnas de CR; para su uso en el análisis sísmico de estructuras en el ELS y el ELF.
Con base en los resultados de un estudio paramétrico realizado sobre diagramas m-φ teóricos de un número limitado de secciones rectangulares de vigas y columnas, Kunthia y Ghosh (2004) proponen ecuaciones algebraicas para calcular sus Ieff. Los Ieff de las vigas corresponden a la fluencia incipiente del refuerzo longitudinal a tensión, y los de las columnas están asociados a cualquier magnitud de las fuerzas internas dentro del intervalo de comportamiento elástico del miembro. Las ecuaciones propuestas por estos autores son las que recomienda el ACI 318-11. Kunthia y Ghosh (2004) investigaron la influencia que sobre los valores del Ieff de columnas y vigas tienen diferentes parámetros como son: ρl, ρl´, P/Agf´c, e/h, f´c, el espesor del recubrimiento del concreto ,r, distribución del acero de refuerzo longitudinal, b/h y la forma de la sección transversal (viga de sección rectangular o viga T). De los resultados de su estudio estos autores concluyen que los parámetros que mayor influencia tienen sobre el Ieff de columnas y vigas son, respectivamente: ρl, P/Agf´c y e/h, y ρl, b/h, f´c y la forma de la sección transversal en el caso de vigas.
Basados en resultados de un estudio paramétrico sobre una base de datos experimental que contiene 329 especímenes de columnas de CR con secciones circulares y rectangulares; Elwood y Eberhard, (2009) proponen ecuaciones algebraicas para calcular el Ieff de columnas, asociado a la fluencia incipiente del refuerzo longitudinal a tensión. Estos autores también investigaron la influencia que sobre los valores del Ieff de columnas tienen diferentes parámetros como: P/Agf´c,ρl, f´c, la relación del claro de cortante ,a, al diámetro o peralte de la sección transversal, D, es decir; a/D, la relación db/D, donde db es el diámetro de la barra del refuerzo longitudinal, la relación fy/f´c; donde fy es el esfuerzo de fluencia del refuerzo a tensión, y la longitud del miembro estructural, L. Los intervalos de valores en que variaron estos parámetros cubren los comúnmente encontrados en la práctica y son: P/Agf´c de 0.1 0.4, ρ de 0.01 a 0.04, fy de 380 a 580 MPa, db de 16 a 32 mm, L de 1000 mm a 4000 mm, peralte de la sección transversal del miembro de 400 a 800 mm y f´c de 20 a 80 Mpa. Una característica notable de este estudio es que para el cálculo del Ieff se consideraron además de las deformaciones por flexión, las debidas a cortante y las de deslizamiento del acero de refuerzo longitudinal. De los resultados de su estudio, estos autores concluyen que los parámetros que mayor influencia tienen sobre la EIeff, son: P/Agf´, ρl, L y f´c.
Con base en los resultados de un estudio analítico, Chan y Wang (2006) proponen ecuaciones algebraicas para calcular el Ieff de columnas y vigas de CR de sección rectangular. Estas ecuaciones son función de los momentos de inercia no agrietado, Iuncr, y agrietado, Icr, de la sección transversal crítica del miembro, del momento flexionante de agrietamiento de la sección transversal crítica, Mcr, y de los momentos flexionantes actuantes en las secciones extremas de los miembros estructurales, Ma y Mb. El Mcr incluye la influencia que sobre los valores del Ieff tienen los siguientes parámetros: ρl, ρ’l y h/b. Dado que las expresiones propuestas por estos autores están en función de la magnitud de los momentos actuantes, se pueden utilizar para el análisis sísmico de estructuras en ambos estado límite de diseño.
SELECCIÓN DE ECUACIONES PARA CALCULAR EL IEFF DE MIEMBROS DE CR PARA SU USO EN EL ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
ECUACIONES PARA EL ANÁLISIS SÍSMICO EN EL ELF
De acuerdo con Uang, 1991, al aplicar el PASBF para realizar el análisis sísmico de la estructura en el ELF, ésta se encuentra aproximadamente en el límite de su comportamiento elástico. Debido a esto, el Ieff de los miembros más demandados debe corresponder a dicho estado, y la pérdida que rigidez que exhiben se debe solo al agrietamiento. Puesto que en el presente estudio el diseño estructural de los miembros se llevará a cabo siguiendo los lineamientos del capítulo siete de las NTCDC-2004, en el cual se estipula; entre varios aspectos, que los extremos de todas las columnas, a excepción de los extremos inferiores de las columnas de la base y los extremos superiores de las columnas del entrepiso superior; se diseñen aplicando los criterios de diseño por capacidad, la respuesta de las columnas diseñadas por capacidad estará por debajo de su límite elástico. De acuerdo con lo anterior, los miembros más demandados serán las columnas de la base y las del entrepiso superior, así como las vigas de algunos entrepisos inferiores, y solo éstos estarán en el límite de su comportamiento elástico en el análisis sísmico para el ELF. El resto de las vigas estarán cierto grado por debajo de su límite de comportamiento elástico; sin embargo, al igual que los reglamentos de diseño, en el presente estudio se considera, por simplicidad, que todas las vigas estarán en dicho límite en el análisis sísmico para el ELF
Para calcular el Ieff de las columnas cuyos extremos se diseñaron aplicando los criterios de diseño por capacidad, se usó la ec. 4 propuesta por Kunthia y Ghosh (2004), ya que el Ieff está asociado a cualquier magnitud de las fuerzas internas del miembro dentro de su intervalo de comportamiento elástico.
(4)
donde Po es la carga axial a compresión pura. Los restantes parámetros se definieron previamente.
