Métodos de solución de ED de primer orden

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Métodos de solución de ED de primer orden

2.2

Ecuaciones diferenciales de variables separables

El primer tipo de ED que presentamos es el de ED de variable separables, llamadas así porque es práctrica común en ecuaciones de dos variables el tratar de separarlas, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.2.1 Separar las variables de la siguiente ecuación algebraica: .x2 x/.y2_C3/_D2xy.

H Por separar las variables de la ecuación se entiende que por medio de operaciones algebraicas válidas se coloquen todas lasxde un lado de la igualdad y todas lasydel otro lado. En este caso

.x2 x/.y2_C3/_D2xy ₎ x

2 _x

x D 2y y2_C3:

Se han colocada lasxdel lado izquierdo de la ecuación; lasydel lado derecho.

Ejemplo 2.2.2 Separar las variables de la siguiente ED: dy

dx D

2xy .x2 _x/.y2_C3/.

H Para una ED como ésta, separar variables significa que por medio de operaciones algebraicas válidas se escriba la ED en la forma:

g.y/ dy_Dh.x/ dx ;

para algunas funcionesg.y/yh.x/. En este caso tenemos:

dy dx D 2xy .x2 _x/.y2_C3/ ) y2_C3 y dy D 2x x2 _xdx : Para este caso:

g.y/_D y 2 C3 y & h.x/D 2x x2 _x con y ¤0yx 2 x_¤0 : 1_{canek.azc.uam.mx: 14/ 1/ 2010} 1

Del resultado anterior, se concluye que la ecuación diferencial dy

dx D

2xy

.x2 _x/.y2_C3/ es una ED de varia-bles separavaria-bles.

Ejemplo 2.2.3 Separar las variables de la siguiente ED: dx

dy D

2xy .x2 _x/.y2_C3/. H Al escribir la ED en la formag.y/ dy _Dh.x/ dxse tiene:

dx dy D 2xy .x2 _x/.y2_C3/ ) x2 x x dxD 2y y2_C3dy : En este caso: g.y/_D 2y y2_C3 & h.x/D x2 x x con x¤0 :

Se concluye que la ecuación diferencial dx

dy D

2xy

.x2 _x/.y2_C3/ es una ED de variables separables.

Una ecuación diferencial: y0

D dy

dx Df .x; y/esde variables separablessi podemos escribirla en

la forma:

g.y/ dy _Dh.x/ dx :

El método para resolver una ecuación diferencial de variables separables consiste en integrar esta última igualdad, es decir:

Z

g.y/ dy _D Z

h.x/ dx ₎

) ˛.y/_CC1Dˇ.x/CC2 ) ˛.y/ ˇ.x/DC2 C1 )

) .x; y/_DC, que es la solución general de la ED.

En general, la solución queda definida de manera implícita. Ilustramos este método con los ejemplos siguientes.

Ejemplo 2.2.4 Resolver la ecuación diferencial: y0

D dy

dx Dsenx.

H Separando las variables se tiene:

dy dx Dsenx ) dyDsenx dx : Integrando directamente: Z dy_D Z senx dx ₎ y _D cosx_CC;

que es la solución general de la ED.

Ejemplo 2.2.5 Resolver la ecuación diferencial: y0

H Separando las variables se tiene: dy dx Dseny ) dy seny Ddx : Integrando: Z _dy seny D Z dx ₎ Z cscy dy_Dx_CC ₎ ) lnjcscy coty_{j D}x_CC :

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.

Ejemplo 2.2.6 Resolver la ecuación diferencial: dy

dx D

2xy .x2 _2/.y2_C3/. H Separando las variables:

dy dx D 2xy .x2 _2/.y2_C3/ ) y2_C3 y dy D 2x x2 ₂dx : Integrando: Z _y2 C3 y dyCC1D Z _2x x2 ₂dxCC2 ) ) Z y_C 3 y dy_Dln x2 2 CC ) ) y 2 2 C3lnjyj Dln x2 2 CC :

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.

Observación: En este punto es pertinente aclarar que el uso del valor absoluto en la integral

Z _dy

y Dlnjyj CC

es la forma correcta de aplicar esta fórmula de integración. Sin embargo, con cierta frecuencia en las páginas siguientes y el resto del libro, el lector podrá encontra varias veces

Z _du

u DlnuCC:

Esto se hace por facilidad de escritura o bien por conveniencia, para hacer algunas manipulaciones y conseguir despejar a la variable dependiente en la solución de la ED.

Se supone también que el lector conoce, por sus cursos previos de cálculo, las convenciones usuales en la manipulación de funciones elementales. Así por ejemplo, al escribir

seny_Df .x/ ₎ y_DarcsenŒf .x/

no hace falta insistir que para queysea una función bien definida se debe cumplirjf .x/_j 1. En lo sucesivo omitiremos mencionar explícitamente las restricciones de este tipo: como que los de-nominadores deber ser¤ 0, los argumentos del logaritmo deben ser positivos etc, a menos que se considere muy necesario.

