100 Problemas Resueltos de Transfer en CIA de Calor(Erwin Choque)

100

Universidad Técnica de Oruro

Facultad Nacional de Ingeniería

Ingeniería Mecánica-Electromecánica

POR:

Univ. ERWIN A. CHOQUE CONDE

PROBLEMAS RESUELTOS

DE TRANSFERENCIA DE

CALOR

Octubre-2007

ORURO BOLIVIA

































T

k

g

q

T

q

q

q

i

i

1

1

Q. r ( )Q. d d d  Q.r rQ.r d d dr  Q.z zQ.z d d dz  

INDICE

PROBLEMAS RESUELTOS

Transferencia de calor en régimen permanente……….…….…….…….2

Sistemas con generación interna……….….…………14

Espesor técnico económico………31

Aletas……….…………40

Flujo bidimensional……….……….………..52

Conducción en régimen transitorio……….………..55

Convección………..……….62

Intercambiadores………..….…….70

Radiación……….………..……86

ANEXOS

Anexo A. FORMULARIO……….…103

Anexo B. TABLAS Y GRAFICAS

B.-1

TABLA 1. ……….……….………. 106

B.-2

GRAFICA 1. PARA PLACAS……….………….….107

B.-3

GRAFICA 2. PARA CILINDROS……….……….108

B.-4

GRAFICA 3. PARA ESFERAS………..109

Anexo C. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES………...………..110

Anexo D. UNIDADES Y TABLAS DE CONVERSIÓN Y EQUIVALENCIA……..138

PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Transferencia de calor en régimen permanente

1. Se determina que el flujo de calor a través de una tabla de madera de 50[

mm

] de espesor es de 40[

2

/ m

W

] cuyas temperaturas sobre la superficie interna y externa son 40 y 20ºC respectivamente ¿Cuál

es la conductividad térmica de la madera?

DATOS:

2. Compare las velocidades de transferencia de calor a través de una muestra de madera de pino blanco

cuando la transferencia es transversal a la fibra y cuando es paralela a la fibra. La conductividad

térmica para el primer caso es 0.15



W

/

m

º

C



y para el segundo caso 0.35



W

/

m

º

C



.

SOLUCIÓN Para:

Pino transversal

Pino paralelo

Existe mayor transferencia de calor con el pino de fibra en paralelo

3. Un chip cuadrado isotérmico tiene un ancho w=5[

mm

] de lado y esta montado en un sustrato de

modo que sus superficie lateral e inferior están bien aisladas, mientras que la superficie frontal se

expone a la corriente de un fluido refrigerante a 15ºC. A partir de consideraciones de confiabilidad,

la temperatura del chip no debe exceder de 85ºC. Si el fluido refrigerante es aire y el coeficiente de

convección correspondiente es h=200



W

/

m

2

º

C



a) ¿Cuál es la potencia máxima admisible del

chip? b) Calcule y elabore una gráfica de la potencia admisible como función de h para el rango

200<h<2000



W

/

m

2

º

C



.

DATOS:

SOLUCIÓN a) El área de transferencia La potencia máxima admisible

b) Q T1 T2 L T2  40C _Qa 40 W m2  T1  20C _L1  50mm k m Qa L1  T2 T1  _{k m 0.1} W m C   T  1C k t 0.15 W m C  _Qt  _{k t}T _Qt 0.15 J m s   k p 0.35 W m C  _Qp  _{k p}T _{Qp 0.35} J m s   h w circuitos  T w T1 w 5mm T1  85C T_  15C h 200 W m2C  Aw  w w _{Aw 2.5 10}  5m2 Qadm  Aw h 



T1 T 



Qadm 0.35 W Qad h( )  _{Aw h} 



_{T1 T} _



_h 200 W m2C 300 W m2C  2000 W m2C   0 1 10 3 2 10 3 0 1 2 3 4

W/m2

ºC

W

Qad h( ) h

4. Un fluido refrigerante de una unidad de refrigeración construida de acero (k=40



W

/

m

º

C



) con

diámetro externo de 1.5

 

m

espesor de ¼¨ y 2

 

m

de altura, debe ser mantenido a una temperatura

constante de -16ºC El tanque esta localizado en un ambiente de aire acondicionado a 22ºC y esta

aislado con 2´´ de poliestireno (k=0.026



W

/

m

º

C



) cuya temperatura externa debe ser mantenida

constante e igual a 21ºC. El operador a notado que hubo un aumento de temperatura en el ambiente,

debido a un defecto del termostato del aire acondicionado, ocasionando una variación de 10ºC en la

temperatura de la superficie externa del aislamiento térmico Calcule: a) La razón de variación de T.C.

a través del tanque b) El espesor del aislante para las nuevas condiciones ambientales.

