MECANICA II
2010
Mecánica II
INDICE
CAPÍTULO 1 – INTRODUCCIÓN... 1 1.1 – INTRODUCCIÓN... 1 1.2 – CIENCIA DE LA MECÁNICA... 1 1.3 – SÍNTESIS Y ANÁLISIS... 21.4 – TERMINOLOGÍA, DEFINICIONES E HIPÓTESIS... 3
1.5 – MECANISMOS PLANOS, ESFÉRICOS Y ESPACIALES... 5
1.6 – MOVILIDAD... 5
1.7 – INVERSIÓN CINEMÁTICA... 6
1.8 – LEY DE GRASHOF... 7
1.9 – VENTAJA MECÁNICA...7
1.10 – CURVAS DEL ACOPLADOR... 8
1.11 – MECANISMO DE LÍNEA RECTA... 9
1.12 – MECANISMO DE RETORNO RÁPIDO... 9
CAPÍTUL. 2 – POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO... 11
2.1 – SISTEMAS DE COORDENADAS... 11
2.2 – POSICIÓN DE UN PUNTO... 11
2.3 – DIFERENCIA DE POSICIÓN ENTRE DOS PUNTOS...12
2.4 – POSICIÓN ABSOLUTA Y POSICIÓN APARENTE DE UN PUNTO...13
2.6 – ECUACIÓN DE CIERRE DEL CIRCUITO... 13
2.11 – DESPLAZAMIENTO DE UN PUNTO EN MOVIMIENTO... 14
2.12 – DIFERENCIA DE DESPLAZAMIENTO ENTRE DOS PUNTOS...15
2.13 – ROTACIÓN Y TRASLACIÓN... 16
2.14 – DESPLAZAMIENTO APARENTE Y DESPLAZAMIENTO ABSOLUTO 16 CAPÍTULO. 3 – VELOCIDAD... 19
3.1 – DEFINICIÓN DE VELOCIDAD... 19
3.1.1 – Derivación de vectores en coordenadas cartesianas... 20
3.2 – DEFINICIÓN DE VELOCIDAD ANGULAR... 20
3.2.1 – Rotación alrededor de un punto fijo... 21
3.3 – MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN... 22
3.3.1 – Movimiento plano cualquiera... 22
3.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA VELOCIDAD. POLÍGONO DE VELOCIDADES... 23
3.5 – VELOCIDAD APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO... 24
3.6 – VELOCIDAD ANGULAR APARENTE... 26
3.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA... 26
3.7.1 – Contacto directo con deslizamiento... 26
3.7.2 – Contacto directo con rodadura... 27
3.10 – CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDADES (Ó DE ROTACIÓN)... 27
3.11 – TEOREMA DE LOS TRES CENTROS... 29
Índice
3.13 – ANÁLISIS DE VELOCIDAD USANDO CENTROS INSTANTÁNEOS... 30
3.14 – TEOREMA DE LA RAZÓN DE VELOCIDADES ANGULARES... 31
3.16 – VENTAJA MECÁNICA... 31
CAPÍTULO. 4 – ACELERACIÓN... 33
4.1 – DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN...33
4.1.1 – Cálculo de la aceleración por derivación... 34
4.2 – DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN ANGULAR... 34
4.2.1 – Rotación alrededor de un punto fijo... 35
4.3 – MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN... 37
4.3.1 – Movimiento plano cualquiera... 38
4.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA ACELERACIÓN. POLÍGONO DE ACELERACIONES... 38
4.5 – ACELERACIÓN APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO... 40
4.6 – ACELERACIÓN ANGULAR APARENTE... 42
4.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA... 42
4.7.1 – Contacto directo con deslizamiento... 42
4.7.2 – Rodadura sobre un eslabón fijo... 43
4.7.3 – Contacto directo con rodadura... 45
CAPÍTULO. 12 – FUERZAS ESTÁTICAS... 47
12.1 – INTRODUCCIÓN... 47
12.2 – SISTEMAS DE UNIDADES... 48
12.2.1 Sistema internacional... 48
12.2.2 Sistema inglés... 48
12.3 – FUERZAS APLICADAS Y FUERZAS DE RESTRICCIÓN... 49
12.4 – CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO... 49
12.5 – DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE... 50
12.6 – FUERZAS DE RESTICCIÓN... 50
12.7 – ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS... 50
12.8 – ELEMENTOS DE CUATRO FUERZAS... 52
12.9 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN... 52
CAPÍTULO. 13 – FUERZAS DINÁMICAS... 53
13.1 – INTRODUCCIÓN... 53
13.2 – CENTROIDES Y CENTRO DE MASAS... 53
13.2.1 – Centro de masas de una serie de partículas en el espacio... 53
13.2.2 – Centroides de figuras geométricas planas compuestas... 54
13.2.3 – Centroides de figuras geométricas planas limitadas por una función... 55
13.2.4 – Centro de masas de un cuerpo limitado por una función... 55
13.2.5 – Centro de masas de un cuerpo compuesto... 56
13.3 – MOMENTOS DE INERCIA... 57
13.3.1 – Momento de inercia de superficies... 57
13.3.2 – Momento de inercia de superficies complejas... 58
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13.4 – CÁLCULO DE FUERZAS... 61
13.5 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN... 62
13.7 – ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO... 63
13.8 – CASOS DE ESLABONES ESPECIALES... 64
13.8.1 – Eslabón de salida en un cuadrilátero articulado... 64
13.8.1 – Eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado... 65
13.9 – CASO SENCILLO DE DINÁMICA DIRECTA... 68
13.10 – FUERZAS DE SACUDIMIENTO... 71
CAPÍTULO 6 – SÍNTESIS DE LEVAS... 73
6.1 – INTRODUCCIÓN... 73
6.2 – CLASIFICACIÓN DE LAS LEVAS... 73
6.3 – DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO... 75
6.4 – DERIVADAS DEL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO... 77
6.5 – MOVIMIENTOS ESTÁNDAR DE LAS LEVAS... 78
6.6 – DISEÑO GRÁFICO DE PERFILES DE LEVAS... 83
6.7 – FUERZAS EN LEVAS... 85
CAPÍTULO 7 – SÍNTESIS DE ENGRANAJES... 89
7.1 – INTRODUCCIÓN... 89
7.2 – CLASIFICACIÓN DE LOS ENGRANAJES... 89
7.2.1 – Engranajes cilíndricos... 90
7.2.2 – Engranajes cónicos... 92
7.2.3 – Engranajes hiperbólicos... 94
7.3 – TEORÍA DE ENGRANE... 97
7.3.1 – Engranajes cilíndricos rectos exteriores... 97
7.3.2 – Ley de engrane... 98
7.3.3 – Tamaño del diente: Paso y módulo... 99
7.3.4 – Línea de engrane... 102
7.3.5 – Línea de acción o empuje y ángulo de presión... 103
7.3.6 – Zona de engrane... 103
7.3.7 – Dimensiones de un engranaje normal... 105
7.3.8 – Dimensiones de un engranaje de diente corto... 107
7.3.9 – Perfil del diente: Cicloidal y evolvente... 107
7.3.10 – Engrane entre perfiles de evolvente... 109
7.3.11 – Engrane de dos ruedas con perfil de evolvente... 112
7.3.12 – Cremallera de envolvente... 112
7.3.13 – Engrane de rueda dentada y cremallera... 114
7.3.14 – Engranaje cilíndrico recto interior... 114
7.4 – FUERZAS EN LOS ENGRANAJES RECTOS... 115
CAPÍTULO 9 – TRENES DE ENGRANAJES... 117
9.1 – INTRODUCCIÓN... 117
9.2 – TRENES DE NEGRANAJES DE EJES FIJOS... 117
9.3 – TRENES DE NEGRANAJES CON ALGÚN EJE MÓVIL, (TRENES EPICICLOIDALES)... 119
Índice
CAPÍTULO 15 – EQUILIBRADO... 121
15.1 – INTRODUCCIÓN... 121
15.2 – EQUILIBRADO TEÓRICO DE EJES... 121
15.2.1 – Equilibrado estático... 122
15.2.2 – Equilibrado dinámico... 124
15.3 – EQUILIBRADO PRÁCTICO DE EJES... 127
15.3.1 – Equilibrado estático práctico... 127
15.3.2 – Equilibrado dinámico práctico... 129
CAPÍTULO 17 – DINÁMICA DE MÁQUINAS... 131
17.1 – VOLANTE... 131
17.2 – GIROSCOPIO... 134
17.2.1 – Efecto giroscópico... 135
Mecánica II
CAPÍTULO 1 - INTRODUCCIÓN
1.1 - INTRODUCCIÓN
El Consejo de Universidades propuso como asignatura troncal en la carrera de Ingeniero Técnico Industrial Mecánico "Mecánica y Teoría de Mecanismos", asignatura de 12 créditos con los descriptores siguientes: Estática, cinemática y dinámica del sólido rígido y aplicaciones fundamentales en la ingeniería. Análisis cinemático y dinámico de mecanismos y máquinas.
