Fundamentos de Estadística:

Fundamentos de Estadística:

Resúmenes.

A. Roberto Espejo Mohedano.

Arturo Gallego Segador.

TEMA 1:

Introducción a la Estadística.

• La Estadística y las estadísticas.

• Definición de Estadística: o Estadística Descriptiva.

o Estadística Matemática o Inferencial: Población y muestra.

• Escalas de medida:

o Categóricas: Ordinales y nominales. o Numéricas: Por intervalos y por ratios.

• Herramientas para la Estadística: o Técnicas de conteo. o Cálculo de probabilidades.

• Estadística Multivariante: Modelos probabilísticos.

Tema 2: Estadística descriptiva univariante.

TEMA 2:

Estadística descriptiva univariante.

MEDIDAS DATOS SIN AGRUPAR DATOS AGRUPADOS

MEDIANA (me) 1 ( ) 2 e n n impar= →m =x ₊ 1 2 2 e n n n par m x_{   } + +         = → =

Intervalo mediano: Es el primero en el que

la frecuencia absoluta acumulada es mayor que n/2. 1 2− − = + i e i i n N m L a n i

Li= Limite inferior del intervalo mediano.

Ni-1= Frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al mediano.

n= Número total de datos.

ni= Frecuencia absoluta del intervalo mediano.

ai= amplitud del intervalo mediano.

MEDIA ( X ) ₁ 1 n i i X x n = =

∑

1 1 = =

∑

k _{i i} i X n n x CUARTILES _C

1= Valor que deja el 25% de los datos a su izquierda.

C2= Igual que C1 con el 50% de los datos.

C3= Igual que C1 con el 75% de los datos.

1 4 − − _{; 1, 2,} = + i = k i i i n_{K N} C L a k n 3 VARIANZA (S2)

(

)

2 2 1 1 2 2 1 1 = = = − =_  −_  

∑

n i

∑

n i i i S x x x n n x

(

)

2 2 1 1 = =

∑

k _{i i}− i S n x n x DESVIACION TIPICA (S) _{S = S}2 _{S = S}2 CUASI_VARIANZA (_{S )}2

(

)

2 2 1 1 1 n i i S x n = = − −

∑

x

(

)

2 2 1 1 1 = = − −

∑

k i i i S n x n x CUASI_ DESVIACION TIPICA (S ) 2 S = S _{S = S}2 MOMENTOS RESPECTO AL ORIGEN DE ORDEN r 1 1 n r r i i a x n = =

∑

1 1 = =

∑

k r r i i a n n xi MOMENTOS RESPECTO A LA MEDIA DE ORDEN r

(

)

1 1 n r r i i m x n = =

∑

−x

(

)

1 1 = =

∑

k − r r i i i m n x n x ERROR ESTANDAR . 1 S S n n = = − e s COEFICIENTE DE VARIACION (V) V = _XS RANGO ( R ) R=X(n) - X(1) COEFICIENTE DE ASIMETRIA (ϕ ) ₁ 3 3 1 S m = ϕ ϕ₁= 0 ⇒ Distribución simétrica.

ϕ₁< 0 ⇒ D. Asimétrica a la izquierda. ϕ₁> 0 ⇒ D. A. a la derecha. COEFICIENTE DE CURTOSIS (ϕ ) ₂ 4 3 4 2 = − S m ϕ ϕ₂= 0 ⇒ Mesocurtica. ϕ₂> 0 ⇒ Leptocurtica. ; ϕ₂< 0 ⇒ Platicurtica. DATOS ANORMALES i i X X Z S − = Sí Z_i∈

[

−2,2

]

datos normales. RELACION ENTRE S2 _{Y S} 2 2 _{( 1)} 2 n S = n− S

Tema 2: Estadística descriptiva univariante.

Tabla de frecuencias.

Frec. Absoluta Frec. Relativa (f.d.d.

empírica) Frec. Absoluta acumulada aculada (f.d.D. Frec. Relativa empírica) ni = i i n f _n Ni = +ni Ni−1 (N0=0) 1 i i i F = +f F₋ (F0=0) Medidas gráficas. -3 -1.9 -1 -0.3 0.3 1 1.9 3 0.1 0.2 0.3 0.4 1 2 3 1 2 3 1 2 ₃

Histograma Diagrama de sectores (pastel)

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

10 20 30 40

Diagrama de barras Diagrama de frec. acumuladas

Tema 3: Estadística descriptiva bivariante.

TEMA 3:

Estadística descriptiva bivariante.

) , (X Y (x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)

{

* *

}

2 * 1, ,..., SX r i x x x

x ∈ = Posibles valores de X (o sus marcas de clase)

{

* *

}

2 * 1, ,..., SY k i y y y

y ∈ = Posibles valores de Y (o sus marcas de clase)

Tabla de contingencia Distribuciones marginales Frecuencias absolutas

∑

= = k j ij i n n 1 . ; i = 1,..., r (variable X)

∑

= = r i ij j n n 1 . ; j = 1,..., k (variable Y) Frecuencias relativas n n f i i . .= ; i = 1,..., r (variable X) n n f j j . . = ; j = 1,..., k (variable Y) X| Y * 1 y * 2 y ... * j y ... * k y ni. * 1 x n11 n12 ... ... ... n1k n1. * 2 x n21 n22 ... ... ... n2k n2. M M M O M M * i x M M nij M M M M M O M M * r x nr1 nr ... ... ... nrk nr. n n n n n Distribuciones condicionadas YX . ij Y X i n f n = j = 1,..., k, i = 1,..., r XY . ij X Y j n f n = i = 1,..., r, j = 1,..., k Medidas de asociación: Escala nominal n n n fe i j ij . .

= , ∀ij frecuencias absolutas esperadas en caso de ausencia de asociación

2 χ de Pearson

∑∑

= = − = r i k j ij ij ij fe fe n 1 1 2 2 ( ) χ _χ2∈ [0, nt] t = min {(r − 1), (k − 1)} Coeficiente C de contingencia n C + = ₂ 2 χ χ C ∈ [0 , 1) V de Cramer nt V 2 χ = V ∈[0,1]

Tema 3: Estadística descriptiva bivariante. Escala ordinal Coeficientes predictivos λ:

[ ]

0,1 . .. 1 1 . .. 1 ... 1 / ₋ ∈ − = = = = =

∑

j k j r i j k j ij k j X Y n max n n max n max λ

[ ]

0,1 . .. 1 1 . .. 1 ... 1 / ₋ ∈ − = = = = =

∑

i r i k j i r i ij r i Y X _{n maxn} n max n max λ Escala numérica Covarianza y x y x n n y x y x n y y x x n S k j i i ij r i n i i i n i i i xy _−       = −         = − − =

∑

∑

∑

∑

= = = =1 1 1 1 1 1 ) )( ( 1 Coeficiente de correlación = ∈

[

-1,1

]

y x xy xy _{S S} S r

Tema 4 y 5: Combinatoria y calculo de probabilidades.