DATOS:

El diámetro interno del tubo

Se desprecia el espesor del tubo El área media logarítmica del aislante

El calor para las nuevas condiciones

b) El espesor del aislante requerido De et Lt Ti Tw1 Tw2 eais Ti  16C k 40 W m C  Tw1 21C De  1.5m eais  2in et  1₄in k ais 0.026 W m C  Lt  2m Tw2 31C Di  De 2 et  Di 1.4873 m Am1 2 _{Lt eais} ln 1 2 eais  De 









 _{Am1 9.74048 m} 2

Q1ais Am1 kais



eais 



Tw1 Ti



 _{Q1ais 184.4555 W}

Q2ais Am1 kais

 eais 



Tw2 Ti



 _{Q2ais 234.30834 W} Q% Q2ais Q1ais  Q1ais  Q% 27.02703 % Q1ais Am kais  en 



Tw2 Ti



 2Ltk ais ln 1 2 en  De 









Tw2 Ti





  _Am 2Lten ln 1 2 en  De 









 en De₂ e 2_Lt_kais



_{Tw2 Ti}



Q1ais 1 

















  _{en 6.51109 cm} 

5. Se conecta un resistor eléctrico a una batería, como se muestra en el esquema. Después de una

breve fluctuación transitoria, la resistencia toma una temperatura de estado estable casi uniforme

de 95 ºC, mientras que la batería y los alambres de conexión permanecen a la temperatura

ambiente de 25ºC No tome en cuenta la resistencia térmica eléctrica de los alambres de conexión.

a) Si se disipa energía eléctrica de manera uniforme dentro del resistor, que es un cilindro de

diámetro D=60

 

mm

y longitud Lr=25

 

mm

. a) Cuál es la velocidad de generación de calor

volumétrica g



W

/ m

3



b) Sin tener en cuenta la radiación del resistor. ¿Cuál es el coeficiente de

convección que debería tener para evacuar todo el calor?

DATOS:

La velocidad de transferencia de calor

El volumen de la resistencia El área de T.C. por convección

La generación volumétrica

El coeficiente de convección

6. Se requiere calcular la pérdida de calor de un hombre en un ambiente donde la temperatura de la pared

es 27ºC y del ambiente es de 20ºC si el ser humano tiene una temperatura superficial de 32ºC y un

coeficiente de transferencia de calor por convección entre el hombre y el ambiente y emisividad de 3



W

/

m

2

º

C



y



=0.9 respectivamente, se sabe que un ser humano normal tiene una superficie corporal de

1.5m2, despreciar la resistencia térmica de la ropa. Calcular también la energía perdida en 24hr.

+

-V=24V I=6A 

T

h

aire resistor V1  24V _Lr  25mm I1  6 A Dr  60mm Tw  95C T_  25C Qtr  V1 I1 Qtr 144 W

Vcil  ₄ Dr2Lr Vcil 7.06858  105m3 _Atr _Dr_Lr 

2 Dr 2    _Atr 0.01037 m2 gvol Qtr Vcil  _{gvol 2.03718}  106 W m3   htr Qtr Atr Tw T



 



 _htr 198.42694 W m2C   Tw  (27  273)K hh 3 W m2K  _td  24hr T_  (20 273)K _ 0.9   5.67 108 W m2K4   Th  (32273)K Ah  1.5m2 Qh  Ah hh 



Th T 



Qh 54 W Qr  Ah

_



Th4Tw4



_

Qr 42.37919 W Qtot  Qh Qr Qtot 96.37919 W E  _{Qtot td} E 1.98891 106cal

7. Una sonda interplanetaria esférica de 0.5

 

m

de diámetro contiene dispositivos electrónicos que

disipan 150

W

la superficie de la sonda tiene una emisividad de 0.2 y la sonda no recibe radiación

de otras superficies como por ejemplo del Sol. a) ¿Cuál es la temperatura de la sonda si la del

ambiente es de 25ºC? b) Si en la superficie exterior de la sonda varia la emisividad en el rango de

9

.

0

2

.

0







graficar la temperatura de la sonda en función de la emisividad.

DATOS:

El área de la sonda

La variación de la temperatura

8. Se quiere diseñar un calentador de 10[

KW

] usando alambre de Ni - Cr (Nicrom). La temperatura

máxima de la superficie del Nicrom será 1650 ºK y la temperatura mínima del aire circundante es

370K. La resistividad del Nicrom es 110







*

cm



y la energía para el calentador está disponible a

12 voltios. a) ¿Qué diámetro de alambre se requiere si el calentador usa un solo trozo de 0.6 m de

longitud? b) ¿Qué longitud de alambre debería tener para un calibre de 14 (BWG 14. d = 0.083

 

p

lg

) c) Qué coeficiente de convección debería tener el ambiente para evacuar todo el calor en

ambos casos.

