MATEMÁTICAS (II) JUNIO 2002

MATEMÁTICAS (II)

JUNIO 2002

El examen presenta dos opciones, A y B.

El alumno deberá elegir UNA Y SÓLO UNA de ellas y resolver los cuatro ejercicios de que consta. No se permite el usó de calculadoras con capacidad de representación gráfica.

PUNTUACIÓN: La calificación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo.

OPCIÓN A

Ejercicio 1.(Puntuación máxima: 2 puntos). Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años.

Solución

x ≡ Edad de la madre y ≡ Edad del hijo mayor z ≡ Edad del hijo menor

Si hace catorce años, la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de sus hijos, y teniendo en cuenta que hace catorce años las edades de cada uno eran:

Madre: x − 14 Hijo mayor: y − 14 Hijo menor: z − 14 Aparece la primera ecuación:

(

) (

)

[

y 14 z 14

]

· 5 14 x− = − + − ordenando 126 z 5 y 5 x− − =−

Dentro de 10 años la edad de cada uno será: Madre: x + 10 Hijo mayor: y + 10 Hijo menor: z + 10

Y en ese momento la edad de la Madre será la suma de las edades de sus hijos

(

y 10

) (

z 10

)

10 x+ = + + + ordenando 10 z y x− − =

Cuando el hijo mayor tenga la edad de la madre, por todos ellos habrán pasado x − y años, diferencia de edad entre la madre y el hijo mayor, lo tanto la edad del hijo menor será z+

(

x−y

)

que da lugar a la ecuación:

(

x y

)

42 z+ − = ordenando 42 z y x− + =

Con las tres ecuaciones se plantea el sistema:

     = + − = − − − = − − 42 z y x 10 z y x 126 z 5 y 5 x Dado que el 8 0 1 1 1 1 1 1 5 5 1 A = ≠ − − − − −

= , el sistema es compatible determinado

44 8 352 8 1 1 42 1 1 10 5 5 126 A A x x − = = − − − − − = = 18 8 144 8 1 42 1 1 10 1 5 126 1 A A y y = = − − − = = 16 8 128 8 42 1 1 10 1 1 126 5 1 A A z z − = = − − − = =

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos). Calcular el rango de la matriz A según los diferentes valores del parámetro real a:

          − − + − − = 3 4 4 a 5 3 1 0 1 2 a 0 2 A Solución

Rango de una matriz es el número de vectores fila ó vectores columna linealmente independientes. Se calcula como el orden del mayor Menor distinto de cero que exista en la matriz, y como máximo puede valer la menor de las dimensiones de la matriz

Para calcular el rango de la matriz A, se busca el mayor Menor distinto de cero que no dependa del parámetro y a partir de este se estudian sus menores orlados.

En la matriz A, el menor formado por la 1ª y 2ª fila y la 1ª y 4ª columna, no depende del parámetro y es distinto de cero.

0 8 3 1 2 2 ≠ = − sus menores orlados son:

(

) ( )

8·

(

a 4

)

3 1 2 2 1 4 a 3 4 a 5 3 0 1 2 0 2 2 3 _{=− +} − − ⋅ + = − + − +

(

a 4

)

12 48 a 12 3 4 5 3 1 1 2 a 2 + = + = − − − −

El rango de la matriz se discute únicamente para las raíces comunes de los dos menores. i. Si a ≠ −4, existen menores de orden 3 distintos de cero, rg A = 3.

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos). Se consideran las cónicas C1 y C2 cuyas ecuaciones cartesianas son: 144 y 16 x 9 : C 2 2 1 + = ; C2:9x2−16y2 =144

a) (2 puntos) Identificar C1 y C2. Especificar, para cada una de ellas, sus elementos característicos:

vértices, focos, excentricidad y asíntotas (si existen).

b) (1 punto) Hallar la ecuación cartesiana de la parábola de eje horizontal, abierta hacia la derecha y que pasa por tres de los vértices de la cónica C1.