TEMA 4 y 5:

Combinatoria y calculo de probabilidades.

Introducción.

• Inferencia.

• ¿Probable o improbable?. • Fenómenos deterministas.

• Fenómenos aleatorios o estocásticos.

Conceptos básicos. • Espacio muestral Ω. Finito. Infinito numerable. Infinito no numerable. • Sucesos A ⊂ Ω.

Suceso simple o elemental.

Suceso compuesto.

Sucesos impropios.

Suceso seguro Ω.

Suceso imposible ∅.

• Relación entre sucesos. Inclusión A ⊂ B. Igualdad A = B.

• Operaciones con sucesos. Unión A ∪ B. Intersección A ∩ B.

Sucesos incompatibles.

Complementación. Suceso complementario Ac. • Teoría de conjuntos y sucesos.

Propiedades de la ∪ y la ∩ de sucesos.

Asociativa. Conmutativa. Distributiva. E. neutros.

Leyes de Morgan.

Diferencia entre sucesos A-B = A ∩ B .c

Álgebra de Boole.

• Álgebra de sucesos A: consecuencias. Sucesos aleatorios o estocásticos. • Extensión del álgebra: σ-álgebra.

• Espacio probabilizable ( Ω,_{A ).}

Tema 4 y 5: Combinatoria y calculo de probabilidades.

Definición frecuentista de probabilidad.

• Frecuencia relativa del suceso A.

n a n (A) r f = • n a n n (A) r f n

P(A)= lim_→∞ = lim_→∞ • Propiedades 1 1 )= (Ω r f 0≤ (A)≤ r f si A∩ B =∅. (B) r f (A) r f B) (A r f ∪ = +

Definición de Laplace de probabilidad.

Dados A tales que y e igualmente

verosímiles: m ,...,A ,A₂ 1 Ai ∩Aj =∅ Ai Ω m iU= 1 = posibles casos favorables casos m a m P(A)= =

Definición axiomática de probabilidad.

Sea P:A →

[

0,1

]

tal que: • P(Ω) = 1

• P(A) ≥ 0

• P(A∪ B) = P(A)+P(B) si A∩ B=∅ P → Función de probabilidad.

(Ω,A, P) → Espacio de probabilidad. Consecuencia de los axiomas:

Si A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) P(A) ≤ 1 P(A) ) c P(A = 1−

Tema 4 y 5: Combinatoria y calculo de probabilidades.

Ley aditiva de probabilidades.

• n ) si i i P(A ) n i i A P( ∑ = = =1 1 U A_i ∩B_j =∅;i≠ j • P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩ B)

• P(A∪ B∪ C) = [P(A)+P(B)+P(C)]-[P(A∩ B)+P(A∩ C)+P(B∩ C)]+ +[P(A∩ B∩ C)]

• Generalización:

• P(A∪ B∪ C∪ D∪ ...) = [P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+...]- - [P(A∩ B)+P(A∩ C)+P(A∩ D)+...]+[P(A∩ B∩ C)+P(A∩ B∩ D)+...] - ...

(Bonferroni) • ) i i P(A ) i i A P(_U ≤∑ -oOo- Análisis combinatorio. REPETICIONES SIN CON SI

(

)

! ! , n m m V V n m n m = = ₋ ! , m V P_m = _mm = n n m m VR _, = ! ... ! ! ! ,..., , , k b a m PR_{mab k} ⋅ ⋅ ⋅ = INFLUYE EL ORDEN NO

_{( )}

(

)

! ! ! , n m n m C C m n n m n m = = = ₋

( )

(

)

(

1

)

! ! ! 1 1 , ₋ − + = = + − m n n m CR m n n n m

Tema 6: Probabilidad condicionada.

TEMA 6:

Probabilidad condicionada.

Determinación concreta del espacio muestral. Frecuencia relativa condicionada.

• (B) r f B) (A r f B n B A n ) B A ( r f = ∩ = ∩ si f_r(B)≠0 Probabilidad condicionada. • = ∩ ;P(B)>0 P(B) B) P(A ) B A P( • = ∩ ;P(A)>0 P(A) B) P(A ) A B P(

Independencia estocástica (aleatoria)

• A i B ⇔ P(A)=P(A/B) • A i B ⇔ P(A∩B)=P(A) P(B) • A i B ⇔ B i A

• En general, dados los son "mutuamente" independientes si y sólo si: ,...,n i i A ∈A, =1 A_i ) n )...P(A )P(A P(A ) n A ... A P(A 2 1 2 1∩ ∩ ∩ =

Teorema de la partición (o de la probabilidad total).

• Dados A_i∈A,i=1,...,n tales que:

• =Ω =

U

_in Ai 1 • A_i ∩A_j =∅ ∀i,j=1,_K,n/i≠ j • P(A_i)>0,i=1,_K,n

• Sea B∈A otro suceso, entonces:

∑

= = n i i i ) P(B/A ) P(A P(B) 1

Tema 6: Probabilidad condicionada.

Demostración: Basta considerar

1.

_U

n i i B A B 1 ) ( = ∩ = 2. P(A_i ∩B)=P(A_i)P(B/A_i) Teorema de Bayes. • Probabilidad a priori. • Probabilidad a posteriori.

• Teorema: Dadas las condiciones del teorema de la partición:

∑

= = _n i i i j j j A B P A P A B P A P B A P 1 ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / (

Donde: P(A_i) → Probabilidad a priori.

Probabilidad a posteriori. → ) / (A B P _j Verosimilitudes. → ) / (B A_j P Demostración:

∑

= = = ∩ = _n i i i j j P T j j j j A B P A P A B P A P B P A B P A P B P B A P B A P 1 . . ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) / (

Tema 7: Variable aleatoria univariante.

TEMA 7:

Variable aleatoria univariante.

F(x) P(A) X(A) X-1_(B)

Ω

A 0 1

R

B

Función real de los resultados. Variable aleatoria univariante (v.a.).

Dado (Ω, _{A, P), sea X : Ω → R}

A ∈ _{A → X(A) ∈ R}

X es v.a. sobre Ω ⇔ ∀ intervalo B ∈ R, se tiene que X -1_{(B) ∈ A.} Espacio muestral (S) de una v.a.

S = { todas las realizaciones X(w), w ∈ Ω }

Función de distribución (f.d.D.).

En un sentido estrictamente matemático, F: R → [0,1] es una f.d.D. sii: 1. lim ( )=0 −∞ → F x x 2. lim ( )=1 ∞ → F x x

3. F es monótona no decreciente. (si x1< x2⇒ F(x1) ≤ F(x2) )

4. F es continua por la derecha. ( lim ( ) ( ) )

0 ,

0h F x h F x

x→ → + =

Tema 7: Variable aleatoria univariante.

Función de distribución de una v.a. X.

