Sistema de Los Números Reales

;

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

AUTOR:

Índi e General

1. Sistema de los números Reales 3

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES . . . 3

Radi ales, Exponen ial y Logaritmo de los números reales 8 Desigualdades . . . 10

Intervalos de los números reales . . . 14

Valor absoluto . . . 16

Máximo entero . . . 22

Ejer i ios de Números Reales . . . 24

Cap´ıtulo

1

Sistema de los números Reales

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

El sistema de los números reales es un onjunto

R

on dos

opera- iones, la adi ión (

+

) y la multipli a ión (

·

) y una rela ión de orden

(

<

) que se lee menor que y que satisfa e los siguientes axiomas de los

números reales.

1. Axioma de la suma:

A

1

) Para todo

a, b

∈

R

, se tiene

a + b

∈

R

A

2

) Para todo

a, b

∈

R

, se tiene

a + b = b + a

(Conmutatividad)

A

3

) Para todo

a, b, c

∈

R

, se tiene

(a + b) + c = a + (b + c)

(Aso iatividad)

A

4

) Existe un úni o elemento en

R

, denotado por 0 tal que para

a + 0 = 0 + a = a

para ualquier

a

∈

R

(

∃

elemento neutro aditivo)

A

5

) Para ada

a

∈

R

, existe un úni o elemento en

R

, denotado por

−a

tal que

a + (

−a) = (−a) + a = 0

(

∃

elemento inverso

aditivo)

2. Axioma de la multipli a ión:

M

1

) Para todo

a, b

∈

R

, se tiene

ab

∈

R

M

2

) Para todo

a, b

∈

R

, se tiene

ab = ba

(Conmutatividad)

M

4

) Existe un úni o elemento en

R

, denotado por 1 tal que para

a1 = 1a = a

para ualquier

a

∈

R

(

∃

elemento neutro multi-pli ativo)

M

5

) Para ada

a

∈

R

, existe un úni o elemento en

R

, denotado por

a

−1

tal que

a(a

−1

_{) = (a}

−1

_{)a = 1}

(

∃

elemento inverso

multipli ativo)

3. Axioma de la distributividad:

D

1

) Para todo

a, b, c

∈

R

, umple

a(b + c) = ab + ac

(distributiva por la izquierda)

D

1

) Para todo

a, b, c

∈

R

, umple

(a + b)c = ac + bc

(distributiva por la dere ha)

4. Ley de la tri otomía: Dado

a, b

∈

R

, enton es una y sólo una

de las propiedades umple.

a < b

,

a = b

y

a > b

5. Leyes

5.1) si

a < b

y

b < c

, enton es

a < c

.

5.2) si

a < b

, enton es

a + c < b + c

para todo

c

∈

R

.

5.2) si

a < b

y

c > 0

, enton es

ac < bc

.

6. Axioma del supremo:

Todo sub onjunto no va ió de los números reales

A

6= ∅

, a otado

superiormente(,esto es,

∃c ∈ R/x < c, ∀x ∈

R

) tieneal menos una

ota superior, llamada también el supremo del onjunto

A

.

7. Axioma de la rela ión de igualdad de los números reales:

7.1) Reexiva: Todo número real es igual a si misma.

7.2) Simétri a: Si un número real es igual a otro, enton es el

se-gundo es igual al primero

7.3) transitiva: Si un número real es igual a otro, y este otro es

iguala un ter ero, enton es el primero es igual al ter ero.

Observa ión: De los axiomasse dedu e que

R

ontiene a los onjuntos

N

,

Z

,

Q

,

I

1. N

⊂

R

sabemos que:

1

∈

R

enton es

1 + 1

∈

R

omo

2

∈

R

enton es

2 + 1

∈

R

omo

3

∈

R

enton es

3 + 1

∈

R

. . . Por lo tanto N

⊂

R

2.

Z

⊂

R

: sabemos N

⊂

R

y si

a

∈

N, enton es

a

∈

R

y por el

axioma existe un

−a ∈

R

y también existe

0

∈

R

, de esto

Z

⊂

R

.

Interpreta ión Geométri a. La orresponden iabi-unívo a entre los

númerosrealesylospuntossobreunare ta puedeser utilizadopara

ilus-trar geométri amentelarela ióndeorden

<

.Larela ión

a < b

estable e

que al gra ar es una re ta el número

a

se en uentra ala izquierda del

número

b

.

R

a

b

Teoremas de los Números reales

1. Si

a = b

y

c = d

enton es

a + c = b + d

Demostra ión: Sean

a, b, c, d

∈

R

enton es

por la lausura de los números reales tenemos

a + c

∈

R

,

por la reexividad se tiene

a + c = a + c

y

por hipótesis on luimos que

a + c = b + d

.

2. Si

a = b

y

c = d

enton es

ac = bd

Demostra ión: Sean

a, b, c, d

∈

R

enton es

a, c

_∈

R

_{⇒ ac ∈}

R

⇒ ac = ac

⇒ ac = bd

3. Si

a = b

, enton es

a + c = b + c

∀x ∈

R

4. Si

a = b

, enton es

ac = bc

∀x ∈

R

5. Sean

a

y

b

números reales, enton es

a.b = 0

⇔ [a = 0 ∨ b = 0]

Demostra ión: Sean

a, b

∈

R

enton es

⇒ a

tiene doa úni as posibilidades, Si

a = 0

el resultado es trivial.

Si

a

6= 0

veamos que su ede on

b

.