Solución a) 144 y 16 x 9 : C1 2+ 2 =

Al ser los coeficientes de x2 _{e y}2 _{de distinto valor pero igual signo, la cónica es una elipse. Su}

ecuación canónica se obtiene dividiendo toda la ecuación por el término independiente y ordenando. 144 y 16 x 9 2+ 2 = ; 144 144 144 y 16 144 x 9 2 ₊ 2 ₌ ; 1 16 144 y 9 144 x2 ₊ 2 ₌ 1 9 y 16 x2 ₊ 2 _{= ; 1} 3 y 4 x 2 2 2 2 = +

Elipse de eje horizontal (4 > 3) centrada en el origen. Elementos: Semieje mayor a = 4 Vértices A(4, 0), A’(-4,0)

Semieje menor b = 4 Vértices B(0, 3), B’(0, −3)

Semidistancia focal c= a2−b2 = 42−32 = 7 Focos F

( )

7,0 , F'

(

− 7,0

)

Excentricidad 4 7 a c e= = 144 y 16 x 9 : C 2 2 2 − =

Al ser los coeficientes de x2 _{e y}2 _{distintos en valor y signo, la cónica es una hipérbola. Su}

ecuación canónica se obtiene dividiendo toda la ecuación por el término independiente y ordenando.

144 y 16 x 9 2− 2 = ; 144 144 144 y 16 144 x 9 2 ₋ 2 _{= ; 1} 16 144 y 9 144 x2 ₋ 2 ₌ 1 9 y 16 x2 ₋ 2 ₌ ; 1 3 y 4 x 2 2 2 2 = −

Hipérbola de eje horizontal (4 > 3) centrada en el origen. Elementos: Semieje mayor a = 4 Vértices A(4, 0), A’(-4,0)

Semieje menor b = 4 Vértices B(0, 3), B’(0, −3)

Semidistancia focal c= a2+b2 = 42+32 =5 Focos F

( )

5,0 , F'

(

−5,0

)

Excentricidad 4 5 a c e= = Asíntotas x 4 3 y= x 4 3 y=±

Circunferencia directriz: Centro (4, 0), R = 5

b) Parábola de eje horizontal (OX, y = 0 ). Ecuación general:

(

y−y0

)

2 =2p·

(

x−x0

)

Ecuación explicita: x=Ay2+By+C

Se pide calcular la ecuación de una parábola que pase por los puntos B, A’, B’ de la elipse del apartado anterior.

El problema se puede resolver de dos formas, geométrica ó analíticamente. Forma geométrica:

Teniendo en cuenta que una parábola es simétrica respecto de su eje, la parábola buscada tiene su eje en OX, por lo que el punto A’ es el vértice de parábola. La ecuación general, teniendo en cuenta lo anterior, queda de la siguiente forma:

(

y−0

)

2 =2p·

(

x+4

)

: y2 =2p·

(

x+4

)

Teniendo en cuenta que la ecuación de cualquier lugar geométrico se debe cumplir en todos sus puntos, el parámetro p se calcular sustituyendo B ó B’ en la ecuación de la parábola.

Utilizando el punto B(0, 3)

(

)

8 9 p : 4 0 · p 2 32 = + =

sustituyendo en la ecuación general:

(

)

(

)

·

(

x 4

)

8 9 2 y : 4 x · 8 9 2 0 y− 2 = + 2 = +

ecuación de la que se pueden extraer los datos necesarios para definir el foco y la recta direztriz

     − =         + − =       ₊ 0 , 16 55 0 , 2 8 9 4 0 , 2 p x F : FOCO 0 16 73 x : DIRECTRIZ =−

La ecuación general se puede transformar en explicita, quedando de la forma: 4 y 9 4 x= 2− Forma analítica

La ecuación explicita de una parábola presenta tres parámetros A, B, C. Conocidos tres puntos , se puede plantear un sistema de ecuaciones.

(

)

( )

(

)

( )

( )

_      − = = =       + − + − = − + + = + + = − 4 C 0 B 9 4 A : cramer por o Resolviend : C 3 b· 3 A· 0 : 3 , 0 ' B C B·3 A·3 0 : 3 , 0 B C B·0 A·0 4 : 0 , 4 ' A 2 2 2 sustituyendo en la ecuación: 4 y 9 4 x= 2−

Ejercicio 4.(Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por: 3 x 1 ) x ( f ₂ + =

a) (1 punto) Halla la ecuación cartesiana de la recta tangente en el punto de inflexión de abscisa positiva de la gráfica de f.

b) (2 puntos) Calcula el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f, la recta anterior y el eje x = 0.

Solución

La ecuación del la tangente a una función se puede escribir en forma punto pendiente.

(

)

(

)

   ≡ ≡ − = − recta la de Pendiente m Punto y , x : siendo x x · m y y 0 0 0 0

Teniendo en cuenta que:

( )

(

)

( )

   ≡ ≡ 0 0 0 x ' f m y f , x Punto

la ecuación de la tangente a la función y = f (x) se puede escribir de la forma:

( )

x0 f'

( )(

x0 ·x x0

)

f

y− = −

En el primer apartado del ejercicio piden calcular la ecuación de la recta tangente a la función

3 x 1 ) x ( f ₂ +

= en el punto de inflexión con abscisa positiva (x > 0).