Para calcular el Ieff de las columnas de la base y las del entrepiso superior se usó lo ec. 5 propuesta por Elwood y Eberhard (2009), la cual está asociada al inicio de la fluencia de refuerzo longitudinal.
(5)
Donde Ag=área gruesa de su sección transversal y εo=deformación unitaria a compresión del concreto en su esfuerzo máximo. Los restantes parámetros se definieron previamente.
Para calcular el Ieff de vigas rectangulares de concreto de resistencia normal, hasta 27.46 MPa, se usó la ec. 6 propuesta por Kunthia y Ghosh (2004), debido a que corresponde a la fluencia incipiente del refuerzo longitudinal a tensión.
(6)
Dónde: (1.2-0.2b/d)≤1.0; y d es el peralte efectivo de la sección transversal del miembro.
Para calcular el Ieff de vigas con sección T, Kunthia y Ghosh, 2004 indican multiplicar el Ieff obtenido con las ec. 6, por el factor dado por el miembro derecho la ec. 7.
(7)
donde EIeffT=rigidez efectiva inicial de la viga T y tf es el espesor del patín. Los restantes parámetros se definieron previamente.
En la ec. 7 se observa que el máximo incremento del Ieff de una viga con sección T respecto al Ieff de una viga con sección rectangular es de 1.4. Las NTCDC-2004 estipulan que en vigas Ieff =0.5 Ig por lo que de acuerdo a la ec. 7: IeffT= 1.4 (0.5 Ig)=0.70Ig. Este valor es significativamente menor a IeffT= Ig, que es el que consideran algunos ingenieros al tratar de incluir la aportación del patín de una viga T al valor del Ieff de una viga rectangular.
ECUACIONES PARA EL ANÁLISIS SÍSMICO EN EL ELS
Para calcular el Ieff de las columnas se usó la ec. 4 propuesta por Kunthia y Ghosh (2004), debido a que el Ieff está asociado a cualquier magnitud de las fuerzas internas del miembro dentro de su intervalo de comportamiento elástico.
Para calcular el Ieff de las vigas se usó la ec. 8 propuesta por Chan y Wang (2006), dado que corresponden a magnitudes de los momentos flexionantes actuantes en las secciones extremas del miembro mayores o iguales a Mcr.
(8)
La aplicación de la ec. 8 es laboriosa, ya que se deben calcular los valores de Mcr, Iuncr e Icr de la sección transversal crítica mediante los procedimientos conocidos de la teoría del concreto reforzado. Para evitar esta labor numérica, los autores del presente estudio calcularon los diagramas m-φ; idealizados como bilineales, fig. 3, de un conjunto de secciones de vigas de CR con diferentes valores de los parámetros ρl, ρ’l y h/b, y a partir de los valores de Mcr, Iuncr, Icr, Ma y Mb obtenidos de dichos diagramas, fig. 3, obtuvieron unas ecuaciones algebraicas más sencillas de aplicar que la ec. 8. A continuación se describen las características de las secciones transversales de las vigas usadas, las consideraciones hechas para el modelado del comportamiento de los materiales y la obtención de los resultados.
Iguales áreas φyn Momento Mcr Curvatura Myn EIcr EIuncr Diagrama m-φ analítico Diagrama m-φ idealizado 1 1
Figura 3. Rigidez a flexión elástica efectiva, resistencia y curvatura de una sección transversal de CR
Se usaron vigas de sección rectangular con las dimensiones, relaciones de aspecto h/b, ρl y ρl', mostradas en las tablas 2 y 3, las cuales están comprendidas dentro de los límites especificados en las NTCDC-2004. El refuerzo longitudinal se distribuyó en dos capas únicamente, una en el lecho superior de la sección transversal y otra en el lecho inferior. Para cada sección de viga mostrada en la tabla 2 se consideraron diez pares de valores de ρl y ρl', lo que dio lugar a diez subsecciones para cada sección, como se muestra en la tabla 3, y cada una de las cuales tiene a su vez tres valores de la relación ρ'/ρ: 0.75, 0.85 y 0.95.
Tabla 2. Geometría de las secciones transversales
Sección Geometría Relación de aspecto (h/b) Ancho (mm) Peralte (mm) b2 300 450 1.5 b3 300 600 2.0 b4 300 750 2.5 b5 300 900 3.0
Tabla 3. Cuantías de refuerzo consideradas
Sub-secciones Cuantía de refuerzo a tensión ,ρl)
Relación cuantía de refuerzo a compresión/ tensión ,ρl’/ρl, 75% 85% 95% 1 0.00264 0.00190 0.00216 0.00248 2 0.00512 0.00369 0.00420 0.00482 3 0.00761 0.00548 0.00624 0.00715 4 0.01009 0.00727 0.00828 0.00949 5 0.01258 0.00906 0.01031 0.01182 6 0.01506 0.01084 0.01235 0.01416 7 0.01755 0.01263 0.01439 0.01649 8 0.02003 0.01442 0.01643 0.01883 9 0.02252 0.01621 0.01846 0.02116
10 0.02500 0.01800 0.02050 0.02350
Se utilizó concreto tipo I con una resistencia a compresión especificada f´c=24.517 MPa y con un módulo de elasticidad, Ec=14000√(f´c=) 21.408 GPa. El concreto del núcleo de las secciones se consideró como confinado y se usó el modelo de Kent y Park modificado (Park, 1982), para representar su comportamiento esfuerzo-deformación. El concreto del recubrimiento se consideró como no confinado y para representar su comportamiento esfuerzo-deformación se utilizó el modelo propuesto por Park, 1982. Los valores del módulo de elasticidad ,Es, del acero de refuerzo, de los esfuerzos y deformaciones unitarias que definen los diferentes puntos característicos de su curva esfuerzo-deformación, así como el modelo de ésta última; se tomaron del estudio realizado por Rodríguez y Botero (1996) para acero de refuerzo producido en México..