En la Universidad Pública de Navarra se ha divido en dos asignaturas:
Mecánica I, que trata los descriptores estática, cinemática y dinámica del sólido rígido y aplicaciones fundamentales en ingeniería, asignatura de 6 créditos que se imparte en primer curso.
Mecánica II, que trata los descriptores análisis cinemático y dinámico de mecanismos y máquinas, asignatura de 6 créditos que se imparte en segundo curso.
1.2 - CIENCIA DE LA MECÁNICA
Máquinas y Mecanismos a Aplicada ) Dinámica ( o Cinética Cinemática Dinámica Estática Mecánica Física En Mecánica II se estudiarán las relaciones entre la geometría y los movimientos de las piezas de una máquina o mecanismo y las fuerzas que generan tales movimientos. El estudio de movimientos y fuerzas se hará preferente por métodos gráficos para que resulte más intuitivo.
La Mecánica II junto con la Ciencia de Materiales y la Elasticidad y Resistencia de Materiales son la base para el Diseño y Cálculo de Máquinas. En Mecánica II se estudian los movimientos y las fuerzas que aparecen en determinados puntos de las piezas que forma el mecanismo o la máquina, por
Capítulo 1 - Introducción
medio de la Elasticidad y Resistencia de Materiales, y partiendo de las fuerzas calculadas por medio de la Mecánica II, se determinan las tensiones que se producen en los diferentes puntos de las piezas y finalmente la Ciencia de Materiales indicará si el material de cual está construida la pieza es capaz de soportar las tensiones calculadas.
Del párrafo anterior se deduce la importancia de la Mecánica II para el ingeniero que se dedique al diseño de mecanismos y máquinas.
En Mecánica II se estudiarán también una serie de mecanismos cuyo conocimiento facilitará el diseño de máquinas, ya que éstas están formadas por mecanismos, y por lo tanto, cuantos más se conozcan, se tendrá más posibilidades de escoger los más apropiados.
1.3 - SÍNTESIS Y ANÁLISIS
El proceso de diseño de un mecanismo o máquina se puede dividir en dos partes: Síntesis y análisis.
En el proceso de síntesis, se diseña un mecanismo o máquina que sea capaz de realizar el trabajo deseado, de forma aproximada. En el proceso de análisis se calculan posiciones, desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas que aparecerán en las diferentes piezas que componen el mecanismo o máquina y se comprueba si los movimientos son los previstos, y si las dimensiones prefijadas son las adecuadas para soportar los esfuerzos a que se verán sometidas las piezas. Caso de no ser así, se vuelve a rediseñar y analizar en un proceso iterativo, hasta lograr un diseño de mecanismo o máquina que realice los movimientos previstos y esté correctamente dimensionado.
El principal objetivo de la Mecánica II es realizar el análisis de mecanismos previamente sintetizados, no obstante también se estudian mecanismos, lo que facilitará la labor de síntesis al conocer un mayor número de mecanismos.
Ejemplo:
Diseñar un mecanismo que realice un movimiento rectilíneo de una determinada longitud.
Para realizar este tipo de movimiento se podría utilizar un cilindro hidráulico o neumático, o una cadena cerrada montada entre dos piñones, o un mecanismo de pistón-biela-manivela, etc.
Mecánica II
La síntesis comprendería la elección de uno de estos mecanismos (por ejemplo el mecanismo de pistón-biela-manivela), y su predimensionamiento.
Fig. 1.1 - Mecanismo pistón-biela-manivela
Una vez predimensionado, por medio del análisis se determinarán: posiciones, velocidades aceleraciones y fuerzas que aparecerán en los diferentes puntos del mecanismo, se comprobará si los movimientos obtenidos son los deseados y si las piezas están bien dimensionadas para soportar los esfuerzos a que serán sometidas.
1.4 - TERMINOLOGÍA, DEFINICIONES E HIPÓTESIS
Máquina, combinación de cuerpos resistentes de tal manera que por medio de ellos, las fuerzas mecánicas de la naturaleza se pueden encauzar para realizar un trabajo acompañado de movimientos determinados. (Ejemplo, motor de explosión).
Mecanismo, combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones móviles para formar una cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo y cuyo propósito es transformar el movimiento. (Ejemplo, mecanismo pistón-biela-manivela).
Existe cierta relación entre estructura y estática, mecanismo y cinemática y máquina y dinámica.
Eslabón, una pieza de un mecanismo o máquina. Los eslabones generalmente se consideran rígidos. En los mecanismos, los eslabones se deben conectar entre sí para transmitir el movimiento desde el eslabón impulsor o de entrada hasta el eslabón seguidor o de salida.
Capítulo 1 - Introducción
Pares cinemáticos, las conexiones entre eslabones, que restringen su movimiento relativo, se llaman pares cinemáticos. Los eslabones también se pueden considerar como uniones rígidas entre pares.
En los mecanismos, los eslabones se suelen esquematizar para facilitar su estudio. El mecanismo equivalente debe tener las mismas características cinemáticas y dinámicas que el mecanismo real.
Cadena cinemática, varios eslabones unidos por medio de pares cinemáticos. Cadenas cinemáticas abiertas y cerradas.
Mecanismo, cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo.
Pares superiores e inferiores, en los pares cinemáticos superiores el contacto entre eslabones se produce por lo general en una línea o un punto (por ejemplo el contacto entre una leva y el seguidor). En los pares inferiores el contacto entre eslabones se produce en una superficie.
Fig. 1.2 - Pares cinemáticos
Los pares cinemáticos inferiores y los grados de libertad que permiten, tanto en movimiento plano como espacial, figuran en la relación siguiente:
Mecánica II
Movimiento plano Movimiento espacial
a) Giratorio 1 1 b) Prismático 1 1 c) Tornillo - 1 d) Cilíndrico 1 2 e) Esférico 1 3 f) Plano - 3
1.5
-
MECANISMOS
PLANOS,
ESFÉRICOS
Y
ESPACIALES
Mecanismos planos son aquellos en los que todos los puntos del mecanismo realizan trayectorias contenidas en planos paralelos entre sí. (Por ejemplo el mecanismo de pistón-biela-manivela).
En los mecanismos esféricos todos los eslabones tienen un punto en común de velocidad nula y las trayectorias de todos los puntos pueden estar contenidas en esferas concéntricas con centro en el punto de velocidad nula. (Por ejemplo la junta cardan).
En los mecanismos espaciales las trayectorias de los diversos puntos del mecanismo pueden tener cualquier dirección en el espacio.
Los mecanismos más utilizados en la actualidad son mecanismos planos, su estudio resulta más sencillo porque se pueden utilizar métodos gráficos al poderse proyectar en verdadera magnitud sobre un plano paralelo a los del movimiento y por ello serán los que se estudiarán en esta asignatura.
1.6 - MOVILIDAD
Movilidad es el número de diferentes movimientos que se pueden introducir simultáneamente a un mecanismo. También se podría definir como el número mínimo de coordenadas necesario para determinar la posición del mecanismo.
Capítulo 1 - Introducción
En mecanismos planos la movilidad será:
m = 3 (n - 1) - 2 j1 - j2 (1.1)
Siendo: n = número de eslabones del mecanismo, j1 = números de pares
que permiten un grado de libertad y j2 = número de pares que permiten dos
grados de libertad.