Si

b = 0

enton es es trivial

Si

b

6= 0

veremos que esto es un absurdo, pues

a

6= 0

.

de la ultima igualdad tenemos que

a

−1

_{6= 0}

y por hipótesis

ab = 0

⇒ a

−1

(ab) = a

−1

0

⇒ (a

−1

a)b = 0

⇒ 1b = 0

⇒ b = 0

esto es una ontradi ión pues

b

6= 0

.

⇐

Si

a = 0

enton es

ab = 0, b = 0

ysi

b = 0

enton es

ab = a0 = 0

6. Si

a + b = a

enton es

b = 0

.

Demostra ión: Sean

a, b

∈

R

enton es

b = 0 + b

por

A,4

= [(

−a) + a] + b

por

A,3

y

A,5

= (

−a) + a

hipótesis

= 0

7.

a

· 0 = 0

Demostra ión: Sea

a

∈

R

enton es

a,0 = a,0 + 0

= a,0 + [a,0 + (

−a,0)]

= a(0 + 0) + (

_−a,0)

= a0 + (

_−a,0)

= 0

Esto muestra el teorema

8.

−a = (−1)a

Demostra ión: Sean

a

∈

R

, sabemos que

a + (

−a) = 0

a + (

_{−1)a = 1a + (−1)a}

= (1 + (

−1))a

= 0.a

igualando las expresiones

a + (

−a) = 0

y

a + (

−1)a = 0

, tenemos

−a = (−1)a

.

9.

a(

−b) = (−b)a = (−a)b

Demostra ión: Sean

a, b

∈

R

enton es

a(

−b) = a[(−1)b]

= [a(

−1)]b

= (

_−1)ab

=

−ab

Esto muestra el teorema

10. Si

a

∈

R

. enton es

−(−a) = a

Demostra ión: Denotemos por

b =

−a

enton es

b

∈

R

, enton es

b + a =

_{−a + a = 0}

. Y omo

b

∈

R

enton es existe

−b ∈

R

tal que

b + (

_{−b) = 0}

igualando ambas e ua iones, se tiene.

a + b = b + (

−b)

a =

_−b

a =

−(−a)

Por lo tanto esto demuestra el teorema.

11. Para todo

a

∈

R

umple

(

−a)(−b) = ab

Deni ión: Para todo

a, b

∈

R

, se dene la sustra ión de

a

y

b

omo:

a

_{− b = a + (−b)}

.

Deni ión: Para todo

a, b

∈

R

y

b

6= 0

, se dene la la división de

a

y

b

omo:

a

b

= ab

−1

.

Nota: La división de ualquier número

a

∈

R

on el número ero

(0)

no existe, esto es

a

0

no existe.

Ejemplo 1.0.1. 1. Demuestre que:

a

b

+

c

d

=

ab + bc

bd

.

Solu ión:

a

b

+

c

d

= ab

−1

_{+ cd}

−1

= (ab

−1

)(dd

−1

) + (cd

−1

)(bb

−1

)

= a(b

−1

d)d

−1

+ c(d

−1

b)b

−1

= a(db

−1

)d

−1

+ c(bd

−1

)b

−1

= (ad)(b

−1

d

−1

) + (cb)(d

−1

b

−1

)

= (ad)(bd)

−1

+ (cb)(db)

−1

=

ad + cb

db

2. Si

a, b

∈ R

, on

a

6= 0

, enton es la e ua ión

ax = b

tiene omo

solu ión úni a a

x =

b

a

. Solu ión:

ax = b

→ a

−1

ax = a

−1

b

→ (a

−1

a)x = a

−1

b

→ x =

b

a

Radi ales, Exponen ial y Logaritmo de los números reales

Exponen iales de los números reales

Deni ión: Si

n

∈

N,

b

∈

R

, se dene la

n

-ésima poten ia de

b

al

produ to.

b

n

= b.b.b.

· · · .b.b

n ve es Propiedades: Si

a, b

∈

R

y

m, n

∈

N, enton es 1.

a

m

.a

n

= a

m+n

2.

(a

m

)

n

= a

mn

3.

(ab)

n

= a

n

b

n

4.

a

m

a

n

= a

m

_−n

para

a

6= 0

5.

a

m

b

n

= a

m

b

−n

para

b

6= 0

Radi ales de los números reales

Deni ión: Si

c, x

∈

R

,

n

∈

N, enton es

x

se llama la raíz

n

-ésima

prin ipal de

x

, y se denota

x =

n

√

c

on

c

positivo, omo

x =

√

n

c

⇔ x

n

= c

Propiedades: Si

a, b

∈

R

y

m, n

∈

N y ningún radi ando es negativo,

enton es 1.

n

√

a

n

_{= a}

si

n

es impar y

n

√

a

n

₌

|a|

si

n

es par. 2.

n

√

ab =

√

n

a

√

n

b

3.

n

r

a

b

=

n

√

a

n

√

b

para

b

6= 0

4.

(

n

√

a)

m

=

√

n

a

m

5.

m

p

n

√

c =

nm

√

c

Logaritmo de los números reales

Deni ión Si

N

y

b

son números positivos y si

b

6= 1

enton es se

dene el logaritmo omo:

log

b

M = L

⇔ N = b

L

Propiedades: Si

x, y

y

b

6= 1

números positivos,

n

∈

R

1.

log

b

(xy) = log

b

x + log

b

y

2.

n log

b

x = log

b

x

n

3.

log

b

n

x =

1

n

log

b

x

4.

log

b

(

x

y

) = log

b

x

− log

b

y

5.

log

a

x =

log

b

x

log

b

a

Desigualdades

Se ono e on el nombre de desigualdad a toda proposi ión donde

apare e la rela ión <, >, "

≤

 y "

≥

, denida de la manera siguiente.

