- La energía potencial electrostática de una carga puntual es nula.

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1er_{EXAMEN PARCIAL. FÍSICA II. TEMAS 1 Y 2 (6/04/2016)}

RESOLUCIÓN

Cuestión 1.- Considérense las siguientes distribuciones de carga: (a) puntual;

(b) superficial uniforme, sobre una esfera de radio a; (c) volúmica uniforme en una esfera de ese mismo radio a. Ordenar, de mayor a menor, las energías electrostáticas de dichas distribuciones.

- La energía potencial electrostática de una carga puntual es nula. - Para una distribución de carga:



  espacio el todo 2 E ε 2 1 ρV 2 1 U dV dV volumen

El campo eléctrico creado por una distribución superficial uniforme distribuida en la superficie de una esfera de radio a es:

0 a) (r E    r r 3ε ρa a) (r E ^ 2 o 3   

El campo eléctrico creado por una distribución volúmica uniforme distribuida en una esfera de radio a es:

r 3ε ρr a) (r E ^ o    r r 3ε ρa a) (r E ^ 2 o 3   

De esta forma, para ambas distribuciones de carga, la integral a todo el espacio de E2_{dV contiene un término idéntico (desde r=a hasta}__{), y en el}

caso de la distribución volúmica de carga hay un término adicional (desde r=0 hasta r=a). Por tanto Udistribución volúmica > Udistribución superficial. Así:

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Cuestión 2.- Una esfera conductora de radio R tiene una carga Q. ¿Cuál de

los siguientes gráficos representaría mejor el campo eléctrico en función de la distancia r medida desde el centro de la esfera?

El campo eléctrico en el interior de un conductor es nulo. El campo en el exterior viene dado por:

0 R) (r E    r r 3ε ρR R) (r E ^ 2 o 3   

que depende inversamente de r2_{. Por tanto:}

Cuestión 3.- ¿Cúal de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) Si la longitud y sección transversal de un conductor se duplican, la resistencia no se altera.

b) Si la longitud del conductor se duplica y la sección transversal se reduce a la mitad la resistencia no se altera.

c) Si la longitud del conductor se reduce a la mitad y la sección transversal se duplica la resistencia no se altera.

d) La resistencia no depende del área del conductor sino de su resistividad.

La resistencia de un conductor depende de la resistividad del material (), de su longitud (L) y de su sección transversal (A), y viene dada por:

A L σ 1 A L ρ R  

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R A L σ 1 2A 2L ρ R'  

la resistencia queda inalterada.

- Si la longitud del conductor se duplica y la sección transversal se reduce a la mitad la resistencia cambia:

R 4 A L σ 1 4 A/2 2L ρ R'  

- Si la longitud del conductor se reduce a la mitad y la sección transversal se duplica la resistencia cambia:

R 4 1 A L σ 1 4 1 2A L/2 ρ R'  

Cuestión 4.- Tres resistencias iguales se conectan en serie. Cuando se aplica

una cierta diferencia de potencial a la combinación, ésta consume una potencia total de 10 W. ¿Qué potencia consumirá si las tres resistencias se conectan en paralelo a la misma diferencia de potencial?

Al conectar las tres resistencias en serie: Requiv = 3R. La corriente que

circulará por el circuito será:

3R ε R ε I equiv  

La potencia consumida será entonces:

W 10 3R ε εI P 2  

 (tal y como nos dicen)

Si conectamos las resistencias en paralelo, la Requiv. será: R 3 R 1 R 1 R 1 R' 1 equiv      R’equiv = R/3

La corriente que circulará por el circuito será:

R 3ε R/3 ε R' ε I' equiv   

La potencia consumida será entonces:

W 90 9.10 3R ε 9 R 3ε εI' P' 2 2     

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Cuestión 5.- Considérese un circuito serie RC en el cual R = 1 M, C = 5 F y

 = 30 V. La intensidad de corriente inicial en el circuito y la carga final en el

condensador son:

En un circuito serie RC, cuyo interruptor se cierra en t=0, la intensidad de corriente y la carga como función del tiempo (t) vienen dadas por:

t/RC e R ε I(t)        



t/RC



e 1 Cε q(t)   De forma que: Cε ) q(t , R ε 0) I(t          

Con los datos que nos dan:

I(t=0)=30/(1.106_)=30.10-6_{A = 30 µA}

q(t=)=5.10-6_.30=150.10-6_{C = 150 µC}

Cuestión 6.- Considérense las baterías (f.e.m.=para todas ellas y

resistencias (idénticas entre sí, de valor Rde los circuitos de las figuras.

Ordenar de menor a mayor la potencia suministrada por cada una de las baterías.

- En el el caso a) tenemos: ε-I_aR 0

de forma que la corriente que circula por el circuito (y por tanto por la batería) es:

R ε Ia 

y la potencia suministrada por la batería será entonces:

R ε εI P 2 a a   (a) (b) (c)

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- En el el caso b), tenemos: εε-IbR 0

de forma que la corriente que circula por el circuito (y por tanto por cada batería, ya que están en serie) es:

R 2ε Ib 

y la potencia suministrada por cada batería será entonces:

R 2ε εI P 2 b b  

- En el el caso c), tenemos dos baterias iguales en paralelo, de forma que la diferecia de potencial entre sus extremos es la misma (), pero la corriente que circule por la resistencia se bifurcará en dos, Ic/2, por cada batería. Así:

0 R I

ε c 

de forma que la corriente que circula por la resistencia es:

R ε I_c 

y por tanto la corriente que circula por cada batería es:

2R ε 2 /

I_c 

y la potencia suministrada por cada batería será entonces:

2R ε 2 I ε P 2 c c   Así: Pb > Pa > Pc Problema

Una corona esférica, a < r < b, contiene una densidad de carga  = C/r (donde

C es una constante). En el centro de la cavidad (r = 0) se encuentra una carga puntual q. Determinar el valor de C para que el campo eléctrico en la región a < r < b tenga magnitud constante.