En mecanismos espaciales la movilidad será:
m = 6 (n - 1) - 5 j1 - 4 j2 - 3 j3 - 2 j4 - j5 (1.2)
Siendo: n = número de eslabones del mecanismo, j1 = números de pares
que permiten un grado de libertad, j2 = número de pares que permiten dos
grados de libertad, j3 = números de pares que permiten tres grados de libertad,
j4 = número de pares que permiten cuatro grados de libertad y j5 = número de
pares que permiten cinco grados de libertad.
1.7 - INVERSIÓN CINEMÁTICA
Fig. 1.3 - Inversiones cinemáticas: a) y b) mecanismos de manivela-oscilador, c) mecanismo de eslabón de arrastre y d) mecanismo de doble oscilador.
Mecánica II
Inversión cinemática es cada uno de los diferentes mecanismos que se pueden lograr con una cadena cinemática al hacer fijo un eslabón diferente de la cadena.
1.8 - LEY DE GRASHOF
En un cuadrilátero articulado, para que al menos un eslabón pueda girar vueltas completas, se debe cumplir que la suma de las longitudes del eslabón de mayor longitud más la del eslabón de menor longitud debe ser menor que la suma de las longitudes de los eslabones de longitudes intermedias.
Es muy importante que se cumpla la condición expuesta en el párrafo anterior ya que en muchos mecanismos basados en el cuadrilátero articulado, el movimiento se introduce por medio de un motor giratorio.
1.9 - VENTAJA MECÁNICA
Ventaja mecánica de un mecanismo es la relación entre el par de salida y el par de entrada.
En el cuadrilátero articulado, será la relación entre el par en el eslabón seguidor y el par en el eslabón impulsor. Esta ventaja mecánica es proporcional al seno del ángulo γ formado por los eslabones seguidor y acoplador e inversamente proporcional al seno del ángulo β formado por los eslabones impulsor y acoplador, (figura 1.4).
Capítulo 1 - Introducción
Para lograr que la ventaja mecánica sea lo mayor posible, se debe procurar que ángulo γ sea lo más próximo a 90º.
Cuando el ángulo β es 0º ó 180º, la ventaja mecánica se hace infinito. A estas posiciones del mecanismo se les llama posiciones de volquete y se corresponden con los límites de la oscilación del eslabón seguidor.
Estas posiciones tienen una serie de ventajas como: Gran precisión de posición del eslabón seguidor, velocidad angular nula del seguidor y par nulo en el eslabón impulsor.
1.10 - CURVAS DEL ACOPLADOR
Curvas del acoplador son las diferentes trayectorias que describen los puntos del plano considerándolos solidarios al eslabón acoplador.
Estas curvas pueden variar desde una circunferencia que describe el punto del acoplador unido al extremo de la manivela, hasta un arco que describe el punto unido al extremo del seguidor, pasando por curvas parecidas a elipses.
Mecánica II
1.11 - MECANISMOS DE LÍNEA RECTA
Mecanismos de línea recta son aquellos en los que algún punto del mecanismo describe una parte de su trayectoria que se aproxima a una línea recta. En la mayoría de los casos la trayectoria es una curva del acoplador, como sucede en los mecanismos de Watt, Roberts y Chebychev, (figura 1.6).
Fig. 1.6 - Mecanismos de línea recta: a) Watt, b) Roberts, c) Chebychev y d) Peaucillier.
1.12 - MECANISMOS DE RETORNO RÁPIDO
Mecanismos de retorno rápido son aquellos en los que el tiempo invertido en la carrera de ida es diferente al invertido en la carrera de vuelta, (figuras 1.7 y 1.8).
La diferencia de tiempos entre la carrera de ida y la de retorno es debido a que, suponiendo la velocidad angular del eslabón de entrada constante, el eslabón de entrada debe recorrer un ángulo mayor durante la carrera de ida que durante la de retorno. Los tiempos invertidos en las carreras de ida y de retorno
Capítulo 1 - Introducción
serán proporcionales a los ángulos girados por el eslabón de entrada durante esas carreras.
La relación de tiempos será:
Q =
β α
(1.3)
Fig. 1.7 - Mecanismo excéntrico de pistón-biela-manivela.
Mecánica II
CAPÍTULO 2 - POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO
2.1 - SISTEMAS DE COORDENADAS
Para poder definir las posiciones de los diferentes puntos de un mecanismo es necesario utilizar algún sistema de coordenadas.
Aunque existen diferentes sistemas de coordenadas como las cilíndricas y esféricas, en esta asignatura se emplearán las coordenadas cartesianas.
2.2 - POSICIÓN DE UN PUNTO
La posición de un punto se determinará por medio del vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto, (figura 2.1).
Fig. 2.1 - Posición de un punto.
k j i R r r r r z PO y PO x PO PO =R +R +R (2.1)
Capítulo 2 – Posición y desplazamiento
El módulo del vector será:
2 z PO 2 y PO 2 x PO PO = R +R +R R r (2.2)
Y los cosenos directores de los ángulos que forma el vector con los ejes de coordenadas serán: PO x PO R cos R r = α PO y PO R cos R r = β PO z PO R cos R r = γ (2.3)
2.3 - DIFERENCIA DE POSICIÓN ENTRE DOS
PUNTOS
La diferencia de posición entre dos puntos "P" y "Q" es el vector que va del punto "Q" al punto "P", (figura 2.2).
Fig. 2.2 - Diferencia de posición entre dos puntos.
QO PO PQ R R R r r r − = (2.4)
Mecánica II
2.4 - POSICIÓN ABSOLUTA Y POSICIÓN APARENTE
DE UN PUNTO
La posición absoluta de un punto es su posición respecto de los ejes de coordenadas que se toman como absolutos y la posición aparente es su posición respecto de otros ejes de coordenadas que no son los absolutos, (figura 2.3).
Fig. 2.3 - Posición absoluta y posición aparente de un punto.
2 PO 1 O 2 O 1 PO R R R r r r + = (2.5) Donde: 1 PO R r es la posición absoluta. 2 PO R r es la posición aparente.
2.6 - ECUACIÓN DE CIERRE DEL CIRCUITO
Como un mecanismo es una cadena cinemática cerrada, la suma de los vectores de posición de un extremo de los eslabones respecto del otro extremo será nula, (figura 2.4).
Capítulo 2 – Posición y desplazamiento
Fig. 2.4 - Ecuación de cierre del circuito.
0 AD DC CB BA+R +R +R = R r r r r (2.6)
2.11 - DESPLAZAMIENTO DE UN PUNTO EN
MOVIMIENTO
El desplazamiento de un punto "P" (∆RP) es el vector que va desde su posición inicial hasta su posición final, (figura 2.5).
Fig. 2.5 - Desplazamiento de un punto.
P ' P P R R R ∆ r r r − = (2.7)
Mecánica II
2.12 - DIFERENCIA DE DESPLAZAMIENTO ENTRE
DOS PUNTOS
La diferencia de desplazamientos entre dos puntos "P" y "Q" pertenecientes a un sólido rígido (∆RPQ) es el desplazamiento del punto "P" menos el desplazamiento del punto "Q", (figura 2.6).
Q P PQ ∆R ∆R R ∆ r r r − = (2.8)
Fig. 2.6 - Diferencia de desplazamiento entre dos puntos.
La diferencia de desplazamiento entre dos puntos pertenecientes a un sólido rígido se puede expresar también como:
PQ ' PQ PQ R R R ∆ r r r − = (2.9)
En la figura 2.6 se aprecia que la diferencia de desplazamiento entre los dos puntos se debe a una rotación que realiza el sólido rígido alrededor de un eje que pasa por el punto "Q*".
De la figura también se desprende el teorema de Euler: "Cualquier movimiento de un sólido rígido se puede sustituir por una traslación (∆RQ
r ) más un giro alrededor de un eje apropiado".
Capítulo 2 – Posición y desplazamiento
2.13 - ROTACIÓN Y TRASLACIÓN
Un sólido rígido sufre una traslación cuando el desplazamiento de dos cualesquiera de sus puntos es el mismo, (figura 2.7 a).
Un sólido rígido sufre una rotación cuando el desplazamiento de dos cualesquiera de sus puntos es diferente, (figura 2.7 b).
a b
Fig. 2.7 - a) Traslación, b) Rotación.