F(x) = P({w ∈ Ω / _{X (w) ≤ x})} ( F(x) = P(X ≤ x) ) " Distribución de una unidad de masa sobre la recta real."

" F(x) es la masa probabilística situada a la izquierda del punto x."

Variable aleatoria discreta.

• El espacio muestral asociado es finito o numerable.

S = {x1, x2, ..., xn, ... } "Puntos donde se concentra la masa

probabilística." • Se entiende por P(_{X = x) a:} P(X = x) = P(X -1(x)) = P({w ∈ Ω / X(w) = x}) • Distribución de probabilidad. X x1 x2 ... xn P(X=x) P(X=x1) P(X=x2) ... P(X=xn) •

∑

≤ = = ≤ = x x i i x P x P x F( ) (X ) (X )

• Función de densidad (f.d.d.) de una v.a. (o de cuantía)

   ∈ = ∉ ∀ = S x si x P S x x f ) ( 0 ) ( X

∑

≤ = x xi i x f x F( ) ( )

Variable aleatoria continua.

• “La v.a. puede tomar un valor cualquiera dentro de un intervalo real”. S puede ser de la forma: (a, b), (-∞, b), (a, +∞), (-∞, +∞)

• _P(_{a<X <b})_=P(_X−1((_a,_b))_=P({_w∈Ω/_a<X(_w)_<b})

P(X = xi ) = 0 (“distribuimos la masa probabilística en ∞ valores”)

• F(x)=P(_X ≤x)

Tema 7: Variable aleatoria univariante.

• La f.d.d. de una v.a. X, f(x) es una función tal que: 1.

∫

+∞ ( ) =1 ∞ − f x dx 2. < < =

∫

2 1 ) ( ) ( _{1 2} x x f x dx x x P X • Relación entre la f.d.D. y la f.d.d. 1.

∫

∞ − = ≤ < −∞ = ≤ = P x P x x f t dt x F( ) (X ) ( X ) ( ) 2. dx x dF x f( )= ( ) • Anotaciones: 1. Si S = ⇒

∫

b = , y además a f x dx b a, )} ( ) 1 {(      ≥ < < ≤ =

∫

b x si b x a si dx x f a x si x F x a 1 ) ( 0 ) ( 2. > = − ≤ = − =

∫

+∞ i x i i i P x F x f x dx x P(_X ) 1 (_X ) 1 ( ) ( ) 3. ( _{1 2}) 2 ( ) ( ₂) ( ₁) ( ₂) ( ₂) ( ₁) 1 x F x F x P x F x F dx x f x x P x x = − − = = − = < <_X

∫

_X Valor esperado.

Sea X una v.a y sea g: R → R . Se define el valor esperado de la v.a. g(X) como: 1.

[

]

∑

∑

(Caso discreto) ∈ ∈ = = = S xi i i xi S i i x P x g x f x g g E (X) ( ) ( ) ( ) (X ) 2.

[

]

∫

+∞ (Caso continuo) ∞ − = g x f x dx g E (_X) ( ) ( ) Supuestos: . son la y la decir es ) ( ) ( ) ( ) ( es convergent nte absolutame dx x f x g x f x g S x i i i

∑

∫

∫

∑

    +∞ < +∞ < ∞ + ∞ − ∈

Tema 7: Variable aleatoria univariante.

Esperanza matemática.

• Si la función g(x) anterior es la identidad (g(x)=x), a E[_{X] se le} denomina esperanza matemática o simplemente esperanza de la v.a. X, siendo habitual notarla por µ_X.

• Propiedades: 1. E

[ ]

k =k

2. E

[

a+b_X

]

=a+bE

[

_X

]

Momentos.

• Momento de orden k respecto del parámetro c.

[

k

]

c

k E c

M = (_X − )

• Si c = 0. Momentos respecto al origen.

[ ]

k k =EX α • Si c=µ_X. Momentos centrales.

[

k

]

k E(X µX) µ = −

Media de una v.a.

• µ_X =µ =α₁ =E

[ ]

_X "Media o valor medio" de la distribución de la v.a. _X

∑

_∫

∈ +∞ ∞ − = = S x i i i dx x f x x f x ( ) ; µ ( ) µ

• En general, no tiene porque existir la media.

Varianza de una v.a.

•

[

2

]

2

2 _{µ ( µ)}

σ

σ2 = = = X

X E − "Varianza" de la distribución de la v.a. X.

dx x f x x f x S x i i i ) ( ) ( ; ) ( ) ( 2 2 2 2

∑

∫

∈ +∞ ∞ − − = − = µ σ µ σ

• Desviación típica de la v.a.

Tema 7: Variable aleatoria univariante.

2

σ

σ += "Viene expresada en la mismas unidades que la v.a." • Propiedades: 1. 2 "Teorema de Konning" 1 2 2 _{α α} σ = − 2. Si Y =a+bX siendo X ∈D(µ_X,σ_X2). Entonces: σ 2. X 2 Y =b2σ Desigualdad de Tchebycheff. • ( ) 1 1₂ k k k P µ− σ <X <µ+ σ ≥ − • Formulaciones equivalentes: 2 1 1 ) ( k k P X−µ < σ ≥ − 2 1 ) ( k k P _X−µ ≥ σ <

Tema 8: Principales distribuciones discretas.

TEMA 8:

Principales distribuciones discretas.

• Distribución Uniforme.

"La v.a. X toma valores x1, x2, ..., xn con igual probabilidad"

1 2 k 1 f (x) f (x, k) x x , x , , x (k) k = = ∀ = _K ∈U k x k x k i i k i i

∑

∑

= = − = = 1 2 2 1 ) ( ; µ σ µ . En el caso de que S_X={1,2,...,k} , 12 1 ; 2 1 2 2 ₌ − + = k σ k µ 1 2/k 1/k 1/k · · xn · x1 x2 x3 · · · xn F(x) · · · x2 x1 f(x)

En el caso particular de ser S_X={x0}, la distribución de X se dice degenerada o

singular.

• Distribución de Bernouilli o Binaria.

"Experimento aleatorio con dos posibles resultados": S_X = {0,1} A = {"Éxito"} = {1} ; P(A) = p B = Ac = {"Fracaso"} = {0} ; P(B) = q = 1-p ) ( ) 1 ( ) , ( ) (_{x f x p p p} 1 _p f _{= =} x ₋ −x _∈B Proceso de Bernouilli:

1. La probabilidad de éxito permanece constante para cada uno de los intentos. 2. Los intentos repetidos son independientes.

[ ]

_∑

= − _{= + =} − = 1 0 1 ₀ ) 1 ( x x x _{p p p} xp E_X

[ ]

[ ]

(

[ ]

)

_∑

= − _{− = − = −} − = − = 1 0 2 2 1 2 2 2 _{(1 ) (1 )} x x x _{p p p p p p} p x E E V _{X X X}

Tema 8: Principales distribuciones discretas. F(x) q 1=p+q 0 1 f(x) 0 · 1 · q p • Distribución binomial.