Los puntos de inflexión de una función son los puntos en los que cambia la curvatura de la función, y además, son los únicos puntos en los que la tangente a la curva corta a la gráfica de la función. Se determinan teniendo en cuenta que en ellos la segunda derivada de la función se anula, y además el signo de la 2ª derivada debe ser distinto a la izquierda y derecha del punto de inflexión.

(

2 1

)

' 2 2 _{2 2} ) 3 x ( x 2 ) x 2 ·( ) 3 x ·( 1 ) 3 x ( ) x ( ' f + − = − + − = + = − − 3 2 2 4 2 2 2 2 ' 2 2 _{(x 3)} 6 x 6 ) 3 x ( x 2 )· 3 x ·( 2 )· x 2 ( ) 3 x ·( 2 ) 3 x ( x 2 ) x ( '' f + − = + + − + + − =         + − =

Los puntos de inflexión se calculan igualando a cero la 2ª derivada y estudiando el signo de está en los alrededores del punto:

1 1 x : 0 6 x 6 0 ) 3 x ( 6 x 6 : 0 ) x ( '' f _{2 3} 2 2 ± = ± = = − ⇔ = + − = inflexión de punto un 1 x En 0 ) (1 '' f 0 ) 1 ( '' f : ) (1 '' f signo ) 1 ( '' f signo además y 0 (1) '' f ⇒ = ∃         > < ≠ = − + −₊ inflexión de punto un 1 x En 0 ) 1 ( " f 0 ) 1 ( " f : ) 1 ( " f signo ) 1 ( " f signo además y 0 1) ( " f ⇒ =− ∃         < − > − − ≠ − = − − + −₊

La función presenta dos puntos de inflexión en (−1, f (−1)) y en (1, f (1)), y se pide calcular la tangente a la curva en (1, f (1)), ya que es el único que tiene abscisa positiva (x > 0).

La tangente pedida tiene por ecuación:

) 1 x )·( 1 ( ' f ) 1 ( f y− = −

f (1) y f’(1) se calculan sustituyendo 1 en la función y en la derivada respectivamente.

( )

8·

(

x 1

)

1 4 1 y : 8 1 3 1 1 · 2 ) 1 ( ' f 4 1 3 1 1 ) 1 ( f 2 2 2 − − = −        − = + − = = + =

que en forma explicita se transforma en:

8 3 x 8 1 y=− +

b) Se pide calcular el área entre la función su tangente en el punto 1 y el eje de ordenadas. En la figura, el área en amarillo.

Se calcula restando al área entre la tangente, las recta x = 0, x = 1 y el eje x el área entre la curva y las mismas rectas.

( )

= + −     + − =       + − + − = + −      _{− +} =

_∫

_∫

_∫

_∫

1 0 ₂ 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 ·dx 3 x 1 x 8 3 16 x dx · 3 x 1 8 3 x 8 1 dx · 3 x 1 dx · 8 3 x 8 1 ÁREA 2 2 2 1 0 2 u 18 3 16 5 3 0 arctg 3 1 0 8 3 16 0 3 1 arctg 3 1 1 8 3 16 1 3 x arctg 3 1 x 8 3 16 x _{= −} π         − + − −         − + − =     − + −

OPCIÓN B

Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos) Hallar una ecuación cartesiana del plano que contiene a la recta r: t 1 x= + ; y=−1+2t ; z=t y es perpendicular al plano π: 2 z y x 2 + − = Solución

Se pide calcular la ecuación vectorial ó cartesiana del plano σ que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.

La mínima determinación lineal de un plano son dos vectores paralelos al plano y un punto del plano. El plano pedido σ, debe de cumplir dos condiciones, las cuáles dan los elementos necesarios para definirlo.

1ª Condición: debe de contener a la recta r, por lo que el vector de dirección de la recta es paralelo al plano y cualquier punto de la recta está contenido en el plano.

(

)

( )

        = − = ⇒ = + − = + = ≡ 1 , 2 , 1 d 0 , 1 , 1 P t z t 2 1 y t 1 x r r r

2ª Condición: debe ser perpendicular al plano π, por lo tanto, el vector normal del plano π

( )

nr_π

es paralelo al plano

(

2,1, 1

)

n ; 2 z y x 2 + − = = − ≡ π r_π El plano σ se define:

(

)

( )

(

)

     = − + − ≡ − = = − = ≡ σ π 0 1 1 2 1 2 1 z 1 y 1 x cartesiana Ecuación : 1 , 1 , 2 n 1 , 2 , 1 d 0 , 1 , 1 P r r r

desarrollando por los elementos de la primera fila:

x − y + z − 2 = 0

Ejercicio 2.(Puntuación máxima: 2 puntos) Los puntos A (1, 1, 1), B (2, 2, 2), C (1, 3, 3) son tres vértices consecutivos de una paralelogramo.