2.14
-
DESPLAZAMIENTO
APARENTE
Y
DESPLAZAMIENTO ABSOLUTO
Mecánica II
El desplazamiento absoluto es desplazamiento de un punto visto desde el sistema de coordenadas absolutas y el desplazamiento aparente es el desplazamiento del mismo punto visto desde un sistema de coordenadas que no son las absolutas, (figura 2.8).
La relación entre el desplazamiento absoluto y el desplazamiento aparente será la siguiente:
2 / P P P3 ∆R 2 ∆R 3 R ∆ r r r + = (2.10) Siendo: 3 P R ∆ r
= Desplazamiento absoluto del punto "P3".
2 / P3 R ∆ r
= Desplazamiento aparente del punto "P3".
2
P
R ∆
v
= Desplazamiento absoluto del punto "P2", punto coincidente con
Mecánica II
CAPÍTULO 3 - VELOCIDAD
3.1 - DEFINICIÓN DE VELOCIDAD
El la figura 3.1 se aprecia un punto “P” cuya posición viene definida por el vector “RP
r
”. Al cabo de un determinado espacio de tiempo “ t∆ ” el punto “P” pasa a ocupar la posición “ P′” cuya posición vendrá definida por el vector “R'P
r
”. El punto “P” ha sufrido un desplazamiento “∆RP r
” que vendrá definido por: P ' P P R R R ∆ r r r − = (3.1)
La velocidad media durante el desplazamiento citado será:
m V r = t P ∆ R ∆ r (3.2)
Y la velocidad instantánea del punto “P” será:
P V r = t 0 t lim P ∆ → ∆ R ∆ r = dt dRP r (3.3)
Capítulo 3 – Velocidad
3.1.1 - Derivación de vectores en coordenadas cartesianas
Si se tiene por ejemplo el vector de posición de un punto “RP r
” expresado por medio de sus componentes en coordenadas cartesianas:
k j i R r r r r Z P Y P X P P =R +R +R (3.4)
La derivada respecto del tiempo de ese vector será el vector velocidad:
dt d P P R V r r = (3.5)
La componente “X” del vector velocidad será la derivada de la componente “X” del vector de posición, la componente “Y” de la velocidad será la derivada de la componente “Y” del vector de posición y la componente “Z” de la velocidad será la derivada de la componente “Z” del vector de posición:
k j i k j i V r r r r v r r dt dR dt dR dt dR V V V Z P Y P X P Z P Y P X P P = + + = + + (3.6)
3.2 - DEFINICIÓN DE VELOCIDAD ANGULAR
En la figura 3.2 se tiene un sólido rígido, con movimiento plano, en una determinada orientación indicada por el ángulo “θ”, al cabo de un instante de tiempo “ t∆ ” el sólido ha realizado una rotación “∆θ”.
Mecánica II
Durante la rotación se puede definir una velocidad angular media como:
t m ∆ θ ∆ = ωr (3.7)
Y una velocidad angular instantánea como:
dt d t 0 t lim θ = ∆ θ ∆ → ∆ = ωr (3.8)
En este caso, por convenio, el vector velocidad angular “ ωr ” será perpendicular al plano del movimiento, y aplicando la regla del sacacorchos, será negativo si gira en el sentido de las agujas del reloj y positivo en sentido contrario.
3.2.1 - Rotación alrededor de un punto fijo
En un sólido rígido que gire alrededor de un eje fijo la velocidad de uno cualquiera de sus puntos viene expresado por la ecuación (3.9).
p p ω R V r r r × = (3.9)
Fig. 3.3 - Rotación de un sólido rígido alrededor de un punto.
En un sólido rígido con movimiento plano como el representado en la figura 3.3, como los vectores “ ωr ” y “Rp
r
” son perpendiculares, resultará que el módulo de la velocidad del punto “P” será:
p p ω· R V r r r = (3.10)
Capítulo 3 – Velocidad
La dirección de “Vp r
” será perpendicular a “ ωr ”, por tanto contenida en el plano del movimiento, y perpendicular a “RP
r ”.
El sentido de “Vp r
” será coherente con el sentido de “ ωr” tal como se observa en la figura 3.4.
Fig. 3.4 - Velocidad de un punto de un sólido rígido girando alrededor de un punto fijo.
3.3 - MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN
En el apartado (2-12) se expuso que un movimiento cualquiera de un eslabón se puede descomponerse en una traslación más un giro, y que la diferencia de desplazamientos entre dos puntos del eslabón se debía precisamente al giro del eslabón. Por tanto, la relación entre las velocidades de dos puntos será:
PQ Q P V V V r r r + = (3.11) La velocidad "VPQ v
" es debida al giro y su valor será:
PQ PQ ω R V r r r ∧ = (3.12)
3.3.1 - Movimiento plano cualquiera
En un sólido rígido con movimiento plano cualquiera, como los vectores “ ωr ” y “RPQ
r
Mecánica II PQ PQ ω· R V r r r = (3.13) La dirección de “VPQ r
” será perpendicular a “ ωr ” por tanto contenida en el plano del movimiento, y perpendicular a “RPQ
r
”. El sentido de “VPQ r
” será coherente con el sentido de “ ωr ” al igual que en el movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.
3.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA VELOCIDAD.
POLÍGONO DE VELOCIDADES
El método gráfico de análisis de velocidades se utiliza en movimiento plano y consiste en representar las ecuaciones vectoriales que relacionan las velocidades de los diferentes puntos de un mecanismo de forma gráfica. Es sencillo e intuitivo ya que las velocidades quedan representadas en la dirección y sentido que realmente tienen.
Fig. 3.5 – Análisis gráfico de velocidad. Polígono de velocidades.
Un ejemplo de análisis gráfico de velocidades de un eslabón triangular puede apreciarse en la figura 3.5. Suponiendo conocida la velocidad del punto
Capítulo 3 – Velocidad
“A” y la dirección de la velocidad del punto “B” (a), como la velocidad “VBA r
” debe ser perpendicular al vector de posición “RBA
r
” (c), inmediatamente quedan determinadas las velocidades “VB
r ” y “VBA r ” (b y d). De la velocidad “VBA r ” se puede obtener la velocidad angular del eslabón:
BA BA R V ω r r r = (3.14)
A partir de las velocidades de los puntos “A” y “B” se puede determinar la velocidad del punto “C” (f) como:
CB B CA A C V V V V V r r r r r + = + = (3.15) La velocidad “VCA r ” es perpendicular a “RCA r ” y la velocidad “VCB r ” es perpendicular a “RCB r
” (e), en el punto de corte de ambas se encontrará el punto “C”.
El polígono de velocidades es la representación gráfica de las ecuaciones vectoriales que relacionan las velocidades de los diferentes puntos del eslabón (b, d, e y g). Este polígono se dibuja a escala aparte del dibujo del mecanismo a partir de un punto que es el “0” de velocidades. El vector que va desde el “0” de velocidades hasta un punto representa su velocidad absoluta, el vector que va desde un punto “A” hasta un punto “B” representa la velocidad aparente de “B” respecto de “A”.
En el polígono de velocidades se forma una figura semejante al eslabón. Por ejemplo en la figura 3.5 (g) se forma un triángulo cuyos lados son perpendiculares a los lados del triángulo del eslabón, por lo tanto los dos triángulos son semejantes. La relación de semejanza depende de escala del polígono de velocidades y del valor de la velocidad angular.
3.5 – VELOCIDAD APARENTE DE UN PUNTO EN UN
SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO
En el Capítulo 2 se vio el desplazamiento absoluto y el desplazamiento aparente de un punto en un sistema de coordenadas en movimiento (Figura 3.6). La ecuación que relaciona estos desplazamientos es:
Mecánica II 2 / P P P3 ∆R 2 ∆R 3 R ∆ r r r + = (3.16)
Fig. 3.6 - Desplazamiento aparente y desplazamiento absoluto.
Dividiendo la ecuación (3.16) por “ t∆ ” y tomando límites cuando, se obtiene: t 0 t lim t 0 t lim t 0 t lim P3 P2 P3/2 ∆ → ∆ + ∆ → ∆ = ∆ → ∆ R ∆ R ∆ R ∆ r r r (3.17)
Los términos de la ecuación 3.17 representan:
2 / P P P3 V2 V3 V r r r + = (3.18) La velocidad “ P /2 3 V r
” representa la velocidad aparente del punto “P3”
en los ejes de coordenadas en movimiento y cuando ∆t→0, como el vector “ P /2
3
R ∆
r
” tiende a confundirse con la trayectoria, resulta que dicha velocidad es tangente a la trayectoria.
