40 x 4 0.4x 3 2.6x 2 1.1x Two. Una función f es una función racional si

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(1)

Ejercicio 37

38 Diseño de una tienda Una tienda de campaña, hecha de lona, se va a construir en forma de pirámide con base cua-drada. Un poste de 8 pies formará el soporte del centro, como se ilustra en la figura. Encuentre la longitud x de un costado de la base para que la cantidad total de lona nece-saria para los costados y fondo sea de 384 pies2. 12

Ejercicio 38

8

x

6

x

Ejer. 39-40: Use una gráfica para determinar el número de soluciones no reales de la ecuación.

39 None

40 Two

Ejer. 41-42: Use una gráfica y división sintética para hallar todas las soluciones de la ecuación.

41

42

43 Densidad atmosféricaLa densidad D(h) (en kg/m3) de la at-mósfera terrestre a una altitud de h metros se puede aproxi-mar con

donde

y . Use la gráfica de D para aproximar la altitud h a la que la densidad sea 0.4. 10,200 m

44 Densidad de la Tierra La densidad de la Tierra D(h) (en g/cm3) h metros bajo la superficie se puede aproximar con

donde

y . Use la gráfica de D para aproximar la profundidad h a la que la densidad de la tierra sea 3.7. 418 m 0 h 1000 a 1.4  103, b 2.49  106, c 2.19  109, Dh  2.84  ah  bh2 ch3, 0 h 30,000 a 1.096  104, b 3.42  109, c 3.6  1014, Dh  1.2  ah  bh2 ch3, 1.7, 1, 1.6, 1  i x5 1.1x4 2.62x3 4.72x2 0.2x  5.44  0 1.2, 0.8, 1 2  23 2 i x4 1.4x3 0.44x2 0.56x  0.96  0 x4 0.4x3 2.6x2 1.1x  3.5  2 x5 1.1x4 3.21x3 2.835x2 2.7x  0.62  1

Una función f es una función racional si

donde g(x) y h(x) son polinomios. El dominio de f está formado por todos los números reales excepto los ceros del denominador h(x).

Funciones racionales y sus dominios

dominio: toda x excepto x 2 fx  1 x 2; fx gx hx,

4.5

Funciones racionales

I L U S T R A C I Ó N (continúa)

(2)

dominio: toda x excepto

dominio: todos los números reales x

Previamente simplificamos expresiones racionales como sigue: si

Si hacemos y g(x)  x  2, entonces el dominio de f es toda x excepto x 2 y el dominio de g es todos los números reales. Estos dominios y la simplificación indicada líneas antes sugiere que las gráficas de f y g son iguales excepto para x 2. ¿Qué ocurre a la gráfica de f en x  2? Hay un hueco en la gráfica, es decir, un solo punto está faltante. Para hallar el valor de y del hueco, podemos sustituir 2 por x en la función reducida, que es simple-mente g(2)  4. Una gráfica de f se muestra en la figura 1.

Para alertar al usuario de la presencia de un hueco en la gráfica, algunas calculadoras graficadora en realidad dibujan un hueco, como en la figura 1; otras simplemente omiten un píxel, como en la figura 2. La comprobación de una tabla de valores para f (figura 3) indica que f está indefinida para x 2. Ahora llevamos nuestra atención a funciones racionales que no tienen un factor común en el numerador y el denominador.

Al trazar la gráfica de una función racional f, es importante contestar las dos preguntas siguientes.

Pregunta 1 ¿Qué se puede decir de los valores de función f(x) cuando x está cercana (pero no es igual) a un cero del denominador? Pregunta 2 ¿Qué se puede decir de los valores de función f(x) cuando x

es positiva grande o cuando x es negativa grande?

Como veremos, si a es un cero del denominador, una de varias situacio-nes ocurre con frecuencia. Éstas se ven en la figura 4, donde hemos empleado notaciones de la siguiente tabla.

fx x 2 4 x 2 x2 4 x 2  x  2x  2 x 2  x 2 1  x  2 x 2 fx x3 8 x2 4; x  3 fx  5x x2 9; 290 C A P Í T U L O 4 F U N C I O N E S P O L I N O M I A L E S Y R A C I O N A L E S Figura 1 y x  x  2 para x  2 f(x)  x 2  4 x  2 (2, 4) Figura 2 pixel faltante Figura 3 Notación Terminología

x se aproxima a a desde la izquierda (valores menores a a). x se aproxima a a desde la derecha (valores mayores a a).

aumenta sin límite (puede ser tan positiva como se desee). disminuye sin límite (puede ser tan negativa como se desee).

fx fx l  fx fx l  xl a xl a Swokowski_04B_4R.qxd 31/1/09 9:20 PM Page 290

(3)

Los símbolos  (léase “infinito”) y  (léase “menos infinito”) no re-presentan números reales; simplemente especifican ciertos tipos de comporta-miento de funciones y variables.

La recta punteada x  a de la figura 4 se denomina asíntota vertical, como en la siguiente definición.