DATOS: Dso  0.5m  5.67 10 8 W m2K4   ₁  0.2 T_  (273  25)K _Qsonda  150 W



As 4 Dso 2













2   _As 0.7854 m2



Qsonda 1 As  Tw 4 T_4 









  _Tw Qsonda _{1 As}  T 4 









1 4  _{Tw 396.54913 K} Tw( ) Qsonda _As T 4 









1 4    0.2 0.22  0.9 0.2 0.4 0.6 0.8 1 320 340 360 380 400 Tw( ) 

T

h

aire NICROM V=12V D L O 1650K Ncal  10 10 3W Tn  1650 K To  370 K   110106cm Vn  12V

La potencia

a)

b)

c)

9. Dos ambientes A y B de grandes dimensiones están separadas por una pared de ladrillo k=1.2



W

/

m

º

C



de 12

 

cm

de espesor y de emisividad superficial de 0.78 la temperatura externa del

ladrillo en el ambiente B es de 120ºC y la temperatura del aire y sus alrededores del mismo

ambiente es de 30ºC la transferencia de calor por convección libre del ambiente B es de 20



W

/

m

2

º

C



encontrar la temperatura de la superficie interna del ladrillo en el ambiente A.

DATOS:

SOLUCIÓN:

Por balance de energía

Calor por Conducción =Calor por Convección + Calor por Radiación

Ncal Vn I Vn 2 Rn  Vn 2 At  L  Vn 2_ d2  4L  La  0.6 m _da Ncal 4   _La Vn2  _{da 0.76392 cm}  db  0.083 in _Lb Vn 2   _db2 4_Ncal  _{Lb 4.56965 cm}  ha _ Ncal La  _da



_{Tn To}



 _{ha 542.5542} W m2K   hb _ Ncal Lb  _db



_{Tn To}



 _{hb 25813.38996} W m2K   B T A

T

B

A



h

_B

T

 L Q L  0.12 m k 1.2 W m K  TB  (273 120)K   0.78 T_B  (273  30)K hB 20 W m2K   5.67 10 8 W m2K4   k A L  



_{TA TB}



_{A hB} 



_{TB T} _B



 A  



_

_TB4T_B4



_

k L



TA TB



hB TB T



 B



  TB 4 T_B4 









   TA hB TB TB 





   



_

_TB4 T_B4



_









L k  TB









 TA 641.22126 K TA 368C

10. Una casa tiene una pared compuesta de madera (Lm=10

 

mm

, k=0.109



W

/

m

º

C



), aislante de

fibra de vidrio (Lf=100

 

mm

, k=0.035



W

/

m

º

C



) y tablero de yeso (Ly=20

 

mm

, k=0.814



W

/

m

º

C



), como se indica en el esquema. En un día frió de invierno los coeficientes de transferencia de

calor por convección son hi=60



W

/

m

2

º

C



y he=30



W

/

m

2

º

C



el área total de la superficie es de

350

 

m

2

si el aire interior se mantiene a 20ºC a) Determine una expresión simbólica para la

resistencia térmica total de la pared, incluyendo los efectos de convección interior y exterior para

las condiciones establecidas. b) Determine la expresión para la perdida de calor a través de la

pared. c) Grafique la potencia disipada en función del tiempo. d) Calcule la energía calorífica

transmitida del interior al exterior para un día. Si las condiciones mas realistas en las que el aire

exterior se caracteriza por una temperatura que varia con el día (tiempo), de la forma:

h

t

t

sen

K

T

_e

)

0

12

24

*

2

(

*

5

255

)

(













Si t

 

hr

y T

 

K

h

t

t

sen

K

T

_e

)

12

24

24

*

2

(

*

11

273

)

(













Si t

 

hr

y T

 

K

DATOS: Madera Fibra de vidrio Yeso a) b) La transferencia de calor 10mm 100mm 20mm i T e T m a d e ra fibra de vidrio yeso ho hi hi 60 W m2K  Atrf  350 m2 T_i  (273  20)K he 30 W m2K  k m 0.109 W m K  _Lm  10mm k f 0.035 W m K  _Lf  100 mm k y 0.814 W m K  _Ly  20mm R 1 hi Atrf Lm k m Atrf  Lf k f Atrf  Ly k y Atrf  1 he Atrf 









 R 0.00864 K W   Tma ñ t1 ( ) 273 K 5 sin 2 24 hr t1













 K   t1  0hr 0.1hr 12hr Ttar t2( ) 273 K 11 sin 2 24 hr t2













 K   t2  12hr 13hr  24hr Qma ñ t1 ( ) T_{i Tma} ñ t1 ( )  1 hi Atrf Lm k m Atrf  Lf k f Atrf  Ly k y Atrf  1 he Atrf   Qtar t2( ) T_i _{Ttar t2}( ) 1 hi Atrf Lm k m Atrf  Lf k f Atrf  Ly k y Atrf  1 he Atrf  

c)

d) Energía diaria que pierde

11. Por un tubo de material (AISI 304) de 2” de diámetro interior y ½” de espesor, circula vapor a 5

 

Bar

y esta expuesto al medio ambiente de 30ºC con un coeficiente de convección de 10



W

/

m

2

º

C



,

calcular el flujo de color por la tubería por metro de longitud.