Teniendo en cuenta los términos de la ecuación 3.18, se puede decir que esta ecuación relaciona las velocidades de puntos coincidentes de diferentes eslabones.
Capítulo 3 – Velocidad
3.6 – VELOCIDAD ANGULAR APARENTE
La velocidad angular aparente de un eslabón respecto de otro es la velocidad angular con la que ve girar al primer eslabón un observador fijo en el segundo eslabón. Esta velocidad angular aparente se representa como:
2 3 2 / 3 ω ω ωr = r − r (3.19)
3.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR
RODADURA
3.7.1 – Contacto directo con deslizamiento
En una transmisión de movimiento por contacto directo con deslizamiento (Figura 3.7), las velocidades de los puntos en contacto de diferentes eslabones son perpendiculares a sus respectivos radios desde los puntos de giro de los eslabones.
Si se trazan una tangente y una normal a las superficies de los eslabones en el punto de contacto y se descomponen las velocidades de los puntos en contacto en una componente normal y otra tangencial, se debe cumplir que las componentes normales de las velocidades de los puntos en contacto deben ser iguales. Si no fuese así, los eslabones se separarían o se incrustarían uno en el otro.
Mecánica II
Al ser las componentes normales de las velocidades de los puntos en contacto iguales, resulta que la velocidad aparente de un punto respecto del otro debe tener la dirección de la tangente común en el punto de contacto.
3.7.2 – Contacto directo con rodadura
En una transmisión de movimiento por contacto directo con rodadura (Figura 3.8), las velocidades de los puntos en contacto de diferentes eslabones son iguales, o lo que es lo mismo, la velocidad aparente entre los puntos en contacto es cero.
Fig. 3.8 – Contacto directo con rodadura.
3.10 – CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDADES (Ó
DE ROTACIÓN)
Un concepto muy interesante de la cinemática es que cualquier movimiento diferencial de un sólido rígido equivale a un giro alrededor del eje instantáneo de rotación y deslizamiento y de una traslación en la dirección de dicho eje.
Si se considera un movimiento plano, como no se puede producir una traslación en la dirección del eje, resultará que cualquier movimiento diferencial equivale a un giro alrededor del eje instantáneo de rotación. Este eje es perpendicular al plano del movimiento y normalmente se considera su proyección, que es un punto llamado centro instantáneo de rotación o de velocidades.
Capítulo 3 – Velocidad
Los centros instantáneos de rotación pueden ser: Absolutos, si son de un eslabón cualquiera respecto del eslabón fijo y relativos si son entre dos eslabones móviles.
Una definición general del centro instantáneo de rotación es la ubicación de dos puntos coincidentes de distintos eslabones cuya velocidad absoluta es la misma.
De la definición anterior se desprende que los centros instantáneos absolutos tendrán velocidad cero.
Para demostrar la existencia del centro instantáneo de rotación, por ejemplo si se tiene el eslabón de la figura 3.9 del que se conoce la velocidad del punto “A” y su velocidad angular, la ubicación de dicho centro se encontrará en la perpendicular a la velocidad del punto “A” trazada por dicho punto y la distancia desde “A” será:
ω V R r r r A PA = (3.20)
Fig. 3.9 – Localización del centro instantáneo de rotación.
La velocidad del punto “P” será:
0 A A PA A PA A P =V +V =V +ω×R =V −V = V r r r r r r r r (3.21)
Queda demostrado que la velocidad del punto “P” es cero, por lo tanto es el centro instantáneo de rotación del eslabón respecto de la base.
En la figura 3.10 se representan diferentes formas de localizar el centro instantáneo de rotación de un eslabón respecto de la base: En (a) se determina la
Mecánica II
angular del eslabón. En (b) se determina el C.I.R. por el punto de corte de las perpendiculares a las velocidades de dos puntos trazadas por dichos puntos. En (c) los dos puntos están sobre el mismo radio, por lo tanto sus velocidades son paralelas, en este caso el C.I.R. se localiza en el punto de corte de la perpendicular común a las dos velocidades por los puntos y la recta que pasa por los extremos de las velocidades. En (d) el C.I.R. se encuentra en el punto de contacto por rodadura. En (e) al tener el eslabón un movimiento de traslación el C.I.R. se encontrará en el infinito en una dirección perpendicular al movimiento. Finalmente en (f) el C.I.R. se encontrará en el centro de curvatura de la trayectoria curva que describe el eslabón.
Fig. 3.10 – Métodos de localización del centro instantáneo de rotación de un eslabón.
3.11 – TEOREMA DE LOS TRES CENTROS
Si se toman tres eslabones cualesquiera de un mecanismo, los tres centros relativos entre ellos se encuentran en una línea recta.
En la figura 3.11, por ejemplo la velocidad el punto “P23” centro
instantáneo de rotación relativo entre los eslabones “2” y “3” será la misma para ese punto perteneciente al eslabón “2” y perteneciente al eslabón “3”, por lo tanto, los centros absolutos de dichos eslabones respecto del eslabón fijo “P31” y
“P21” se deben encontrar en la misma perpendicular a la velocidad del punto
“P23” trazada por dicho punto, resultando de este modo que los tres centros
relativos a los eslabones “1”, “2” y “3” se encuentran en una línea recta. El mismo razonamiento se puede hacer si se toma el centro instantáneo “P ”.
Capítulo 3 – Velocidad
Fig. 3.11 – Teorema de los tres centros.
3.12
–
LOCALIZACIÓN
DE
CENTROS
INSTANTÁNEOS DE ROTACIÓN
En principio se localizan los centros instantáneos que son evidentes como los pares giratorios, puntos de rodadura y pares prismáticos. A partir de los centros localizados a simple vista, aplicando el teorema de los tres centros, se localizan los restantes.
3.13 – ANÁLISIS DE VELOCIDAD USANDO CENTROS
INSTANTÁNEOS
Para realizar el análisis de velocidades se deben localizar todos los centros instantáneos de rotación absolutos, es decir todos los centros instantáneos respecto del eslabón fijo.
Una vez conocidos todos los centros absolutos, la velocidad de un punto de un eslabón será la velocidad angular del eslabón por la distancia desde el punto hasta el centro instantáneo. La dirección de la velocidad será perpendicular a la recta que une el punto con el centro instantáneo y el sentido coherente con la velocidad angular. Si se conoce la velocidad de un punto, la velocidad angular del eslabón será la velocidad del punto dividido por la distancia de dicho punto al centro instantáneo absoluto del eslabón al que pertenece el punto.
Mecánica II
3.14 – TEOREMA DE LA RAZÓN DE VELOCIDADES
ANGULARES
En el cuadrilátero articulado de la figura 3.12 la velocidad del centro instantáneo de rotación “P24” es la misma para ese punto perteneciente al
eslabón “2” y perteneciente al eslabón “4”, por tanto se cumplirá:
41 24 21 24P 4 P P P 2·R ω ·R ω = (3.22)
De la ecuación 3.22 se obtiene que relación de velocidades angulares entre el eslabón de salida y el eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado será: 41 24 21 24 P P P P 2 4 R R ω ω = (3.23)
Fig. 3.12 – Relación de velocidades angulares.
3.16 – VENTAJA MECÁNICA
La ventaja mecánica de un mecanismo es la relación entre el par de salida y el par de entrada.
En el cuadrilátero articulado de la figura 3.13 será la relación entre los pares “T4” y “T2”.
Despreciando rozamientos, la potencia de entrada debe ser igual a la de salida, por tanto se cumplirá:
4 4 2
2·T ω ·T
Capítulo 3 – Velocidad
Fig. 3.13 – Ventaja mecánica.
La ventaja mecánica será:
VM = 4 2 2 4 ω ω T T = (3.25)
Teniendo en cuenta la relación de velocidades angulares de entrada y salida en un cuadrilátero articulado, ecuación 3.23, se tendrá:
VM = β γ = β γ = = = = sen sen · k ·sen ·sen AB DC ' AB ' DC PA PD P P P P 4 2 21 24 41 24 R R R R R R R R ω ω (3.26)
De la ecuación 3.26 se desprende que la ventaja mecánica en un cuadrilátero articulado es proporcional al seno del ángulo formado por los eslabones acoplador y seguidor e inversamente proporcional al seno del ángulo formado por los eslabones de entrada y acoplador, tal como se había expuesto en el apartado 1.9.