Así, la respuesta a la pregunta 1 es que si a es un cero del denominador de una función racional f, entonces la gráfica de f puede tener una asíntota ver-tical x a. Hay funciones racionales donde éste no es el caso (como en la fi-gura 1 de esta sección). Si el numerador y denominador no tienen factor común, entonces f debe tener una asíntota vertical x a.

Consideremos a continuación la pregunta 2. Para x grande positiva o grande negativa, la gráfica de una función racional puede ser semejante a una de las de la figura 5, donde la notación

se lee “f (x) se aproxima a c cuando x aumenta sin límite” o “f(x) se aproxima a c cuando x se aproxima al infinito,” y la notación

se lee “f (x) se aproxima a c cuando x disminuye sin límite.” fx l c cuando x l 

fx l c cuando x l  Figura 4

cuando cuando xl a fx l  xl a fx l cuando cuando x l a fx l  xl a

fx l 

Definición de asíntota

vertical La recta x a es una asíntota vertical para la gráfica de una función f si cuando x se aproxima a a ya sea de la izquierda o la derecha.

fx l  o fx l  y x a y  f (x) x  a x  a x  a x  a x y a y  f (x) x y a y  f (x) x y a y  f (x)

(4)

A la recta interrumpida de la figura 5 se la denomina asíntota horizontal, como en la siguiente definición.

292 C A P Í T U L O 4 F U N C I O N E S P O L I N O M I A L E S Y R A C I O N A L E S

Figura 5 fx l ccuando cuando xl  fx l c xl 

Definición

de asíntota horizontal La recta si y c es una asíntota horizontal para la gráfica de una función f f (x)→c cuando x→ o cuando x→. y x y  c y  f (x) x y y  f (x) y  c x y y  f (x) y  c x y y  f (x) y  c x 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 10 100 1000 10,000 100,000 1 x 2

Así, la respuesta a la pregunta 2 es que f (x) puede estar muy cerca de algún número c cuando x sea grande positiva o grande negativa; esto es, la grá-fica de f puede tener una asíntota horizontal y c. Hay funciones racionales donde éste no es el caso (como en los ejemplos 2(c) y 9).

Nótese que, como en los dibujos segundo y cuarto de la figura 5, la grá-fica de f puede cruzar una asíntota horizontal.

En el siguiente ejemplo encontramos las asíntotas para la gráfica de una función racional sencilla.

E J E M P L O 1 Trazar la gráfica de una función racional

Trace la gráfica de f si

S O L U C I Ó N Empecemos por considerar la pregunta 1, expresada al princi-pio de esta sección. El denominador x – 2 es cero en x 2. Si x es cercana a 2 y x 2, entonces f(x) es grande positiva, como se indica en la tabla siguiente.

fx  1 x 2.

(5)

Como podemos hacer 1/(x 2) tan grande como se desee al tomar x cer-cana a 2 (y x 2), vemos que

Si f(x) es cercana a 2 y x 2, entonces f(x) es grande negativa; por ejem-plo, f(1.9999)  10,000 y f(1.99999)  100,000. Así,

La recta x 2 es una asíntota vertical para la gráfica de f, como se ilustra en la figura 6.

A continuación consideramos la pregunta 2. La tabla siguiente contiene al-gunos valores aproximados para f(x) cuando x es grande y positiva.

Podemos describir este comportamiento de f(x) al escribir

Del mismo modo, f(x) es cercana a 0 cuando x es grande negativa; por

ejem-plo, . Así,

La recta y 0 (el eje x) es una asíntota horizontal, como se ve en la figura 6. El trazo de los puntos (1, 1) y (3, 1) ayuda a darnos un trazo aproximado

de la gráfica.

L

La función considerada en el ejemplo 1, f(x) 1/(x  2), se asemeja con mucho a una de las funciones racionales más sencillas, la función recíproca. La función recíproca tiene ecuación f(x)  1/x, asíntota vertical x  0 (el eje y), y asíntota horizontal y  0 (el eje x). La gráfica de la función recíproca (mostrada en el apéndice I) es la gráfica de una hipérbola (que se estudia más adelante en el texto). Nótese que podemos obtener la gráfica de y 1/(x  2) al desplazar la gráfica y 1/x a la derecha 2 unidades.

El siguiente teorema es útil para hallar la asíntota horizontal para la grá-fica de una función racional.

fx l 0 cuando x l . f100,000  0.00001 fx l 0 cuando x l . fx l  cuando x l 2. fx l  cuando x l 2. x 100 1000 10,000 100,000 1,000,000 0.01 0.001 0.0001 0.000 01 0.000 001 1 x 2 (aprox.) Figura 6 y x x  2

(6)

Las pruebas para cada una de las partes de este teorema pueden ajustarse a las soluciones del siguiente ejemplo. Con respecto a la parte (3), si q(x) es el cociente obtenido al dividir el numerador entre el denominador, entonces

si o si .

E J E M P L O 2 Hallar asíntotas horizontales

Encuentre la asíntota horizontal para la gráfica de f, si existe.