Se consideró que Ma y Mb tienen iguales valores de: Ma=Mb=0.75Myn, Ma=Mb=0.85Myn y Ma=Mb=0.95Myn; esto último con la finalidad de cubrir un intervalo considerable de valores de los momentos flexionantes demandados en el ELS. Debido a la naturaleza reversible de las demandas de resistencia que actúan en las secciones criticas de las vigas durante un sismo, las cantidades de refuerzo que se colocan en sus lechos superior e inferior comúnmente son diferentes. Debido a esto, los Iuncr, Icr, Mcr y Myn de la sección crítica obtenidos de los diagrama m-φ a momento negativo y a momento positivo tienen diferentes magnitudes. Teniendo en cuenta lo anterior, se aplicó la ec. 8 a cada cuarteto de los valores de estos parámetros obtenidos a momento negativo y positivo, con lo que se obtuvieron dos valores de EIeff: EIeff (-) y EIeff (+). El EIeff de la sección crítica es el promedio de EIeff (-) y EIeff (+). Los diagramas m-φ analíticos se calcularon con el programa Biax (Wallace y Moehle, 1989), y su idealización bilineal se llevó a cabo empleando el criterio de igual energía de deformación entre el diagrama m-φ analítico y el idealizado, como se muestra en la fig. 3. Lo anterior con el propósito de obtener valores de la resistencia, Myn, y curvatura, φyn, asociados a una fluencia significativa de la sección crítica. El punto final de los diagramas m-φ idealizados es el correspondiente a la deformación unitaria a compresión útil en el concreto, εc, cuyo valor es de 0.003.
Al realizar un análisis de regresión lineal sobre los resultados obtenidos se determinó que solo ρl tiene una influencia significativa sobre el Ieff de las vigas, por lo que se obtuvieron ecuaciones similares a la ec. 6. Además, debido a que en el presente estudio solo se consideró un valor de f´c=24.52 MPa, las ecuaciones resultantes solo serán aplicables para vigas cuyos que concretos tengan esta resistencia a compresión. Del análisis de regresión lineal sobre la variable ρl se obtuvieron las ecs. 9,10 y 11, para los valores de Ma=0.65Myn, Ma=0.75Myn y Ma=0.85Myn respectivamente. El coeficiente de variación asociado a las estimaciones del Ieff obtenidas en las tres ecuaciones, estuvo comprendido en un intervalo de ± 12%.
(9)
(10)
(11)
En la fig. 4 se muestran las gráficas de las ecs. 5, 6, 7, 9, 10 y 11 para el cálculo de la relación EIeff/EIg. En la fig. 4a se grafica la ec. 5 para las cargas axiales mínima, Pmin, y máxima, Pmax, correspondientes al valor mínimo, 0.1, y máximo, 0.4, estipulados por las NTCDC-2004 para la relación P/Agf´c; y para el intervalo de valores de ρl, comprendido del mínimo, ρl =1%, al máximo, ρl =4%. Se observa que incluso para Pmax y ρl =4%, la relación EIeff/EIg es ≈0.36, valor significativamente menor al indicado por las NTCDC-2004 para columnas de CR, el cual se muestra en la tabla 1.
Al realizar un análisis de regresión lineal sobre los resultados obtenidos se determinó que solo ρl tiene una influencia significativa sobre el Ieff de las vigas, por lo que se obtuvieron ecuaciones similares a la ec. 6. Además, debido a que en el presente estudio solo se consideró un valor de f´c=24.52 MPa, las ecuaciones resultantes solo serán aplicables para vigas cuyos que concretos tengan esta resistencia a compresión. Del análisis de regresión lineal sobre la variable ρl se obtuvieron las ecs. 9,10 y 11, para los valores de Ma=0.65Myn, Ma=0.75Myn y Ma=0.85Myn respectivamente. El coeficiente de variación asociado a las estimaciones del Ieff obtenidas en las tres ecuaciones, estuvo comprendido en un intervalo de ± 12%.
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.01 0.02 0.03 0.04 EIef f /EI g
Cuantía de refuerzo longitudinal
Formula Kenneth Pmín Pmax 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 EIef f /EI g
Cuantía de refuerzo longitudinal
Formula Kenneth Ecuación 6 Ecuación 9 Ecuación 10 Ecuación 11 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 60 70 80 90 EIef f T/EI g R Peralte de la sección (cm) Formula Kenneth
a). Ecuación 5 b). Ecuaciones 6,9,10 y 11 c). Ecuación 7
Figura 4. Graficas de las ecuaciones algebraicas para calcular la relación EIeff/EIg
En la fig. 4b se muestran la gráficas de la ecs. 6, 9, 10 y 11 en donde el límite inferior de ρl corresponde a un posible valor mínimo de uso en la práctica del diseño, y el límite superior corresponde a la ρl máxima indicada por las NTCDC-2004. Se observa que para una ρl≈0.014 el valor correspondiente de EIeff/EIg dado por la ec. 6 es igual al estipulado por las NTCDC-2004 para vigas, el cual se muestra en la tabla 1. Para ρl bajas, el valor de EIeff/EIg dado por la ec. 6 es significativamente menor al estipulado por las NTCDC-2004. Para ρl altas, la ec. 6 tiene como límite superior EIeff/EIg=0.6, valor ligeramente mayor al estipulado por las NTCDC-2004.