Para

a, b, c

∈

R

. 1. Si

a > 0

si y sólo si

a

es positivo. 2. Si

a < 0

si y sólo si

a

es negativo. 3. Si

a > b

si y sólo si

a

− b

es positivo. 4. Si

a < b

si y sólo si

a

− b

es negativo. 5. Si

a

≥ b

si y sólo si

a > b

∨ a = b

. 6. Si

a

≤ b

si y sólo si

a < b

∨ a = b

. 7. Si

a < b

≤ c

si y sólo si

[a < b

∧ (b < c ∨ c = b)]

.

Teorema Para

a, b

∈

R

se umple:

1. Si

a < b

y

c

∈

R

, enton es

a + c < b + c

Demostra ión:

a < b

→ a − b

es un número negativo

→ a − b + 0

es un número negativo

→ a + c − (b + c)

es un número negativo

→ a + c < b + c

2. Si

a < b

y

c > 0

, enton es

ac < bc

Demostra ión:

a < b

→ a − b

es un número negativo

→ (a − b)c

es un número negativo

→ ac − bc

es un número negativo

→ ac < bc

3.

a < b

si y sólo si

a

− b < 0

. Demostra ión:

a < b

⇔ a + (−b) < b + (−b)

⇔ a + (−b) < 0

4.

a < 0

si y sólo si

−a > 0

. Demostra ión:

a < 0

⇔ a + (−a) < 0 + (−a)

⇔ 0 < −a

5.

a > 0

si y sólo si

−a < 0

. Demostra ión:

a > 0

⇔ a + (−a) > 0 + (−a)

⇔ 0 > −a

6. Si

a > 0, b > 0

enton es a)

a + b > 0

. Demostra ión:

a > 0

⇒ a + b > 0 + b

⇒ a + b > b

b)

ab > 0

. Demostra ión:

a > 0

⇒ ab > 0.b

⇒ ab > 0

7. Si

a > 0, b < 0

enton es

ab < 0

.

Demostra ión: Como

b < 0

enton es

−b > 0

, por el teorema

anterior, tenemos

−ba > 0

, nalmente

ba < 0

.

8. Si

a < 0, b < 0

enton es

a)

a + b < 0

b)

ab > 0

Demostra ión: Análogo al anterior.

9. Para

a

6= 0

en

R

, se tiene

a

2

> 0

.

Demostra ión: Como

a

6= 0

enton es

a < 0

y

a > 0

a > 0

_{⇒ aa > 0}

⇒ a

2

y

a < 0

_{⇒ aa > 0}

⇒ a

2

> 0

10. Para

a

6= 0

en

R

, se tiene

a

2

> 0

.

Demostra ión: Como

a

6= 0

enton es

a < 0

y

a > 0

a > 0

_{⇒ aa > 0}

⇒ a

2

> 0

y

a < 0

_{⇒ aa > 0}

⇒ a

2

> 0

11. Sea

a

∈

R

, enton es se umple

a) si

a < 0

enton es

a

−1

_{< 0}

b) si

a > 0

enton es

a

−1

_{> 0}

12. Si

a, b, c, d

∈

R

, se umple, si

a < b

y

c < d

enton es

a + c < b + d

. 13. Si

a, b, c

∈

R

, se umple,

a > b

y

c < 0

si y sólo si

ac < bc

.

⇒

)

c < 0

enton es

−c > 0

y omo

a > b

, enton es

a(

−c) > b(−c)

−ac > −bc

ac < bc

⇐

)

c < 0

enton es

−c > 0

y omo

ac < bc

, enton es

acc

−1

< bcc

−1

a(cc

−1

) < b(cc

−1

)

a > b

14. Si

a, b, c

∈

R

, se umple,

a > b

y

c > 0

si y sólo si

ac > bc

.

Ejemplo 1.0.2. Determinar en valor de verdad de ada una de las

siguientes arma iones.

1.

a < 0, b > 0

→ a

2

− ab > 0

.

Solu ión: Como

a < 0

enton es

a

2

> 0

y

−a > 0

, también omo

b > 0

enton es

−ab > 0

, sumando

a

2

> 0

y

−ab > 0

se on luye

a

2

− ab > 0

.

2.

0 < a < b

y

0 < c < d

→ ac < bd

.

Solu ión: Como

0 < a

y

c < d

enton es

ac < ad

y

0 < d

y

a < b

enton es

ad < bd

de las desigualdades

ac < ad

y

ad < bd ac < bd

3.

∀a, b ∈

R

, a

2

+ b

2

≥ 2ab

.

Solu ión:

∀a, b ∈

R

tenemos

(a

− b)

2

≥ 0

entones

2

+ b

2

≥ 2ab

4.

a < b

→ a

2

<

a

2

+ ab

2

< ab

.

Solu ión: por hipótesis

a < b

enton es

a

2

< b.a

, sumando la ulti-ma desigualdad on

a

2

tenemos

2a

2

< b.a+a

2

. Además a la misma

e ua ión los sumamos

ba

se tiene

a

2

+ b.a < 2b.a

. Finalmente ten-emos

2a

2

< a

2

+ b.a < 2b.a

. 5. Si

a > 0, b < 0

, demuestre que

b + 1

a

<

1

a

.