Mecánica II
CAPÍTULO 4 - ACELERACIÓN
4.1 - DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN
El la figura 4.1 se aprecia un punto “P” cuya velocidad viene expresada por el vector “VP
r
”. Al cabo de un determinado espacio de tiempo “ t∆ ” el punto “P” pasa a ocupar la posición “ P′” cuya velocidad vendrá expresada por el vector “VP'
r
”. La velocidad del punto “P” ha sufrido una variación “∆VP r
” que vendrá definida por:
P ' P P V V V ∆ r r r − = (4.1)
La aceleración media durante el desplazamiento citado será:
m A r = t P ∆ V ∆ r (4.2)
Y la aceleración instantánea del punto “P” será:
P A r = t 0 t lim P ∆ → ∆ V ∆ r = 2 P 2 P dt d dt dV R r r = (4.3)
Capítulo 4 – Aceleración
4.1.1 – Cálculo de la aceleración por derivación
Si se tiene por ejemplo el vector velocidad de un punto “VP r
” expresado por medio de sus componentes en coordenadas cartesianas:
k j i V r r r r Z P Y P X P P =V +V +V (4.4)
La derivada respecto del tiempo de ese vector será el vector aceleración:
dt d P P V A r r = (4.5)
La componente “X” del vector aceleración será la derivada de la componente “X” del vector velocidad, la componente “Y” de la aceleración será la derivada de la componente “Y” del vector velocidad y la componente “Z” de la aceleración será la derivada de la componente “Z” del vector velocidad:
k j i k j i A r r r r v r r dt dV dt dV dt dV A A A Z P Y P X P Z P Y P X P P = + + = + + (4.6)
Y como la velocidad del punto “P” es la derivada del vector de posición, resultará que la aceleración es la derivada segunda del vector de posición: k j i A r r r r 2 Z P 2 2 Y P 2 2 X P 2 P dt R d dt R d dt R d + + = (4.7)
4.2 - DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN ANGULAR
En la figura 4.2 se tiene un sólido rígido, con movimiento plano, en una determinada orientación indicada por el ángulo “θ” su velocidad angular es “ ωr ”, al cabo de un instante de tiempo “ t∆ ” el sólido ha realizado una rotación “∆θ” y su nueva velocidad angular es “ 'ωr ”.
La variación de velocidad angular será:
ω ω ω
∆v = v'−v (4.8)
Mecánica II t m ∆ ∆ = ω α r r (4.9)
Y una aceleración angular instantánea como:
2 2 dt d dt d t 0 t lim θ = = ∆ ∆ → ∆ = ω ω α r r r (4.10)
Fig. 4.2 – Variación de la velocidad angular.
Como el vector velocidad angular “ ωr ”, por convenio, es perpendicular al plano del movimiento, sus variaciones y por tanto la aceleración angular “ αr” también serán perpendiculares a dicho plano, y aplicando la regla del sacacorchos, será negativa si acelera en el sentido de las agujas del reloj y positiva en sentido contrario.
4.2.1 - Rotación alrededor de un punto fijo
En un sólido rígido que gire alrededor de un eje fijo la aceleración de uno cualquiera de sus puntos viene expresado por la ecuación (4.11).
t P n P p p p p p ω (ω R ) α R ω V α R A A A r r r v v r r v r r r r + = × + × = × + × × = (4.11)
El primer término recibe el nombre de aceleración normal y el segundo aceleración tangencial.
En un sólido rígido con movimiento plano como el representado en la figura 4.3, como los vectores “ ωr ” y “Vp
v
” son perpendiculares, resultará que el módulo de la aceleración normal del punto “P” será:
Capítulo 4 – Aceleración p 2 n P ω · R A r r r = (4.12)
Fig. 4.3 - Rotación de un sólido rígido alrededor de un punto.
Su dirección será perpendicular a “ ωr” y “Vp v
”, por tanto contenida en el plano del movimiento y normal a la trayectoria (de ahí su nombre de aceleración normal) y su sentido, analizando los dos posibles sentidos de “ ωr ”, figura 4.4, resulta siempre del punto “P” hacia “O”.
Fig. 4.4 – Aceleración normal de un punto.
Como los vectores “ αr” y “Rp r
” son perpendiculares, resultará que el módulo de la aceleración tangencial del punto “P” será:
p t P α· R A r r r = (4.13) La dirección de “AtP r
” será perpendicular a “ αr”, por tanto contenida en r
Mecánica II
trayectoria del punto “P” (de ahí su nombre de aceleración tangencial). Y el sentido de “AtP
r
” será coherente con el sentido de “ αr” tal como se observa en la figura 4.5.
Fig. 4.5 – Aceleración tangencial de un punto.
4.3 - MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN
En el apartado (2-12) se expuso que un movimiento cualquiera de un eslabón se puede descomponerse en una traslación más un giro, y que la diferencia de desplazamientos entre dos puntos del eslabón se debía precisamente al giro del eslabón. Por tanto, la relación entre las aceleraciones de dos puntos será:
t PQ n PQ Q PQ Q P A A A A A A r r r r r r + + = + = (4.14) La aceleración "APQ r
" es debida al giro y se descompone en dos términos: Aceleración normal PQ PQ n PQ ω (ω R ) ω V A r r r r r r × = × × = (4.15) Y aceleración tangencial PQ t PQ α R A r r r × = (4.16)
Capítulo 4 – Aceleración
4.3.1 - Movimiento plano cualquiera
En un sólido rígido con movimiento plano como el representado en la figura 4.3, como los vectores “ ωr ” y “VPQ
v
” son perpendiculares, resultará que el módulo de la aceleración normal del punto “P” respecto del punto “Q” será:
PQ 2 n PQ ω · R A r r r = (4.17)
Su dirección será la del vector “RPQ r
” y su sentido del punto “P” hacia el punto “Q”.
Como los vectores “ αr” y “Rp r
” son perpendiculares, resultará que el módulo de la aceleración tangencial del punto “P” respecto del punto “Q” será:
PQ t PQ α· R A r r r = (4.18) La dirección de “AtPQ r
” será perpendicular a “ αr”, por tanto contenida
en el plano del movimiento, y perpendicular a “RPQ r
”. El sentido de “AtPQ r
” será coherente con el sentido de “ αr” tal como se observa en la figura 4.5.
4.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA ACELERACIÓN.
POLÍGONO DE ACELERACIONES
El método gráfico de análisis de aceleraciones se utiliza en movimiento plano y consiste en representar las ecuaciones vectoriales que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos de un mecanismo de forma gráfica. Es sencillo e intuitivo ya que las aceleraciones quedan representadas en la dirección y sentido que realmente tienen.
Un ejemplo de análisis gráfico de aceleraciones de un eslabón triangular puede apreciarse en la figura 4.6. Suponiendo conocida la aceleración del punto “A” y la velocidad y la aceleración angulares del eslabón, se determina la aceleración del punto “B” (d) como:
t BA n BA A BA A B A A A A A A r r r r r r + + = + = (4.19)
Mecánica II
La aceleración “AnBA r
” tiene la dirección y el sentido de “B” hacia “A” y la aceleración “AtBA
r
” es perpendicular a la recta de unión de los puntos y coherente con la aceleración angular (c).
Fig. 4.6 – Análisis gráfico de aceleraciones. Polígono de aceleraciones.
A partir de las aceleraciones de los puntos “A” y “B” se puede determinar la aceleración del punto “C” (f) como:
t CB n CB B t CA n CA A C A A A A A A A r r r r r r r + + = + + = (4.20)
Se trazan las aceleraciones normales “ACAn r
” y “AnCB r
” con su módulo dirección y sentido y las direcciones de las tangenciales “ACAt
r
” y “AtCB r
”. En el punto de corte de las tangenciales se encontrará el punto “C”.
El polígono de aceleraciones es la representación gráfica de las ecuaciones vectoriales que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos del eslabón (d, f y g). Este polígono se dibuja a escala, aparte del dibujo del mecanismo a partir de un punto que es el “0” de aceleraciones. El vector que va desde el “0” de aceleraciones hasta un punto representa su aceleración absoluta, el vector que va desde un punto “A” hasta un punto “B” representa la aceleración aparente de “B” respecto de “A”.