De la comparación de la gráfica de la ec. 6 con las gráficas de las ecs. 9, 10, y 11 mostradas en la fig. 4b, se observa que; como era de esperarse, para un mismo valor de ρl es mayor el valor de EIeff/EIg para el ELS que para el ELF. En la fig. 4c se muestra la gráfica de la ec. 7 para la sección transversal de una viga T, con b=300 mm y tf=120 mm. Se observa que el máximo valor permisible para el factor dado por la ec. 7 corresponde a una h/b=2, y que conforme se incrementa h/b, el valor del factor disminuye hasta a un mínimo de aproximadamente 1.25, que corresponde al valor máximo, h/b=3, que una viga puede tener de acuerdo a las disposiciones de las NTCDC-2004 para marcos dúctiles.
PASBF CONVENCIONAL Y PASBF MODIFICADO PARA CONSIDERAR LA CORRELACIÓN ENTRE LA RIGIDEZ ELÁSTICA EFECTIVA Y LA RESISTENCIA DE MIEMBROS DE CR En la fig. 5 se muestra el diagrama de flujo para la aplicación del PASBF convencional sugerido en las NTCDS-2004. En la fig. 6 se presenta el diagrama de flujo del PASBFM que permite considerar la correlación entre el Myn e EIeff de miembros estructurales de CR. Para la implementación de este procedimiento, la EIeff de las columnas se toman como el promedio de las calculadas con las envolventes mínima negativa y máxima positiva de las fuerzas de diseño. Se puede observar que la aplicación del PASBFM requiere de una gran labor numérica; sin embargo, el tiempo requerido para realizar dicha labor se puede reducir significativamente de la misma forma en la que se reducen actualmente en los despachos de cálculo estructural, el tiempo requerido para el diseño de estructuras: implementado en hojas de cálculo electrónicas tanto las fórmulas para el cálculo de los distintos conceptos, como algoritmos computacionales que automaticen la mayor parte de los procedimientos.
2. Proponer un dimensionamiento preliminar de las secciones transversales de los miembros estructurales
6. γmaxELF ≈ γpermisibleELF Y
γmaxELS ≈ γpermisibleELS
no
3. Asignar los momentos de inercia efectivos (Ieff) estipulados en el reglamento
4. Realizar un análisis de valores característicos a la estructura para obtener sus propiedades dinámicas
1. A partir del espectro elástico de diseño correspondiente al Estado Límite de Falla (ELF) calcular:
El espectro reducido por ductilidad y sobrerresistencia, función del valor prescrito del Q deseado y del factor de reducción de fuerzas sísmicas, Q´, asociado
El espectro elástico de diseño correspondiente al Estado Límite de Servicio (ELS)
5. Calcular por medio de un análisis modal espectral la distorsión de entrepiso máxima que presentará la estructura ante la acción sísmica de diseño asociada al ELF, γmaxELF, y ante la correspondiente al ELS, γmaxELS.
si
8. Diseño de los miembros estructurales en los que se deba presentar comportamiento inelástico
9. Diseño por capacidad de los miembros estructurales en los que no se deba presentar comportamiento inelástico
7. Modificar las secciones transversales de los miembros tratando de disminuir a un ±5% la menor diferencia entre:
γmaxELF y γpermisibleELF y γmaxELS y γpermisibleELS, es decir: Entre la máxima distorsión y la distorsión permisible del estado límite que rige el diseño.
2. Proponer un dimensionamiento preliminar de las secciones transversales de los miembros estructurales y asignarles los momentos de inercia efectivos (Ieff) estipulados en el reglamento
no
3. Realizar un análisis de valores característicos a la estructura para obtener una estimación de sus propiedades dinámicas
5. A partir de las cuantías de refuerzo y de los correspondientes elementos mecánicos impuestos a los miembros por las acciones sísmicas de diseño, obtener una nueva estimación de los respectivos Ieffa usar en el análisis sísmico para ambos estados límite.
9. Ieff´s inicialmente estimados
≈
±10% Ieff´s previamente
calculados
Si
10. Tomar como Ieff´s
los previamente
calculados
1. A partir del espectro elástico de diseño correspondiente al Estado Límite de Falla (ELF) calcular:
El espectro reducido por ductilidad y sobrerresistencia, función del valor prescrito del Q deseado y del factor de reducción de fuerzas sísmicas, Q´, asociado
El espectro elástico de diseño correspondiente al Estado Límite de Servicio (ELS)
4. Calcular por medio de un análisis modal espectral los elementos mecánicos impuestos a los miembros estructurales por las dos acciones sísmicas de diseño, y diseñar los miembros para resistir los correspondientes a la acción sísmica asociada el ELF.
6. Calcular por medio de un análisis modal espectral la distorsión de entrepiso máxima que presentará la estructura ante la acción sísmica de diseño asociada al ELF, γmaxELF, y ante la correspondiente al ELS, γmaxELS
7. γmaxELF ≈ γpermisibleELF Y
γmaxELS ≈ γpermisibleELS
no
si
8. Modificar las secciones transversales de los miembros y tomar como Ieff´s los
previamente calculados, tratando de disminuir a un ±5% la menor diferencia entre:
γmaxELF y γpermisibleELF y γmaxELS y γpermisibleELS, es decir: Entre la máxima distorsión y la distorsión permisible del estado límite que rige el diseño.
Fin del diseño
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Para mostrar las implicaciones de ignorar la correlación entre EIeff y Myn en la aplicación del PASBF, se diseñaron dos pares de marcos rígidos de CR. En un marco de cada par se ignoró dicha correlación y en el otro se consideró. A continuación se describen las características de los marcos estudiados y las consideraciones para su análisis y diseño sísmico.