Se pide:

a) (1punto) Hallar las coordenadas del cuarto vértice D y calcular el área de dicho paralelogramo. b) (1 punto) Clasificar el paralelogramo por sus lados y por sus ángulos.

Solución

Si cuatro puntos son coplanarios será por que entre ellos existen parejas de vectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo dirección y sentido.

Fijándonos en la figura:

DC AB≅

teniendo en cuenta que la relación de equipolencia es una relación de igualdad:

(

b1−a1,b2−a2,b3−a3

) (

= c1−d1 ,c2−d2 ,c3−d3

)

igualando por componentes

3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 d c a b d c a b d c a b − = − − = − − = −

aplicando a los datos del enunciado A (1, 1, 1), B (2, 2, 2), C (1, 3, 3), se despejan las coordenada del punto D

2 − 1 = 1 − d1: d1 = 0

2 − 1 = 3 − d2: d2 = 2

2 − 1 = 3 − d3: d3 = 2

D = (0, 2, 2)

El área de un paralelogramo se calcula como aplicación del producto vectorial de vectores.

(

ABCD

)

AB AD ÁREA = ×

(

1 ,1 ,1

)

AD

(

1 ,1 ,1

)

AB= = −

(

) (

)

(

_{0, 2,2}

)

₀2 _{( 2)}2 ₂2 1 1 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 AD AB ÁREA _= − = + − +       − − − = − × = × = 8 ÁREA=

Para clasificar un paralelogramo se calculan las longitudes de los lados y los ángulos Longitud del lado AB = AB= 12+12+12 = 3

Longitud del lado AD = AD₌

( )

₋12₊12₊12 ₌ 3

Ángulo (DAB) :

(

)

( ) (

)

3 1 3 3 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 AD AB AD AB DAB cos = ⋅ − = ⋅ = o o

(

)

70'5º 3 1 arccos DAB =α= = º 5 ' 109 180⇒β= = β + α

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:

     = + − = + + = − 1 az y x 0 z 2 y ax 2 y x Se pide:

a) (1,5 puntos) Discutir el sistema según los diferentes valores del parámetro a. b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para a = −1.

c) (1 punto) Resolver el sistema para a = 2. Solución

Al sistema lo definen las matrices:

          − − = a 1 1 2 1 a 0 1 1 A y           − − = 1 a 1 1 0 2 1 a a 0 1 1 ' A siendo A⊂A' ⇒ rg A ≤ rg A’ ≤ n 3 A ≡ Matriz de coeficientes: A’ ≡ Matriz ampliada; n ≡ nº de incógnitas

Si un sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas Sn×n, como en este caso, y el

determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema se define como compatible determinado, tiene solución única y está se puede calcular por el método de Cramer.

Teniendo en cuenta lo anterior, se calcula el determinante de A en función del parámetro”a”, y se estudian los valores de este que lo anulan.

{

}

a·(a 1) a 0 2 1 a · ) 1 ·( 1 a 0 1 2 1 a a 0 0 1 C C C a 1 1 2 1 a 0 1 1 A A det = ₂ = ₂+ ₁ = + = − 1 1 + = + − − = = +

[ ]

   − = = + = = + ⇒ = 1 a : 0 1 a 0 a : 0 ) 1 a ·( a 0 A Discusión:

i. Si a ≠ 0, −1 ⇒ det A ≠ 0 y por tanto: rg A = 3 = rg A’ = n. Sistema compatible determinado S.C.D. ii. Si a = 0:      = − = + = − 1 y x 0 z 2 y 2 y x

Sistema incompatible (no tiene solución) ya que presenta dos

ecuaciones incongruentes    = − = − 1 y x 2 y x

. También se puede estudiar por rangos.

Rango de A: 1 0 1 0 1 1 ≠ = − ; 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 = − − ⇒ rg A = 2.

