POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS CON NUMEROS NATURALES
1- CONCEPTO DE POTENCIA
Una potencia es un producto de factores iguales.
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Ejemplo : Expresa en forma de producto y calcula el valor de 53 53 = 5 · 5 · 5 = 125
Para leer una potencia se nombra primero la base, luego la frase "elevado a" y después se nombra el exponente.
Ejemplo : 64 se lee "Seis elevado a cuatro"
Si el exponente es el 2 se puede leer también nombrando la base y luego la frase "al cuadrado". Ejemplo : 52 se puede leer "Cinco elevado a dos" o también "Cinco al cuadrado".
Si el exponente es el 3 se puede leer también nombrando la base y luego la frase "al cubo". Ejemplo : 53 se puede leer "Cinco elevado a tres" o también "Cinco al cubo".
ACTIVIDADES
1) ¿Se pueden escribir las siguientes expresiones como potencias? ¿Por qué? a) 2 · 2 · 3 · 2 b) 5 + 5 + 5 c) 7 · 7 · 7
2) Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) 24 b) 32 c) 53 d) 35 e) 63 f) 36 g) 123 h) 114 i) 133 3) Escribe como se leen las siguientes potencias: a) 24 b) 62 c) 26 d) 73
2 – POTENCIAS ESPECIALES
Toda potencia de base 10 tiene como valor el número que resulta de añadir al 1 tantos ceros como indique el exponente.
Ejemplos : 102 = 100 103 = 1000
Todo número elevado a 1 tiene como valor el mismo número.
Ejemplos : 21 = 2 141 = 14
Todo número elevado a 0 tiene como valor 1.
Ejemplos : 20 = 1 140 = 1
Si la base es 1 el valor de la potencia siempre es 1.
Ejemplos : 13 = 1 1154 = 1
Si la base es 0 el valor de la potencia siempre es 0.
Ejemplos : 03 = 0 0154 = 0
EXPONENTE: Indica las veces que se repite la base BASE: Es el factor que se repite
ACTIVIDADES
4) Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) 72 b) 103 c) 45 d) 27 e) 53 f) 50 g) 16 h) 61 i) 105 j) 74 k) 80 l)08 5) Sustituye las interrogaciones por los números que correspondan en las siguientes expresiones:
a) 3? = 27 b) 2? = 64 c) 4? = 64 d) ?4 = 10000 e) ?3 = 8 f) 5? = 625 h) ?6 = 1
3 – OPERACIONES CON POTENCIAS
El producto de potencias de la misma base se puede expresar como otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se multiplican.
Ejemplos : Expresa en forma de una sola potencia: 34 · 3 · 32 = 34 + 1 + 2 = 37
La división de potencias de la misma base se puede expresar como otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes de las potencias que se dividen.
Ejemplo : Expresa en forma de una sola potencia: 87 : 84 = 87 – 4 = 83
La potencia de una potencia se puede expresar como otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
Ejemplo : Expresa en forma de una sola potencia: (74)5 = 74 · 5 = 720
ACTIVIDADES
6) Escribe en forma de potencia las siguientes expresiones:
a) 25 · 27 b) 48 : 43 c) (46)3 d) 79 : 73 e) (26)7 f) 54 · 57 g) 712 : 74
7) Sustituye las interrogaciones por los números que correspondan en las siguientes expresiones: a) 2? · 27 = 213 b) 48 : 4? = 43 c) (46)? = 454 d) 7? : 73 = 712 e) 54 · 5? = 511
4 – DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE NUMEROS NATURALES
Fíjate en el siguiente ejemplo de descomposición del número 74302:
74302 = 70000 + 4000 + 300 + 2 = 7 · 10000 + 4 · 1000 + 3 · 100 + 2 = 7 · 104 + 4 · 103 + 3 · 102 + 2 A esta forma de descomponer un número se le llama descomposición polinómica.
ACTIVIDADES
8) Efectúa la descomposición polinómica de los siguientes números:
a) 426 b) 5031 c) 450006 d) 6003402 e) 680702 f) 608702
5 – RAÍZ CUADRADA
Se llama raíz cuadrada exacta de un número natural a otro número que elevado al cuadrado da como resultado el primero.
Ejemplo : 9 = 3 porque 32 = 9 25 = 5 porque 52 = 25
857 29 5351 73
-4 49 x 9 -49 143 x 3
457 451
-441 -429
16 22
Se llama raíz cuadrada entera de un número natural a otro número natural que elevado al cuadrado da como resultado un número cercano al primero sin pasarse; la diferencia entre uno y otro es el resto.