Ejemplo 1 (marco E1). Se diseñó el marco ubicado en el eje C del edificio cuyas configuraciones en planta y elevación se muestran en la fig. 7. El sistema estructural del edificio es base de marcos rígidos de CR y se desplanta en un sitio con un Ts=1.2 s el cual es un suelo firme ubicado en la zona sísmica IIIa del Distrito Federal. El uso del edifico es para oficinas y debido a su sistema estructural y a su regularidad geométrica, en masas y en rigideces, cumple los requisitos para usar Q=4 o Q=3. Sin embargo, puesto que el edificio se ubica en un suelo del Valle de México con un Ts=1.2 s, se tomaron en cuenta las recomendaciones hechas por Barradas y Ayala 2015, y se optó por diseñar para un Q=2, pero aplicando para el diseño estructural de los miembros los lineamientos del capítulo siete -marcos dúctiles- de las NTCDC-2004. En la fig. 8 se muestran los espectros de diseño de Sa y Sd correspondientes al ELS y al ELF.
Para el análisis del marco se hicieron las siguientes consideraciones: El marco se analizó considerando los efectos de segundo orden e ignorando la interacción suelo-estructura. En las secciones de vigas se consideró la contribución de la losa, y la pérdida de rigidez en los miembros debida a su agrietamiento se tomó en cuenta asignado a sus secciones transversales los Ieff constantes estipulados por las NTCDC-2004; cuyos valores se muestran en la tabla 1, y con los cuales se ignora la correlación entre la rigidez a flexión elástica efectiva y la resistencia de los miembros estructurales. El factor de rigidez en las uniones viga-columna se tomó de 0.5. Las propiedades de los materiales consideradas para el análisis y diseño de la estructura son, para el concreto: concreto tipo I con f´c=24.517 MPa y E=14000√(f´c)=21.408 GPa, y para el acero un fy=411.879 MPa. En la tabla 4 se muestran las cargas muertas y vivas gravitacionales consideradas en los análisis sísmicos, las cuales se tomaron de las normas técnicas complementarias sobre criterios y acciones para el diseño estructural de las edificaciones del reglamento de construcciones para el distrito Federal del 2004. Las distorsiones de entrepiso permisibles, γperm, estipuladas en el AA de las NTCDS-2004 son, para el ELS: γpermELS=0.4% y para el ELF: γpermELF=3%. Los valores de estas distorsiones permisibles tienen los objetivos de limitar; para el ELS, el daño en los elementos no estructurales, y para el ELF, el daño en los miembros estructurales. El análisis de la estructura y el diseño estructural de sus miembros se realizaron con el programa ECO-GcW (Corona, 2003).
Marco analizado 3 2 1 4 5 6 7 A B C D F 3 2 1 4 5 6 7 1 2 3 8 9 10 4 5 Planta Elevación 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 400 300 300 300 300 300 300 300
Figura 7. Configuraciones en planta y elevación del edificio que contiene al marco estructural estudiado (dimensiones en milímetros)
Tabla 4. Cargas gravitacionales consideradas Cargas gravitacionales consideradas: (Pa)
Carga muerta en azotea= 4,903.32 Carga viva instantánea en azotea= 686.46
Carga muerta en entrepiso= 5,491.72 Carga viva instantánea en entrepiso= 1,765.20
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Sa/ g o Sd (m) Periodo (s)
Espectros apéndice A, para un Ts=1.2 seg
ELF_Sa ELF_Sd ELS_Sa ELS_Sd
Figura 8. Acciones sísmicas de diseño en los estados límite de diseño
Ejemplo 2 (marco E2). Se diseñó el marco E1 pero considerando la correlación entre la rigidez y la resistencia de los miembros estructurales.
Ejemplo 3 (marco E3). Se diseñó un marco con la misma geometría del marco E1, a excepción del número de niveles, que son seis. Las consideraciones para el análisis y diseño sísmico del marco E3 son iguales a las del marco E1.
Ejemplo 4 (marco E4). Se diseñó el marco E3, pero considerando la correlación entre la rigidez y la resistencia de los miembros estructurales.
Resultados
En la fig. 9 se muestran las relaciones Ieff/Ig de los miembros de cada marco calculadas en cada una de las iteraciones requeridas, para que la diferencia relativa entre los valores de los Ieff de dos iteraciones consecutivas este dentro de un intervalo de ±10%. De esta figura se pueden hacer las siguientes observaciones principales: (1) Las relaciones Ieff/Ig de las columnas de todos los entrepisos en ambos estados límite son menores a la estipulada en las NTCDC-2004. (2) Las relaciones Ieff/Ig de las vigas de los entrepisos inferiores e intermedios son ligeramente mayores a la estipulada en dicha norma en ambos estado límite, mientras que las de las vigas de los entrepisos superiores son ligeramente menores a la estipulada en la misma norma. (3) En ambos estados límite, las relaciones Ieff/Ig de las vigas y de las columnas tienden a decrecer desde los entrepisos inferiores hacia los entrepisos superiores. Considerando que las relaciones Ieff/Ig de vigas y columnas dependen, de entre varios parámetros, de la ρl; los resultados anteriores se deben al hecho de que las demandas de fuerza axial y de momento flexionante en los miembros estructurales de los diferentes entrepisos exhiben esta tendencia, y por lo tanto las ρl y las relaciones Ieff/Ig también la exhibieron.
Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 0.40 0.35 0.35 0.40 0.35 0.35 0.40 0.35 0.35 0.40 0.35 0.35 0.40 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.50 0.55 0.55 0.40 0.60 0.60 0.40 0.60 0.60 0.40 0.60 0.60 0.40 0.60 0.60 0.40 0.60 0.60 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.55 0.55 0.50 0.50 0.50 0.35 0.60 0.60 0.35 0.60 0.60 0.35 0.60 0.60 0.35 0.60 0.60 0.35 0.60 0.60 0.50 0.50 0.50 0.40 0.50 0.50 0.35 0.50 0.50 0.35 0.50 0.50 0.35 0.50 0.50 0.35 0.50 0.50 0.35 0.50 0.50 0.40 0.50 0.50 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.55 0.50 0.50 0.55 0.50 0.50 0.55 0.50 0.50 0.55 0.50 0.50 0.55 0.50 0.50 0.55 0.50 0.50 0.55 0.50 0.50 0.55 0.50 0.50 0.55 0.50 0.50 0.55 0.50 0.50 0.55 0.50 0.50 0.55 0.50 0.50 0.45 0.40 0.40 0.45 0.40 0.40 0.45 0.40 0.40 0.45 0.40 0.40 0.45 0.40 0.40 0.45 0.40 0.40 0.45 0.40 0.40 0.45 0.40 0.40 0.45 0.40 0.40 0.45 0.40 0.40 0.45 0.40 0.40 0.45 0.40 0.40 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30
1
2
3
8
9
10
4
5
6
7
0.35 0.35 0.35a). Marco E2 (ELF)
0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.80 0.70 0.70 0.80 0.70 0.70 0.80 0.70 0.70 0.80 0.70 0.70 0.80 0.70 0.70 0.80 0.70 0.70 0.80 0.70 0.70 0.80 0.70 0.70 0.80 0.70 0.70 0.80 0.70 0.70 0.80 0.70 0.70 0.80 0.70 0.70 0.65 0.60 0.60 0.65 0.60 0.60 0.65 0.60 0.60 0.65 0.60 0.60 0.65 0.60 0.60 0.65 0.60 0.60 0.65 0.60 0.60 0.65 0.60 0.60 0.65 0.60 0.60 0.65 0.60 0.60 0.65 0.60 0.60 0.65 0.60 0.60 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45 0.45
1
2
3
8
9
10
4
5
6
7
0.60 0.50 0.50 Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 0.70 0.60 0.60 0.70 0.60 0.60 0.70 0.60 0.60 0.70 0.60 0.60 0.70 0.60 0.60 0.60 0.50 0.50 0.60 0.60 0.60 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.60 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.60 0.60 0.60 0.40 0.40 0.40 0.40 0.70 0.70 0.70 0.70 0.40 0.70 0.70 0.70 0.70 0.40 0.70 0.70 0.70 0.70 0.40 0.70 0.70 0.70 0.70 0.40 0.70 0.70 0.70 0.70 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 b). Marco E2 (ELS)Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.50 0.50 0.35 0.37 0.40 0.35 0.37 0.40 0.35 0.37 0.40 0.35 0.37 0.40 0.35 0.37 0.40 0.35 0.50 0.50 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.45 0.55 0.60 0.45 0.55 0.60 0.45 0.55 0.60 0.45 0.55 0.60 0.45 0.55 0.60 0.45 0.55 0.60 0.50 0.55 0.60 0.50 0.55 0.60 0.50 0.55 0.60 0.50 0.55 0.60 0.50 0.55 0.60 0.50 0.55 0.60 0.50 0.48 0.54 0.50 0.48 0.54 0.50 0.48 0.54 0.50 0.48 0.54 0.50 0.48 0.54 0.50 0.48 0.54 0.45 0.37 0.40 0.45 0.37 0.40 0.45 0.37 0.40 0.45 0.37 0.40 0.45 0.37 0.40 0.45 0.37 0.40 0.35 0.26 0.26 0.35 0.26 0.26 0.35 0.26 0.26 0.350.26 0.26 0.35 0.26 0.26 0.35 0.26 0.26 0.35 0.26 0.26 0.35 0.26 0.26 0.35 0.26 0.26 0.350.26 0.26 0.35 0.26 0.26 0.35 0.26 0.26
1
2
3
4
5
6
0.35 0.35 0.35 c). Marco E4 en el ELF1
2
3
4
5
6
0.45 0.53 0.50 Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 0.60 0.64 0.65 0.60 0.64 0.65 0.60 0.64 0.65 0.60 0.64 0.65 0.60 0.64 0.65 0.45 0.53 0.50 0.40 0.58 0.56 0.65 0.70 0.70 0.65 0.70 0.70 0.65 0.70 0.70 0.65 0.70 0.70 0.65 0.70 0.70 0.40 0.58 0.56 0.40 0.40 0.40 0.40 0.60 0.65 0.40 0.60 0.65 0.40 0.60 0.65 0.40 0.60 0.65 0.40 0.60 0.65 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.65 0.80 0.85 0.65 0.80 0.85 0.650.80 0.85 0.65 0.80 0.85 0.65 0.80 0.85 0.65 0.80 0.85 0.75 0.80 0.85 0.75 0.80 0.85 0.750.80 0.85 0.75 0.80 0.85 0.75 0.80 0.85 0.75 0.80 0.85 0.75 0.70 0.80 0.75 0.70 0.80 0.750.70 0.80 0.75 0.70 0.80 0.75 0.70 0.80 0.75 0.70 0.80 0.65 0.56 0.60 0.65 0.56 0.60 0.650.56 0.60 0.65 0.56 0.60 0.65 0.56 0.60 0.65 0.56 0.60 0.55 0.40 0.43 0.55 0.40 0.43 0.550.40 0.43 0.55 0.40 0.43 0.55 0.40 0.43 0.55 0.40 0.43 0.45 0.33 0.40 0.45 0.33 0.40 0.450.33 0.40 0.45 0.33 0.40 0.45 0.33 0.40 0.45 0.33 0.40 d). Marco E4 en el ELSFigura 9 Relaciones Ieff/Ig calculadas en cada una de las iteraciones requeridas para que la diferencia relativa entre los valores de los Ieff de dos iteraciones consecutivas, este dentro un intervalo de ±5%
Debido a que los marcos analizados son de baja altura, su repuesta es dominada por la contribución del modo fundamental (aproximadamente el 90% de la masa reactiva corresponde a dicho modo), por lo que la discusión de la respuesta obtenida para cada marco se hará, por simplicidad, en referencia a su periodo fundamental elástico agrietado, Tcr, en ambos estados límite de diseño. En la tabla 5 se muestran los Tcr de los marcos en ambos estado límite de diseño, y en la tabla 6 las dimensiones requeridas para las secciones transversales de los miembros estructurales. En la fig. 10 se muestran los armados de las secciones trasversales extremas de los miembros estructurales para proporcionarles las resistencias de diseño. Los T1 y T2 del marco E1 se ubican un poco a la derecha del inicio de la tercera región de los espectros de diseño de Sa y Sd, fig. 11a. Debido a que los Ieff de las columnas y vigas de los entrepisos superiores del marco E2 en ambos estado limite, son significativamente menores a los respectivos Ieff del marco E1; los T3 y T4 del marco E2 se ubican a la derecha de T1 y T2, y por lo tanto les corresponden ordenadas de Sa y Sd menores, lo que resulta en una reducción de las demandas de resistencia y de deformación lateral. Debido a esto, los miembros del marco E2 requieren secciones transversales de menores dimensiones y menores cuantías de refuerzo que los miembros del marco E1.
