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Preguntas Pr

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Geometría

2. En el triángulo ABC, calcule x si la mSACB=40º.

A B C x m n n m α α β β A) 40º B) 50º C) 25º D) 35º E) 20º

3. En un triángulo ABC, sobre AC se ubica E, tal

que AE=BC, mSBAC=2(mSACB)=40º. Calcule mS EBC.

A) 5º B) 8º C) 10º

D) 12º E) 15º

4. En la región interna de un triángulo ABC, se

ubica E, tal que AE=BC, mS AEC=120º, mS BCE=16º, mS EBC=66º. Calcule mS ABE.

A) 15º B) 20º C) 25º

D) 30º E) 35º

5. En la región externa y relativo al lado AC

del triángulo ABC, se ubican los puntos E y

D, tal que la mS ABE=20º, mS EBD=40º y

mS DBC=80º. En la prolongación de AE se ubica el punto P, de modo que mS CAP=60º, mS DEP=30º y AB=BC. Calcule la mS ACD.

A) 15º B) 20º C) 30º

D) 37º E) 40º

6. En el interior de un triángulo ABC, se ubica

el punto P, tal que mSABP=3(mSPBC) y mSACP=3(mSBCP). Calcule la medida del ángulo entre las bisectrices de los ángulos BPC y BAC si se sabe que mSABC – mSBCA=40º.

A) 30º B) 25º C) 32º

D) 20º E) 15º

7. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas

interiores BD y BE (D ∈ AE ), tal que

mS ABD=mS ACB=2(mS DBE)=2(mS EBC) Si AD=EC, calcule la mS BCA.

A) 15º B) 18º C) 20º

D) 25º E) 36º

8. En los lados AB y BC de un triángulo ABC, se

ubican los puntos M y N, respectivamente, de modo que AM+CN=8. Calcule el mínimo valor entero de AN+MC.

A) 8 B) 7 C) 9

D) 15 E) 17

9. En la prolongación del lado AC de un triángulo

ABC, se ubica el punto D; luego, en AB se ubica

el punto P tal que DP ∩ BC={R}; PB=BR;

AP=RD y mSABC=4(mSPDC). Calcule el

máximo valor entero de la medida del ángulo

PDC.

A) 21º B) 22º C) 23º

Geometría

10. En los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC

se ubican los puntos P, Q y M, respectivamente, de modo que el perímetro de la región MQP es 10. Calcule el mínimo perímetro entero de la región triangular ABC.

A) 9 B) 10 C) 11

D) 19 E) 21

Congruencia

11. Según el gráfico AB=BC y BD=CE. Calcule x.

A) 50º B) 60º A B C D E x α α θθ θθ C) 70º D) 80º E) 65º

12. En un triángulo ABC se traza la

cevia-na AD, de modo que DC=AB+AD y la mS DAC=2(mS ACD)=2(mS DAB). Calcule la mS ABC.

A) 60º B) 80º C) 100º

D) 120º E) 110º

13. En un triángulo ABC se traza la altura BH, tal

que AH=2; HC=6 y mS BAC=2(mS BCA). Calcule la mS BCA.

A) 30º B) 37º C) 45º

D) 53º E) 60º

14. En la región exterior relativo al lado BC de un

triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica el punto P, tal que AB=PC y mS ABC=2(mS APC). Calcule mS PAC.

A) 15º B) 30º C) 37º

D) 45º E) 60º

15. En un triángulo rectángulo ABC, recto en

B, en BC y AC se ubican los puntos E y D, respectivamente, de modo que EC=2(BE);

AD=DC y 3(mS AED)=2(mS BEA). Calcule

mS DEC.

A) 67º30' B) 45º C) 60º

D) 82º30' E) 52º30'

16. En un triángulo rectángulo ABC, recto en

B, se traza la ceviana CP, de modo que

4(mS BAC)=3(mS PCA); luego, las distancias de B y P hacia PC y AC son 3 y 6, respectiva-mente. Calcule mS PAC.

A) 15º B) 18º C) 30º

D) 36º E) 37º

17. En un triángulo ABC donde mS ABC=2(mS BAC),

se traza la ceviana interior CD, tal que

AD=2(BD). En el triángulo ADC, se traza la me-diana DM, tal que mS MDC=2(mS DCB). Calcule la mS DCB.