Dadas n pruebas de Bernouilli repetidas e independientes: ) ( , , , ₂ 1 X Xn B p X _L ∈

La v.a. _{X "n}o de éxitos total en las n pruebas" se dice binomial de parámetros n y p.

∑

= ∈ = n i i n p 1 ) , ( b X X x n x _p p x n p n x f x f ₋ −       = = ( , , ) (1 ) ) (

[ ] [

E

] [ ] [ ]

E E E

[ ]

np E_X = _X1+_X2 +_L+_Xn = _X1 + _X2 +_K+ _Xn =

[ ] [

V

]

V

[ ]

V

[ ]

V

[ ]

npq V X = X₁ +X₂ + +X_n =₁2 X₁ +₁2 X₂ + +₁2 X_n = K K

"Asociada a la idea de muestreos con reemplazamiento".

• Distribución hipergeométrica.

"La v.a. _{X n}o de éxitos en una prueba muestra aleatoria de tamaño n seleccionada de entra N resultados posibles, de los cuales a son éxitos y b fracasos (a+b=N), se dice hipergeométrica". ) , , (n a b h ∈ X      + ≤ ≤ − ≤       +       −       = = b a n b x n a x n b a x n b x a b a n x f x f( ) ( , , , )

Tema 8: Principales distribuciones discretas.

[ ]

[ ]

N n a b E n p ; V n N 1 N N − = = − X X

"Asociada a la idea de muestreos sin reemplazamiento".

• Distribución de Poisson.

La v.a. X, no de ocurrencias del suceso A (éxito) durante un gran número de pruebas, se dice de Poisson".

En términos coloquiales: "Una binomial con n grande y p pequeño". p

n = ∈P(λ) ; λ X

Matemáticamente, si: n→∞ y p→0 y np =λ =cte:

λ λ λ _{λ λ} λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − − →       −               −       ₋ −       − =       −       − + − − − =       −       − = −       = = e x n n n x n x n n n x n n n n x n n x n x n p p x n x P x x n x x n x x x n x x n x ! 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 ) 1 ( ) 2 )( 1 ( ! 1 1 )! ( ! ! ) 1 ( ) ( L L X 1 1 e-λ 1 Por lo tanto: _{= λ =} λ _e−λ x x f x f x ! ) , ( ) ( • o bien 18 1 . 0 50 cuando ) ( ) , ( <    ≤ ≥ → np p n p n P λ b

[ ]

X =λ V

[ ]

X =λ E ;

Asociada con "sucesos raros". Algunos casos típicos pueden ser: no de bacterias en un cultivo, no de errores mecanográficos por página, no de llamadas telefónicas recibidas, etc.

Tema 8: Principales distribuciones discretas.

• Distribución geométrica.

Dado un fenómeno dicotómico con alternativas A (con P(A)=p) y Ac (P(Ac)=1-p=q) "la v.a. que cuenta el número de veces que ocurre la alternativa Ac (fracaso) antes de que aparezca por primera vez A (éxito), se dice geométrica". _X∈_G( p).

p q p x f x f_{( )= ( , )=} x _;

[ ]

[ ]

2 ; p q V p q E_X = _X =

• Distribución binomial negativa (o de Pascal).

Dado un fenómeno dicotómico con alternativas A (con P(A)=p) y Ac (P(Ac)=1-p=q) "la v.a. que cuenta el número de veces que ocurre la alternativa Ac (fracasos) antes de que aparezca por r-esima vez A (éxito), se dice binomial negativa".

. ) , ( pr bn ∈ X

( )

x r r x _{q p} x r p q x r x p r x f x f _−     − =       + − = = ( , , ) 1 ) (

[ ]

;

[ ]

₂ p q r V p q r E_X = _X =

Tema 9: Principales distribuciones continuas.

TEMA 9:

Principales distribuciones continuas.

• Distribución uniforme o rectangular.

Sea _{X una v.a. con espacio muestral asociado S={(a,b)}. Si todos los puntos de S} son equiprobables, se dice que _{X tiene una distribución uniforme (X} ), cuya f.d.d es: ) , ( ba U ∈     ∈ − ∉ = = S x si a b S x si b a x f x f 1 0 ) , , ( ) ( a b f(x) F(x) 1 1/b-b a

[ ]

[ ]

12 ) ( ; 2 2 2 _V b a b a E = + = = − = _X σ _X µ • Distribución normal.

Es la distribución continua más importante en todos los campos de la Estadística, sobre todo en la Inferencial.

Describe de forma aproximada muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, industria e investigación.

Tiene una distribución (f.d.d.) en forma de campana.

NHµ,σ2_L µ−σ µ µ+σ ) , ( σµ N ∈ X

Tema 9: Principales distribuciones continuas. 2 2 1 2 1 ) , , ( ) (      − − = = σ µ π σ σ µ x e x f x f Consideraciones:

- La moda (punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su máximo) ocurre en x=µ.

- La curva es simétrica respecto al eje vertical que pasa por la media. - La curva tiene sus puntos de inflexión en x=µ ±σ.

- La curva tiene como asíntota el eje horizontal. - El área bajo la curva y el eje horizontal es igual a 1.

La forma de la función de distribución F(x) es:

0 1

[ ]

_{X =µ ; V}

[ ]

_{X =σ}2

E

• Distribución normal estándar.

La distribución de una v.a. _{X normal de media cero y varianza 1, se denomina} distribución normal estándar. X∈N(0,1).

2 2 1 2 1 ) (x e x f = − π NH0,1L −1 0 1

Tema 9: Principales distribuciones continuas.

La v.a. _X se encuentra tabulada. En dichas tablas se proporciona la . ) 1 , 0 ( N ∈ ) α ( z P X ≥ NH0,1L α zα 0

Tipificación de v.a. normales:

Dada una v.a. ∈_X N(µ,σ), la v.a. = − ∈N(0,1) σ

µ X

Z . Por tanto se reduce el

calculo de probabilidades asociado a distribuciones normales a la consulta de la tabla de la N(0,1). Ejemplo: NH0,1L α=0.4013 z=0.25 0 NH7,16L α=0.4013 x=8 0 • Distribución gamma.

La distribución de una v.a. X∈γ( pa, ), si su f.d.d. es:

p p 1 ax x 0 a x e si f (x) (p) a, p 0 0 en el resto − −   >   =Γ  >  

siendo

∫

, (integral gamma), convergente ∀ .

+∞ − − = Γ 0 1 ) (p xp e xdx _p>0

[ ]

;

[ ]

₂ a p V a p EX = X =

Tema 9: Principales distribuciones continuas.

• Distribución exponencial.

Es un caso particular de la distribución gamma para a=a y p=1. ) ( ) 1 , (a Ex a X∈γ = . Su f.d.d. es:    ≥ > = − resto a x e a x f ax ; 0 0 , 0 ; ) ( • Distribución chi-cuadrado.