También para el resto del libro haremos algunas convenciones sobre la constante de integración que se añade en las integrales indefinidas, si:

F0

.x/_Df .x/ yG0

.y/_Dg.y/

entonces escribimos equivalentemente:

Z

F .x/ dx_Df .x/_CC y

Z

G.y/ dx_Dg.y/_CC;

dondeC representa una constante arbitraria, sin embargo si tenemos por ejemplo

F .x/ dx_DG.y/ dx;

queremos concluir que

Z F .x/ dx_D Z G.y/ dy; o sea f .x/_CC1Dg.y/CC2:

No es necesario usar dos constantes arbitrarias ya que análogamente se puede escribir

f .x/_Dg.y/_CC;

dondeC sustituye aC1 C2.

De forma similar y repeditamente en lo que sigue el lector podrá ver expresiones comoC1CC2DC,

C1C2 DC,3C1 DC,eC1 D C, cosC1DC , etc. en las que esencialmente se hace la convención de que la suma, resta, producto, exponencial o cualquier otro valor funcional de una constante es otra constante.

Así por ejemplo, una fórmula comoeC _{DC no es necesariamente incorrecta al interpretarse como un} ejemplo de estas convenciones.

Ejemplo 2.2.7 Resolver la ecuación diferencial: y0

D2xpy 1. H Separando las variables e integrando:

dy dx D2x.y 1/ 1 2 _{) .y 1/} 1 2_{dyD2x dx )} ) Z .y 1/ 12_dyD2 Z x dx ₎ ) 2.y 1/12 _CC1Dx2_{CC2 ) 2.y 1/} 1 2 _Dx2_CC: Elevando al cuadrado: 4.y 1/_D.x2_CC /2 ₎ y_D1_C1 4.x 2 CC /2:

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma explícita.

Ejemplo 2.2.8 Resolver el PVI: y0

Dxy_Cx 2y 2_I con la condicióny.0/_D2.

H Para separar las variables comenzamos factorizando y después integramos, se tiene:

dy dx Dx.yC1/ 2.yC1/D.yC1/.x 2/ ) ) dy y_C1 D.x 2/ dx ) Z _dy y_C1 D Z .x 2/ dx ₎ ) ln.y_C1/_CC1 D 1 2.x 2/ 2 CC2 ) ln.yC1/D 1 2.x 2/ 2 CC:

Para determinarC, consideramos la condición inicialy.0/_D2: ln3_D 1 2. 2/ 2 CC ₎ C _Dln3 2 ₎ ln.y_C1/_D 1 2.x 2/ 2 Cln3 2: De donde y_C1_De 1 2.x 2/2Cln3 2_De 1 2.x 2/2 2_eln3 ₎ ) y _D3e12.x 2/2 2 _1: Representa la solución del PVI cony.0/_D2.

Ejemplo 2.2.9 Resolver la ecuación diferencial: .x2_C1/y0

tany _Dx. H Separando las variables e integrando:

.x2_C1/dy dx tanyDx ) tany dyD x dx x2_C1 ) Z _seny cosy dy D Z _{x dx} x2_C1 ) ) ln.cosy/_CC1D 1 2ln.x 2 C1/_CC2 ) ln.cosy/D 1 2ln.x 2 C1/_CC:

Podemos encontrar la forma explícita de la solución usando propiedades del logaritmo:

ln.cosy/ 1_Dln.x2_C1/12 _{CC ) .cosy/} 1_Deln.x2C1/ 1 2CC Deln.x2C1/ 1 2 eC:

ConsiderandoeC _{DC y observando quee}ln.x2_C1/

1 2 D.x2_C1/1_{2, se tiene:} 1 cosy DC.x 2 C1/12 _{) sec}y_DCpx2_{C1 ) yDarcsec.c}p_x2_C1/: Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma explícita.

Ejemplo 2.2.10 Resolver la ED: dy

dx D

.y 1/.x 2/.y_C3/ .x 1/.y 2/.x_C3/.

H Al separar las variables se obtiene:

y 2 .y 1/.y_C3/dyD x 2 .x 1/.x_C3/dx ) Z _{y 2} .y 1/.y_C3/dyD Z _{x 2} .x 1/.x_C3/dx :

Aplicando fracciones parciales, obtenemos:

1 4 Z _dy y 1 C 5 4 Z _dy y_C3 D 1 4 Z _dx x 1C 5 4 Z _dx x_C3:

Multiplicando por4, e integrando:

ln.y 1/_C5ln.y_C3/_CC1D ln.x 1/C5ln.xC3/CC2 ) ) ln.y_C3/5 ln.y 1/_Dln.x_C3/5 ln.x 1/_ClnC ₎ ln.yC3/ 5 y 1 Dln C.x_C3/5 x 1 ) .y_C3/5 y 1 D C.x_C3/5 x 1 ) ) .y_C3/5.x 1/_DC.x_C3/5.y 1/:

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma explícita.

