CIRCUITOS EQUIVALENTE DE CA. TEOREMA DE
REDES
1. TEOREMA DE THEVENIN Y DE NORTON
Las transformaciones de fuentes y los circuitos equivalentes de Thévenin y Norton que se vieron anteriormente son herramientas analíticas que también se pueden aplicar a los circuitos en la representación fasorial. La validez de estas técnicas se demostró en lecciones anteriores, excepto que ahora sustituimos la resistencia (R) por la impedancia (Z). La figura muestra el circuito equivalente de una transformación de fuente, pero con la nomenclatura de la representación fasorial.
La figura 1 ilustra la versión en la representación fasorial del circuito equivalente de Thévenin, y la figura 2 muestra el circuito equivalente de Norton. Las técnicas para hallar el voltaje y la impedancia equivalentes de Thévenin son idénticas a las empleadas con circuitos resistivos, excepto que en el circuito equivalente la representación fasorial implica el manejo de cantidades complejas. Lo mismo se aplica a la impedancia y la corriente equivalentes de Norton.
Figura 1
Figura 2
Ejemplo:
Encontrar el circuito equivalente de Thévenin con respecto a las terminales a y b del circuito de la figura
SOLUCIÓN
Lo primero es determinar el voltaje equivalente de Thévenin. Éste es el voltaje en circuito abierto que aparece en las terminales a y b. Elegimos la referencia del voltaje de Thévenin como positivo en la terminal a. Se pueden hacer dos transformaciones de fuente que afectan a los elementos de circuito de 120 V, 12 Ω y 60 Ω para simplificar esta parte del circuito. Al mismo tiempo, estas transformaciones deben conservar la identidad del voltaje controlador Vx debido a la fuente de voltaje dependiente. Determinamos las dos transformaciones de fuente sustituyendo primero la combinación en serie de la fuente de 120V y resistencia de 12 Ω por una fuente de corriente de 10 A en paralelo con 12 Ω. Después sustituimos la combinación en paralelo de las resistencias de 12 y 60 Ω por una sola resistencia de 10 Ω. Por último, sustituimos la fuente de 10 A en paralelo con la resistencia de 10 Ω por una fuente de 100 V en serie con 10 Ω. La figura muestra el circuito resultante. Se añadió la corriente
I al circuito de la figura para facilitar el análisis posterior. Observe que una vez que se
conozca la corriente I se puede calcular el voltaje de Thévenin. Determinamos el valor de I sumando los voltajes alrededor del camino cerrado del circuito que se ve en la figura, así
100= 10I - j40I + 120I+ l0Vx = (130 - j40)I + l0Vx
Podemos relacionar el voltaje controlador Vx con la comente I al observar en la figura que:
Ahora calculamos Vx
Por último, vemos en la figura que:
Para obtener la impedancia de Thévenin podemos usar cualquiera de las técnicas que antes empleamos para encontrar la resistencia de Thévenin. En este ejemplo usaremos el método de la fuente de prueba. Recuerde que al usar este método se desactivan todas las fuentes independientes del circuito y después se aplica un voltaje o una corriente de prueba a las terminales que nos interesan. La razón entre el voltaje y la corriente en la fuente es la impedancia de Thévenin. La figura muestra el resultado de la aplicación de esta técnica al circuito. Observe que escogimos una fuente de voltaje de prueba VT que desactivamos la fuente de voltaje independiente
mediante un corto circuito apropiado y que se conservó la identidad de Vx Se han añadido al circuito las corrientes de rama Ia e Ib para simplificar el cálculo de IT. Si
aplica directamente las leyes de Kirchhoff, podrá comprobar las siguientes relaciones:
2. TRANSFORMACIONES DE TRIANGULO A ESTRELLA Y ESTRLLA A
TRIANGULO
Tanto la configuración estrella (T) y la configuración triangulo (π) se les utiliza para la simplificación de circuitos.
Configuración estrella vista como una configuración π
Configuración estrella vista como configuración T
Transformación de las configuraciones
También es posible invertir la transformación π – T. Es decir se puede comenzar con la estructura en estrella y sustituirla por una estructura en estrella equivalente. Las impedancias en triangulo en función de las impedancias en estrella son
Ejemplo
Usar una transformación de impedancia triangulo a estrella, para encontrar l1, I2, I3, I4,
I5, V1 y V2 en el circuito
Se observa en primer lugar que el circuito, tal como está, no tiene la forma adecuada para una simplificación en serie o en paralelo. Una transformación de impedancia π-T nos permite resolver todas las corrientes de las ramas sin tener que recurrir al método de los voltajes de los nodos ni al método de las corrientes de malla. Si sustituimos el triángulo superior (abc) o el inferior (bcd) por su equivalente en T, se puede simplificar el circuito resultante mediante combinaciones serie-paralelo. Para decidir cuál será el triángulo que se sustituya, es conveniente revisar las sumas de las impedancias en el triángulo ya que esta cantidad forma el denominador para las impedancias T equivalentes. La suma en el triángulo inferior es 30 + j40, por lo que decidimos eliminarlo del circuito. La impedancia T que se conecta con la terminal b es:
la impedancia T que se conecta con la terminal c es:
Al insertar en el circuito las impedancias equivalentes en T, obtenemos el circuito que se presenta en la figura, el cual podemos simplificar mediante reducciones serie-paralelo. La impedancia de la rama abn es:
y la impedancia de la rama acn es
Se observa que la rama abn está en paralelo con la rama acn; por lo tanto, se pueden sustituir estas dos ramas por una sola rama que tenga una impedancia de:
Al combinar esta resistencia de 10 Ω con la impedancia entre n y d, el circuito de la figura anterior se reduce al circuito que se presenta.
Una vez que conocemos Io podemos resolver hacia atrás por los circuitos equivalentes para encontrar las corrientes de las ramas del circuito original. Comenzamos por observar que Io es la corriente de la rama nd, entonces:
Después se calculan las corrientes de rama Iabn e Iacn
En términos de las corrientes de las ramas definidas en la figura
Comprobamos los cálculos de I1 e I2 observando que
Para hallar las corrientes de las ramas I3. I4 e I5 es necesario calcular primero los
voltajes V1 y V2.
Ahora se calculan las corrientes de rama I3, I4 e I5
3. AUTOEVALUACION
Problema 01:
El circuito de la figura funcione en estado estacionario sinusoidal. Encuentre vo(t) si is =
3 cos 200t: mA.
Respuesta:
Problema 02:
Encuentre el circuito equivalente de Thévenin con respecto a las terminales a y b del circuito que se presenta en la figura
Respuesta:
Problema 03:
¿Cuál es el circuito equivalente de Thévenin con respecto a las terminales a y b del circuito de la figura?
Respuesta:
Problema 04:
¿Cuál es la impedancia de Thévenin en las terminales a y b del circuito de la figura si la frecuencia de operación es (200/π) Hz?