Es un caso particular de la distribución gamma para a=1/2 y p=n/2.

2 ) ( ) 2 , 2 1 ( n χ _n γ = ∈ X Su f.d.d. es:

( )

      > Γ = − − resto el en x si e x n x f x n n 0 0 ) 2 ( 2 1 ) ( 2 1 1 2 2

Al parámetro n se le llama “grados de libertad”. Construcción a partir de la normal:

Sea la v.a. Z , la distribución de la v.a. X es una y se le suele llamar “distribución cuadrado de la normal”.

) 1 , 0 ( N ∈ _=Z2 2 ) 1 ( χ

Sean las v.a. _X 2 , independientes entre si.

) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1∈χ ,X ∈χ ,K,Xn ∈χ La v.a. Y:

∑

= ∈ = n i 1 i n 2 ) ( χ X Y χ2_H6L χ2_H1L χ2_H4L

Tema 9: Principales distribuciones continuas.

χ2_HnL

0

La distribución chi-cuadrado es asimétrica y se encuentra tabulada, proporcionando la ) ( 2 α χ ≥ X P χ2_HnL α χ2 α 0 • Distribución

t

de Student.

Una v.a. _{X cuya f.d.d. es:}

R ∈ ∀       +       Γ       + Γ =       + − x n x n n n x f n 2 1 2 1 2 2 1 ) ( π

se dice que su distribución pertenece a la familia de distribuciones t de Student con n grados de libertad. _{X ∈t(n)}.

Construcción a partir de la normal:

Sean las v.a. Z 2 , la distribución de la v.a.:

(n) e ) 1 , 0 ( ∈χ ∈N Y ) (n n t Y Z X = ∈

Tema 9: Principales distribuciones continuas.

Esta distribución simétrica respecto del origen y que se encuentra tabulada, proporcionado la P(X ≥t_α)

tHnL α

tα

0

Su forma funcional es algo mas achatada que la curva normal al tener una varianza mayor. Cuando n→∞ ⇒ t_(n) →N(0,1).

NH0,1L

tHnL

−1 0 1

• Distribución _{F de Fisher-Snedecor.}

Una v.a. cuya f.d.d. es:

R ∈ ∀       +       Γ       Γ       + Γ       =       + − − x x n m x n m n m n m x f n m m 2 1 2 2 1 2 2 2 ) (

se dice que su distribución pertenece a la familia de distribuciones F de Fisher-Snedecor con n y m grados de libertad. _{X ∈F( mn, )}.

Tema 9: Principales distribuciones continuas.

Construcción a partir de la normal:

Si la v.a. X 2 y la v.a. X y son independientes entre si, la v.a.:

) ( 1∈χ m 2∈χ(2n) ) , ( 2 1 n m n m _F X X X = ∈

Es asimétrica, y su forma es del tipo:

FHn1,n2L

Su distribución se encuentra tabulada, proporcionado la P(_{X ≥Fα})

FHn1,n2L α Fα Si _{( , )} 1 2 ) , ( 2 1 1 m n n m m n n m _F X X X F X X X = ∈ ⇒ = ∈ ) , ( ), 1 ( ) , ( , 1 m n n m α α − = F F

Tema 9: Principales distribuciones continuas.

• Teorema central del limite de Lindeberg-Levy.

Sean las v.a. _X1, X2, ..., Xn independientes entre si y con la misma distribución

. Se verifica que la v.a.: i D X_i ∈ (_µ,_σ2) ∀ ) , ( 2 1 σ µ n n N n i i → =

∑

= X X o bien: ) 1 , 0 ( 2 N n n _→ − σ µ X

Relación de convergencia entre b (n,p), P (λ) y N(0,1):

• X∈b(n,p) → P(λ) ( n ≥ 20, p ≤ 0.05 λ = np < 18 ) • ( , ) N(0,1) npq np p n ⇒ − → ∈ X X b ( n ≥ 30, min(p,q) ≥ 0.1 ) ) , ( ) , (n p → N np npq ∈b X ( Teorema de D’Moivre) • _X∈_P(λ) → N(λ,λ) ( λ ≥ 18 ) o bien − → N(0,1) λ λ X

Corrección de continuidad de Yates:

Si se quiere aproximar una distribución discreta por una continua, hay que aplicar una corrección de continuidad consistente en considerar un intervalo en torno al punto que se desea estudiar.

Discreta Continua x = a a-0.5 ≤ y ≤ a+0.5 a < x < b a+0.5 ≤ y ≤ b-0.5 a ≤ x ≤ b a-0.5 ≤ y ≤ b+0.5 a ≤ x < b a-0.5 ≤ y ≤ b-0.5 a < x ≤ b a+0.5 ≤ y ≤ b+0.5

Tema 10: Variable aleatoria bivariante.

TEMA 10:

Variable aleatoria bivariante.

V.a. n-variante.

• Dado un espacio de probabilidad (Ω,A,P), una función:

(

(w), (w), , (w)

)

n n 2 1 X X X w R : X L a r Ω ∈ → Ω

es una v.a. n-variante si ∀ intervalo B∈_Rnse tiene que Xr-1(B)∈A. • Espacio muestral _{S de la v.a. X .} r

• V.a. Bivariante:

(

)

(

)

(

)

2 2 , ) ( , : , R Y X Y X w R Y X ∈ = Ω ∈ → Ω (w) (w) w a

es v.a. bivariante si ∀ intervalo B∈R2se tiene que

(

X,Y

)

-1(B)∈A. • Clasificación de v.a. bivariantes: Discretas, continuas y mixtas.

Función de Distribución (f.d.D.).

• Dada una v.a. (_{X,Y) y F}:_R2 _→

[

0,1

]

tal que:

(

x y

)

P y x

F( , )= _X ≤ ;_Y ≤ se le denomina f.d.D. de la v.a. (_X,Y).

• Propiedades de la f.d.D.

F(x,y) es monótona no decreciente respecto a cada una de las variables. F(x,y) es continua por la derecha respecto a cada una de las variables.

R ∈ ∀ = −∞ → F x y y xlim ( , ) 0 R ∈ ∀ = −∞ → F x y x ylim ( , ) 0 1 ) , ( lim ,y→∞F x y = x

Tema 10: Variable aleatoria bivariante.

V.a. bidimensional discreta.

• La v.a. (X,Y) es discreta si X e Y son discretas.

es un conjunto finito o numerable.

(

)

{

∀ ∈Ω = _X,Y (w ;) w S

}

(

x y

)

P

(

x w

)

P

(

w w x w y

)

P_X = _;Y = = _X−1_{( );Y}−1_{( )} = ∈Ω_{/X( )}= _{;Y( )}= • Distribución de probabilidad de la v.a. (_X,Y).