Solu ión: Por hipótesis tenemos

ab < 0

, luego

ab + a < a

.

Divi-diendo on

a

2

se tiene

b + 1

a

<

1

a

.

6. Si

a

6= b 6= c

y todos positivos, demuestre que:

(a + b)(b + c)(a + c) > 8abc

.

Solu ión: Como

a, b, c

son diferentes y positivo, se umple

(

√

a

−

√

b)

2

> 0

,

(

√

a

−

√

c)

2

> 0

y

(√

−

√

c)

2

> 0

enton es tenemos

(

√

a

−

√

b)

2

> 0

⇒ a − 2

√

ab + b > 0

⇒ a + b > 2

√

ab > 0

(

√

a

₋

√

c)

2

> 0

_{⇒ a − 2}

√

ac + c > 0

_{⇒ a + c > 2}

√

ac > 0

(

√

c

₋

√

b)

2

> 0

_{⇒ c − 2}

√

ab + b > 0

_{⇒ c + b > 2}

√

cb > 0

Finalmente multipli ando tenemos:

7. Determinar en valor de verdad de ada una de las siguientes

ar-ma iones.

a)

a < 0, b > 0

→ a

2

− ab > 0

.

Solu ión: Como

a < 0

enton es

a

2

> 0

y

−a > 0

, también omo

b >=

enton es

−ab > 0

, sumando

a

2

> 0

y

−ab > 0

se on luye

a

2

− ab > 0

. b)

0 < a < b

y

0 < c < d

→ ac < bd

.

Solu ión: Como

0 < a

y

c < d

enton es

ac < ad

y

0 < d

y

a < b

enton es

ad < bd

de las desigualdades

ac < ad

y

ad < bd ac < bd

)

∀a, b ∈

R

, a

2

+ b

2

≥ 2ab

.

Solu ión:

∀a, b ∈

R

tenemos

(a

−b)

2

≥ 0

entones

2

+b

2

≥ 2ab

d)

a < b

→ a

2

<

a

2

+ ab

2

< ab

.

Solu ión: por hipótesis

a < b

enton es

a

2

< b.a

, sumando la ultima desigualdad on

a

2

tenemos

2a

2

< b.a + a

2

. Además a

la misma e ua ión los sumamos

ba

se tiene

a

2

+ b.a < 2b.a

. Finalmente tenemos

2a

2

< a

2

+ b.a < 2b.a

.

8. Demostrar que

∀x ∈

R

− (−1, 1)

,

∀n ∈

N par se umple

x

n

x

2n

_{+ 1}

≤

1

2

.

Solu ión: Por hipótesis tenemos

x

n

≥ 1

para

x

∈

R

− (−1, 1)

, enton es

x

n

− 1 ≥ 0

, elevando al uadrado tenemos

(x

n

− 1)

2

≥ 0

, nalmente

1

2

≥

x

n

x

2n

_{+ 1}

.

9. Si

a, b

son números reales positivos, demostrar que:

(

1

a

+

1

b

)(a + b)

≥ 4

.

Solu ión: Como

a > 0

,

b > 0

enton es

(a

− b)

2

≥ 0

, enton es

a

2

+ b

2

≥ 2ab

a la ultima desigualdad los sumamos

2ab

enton es se tiene

a

2

+ 2ab + b

2

≥ 4ab

, luego los dividimos

ab

y ha iendo opera iones tenemos

(

1

a

+

1

b

)(a + b)

≥ 4

. Intervalos de los números reales

Se representa la desigualdad

a < b

sobre una re ta numéri a.

R

Vemos que existe un punto

x

entre

a

y

b

, enton es la desigualdad es

puede es ribir de la forma.

a < x < b

0

x

∈ (a, b)

a esta ultima expresión se le llama intervalos.

Y existen mu hos tipos de intervalos y son:

1. Intervalos Abiertos:

(a, b) =

{x ∈

R

/a < x < b

}

x

∈ (a, b) ↔ a < x < b

2. Intervalos Cerrado:

[a, b] =

_{{x ∈}

R

/a

_{≤ x ≤ b}}

x

_{∈ [a, b] ↔ a ≤ x ≤ b}

3. Intervalos Semi abiertos:

(a, b] =

_{{x ∈}

R

/a < x

_{≤ b}}

[a, b) =

_{{x ∈}

R

/a

_{≤ x < b}}

4. Intervalos Innitos:

(a,

_{∞) = {x ∈}

R

/a < x

_}

[a,

_{∞) = {x ∈}

R

/a

_{≤ x}}

(

_{∞, b) = {x ∈}

R

/x < b

_}

(

_{∞, b] = {x ∈}

R

/x

_{≤ b}}

(

∞, ∞) =

R

Ejemplo 1.0.3. 1. Si

A =

h−∞, 4]

, Hallar

A

p

Solu ión: geométri amente se puede ver que:

A

4

A

p

=

_{h−∞, 4]}

p

=

{x ∈ R/x /

∈ h−∞, 4]}

=

{x ∈ R/ ∼ (x ≤ 4)}

=

_{{x ∈ R/x > 4)}}

=

h4, ∞i

Donde geométri amente es:

A

p

2. Si

A =

h−3, ∞i

, Hallar

A

p

Solu ión: Geométri amente es:

−

3

A

A

p

=

h−3, ∞i

p

=

{x ∈ R/x /

∈ h−3, ∞i}

=

_{{x ∈ R/ ∼ (x > −3)}}

=

{x ∈ R/x ≤ −3)}

=

_{h−∞, −3]}

Donde geométri amente es:

A

p

−

3

3. Si

A =

h−6, 0i ∪ h1, 7]

,

B =

h−∞, 2] ∪ [5, 9i

, halle a)

A

p

; b)

A

∩ B

; )

C = (A

∪ B)

p

4. Dados

A = [

−5, −2i ∪ {1}

,

B =

h−∞, −3] ∪ h0, 4]

, halle i)

A

− B

; ii)

B

− A

.

