Estadística. Tema 11: Distribución Normal

(1)

. Estadística. UNITEC Tema 11: Distribución Normal Prof. L. Lugo

Estadística

Tema 11: Distribución Normal

Tema 11: Distribución Normal Prof. L. Lugo . Estadística. UNITEC

Distribución Normal o de Gauss

La distribución normal se estudió originalmente en el siglo XVIII, cuando los científicos observaron un asombroso grado de regularidad en errores de medición. Descubrieron que los patrones (distribuciones) observados se aproximaban cercanamente a una distribución contínua a la que llamaron “curva de errores normal” y que atribuyeron a las leyes del azar.

La distribución normal es, sin lugar a dudas, la mas utilizada para modelar experimentos aleatorios. Esta distribución puede obtenerse al considerar el modelo básico de una variable aleatoria binomial cuando el número de ensayos se vuelve cada vez mas grande. Este fue el enfoque original seguido por De Moivre en 1733. Desafortunadamente, su trabajo se perdió por algún tiempo, y Karl Gaussdesarrolló, de manera independiente, la distribución normal casi cien años después. Aunque mas tarde se dio crédito a De Moivre, la distribución normal también se conoce como distribución gaussiana.

(2)

Distribución Normal o de Gauss

Aparece de manera natural:

Caracteres morfológicosde individuos: tallas, pesos, etc.

Caracteres fisiológicos: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono, etc.

Caracteres sociológicos: consumo de cierto producto por un mismo grupo de

individuos, puntuaciones de examen, etc.

Caracteres meteorológicos: temperaturas, precipitaciones, etc.

Caracteres físicos: mediciones de partes manufacturadas, vibraciones, niveles de

contaminación, variaciones en características de materias primas, etc.

Caracteres psicológicos:cociente intelectual, grado de adaptación a un medio, etc

Errorescometidos al medir ciertas magnitudes.

Valores estadísticosmuestrales, por ejemplo : la media.

Características de la Distribución Normal

1. Es unimodal ya que solo tiene un valor máximo en el que coinciden la media, la mediana y la moda.

2. Es simétrica con respecto a la media aritmética (valor máximo). 3. Se aproxima asintóticamente al eje de las abscisas.

4. El número de valores Xi que toma la variable aleatoria X es infinita. 5. Está determinada por 2 parámetros: la media y la desviación estándar. 6. El area total bajo la curva se considera igual a la unidad.

7. El área comprendida bajo la curva entre 2 valores X₁y X₂de variable aleatoria X, es igual a la probabilidad de que dicha variable asuma cualquier valor dentro de ellos.

8. El área comprendida bajo la curva entre la media y cualquier valor Xi de la variable aleatoria se expresa en función del número de desviaciones estándar que dicho valor Xi diste de la media aritmética.

9. El 69.26% del área total bajo la curva normal se encuentra dentro del intervalo con centro en la media aritmética y extremos localizados cada uno a una distancia de una desviación estándar; el 95.44% de dicha área se encuentra en el intervalo que comprende 2 desviaciones estándar a cada lado de la media y el 99.74% del área comprendida bajo la misma curva se encuentra limitada por 3 desviaciones estándar a cada lado de la media aritmética.

(3)

Función de Densidad

Está caracterizada por

dos

parámetros

: La

media

, µ, y la

desviación típica

,

σ

.

X

N

(

µ

,

σ

)

(4)

Gráfica de una Distribución Normal

La gráfica de una va X con distribución normal, es parecida a:

La distribución normal es simétrica con respecto a su media, sin importar el valor de esta ni la desviación estándar.

0 A

Asimetría

=

Gráfica de una Distribución Normal

La gráfica de una va X con distribución normal, es parecida a:

En general, se dice que la gráfica de la distribución normal es Mesocúrtica.

Sin embargo ella tiende a ser leptocúrtica para valores pequeños de la varianza; es decir, alta concentración de valores alrededor de la media.

3 C

Curtosis

=

(5)

N(µ,

σ

): Interpretación geométrica

Se puede interpretar la

media

como un factor de

traslación

.

La función de densidad es

simétrica, mesocúrtica

y

unimodal

.

Media, mediana y moda

coinciden.

Y la

desviación típica

como

un factor de

escala

, grado

de dispersión.

Curva alta = baja dispersión.