DATOS:

Del material

(AISI 304)

Área interna del tubo

Área externa del tubo

El área media logarítmica del tubo

El calor transmitido 0 4 10 4 8 10 4 260 265 270 275 280 Tma ñ t1 ( ) Ttar t2( ) t1 t2 0 4 10 4  8 10 4 1.5 10 3 2 10 3 2.5 10 3 3 10 3 3.5 10 3 4 10 3 Qma ñ t1 ( ) Qtar t2( ) t1 t2 Q t E d d  _E1 0hr 12hr t1 Qma ñ t1 ( )    d  _{E1 8.40996} 107J E2 12hr 24hr t2 T_{i Tma} ñ t2 ( ) 





R     d  _{E2 1.15936} 108J ET  E1 E2 ET 2.00036 108J di de L Tsat h  T

Tsat

di  2in k 16.6 W m C  et  0.5in h 10 W m2C  de  di 2 et Tsat  T R cond _{R conv} Q T  30C de 0.0762 m Tsat  151.86 C L  1m Q Tsat T_  Rcond Rconv  Tsat T et Am k 1 Ae h   Ai  diL _Ai 0.15959 m2 Ae  deL _{Ae 0.23939 m} 2 Am Ae Ai  ln Ae Ai









 _Am 0.1968 m2 Q Tsat T_  et 1   Q 289.03011 W

12. Una mezcla química se almacena en un contenedor esférico (k=50



W

/

m

º

C



) cuyo radio exterior

es de 208

 

mm

y un espesor de 20

 

mm

. En la pared interna de la esfera la temperatura se

mantiene constante a 150ºC. Calcular la transferencia de calor si este esta expuesto al medio

ambiente de 15ºC y un h=12.25



W

/

m

2

º

C



. Se propone cubrir con una capa de aislante “lana de

vidrio” de espesor 10

 

mm

para reducir las perdidas de calor; en que porcentaje disminuye la T.C.

con el aislante.

_DATOS:

El área interna de la esfera

El área externa de la esfera ó interna del aislante El área externa del aislante

El área media cuadrática de la esfera

El área media cuadrática del aislante

a) Esfera sin aislante

b) Esfera con aislante

Tsat re h  T h et e_ais Tsat  150 C k 50 W m C  T_  15C re  0.208 m k ais 0.04 W m C  et  20mm ri  re et ri 0.188 m Riais  re h 12.25 W m2C  eais  10mm

Reais  Riais eais Reais 0.218 m Ai  4_ri2 _Ai 0.44415 m2

Ae  4_re2 _{Ae 0.54367 m} 2

Aeais  4_Reais2 _Aeais 0.5972 m2

Am  4_ri_{re Am} 0.4914 m2

Amais  4_re_{Reais Amais} 0.56981 m2

 T R cond _{R conv} Q Q1 Tsat T_  et Am k 1 Ae h   _{Q1 894.2487 W} Tsat  T R cond _{R conv} Q R cond aisl Q2 Tsat T_  et Am k eais Amais kais  1 Aeais h   Q2 234.27394 W Q1 Q2

13. Dos varillas de cobre largas de diámetro D=10

 

mm

, L=70

 

mm

cada una, se sueldan juntas

extremo con extremo; la soldadura tiene un punto de fusión de 650°C. Las varillas están en aire a

25°C con un coeficiente de convección de10



W

/

m

2

º

C



. ¿Cuál es la potencia mínima de entrada

necesaria para efectuar la soldadura?

DATOS:

14. Las temperaturas de la superficie interior y exterior de una pared plana de 0.60

 

m

de espesor se

mantienen constantes a 773 K y 323 K, respectivamente. El material de la pared tiene

conductividad calorífica que varía linealmente con la temperatura, de acuerdo con la expresión k =

0.116[0.454 + 0.002T]



W

/

m

º

C



. Determinar: a) La transferencia de calor b) Demuestre que a la

transferencia de calor será el mismo cuando la conductividad térmica es calculada a la temperatura

media aritmética de la pared. c) Grafique la distribución de temperatura y la conductividad térmica

en función de la distancia.