5. Dados los onjuntos

A =

h−∞, −7] ∪ [0, 2i

;

B = [

−16, −10i ∪

h1, 2]

, en uentre la diferen ia simétri a

A

△

B

.

Valor absoluto

Para entender ¾Qué es el valor absoluto?, sólo diremos que es el

número positivo de ualquier número real.

Deni ión: El valor absoluto de un número real

a

denotado por

|a|

, se

dene omo.

|a| =

(

a ; a

≥ 0

−a ; a < 0

o también se puede denir omo

|a| = m´ax{a, −a}

. Re ordemos que el

valor absoluto de los números reales siempre es un número positivo o

iguales a ero.

1.

|a| ≥ 0

.

Demostra ión:

a < 0

⇒ |a| = −a ⇒ −|a| = a < 0 ⇒ |a| > 0

a = 0

_{⇒ |a| = 0}

a > 0

_{⇒ |a| = a ⇒ |a| = a > 0}

2.

|a| = 0 ⇔ a = 0

. Demostra ión:

|a| = 0 ⇒ 0 = a ∨ 0 = −a ⇒ a = 0

a = 0

_{⇒ |a| = a ⇒ |a| = 0}

3.

∀a ∈

R

,

|a|

2

= a

2

. Demostra ión: Si

a

≥ 0 ⇒ |a|

2

=

|a||a| = a.a = a

2

Si

a

≤ 0 ⇒ |a|

2

=

_{|a||a| = (−a).(−a) = a}

2

4.

∀a ∈

R

,

|a| =

√

a

2

. 5.

∀a ∈

R

,

|a| = | − a|

.

6.

∀a, b ∈

R

,

|a||b| = |ab|

.

Demostra ión:

|ab| =

q

(ab)

2

_{⇒ |ab| =}

√

_a

2

√

_b

2

⇒ |ab| = |a||b|

7.

∀a, b ∈

R

,

|a|

|b|

=







a

b







8.

∀a, b ∈

R

,

|a + b| ≤ |a| + |b|

(Desigualdad triangular).

Demostra ión:

(

|a + b|)

2

= a

2

+ 2ab + b

2

≤ a

2

+ 2

_{|a||b| + b}

2

≤ (|a| + |b|)

2

9. Si

b

≥ 0

y

|a| ≤ b

si y sólo si

−b ≤ a ≤ b

.

Demostra ión:

⇒

) Como

a

≤ |a|

y

|a| ≤ b

tengo

a

≤ b

. Por otro lado,

−b ≤ −|a|

y

−|a| ≤ a

se tiene

−b ≤ a

. Finalmente

−b ≤ a ≤ b

.

⇐

) Si

a

≥ 0

y

|a| = a ≥ 0

por hipótesis

a

≥ b

, de donde

|a| ≥ b

. Y si

a < 0

, enton es

−a > 0

y

|a| = −a

y omo

−b ≤ a

enton es

−a ≤ b

. Finalmente on luimos

|a| ≤ b

.

10. Si

b

≥ 0

y

|a| < b

si y sólo si

−b < a < b

11. Si

|a| ≥ b

si y sólo si

a

≥ b ∨ a ≤ −b

.

Demostra ión:

⇒

) Si

a

≥ 0

enton es

|a| = a

,por hipótesis

|a| ≥ b

enton es

a

≥ b

. Y si

a < 0

enton es

|a| = −a

, por hipótesis

|a| ≥ b

enton es

−a ≥ b

(o

a

≤ −b

. Por lo tanto

a

≥ b ∨ a ≤ −b

⇐

) Como

a

≤ b

enton es

−a ≥ b

, omo sabemos

|a| ≥ a

y

|a| ≥ −a

y también

|a| ≥ b

y

|a| ≥ b

12. Si

|a| > b

si y sólo si

a > b

∨ a < −b

Ejemplo 1.0.4. 1. Demostrar que si

a

y

b

son números reales

en-ton es

||a| − |b|| ≤ |a − b|

.

Solu ión: por hipótesis tenemos:

|a| = |(a − b) + b| ⇒ |a| ≤ |a − b| + |b|

⇒ |a| − |b| ≤ |a − b|

(1.1) y

|b| = |(b − a) + a| ⇒ |b| ≤ |b − a| + |a|

⇒ −(|a| − |b|) ≤ |a − b|

(1.2) de (1.1) y (1.2) tenemos

|a − b| ≥ ||a| − |b||

.

2. Demostrar que

∀a, b, c ∈

R

se umpleque:

|a|−|b|−|c| ≤ |a−b−c|

.