N(µ,

σ

): Interpretación probabilista

Entre la media y una

desviación típica

tenemos siempre

la

misma probabilidad

:

aprox. 68%

Entre la media y dos

desviaciones típicas

aprox. 95%

(6)

Función de Distribución

•Son más probables los valores

cercanos a la media

µ

•Conforme nos separamos de ese

valor

µ

, la probabilidad va

decreciendo de igual forma a

derecha e izquierda (es simétrica).

•Ese decrecimiento es de forma más

o menos rápida dependiendo de un

parámetro

σ

, que es la desviación

típica.

Algunas características

No es posible calcular la probabilidad de un intervalo

simplemente usando la primitiva de la función de

densidad, ya que no tiene primitiva expresable en

términos de funciones “comunes”.

Todas las distribuciones normales N(µ,

σ

), pueden

ponerse mediante una traslación µ, y un cambio de

escala

σ

, como

N(0,1)

. Esta distribución especial se

llama

normal estándar

.

(7)

Distribución Normal Estandar

La Función de Densidad y Probabilidad es:

La Función de Distribución Acumulada es:

Características de la Normal Estándar

No depende de

ningún parámetro

Su media es 0 y

su desviación

típica es 1.

La curva

f(x)

es

simétrica respecto

del eje OY

Tiene dos puntos

de inflexión en:

z =1 y z = -1

(8)

Estandarización

Dada una variable de media µ y desviación típica

σ

, se denomina

valor

estandarizado

,z, de una observación x, a la

distancia (con signo) con

respecto a la media, medido en desviaciones típicas

, es decir

σ

µ

−

=

x

z

En el caso de variable

X normal

, la interpretación es clara: Asigna a todo

valor de N(µ,

σ

), un valor de N(0,1) que deja

exáctamente

la misma

probabilidad

por debajo.

Nos permite así

comparar entre dos valores

de dos distribuciones

normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.

Ejemplo 1: Beca Académica

Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes. Se asignará al que tenga mejorexpediente académico.

El estudiante A tiene una calificación de 8en un sistema donde la calificación de

los alumnos se comporta como N(6,1).

El estudiante B tiene una calificación de 80en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(70,10).

( )

6 ,

1 N

X

_A

Eso significa que viene de una población con promedio de notas de 8 puntos y una desviación típica de 1 punto.

(

70 ,

10 )

N

X

_B

Eso significa que viene de una población con promedio de notas de 70 puntos y una desviación típica de 10 puntos. Estos valores no son comparables; sin embargo podemos expresarlos en términos comparables por medio de la estandarización.

(9)

Ejemplo 1: Beca Académica

1

10

70

80

2

1

6

8 =

−

=

−

=

−

=

−

=

B

x

z

x

z

B B B A A A A

σ

µ

σ

µ

Solución

No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1)

Como ZA>ZB, podemos decir que el porcentajede compañeros del mismo sistema de

estudios que ha superadoen calificación el estudiante A es mayorque el que ha superado B. Podríamos pensar en principio que A es mejor candidatopara la beca.

Manejo de Tablas

(10)

Tabla de la Distribución Normal Estandar

0.00100 0.00103 0.00107 0.00111 0.00114 0.00118 0.00122 0.00126 0.00131 0.00135 -3.0 0.00071 0.00074 0.00076 0.00079 0.00082 0.00084 0.00087 0.00090 0.00094 0.00097 -3.1 0.00050 0.00052 0.00054 0.00056 0.00058 0.00060 0.00062 0.00064 0.00066 0.00069 -3.2 0.00035 0.00036 0.00038 0.00039 0.00040 0.00042 0.00043 0.00045 0.00047 0.00048 -3.3 0.00024 0.00025 0.00026 0.00027 0.00028 0.00029 0.00030 0.00031 0.00032 0.00034 -3.4 0.00017 0.00017 0.00018 0.00019 0.00019 0.00020 0.00021 0.00022 0.00022 0.00023 -3.5

.09

.08

.07

.06

.05

.04

.03

.02

.01

.00

z

Por ejemplo: P( z < - 3,27) Respuesta: P( z < - 3,27) = 0,00054

¿Por qué es importante la distribución normal?

Las propiedades que tiene la distribución normal son

interesantes, pero todavía

no hemos hablado

de por qué

es una distribución

especialmente importante

.