X \ Y y1 y2 ... yj ... ym x1 p11 p12 ... p1j ... p1m x2 p21 p22 ... p2j ... p2m ... ... ... ... ... ... ... xi pi1 pi2 ... pij ... pim ... ... ... ... ... ... ... xn pn1 pn2 ... pnj ... pnm siendo

(

)

∑∑

= = = = = = n i m j ij j i ij P x y p p 1 1 1 y ;Y X

• f.d.D. de una v.a. (_X,Y)

(

)

_{∑ ∑}

(

)

≤ ≤ = = = ≤ ≤ = x x y y j i i j y x P y x P y x F( , ) _X ;_{Y X} ;_Y

• f.d.d de una v.a. (_{X,Y) o función de cuantia.}

(

)

_{∑ ∑}

≤ ≤ = ⇒ = = = x xi yj y i j y x f y x F y x P y x f( , ) X ;Y ( , ) ( , )

V.a. bivariante continua.

• Una v.a. (_{X,Y) es continua si X e Y son continuas.} • Una v.a. (_{X,Y) es continua si:}

puede expresarse como:

(

x y P y x F y x F y x f ≥ = ≤ ≤ ∃ ( , ) 0 / ( , ) con ( , ) X ;Y

)

∫ ∫

−∞ +∞ ∂ ∂ ∂ = ⇒ = x y y x y x F y x f dv du v u f y x F( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 • Propiedades: o

∫ ∫

₋+∞_{∞ −}+∞_∞ f(x,y)dxdy = 1 o

(

< ≤ < ≤

)

=

∫ ∫

2 1 2 1 ) , ( ; _{1 2} 2 1 x x y y f x y dxdy y y x x P _{X Y}

Tema 10: Variable aleatoria bivariante.

o P

(

x1 ≤X ≤x2;y1 ≤Y ≤ y2

)

=F

(

x2,y2

)

−F

(

x1,y2

)

−F

(

x2,y1

)

+F

(

x1,y1

)

Momentos.

• Esperanza matemática de una v.a. (X,Y) Caso discreto:

∑

∈S i i y x i i i iy f x y x , ) , ( Caso continuo:

∫ ∫

+∞ ∞ − +∞ ∞ − xy f(x,y)dxdy • Momentos: uv

[

(

) (

k

)

h

]

h k E u v M , = _X − _Y− ,

Para u=v=0 , "momentos respecto al origen" α _{k ,h}

Para u=α_1,0;v=α_0,1 , "momentos centrales respecto de las medias" µ_{k ,h} • α_1,0 "media de _X" α_0,1 "media de _{Y "} µ_2,0 "varianza de _X"

"varianza de Y " "covarianza entre X e Y "

2 , 0 µ µ_1,1 • µ_1,1=α_1,1−α_1,0α_0,1 (Teorema de Konning) • Vector de medias: _      = y x µ µ µ Matriz de covarianzas: ∑ _       = ₂ 2 y yx xy x σ σ σ σ • Coeficiente de correlación: y x xy xy _{σ σ} σ ρ =

Tema 10: Variable aleatoria bivariante. Distribuciones marginales.

(

X∈A

)

= P

(

(

X,Y

)

∈A×R

)

P P

(

_Y∈B

)

=P

(

(

_X,Y

)

∈_R×B

)

• Caso discreto: o Probabilidades marginales:

∑

= = = m j ij x p i n p_i 1 , , 2 , 1 K

∑

= = = n i ij y p j m p j 1 , , 2 , 1 K X\Y y1 ... yj ... ym 1 x1 p11 ... p1j ... p1m px1 ... ... ... ... ... ... ... xi pi1 ... pij ... ... pxi ... ... ... ... ... ... ... xn pn1 ... ... ... ... pxn o Distribuciones marginales: X x1 x2 ... xn Y y1 y2 ... ym pxi px1 px2 ... pxn 1 pyj py1 py2 ... pym 1 o f.d.D. marginales:

(

)

_∑

≤ = ∞ < ≤ = ∞ = = x xi x i p x P x F x F x F_X( ) ₁( ) ( , ) _X ;_Y

(

)

_∑

≤ = ≤ ∞ < = ∞ = = y y y j j p y P y F y F y F_Y( ) ₂( ) ( , ) _X ;_Y

Tema 10: Variable aleatoria bivariante. • Caso continuo: o F₁(x)=F(x,∞)=

∫ ∫

₋x_{∞ −}+∞_∞ f(t,y)dtdy=

∫

₋x_∞ f₁(t)dt donde

∫

+∞ ∞ − = f x y dy x f₁( ) ( , ) o F₂(y)=F(∞,y)=

∫ ∫

₋+∞_{∞ −}y_∞ f(x,t)dxdt =

∫

₋y_∞ f₂(t)dt donde

∫

+∞ ∞ − = f x y dx y f₂( ) ( , )

o F1(x) y F2(y) son las f.d.D. marginales

o f1(x) y f2(y) son las f.d.d. marginales.

Distribuciones condicionadas.

• Caso discreto:

Sea (_{X,Y) una v.a. con f. de probabilidad p}ij y distribuciones marginales pxi y pyj:

(

/

) (

/

) (

₍

;

₎

)

= ; >0 = = = = = = = j j y y ij j j i j i j i p p p y P y x P y x P y x P Y Y X Y X

( Probabilidad de _X=xi condicionada al valor Y=yj )

o Distribuciones de probabilidad condicionada:

pyj > 0 X x1 x2 ... xn p(xi/yj) p(x1/yj) p(x2/yj) ... p(xn/yj)

(

)

₌ j i/y 1

∑

= n i x P 1 • Caso continuo: o ; ( ) 0 ) ( ) , ( ) / ( ₂ 2 > = f y y f y x f y x f (f.d.d. de la v.a. _{X condicionada al} valor Y=y). o ; )( ) 0 ) ( ) , ( ) / ( ₂ 2 > =

∫

−∞ _{f y} y f dt y t f y x F x (f.d.D. de la v.a. X condicionada al valor _Y=y)

Independencia (estocástica) entre v.as.

Tema 10: Variable aleatoria bivariante.

• Dada una v.a (_{X,Y), las variables X e Y se dicen independientes si ∀ intervalo} de R2 de la forma ( (x1,y1),(x2,y2) ) se verifica:

(

) (

) (

)

(

x₁,y₁ < ≤ x₂,y₂

)

=P

(

x₁ < ≤x₂

) (

P y₁ < ≤ y₂ ⇒ P _{X,Y X Y}

)

2 2 1( ) ( ) ( , ) ) , (x y =F x F y ∀ x y ∈_R F • Caracterizaciones equivalentes: o p =P

(

_X =x ;_Y = y

)

= p p ∀(x,y)∈_R2 j i y x j i ij (caso discreto) o 2 (caso continuo) 2 1( ) ( ) ( , ) ) , (x y = f x f y ∀ x y ∈_R f o f(y/x)= f₂(y) o f(x/y)= f₁(x)

Tema 11: Introducción a la Inferencia Estadística.