(a) (b)

(c)

S O L U C I Ó N

(a) El grado del numerador, 1, es menor que el grado del denominador, 2, de modo que por la parte (1) del teorema sobre asíntotas horizontales, el eje x es una asíntota horizontal. Para verificar esto directamente, dividimos el numera-dor y denominanumera-dor del cociente entre x2(porque 2 es la potencia mayor en x del denominador), obteniendo

Si x es grande positiva o grande negativa, entonces 3/x, 1/x2, 1/x, y 6/x2son cer-canas a 0 y por lo tanto

En consecuencia,

Como f(x) es la coordenada y de un punto sobre la gráfica, el último enuncia-do significa que la recta y 0 (esto es, el eje x) es una asíntota horizontal.

fx l 0 cuando x l  o cuando x l . fx  0 0 1 0  0 0 1  0. fx  3x 1 x2 x2 x  6 x2  3 x  1 x2 1 1 x  6 x2 por x 0. fx 2x 4 3x2 5 x2 1 fx 5x 2 1 3x2 4 fx  3x 1 x2 x  6 qx l  fx l  qx l  fx l  294 C A P Í T U L O 4 F U N C I O N E S P O L I N O M I A L E S Y R A C I O N A L E S

Teorema sobre asíntotas

horizontales Sea , donde y .

(1) Si n k, entonces el eje x (la recta y  0) es la asíntota horizontal para la gráfica de f.

(2) Si n k, entonces la recta y  an/bk(la razón entre coeficientes princi-pales) es la asíntota horizontal para la gráfica de f.

(3) Si n k, la gráfica de f no tiene asíntota horizontal. En cambio, ocurre o cuando fx l  xl o cuando xl .) fx l  bk 0 an 0 fx anxn an1xn1     a1x a0 bkxk bk1xk1     b1x b 0 Swokowski_04C_4R.qxd 31/1/09 9:24 PM Page 294

(7)

(b) Si , entonces el numerador y el denominador tienen el mismo grado 2 y los coeficientes principales son 5 y 3, respectiva-mente. En consecuencia, por la parte (2) del teorema sobre asíntotas horizon-tales, la recta es la asíntota horizontal. También podríamos demostrar que es la asíntota horizontal al dividir el numerador y denominador de f(x) entre x2, como en la parte (a).

(c) El grado del numerador, 4, es mayor que el grado del denominador, 2, de modo que, por la parte (3) del teorema sobre asíntotas horizontales, la gráfica no tiene asíntota horizontal. Si usamos división larga, obtenemos

Cuando o , el cociente 2x2  5 aumenta sin límite y

. Por lo tanto, cuando o cuando .

L

A continuación presentamos una lista de algunas guías para trazar la grá-fica de una función racional. Su uso se ilustrará en los ejemplos 3, 6 y 7.

xl  xl  fx l  10x2 1 l 0 xl  xl  fx  2x2 5  10 x2 1. y53 y53 fx  5x2 13x2 4

Guías para trazar la gráfica de

una función racional Suponga que , donde y son polinomios que no tienen

factor común.

1 Encontrar los puntos de intersección con el eje x, es decir, los ceros reales del numerador g(x) y localice los puntos correspondientes sobre el eje x. 2 Encontrar los ceros reales del denominador h(x). Para cada cero real a,

trace la asíntota vertical x a con una línea punteada.

3 Encontrar el punto de intersección f(0) con el eje y, si existe y localizar el punto (0, f(0)) en el eje y.

4 Aplicar el teorema sobre asíntotas horizontales. Si hay una asíntota hori-zontal y c, trazarla con guiones.

5 Si hay una asíntota horizontal y  c, determine si cruza la gráfica. Las coordenadas x de los puntos de intersección son las soluciones de la ecuación f(x)  c. Localice estos puntos, si existen.

6 Trazar la gráfica de f en cada una de las regiones del plano xy determi-nadas por las asíntotas verticales en la guía 2. Si es necesario, use el signo de valores de función específicos para saber si la gráfica está arriba o abajo del eje x o de la asíntota horizontal. Use la guía 5 para determi-nar si la gráfica se aproxima a la asíntota horizontal desde arriba o desde abajo.

hx gx fx gx

hx

En los ejemplos siguientes, nuestro principal objetivo es determinar la for-ma general de la gráfica, poniendo especial atención a la forfor-ma en que la grá-fica se aproxima a las asíntotas. Localizaremos sólo unos pocos puntos, como

(8)

los correspondientes a los puntos de intersección con los ejes x y y o la inter-sección de la gráfica con una asíntota horizontal.

E J E M P L O 3 Trazar la gráfica de una función racional

Trace la gráfica de f si

S O L U C I Ó N Seguimos las guías.

Guía 1 Para hallar los puntos de intersección con el eje x buscamos los ceros del numerador. Resolver 3x  4 nos da y localizamos el punto

en el eje x, como se ve en la figura 7.

Guía 2 El denominador tiene cero , de modo que la recta es una

asín-tota vertical. Trazamos esta recta punteada, como en la figura 7.

Guía 3 El punto de cruce con el eje y es y localizamos el punto

en la figura 7.

Guía 4 El numerador y denominador de f(x) tienen el mismo grado, 1. Los

coeficientes principales son 3 y 2, de modo que por la parte (2) del teorema sobre asíntotas horizontales, la recta es una asíntota horizontal. Trazamos la recta con guiones en la figura 7.