Capítulo 4 – Aceleración
En el polígono de aceleraciones se forma una figura semejante al eslabón. Por ejemplo en la figura 4.6 (g) se forma un triángulo cuyos lados representan las aceleraciones “ABA
r
”, “ACA r
” y “ACB r
”. Los módulos de estas aceleraciones son: BA A r = ABAn 2 +AtBA2 = ω4RBA2 +α2RBA2 =RBA ω4 +α2 r r (4.21) CA A r = ACAn 2 +AtCA2 = ω4RCA2 +α2RCA2 =RCA ω4 +α2 r r (4.22) CB A r = ACBn 2 +AtCB2 = ω4RCB2 +α2RCB2 =RCB ω4 +α2 r r (4.23)
Como se aprecia en las ecuaciones 4.21, 4.22 y 4.23 los lados del triángulo del polígono de aceleraciones son proporcionales a los lados del triángulo del eslabón, por tanto, son triángulos semejantes.
4.5 – ACELERACIÓN APARENTE DE UN PUNTO EN
UN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO
En la figura 4.7 se tiene un sistema de coordenadas fijo “X1” e “Y1” y
un sistema de coordenadas móvil “X2” e “Y2”. Sobre el sistema de coordenadas
móvil se tiene una ranura por la que se desplaza el punto “P3”. El punto “P2” es
un punto fijo en los ejes móviles cuya posición coincide con la posición inicial del punto “P3”.
Mecánica II
La ecuación que relaciona las aceleraciones de estos dos puntos es la siguiente: c P / P t P / P n P / P P P3 A 2 A 3 2 A 3 2 A 3 2 A v v v v v + + + = (4.24)
Esta ecuación también se puede decir que es la ecuación que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de diferentes eslabones.
La suma de las aceleraciones “ nP /P tP /P
2 3 2 3 A A v v + ” se suele llamar aceleración relativa y es la aceleración del punto “P3” que percibiría un
observador fijo en los ejes móviles.
La aceleración normal de “P3” respecto de “P2” (AnP3/P2
v
) se debe al cambio de dirección de la velocidad relativa del punto “P3” a causa de la
curvatura de la ranura y su valor será:
ρ = 2 P / P n P / P 2 3 2 3 V A r v (4.25) Siendo “ 2 3/P P V r
” la velocidad del punto “P3” respecto del punto “P2” o
velocidad relativa del punto “P3” en los ejes móviles, y “ρ” el radio de
curvatura de la ranura en el punto “P2”.
La dirección y sentido de esta aceleración normal es del punto “P2”
hacia el centro de curvatura de la ranura.
La aceleración tangencial de “P3” respecto de “P2” ( tP /P
2 3
A v
) se debe al cambio de módulo de la velocidad relativa del punto “P3”. De esta aceleración
solo se conoce que su dirección es tangente a la ranura.
La aceleración de Coriolis de “P3” respecto de “P2” (AcP3/P2
v
) se debe al giro de los ejes móviles y a la velocidad relativa del punto “P3”. Su módulo
dirección y sentido viene definido por el producto vectorial siguiente:
2 3 2 3 2 P /P c P / P 2·ω V A v r r × = (4.26)
Capítulo 4 – Aceleración
4.6 – ACELERACIÓN ANGULAR APARENTE
La aceleración angular aparente de un eslabón respecto de otro es la aceleración angular con la que ve acelerarse al primer eslabón un observador fijo en el segundo eslabón. Esta aceleración angular aparente se representa como: 2 3 2 / 3 α α αr =r −r (4.27)
4.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR
RODADURA
Mecánica II
En un mecanismo como el representado en la figura 4.9 (a), formado por tres eslabones, el punto de contacto “C” se debe producir deslizamiento ya que la velocidad de este punto es diferente si se considera perteneciente al eslabón “2” o al eslabón “3”, figura 4.9 (c).
La ecuación que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de diferentes eslabones, teóricamente se podría plantear en el punto “C”, pero resulta que la trayectoria que describe el punto “C2” en unos ejes de
coordenadas solidarios al eslabón “3” y la trayectoria que describe el punto “C3”
en unos ejes de coordenadas solidarios al eslabón “2” no son conocidas. Al no conocerse estas trayectorias, no se puede calcular la aceleración normal de un punto respecto del otro y no se puede resolver el análisis de aceleraciones.
En este caso, si prolonga imaginariamente el eslabón “3”, figura 4.9 (b), se observa que el punto “B2” describe una trayectoria recta sobre el eslabón “3”.
Por tanto la ecuación que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de diferentes eslabones se debe plantear en el punto “B” y será la siguiente:
c B / B t B / B n B / B B B2 A 3 A 2 3 A 2 3 A 2 3 A v v v v v + + + = (4-31)
Se debe tener en cuenta que no se debe plantear la aceleración desconocida en función de la conocida, sino que se debe plantear la aceleración del punto cuya trayectoria se conoce en función del punto correspondiente al eslabón en el que se desarrolla la trayectoria. En este caso la trayectoria que describe el punto “B3” en unos ejes solidarios al eslabón “2” también sería
desconocida.
En la ecuación 4.31 la aceleración normal del punto “B2” respecto del
punto “B3” será nula. La aceleración tangencial del punto “B2” respecto del
punto “B3” tendrá la dirección de la trayectoria. Y la aceleración de Coriolis se
determinará por medio del producto vectorial.
Las ecuaciones que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos del mecanismo están representadas en el polígono de aceleraciones, figura 4.9 (d).
4.7.2 – Rodadura sobre un eslabón fijo
En una rodadura sobre un eslabón fijo come el representado en la figura 4.8, la aceleración del punto “C” es horizontal y su valor será:
R α A r r r × = C (4.28)
Capítulo 4 – Aceleración
La aceleración del punto “P3” será:
t C P n C P C P3 A A 3 A 3 A r r r r + + = (4.29)
Fig. 4.8 – Rodadura sobre un eslabón fijo.
La aceleración “AnP3C r
” tiene la dirección de “P” hacia “C” por tanto es perpendicular a la superficie de rodadura.
La aceleración “ tPC
3
A r
” tiene el mismo módulo que la aceleración del punto “C” y sentido contrario.
Teniendo en cuenta que la aceleración del punto “P2” es cero, de los dos
párrafos anteriores se deduce que la aceleración del punto “P3” respecto del
punto “P2” es perpendicular a la superficie de rodadura.
A la misma conclusión se llegaría planteando la ecuación que relaciona las aceleraciones de los puntos en contacto:
c P / P t P / P n P / P P P3 A 2 A 3 2 A 3 2 A 3 2 A v v v v v + + + = (4.30)
En esta ecuación, la aceleración del punto “P2” es cero, las
aceleraciones normal y de Coriolis del punto “P3” respecto del punto “P2” son
nulas debido a que es nula la velocidad del punto “P3” respecto del punto “P2”.
El único término no nulo es la aceleración tangencial del punto “P3”
respecto del punto “P2”. La dirección de esta aceleración es tangente a la
trayectoria que describe el punto “P3” que es una cicloide. La tangente a la
cicloide en el punto de contacto es perpendicular a la superficie de rodadura, por tanto queda probada la dirección de la aceleración del punto “P3” respecto del
Mecánica II
La aceleración tangencial del punto “P3” respecto del punto “P2”, al
tener la dirección del radio de la rueda, se suele denominar aceleración radial del punto “P3” respecto del punto “P2”.
4.7.3 – Contacto directo con rodadura
En un mecanismo como el representado en la figura 4.10 (a), formado por cuatro eslabones, puede existir rodadura sin deslizamiento.
Fig. 4.10 – Contacto directo con rodadura.
En este caso las velocidades de los puntos “C3” y “C4” serán iguales. La
aceleración relativa entre estos dos puntos se sabe que es perpendicular a la tangente en el punto de contacto, pero no se sabe su valor, por lo que no se podrá plantear la ecuación que relaciona las aceleraciones en el punto “C”.