TEMA 11:

Introducción a la Inferencia Estadística.

Muestreo.

• Población o colectivo: Censo (costos, destrucción del ente, entes relativos, ...). • Muestra. Principio de aleatoriedad (muestra aleatoria simple).

• Muestra genérica: _Xr=(_X1,X2,...,Xn) v.a. n-dimensional.

x₁ x'₁ x''_{1 ...} X₁ x₂ x'₂ x''_{2 ...} X₂ x₃ x'₃ x''_{3 ...} X₃ ... ... ... ... ... x_n x'_n x''_{n ...} X_n

x

x

'

x

'' ... X Sx Sx' Sx'' ... SX

Para cada valor de ⇒ muestra distinta. Xr Realización de la muestra. Conjunto de todas las posibles realizaciones: espacio muestral de X . r • Tipos de muestreo:

o Según el diseño:

Muestreo aleatorio simple. Muestreo estratificado.

Muestreo por conglomerados. Muestreo polietápico.

o Según la forma en que se toman las observaciones: Muestreo independiente o aleatorio simple.

Muestreo dependiente. o Según el tamaño de la muestra:

Muestreo en poblaciones finitas (con o sin reemplazamiento). Muestreo en poblaciones infinitas.

• Función de densidad de X (supuesto el muestreo aleatorio simple): r

Tema 11: Introducción a la Inferencia Estadística. ) f(x ) )f(x f(x ) ,x , ,x f(x_{1 2 K n} = _{1 2 L n} llamada también función de verosimilitud.

• Función de distribución empírica de la muestra concreta:

          ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤ < = − x x si x x x si n ) n ( x x x si n x x x si n x x si ) x ( F ) n ( ) n ( ) n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * 1 1 2 1 0 1 3 2 2 1 1 L L L L L L L

siendo x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤_K≤x_(n) la muestra ordenada.

• Teorema Central de la Estadística o de Glivenko-Cantelli.

“La distribución empírica de la muestra converge en probabilidad a la distribución de la población cuando el tamaño muestral tiende a ser grande”.

∞ → ∈ ∀ →  F(x) x ,n ) x ( F* P _R

es decir que P

(

supF*(x)−F(x) →0

)

→1

• Estadísticos: Funciones de la v.a. X . r

t : (_X1, X2, ..., Xn) → R

(x1, x2, ..., xn) → t (x1, x2, ..., xn)

⇒ v.a. (asigna un valor numérico a cada muestra distinta). • Inferencia:

o Paramétrica.

Estimación: Por punto y por intervalo. Contrastes de hipótesis.

o No paramétrica.

Tema 12: Algunas distribuciones maestrales.

TEMA 12:

Algunas distribuciones muestrales.

Distribución de la media muestral.

• Sea Xr =( ,X_{1 2}X ,...,X_n) ∈ D( µ , σ 2 ) . El estadístico X ( media muestral )

∑

= = n i i X n X 1 1 ∈ D( µ , n σ2 ) • Si el tamaño muestral es grande:

X ∈ D( µ , n σ2 ) → _{N( µ ,} 2 n σ ) O lo que es lo mismo: Z = X_σ µ n − _→ N( 0 ,1 ) • Casos a considerar: o σ 2 conocida: Si n ≥ 30 la aproximación es buena. o σ 2 desconocida:

Se puede calcular mediante la varianza muestral S 2 y la aproximación es buena si n ≥ 100, es decir:

Z = X_S µ n

− _→

N( 0 ,1 )

o Si n es pequeño, X seguirá la misma distribución que la población y no tenderá ( convergerá ) a la distribución Normal.

• Si la muestra proviene de una población Normal: o σ 2 conocida: X i ∈ D( µ , σ 2 ) ⇒ X ∈ N( µ , σ_n2 ) ⇔ X µ σ n − → N( 0 , 1 )

Tema 12: Algunas distribuciones maestrales.

o σ 2 desconocida:

Se calcula mediante S2, la aproximación es buena si n ≥ 20. Caso contrario se utiliza la aproximación:

T = 1 X µ S n -− _→ t(n-1) (Apéndice 1)

• Distribución de la varianza muestral.

Sea Xr=( ,X_{1 2}X ,...,X_n) ∈ D( µ , σ 2 ) o Si µ es conocida: 2 1 2 1 _{(x µ)} n n i i

S

=

∑

− = o Si µ es desconocida: 2 1 2 1 _{(x x)} n n i i

S

=

∑

− = E( S2 _{) =} n σ σ 2 2 _{− ; V( S2 ) =} n σ µ 4 4 − _{(Apéndice 2)}

o Si el muestreo se realiza en una población normal:

S2 → N( n σ σ 2 2 _{− ,} n σ µ 4 4 − ₎

o El estadístico usado en el estudio de la varianza es (Teorema de Craig):

2 2

σ nS

→

χ

2_(n-1)

• Distribución de la diferencia de medias en poblaciones normales.

Sean: ( , ) ( , ) ( , ) _{( , )} n n σ µ µ σ σ µ σ _µ ∈  ∈ _{ ⇒}  ∈ _{ ∈} r < r 2 X X 2 X X X 2 2 Y Y Y Y Y X N X N Y N _{Y N}

Tema 12: Algunas distribuciones maestrales.

Consideremos la nueva v.a. Z X Y = −

E _{ }Z = E _{ }X −E_{ } Y =µ_X −µ_Y

(

)

₁2 _{( ) ( 1)}2 _{( )-2 ( )}   = = +   V Z V X- Y V X - V Y COV X,Y ⇒ ( , 2COV( n n σ σ µ µ ⇒ ∈ − X2 + Y2 − X Y X Y Z N X,Y )) Y donde COV( ) n n σ ⇒ = XY X Y X,Y

a) Si las muestras están relacionadas σ , y generalmente se realiza un estudio de la v.a.

0 ≠

XY

r

Z donde por regla general nX =nY

b) Si las muestras son independientes, σ_XY =0

( , n n σ σ µ µ ∈ − 2X + Y2 X Y Z N X Y )

Casos posibles para σ y σ : 2

X Y2 1) 2 y σ son conocidas: X σ 2 Y ( , n n σ σ µ µ = − ∈ − 2X + Y2 X Y Z X Y N X Y ) 2) 2 = σ y desconocidas: X σ 2 Y 2 1 1 , n n µ µ σ       ∈ − +    _{ }  X Y X Y  Z N

(

)

(0,1) 1 1 U n n µ µ σ − − − ⇒ = → + x Y X Y X Y N

Tema 12: Algunas distribuciones maestrales. Si calculamos _{σ mediante} 2 2 2 2 2 − + + = Y X Y Y X X n n S n S n S , entonces:

(

)

( 2 1 1 n n U S n n µ µ + − − − − = → + X Y x Y X Y X Y t ) (Apéndice 3) 3) 2 ≠ σ y desconocidas: X σ 2 Y

(

)

( )n U S S n n µ µ − − − = → + x Y 2 2 X Y X Y X Y t

donde , si n≅n_X +n_Y −2 n_X ≅n_Y y relativamente grande, o bien:

1 1 2 2 2 −       + −             ₊ = Y Y 2 Y X X 2 X Y 2 Y X 2 X n n S n n S n S n S n

• Distribución del cociente de varianzas en poblaciones normales.