Guía 5 Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica cruza la asíntota

horizontal son soluciones de la ecuación . Resolvemos esta ecuación como sigue:

sea

multiplique por multiplique reste 6x

Como para cualquier valor de x, este resultado indica que la gráfica de f no cruza la asíntota horizontal. Como ayuda en el trazo, podemos ahora considerar la asíntota horizontal como frontera que no se puede cruzar.

Guía 6 La asíntota vertical de la figura 7 divide el plano xy en dos regiones: R1: la región a la izquierda de

R2: la región a la derecha de

Para R1, tenemos los dos puntos y por los que la gráfica de f debe pasar, así como las dos asíntotas a las que la gráfica debe aproxi-marse. Esta parte de f se muestra en la figura 8.



0, 54





4 3, 0



x52 x52 8 15 8 15 6x 8  6x  15 22x  5 23x  4  32x  5 fx  3 2 3x 4 2x 5 3 2 fx 32 y32 y32



0, 54



f0  54, x52 5 2



4 3, 0



x 34 fx 3x 4 2x 5. 296 C A P Í T U L O 4 F U N C I O N E S P O L I N O M I A L E S Y R A C I O N A L E S Figura 7 y y  w x d R x  e Figura 8 y y  w x x  e R1 R2 Swokowski_04C_4R.qxd 31/1/09 9:24 PM Page 296

(9)

Para R2, la gráfica debe de nuevo aproximarse a las dos asíntotas. Como la gráfica no puede cruzar el eje x (no hay punto de cruce con el eje x en R2), debe ser arriba de la asíntota horizontal, como se ve en la figura 8.

L

E J E M P L O 4 Trazar una gráfica que tenga un hueco

Trace la gráfica de g si

S O L U C I Ó N El dominio de g es todos los números reales excepto y 1. Si g se reduce, obtenemos la función f del ejemplo previo. La única diferencia entre las gráficas de f y g es que g tiene un hueco en x 1. Como

sólo necesitamos hacer un hueco en la gráfica de la figura 8 para obtener la

gráfica de g en la figura 9.

L

E J E M P L O 5 Hallar una ecuación de una función racional que satisfaga condiciones prescritas

Encuentre una ecuación de una función racional f que satisfaga las condiciones siguientes:

punto de cruce con el eje x: 4, asíntota vertical: x 2, asíntota horizontal: y un hueco en x 1

SO L U C I Ó N Un punto de intersección con el eje x de 4 implica que x 4 debe ser un factor en el numerador y una asíntota vertical de x 2 implica que x 2 es un factor del denominador. Por tanto, podemos empezar con la forma

La asíntota horizontal es Podemos multiplicar el numerador por3 y el denominador por 5 para obtener la forma

(No escriba (3x  4)/(5x  2), porque eso cambiaría el punto de intersec-ción con el eje x y la asíntota vertical.) Por último, como hay un hueco en x 1, debemos tener un factor de x  1 en el numerador y en el denominador. Por lo tanto, una ecuación para f es

L

 fx 3x 2 15x  12 5x2 5x  10 . fx 3x  4x  1

5x  2x  1 o bien, lo que es equivalente, 3x  4 5x  2 . y 3 5. x 4 x 2. y 53, f1  37, 5 2 gx 3x  4x  1 2x  5x  1. Figura 9 y y  w x x  e

(

1, g

)

(10)

E J E M P L O 6 Trazar la gráfica de una función racional

Trace la gráfica de f si

S O L U C I Ó N Es útil expresar el numerador y el denominador en forma fac-torizada. Así, empezamos por escribir

Guía 1 Para hallar los puntos de intersección con el eje x encontramos los

ceros del numerador. Resolviendo x 1  0 nos da x  1 y localizamos el punto (1, 0) en el eje x, como se ve en la figura 10.

Guía 2 El denominador tiene ceros2 y 3. Por tanto, las rectas x  2 y x  3 son asíntotas verticales; las trazamos con rectas punteadas, como en la figura 10.

Guía 3 El punto de intersección con el eje y es y localizamos el

punto , mostrado en la figura 10.

Guía 4 El grado del numerador de f(x) es menor que el grado del

denomi-nador y entonces, por la parte (1) del teorema sobre asíntotas horizontales, el eje x es la asíntota horizontal.

Guía 5 Los puntos donde la gráfica cruza la asíntota horizontal (el eje x) ha-llados en la guía 4 corresponden a los puntos de intersección con el eje x. Ya localizamos el punto (1, 0) en la guía 1.