Capítulo 4 – Aceleración
Al igual que en el apartado anterior, se debe prolongar imaginariamente el eslabón “3”. El punto “B2” describe una trayectoria recta sobre el eslabón “3”
por lo que se puede plantear la ecuación de relación de aceleraciones en el punto “B”, ecuación que será:
c B / B t B / B n B / B B B2 A 3 A 2 3 A 2 3 A 2 3 A v v v v v + + + = (4.32)
La aceleración normal será nula, la tangencial tendrá la dirección de la trayectoria y la de Coriolis vendrá dada por el producto vectorial.
En la figura 4.10 (c) queda representado el polígono de aceleraciones del mecanismo.
Cabe destacar que tanto en el contacto con deslizamiento como con rodadura, para poder realizar el análisis de aceleraciones, el contacto se debe producir entre superficies rectas o circunferencias, ya que en estos casos es fácil determinar el radio de curvatura de la trayectoria que describe un punto en unos ejes de coordenadas solidarios al otro eslabón.
Mecánica II
CAPÍTULO 12 – FUERZAS ESTÁTICAS
En los capítulos precedentes se ha estudiado el movimiento de los mecanismos sin tener en cuenta las fuerzas que los producen ni las fuerzas originadas debidas al movimiento. A partir de este punto se estudiará las fuerzas necesarias para producir un determinado movimiento, así como las fuerzas que se originan debidas al movimiento de los mecanismos.
Fuerzas estáticas son todas las fuerzas que actúen sobre un cuerpo y que no se deban al término de masa por aceleración.
Fuerzas dinámicas son las fuerzas debidas al término de masa por aceleración.
Se pueden dar solamente fuerzas estáticas en mecanismos en movimiento si se desprecia su masa.
En este capítulo se estudiarán mecanismos planos, por lo tanto las fuerzas estarán contenidas en el plano del movimiento.
12.1 - INTRODUCCIÓN
A continuación se da la definición de algunos términos que se utilizarán en este capítulo.
Fuerza es acción de un cuerpo que actúa sobre otro.
Materia, es el material o sustancia de la que está hecho el cuerpo.
Masa, cantidad de materia de un cuerpo.
Inercia, propiedad de la masa de oponerse a los cambios de movimiento.
Peso, fuerza de la gravedad que actúa sobre una masa.
Partícula, cuerpo de dimensiones despreciables.
Cuerpo rígido, se puede considerar aquel cuerpo cuyas deformaciones no afectan al cálculo cinemático y dinámico.
Capítulo 12 – Fuerzas estáticas
Cuerpo deformable, cuando se deben tener en cuenta las deformaciones en el cálculo cinemático y dinámico.
Leyes de Newton
1ª - Si todas las fuerzas que actúan sobre una partícula están equilibradas, la partícula permanecerá en reposo si estaba en reposo, o se desplazará con movimiento rectilíneo constante.
2º - Si la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula no están equilibradas, la partícula sufrirá una aceleración en la dirección y sentido de la resultante de las fuerzas.
3º - Si sobre un cuerpo actúa una fuerza, este cuerpo devuelve una reacción de igual módulo y dirección y de sentido contrario a la acción.
12.2 – SISTEMAS DE UNIDADES
12.2.1 Sistema internacional
En el sistema internacional se tiene como unidades fundamentales de masa el kilogramo, de longitud el metro y de tiempo el segundo.
Como unidad derivada se tiene de fuerza el Newton que es la fuerza que aplicada a una masa de un kilogramo le imprime una aceleración de un metro segundo cuadrado. Sus dimensiones serán:
N = Kg·m·s−2 (12.1)
12.2.2 Sistema inglés
En el sistema inglés se tiene como unidades fundamentales de fuerza la libra, de longitud el pie o la pulgada y de tiempo el segundo.
En España, en lenguaje popular, se habla del peso en kilogramos, así por ejemplo, se dice que un cuerpo pesa X Kg. cuando ese cuerpo tiene una masa de X Kg.
Mecánica II
La unidad derivada en el sistema inglés será la de masa. Para determinar cual será el valor de esta unidad se pueden plantear las siguientes relaciones.
1 “Kg.(fuerza)” a 1 Kg.(masa) le imprime una aceleración de 9.807 m/s2.
1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 9.807 m/s2.
Como un metro es igual a 3.28084 pies e igual a 39.37008 pulgadas. 1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 9.807 m/s2 = = 9.807 x 3.28084 = 32.174 pies/s2 = 9.807 x 39.37008 = 386.088 pulgadas/s2.
Aproximadamente
1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 32.2 pies/s2.
1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 386 pulg/s2.
Como la unidad de masa debe ser tal que la unidad de fuerza le imprima una aceleración de valor unidad, si se utiliza como unidad de longitud el pie, la unidad de masa será de 32.2 libras (Slug) y si la unidad de longitud es la pulgada, la unidad de masa será de 386 libras.
12.3 – FUERZAS APLICADAS Y FUERZAS DE
RESTRICCIÓN
Fuerzas aplicadas son las fuerzas exteriores que normalmente son conocidas y fuerzas de restricción son las que aparecen en los pares de unión de los eslabones y son las encargadas de evitar que el mecanismo se descomponga.
12.4 – CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO
Para que se dé el equilibrio estático de un mecanismo se debe cumplir en cualquier eslabón o conjunto de eslabones que la suma de fuerzas sea cero y que la suma de momento respecto de un eje sea también cero.
En mecanismos planos se debe cumplir:
0 Fx =
Capítulo 12 – Fuerzas estáticas 0 Fy = Σ (12.3) 0 Mz = Σ (12.4)
12.5 – DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
El diagrama de cuerpo libre es la esquematización de uno o varios eslabones representando todas las fuerzas que actúan en los eslabones considerados.
12.6 – FUERZAS DE RESTICCIÓN
Las fuerzas de restricción en los mecanismos aparecen en los pares de unión los diferentes eslabones y tienen la dirección de los movimientos que impide el par.
En los mecanismos planos los pares de unión de los eslabones más comunes son: el par giratorio, el eje motriz, el par prismático y el contacto directo.
En el par giratorio, como impide los desplazamientos y no impide el giro, las fuerzas de restricción serán “Fx” y “Fy”.
En eje motriz, como impide los desplazamientos y el giro, las fuerzas de restricción serán “Fx”, “Fy” y “Mz”.
El par prismático, si se desprecia el rozamiento, impide el movimiento en sentido perpendicular al desplazamiento del par y también impide el giro, por tanto la fuerza de restricción será perpendicular a la dirección de desplazamiento del par y un momento “Mz”.
En el contacto directo con deslizamiento o por rodadura, si se desprecia el rozamiento, la fuerza de restricción será perpendicular a la tangente en el punto de contacto.
12.7 – ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS
En el elemento representado en la figura 12.1 sometido a dos fuerzas “F ” y “F ” se debe cumplir que la suma de fuerzas sea nula y la suma de
Mecánica II
En la figura 12.1 (a) la suma de fuerzas no es cero.
En la figura 12.1 (b) la suma de fuerzas es cero pero la suma de momentos no es nula, ya que las fuerzas forman un par.
Fig. 12.1 – Elemento sometido a dos fuerzas.
Para que en un elemento sometido a dos fuerzas la suma de fuerzas y suma de momentos sean nulas se debe cumplir que las fuerzas sean iguales en módulo, tengan la misma línea de acción y sentido contrario, tal como se observa en la figura 12.1 (c).
En el elemento representado en la figura 12.2 sometido a tres fuerzas “FA”, “FB” y “FC” se debe cumplir que la suma de fuerzas sea nula y la suma de
momentos sea igualmente nula. En la figura 12.2 (a) la suma de fuerzas no es cero.
En la figura 12.2 (b) la suma de fuerzas es cero pero la suma de momentos no es nula, ya que si se toma momentos respecto del punto de corte de las fuerzas “FB” y “FC”, éste no será nulo, y al ser la suma de fuerzas nula
quiere decir que el sistema de fuerzas es equivalente a un par.
Para que un elemento sometido a tres fuerzas esté en equilibrio estático se debe cumplir que la suma de fuerzas sea cero y que las tres fuerzas se corten en un punto, figura 12.2 (c). Si la suma de fuerzas es cero, puede existir un par, pero si las tres se cortan en punto, el momento respecto de ese punto será nulo, por tanto no existe un par ya que el momento de un par es igual respecto de cualquier punto del espacio.