Ejemplo 2.2.11 Resolver el PVI: dy

dx D

senx_Ce2ysenx

3ey_Cey_cos2x I con la condicióny

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D0. H Comenzamos separando las variables e integrando para obtener:

dy dx D .senx/.1_Ce2y/ ey_.3Ccos2x/ ) ey 1_Ce2ydyD senx 3_Ccos2xdx ) Z _ey_dy 1_Ce2y D Z _senx 3_Ccos2xdx: Pero cos2x _D 1 2.1Ccos2x/, entonces: Z _ey_dy 1_C.ey_/2 D Z _{senx dx} 3_CŒ2cos2_{x 1}D Z _{senx dx} 2_C2cos2_x D 1 2 Z _{senx dx} 1_C.cosx/2: Ahora, integrando por sustitución:

arctaney_CC1D

1

2arctan.cosx/CC2 ) arctane

y

D 1

2arctan.cosx/CC:

Considerando la condición inicialy 2 D0: arctane0_D 1 2arctan cos 2 CC ₎ arctan1_D 1 2arctan0CC ) C D 4:

Por lo tanto, la solución buscada es:

arctaney_D 1

2arctan.cosx/C 4:

Es decir:

4arctaney_C2arctan.cosx/_D:

Cualquiera de las dos últimas expresiones representa la solución del PVI.

Ejemplo 2.2.12 Resolver la ecuación diferencial: x3e2x2C3y2dx y3e x2 2y2dy_D0. H Primero separamos las variables y planteamos las integrales:

x3e2x2e3y2dx_Dy3e x2e 2y2dy ₎ x3e2x2ex2dx_Dy3e 2y2e 3y2dy ₎ Z

x2e3x2xdx_D Z

y2e 5y2y dy:

Integrando por partes ambas integrales:

u _Dt2 _{& dv De}at2 dt du _D2t dt & v _D 1 2ae at2 Se tiene: 1 6x 2 e3x2 1 3 Z e3x2xdx_D 1 10y 2 e 5y2 _C1 5 Z e 5y2y dy 1 6x 2 e3x2 1 18e 3x2 D 1 10y 2 e 5y2 1 50e 5y2 CC

Multiplicando por450(mínimo común múltiplo de6,18,10y50):

.75x2 25/e3x2_C.45y2_C9/e 5y2 _DC:

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.

Ejemplo 2.2.13 Resolver la ED: dy

dx D

y_C1

p

x_Cpxy.

H Separamos variables factorizando primero y posteriormente integramos, resulta:

dy dx D y_C1 p x_Cpxpy D y_C1 p x.1_Cpy/ ) 1_Cpy y_C1 dy D dx p x ) Z p_y C1 y_C1 dyD Z x 1 2_{dx :}

Resolvemos la primera integral mediante el cambio de variablepy_Dtpara así obtener:

Z _t C1 t2_C12t dtD Z _2t2_C2t t2_C1 dt D Z 2t2 t2_C1 C 2t t2_C1 dt_D Z 2 2 t2_C1 C 2t t2_C1 dt_D D2t 2arctant_Cln.t2_C1/_CC:

Dado quet _Dpy, resulta:

2py_Cln.y_C1/ 2arctanpy_CC1D2pxCC2 )

) 2.py px/_Cln.y_C1/ 2arctanpy _DC:

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.

Ejemplo 2.2.14 Resolver la ecuación diferencial: dy

dx D

xy 3y_Cx 3 xy_C2y x 2.

H Separando variables, se tiene:

dy dx D xy 3y_Cx 3 xy_C2y x 2 D y.x 3/_C.x 3/ y.x_C2/ .x_C2/D .y_C1/.x 3/ .y_C1/.x_C2/ ) ) y 1 y_C1dyD x 3 x_C2dx :

Efectuando las divisiones e integrando:

Z 1 2 y_C1 dy_D Z 1 5 x_C2 dx ₎ y 2ln.y_C1/_CC1Dx 5ln.xC2/CC2 ) ) y ln.y_C1/2_Dx ln.x_C2/5_CC:

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.

Ejercicios 2.2.1 Variables separables.Soluciones en la página 9 Resolver las siguiente ecuaciones diferenciales:

1. dy dx DtanxCsecx. 2. dy dx Dtany. 3. dx dy D x2 y . 4. dx dy D y x2 .

5. ds dt D .2t_C1/.2s 1/ 2.t2_{Ct /} . 6. ds dt D .s3 s/.4t3 6t / .t4 _3t2_/.3s2 _1/ . 7. du dt D .u_C1/.t_C1/ .u_C2/.t 1/ . 8. dt du D t u_Cu_C3t_C3 t u_C2u t 2 . 9. x2y0 D1 x2_Cy2 x2y2. 10. xy0 y _D2x2y. 11. 4txdx dt Dx 2_C1. 12. .ylnx/ 1dy dx D x y_C1 2 . 13. d

dt D.cost /.cos2 cos

2 _/. 14. dy dt De 2tC3y_. 15. dy dx Cy Dyxe xC2_. 16. exy dy .e y_Ce2x y/ dx_D0. 17. 2tx2_C2t_C.t4_C1/x0 D0conx.0/_D1. 18. 2r 1 t d rC r 2r2 t2 ₁ dtD0conr .2/D4. 19. 1 .y 1/2 dxC 1 p x2_C4dyD0. 20. d T dt Dk.T T1/; conT .0/DT0I k,T0,T1constantes .

Ejercicios 2.2.1 Variables separables.página 7 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.