La razón es que

aunque una v.a. no posea distribución

normal

, ciertos estadísticos/estimadores calculados

sobre muestras elegidas al azar

sí que poseen una

distribución normal

.

Es decir, tengan la distribución que tengan nuestros

datos,

los ‘objetos’ que resumen la información

de una

muestra, posiblemente tengan

distribución normal

(o

asociada).

(11)

Veamos aparecer la distribución normal

Como

ilustración

mostramos

una variable que presenta

valores distribuidos más o

menos uniformemente sobre

el intervalo 150-190.

Como es de esperar la media

es cercana a 170.

El

histograma no se parece

en

nada a una distribución

normal con la misma media y

desviación típica.

A continuación elegimos aleatoriamente grupos de 10

observaciones de las anteriores y calculamos el promedio. 152 152 175 185 185 152 165 152 178 155 159 188 183 175 183 178 179 172 152 159 160 167 170 167 163 169 174 179 190 185

3ª

2ª

1ª

Muestra

173 169 168

Veamos aparecer la distribución normal

Repitamos el proceso un número elevado de veces

.

En la siguiente transparencia estudiamos la

distribución de la nueva variable.

Para cada grupo de 10 obtenemos entonces una

nueva medición, que vamos a llamar

promedio

muestral

.

Observen que las nuevas cantidades están más o

(12)

La distribución de

los promedios

muestrales

sí que tienen distribución

aproximadamente

normal

.

La

media

de esta nueva variable

(promedio muestral) es

muy parecida

a

la de la variable original.

Las observaciones de la nueva variable

están

menos dispersas

. Observen el

rango. Pero no sólo eso. La desviación

típica es aproximadamente ‘raiz de 10’

veces más pequeña. Llamamos

error

estándar

a la desviación típica de esta

nueva variable.

Nada

de lo anterior

es casualidad

.

Veamos aparecer la distribución normal

Teorema del Límite Central

Dada una v.a.

cualquiera

, si extraemos muestras de tamaño n, y calculamos

los

promedios muestrales

, entonces:

Dichos promedios tienen distribución

aproximadamente normal

;

La media

de los promedios muestrales

es la misma

que la de la variable

original.

La desviación típica

de los promedios

disminuye

en un factor “

raíz de n

”

(

error estándar

).

Las aproximaciones anteriores se hacen

exactas

cuando n tiende a

infinito

.

Este teorema justifica la importancia de la distribución normal.

Sea lo que seaque midamos, cuando se promediesobre una muestra grande

(13)

Ejemplo 2: Fábrica de Pistones

Solución:

Los porcentajes solicitados corresponden a la multiplicación por 100 de la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los eventos definidos.

Una fábrica produce pistones cuyos diámetros se encuentran adecuadamente clasificados por una distribución normal con un diámetro promedio de 5 cm y una desviación estándar igual a 0,001 cm. Para que un pistón sirva, su diámetro debe encontrarse entre 4,998 y 5,002 cm. Si el diámetro del pistón es menor que 4,998 cm se desecha; si es mayor que 5,002 cm el pistón puede reprocesarse. ¿Qué porcentaje de pistones servirá? ¿Qué porcentaje será desechado? ¿Qué porcentaje será reprocesado?.

Llamemos X a la v.a. que define el diámetro de cada pistón en cm.

Debemos hallar las probabilidades:

1) P(4,998 ≤x ≤5,002), 2) P(x < 4,998), 3) P(x > 5,002).

(

5 ,

0 ,

001 )

N

X

Ejemplo 2: Fábrica de Pistones

1) P(4,998 ≤x ≤5,002)

Para ello debemos estandarizar la variable x en los valores 4,998 y 5,002 y, con la ayuda de la tabla, respondemos la interrogante planteada.