Guía 6 Las asíntotas verticales de la figura 10 dividen el plano xy en tres re-giones:

R1: la región a la izquierda de x 2 R2: la región entre x 2 y x  3 R3: la región a la derecha de x 3

Para R1, tenemos x 2. Sólo hay dos opciones para la forma de la grá-fica de f en R1: cuando , la gráfica se aproxima al eje x ya sea desde arriba o desde abajo. Para determinar cuál opción es correcta, examinaremos el signo de un valor de función típico en R1. Escogiendo10 para x, usamos la forma factorizada de f(x) para hallar el signo de f(10) (este proceso es se-mejante al empleado en la sección 2.7):

El valor negativo de f(10) indica que la gráfica se aproxima a la asíntota horizontal desde abajo cuando . Además, cuando , la gráfica se extiende hacia abajo; esto es, . Un trazo de f en R1se muestra en la figura 11(a). fx l  xl 2  xl  f10    xl 



0, 16



f0 16, fx  x 1 x2 x  6 x 1 x  2x  3. fx  x 1 x2 x  6. 298 C A P Í T U L O 4 F U N C I O N E S P O L I N O M I A L E S Y R A C I O N A L E S Figura 10 y x Swokowski_04C_4R.qxd 31/1/09 9:24 PM Page 298

(11)

En R2, tenemos2 x 3 y la gráfica cruza el eje x en x  1. En vista que, por ejemplo, f(0) es positiva, se deduce que la gráfica se encuentra arriba del eje x si2 x 1. Así, cuando , la gráfica se extiende hacia arriba; esto es, . Como f(2) se puede demostrar que es negativa, la gráfica se encuentra abajo del eje x si 1 x 3. En consecuencia, cuando , la gráfica se extiende hacia abajo; esto es, . Un trazo de f en R2se muestra en la figura 11(b).

Por último, en R3, x 3 y la gráfica no cruza el eje x. En vista que, por ejemplo, f(10) se puede demostrar que es positiva, la gráfica se encuentra arri-ba del eje x. Se deduce que cuando y que la gráfica se aproxi-ma a la asíntota horizontal desde arriba cuando . La gráfica de f se traza

en la figura 11(c).

L

E J E M P L O 7 Trazar la gráfica de una función racional

Trace la gráfica de f si

S O L U C I Ó N La factorización del denominador nos da

De nuevo seguimos las guías.

(continúa) fx  x 2 x2 x  2 x2 x  1x  2. fx  x 2 x2 x  2. x l  x l 3 fx l  fx l  xl 3 fx l  xl 2 Figura 11 (a) (b) (c) y x R1 y x R2 y x R3

(12)

Guía 1 Para hallar los puntos de intersección con el eje x buscamos los ceros del numerador. Resolviendo x2 0 nos da x  0 y trazamos el punto (0, 0) en el eje x, como se muestra en la figura 12.

Guía 2 El denominador tiene ceros1 y 2. Por tanto, las rectas x  1 y x

 2 son asíntotas verticales y las trazamos con rectas punteadas, como en la figura 12.

Guía 3 El punto de intersección con el eje y es f(0)  0. Esto nos da el mismo punto (0, 0) hallado en la guía 1.

Guía 4 El numerador y denominador de f(x) tienen el mismo grado y los

coe-ficientes principales son ambos 1. Por tanto, por la parte (2) del teorema sobre asíntotas horizontales, la recta es una asíntota horizontal. Trazamos la recta con guiones, como en la figura 12.

Guía 5 Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica cruza la asíntota

horizontal y 1 son soluciones de la ecuación f(x)  1. Resolvemos esta ecuación como sigue:

sea

multiplique por reste y sumex

Este resultado indica que la gráfica cruza la asíntota horizontal y 1 sólo en x 2; por tanto, trazamos el punto (2, 1) mostrado en la figura 12.

Guía 6 Las asíntotas verticales de la figura 12 dividen el plano xy en tres re-giones:

R1: la región a la izquierda de x 1 R2: la región entre x 1 y x  2 R3: la región a la derecha de x 2

Para R1, primero consideremos la parte de la gráfica que corresponde a 2 x 1. Del punto (2, 1) en la asíntota horizontal, la gráfica debe extenderse hacia arriba cuando (no puede extenderse hacia abajo, porque no hay punto de intersección con el eje x entre x 2 y x  1). Cuando , habrá un punto bajo en la gráfica entre y 0 y y  1, y entonces la gráfica se aproximará a la asíntota horizontal y 1 desde abajo. Es difícil ver dónde se presenta el punto bajo en la figura 12 porque los valo-res de función están muy cercanos entre sí. Usando cálculo, se puede demostrar que el punto bajo es .

En R2, tenemos1 x 2 y la gráfica cruza el eje x en x  0. Como la función no cruza la asíntota horizontal en esta región, sabemos que la gráfica se extiende hacia abajo cuando y cuando , como se ve en la figura 13(a). x l 2 x l 1



4, 8 9



x l  x l 1 x2 x 2 x2 x  2 x2 x2 x  2 fx  1 x2 x2 x  2 1 y1 1 1 300 C A P Í T U L O 4 F U N C I O N E S P O L I N O M I A L E S Y R A C I O N A L E S Figura 12 y x R1 Swokowski_04C_4R.qxd 31/1/09 9:24 PM Page 300

(13)

En R3, la gráfica se aproxima a la asíntota horizontal y 1 (ya sea de arri-ba o aarri-bajo) cuando . Además, la gráfica debe extenderse hacia arriba cuando porque no hay puntos de cruce con el eje x en R3. Esto implica que cuando , la gráfica se aproxima a la asíntota horizontal desde

arri-ba, como en la figura 13(b).

L

La gráfica de f se traza en la figura 13(c).