DATOS: a) b)

D

L

h



T

L

Tf

dv  10mm _Lv  70mm Tf  650 C ha 10 W m2C  T_a  25C Qh  2_dv_Lv_ha



_Tf T_a



Qh 27.48894 W T1=773K T2=323K K=o*(p+q*T) At Qtra X[m] T[K] etr  0.6 m _At  1m2 T1  773 K T2  323 K k1 0.116(0.454  0.002 T ) W m K   o 0.116 W m K  p  0.454 q 0.002 1 K   k 1 T( )  o p(  q T ) Qtra kA xT d d













  0 etr x Qtra At      d T1 T2 T o p( q T )    d   Qtra At etr o p T1( T2) q 2 T1 2 T22 





 









 



Qtra o At  etr p T1( T2) q 2 T1 2 T22 





 









  _{Qtra 134.85 W}  Tm  T1₂ T2 Tm 548 K k 1m  o p



 _{q Tm}



_{k 1m 0.1798} W m K   Qtra1 k 1m At  etr (T1T2)  _{Qtra1 134.85 W} 

c) La distribución de temperatura y la conductividad

15. Algunas secciones de una tubería que transporta combustóleo están soportadas por barras de

acero (k=61



W

/

m

º

C



) de 0.005

 

m

2

de sección transversal. En general la distribución de

temperatura a lo largo de las barras es de la forma:

T

(

x

)



100



150

x



10

*

x

2

donde T esta en

grados Celsius y “x” en metros. Calcule el calor que pierde de la tubería a través de cada barra.

Para el flujo máximo

16. Un cono truncado solidó tiene una sección transversal circular, y su diámetro esta relacionado con

la coordenada axial mediante una expresión de la forma de

D



a

* x

3/2

donde

a



1

.

 

m

1/2

la

superficie lateral esta bien aislada, mientras que la base pequeña se encuentra en x1=0.0075

 

m

y

tiene una temperatura de 100ºC y la base mayor se encuentra a x2=0.225

 

m

y una temperatura

de 20ºC. a) Hallar el flujo de calor b) Derive una expresión para la distribución de temperatura T(x)

c) graficar la distribución de temperatura, si el cono es de aluminio (k=240



W

/

m

º

C



).

DATOS: Incógnitas a) T (x) x T( ) At o  Qtra p T1( T) q 2 T1 2 T2 





 









  T  773 K 323 K 323 K 300 400 500 600 700 800 0 0.2 0.4 0.6 x T( ) k1 T( ) T k 61 W m C  _Ai  0.005 m2 Tx 100 150 x 10 x 2 xTx d d 150   20 x ( )C m  Q k_Ai xTx d d













  k_Ai(150 20 x ) x  0 Q k_Ai (150  20 x ) C m

























  Q 45.75 W 2 / 3 * x a D X D/2 T2 T1

Q

x1 x1  0.0075 m a 1 m 1 2    T1  100 C x2  0.225 m k 240 W m C  T2  20C

La ecuación de conducción a) ...1 ) ... 2) b) De la ecuación 2 c)

17. Hallar la distribución de temperatura, el flujo de calor y el área media de una esfera hueca de radio interno

R1 y externo R2, cuyas temperaturas interna y externa son T1 y T2 respectivamente.

T

k

x

A

Q

x









_



*

*

) (

x

T

A

k

Q

_x









*

_{( )}

*

_

T

k

x

x

a

Q

_

_

_

_

















*

*

*

*

*

4

2 2 3



T

k

x

D

Q













*

*

*

*

4

2









x

k

T

x

a

Q













*

*

*

*

*

4

3 2







2 1 2 1 2 2

*

(

)

*

*

)

2

(

*

4

T T x x

k

T

x

a

Q

_

_





)

*

(

1

)

1

1

(

*

*

2

2 2 1 2 2 2

k

T

T

x

x

a

Q

_

_

_





)

1

1

(

*

2

)

1

(

*

*

*

2 1 2 2 2 2

x

x

T

T

k

a

Q











Q 



2 a 2  k T2 T1  1 x22 1 x12    Q1.69835 W





x

k

T

x

a

Q













*

*

*

*

*

4

3 2







T T x x

k

T

x

a

Q

1 1 2 2

*

(

)

*

*

)

2

(

*

4











)

1

(

*

)

1

1

(

*

*

2

2 1 2 2

k

T

T

x

x

a

Q









T x( ) _T1 2 Q ka2 1 x2 1 x12 









   x  0.0075 m 0.01m  0.225 m 0 0.1 0.2 0.3 0 20 40 60 80 100 T x( ) x

































T

k

g

q

T

q

q

q

i i

1

1

0

1

2 2























x

T

x

x

x







_





_



_









x

x

T

r

2

0

*



La distribución de temperatura es:

El calor transferido es:

El área media es:

18. En el cubo interior de10

 

cm

de lado de plastoform con un espesor de 10

 

cm

se introduce trozos

de hielo con una masa total de 1

 

kg

, después de 45

 

min

, se pudo observar que una parte del

hielo se fusiona y se extrae un volumen de agua de 30ml.¿Calcular la conductividad térmica del

aislante (plastoform) y el coeficiente de T.C. por convección externo del cubo, considerando que la

temperatura en la superficie exterior se mantiene a una temperatura de 13ºC.