(

)

P

(

2 z

2 )

001 ,

0

5

002 ,

5 x

001 ,

0

5

998 ,

4 P

002 ,

5 x

998 ,

4 P



=

−

≤











_≤

−

σ

µ

−

≤

−

=

≤

(14)

Ejemplo 2: Fábrica de Pistones

1) P(4,998 ≤x ≤5,002)

Para obtener esa probabilidad debemos acudir a la tabla de probabilidades de la función normal estándar, recordando que esta tabla nos proporciona probabilidades acumuladas; es decir, el caso que nos ocupa lo resolvemos:

(

2 z

2 )

P

(

z

2 )

P

(

z

2 )

P

−

≤

=

≤

−

≤

−

(

2 z

2 )

0 ,

9772

0 ,

0228

0 ,

9548

P

−

≤

=

−

=

El 95,46 % de los pistones producidos servirán; ya que tendrán un diámetro entre 4,998 y 5,002 cm

Tabla de la Distribución Normal Estandar

0.02938 0.03005 0.03074 0.03144 0.03216 0.03288 0.03362 0.03438 0.03515 0.03593 -1.8 0.02330 0.02385 0.02442 0.02500 0.02559 0.02619 0.02680 0.02743 0.02807 0.02872 -1.9 0.01831 0.01876 0.01923 0.01970 0.02018 0.02067 0.02118 0.02169 0.02222 0.02275 -2.0 0.01426 0.01463 0.01500 0.01539 0.01578 0.01618 0.01659 0.01700 0.01743 0.01786 -2.1

.09

.08

.07

.06

.05

.04

.03

.02

.01

.00

z

0.98574 0.98537 0.98500 0.98461 0.98422 0.98382 0.98341 0.98300 0.98257 0.98214 2.1 0.98169 0.98124 0.98077 0.98030 0.97982 0.97933 0.97882 0.97831 0.97778 0.97725 2.0 0.97670 0.97615 0.97558 0.97500 0.97441 0.97381 0.97320 0.97257 0.97193 0.97128 1.9

.09

.08

.07

.06

.05

.04

.03

.02

.01

.00

z

(15)

Ejemplo 2: Fábrica de Pistones

2) P(x < 4,998)

Para ello debemos estandarizar la variable x en el valor 4,998 y, con la ayuda de la tabla, respondemos la interrogante planteada.

(

)

P

(

z

2 )

001 ,

0

5

998 ,

4 x

P

998 ,

4 x

P



=

≤

−











_≤

−

σ

µ

−

=

≤

Ejemplo 2: Fábrica de Pistones

2) P(x < 4,998)

El 2,28 % de los pistones producidos no servirán, serán desechados; ya que tendrán un diámetro menor de 4,998 cm.

(

z

2 )

0 ,

0228

P

≤

−

=

(16)

Ejemplo 2: Fábrica de Pistones

3) P(x > 5,002)

(

)

P

(

z

2 )

001 ,

0

5

002 ,

5 x

P

002 ,

5 x

P



=

≥











_≤

−

σ

µ

−

=

≥

Ejemplo 2: Fábrica de Pistones

3) P(x > 5,002)

El 2,28 % de los pistones producidos no servirán e irán a reproceso; ya que tendrán un diámetro mayor a 5,002 cm

(

z

2 )

1 P

(

z

2 )

P

≥

=

−

≤

(

z

2 )

1

0 ,

9772

0 ,

0228

(17)

Ejemplo 3: Revelado Fotográfico

Solución:

En un proceso fotográfico, el tiempo de revelado de las impresiones puede considerarse una v. a. con distribución normal con media de 16,28 segundos y desviación estándar de 0,12 segundos. Determine la probabilidad de que se lleve: 1) entre 16,00 y 16,50 segundos, 2) cuando mas 16,35 segundos, y 3) al menos 16,20 segundos; para el revelado de una de las impresiones.

Llamemos X a la v.a. que define el tiempo, en segundos, que se consume en el revelado de cada impresión.

Debemos hallar las probabilidades:

1) P(16,00 ≤x ≤16,50), 2) P(x < 16,35), 3) P(x > 16,20).

(

16 ,

28 ,

0 ,

12 )

N

X

Ejemplo 3: Revelado Fotográfico

1) P(16,00 ≤x ≤16,50)

Para ello debemos estandarizar la variable x en los valores 16 y 16,5 y, con la ayuda de la tabla, respondemos la interrogante planteada.