En las soluciones restantes no escribiremos formalmente cada guía.

E J E M P L O 8 Trazar la gráfica de una función racional

Trace la gráfica de f si

S O L U C I Ó N Nótese que como f(x)  f(x), la función es par y por tanto la gráfica es simétrica con respecto al eje y.

La gráfica cruza el eje x en (0, 0). Como el denominador de f(x) no tiene cero real, la gráfica no tiene asíntota vertical.

El numerador y el denominador de f(x) tienen el mismo grado. Como los coeficientes principales son 2 y 1, respectivamente, la recta es la asíntota horizontal. La gráfica no cruza la asíntota horizontal y 2, porque la ecuación f(x)  2 no tiene solución real.

Localizar los puntos (1, 1) y y hacer uso de simetría lleva al trazo

de la figura 14.

L

Una asíntota oblicua para una gráfica es una recta y ax  b, con a  0, tal que la gráfica se aproxima a esta recta cuando o cuando . (Si la gráfica es una recta, la consideramos su propia asíntota.) Si la función

x l  x l 



2, 3217



y21 2 fx  2x 4 x4 1. x l  x l 2 x l  Figura 13 (a) (b) (c) y x R2 y x R3 y x Figura 14 y x y  2x 4 x4  1

(14)

racional f(x)  g(x)/h(x) para polinomios g(x) y h(x) y si el grado de g(x) es uno mayor que el grado de h(x), entonces la gráfica de f tiene una asíntota oblicua. Para hallar esta asíntota oblicua podemos usar división larga para ex-presar f(x) en la forma

donde r(x)  0 o el grado de r(x) es menor que el grado de h(x). De la parte (1) del teorema sobre asíntotas horizontales,

En consecuencia, f(x) se aproxima a la recta y ax  b cuando x aumenta o disminuye sin límite; esto es, y ax  b es una asíntota oblicua.

E J E M P L O 9 Hallar una asíntota oblicua

Encuentre todas las asíntotas y trace la gráfica de f si

S O L U C I Ó N Una asíntota vertical se presenta si 2x  4  0 (esto es, si x 2).

El grado del numerador de f(x) es mayor que el grado del denominador. Por tanto, por la parte (3) del teorema sobre asíntotas horizontales, no hay asíntota horizontal; pero como el grado del numerador, 2, es uno mayor que el grado del denominador, 1, la gráfica tiene una asíntota oblicua. Por división larga obtenemos

reste

reste Por lo tanto,

Como indicamos en el análisis que precede a este ejemplo, la recta es una asíntota oblicua. Esta recta y la asíntota vertical x 2 se trazan con rectas punteadas en la figura 15.

Los puntos de cruce con el eje x de la gráfica son las soluciones de x2 9  0 y por lo tanto son 3 y3. El punto de intersección con el eje y es . Los puntos correspondientes se trazan en la figura 15. Ahora podemos demostrar que la gráfica tiene la forma indicada en la figura 16.

L

f0 9 4 y1 2x 1 x2 9 2x 4



1 2x 1



 5 2x 4.  5 12x  4 2x 4 2x 9



1 2x



2x  4 x2 2x 2x 4 x2  9 1 2x 1 fx x 2 9 2x 4. rx

hxl 0 cuando x l  o bien cuando x l . fx gx hx ax  b  rx hx, 302 C A P Í T U L O 4 F U N C I O N E S P O L I N O M I A L E S Y R A C I O N A L E S Figura 15 y x Figura 16 y x Swokowski_04C_4R.qxd 31/1/09 9:24 PM Page 302

(15)

En el ejemplo 9, la gráfica de f se aproxima a la recta en forma asintótica cuando o cuando . Las gráficas de funciones racionales pueden aproximar tipos diferentes de curvas en forma asintótica. Por ejemplo, si

entonces para valores grandes de , y por tanto . Así, la gráfica de f se aproxima a la parábola y x2en forma asintótica cuando o cuando . En general, si f(x)  g(x)/h(x) y si q(x) es el cociente obtenido al dividir g(x) entre h(x), entonces la gráfica de f se aproxima a la grá-fica de y q(x) en forma asintótica cuando o cuando .

E J E M P L O 1 0 Trazar la gráfica de una función racional

Trace la gráfica de f si

y encuentre ecuaciones de las asíntotas verticales.

S O L U C I Ó N Comenzamos por hacer las asignaciones

Seleccionando sólo Y3como graficada (apague Y1y Y2) y usando una pantalla estándar, obtenemos una gráfica que no nos da indicación de la verdadera forma de f. Cambiar a una pantalla de [6, 6] por [4, 4] nos da una sugeren-cia de que las asíntotas verticales están confinadas al intervalo 2 x 3. Usando una pantalla de [2, 3] por [1, 1] y cambiando al modo de punto (para no graficar la función al otro lado de las asíntotas verticales) nos lleva al trazo de la figura 17. Como el grado del numerador, 2, es menor que el gra-do del denominagra-dor, 3, sabemos que la asíntota horizontal es el eje x. Los ceros del numerador, 0 y 1, son los únicos puntos de cruce con el eje x.