DATOS:

La masa del hielo convertido en agua

El calor transmitido por el aislante al hielo

El área variable respecto a la coordenada "x"

x

r

C

x

T



























2

1

2

1

) (

C

r

C

T

_r







1

2

1

1

1 ) (

C

T

R

C

T

_{r rR}









)

2

1

(

2

*

1

*

)

2

1

(

1

R

R

R

R

T

T

C









2

2

2

1

2 ) (

C

T

R

C

T

_{r rR}









)

2

1

(

2

*

)

2

1

(

1

2

R

R

R

T

T

T

C











1

)

2

1

(

2

*

)

2

1

(

)

1

2

(

*

2

*

1

*

)

2

1

(

) (

T

R

R

R

T

T

R

R

r

R

R

T

T

T

_r















2 2 2 2

)

)

1

2

(

*

2

*

1

*

)

2

1

(

(

*

*

*

4

*

*

)

(

*

r R r R

R

R

r

R

R

T

T

r

k

r

T

r

A

k

Q

_{ }

















 

W

R

R

T

T

R

R

k

Q

)

1

2

(

)

2

1

(

*

2

*

1

*

*

*

4









Am R2R1 r 1 A r( )      d  R2R1 R1 R2 r 1 4r2      d  R1R2 1  4 1 R2 1 R1 









  4R1R2

w

w

w

Two (13273.15)K wo  10cm Toi  273.15 K eo  10cm Lo  wo 2 eo  Lo 0.3 m h2o 1000 kg m3  mh  1kg

tf  45min _Lfo 80000 cal

kg  Lo Wo Two L Tx Ax Vh2o  30 106m3 T_  (15 273.15)K mo  h2o Vh2o mo 0.03 kg Qo mo Lfo  tf  _{Qo 3.7216 W} Lo wo





2

Para el área media se tiene la siguiente formula

El área total de transferencia

El calor por conducción

La conductividad del aislante

El coeficiente de convección Am eo x 1 Ax      d 



Am 



Lo wo



Lo x 1 Ax      d eo Lo wo





Lo  Am 0.06 m2



AmT  6 Am AmT 0.36 m2 Q _{k o Am} Tw To 





eo   k o Qo eo 

AmT Two Toi











k o 0.07952 W m K   hc Qo 6 Lo Lo



T_ _Two



 _hc 3.44593 W m2K  

Q. r ( )Q. d d d    Q.r rQ.r d d dr   Q.zd_dzQ.zdz



Por balance de energía

.... a)

... b)

De la ecuación de Fourier

SISTEMAS CON GENERACION INTERNA

19. Deduzca la ecuación general de la conducción para un cilindro hueco y a partir de ella deducir las

ecuaciones de FOURRIER, POISSON, LA PLACE.

Eentra Egenerado Esale Ealmacenado Eentra Qr Q_ _Qz Esale





Qr d_drQrdr









Q (r)Q d d d 













 _Qz zQz d d dz 













  Eentra Esale d_drQrdr r ( )Q d d d  zQz d d dz 













  Q kA dT dx   Qr k r(dz d r ( )) dT dr   _{k r}rdzd dT dr   rQr d d r k r r  dzd dT dr 









d d   Q_ k_(dr dz ) dT d   k_dzdr dT d   r ( ) Q_ d d (r) k_dzdr dT d 









d d       dT      dT d d



   dT



Reemplazamos estas ecuaciones en la ecuación b)

.... c)

.... d)

.... e)

Las ecuaciones c),d) y e) reemplazamos en la ecuación a) y dividiendo entre ( )

Entonces la ecuación general de la conducción para flujo cilíndrico es:

La ecuación de difusión de Fourier:

La ecuación de Poissón:

La ecuación de La place:

20. Una pared plana de 10

 

cm

de espesor (K=19



W

/

m

º

C



) genera calor en su interior a la rapidez de

0.41



MW

/ m

3



. La superficie interna de la pared esta perfectamente aislado y la superficie externa

se expone a un ambiente a 89ºC. El coeficiente de convección entre la pared y el ambiente es de

570



W

/

m

2

º

C



calcule la distribución de temperatura, y la temperatura máxima.

DATOS

Incógnita T (x)

Condiciones

- régimen permanente

- coordenadas rectangulares i=0 , q=x - con generación de energía

Eentra Esale r k r r dT dr 









d d  (dz d )dr  k dT d 









d d dz  drd  z k z dT dz 









d d dr  ddz   Egenerado g V    d  g dr d r( ) g r drddz Ealmacenado m Cp T VCpT (r dr ddz)Cp dT d   r k drddz k _{k r} _{k z}k_ 1 r r r dT dr 









d d  1 r2  dT d









d d   z dT dz









d d  g k  Cp dT d   1 r r r dT dr 









d d  1 r2 2  T d d 2   2 z T d d 2  g k  Cp dT d   g 0 1 r r r dT dr 









d d  1 r2 2  T d d 2   2 z T d d 2  Cp dT d   dT d 0 1 r r r dT dr 









d d  1 r2 2  T d d 2   2 z T d d 2  g k  0 g 0 dT d 0 1 r r r dT dr 









d d  1 r2 2  T d d 2   2 z T d d 2  0

h



T

L

Q=0

g

k

L  10cm g 0.41 10 6 W m3  k 19 W m C  T_  89C h 570 W m2C 

SOLUCIÓN:

... 1)

Por la condición de frontera de segunda clase

Por la condición de frontera de tercera clase

Calor generado = Calor por convección

Se reemplaza en la ecuación 1

La temperatura máxima es cuando x=0

































T

k

g

q

T

q

q

q

i i

1

1

0

1

0 0

























k

g

x

T

x

x

x









0

















k

g

x

T

x



x

k

g

x

T

_

_

_



















_





_





















x

k

g

x

T

1

C

x

k

g

x

T

_

_

_





















x

C

x

k

g

T











_

_





1















_

_





x

C

x

k

g

T

1



2

*

1

*

2

2 ) (

x

C

x

C

k

g

T

X









0

1

0

1

)

(

) 0 (



















x

C

k

g

f

x

x

T

x



C1 0 h g

Q

Q



)

T

)

(

(

*

*

*

V



h

A

T

x

_XL



_

g

)

2

*

2

(

*

*

*

*





L

2



C



T

_

k

g

A

h

L

A

g











T

k

L

g

h

L

g

C

*

2

*

*

2 2 











T

k

L

g

h

L

g

x

k

g

T

_X

*

2

*

*

*

2

2 2 ) (











_h



T



L

g

x

L

k

g

T

_X

*

*

*

2

2 2 ) (







 









T

h

L

g

L

k

g

T

_{X X}

*

0

*

*

2

2 2 0 ) ( Tx0 _{2 k}g_ L2 g L h   T_  _Tx0 268.82456 C

21. Una varilla larga de acero inoxidable de 20

 

mm

*20

 

mm

de sección transversal cuadrado, esta

aislado en tres de sus lados y se mantiene a una temperatura de 400ºC en el lado restante.

Determínese la temperatura máxima en la varilla cuando esta conduciendo una corriente de 1000

Amperios. La conductividad térmica y eléctrica del acero inoxidable se puede suponer que es de

46



W

/

m

º

C



y 1.5E4







cm



1

y se puede despreciar el flujo de calor en la varilla.

DATOS:

Condiciones

- régimen permanente

- coordenadas rectangulares i=0 , q=x - con generación de energía

Incógnita: SOLUCIÓN:

El área transversal

La resistencia

El calor generado

El calor generado por unidad de volumen

De la

Ecuación general de la conducción

... 1) Por la condición de frontera de segunda clase

Por condición de frontera de primera clase

En la ecuación 1)

La temperatura máxima es cuando x=0 :

I a a

L

W T a  20mm I  1000 A k e 1.5 104 1 cm   k t 46 W m C  Tw  400 C L  1m Tmax º C ( ) At  a a _At 0.0004 m2 R 1 k e L At   R 0.00167 G  I2R G1666.66667 W g G V  g G At L  g 4.16667 106 W m3  

































T

k

g

q

T

q

q

q

i i

1

1

0

























ke

g

x

T

x

2

*

1

*

2

2 ) (

x

C

x

C

kt

g

T

_X











0

1

0

1

)

(

) 0 (



















x

C

kt

g

f

x

x

T

x



C1 0

2

*

2

2 ) (

a

C

kt

g

T

T

_{X Xa}



_w







a

T

_w

kt

g

C



2



*

2

2



T x( ) g 2 k t a 2 x2 





  _Tw  x  0m 0.001 m 0.02 m 0 0.01 0.02 400 405 410 415 420 T x( ) Tmax g 2 k t a 2  _Tw  _{Tmax 418.11594 C}

22. Una pared plana de dos materiales, A y B, la pared del material A tiene una generación de calor

uniforme g=2.1E6



W

/ m

3



kA=65



W

/

m

º

C



y un espesor LA=50

 

mm

. El material B de la pared

no tiene generación y su kB=150



W

/

m

º

C



y el espesor LB=20

 

mm

. La superficie interior del

material A esta bien aislada mientras que la superficie exterior del material B se enfría con un flujo

de agua con

T

_



30

º

C

y h=5000.



W

/

m

2

º

C



. a) Dibuje la distribución de temperatura que existe

en el compuesto bajo condiciones de estado estable, b) Determinar la temperatura To de la

superficie aislada c) Calcule la temperatura T2 de la superficie enfriada.