(

)

P

(

2 ,

33 z

1 ,

83 )

12 ,

0

28 ,

16

5 ,

16 x

12 ,

0

28 ,

16

16 P

5 ,

16 x

16 P



=

−

≤











−

≤

σ

µ

−

≤

−

=

≤

(18)

Ejemplo 3: Revelado Fotográfico

1) P(16,00 ≤x ≤16,50)

(

2 ,

33 z

1 ,

83 )

P

(

z

1 ,

83 )

P

(

z

2 ,

33 )

P

−

≤

=

≤

−

≤

−

(

2 ,

33 z

1 ,

83 )

0 ,

9664

0 ,

0099

0 ,

9565

P

−

≤

=

−

=

Hay una probabilidad de 0,9565 de que el proceso de revelado de una impresión se lleve entre 16 y 16,5 segundos.

Ejemplo 3: Revelado Fotográfico

2) P(x < 16,35)

(

)

P

(

z

0 ,

583 )

12 ,

0

28 ,

16

35 ,

16 x

P

35 ,

16 x

P



=

≤











_≤

−

σ

µ

−

=

≤

(19)

Ejemplo 3: Revelado Fotográfico

2) P(x < 16,35)

Hay una probabilidad de 0,719 de que el proceso de revelado de una impresión se lleve cuando mas 16,35 segundos.

(

z

0 ,

583 )

0 ,

7190

P

≤

=

Ejemplo 3: Revelado Fotográfico

3) P(x > 16,20)

(

)

P

(

z

0 ,

66 )

12 ,

0

28 ,

16

2 ,

16 x

P

2 ,

16 x

P



=

≥

−











_≤

−

σ

µ

−

=

≥

(20)

Ejemplo 3: Revelado Fotográfico

3) P(x > 16,20)

Hay una probabilidad de 0,7454 de que el proceso de revelado de una impresión se lleve al menos 16,20 segundos.

(

z

0 ,

66 )

1

0 ,

2546

0 ,

7454

P

≥

−

=

−

=

(

z

0 ,

66 )

1 P

(

z

0 ,

66 )

P

≥

−

=

−

≤

−

Ejemplo 4: Experiencia de los Supervisores

Solución:

En principio definamos la va y calculemos su media.

Se sabe que los años de experiencia que tienen los supervisores de línea en cierta compañía, tiene una distribución normal con una desviación típica de 1,5 años. Se sabe que el 3,36 % de los supervisores tienen como máximo 6,9 años de experiencia. 1) al seleccionar un supervisor al azar ¿cuál es la probabilidad de que los años de experiencia estén comprendidos entre 8 y 10 años? 2) ¿cuál será el tiempo mínimo de experiencia para el 30 % de los supervisores con mas años trabajando en la empresa?.

Sea X la v.a. que define la cantidad de años de experiencia de cada supervisor. Sabemos que:

_P

(

_x

_≤

₆

_,

₉

)

₌

₀

_,

₀₃₃₆

(

z

1 ,

83 )

P

representa

Esto

≤

−

0.02938 0.03005 0.03074 0.03144 0.03216 0.03288 0.03362 0.03438 0.03515 0.03593 -1.8 0.02330 0.02385 0.02442 0.02500 0.02559 0.02619 0.02680 0.02743 0.02807 0.02872 -1.9

.09

.08

.07

.06

.05

.04

.03

.02

.01

.00

z

(21)

Ejemplo 4: Experiencia de los Supervisores

Se sabe que los años de experiencia que tienen los supervisores de línea en cierta compañía, tiene una distribución normal con una desviación típica de 1,5 años. Se sabe que el 3,36 % de los supervisores tienen como máximo 6,9 años de experiencia. 1) al seleccionar un supervisor al azar ¿cuál es la probabilidad de que los años de experiencia estén comprendidos entre 8 y 10 años? 2) ¿cuál será el tiempo mínimo de experiencia para el 30 % de los supervisores con mas años trabajando en la empresa?. Si z = -1,83; entonces

Debemos hallar las probabilidades: 1) P(8 ≤x ≤10),

2) Valor de x que representa el 30% del área de la cola derecha de la curva normal.

(

9 ,

645 ,

1 ,

5 )

N

X

645 ,

9

5 ,

1

9 ,

6

83 ,

1 x

z

⇒

−

=

−

µ

⇒

µ

=

σ

µ

−

=

Ejemplo 4: Experiencia de los Supervisores

1) P(8 ≤x ≤10)

Para ello debemos estandarizar la variable x en los valores 8 y 10 y, con la ayuda de la tabla, respondemos la interrogante planteada.