Para determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales, abandonaremos la gráfica de Y3y examinamos la gráfica de Y2, buscando sus ceros. Graficar Y2con la misma pantalla, pero usando el modo conectado, nos da la figura 18. Por el teorema sobre ceros racionales de un polinomio, sabemos que las posibles raíces racionales de 9x3 9x2 22x  8  0 son

De la gráfica, vemos que la única opción razonable para el cero en el in-tervalo 2, 1 es 34. El número 2 parece ser un cero y usando un cero o

1, 2, 4, 8, 1 3,  2 3,  4 3,  8 3,  1 9,  2 9,  4 9,  8 9. Y1 x2 x, Y2 9x3 9x2 22x  8, y Y3 Y1Y2. fx  x 2 x 9x3 9x2 22x  8, x l  x l  x l  x l  fx  x2 1x  0 x fx  x 4 x x2  x 2 1 x, x l  x l  y12x 1 Figura 17 por 1, 1 2, 3 Figura 18 por 1, 1 2, 3 (continúa)

(16)

función de raíz indica que es también buen candidato para un cero. Podemos demostrar que , , y 2 son ceros de Y2con el uso de división sintética. Así, las ecuaciones de las asíntotas verticales son

L

Las gráficas de funciones racionales pueden hacerse cada vez más com-plicadas cuando los grados de los polinomios del numerador y denominador aumentan. Técnicas desarrolladas en cálculo son muy útiles para lograr un tratamiento más completo de esas gráficas.

Las fórmulas que representan cantidades físicas pueden determinar fun-ciones racionales. Por ejemplo, considere la ley de Ohm en teoría eléctrica, que expresa que I V/R, donde R es la resistencia (en ohms) de un conduc-tor, V es la diferencia de potencial (en volts) en las terminales del conductor e I es la corriente (en amperes) que circular por el conductor. La resistencia de ciertas aleaciones se aproxima a cero cuando la temperatura se aproxima al cero absoluto (aproximadamente273°C) y la aleación se convierte en su-perconductor de electricidad. Si el voltaje V es fijo, entonces, para ese super-conductor

esto es, cuando R se aproxima a 0, la corriente aumenta sin límite. Los super-conductores permiten el uso de corrientes muy grandes en plantas generado-ras y motores. También tienen aplicaciones en transporte experimental terrestre de alta velocidad, donde los intensos campos magnéticos producidos por imanes superconductores hacen posible que los trenes leviten para que en esencia no haya fricción entre las ruedas y la vía. Quizá el uso más importante de superconductores es en circuitos para computadoras, porque esos circuitos producen muy poco calor.

I V R l  cuando R l 0 ; x 43, x13, y x  2. 1 3 4 3 1 3 304 C A P Í T U L O 4 F U N C I O N E S P O L I N O M I A L E S Y R A C I O N A L E S

Ejer. 1-2: (a) Trace la gráfica de f. (b) Encuentre el dominio

D y rango R de f. (c) Encuentre los intervalos en los que f es

creciente o es decreciente.

1 2

Ejer. 3-4: Identifique cualesquiera asíntotas verticales, asín-totas horizontales y huecos.

3

4 f(x)2(5(xx 4)(x  2) 2)(x  1) f(x)2(x  5)(x  6)(x 3)(x  6)

fx x12 fx  4x

Ejer. 5-6: Todas las asíntotas, puntos de intersección y hue-cos de una función racional f están marcados en la figura. Trace una gráfica de f y encuentre una fórmula para f.

5 6 f(x)2(x  3)(x  4) (x 1)(x  4) f(x)2(x 3)(x  2) (x 1)(x  2) x 1 y 2 y x

(

4, W

)

6 3 x  1 y  2 y x

(

2, s

)

6 3

4.5

E j e r c i c i o s

Swokowski_04C_4R.qxd 31/1/09 9:24 PM Page 304

(17)

Ejer. 7-32: Trace la gráfica de f. 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Ejer. 33-36: Encuentre la asíntota oblicua y trace la gráfica de f. 33 34 35 36 fx  x3 1 y x x2 9 y 1 2x fx 8 x3 2x2 y 2x  3 y x  2 fx 2x2x x  3 2 fx  x2 x  6x 1 fx  xx22 4 1 fx x3x2 12 fx  x2x 2x  13 9x fx xx3 1 4x fx 2x2x 8x  62 2x fx 2x2x 10x  122 x fx 2x2 4x  48 x2 3x  10 fx 3x2 3x  36 x2 x  2 fx  x2 3x  4 x2 x  6 fx x2 x  6 x2 3x  4 fx 3x2 3x  6 x2 9 fx 2x2 2x  4 x2 x  12 fx  x 4 x2 4 fx  x 3 x2 1 fx x  12 2 fx x  24 2 fx  x 1 x2 2x  3 fx  x 2 x2 x  6 fx 5x  3x  13x  7x  1 fx 4x  1x  22x  3x  2 fx 5x 3 3x 7 fx 4x 1 2x 3 fx  4x 2x 5 fx  3x x 2 fx  3 x 3 fx  3 x 4

Ejer. 37-44: Simplifique f(x) y trace la gráfica de f.