A) 12º B) 15º C) 18º 30’

D) 25º E) 26º 30’

18. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,

mS BAC=53º. En AB, BC y AC se ubican los

pun-tos R, P y M, tal que PM ⊥ BC y AR=AM=MC.

Calcule la mS MRP.

A) 28º 30’ B) 30º C) 38º 30’

D) 40º 30’ E) 53º

19. En el exterior y relativo al lado BC de un

triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica el punto P, tal que mS PCB=mS BCA; en BC se ubica el punto T , tal que AB=BT. Si mS BAC=2(mS CBP)=2(mSTPC)

calcule la mS PBC.

A) 15º B) 18º 30’ C) 20º

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Geometría

20. Del gráfico, calcule m.

m m x+y x+z z _yy xx A) 10º B) 12º C) 16º D) 18º E) 20º Polígonos y cuadriláteros

21. Indique el valor de verdad de los enunciados.

I. Un pentágono equilátero siempre es convexo. II. En un polígono, la máxima cantidad de

ángulos internos agudos es 4.

III. Solo existen 3 polígonos regulares cuyo ángulo central es congruente con su ángulo interior.

A) VFV B) VFF C) FVV

D) FVF E) FFF

22. En 2 polígonos regulares diferentes se cumple

que el ángulo central de uno de ellos es igual a la medida del ángulo interior del otro. Calcule la suma de las diagonales de ambos polígonos. A) 8

B) 9

C) 12

D) 20

E) 37

23. Se tiene un polígono regular, donde las

me-didas del ángulo interior y del ángulo exterior son a y ka. Halle el número de valores enteros que puede tomar k.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

24. La suma de los ángulos internos de dos

polígo-nos regulares se diferencian en 720º y las me-didas de sus ángulos centrales se diferencian en 7,5º. Calcule la razón entre la cantidad de sus lados.

A) 1/2 B) 1/3 C) 3/4

D) 2/5 E) 3/8

25. Indique el valor de verdad de los enunciados.

I. Si un cuadrilátero tiene sus diagonales per-pendiculares y congruentes, entonces es un cuadrado.

II. Si un trapecio presenta 2 lados de igual longitud, entonces es trapecio isósceles. III. Si 2 rombos comparten su centro y una

dia-gonal, entonces son congruentes.

IV. Un trapezoide simétrico puede presentar diagonales congruentes. A) FFFF B) VVFF C) VVFV D) FFVV E) FFFV

26. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo,

además, O es punto medio de BD. Si CM=MN;

AQ=a y ON=b, calcule OG.

2α A B G C D M N O Q α A) 2 2 b a+ _B) b a+ 2 C) 2 2 b a− D) 3 2 b a+ _E) 3 2 b a−

Geometría

27. En un romboide ABCD, la mediatriz de AD

interseca a AC y BC en M y N, respectivamente. Si 2(MN)=AM=AB, calcule mSACB.

A) 8º B) 15º C) 16º

D) 18º E) 53º/2

28. Se tiene un romboide ABCD, de centro O, en

BC se ubica E, tal que BE=2(OE), mSCOE=90º,

mSACD=2(mSECO).

Calcule mSECO. (Considere SABC es obtuso.)

A) 5º B) 8º C) 10º

D) 15º E) 37º/2

29. En el gráfico, BMNQ es un rombo. Calcule x.

32º A B C x M N Q 32º 32º A) 24º B) 16º C) 32º D) 28º E) 18º

30. Se tiene un cuadrado ABCD de centro O, en

la prolongación de BC y OD se ubican M y

N, tal que, OMN es equilátero. Si OM y CD se

intersecan en E, calcule mSONE. A) 8º B) 10º C) 12º D) 15º E) 53º/2 Circunferencia 31. Si mPQ=2

(

)

32. En el gráfico, B, C, D y E son puntos de tangen-cia. Si mPQ = 80º y mEF = 30º, calcule q.

A _B C D E F x P Q A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º

33. En el gráfico, indique la relación entre a, b y q.

α

β θ

A) q=2b+a B) β=θ β+₂ C) a+b=q

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Geometría

34. Del gráfico mostrado, calcule R si se sabe que

mAB+mBC= 180º A B C P R 2 3 A) 3 B) 3 2 C) 3 3 D) 4 E) 5

35. Del gráfico T, Q y R son puntos de tangencia,

calcule q. r r Q R T θ A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º

36. En una circunferencia de centro O se ubican

los puntos A, B y C, tal que la mBC> mAB. Sea H el pie de la perpendicular trazada por el

pun-to medio Q del arco AC, a BC. Calcule BH si se sabe que HC=a y AB=b.