(

)

P

(

1 ,

09 z

0 ,

23 )

5 ,

1

645 ,

9

10 x

5 ,

1

645 ,

9

8 P

10 x

8 P



=

−

≤











_≤

−

σ

µ

−

≤

−

=

≤

(22)

Ejemplo 4: Experiencia de los Supervisores

1) P(8 ≤x ≤10)

(

1 ,

09 z

0 ,

23 )

P

(

z

0 ,

23 )

P

(

z

1 ,

09 )

P

−

≤

=

≤

−

≤

−

(

1 ,

09 z

0 ,

23 )

0 ,

5910

0 ,

1379

0 ,

4531

P

−

≤

=

−

=

Hay una probabilidad de 0,4531 de que el supervisor elegido al azar tenga una experiencia entre 8 y 10 años.

Tema 11: Distribución Normal Prof. L. Lugo . Estadística. UNITEC 0.72241 0.71905 0.71566 0.71226 0.70884 0.70540 0.70195 0.69847 0.69498 0.69147 0.5 0.68794 0.68439 0.68083 0.67724 0.67365 0.67003 0.66641 0.66276 0.65910 0.65543 0.4 0.65174 0.64803 0.64431 0.64058 0.63683 0.63308 0.62930 0.62552 0.62172 0.61791 0.3

.09

.08

.07

.06

.05

.04

.03

.02

.01

.00

z

Ejemplo 4: Experiencia de los Supervisores

Sabemos que:

_P

(

_x

_≤

_¿?

)

₌

₀

_,

₇₀₀₀

(

z

0 ,

525 )

0 ,

70 P

(

z

0 ,

525 )

0 ,

30 P

≤

=

⇒

≥

=

2) Valor de x que representa el 30% del área de la cola derecha de la curva normal. Para ello debemos ubicar en la tabla el 30% superior, es decir, el valor 0,7 (que representa el 70% de la izquierda, o sea, el 70% de los supervisores con menos experiencia. Teniendo ese valor de z procedemos a hallar el valor correspondiente de x usando la fórmula de estandarización.

El valor z se encuentra entre 0,52 y 0,53. Por interpolación lineal:

(23)

Ejemplo 4: Experiencia de los Supervisores

Una vez conocido el valor de z que representa el área bajo la curva que estamos buscando (30% derecho de la distribución); procedemos a despejar el valor de x de la fórmula de estandarización:

Si z = 0,525; entonces

El tiempo mínimo de experiencia del 30% de los supervisores con mas años trabajando en la empresa es de 10,43 años.

µ

+

σ

=

⇒

µ

−

=

σ

⇒

σ

µ

−

=

x

z

x

z

(

)( )

43 ,

10 x

645 ,

9

5 ,

1

525 ,

0 x

=

⇒

+

=

Ejemplo 5: Proceso Metalmecánico

Solución:

Con las probabilidades dadas, vamos a la tabla de la distribución normal estándar y definimos valores de z para los cuales se dan esas probabilidades. Si llamamos X a la v.a. que define el largo de las piezas producidas, planteamos las expresiones para estandarizar los valores x = 22 y x = 18 e igualamos a los valores de z obtenidos antes; así se construye un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la media y la desviación.

En un proceso metalmecánico el largo de las piezas producidas tiene distribución normal, con las siguientes características: hay una probabilidad de 0,9505 de que las piezas tengan un largo menor a 22 cm, y una probabilidad de 0,8508 de que las piezas tengan un largo mayor a 18 cm. Si seleccionamos al azar una pieza, ¿cuál es la probabilidad que tenga un largo comprendido entre 18,75 y 23,77 cm?.

Una vez resuelto el sistema, debemos hallar: P(18,75 ≤x ≤23,77), para ello debemos estandarizar la variable x en cada uno de los valores del intervalo solicitado y, con la ayuda de la tabla, respondemos las interrogantes planteadas.