Sean : Xr∈N(µ_X,σ_X2) y Yr∈N(µ_Y,σ_Y2). Considerando que: 2 ) 1 ( 2 ∈ X− X 2 X X n S n χ σ y que 2 ) 1 ( − ∈χ _nY 2 Y 2 Y YS n σ , entonces: 2 2 ( 1, 1 2 1 ( 1) ( 1) ∈ − − − − = = − X Y 2 X X X 2 X Y X X Y 2 X Y Y X Y Fn n n S n n n S F n n S σ σ σ 2 1 − 2 Y Y Y n S n σ (2nx−1) (2ny−1) χ ) χ

Si nn_X = _Y =n, la expresión anterior se reduce a:

2 (n 1,n 1) 2 S F S − − σ = ∈ σ 2 X Y 2 Y X F

Tema 12: Algunas distribuciones maestrales.

Apéndices.

Y = 1 µ S n -− X _{→ t (n-1) ya que:} 1. 2. 3.

(

)

(

)

2 2 - -1 1 1 1 1 n n n n S S S n nS nS n n n n µ µ σ σ _{µ µ} µ σ σ σ σ − − − − ₋ = = = = − − − X X X X _X t(n-1) χ 2 (n-1) N(0,1) t(n-1) E( S2 _{) =} n σ2 2 ₋ σ puesto que:

(

)

2

{ }

2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 1 n 1 n 1 n i i i i i i i i S x x x x E S E x x E x E x n = n = n = n =         = − = − ⇒ _{ } = _ − _= _{ }− _{ }=  

∑

∑

∑

∑

2 µ 2 , n σ µ   → _{ }   X D

Por otra parte:

(

)

2 2 2 ₂ 2 2 ₂

[ ]

2 2 2 2 2 i i i i i i i E x_ −µ _=E x_ +µ − xµ_= E x _{ }+µ − µE x = E x_{ } −µ ⇒E x_{ } =σ + y también

(

)

2 _{2 2 2 2}

[ ]

_{2 2} 2 ₂ 2 ₂ 2 2 E x E x x E x E x E x E x n n σ σ µ µ µ µ µ µ  − = _ + − _=  _{ }+ − =  _{ }− = ⇒  _{ }= +   µ Por tanto:

{ }

1 2 2 2 2 n n σ σ σ   = + − = −  

(

_σ2 _µ2

)

n n µ +  

(

)

( 1 1 n n U S n n µ µ + − − − − = + → _{X Y} x Y X Y X Y t 2) 2 ya que:

Si suponemos σ2 ₌σ2 _=σ , y puesto que es reproductiva,

X Y χ2

Tema 12: Algunas distribuciones maestrales. ( ) 2 2 ( 1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 x x y y x x n x x x y y x x y y n n y y n y n S n S n S n S n S n S χ σ χ σ σ σ χ σ − + − −   ₊  ⇒ + =     → → → (2nx+ −ny 2) (nx+ −ny 2) t Por lo tanto:

(

)

(

)

2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 x y x x y y x y x x y y x y x y n n realizando n S n S si S operaciones n n n S n S _S n n n n µ µ σ µ µ σ − − − + + − − −   =_{ }= = + −   + ₊ + − X Y X Y X Y X Y χ N (0,1)

Tema 13: Estimación por punto.

TEMA 13:

Estimación por punto.

• Estimador.

Estimador ⇒ Estadístico. ⇐

• Propiedades de los estimadores. o Insesgadez:

ˆ

θ es un estimador insesgado o centrado de θ sí verifica que E(θˆ ) = E[ t(

rx

) ] = θ

( θ parámetro poblacional desconocido) Ejemplos:

X estimador insesgado de µ.

2

S estimador insesgado de σ . 2 (Apéndice 1)

estimador sesgado de σ .

2

S 2

ˆ

θ es un estimador asintóticamente insesgado de θ sí E(θ ) ˆ _n→∞→ θ

o Ejemplo: E(

_S

2) = 2 2 n σ σ − → σ2 o Consistencia.

Un estimador es consistente si al aumentar n indefinidamente, converge en probabilidad al parámetro estimado:

es decir

1 2

ˆ( , , , ) P

n n

θ _{X X K X} _→∞→θ P

(

θˆ( )Xr − <θ δ

)

→1

Si θ es estimador asintóticamente insesgado de θ y se verifica que , se dice consistente ( de θ ). ˆ ) ˆ V(θ _n→∞→0 Ejemplo: E(

_S

2) → σ2 ; ₍ 2₎ 4 4 ₀ n µ −σ = →

V S

o Eficiencia.

Si dos estimadores θ y θ son estimadores insesgados de θ, se dice que θ es más eficiente que θ sí: V(θ ) < V(θ ). 1 ˆ 2 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 2 ˆ 2 ˆ

Tema 13: Estimación por punto.

•

θ

Cota de Frechet-Cramer-Rao. (FCR )

Sea una muestra a.s. _X obtenida de una población con f.d.d. en las que se cumplen ciertas condiciones de tipo matemático (p.e. el espacio muestral no depende de θ, etc.), y sea θ = un estimador insesgado de θ y

) (_X1,X2,...,Xn = r ˆ ( ) ( , ) f x = f xθ ( ) t Xr 1 2 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )_n Lθ =Lθ Xr = f x θ f x θ _Lf x

su función de verosimilitud. Entonces se verifica que la varianza de θ está acotada inferiormente por la cota de FCR(θ ).

ˆ 2 1 ( ) ( ) ln ( , ) V F L X E θ θ θ θ ≥ ≡ _{∂ }  _{ }  ∂      r CR • • θ

Si se cumplen estas condiciones, se dice que θ es un estimador ˆ eficiente deθ .

Mejor estimador insesgado.

Un estimador θ que sea insesgado, consistente y eficiente se denomina mejor estimador insesgado BUE(θ ) para θ.

ˆ

Obtención de estimadores. Método de la máxima verosimilitud.

Consiste en maximizar la función de verosimilitud

1 2

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )_n Lθ =Lθ Xr = f x θ f x θ _Lf x

siendo f X( )r la f.d.d. de la v.a. Xr. Para lo cual basta con obtener la solución de:

( , ) 0 Lθ X θ ∂ ₌ ∂ r

Pero si una función cualquiera alcanza un máximo en un punto, la función ln de ésta también alcanza un máximo en el mismo punto, con lo que basta resolver:

ln ( , ) 0 Lθ X θ ∂ = ∂ r