Demostra ión: Sabemos que

|a| = |(a − b − c) + (b + c)|

, enton es

|a| ≤ |a − b − c| + |b + c| ⇒ |a| ≤ |a − b − c| + |b| + |c|

⇒ |a| − |b| − |c| ≤ |a − b − c|

3. Si

a, b, c

∈

R

− {0}

, demuestre que:









bc

a









+







ac

b







+









ba

c









≥ |a + b + c|

Solu ión: Re ordemos la rela ión de la media aritméti a y media

goemétri a

√

ab

≤

a + b

2

. Enton es apli ando al rela ión tenemos:









cb

a









+







ac

b







≥ 2

s









bc

a















ac

b







= 2

√

c

2









cb

a









+









ab

c









≥ 2

s









bc

a

















ab

c









= 2

√

b

2







ca

b







+









ab

c









≥ 2

s







ac

b















ab

c









= 2

√

a

2

sumando y apli ando propiedades, se tiene









cb

a









+







ac

b







+









ab

c











≥ |a| + |b| + |c| ≥ |a + b + c|.

4. Hallar el número

M

que satisfaga la desigualdad









2x + 1

x

− 2

−

1

2









≤ M

para

x

∈ [4, 7]

. Solu ión: Como

2x + 1

x

_{− 2}

= 2 +

5

x

_{− 2}

enton es









2x + 1

x

− 2

−

1

2









=









5

x

− 2

+

3

2









< M

por hipótesis se tiene

x

_{∈ [4, 7] ⇒ 2 ≤ x − 2 ≤ 5}

⇒

1

5

≤

1

x

− 2

≤

1

2

⇒

5

5

≤

5

x

_{− 2}

≤

5

2

⇒

5

2

≤

3

2

+

5

x

_{− 2}

≤ 4

⇒









3

2

+

5

x

− 2









≤ 4.

Por lo tanto

M = 4

.

5. Hallar el valor de

E =

|5x + 12| − 2|2x − 6|

3x

si

x

∈ (0, 3)

.

Solu ión: Primeramente en ontremos los valores de:

a)

|5x + 12|

, omo:

x

∈ (0, 3) ⇒ 0 < 5x < 15

⇒ 0 < 5x < 15

⇒ 12 < 5x + 12 < 27

⇒ |5x + 12| = 5x + 12

(1.3) b)

|2x − 6|

, omo:

x

_{∈ (0, 3) ⇒ 0 < 2x < 6}

⇒ −6 < 2x − 6 < 0

⇒ |2x − 6| = 2x − 6

(1.4)

reemplazando las e ua iones (1.3) y (1.4) a la e ua ión

origi-nal se tiene.

E =

|5x + 12| − 2|2x − 6|

3x

= 3

6. Si

a, b, c

∈

R

, demuestre que

(

_{|a| + |b| + |c|)(a}

2

+ b

2

+ c

2

)

_{≥ 9|abc|.}

Para la solu ión de la pregunta veamos primero dos ejemplos.

Demuestre que: a)









x +

1

x









≥ 2

Solu ión: Si

x > 0

, enton es

x

−1

_{> 0}

enton es

(

√

x

₋

√

x

−1

₎

2

> 0

, operando tenemos









x +

1

x









≥ 2

. Si

x < 0

, enton es

−x > 0

, luego

−x

−1

_{> 0}

nalmente

(

√

−x −

p

−x

−1

₎

2

> 0

operando tenemos









x +

1

x









≥ 2

. b)

1

|c|

+

1

|b|

+

1

|a|

≥

9

|a| + |b| + |c|

.

Solu ión Veamos que su ede on.

(

|x| + |y|)



1

|x|

+

1

|y|



=

|x|

|x|

+

|y|

|x|

+

|x|

|y|

+

|y|

|y|

= 2 +









|y|

|x|

+

|x|

|y|









≥ 4

Finalmente

(

|a| + |b| + |c|)



1

|c|

+

1

|b|

+

1

|a|



≥ 9

Solu ión del ejemplo: Se hará en dos asos:

i) Si alguno es ero, la desigualdad es trivial.

ii) Si ninguno son ero:

|a| > 0, |b| > 0 ⇒ (|a| − |b|)

2

≥ 0

⇒ a

2

+ b

2

_{≥ 2|ab|,}

|a| > 0, |c| > 0 ⇒ (|a| − |c|)

2

≥ 0

⇒ a

2

+ c

2

≥ 2|ac|,

y

|b| > 0, |c| > 0 ⇒ (|b| − |c|)

2

≥ 0

⇒ b

2

+ c

2

_{≥ 2|bc|,}

sumando las desigualdades y dividiendo on

|abc|

, tenemos

a

2

+ b

2

+ c

2

|abc|

≥

1

|a|

+

1

|b|

+

1

|c|

Apli ando los dos ejemplos anteriores tenemos

a

2

+ b

2

+ c

2

|abc|

≥

1

|a|

+

1

|b|

+

1

|c|

≥

9

|a| + |b| + |c|

nalmente tenemos

Máximo entero

Deni ión: Se dene el máximo entero de un número real

x

a la

expresión denotado por

JxK = n

, donde

n

es el mayor entero y menor

que o igual a

x

, esto es,

JxK = n ⇔ JxK = m´ax{n ∈

Z

/n

_{≤ x}}

Teorema

1.

JxK ∈

Z

,

∀x ∈

R

.

Demostra ión: por la mismo deni ión de máximo entero

ten-emos.

JxK = m´ax{n ∈

Z

/n

≤ n} = n ∈

Z

.

2.

JxK = x ⇔ x ∈

Z

.

Demostra ión:

(

⇒)

Por le teorema anterior,

JxK ∈

Z

y omo

JxK = x ∈

Z

(

⇐)

Si

x

∈

Z

enton es

JxK = m´ax{n ∈

Z

/n

≤ x} = n

3.