(24)

Tema 11: Distribución Normal Prof. L. Lugo . Estadística. UNITEC 0.16109 0.16354 0.16602 0.16853 0.17105 0.17361 0.17618 0.17878 0.18141 0.18406 -0.9 0.13786 0.14007 0.14231 0.14457 0.14686 0.14917 0.15150 0.15386 0.15625 0.15865 -1.0 0.11702 0.11900 0.12100 0.12302 0.12507 0.12714 0.12924 0.13136 0.13350 0.13566 -1.1

.09

.08

.07

.06

.05

.04

.03

.02

.01

.00

z

Ejemplo 5: Proceso Metalmecánico

Sabemos que:

_P

(

_x

_≤

₂₂

)

₌

₀

_,

₉₅₀₅

(

z

1 ,

65 )

0 ,

9505

P

≤

=

0.96327 0.96246 0.96164 0.96080 0.95994 0.95907 0.95819 0.95728 0.95637 0.95544 1.7 0.95449 0.95352 0.95254 0.95154 0.95053 0.94950 0.94845 0.94738 0.94630 0.94520 1.6 0.94408 0.94295 0.94179 0.94062 0.93943 0.93822 0.93699 0.93575 0.93448 0.93319 1.5

.09

.08

.07

.06

.05

.04

.03

.02

.01

.00

z

Sabemos que:

(

x

18 )

0 ,

8508

P

(

x

18 )

1

0 ,

8508

P

(

x

18 )

0 ,

1492

P

≥

=

⇒

≤

=

−

⇒

≤

=

(

z

1 ,

04 )

0 ,

1492

P

≤

−

=

Ejemplo 5: Proceso Metalmecánico

Una vez conocidos los valores de z procedemos a construir el sistema de ecuaciones:

Entonces:

0 x

z

x

z

x

z

⇒

σ

=

−

µ

⇒

σ

+

µ

−

=

σ

µ

−

=

(

)

( )







σ

−

=

µ

⇒

=

−

µ

+

σ

+

=

µ

⇒

=

−

µ

+

σ

−

65 ,

1

22

0

22

65 ,

1

04 ,

1

18

0

18

04 ,

1 ( )

( )

54 ,

19

48 ,

1

18

22

04 ,

1

65 ,

1

65 ,

1

22

04 ,

1

18 =

µ

⇒

=

σ

−

=

σ

+

σ

⇒

σ

−

=

σ

+

(

19 ,

54 ,

1 ,

48 )

N

X

(25)

Ejemplo 5: Proceso Metalmecánico

P(18,75 ≤x ≤23,77)

Conocida la distribución de x vamos a estandarizar los valores 18,75 y 23,77 y, con la ayuda de la tabla, respondemos la interrogante planteada.

(

)

P

(

0 ,

46 z

4 ,

23 )

48 ,

1

54 ,

19

77 ,

23 x

48 ,

1

54 ,

19

75 ,

18 P

77 ,

23 x

75 ,

18 P



=

−

≤











_≤

−

σ

µ

−

≤

−

=

≤

Ejemplo 5: Proceso Metalmecánico

P(18,75 ≤x ≤23,77)

(

0 ,

46 z

4 ,

23 )

P

(

z

4 ,

23 )

P

(

z

0 ,

46 )

P

−

≤

=

≤

−

≤

−

(

0 ,

46 z

4 ,

23 )

0 ,

9999

0 ,

3228

0 ,

6771

P

−

≤

=

−

=

Existe una probabilidad del 0,6771 de que la pieza seleccionada al azar tenga un largo entre 18,75 y 23,77 cm.

Estadística. Tema 11: Distribución Normal

Estadística

Tema 11: Distribución Normal

Distribución Normal o de Gauss

Distribución Normal o de Gauss

Características de la Distribución Normal

Función de Densidad

Está caracterizada por

dos

parámetros

: La

media

, µ, y la

desviación típica

,

σ

.

X

N

(

µ

,

σ

)

Gráfica de una Distribución Normal

0

A

Asimetría

=

Gráfica de una Distribución Normal

3

C

Curtosis

=

N(µ,

σ

): Interpretación geométrica

Se puede interpretar la

media

como un factor de

traslación

.

La función de densidad es

simétrica, mesocúrtica

y

unimodal

.

Media, mediana y moda

coinciden.

Y la

desviación típica

como

un factor de

escala

, grado

de dispersión.

Curva alta = baja dispersión.

N(µ,

σ

): Interpretación probabilista



Entre la media y una

desviación típica

tenemos siempre

la

misma probabilidad

:

aprox. 68%



Entre la media y dos

desviaciones típicas

aprox. 95%

Función de Distribución

•Son más probables los valores

cercanos a la media

µ

•Conforme nos separamos de ese

valor

µ

, la probabilidad va