Tabla 5. Periodos fundamentales elásticos agrietados, Tcr, de los marcos en los estados límite de diseño (en segundos)
Marco E1 Marco E2 Marco E3 Marco E4
ELF ELS ELF ELS ELF ELS ELF ELS
(T1) (T2) (T3) (T4) (T5) (T6) (T7) (T8)
1.47 1.47 1.82 1.53 1.15 1.15 1.24 1.02
Tabla 6. Dimensiones requeridas para las secciones transversales de los miembros
Marco E1 Marco E2 Marco E3 Marco E4
Nivel Dimensiones de las secciones (mm) Nivel Dimensiones de las secciones (mm) Nivel Dimensiones de las secciones (mm) Nivel Dimensiones de las secciones (mm) Columnas 1 a 10 900 x 900 1 a 10 800 x 800 1 a 10 750 x 750 1 a 10 750 x 750 Vigas 1 a 10 700 x 350 1 a 10 700 x 300 1 a 10 600 x 300 1 a 10 650 x 300 90 90 Columnas nivel 1 Refuerzo longitudinal 12#12+12#10,ρl=2.86% Estribos 3E4r4r#4@100-200mm 90 90 Columnas nivel 2 Refuerzo longitudinal 4#12+12#8,ρl=1.31% Estribos 3E4r4r#4@100-200mm 90 90 Columnas niveles 3 a 10 Refuerzo longitudinal 4#12+8#8,ρl=1.06% Estribos 3E4r4r#4@100-200mm a). Columnas marco E1
80 80 Columnas nivel 1 Refuerzo longitudinal 4#12+8#8,ρl=1.34% Estribos 3E4r4r#4@100-200mm 80 80 Columnas niveles2 a 10 Refuerzo longitudinal 4#10+12#6,ρl=1.03% Estribos 3E4r4r#4@100-200mm b). Columnas marco E2 75 75 Columnas nivel 1 Refuerzo longitudinal 8#10+16#8,ρl=2.57% Estribos 3E4r4r#4@100-200mm 75 75 Columnas niveles 2 a 6 Refuerzo longitudinal 12#8,ρl=1.08% Estribos 3E4r4r#4@100-200mm c). Columnas marco E3 75 75 Columnas nivel 1 Refuerzo longitudinal 12#8+4#10,ρl=1.65% Estribos 3E4r4r#4@100-200mm 75 75 Columnas niveles 2 a 6 Refuerzo longitudinal 12#8,ρl=1.08% Estribos 3E4r4r#4@100-200mm d). Columnas marco E4
Figura 10.Armados requeridos para proporcionar las resistencias de diseño a los miembros estructurales de los marcos en estudio
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Sa/ g o Sd (m ) Periodo (s)
Espectros apéndice A, para un Ts=1.2 seg
ELF_Sa ELF_Sd ELS_Sa ELS_Sd T1 y T2 T3 T4 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Sa/ g o Sd (m ) Periodo (s)
Espectros apéndice A, para un Ts=1.2 seg
ELF_Sa ELF_Sd ELS_Sa ELS_Sd T5 y T6 T7 T8
a) Marcos E1 y E2
b) Marcos E3 y E4
Figura 11. Ubicación de los Tcr de los marcos en los estados límite de diseño, en las regiones espectrales de las acciones sísmicas de diseño
Los T5 y T6 del marco E3 se ubican aproximadamente en la mitad de la segunda región de los espectros de diseño de Sa y Sd, fig. 11b. Debido a que los Ieff de las columnas y vigas de los entrepisos superiores del marco E4 en el ELF son significativamente menores a los respectivos Ieff del marco E3; el T7 del marco E4 se ubica a la derecha de T5 y T6, y por lo tanto le corresponden ordenadas de Sa iguales a las de T5 y T6, pero ordenadas de Sd mayores, lo que resulta en un incremento en las demandas de deformación lateral. Debido a esto, para limitar la máxima distorsión de entrepiso demandada al valor de la permisible, las vigas del marco E4 tienen un peralte ligeramente mayor que las vigas del marco E3. En la fig. 11b se puede observar que el periodo T8 del marco E4 es menor a T5 y T6. Esto se debe a que, aunque los Ieff de las columnas y vigas de los entrepisos superiores del marco E4 en el ELS son significativamente menores a los respectivos Ieff del marco E3, los Ieff de las vigas de los entrepisos inferiores e intermedios del marco E4 en el ELS, son significativamente mayores a los respectivos Ieff del marco E3. Este resultado sugiere que el impacto que tiene la rigidez de las vigas sobre el Tcr de un marco, es mayor al impacto de la rigidez de las columnas. Las cuantías de refuerzo de los miembros del marco E4 son ligeramente menores a las del marco E3
En la fig. 12 se comparan las máximas distorsiones de entrepiso demandas, γmax, en los marcos en ambos estados límite, con las respectivas γperm en cada estado límite. Debido a que la γmax en el ELS de los marcos E1, E2 y E3 presenta mayor similitud con γpermELS; respecto a su γmax en el ELF con γpermELF, la rigidez lateral de estos marcos fue regida por el ELS. Por el contrario, debido que la γmax en el ELF del marco E4 presenta mayor similitud con γpermELF; respecto a su γmax en el ELS con γpermELS, la rigidez lateral de este marco fue regida por el ELF. Por otra parte, debido a que en las NTCDC-2004 se estipula el mismo Ieff para los miembros en ambos estados límite, la rigidez lateral de una estructura y por lo tanto su Tcr, también son los mismos en ambos estados límite. Al Tcr del marco E1 le corresponden las siguientes ordenadas de Sd en el ELS y en el ELF: 67 mm y 152 mm, y al Tcr del marco E3: 43 mm y 97 mm. De acuerdo con los datos anteriores, el hecho de que el diseño del marco E1 fue regido por el ELS se debe a que, aunque la demanda espectral de desplazamiento en el ELF es: 152 mm/ 67 mm=2.268 veces la respectiva demanda en el ELS, la γpermELS es: 0.004/0.03=13.33% de la γpermELF, por lo que se requirió que la estructura tuviera mayor rigidez para cumplir esta última distorsión. Aplicando el mismo razonamiento se pueden explicar los resultados obtenidos para el marco E3.