JxK ≤ x < JxK + 1

,

∀x ∈

R

.

Demostra ión:Pordeni ión

JxK = n ∈

Z

y

n

≤ x

enton es

JxK ≤

x

. Además

n

≤ x

enton es

x

≤ n + 1

,luego

x

≤ JxK + 1

.De ambos resultado se on luye el teorema.

4.

JxK = n ⇔ n ≤ x < n + 1

,

∀x ∈

R

.

Demostra ión: Ejer i io.

5. si

a

∈

Z

,

JxK ≥ a ⇔ x ≥ a

.

Demostra ión:

(

⇒)

Como

JxK ≤ x

y

JxK ≥ a

enton es

x

≥ a

.

(

_⇐)

Como

x

≥ a

y

a

∈

Z

enton es

JxK = m´ax{n ∈

Z

/JxK ≤ x} =

JaK = a

. 6. Si

m

∈

Z

enton es

Jx + mK = JxK + m

. Demostra ión: Ejer i io. 7. Si

x, y

∈

R

,

JxK + JyK < Jx + yK

. Demostra ión:

n

_{≤ x ≤ n + 1 ⇒ JxK = n}

m

_{≤ y ≤ m + 1 ⇒ JyK = m}

sumando ambas e ua iones.

Como

m + n

∈

Z

, enton es

m + n

≤ Jx + yK

. Y además sabemos

que

JxK = n

y

JyK = m

enton es se tiene

JxK + JyK ≤ Jx + yK

8.

∀x ∈

R

x

− 1 < JxK ≤ x

. Demostra ión: Ejer i io. 9.

∀x, y ∈

R

, si

x

≤ y ⇒ JxK ≤ JyK

. Demostra ión: Ejer i io. 10. Si

n = x

− JxK ⇒ 0 ≤ n < 1

. Demostra ión: Ejer i io. 11. Si

x

∈

R

/x = y + n

,

0

≤ n < 1 → y = JxK

. Demostra ión: Ejer i io. 12.

∀x ∈

R

,

JxK + J−xK = 0,

si

x

∈

Z

y

JxK + J−xK = −1,

si

x

∈

R

−

Z

. Demostra ión: Ejer i io.

Ejemplo 1.0.5. 1. Hallar el valor de

E =

s

3

√

6

_{− 1}

{

.

Solu ión: sabemos que

2 <

√

6 < 3

_⇒

1

2

<

1

√

6

_{− 1}

< 1

⇒

3

2

<

3

√

6

− 1

< 3

Luego tenemos Si

3

2

<

3

√

6

− 1

< 2

⇒

s

3

√

6

− 1

{

= 1

y Si

2

≤

3

√

6

− 1

< 3

⇒

s

3

√

6

− 1

{

= 2

2. Hallar el valor de

E =

s

3

_{− 2π}

π + 1

{

.

Solu ión: sabemos que

3

− 2π

π + 1

=

−2 +

5

teo-rema

s

3

− 2π

π + 1

{

=

_{−2 +}

s

5

π + 1

{

, luego

3 < π < 4

_⇒

1

5

<

1

π + 1

<

1

4

⇒ 1 <

5

π + 1

<

5

4

⇒

s

5

π + 1

{

= 1

Finalmente

E =

−2 + 1 = −1

3. Determinar por extensión el onjunto

A =

{J3x − 1K/x ∈ [0, 1]}

.

Solu ión: Sabemos por un teorema que:

J3x − 1K = n ⇔ n ≤ 3x − 1 < n + 1

⇔

n + 1

3

≤ x <

n + 2

3

Pongamos valores a

n

para ver los elementos del onjunto

A

,

Si

n =

−1,

enton es

0

≤ x <

1

3

Si

n = 0,

enton es

1

3

≤ x <

2

3

Si

n = 1,

enton es

2

3

≤ x < 1

Si

n = 2,

enton es

x = 1

Por lo tanto el onjunto es

A =

{−1, 0, 1, 2}

Ejer i ios de Números Reales

1. Demostrar: Si

a, b

∈

R

y

m, n

∈

N, enton es a)

a

m

.a

n

= a

m+n

b)

(a

m

)

n

= a

mn

)

(ab)

n

= a

n

b

n

d)

a

m

a

n

= a

m

_−n

para

a

6= 0

e)

a

m

b

n

= a

m

b

−n

para

b

6= 0

2. Demostrar: Si

a, b

∈

R

y

m, n

∈

N y ningún radi andoes negativo, enton es a)

n

√

a

n

= a

si

n

es impar y

n

√

a

n

=

|a|

si

n

es par. b)

n

√

ab =

√

n

a

√

n

b

)

n

r

a

b

=

n

√

a

n

√

b

para

b

6= 0

d)