A) a+b B) a – b C) a b+ 2 D) 2(a – b) E) 3 2 a b+ ( )

37. Del gráfico que se muestra, calcule x si se sabe que T es punto de tangencia.

x T α 2α θθ A) q+a B) q – a C) 2a – q D) θ α+ 2 E) 2a

38. Según el gráfico, P, Q y T son puntos de

tan-gencia. Si AM=MB y BN=NC, calcule x.

B A T C MP x N Q A) 37º B) 30º C) 45º D) 60º E) 53º

39. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una

circunferencia; en el arco AB se ubica el punto

P y en el arco BC se ubica el punto Q, luego se

trazan PM; PH; QN y QL perpendiculares a AB;

AC; BC y AC, respectivamente. Si mPBQ = θ

calcule la medida del ángulo que determinan

HM LN

Geometría

40. Se tiene un cuadrilátero inscriptible ABCD, don-de las diagonales son perpendiculares, adon-demás, se intersecan en H. Si se trazan HM; HN; HQ y HL perpendiculares a AB; BC; CD y AD, respectiva-mente, ¿qué tipo de cuadrilátero es MNQL? A) trapezoide B) trapecio C) inscriptible D) paralelogramo E) bicéntrico Puntos notables

41. En un triángulo rectángulo ABC, recto en

B, además, G es su baricentro, tal que

mSBAC=2(mSBCG). Calcule AC_AB.

A) 2 B) 3/2 C) 3

D) 4/3 E) 5/4

42. Del gráfico, T es punto de tangencia, además,

G es baricentro de la región ABC, calcule mMT.

G A B C M T A) 120º B) 127º C) 137º D) 143º E) 150º

43. Se tiene un rombo ABCD, en AC, se ubica M y

en la región exterior a CD, se ubica N, tal que

AMND es un rombo. Si BD y AN se intersecan en

P, calcule la medida del ángulo entre AD MP

A) 30º B) 60º C) 45º

D) 90º E) 75º

44. Del gráfico, ¿qué punto notable es R del

triángulo AEH ? A E H R A) ortocentro B) baricentro C) circuncentro D) incentro E) punto de nagel

45. En un triángulo ABC, se traza la altura BM y en

BC y MC, se ubican P y N, tal que AHPC es un

trapecio isósceles (H es ortocentro del triángu-lo ABC). ¿Qué punto notable es el centro del cuadrado MHPN para el triángulo ABC? A) ortocentro

B) incentro C) excentro D) circuncentro E) baricentro

46. Se tiene un triángulo ABC de ortocentro H, E

es punto medio de AC, y se forma el rombo

BHEF, de lado igual a 2. Calcule la distancia

del centro de dicho rombo al circuncentro de dicho triángulo. A) 1/2 B) 1/4 C) 1 D) 2 E) 2

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Geometría

47. En la prolongación de DA y en la región exterior relativa a BC, de un cuadrado ABCD, se ubican E y H, respectivamente, tal que EHD es equilátero y B pertenece a EH. Si M es el punto medio de EH,

G es baricentro de EHD, calcule mSBMN, siendo N la intersección de BD y HG.

A) 30º B) 37º C) 45º

D) 53º E) 60º

48. Se tiene un triángulo isósceles ABC, de

base AB, AB=6 y la longitud del radio de la circunferencia exinscrita relativa a BC es 4, calcule mSBAC. A) 30º B) 37º C) 53º D) 127º/2 E) 74º

49. En la región exterior de una circunferencia

de centro O, se ubica P, tal que PA y PB son tangentes a dicha circunferencia; además, OP interseca a dicha circunferencia en M, y en

AM se ubica N, tal que mSNPB=3(mS APN).

Calcule mSNCM si C es la intersección de

AB y OP.

A) 15º B) 30º C) 45º

D) 53º E) 60º

50. En un triángulo ABC, su recta de Euler es

para-lela a AC; además, M es punto medio de AC. Si mSBHM=mSBGO, calcule mSHBG. (H, G y O son ortocentro, baricentro y circuncentro del triángulo ABC respectivamente).

A) 15º B) 16º C) 53º/2 D) 30º E) 37º/2

C