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% En tr episo Distorsión de entrepiso E1_ELF E2_ELF E1_ELS E2_ELS Permisible_ELF Permisible_ELS 0 1 2 3 4 5 6 0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% En tr episo Distorsión de entrepiso E3_ELF E4_ELF E3_ELS E4_ELS Permisible_ELF Permisible_ELS
a). Marcos E1 y E2 b). Marcos E3 y E4
Figura 12. Distorsiones de entrepiso de los marcos en los estados límite de diseño
Debido a que en los marcos E2 y E4 se consideró la correlación entre la rigidez y la resistencia de los miembros, su rigidez lateral en el ELS es mayor a su rigidez en el ELF, y por lo tanto no es sencillo establecer relaciones simples entre la rigidez de una estructura y sus demandas de deformación lateral; como en el caso de los marcos E1 y E3. En la primera iteración del PASBF modificado se les asigna a los miembros los Ieff estipulados en las NTCDC-2004, por lo que el diseño preliminar de los marcos E2 y E4 son similares al diseño de los marcos E1 y E3, respectivamente; los cuales fueron regidos por el ELS. De acuerdo con lo anterior, el hecho de que el diseño del marco E2 fue regido también por el ELS, se debió a que al ubicarse el T3 a la derecha del T4, las demandas de deformación lateral disminuyeron en mayor grado para el ELF que para el ELS, ya que ambos periodos se ubican en la tercera región de los espectros de diseño; en la cual las ordenadas de Sd son decrecientes. El hecho de que el diseño del marco E4 fue regido por el ELF, se debió a que la rigidez de la estructura en el ELS se incrementó significativamente; incluso llegando a ser mayor que la obtenida en la primera iteración, por lo que aunque los periodos T7 y T8 se ubican en la segunda región de los espectros de diseño; en la cual las ordenadas de Sd son crecientes, las demandas de deformación lateral en el ELS disminuyeron mientras que en el ELF se incrementaron.
CONCLUSIONES
En el presente estudio se mostraron las implicaciones de ignorar la correlación entre la rigidez a flexión elástica efectiva y la resistencia de los miembros estructurales, en el análisis sísmico de estructuras conformadas por marcos rígidos de CR, diseñadas para cumplir los lineamientos del AA de NTCDS-2004. Para esto, primero se establecieron las modificaciones que deben hacerse al PASBF; para considerar dicha correlación, lo que resultó en un PASBFM. Posteriormente se diseñaron cuatro marcos rígidos de concreto reforzado ignorando en dos de ellos dicha correlación mediante la aplicación del PASBF, y considerándola en los otros dos marcos mediante la aplicación del PASBFM. Con base en los diferentes aspectos discutidos y resultados presentados en este estudio, se puede concluir lo siguiente:
i. Dependiendo de si las ordenadas de Sa y Sd en las regiones espectrales en las que se ubiquen los Tcr inicialmente estimados para ambos estados límite, son crecientes, constantes o decrecientes; y de si las ordenadas de Sa y Sd en las regiones espectrales en las que se ubiquen los Tcr después de su alargamiento, o incluso acortamiento; son crecientes, constantes o decrecientes, el considerar la correlación entre la rigidez a flexión elástica efectiva y la resistencia de sus miembros resultará en una estructura con miembros más robustos y/o con mayor cuantía de refuerzo, o en una estructura con miembros más esbeltos y/o con menor cuantía de refuerzo. Estos aspectos repercutirán en el costo de la estructura.
ii. Debido a que al considerar la correlación entre la rigidez a flexión elástica efectiva y la resistencia de los miembros de una estructura de CR; se hace una mejor estimación de su rigidez lateral, se estimarán con mayor precisión sus demandas de deformación lateral en ambos estados límite, con lo que se lograría limitar adecuadamente el daño en elementos estructurales en el ELS y en los miembros estructurales en el ELF.
AGRADECIMIENTOS
Los tres primeros autores agradecen al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología la beca otorgada para la realización de sus estudios de posgrado. También se agradecen las observaciones y comentarios de Marco Escamilla y los revisores anónimos de este artículo.
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