(

n

√

a)

m

=

√

n

a

m

e)

m

p

√

_n

c =

nm

√

c

3. Demostrar: Si

x, y

y

b

6= 1

números positivos,

n

∈

R

a)

log

b

(xy) = log

b

x + log

b

y

b)

n log

b

x = log

b

x

n

)

log

b

n

x =

1

n

log

b

x

d)

log

b

(

x

y

) = log

b

x

− log

b

y

e)

log

a

x =

log

b

x

log

b

a

4. Si

a

∈

R

. Demuestre que: a) si

a < 0

enton es

a

−1

_{< 0}

b) si

a > 0

enton es

a

−1

_{> 0}

5. Si

a, b, c, d

∈

R

, demuestre que: si

a < b

y

c < d

enton es

a + c <

b + d

6. Si

a, b, c

∈

R

, demostrar que:

a > b

y

c > 0

si y sólo si

ac > bc

7. Si

a, b, c

∈

R

, demostrar que:

a < b

y

c > 0

si y sólo si

ac < bc

8. Demostrar que:

∀a ∈

R

,

|a| =

√

a

2

9. Demostrar que:

∀a ∈

R

,

|a| = | − a|

10. Demostrar que:

∀a, b ∈

R

,

|a|

|b|

=







a

b







11. Demostrar que: Si

b

≥ 0

y

|a| < b

si y sólo si

−b < a < b

13. Demostrar que:

JxK = n ⇔ n ≤ x < n + 1

,

∀x ∈

R

14. Demostrar que: Si

m

∈

Z

, enton es

Jx + mK = JxK + m

.

15. Demostrar que:

∀x ∈

R

x

− 1 < JxK ≤ x

16. Demostrar que:

∀x, y ∈

R

, si

x

≤ y ⇒ JxK ≤ JyK

.

17. Demostrar que: Si

n = x

− JxK ⇒ 0 ≤ n < 1

.

18. Demostrar que: Si

x

∈

R

/x = y + n

,

0

≤ n < 1 → y = JxK

.

19. Demostrar que:

∀x ∈

R

,

JxK + J−xK = 0,

si

x

∈

Z

y

JxK + J−xK =

−1,

si

x

∈

R

−

Z

.

20. Demuestre que:

||x| − |y|| ≤

q

|x

2

_{− y}

2

_|

21. Pruebe que:

|a| + |b| = |a − b| ⇔ ab ≤ 0

22. Demuestre que:

[

−|a| < x < |b| ∧ −|c| < x < |d|] ⇒ m < xy < M

Donde

m = m´ın

{−|ad|, −|bc|}

y

M = m´ax

{|ac|, |db|}

23. Demuestre que: para todo

a, b

∈

R

− {0}

umple:

1

a

2

+

1

b

2

≥

8

(

|a| + |b|)

2

.

24. Demuestre que: para todo

a, b

∈

R

:

a

2

+ b

2

≥

1

2

(

|a| + |b|)

2

25. Demuestre que: si

b > 0

enton es

|x| + b > 0

para todo

x

∈

R

.

26. Demuestre que: si

a

y

b

tienen signos diferentes, enton es:

a < z < b

_{⇒ 0 ≤ |z| ≤ m´ax{|a|, |b|}}

27. Demuestre que, si

b > 0

, enton es

a

2

< b

_{⇔ |a| <}

√

b

28. Si

a, b, c, d

∈

R

, demuestre que:

2abcd

≤ 2|abcd| ≤ a

2

d

2

+ b

2

c

2

. 29. Si

a, b, c, d

∈

R

, demuestre que:

ac + bd

_{≤ |ac + bd| ≤}

q

(a

2

_{+ b}

2

_)(c

2

_{+ d}

2

₎

30. Si

a, b, c

∈

R

, demuestre que:

(a + 2b + 3c)

2

≤ 14(a

2

+ b

2

+ c

2

)

.

a)

w = x

− JxK ⇒ w ∈ [0, 1)

b)

∀n ∈

Z

: Jx + nK

2

= JxK

2

+ 2nJxK + n

2

) Sea

n

∈

Z

:

z = x

− n

y

0

≤ z < 1

enton es

JxK = n

32. Demostrar que si

a

≤ b ≤ c → |b| ≤ |a| + |c|

33. Demostrar que

∀a, b, c, d ∈

R

:

|a − d| ≤ |a − b| + |b − c| + |c − d|

34. Utilizando los axiomas y algunos teoremas demostrar los

enun ia-dos.

a)

xy(x + y) + yx(y + x) + zx(z + x) > 6xyz

,

∀x, y, z ∈

R

+

distintos b)

(a

2

+b

2

+c

2

)(x

2

+y

2

+z

2

) > (ax+by+cz)

2

,

∀a, b, c, x, y, z ∈

R

+

distintos.

35. Demostrar los enun iados on respe to a valor absoluto y máximo

enteros. a)

(

|a| + |b|)(|a| + |c|)(|c| + |b|) ≥

√

8

|abc|

,

∀a, b, c ∈

R

b) Si

1

x

∈ (h−∞, 1i∪h2, ∞i)

p

,hallarelmenornúmero

M

,









x

_{− 7}

x + 3









≤ M

[1℄ ESPINOZA RAMOS, Eduardo, Matemáti a Bási a.,

Edito-rial Edukperú E.I.R.L.: Quinta edi ión, Lima-Perú, 2009

[2℄ FIGUERO GARCIA, Ri ardo,Matemáti a Bási a. Editorial

Améri a.

[3℄ HAASER, Norman B. LASALLE, Joseph P. SULLIVAN,

Joseph A., Análisis Matemáti o I, Edi iones trillas.

[4℄ K`ÁREINK. C. FRANCO PALLETE, A. RAMOS TAPIA, J.

Matemáti a Bási a, Edirial Universit:de ima edi ión,

Lima-Perú, 2009.

[5℄ VENERO B. Armando, Matemáti a Bási a, Edi iones

Gemar: segunda edi ión, Lima-Perú, 2008.

[6℄ LAGES LIMA,Elon.,Curso de análise, volume 1 ,Instituto