DATOS: Incógnitas: a) T(x) b) To c) T2 Condiciones - régimen permanente

- coordenadas rectangulares i=0 , q=x - con generación de energía

SOLUCION:

De la

Ecuación general de la conducción en la pared plana se tiene

Por la condición de frontera de segunda clase

Por condición de frontera de primera clase

El volumen de la placa generada

Balance de energía

h

LA

g

k

LB

KA

KB

2 T

Q=0

T

 1 T g 2.1 10 6 W m3   A  1m2 LB  20mm KA 65 W m C  T_  30C LA  50mm KB 150 W m C  h 5000 W m2C 

2

*

1

*

2

2 ) (

x

C

x

C

K

g

T

A X









0

1

0

1

)

(

) 0 (



















x

C

K

g

f

x

x

T

A x



C1 0

2

*

2

2 1 ) (

L

C

K

g

T

T

A A a X X 









1 2

*

2

2

L

T

K

g

C

A A





Vvol  LA A Vvol 0.05 m 3 Qg Qk Qh g Vvol A h 



_{T2 T} _



_T2 g LA  h  T  _{T2 51 C} g Vvol KB A  LB 



T2 T1



 _T1 g LA LB KB T2  _{T1 65 C}

La temperatura máxima

23. Graficar la distribución de temperaturas donde en una placa formada de un material de

conductividad 30



W

/

m

º

C



de 20

 

mm

de espesor, en el que se genera calor a una rapidez de

5*E7



W

/ m

3



. La placa esta refrigerada por ambos lados con agua en un lado a 60ºC y en el otro a

90ºC con un coeficiente de traspaso de calor de 8500



W

/

m

2

º

C



y 7900



W

/

m

2

º

C



en uno y otro

lado respectivamente. Calcule también la temperatura máxima y su posición.

DATOS:

La solución general es:

TA x1( ) g 2 KA LA 2 x12 









 _T1  x1  0mm 0.1mm 50mm TB x2( ) _T1 g LA  KB 



x2 LA



  x2  50mm 55mm 70mm 0 0.02 0.04 0.06 50 100 150 TA x1( ) TB x2( ) x1 x2 x1  0 _{TA x1}( ) 105.38462 C



T

T2 T1 2



T

1 h1 h2 L x p k p 30 W m C  T_2  90C Lp  20mm h1 8500 W m2C  gp 5 10 7 W m3  h2 7900 W m2C  T_1  60C 2 x T d d 2 _gp k p  0 xT d d gp  k p x  C1 



T gp  2 k p x 2  _{C1 x}  _C2 

Por condiciones de frontera de primera clase: x 0



k p  xT d d













 h1 T



_1 T x( )



_{k p}

 

_C1 h1 T



_1 _C2



x _Lp



k p  xT d d













 h1 T x



( ) T_2



_{k p} gp  _Lp 2 k p C1













 h1 g  _Lp2 2 k p C1 Lp C2 T2

















  C1 T_1 T_2 gp Lp 2  2 k p  gp Lp h2  k p  h1 k p h2  _Lp 



C1 17927.97457 C m   C2 k p C1  h1  T1 



C2 123.2752 C T x( ) gp  x2 2 k p C1 x  C2  x  0mm 1mm 20mm 0 0.01 0.02 120 140 160 180 200 220 T x( ) x xT d d g  k x  C1  0 x C1 kp  gp  x 0.01076 m T x( ) 219.69889 C

24. Un alambre de cobre de 1

 

mm

de diámetro esta uniformemente aislado con un material plástico

de forma que el diámetro externo del conductor aislado es de 3

 

mm

el conductor esta expuesto a

un ambiente de 38ºC. El coeficiente de transmisión de calor desde la superficie exterior del plástico

a los alrededores es de 8.5



W

/

m

2

º

C



a) Cuál es la máxima corriente que en régimen estacionario

puede conducir este alambre sin que sobrepase en ninguna parte del plástico el limiten de

operación que es de 93ºC? las conductividades caloríficas y eléctricas se suponen constantes para

el cobre y son 377



W

/

m

º

C



y 5.7E5







cm



1

respectivamente, para el plástico kp=0.35



W

/

m

º

C



b) Cual es el flujo de calor c) Grafique la distribución de temperatura.

DATOS:

Condiciones

- régimen permanente

- coordenadas cilíndricas i=1 , q=r - con generación de energía

El área transversal

El área de transferencia de calor por convección

El área media logarítmica del aislante

De la ecuación general de la conducción

Para nuestras condiciones

Q

h

d=1mm D=3mm Tw1 kais Kcu 

T

T2 d  1mm Lcu  1m D  3mm T_  38C _eais D d 2  h 8.5 W m2C  _eais 0.001 m Tw1  93C _{k ais} 0.35 W m C  k cu 377 W m C   _cu 5.7 10 5 1 cm   Atcu  ₄ d2 _Atcu 7.85398 107m2 Ae  D_{Lcu Ae} 0.00942 m 2 Amais _Lcu(D d) ln D d









 _Amais 0.00572 m2

































T

k

g

q

T

q

q

q

i i

1

1

0

1

1 1

























k

g

r

T

r

r

r

Tr g  r2 4 k  C1 ln r ( ) C2 