Ejemplo : 32 5 - 25 7
Si conocemos la raíz y el resto para calcular el radicando aplicamos la siguiente expresión: En el ejemplo anterior sería 52 + 7 = 32
ACTIVIDADES
9) Calcula las siguientes raíces cuadradas enteras:
a) 41 b) 67 c) 22 d) 83 e) 140 f) 200 g) 350 h) 470 i) 893 10) En una raíz cuadrada entera te dicen que la raíz es 27 y el resto es 19. ¿Cuál es el radicando? 11) En una raíz cuadrada entera te dicen que la raíz es 19 y el resto es 27. ¿Cuál es el radicando?
6 – RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO DE VARIAS CIFRAS
Para calcular la raíz cuadrada de un número de varias cifras se procede así: 1º Se divide el número en grupos de dos cifras empezando por la derecha.
2º Se calcula la raíz cuadrada del primer grupo de cifras de la izquierda y así se obtiene la primera cifra de la raíz, el cuadrado de esta cifra se resta del primer grupo.
3º A la derecha del resto obtenido se escribe el segundo grupo y se separa la cifra de la derecha.
4º El número que queda a la izquierda de la cifra separada se divide por el doble de la raíz obtenida. El cociente se escribe a la derecha del divisor y el número queresulta se multiplica por el mismo cociente. Si este producto se puede restar del dividendo seguido de la cifra separada, el cociente es la siguiente cifra de la raíz, si no es así se prueba con una cifra inferior.
5º Se repiten los pasos 3º y 4º hasta que no quede ningún grupo del radicando por bajar.
Ejemplos :
ACTIVIDADES
12) Calcula las siguientes raíces cuadradas enteras, indicando la raíz y el resto: a) 712 b) 1471 c) 367 d) 2683 e) 300 f) 1632
7 – OPERACIONES COMBINADAS
Cuando en una misma expresión hay sumas, restas, productos, divisiones, potencias y raíces cuadradas el orden en el que se realizan estas operaciones es:
Ejemplos : 23 · 52 = 8 · 25 = 200 34 – 42 = 81 – 16 = 65 (9 – 4)2 = 52 = 25 2 · 9+7 = 2 · 3 + 7 = 10 7 9+ = 16 = 4 ACTIVIDADES
13) Calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) 32 · 24 b) 7 + 5 · 43 c) (6 + 1)2 d) 82 – 33 e) 104 – 20 f) (10 + 2)3 g) 92 – 23 h) (6 – 2)3 i) 30 + 41 + 102 j) 26 : 43 k) 12 - 40 l) 3 · (7 – 2)3 m) 3 · 81 + 7 n) 3 · ( 81+19 + 7) ñ) 43 + 196 o) 36 + 2 · (13 – 7) 1º Paréntesis. 2º Potencias y raíces. 3º Productos y divisiones. 4º Sumas y restas.
SOLUCIONES
1) a) No, porque los factores no son iguales b) No, porque no es un producto
c) Si, porque es un producto de factores iguales
2) a) 16 b) 9 c) 125 d) 243 e) 216 f) 729 g) 1728 h) 14641 i) 2197 3) a) Dos elevado a cuatro b) Seis al cuadrado c) Dos elevado a seis d) Siete al cubo
4) a) 49 b) 1000 c) 1024 d) 128 e) 125 f) 1 g) 1 h) 6 i) 100000 j) 2401 k) 1 l) 0 5) a) 3 b) 6 c) 3 d) 10 e) 2 f) 4 g) 1 6) a) 212 b) 45 c) 418 d) 76 e) 242 f) 511 g) 78 7) a) 6 b) 5 c) 9 d) 15 e) 7 8) a) 4·102 + 2·10 + 6 b) 5·103 + 3·10 + 1 c) 4·105 + 5·104 + 6 d) 6·106 + 3·103 + 4·102 + 2 e) 6·106 + 8·104 + 7·102 + 2 f) 6·105 + 8·103 + 7·102 + 2
9) a) Raíz = 6, Resto = 5 b) Raíz = 8, Resto = 3 c) Raíz = 4, Resto = 6
d) Raíz = 9, Resto = 2 e) Raíz = 11, Resto = 19 f) Raíz = 14, Resto = 4
g) Raíz = 18, Resto = 26 h) Raíz = 21, Resto = 29 i) Raíz = 29, Resto = 52
10) 748 11) 388
12) a) Raíz = 26, Resto = 32 b) Raíz = 38, Resto = 27 c) Raíz = 19, Resto = 6
d) Raíz = 51, Resto = 82 e) Raíz = 17, Resto = 11 f) Raíz = 40, Resto = 32
13) a) 144 b) 327 c) 49 d) 37 e) 9999 f) 1728 g) 73
h) 64 i) 105 j) 1 k) 0 l) 375 m) 34 n) 51