Podemos plantear el problema de dos formas, totalmente equivalentes: Primera opción: Tenemos dos “distribuciones” de carga, una es una carga puntual q (1) y otra es una corona esférica de densidad volúmica =C/r (C=cte) (2). Por el principio de superposición, el campo eléctrico en cualquier punto del espacio será la suma de los campos eléctricos de cada distribicuón de cargas, donde:

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- Carga puntual r r ε 4π q ) r ( E ) r ( E ^ 2 o 1 punt. carga      

(es radial e inversamente proporcional a r2_).

- Corona esférica (a < r < b). Debido a la simetría, el campo eléctrico de esta distribuc. volúmica será radial:

^ 2 2 volúm. distrib. (r) E (r) E (r)r E      

por lo que podemos aplicar de forma sencilla la ley de Gauss.

Determinemos el campo en puntos a < r < b. Escogemos para aplicar la ley de Gauss, dada la simetría radial, una superficie cerrada que sea una esfera de radio r: o enc 2 2 S 2 o enc S 2 ε Q r (r).4π E dA (r) E ε Q dA E  



 



  

La carga encerrada por la esfera escogida para aplicar la ley de Gauss la calculamos integrando la densidad de carga en el volumen donde hay carga:



        r a 2 enc 4πr dr r C ρ Q dV

donde =C/r es radial, por lo que escogemos como elementos de integración (dV) coronas esféricas de radio r y espesor dr. Así:



2 2



2 2 2 r a enc 2πCr a 2 a 2 r 4ππ 2 r C4π rdr C4π Q _                  

_

r a Así: a b r r C ρ superficie cerrada para aplicar la ley

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





 



2 o 2 o 2 o 2 2 o 2 2 o 2 2 2 o 2 2 2 o 2 2 2 2 r ε 2 Ca ε 2 C r ε 2 Ca r ε 2 Cr r ε 2 a r C r ε 4π a r C 2π (r) E ε a r C 2π r (r).4π E            

Habiendo determinado el campo eléctrico de la carga puntual y de la corona esférica, aplicando el principio de superposición, tenemos:

) r ( E ) r ( E ) r ( E ) r ( E ) r (

Etotal cargapunt. distrib. volúm 1 2

             

Y en concreto, referido a puntos a < r < b, teniendo en cuenta que como vectores ambos campos son radiales, el módulo del campo total es:

b) r (a r ε 2 Ca ε 2 C r ε 4π q ) r ( E ) r ( E ) r ( E ₂ o 2 o 2 o 2 1 total             

En esta expresión de E(r) hay un término cte (C/2o) y dos términos (uno

positivo y otro negativo) que dependen inversamente de r2_{. La única forma de}

que la expresión total sea cte es que estos dos términos se cancelen entre sí:

2 2 2 o 2 2 o a 2π q C 0 Ca 2π q 0 r ε 2 Ca r ε 4π q        

El valor de C (cte) que hace que el campo eléctrico para puntos a < r < b sea constante es: 2 a 2π q C

(C depende de los parámetros dados, en concreto de q y a, y es en efecto cte).

Segunda opción: Tenemos dos “distribuciones” de cargas, una es una carga puntual q y otra es una corona esférica de densidad volúmica =C/r (C=cte). Por la simetría del problema, el campo eléctrico total en cualquier punto del espacio será radial:

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^ r E(r) ) r ( E   

por lo que podemos aplicar de forma sencilla la ley de Gauss.

Determinemos el campo eléctrico total en puntos a < r < b. Escogemos para aplicar la ley de Gauss una superficie cerrada que sea una esfera de radio r: o enc 2 S o enc S ε Q r E(r).4π dA E(r) ε Q dA E  



 



  

La carga encerrada por la esfera escogida para aplicar la ley de Gauss contiene a la carga puntual q y la densidad volúmica de carga, donde la carga encerrada por esta última la calcularíamos igual que antes, integrando la densidad de carga en el volumen donde hay carga:







             r a 2 2 2 enc 4πr dr q 2πCr a r C q ρ q Q dV Así:













2 o 2 o 2 o 2 o 2 2 o 2 2 o 2 o 2 2 2 o 2 o 2 2 o 2 2 2 r ε 2 Ca ε 2 C r ε 4π q r ε 2 Ca r ε 2 Cr r ε 4π q r ε 2 a r C r ε 4π q r ε 4π a r C 2π q E(r) ε a r C 2π q r E(r).4π                  

Este es el campo eléctrico total para puntos a < r < b. En esta expresión de E(r) hay un término cte (C/2o) y dos términos (uno positivo y otro negativo)

que dependen inversamente de r2_{. La única forma de que la expresión total}

sea cte es que estos dos términos se cancelen entre sí:

a b r r C ρ superficie cerrada para aplicar la ley

de Gauss q

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2 2 2 o 2 2 o a 2π q C 0 Ca 2π q 0 r ε 2 Ca r ε 4π q        

El valor de C (cte) que hace que el campo eléctrico total para puntos a < r < b sea constante es:

2

a 2π

q C

(C depende de los parámetros dados, en concreto de q y a, y es en efecto cte).