Rango de A’: a partir del menor 1 0 1 0 1 1 ≠ = −

, se estudian sus menores orlados

0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 = − − y 1 0 1 1 1 0 1 0 2 1 1 ≠ − = − − ⇒ rg A’ = 3.

iii. Si a = −1:      = − − = + + − = − 1 z y x 0 z 2 y x 2 y x definido por           − − − − = 1 1 1 2 1 1 0 1 1 A y           − − − − − = 1 1 1 1 0 2 1 1 1 0 1 1 ' A rg A: 2 0 2 1 0 1 ≠ − = − ; 0 1 1 1 2 1 1 0 1 1 = − − − − ⇒ rg A = 2. rg A’: 2 0 2 1 0 1 ≠ − = −

, sus menores orlados son: 0 1 1 1 2 1 1 0 1 1 = − − − − y 0 1 1 1 0 2 1 2 0 1 = − − −

por lo tanto rg A’ = 2

rg A = rg A’ = 2 < n = 3.

Grado de indeterminación = nº de incógnitas − rango del sistema Sistema compatible indeterminado con un grado de indeterminación. Sistema equivalente:    = + + − = − 0 z y x 2 y x :' S

b) Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad, para resolverlo hay que transformar una de las variables en parámetro, y resolverlo en función de este.

Transformando la y en λ y ordenando:    λ − = + − λ + = 2 z 2 x 2 x

resolviendo por sustitución::

     = λ = λ + = 1 z y 2 x c) a = 2      = + − = + + = − 1 z 2 y x 0 z 2 y x 2 2 y x 0 6 2 1 1 2 1 2 0 1 1 ≠ = − −

. Sistema compatible determinado. Se resuelve por Cramer. 1 6 6 6 2 1 1 2 1 0 0 1 2 A A x x − = = − = = : 1 6 6 6 2 1 1 2 0 2 0 2 1 A A y= y = = − =− : 2 1 6 3 6 1 1 1 0 1 2 2 1 1 A A z z − = − =− − = =

Ejercicio 4.(Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función:       − < − − ≥ + + = 1 x si 1 x 2x 1 x si x 1 x 3 x ) x ( f 2 Se pide:

a) (0,5 puntos) Estudiar el dominio y la continuidad de f. b) (1,5 puntos) Hallar las asíntotas de la gráfica de f.

c) (1 punto) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y las rectas y = 0, x = 1, x = 2.

Solución

a) Dominio = R − {0}.

Continuidad de una función debe estudiarse en los puntos excluidos del dominio y en los puntos frontera en el caso de estar definida por intervalos, entendiéndose como puntos frontera los puntos donde la función cambia de expresión. En la función propuesta el −1.

Para la función que nos ocupa, se debe de estudiar la continuidad en x = 0 y en x = −1, entendiendo que para cualquier otro valor de x la función es continua.

Se dice que una función es continua en un punto, si en ese punto existe la función, tiene límite y además coincide con el valor de la función en el punto.

Si f es una función real y x = x0 un punto, f es continua en x0, sí: ) x ( f ) x ( f lím 0 x x 0 = →

Esta condición se puede desdoblar en la regla de los tres pasos: i. Debe existir f(x0)

ii. Debe de existir

       =      ∃ ∃ ⇔ − + − + → → → → → ) x ( f lím ) x ( f lím ) x ( f lím ) x ( f lím ª 1 ) x ( f lím 0 0 0 0 0 x x x x x x x x x x iii. lím f(x) f(x₀) x x 0 = → Continuidad en x = −1 1 1 1 ) 1 ·( 3 ) 1 ( ) 1 ( f 2 = − + − + − = − 1 ) x ( f Lím 1 ) x ( f Lím ) x ( f Lím : 1 x 1 x 3 x Lím ) x ( f Lím 1 1 x x 2 Lím ) x ( f Lím ) x ( f Lím 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x = = ⇒∃ =              = + + = = − = = − → − → − → − → − → − → − → − → − + + + − − ) 1 ( f ) x ( f Lím 1 x→− = −

b) Asíntotas Verticales: en x = 0 : =∞ →0f(x) x Lím Generales:

(

)

                              =         − + + = − = = + + = + + = = ∞ + = − ∞ − ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → −∞ → 3 x · 1 x 1 x 3 x Lím mx ) x ( f Lím n 1 x 1 x 3 x Lím x x 1 x 3 x Lím x ) x ( f Lím m . Oblicua . A : hacia 2 1 x x 2 Lím . H . A : hacia 2 x x 2 2 x 2 x x x c) Área: 2 Ln 2 9 1 Ln 1 · 3 2 1 2 Ln 2 · 3 2 2 x Ln x 3 2 x dx · x 1 3 x dx · x 1 x 3 x Área 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 + =         + + − + + =     + + =       _{+ +} = + + =

∫

∫