37 38 for for 39 40 for for 41 for 42 for 43 for 44 for

Ejer. 45-48: Encuentre una ecuación de una función racio-nal f que satisfaga las condiciones dadas.

45 asíntota vertical: x 4 asíntota horizontal: y 1 intersección con el eje x: 3

46 asíntotas verticales: x 2, x  0 asíntota horizontal: y 0

intersección con el eje x: 2; f(3)  1 47 asíntotas verticales: x 3, x  1

asíntota horizontal: y 0

intersección con el eje x f(0)  2 hueco en x 2

48 asíntotas verticales: x 1, x  3 asíntota horizontal: y 2

puntos de intersección con el eje x:2, 1; hueco en x  0

49 Un recipiente para desechos radiactivos Un recipiente cilíndrico para almacenar desechos radiactivos se va a construir de plomo. Este recipiente debe tener paredes de 6 pulgadas de grueso. El volumen del cilindro exterior mostrado en la figura debe ser 16pies3.

fx 6x2 6x  12 x3 7x  6 fx 15x 30 x2 2x fx 3 x x 4 x1 2 fx x  1x  2xx  1 fx x2x 3x  22x  12 x2x  1 x 2 fx  x 2 x 1 fx  x2 4x  4 x2 3x  2 x 2 fx  x2 4 fx  x3 2x2 4x  8 x 2 x 2 fx  x  1 fx  x2 x  2 x 2 x 2 fx x 21 x 1 fx x1 1 fx xx2 2 4 fx 1x x 12 x 3 fx x 2 x 1 x 2 fx 2x 3 x 1 fx  x 2 x  6 x2 2x  3 fx 2x 2 x  6 x2 3x  2

(18)

(a) Exprese la altura h del interior del cilindro como fun-ción del radio interior r.

(b) Demuestre que el volumen interior V(r) está dado por

(c) ¿Qué valores de r deben excluirse en la parte (b)? y

Ejercicio 49

50 Dosis de medicamento La regla de Young es una fórmula que se usa para modificar los niveles de dosis de medica-mento de adultos para niños. Si a denota la dosis de adultos (en miligramos) y si t es la edad del niño (en años), entonces la dosis y para niño está dada por la ecuación y ta/(t  12). Trace la gráfica de esta ecuación para t 0 y a  100. 51 Concentración de sal Agua salada de concentración 0.1 li-bras de sal por galón entra en un gran tanque que inicial-mente contiene 50 galones de agua pura.

(a) Si el caudal de agua salada que entra al tanque es 5 gal/min, encuentre el volumen V(t) de agua y la canti-dad A(t) de sal en el tanque después de t minutos.

(b) Encuentre una fórmula para la concentración de sal c(t) (en lb/gal) después de t minutos.

(c) Discuta la variación de c(t) cuando .

As , .

52 Cantidad de lluvia El número total de pulgadas R(t) de llu-via durante una tormenta de duración t horas se puede aproximar con

Rt t bat , ct l 0.1 lb of salt per gal

t l  t l  t 10t 100 Vt  50  5t, At  0.5t r h 6 6 6 r 3.5 r 0 Vr r2h Vr r2



16 r  0.52 1



. hr  0.516 2 1

donde a y b son constantes positivas que dependen del lugar geográfico.

(a) Analice la variación de R(t) cuando . As t increases, total approaches a.

(b) La intensidad I de lluvia (en pulgadas/hora) está definida por I R(t)/t. Si a  2 y b  8, trace la grá-fica de R e I en el mismo plano de coordenadas para

t 0.

53 Propagación de salmón Para una población particular de salmón, la relación entre el número S de reproductores y el número R de crías que sobreviven hasta la madurez está dada por la fórmula

(a) ¿Bajo qué condiciones es R S?

(b) Encuentre el número de reproductores que darían 90% del mayor número posible de crías que sobrevivan hasta la madurez.

(c) Trabaje la parte (b) con 80% sustituyendo a 90%. (d) Compare los resultados para S y R (en términos de

au-mentos de porcentaje) de los incisos b y c. 125% increase in S produces 12.5% increase in R.

54 Densidad de población La densidad D de población (en habitantes / mi2) en una gran ciudad está relacionada con la distancia x (en millas) del centro de la ciudad por

(a) ¿Qué ocurre a la densidad cuando la distancia desde el centro de la ciudad cambia de 20 a 25 millas? It decreases.

(b) ¿Qué ocurre eventualmente a la densidad? It gets closer to 0.

(c) ¿En qué áreas de la ciudad es que la densidad de población excede de 400 habitantes / mi2?

Ejer. 55-58: Grafique f y encuentre ecuaciones de las asín-totas verticales. 55 None 56 None 57 fx x  0.999x  12 2 58 fx  x2x 9.01 3 x 3 fx 15x2 60x  68 3x2 12x  13 fx 2010xx22 80x  72 40x  41 4.5 x 8 Dx50002 36x . 0 S 4000 R 4500S S 500. t l  306 C A P Í T U L O 4 F U N C I O N E S P O L I N O M I A L E S Y R A C I O N A L E S Swokowski_04C_4R.qxd 5/2/09 1:11 PM Page 306

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